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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y ANÁLISIS VECTORIAL (PARTE I)

ANÁLISIS DIMENSIONAL LA FÍSICA La FÍSICA es una ciencia fundamental que estudia las interacciones entre la materia y/o la energía. Estas interacciones cumplen las leyes de la física CANTIDADES FÍSICAS Para estudiar un fenómeno físico es necesario hacer medidas. Una cantidad física es todo aquello que puede ser medido, directa o indirectamente por algún instrumento, ejemplos de cantidades físicas: el tiempo, la densidad, la energía, velocidad, etc. SISTEMAS DE UNIDADES: sistema internacional. Cantidades físicas del Sistema Internacional (SI)

CANTIDAD FÍSICA S.I.U. Símbolo Dimensión

Longitud metro m L Masa kilogramo kg M

Tiempo segundo s T Temperatura kelvin K θ Intensidad de

corriente eléctrica

Ampere A I

Intensidad luminosa candela cd J

Cantidad de sustancia mol mol N

Algunas cantidades físicas derivadas del SI.

Cantidad física Símbolo Dimensión

Área m2 L2 Volumen m3 L3 Densidad kg/m3 M L− 3 Velocidad m/s L T −1 Aceleración m/s2 L T −2 Impulso kg⋅m⋅s − 1 M L T − 1 Fuerza [newton] = N M L T−2 Energía [joule] = J M L2 T − 2 Potencia [watt] = W M L 2 T − 3 Presión [pascal] = Pa M L− 1T − 2 Carga eléctrica [coulomb] = C I T

ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia la relación de las cantidades físicas derivadas con las de base o fundamentales.

ECUACIÓN DIMENSIONAL Es una igualdad de tipo algebraico que expresa la relación entre las cantidades físicas derivadas con las de base o fundamentales. Para realizar la notación de las dimensiones de una cantidad física, se emplean corchetes, tal como se muestra: [A] : se lee “la dimensión de A”. CANTIDADES ADIMENSIONALES Son aquellas cantidades que no tienen dimensiones. Un número es una cantidad adimensional y no representa alguna cantidad física. Las cantidades físicas suplementarias se consideran cantidades adimensionales. En las ecuaciones dimensionales, las cantidades adimensionales se igualan a la unidad. [Número] = 1 Ejemplos [2] = 1; [-2,7 ]2n = 1; [log 3] = 1; [π3] = 1; [sen 30°] = 1; [2,5 rad] = 1 OPERACIONES CON LAS CANTIDADES FÍSICAS a) Suma y resta.- Las cantidades físicas se pueden sumar o restar siempre que sus dimensiones sean iguales. A esta propiedad se le conoce como el principio de homogeneidad. Toda ecuación dimensionalmente correcta, debe cumplir el principio de homogeneidad, por ejemplo:

A Bcos 37º + F/ Ccos1/3 = π D – E sen (2 W Z + π/4) b) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.- Las cantidades físicas pueden multiplicarse o dividirse, cumpliendo las reglas de estas operaciones. Ejemplos:

• (20kg)⋅(5m/s2); esta operación es posible, dimensionalmente sería MLT−2.

• (20m)/(5s); esta operación es posible, dimensionalmente sería LT−1.

c) POTENCIA Y RADICACIÓN.- Es posible elevar una cantidad física a un exponente, sin embargo los exponentes no pueden ser cantidades físicas. Ejemplos:

• (2kg)−2; esta operación es posible y dimensionalmente sería M−2.

FÍSICA

1 CIENCIAS

Física Teoría y ejercicios – Semana 1

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θ=37°

Módulo

Dirección

eje + x

14° 74°

θ = 60°

X

Y

X

Y

α

Y

X

Z

ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR Un vector es un ente matemático que representa una cantidad vectorial, tiene módulo y dirección. Notación gráfica de un vector. Ejemplo: Notación de un vector: A

, se lee: “vector A” El módulo es la longitud del vector e indica la magnitud de la cantidad física que representa. Notación: A

= A, se lee: “módulo del vector A” La dirección de un vector está indicada por el ángulo θ que forma el vector con alguna recta tomada como referencia, como por ejemplo el eje +X. La dirección del vector A

de la figura anterior es: θ = 37°, respecto al eje +x. EL NEGATIVO DE UN VECTOR El negativo de un vector es aquel que tiene igual magnitud pero dirección opuesta.

SUMA DE VECTORES La suma es una operación de dos o más vectores que da como resultado otro vector, llamado vector resultante. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Sean los vectores A→

y B→

que se muestran en la figura y que sumaremos. Para obtener el vector suma, se construye un paralelogramo con los vectores A

y B

:

Para calcular el módulo del vector resultante:

= + + θ2 2R A B 2ABcos DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR Sea el vector A

y los ejes X e Y mostrados en la siguiente figura.

Dónde: x yA A A→ → →

= +

xAcosA

α = → xA A cos= α

yAsen

Aα = → yA A sen= α

VECTORES UNITARIOS: i∧

y j∧

Son vectores cuyo módulo es la unidad y se utilizan para indicar dirección sobre los ejes X e Y. En el espacio se consideran los ejes tridimensionales X, Y, Z:

=

X Y ZA (A ; A ; A )

X Y Z

ˆ ˆ ˆA A i A j A k= + +

EL MÓDULO DEL VECTOR A→

:

2 2 2x y zA A A A= + +

A→

i j 1∧ ∧

= =

Física Teoría y ejercicios – Semana 1

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30º 30º

x

63º 47º

y

EJERCICIOS DE CLASE 1. Determine si los enunciados son verdaderos (V) o

falsos (F): I. Las magnitudes físicas fundamentales son

independientes entre sí. II. 6 Aµ es equivalente a 0,006 mA. III. 5 mN se lee cinco milinewton.

A) VVF B) VVV C) FFV D) FVV E) FFF

2. Experimentalmente se ha determinado que la fuerza

de sustentación que actúa sobre el ala de un avión depende del área S del ala, de la densidad ρ del aire y de la velocidad V del avión. Halle el exponente elevado al cuadrado de la velocidad V.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. La aceleración con que se mueve una partícula en

un MAS, se define por la ecuación: a A cos( t )α β= − ω ω + ϕ

Dónde: t : tiempo ω : Frecuencia angular A : Amplitud

Determine α − β A) ‒1 B) 1 C) 2 D) ‒2 E) 3

4. La ecuación que define la energía interna por mol de

un gas ideal tiene la ecuación: 3U R T2

α β=

Dónde: T : Temperatura

JR 8,31mol K

=×

Determine: α + β

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) ‒1 5. A continuación mostramos la ecuación de estado

para los gases reales (conocida como ecuación de Van der Waals):

( ) T2aP V b R

V + − =

Donde P es presión; V es volumen por mol. Determine la ecuación dimensional de a/b;

si la

ecuación mostrada es dimensionalmente homogénea. A) ML–3T–2N–1 B) M–1L2T–2N C) ML2T–2N–1 D) MLT–2N E) ML–2T2N–1

6. Una masa fluida de densidad (ρ) está girando con una velocidad angular constante (w) alrededor del eje vertical central de un depósito cilíndrico. La presión (P) en un punto ubicado en la dirección radial

está dada por: x y1P A . .w .r2

= + ρ

Halle: x yA

A) M L–1 T–2

B) M LT –2

C) M2 L–2 T –4

D) M1/2 T 1/2 L–1

E) M L–1 T2 7. Dados los vectores mostrados en la figura.

Determine el módulo del vector resultante en función del radio R de la circunferencia.

A) 20R

B) 10R

C) 15R

D) 5R

E) 12R

8. En el hexágono regular de lado “a” se han inscrito los vectores A

, B

, C

y D

, halle el módulo del vector resultante.

A) 2 7a B) 2 2a

C) 2 3a

D) 2 5a E) 2 6a

9. Dados los dos vectores mostrados en la figura.

Determine el módulo de su vector resultante (en cm). El radio de la circunferencia es 5 cm.

A) 12 B) 2 2 C) 6 2 D) 2 3 E) 6

10. Dos vectores de 7 u y 15 u forman un ángulo de 53º.

Halle la medida del ángulo formada por la resultante y el vector de menor magnitud.

A) 45° B) 60° C) 37° D) 16° E) 30º

ρ

w

r

C→

B→

A→

Física Teoría y ejercicios – Semana 1

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Y

X 0

D

A B

C

E

X

Y

Z

0 F

50 u

40 u 80 u

X

Y

0 46º 44º

9º

11. La figura muestra un cubo de 3 m de arista. Calcule el vector unitario del vector resultante de estos vectores.

A) 1 ( i j 2k )6

− + +

B) 1 (i j k )6

− +

C) 1 (i j k )6

− −

D) 1 (i 2j k )6

+ +

E) 1 ( i j 2k )6

− − −

12. Dado el conjunto de vectores mostrado en la figura,

halle la magnitud de la resultante.

A) 85 u

B) 15 u

C) 50 u

D) 35 u

E) 25 u

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones:

I. 1 mN/s se lee como 1 milinewton entre segundo. II. 1 metro joule se escribe como mJ

III. El coulomb es una unidad fundamental

A) FFF B) FFV C) FVF D) VVF E) VVV

2. El desplazamiento de una partícula se mide

mediante la siguiente relación K/ q

0D D e− ρ= Donde e = 2,71; ρ se mide en newton, q en segundos y D en metro. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. 0D se mide en metros. II. K se mide en newton segundo. III. La ecuación es incorrecta por que no debe

existir magnitudes en el exponente

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV

3. En la ecuación: 1x yze

−α = α , z es una densidad volumétrica de masa. Si el producto xy tiene unidades de masa, entonces la dimensión de 2x es:

A) 2 3/2M L B) 2 3M L− C) 1 3/2M L−

D) 1 3/2M L− − E) 2 3/2M L− − 4. La expresión para la fuerza F sobre un cierto sistema

es:

2APF KV

mgh BV= +

−

Dónde: V: m/s ; m: kg ; g: m/s2 ; P: W ; h: m

Encuentre las unidades del cociente KA/B en el Sistema Internacional de Unidades.

A) metro por segundo B) metro C) watts D) joule E) newton

5. Los vectores A

y B

están en el plano XY, si A = B = 3 unidades y hacen ángulos de 30º y 60º, con el eje x, respectivamente, El ángulo que hace la resultante de A

y B

con el eje x, es

A) 16º B) 37º C) 45º D) 53º E) 74º

6. Desde el baricentro de un triángulo equilátero de lado 5 cm se trazan tres vectores dirigidos a los tres vértices del triángulo. Determine la magnitud del vector resultante en cm.

A) 0

B) 0,5

C) 1

D) 2

E) 2,5

7. Determine el ángulo que hacen 2 vectores de igual módulo, si además se cumple que el módulo de su vector suma es dos veces el módulo de su vector diferencia.

A) 37º B) 45º C) 72º D) 53º E) 16º

8. Considere los vectores: A 3i 5j= −

; B 7i 2 j= − +

Determine el vector unitario C

tal que A B C+ +

sea nulo

A) 3 i 4j5+

B) 4 i 3j5+

C) 3 i 4j5

− +

D) 4 i 3j5−

E) 3 i 4j5

− −

Física Teoría y ejercicios – Semana 1

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40 u

20 u

0 θ

θ

20º 10

A

10

5

B

9. Del sistema de vectores mostrado en la siguiente figura, calcule el ángulo θ para que la resultante sea nula.

A) 40º

B) 30º

C) 20º

D) 60º

E) 10º

10. En la figura se observa dos vectores sobre un cubo. Determine en qué relación se encuentran los módulos de los vectores A B−

y A B.+

A) 3/2

B) 1/3 C) 1/3

D) 3/2

E) 2/3 11. Halle la suma de los módulos de los vectores

mostrados en la figura.

A) 68 m

B) 56 m

C) 45 m

D) 16 m

E) 44 m 12. Determine el vector que se orienta desde el punto

A (–1, 3, –2) m hasta el punto B (2, – 6, 4) m.

A) ( )ˆ ˆ ˆ3 i 9 j 6k m− + + B) ( )ˆ ˆ ˆ3 i 9 j 6k m− − −

C) ( )ˆ ˆ ˆ3 i 9 j 6k m− + D) ( )ˆ ˆ ˆ1i 3 j 2k m− + +

E) ( )ˆ ˆ ˆ1i 3 j 2k m− −

13. Calcule el módulo del vector que une el punto A con el punto B, como muestra la gráfica.

A) 15 m B) 20 m C) 10 m D) 25 m E) 30 m

14. Tres vectores forman un triángulo ABC, siendo los

vértices: A(20, 0, 0) m; B(20, 0, 39) m; C(0, 48, 0) m. Calcule la suma de sus módulos. A) 185 m B) 155 m C) 156 m D) 156 m E) 178 m

16

12

16

A

B