UniversidadAutnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Unidad Acadmica de Ingeniera. Programa Acadmico Ingeniera Civil. Anlisis Estructural de Marcos Planos En Excel Leonel Ivn Miranda Mndez Zacatecas, Zac. Julio 2008 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.1 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas CONTENIDO Introduccin Captulo 1 Anlisis Estructural mediante el mtodo de rigidez en formulacin matricial 1.1 Mtodo de la rigidez 1.2 lgebra lineal 1.3 Mtodo de la rigidez en formulacin matricial Captulo 2 Microsoft Excel 2.1 Entorno de trabajo 2.2 Funciones matemticas 2.3 Visual Basic para aplicaciones Captulo 3 Anlisis Estructural de un marco plano en Microsoft Excel 3.1 Explicacin del cdigo fuente 3.2 Forma de introducir los datos 3.3 Forma de interpretar los resultados 3.4 Alcance del programa 3.4.1 Ventajas 3.4.2 Limitaciones Captulo 4 Ejemplos 4.1 Marcos planos con miembros de seccin constante 4.2 Marcos planos con miembros de seccin variable Captulo 5 Conclusiones Referencias Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.2 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Introduccin Conelcrecienteyampliousodelatecnologadigitalquesehadado recientemente es imposible que su influencia no llegue a la rama de la ingenieracivily,demaneramsespecfica,alcampodelaingeniera estructural,tantoasqueexistenenlaactualidadinfinidadde herramientascomputacionalesdirigidasaresolverproblemasde anlisis y diseo de estructuras.ExistenaplicacionescomoporejemploelSAP,Tricalc,uStatic, Etabsentreotras,decarctercomercialmuyconocidasybastante utilizadas por los ingenieros civiles, incluso dentro de las universidades del pas ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la Universidad AutnomadeZacatecasexistenprogramascomputacionalesparael anlisis de estructuras. Elanlisisdeestructurasmediantetecnologasdigitalesesmuy recurrido ya que es de enorme utilidad al realizar clculos laboriosos y extremadamenterepetitivos,evitandoascometerposibleserrores.Sin embargo,laparte importante ycrucial deun problema de estetipo no es el realizar las operaciones requeridas por el mtodo de anlisis, sino plantear el problema en cuestin de forma correcta. La tarea que lleva a cabo una computadora en el anlisis estructural es tan slo una parte deunprocesodondeelingenieroobservaelproblema,loplantea, introduceenlacomputadoralosdatoscorrectosy,finalmente, interpretalosresultadosobtenidos,entonces,noesposiblequeuna mquinadetecteunerrorenelplanteamientodelproblema,por consiguientesiguesiendoresponsabilidaddelingenieroelofrecer resultados correctos. Esobvioquecuandouncalculistahaceusodeunprograma computacional, debe de estar familiarizado con el procedimiento que la mquinaestrealizando,consecuentementecualquieraquedesee delegarelclculodeunaestructuraaalgoritmoscomputacionales, primero debe saber cmo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayado Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.3 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas ysetieneciertaexperienciasepuedehacerusodeunprograma computacional como apoyo en el anlisis, para esto se ha realizado un programa computacional que pueda servir de ayuda para el anlisis de estructuras, dicho programa es una hoja de clculo en Microsoft Office Excel,dichahojaresuelvemarcosplanosmedianteelmtodo matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el nmero mximo degradosdelibertaddebesercomomximode60,elprograma resuelve problemas con elementos de seccin variable. Seeligieltemaparaafianzarlosconocimientossobreanlisis estructural,ademspara alentaraotrosestudiantesadesarrollarsus propiosprogramas,yaqueesunmtododeautoaprendizaje,tambin para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se conozca a grandes rasgos la mecnica del mismo.Elobjetivonoeselcompetirconlosprogramasdesuramoque existen en el mercado, ya que stos son en su mayora desarrollados no por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios en leguajesdeprogramacin,sinembargosecontribuyeenqueel programacomoestudiantedeingenieracivilestorientadonoaun uso profesional sino a un uso didctico que sirva a los intereses de los estudiantes de ingeniera civil. Asimismo,contrarioaloquesepodrapensar,elprograma computacionaltieneventajassobreelrestodelosqueexistenenel mercadoencuanto alhechodequestepuedeservircomounprimer acercamientoalclculoestructuralmedianteherramientas computacionales,yaquedebidoasusimplicidadserfcilparaun estudiante comprender el mecanismo de operacin. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.4 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas CAPTULO 1 ANLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIN MATRICIAL 1.1 Mtodo De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura, concepto que Juan Toms Celigeta, en su Curso de Anlisis Estructural, define de la siguienteforma:Unaestructuraes,parauningeniero,cualquiertipo de construccin formada por uno o varios elementos enlazados entre s queestndestinadosasoportarlaaccindeunaseriedefuerzas aplicadas sobre ellos. (Celigeta 1998: 1) UnconceptotambindefinidoporRobertoA.Falcn,aunquede maneramstcnica:Unaestructuraesunacadenaelsticaestable, compuesta por un nmero finito de elementos unidos entre si mediante un nmero finito de juntas. (Falcon 2004: 5)Consecuenciadeloanteriorsedicequelasestructurasestn formadas por miembros unidos entre s (en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarn elementos y a las uniones y voladizos se lesdesignarnudos),loscualesseencargandemantenerestableun estadodefuerzas(ounacarga),loquenosllevaadefiniranlisis estructural: Consisteendeterminarlosesfuerzosinternosylasdeformacionesquese originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuarelanlisisdeunaestructuraesnecesarioprocederprimeroasu idealizacin,esdeciraasimilarlaaunmodelocuyoclculoseaposible efectuar.Estaidealizacinsehacebsicamenteintroduciendoalgunas suposicionessobreelcomportamientodeloselementosqueformanla estructura,sobrelaformaenquestosestnunidosentres,ysobrela forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su anlisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las tcnicas propias del Anlisis Estructural. Para este anlisissiempresedispone,comodatosdepartida,delosvaloresdelas accionesexterioresylasdimensionesdelaestructura(Celigeta1998: 3) Entonces el objetivo del anlisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura, para esto se Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.5 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas puedenseguirmuchosmtodos,algunosdeloscualesseenumerana continuacinyseclasificanencuatrogruposdeacuerdoasu naturaleza. 1.Solucionesanalticas:consistenenresolverdirectamentelas ecuacionesquecontrolanelproblema,porloquenormalmente slo se pueden aplicar a casos sencillos. oIntegracin de la ecuacin de la elstica en v. oTeoremas de Mohr para vigas. oMtodo de la viga conjugada para vigas. 2.Empleo de las ecuaciones de la esttica: slo se pueden aplicar a estructuras isostticas. oMtodo del equilibrio de los nudos para armaduras. oMtodo de las secciones para armaduras. oMtodo de la barra sustituida para armaduras. 3.Mtodos basados en la flexibilidad. oPrincipiodeltrabajovirtualcomplementarioyprincipiodel potencial complementario estacionario. oSegundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. oMtodogeneraldeflexibilidad,basadoenelsegundoteorema de Engesser. oMtodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas. oFrmula de los tres momentos para vigas. oPrincipio de Mller-Breslau para cargas mviles. 4.Mtodos basados en la rigidez. oPrincipiodelTrabajoVirtualyprincipiodelpotencialtotal estacionario. oPrimer teorema de Castigliano. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.6 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas oMtododerigidezenformulacinmatricial,paraestructuras de cualquier tipo. oMtododeladistribucindemomentos,odeCross,para prticos planos. Detodoslosmtodosanteriores,paraestetrabajoelquenos interesaeselmtododerigidezenformulacinmatricial,debidoa su fcil implementacin y sistematizacin en computadoras.Paraexplicarelmtododelarigidezhacefaltadefinirciertos conceptos e hiptesis necesarios. Se dice que un modelo matemtico es msexactomientrasmsvariablesseinvolucrenenelmismo;enel casodelanlisisestructuralintervienenmuchsimasvariablescomo son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que estnunidas,tambinintervienenlosprocedimientosdeconstruccin, los cambios de temperatura, la calidad de los materiales, etc. En lo que ataeanuestrocasomuchasdeestasvariablessedespreciarn, suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuacin se enumeran las hiptesis: 1.-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales. 2.-Movimientospequeoscomparadosconlasdimensionesdela estructura. 3.-Se desprecian los fenmenos que afectan y varan la rigidez. 4.-Los materiales son homogneos e istropos 5.-Lasunionesdeloselementosydelaestructurason ortogonales. 6.-Losdesplazamientosyelsistemadecargasestnsobreun plano (estructura en dos dimensiones). 7.-Sedesprecianlasdeformacionesaxialesylastorsionesenel eje longitudinal de los elementos. 8.-Nonecesariamentelaseccindeloselementosdebeser constante, sin embargo debe ser rectangular. Las hiptesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condicionesquedebecumplirunaestructuraparaqueseapliqueel Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.7 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas principio de superposicin. Dicho principio establece que los efectos que produceunsistemadefuerzasaplicadoaunaestructura,son equivalentesalasumadelosefectosproducidosporcadaunadelas fuerzas del sistema actuando independientemente.Dentro de la estructura, en cualquier elemento, seccin o nudo, la sumade las fuerzasymomentosser cero, en estecaso, como es una estructura plana, se debe cumplir que: = 0xF = 0yF= 0 MParaanalizarunaestructuraprimerosedebeevaluarsu estabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructura mantieneelequilibroparacualquiercasoposibledecargas.Siuna estructuraresultaserinestableentoncesnotienecasoseguirconel anlisis y deber replantearse una nueva estructura. En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a determinar su grado de indeterminacin. Como se mencion anteriormente, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, entonces, el grado de indeterminacinser elnmero deincgnitas que excedan el nmero de ecuaciones disponibles. Las incgnitas en el mtodo de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros.Estollevaadefinireltrminogradodeindeterminacin cinemtica,quenoesotracosaquelasumadetodoslos desplazamientos independientes en los nudos. Ahora bien, ya que se han definido las hiptesis y las condiciones delaestructura,sedebehablardelmtodoqueseusar,asaber,el mtodo de la rigidez (o de los desplazamientos). Dicho mtodo se llama asporquepartedeladefinicinderigidez,lacualnosdicequela fuerzaqueactasobreuncuerpoesigualalarigidezdelmismo multiplicadaporladeformacinquesufredebidoadichaaccin.En estemtodoseutilizanaccionesproducidaspordesplazamientos unitarios,stassontraslacionesorotacionesunitarias,ylasacciones sern fuerzas o momentos. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.8 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen como rigideces. Paraplantearloanteriorseprocedeaaislarunelementoy determinar sus rigideces. jMkM1 = uFigura 1.1-1L Enlafiguraanteriorsedicequeenelextremoj(izquierdo)del elementoseproduceundesplazamiento giratoriounitario.Silafuerza necesariaparaproducirdichodesplazamientoesigualalarigidezdel elementomultiplicadaporelmismodesplazamiento A = k Fy 1 = A, entonces k F =. Por el mtodo de la viga conjugada: EIMkEIMjFigura 1.1-2L 0322 3120 = =LEIL MLEIL MMkjj;k jM M 2 = Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.9 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Alprovocarungirounitarioenelextremoj con jM segenera 2jkMM= , es decir, existe un factor de transporte de 21. u = =V RjkREIMkEIMjFigura 1.1-3L El cortante enj es el valor del giro en ese puntou =jR = +|.|

\|+|.|

\| = 0312 322; 0jkjkLR LLEIM L LEIMMComo 2jkMM=0121620312 213222 2= + + = + |.|

\|+ |.|

\|jj jjj jLREIL MEIL MLR LLEIML LEIM ;4j jRLEIM= Como1 = =ujR;4LEIMj =;2LEIMk = De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se aplica en el extremo izquierdo y en el derecho, tambin cuando se aplica unatraslacinenelextremoizquierdoyenelderechoylasrigideces correspondientes se muestran en las figuras 1.1-4, 1.1-5, 1.1-6 y 1.1-7. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.10 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 26LEI26LEILEI 2LEI 41 =juj kFigura 1.1-4 26LEI26LEILEI 2LEI 41 =kujkFigura 1.1-5 312LEI26LEI26LEI312LEIj k1 = A jFigura 1.1-6 312LEI26LEI26LEI312LEIj k1 = AkFigura 1.1-7 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.11 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento seran: 2wL2wL122wL122wLFigura 1.1-8 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.12 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 1.2 lgebra Lineal El lgebra lineal incluye la teora y la aplicacin de sistemas lineales de ecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propsito de este trabajo, bastarn los siguientes: Elprimerconceptoadefinireseldematriz,queesunarreglo rectangulardeelementosennuestrocasonmerosescritosentre corchetes, por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre: ((((

1000 $ 800 $ 750 $1600 $ 1550 $ 1400 $1650 $ 1600 $ 1500 $321SucursalSucursalSucursalMarzo Febrero Enero Comopuedeverselamatrizanteriortiene3renglonesy3 columnas, entonces se dice que la matriz es de ordende 3x3 siendo el primertrminoelnmeroderenglones,elcualsedenominarmyel segundo trmino ser el nmero de columnas y se le denominar con la letra n. De manera genrica una matriz cualquiera den m ser: | |(((((

= =mn m mnnija a aa a aa a aa A.........2 12 22 211 12 11 Paradesignarunelementodelamatrizserecurreprimeroal rengln y luego a la columna, por ejemplo el elemento 23a de la matriz de ventasser$1600quecorrespondealasucursal2,enelmesde marzo.Cuandoenunamatrizmon esiguala1sedicequeesun vector, si m = 1 entonces es un vector rengln y si1 = nser un vector columna. Matrices especiales Existenciertasmatricesquedebernmencionarsedebidoasu utilidad en el mtodo de le rigidez: Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.13 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Matrices cuadradas.-n m =Matriz simtrica.- ji ija a =Matriz diagonal.-0 = =ji ija aexcepto cuandoj i =Matriz identidad.-0 = =ji ija aexcepto cuandoj i =entonces1 =ija Adicin de Matrices Laadicinsedefinenicamenteparamatrices| |ija A = y| |ijb B =del mismo tamao y su suma denotada por A+B se obtiene sumando loselementoscorrespondientes.Lasmatricesdeordendiferenteno pueden sumarse. Multiplicacin por escalares Elproductodecualquiermatriz| |ija A = den m ycualquier escalar(unescalaresunnmerootambinesunamatrizdeorden 11)c denotadoporcAeslamatriz| |ijca cA = den m obtenidaal multiplicar cada elemento de A por c. Multiplicacin de matrices El producto C=AB (en este orden) de una matriz| |ija A =de A An m yunamatriz| |ijb B = de B Bn m estdefinidosiyslosi B Am n = ,es decir,elnmeroderenglonesdelsegundofactorBdebeserigualal nmerodecolumnasdelprimerfactorAyentoncessedefinecomola matriz| |ijc C =de B An m con elementos: j n in j i j inkkj ik ijA AAb a b a b a b a c + + + = = =2 2 1 11 Transpuesta de una matriz Resultatildefinirlatranspuestadeunamatriz| |ija A = como | |jiTa A= . Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.14 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Inversa de una matriz Para el mtodo de las rigideces nicamente se utilizarn inversas dematricescuadradas,aspueslainversadeunamatriz| |ija A = de n nse denota por 1 Ay es una matriz den ntal queI A A AA = = 1 1 donde I es una matriz identidad de ordenn nSi A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa, entonces A se llama matriz singular. Determinante de una matriz Undeterminanteesunescalarasociadoaunamatriz.Seauna aplicacinunoauno ()o delconjunto { }n , , 4 , 3 , 2 , 1 sobresmisma,en este caso el nmero de permutaciones ser! n . Se dice queoes par o impar si hay un nmero par o impar de parejas ( ) ijtal quej i > , si oes par,lapermutacinespositiva,sio esimpar,lapermutacines negativa. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) = = = = = =+ = =+ = =+ = =1 3 , 1 3 , 2 1 , 2 2131 2 , 3 2 , 1 3 , 1 1323 1 , 2 1 , 3 2 , 3 3212 2 , 1 2 , 3 1 , 3 3122 1 , 3 1 , 2 3 , 2 2310 3 , 2 3 , 1 2 , 1 123 Sea el determinante de la matriz cuadrada| |ija A =que se denota porA , la suma calculada de todas las permutaciones 32 23 11 33 21 12 31 12 1332 21 13 31 23 13 33 22 1133 32 3123 22 2113 12 11a a a a a a a a aa a a a a a a a aAa a aa a aa a aA + += ((((

= Menores y cofactores Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.15 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas ((((

=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aALos menores son: 22 2112 113323 2113 113223 2213 123132 3112 112333 3113 112233 3213 122132 3122 211333 3123 211233 3223 2211a aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aM= = == = == = = Y los cofactores son: 33 33 32 32 31 3123 23 22 22 21 2113 13 12 12 11 11M C M C M CM C M C M CM C M C M C+ = = + = = + = =+ = = + = Inversin de una matriz por el mtodo de la matriz adjunta SeaunamatrizcuadradaAendondecadaelemento ija se remplazaporelcofactor ijC ,aestamatrizselellamamatrizde cofactores. A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz adjuntaysedenotaas | |TijC adjA = .Sicadaelementodelamatriz adjunta se divide entre el determinante,entonces resulta la inversade la matriz, siempre y cuando el determinante sea diferente de cero. (((((((((

= =ACACACACACACACACACAadjAAnm n nn 2 132 22 121 21 111 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.16 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Enestebreverepasodelgebralinealsehadefinidolas herramientasnecesarias queservirnpararelacionarloselementosde unaestructura,ascomosuscargas,deformacionesyreaccionesen unaformamatricial,loanteriorparapodersistematizarun procedimientoquellevealasolucindelproblemaparticularquese busca. 1.3 Mtodo De Rigidez En Formulacin Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento Como se ha visto ya en la primera parte de este captulo, para aplicar el mtododelasrigidecesesnecesarioaislarunelementoysuponer desplazamientosunitariosdetraslacin yderotacinencada extremo de dicho elemento, para as determinar las rigideces. Al considerar dos traslacionesydosrotacionestenemoscuatrodiferentesformas enque sepuededeformarunelementoyparacadasituacinseobtendrn cuatroreaccionesasaber,dosmomentosydoscortantes.Sepuede relacionartodoestoenunamatrizdenominadaKparacadaelemento as: (((((((((

== A = A = =3 3 2 23 3 2 22 22 212 12 6 612 12 6 66 6 4 26 6 2 41 1 1 1LEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEIVVMMKkjkjk j k ju u Lamatrizanteriorrecibeelnombredematrizderigidezdel elemento y, como se puede observar, es simtrica. Cuando un elemento es de seccin variable conviene expresarla de la siguiente manera: Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.17 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas (((((((((

+ + + + + ++++ + ++ + + + +++++== A = A = =221 12 22 11221 12 22 11 21 22 21 11221 12 22 11221 12 22 11 12 22 12 1121 22 12 2222 2121 11 12 1112 111 1 1 1Lk k k kLk k k kLk kLk kLk k k kLk k k kLk kLk kLk kLk kk kLk kLk kk kVVMMKkjkjk j k ju u La matriz de rigidez queda en funcin de la longitud del elemento yde los elementos 22 21 12 11, , , k k k k . Para calcular la matriz de rigidez de un miembrooelementodeseccinvariableserecurrealadefinicinde flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez.Si se toman los elementos 22 21 12 11, , , k k k k de la matriz de rigidez ((

=22 2112 11k kk kLEIKLa flexibilidad ser: ((

= =22 2112 11 1f ff fEILK FY los desplazamientos sern: ((

((

=((

jijiMMf ff fEIL22 2112 11uu Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacin de rigidez: ((

((

=((

jijif ff ff f fLEIMMuu11 1212 22212 22 111 Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccin variable sern: 212 22 112211f f ffLEIki= Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.18 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 212 22 111212f f ffLEIki =212 22 111122f f ffLEIki= De donde 11f , 12f , 22fson: ( )}=HxidxIx LLIf02311 ( )}=HxidxIx L xLIf0312 }=HxidxIxLIf02322 Vector de cargas del miembro o elemento Enelcasodelascargasque actansobreunelementotambin sepuedeasignarunamatrizomsespecficamenteunvectorcuyo nombreservectordecargasQ.Porejemploparaelcasodeun elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el vector de cargas ser: (((((((((

=22121222wLwLwLwLQ Matriz de rigidez de la estructura Lamatrizderigidezdelaestructuraseobtienerelacionandolas matricesdeloselementosdeacuerdoaldesplazamientoenqueestn involucrados. La nueva matriz ser una matriz cuadrada de orden igual algradodeindeterminacincinemticadela estructuraysedenotar por la letra S. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.19 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Vector de cargas de la estructura Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cadaunodeloselementosde acuerdo aldesplazamiento enque estn involucrados y se representar por la letra J. Deformaciones en los nudos Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector decargasdelaestructurasepuedenobtenerfcilmentelas deformaciones en los nudos as: | | | | | | as c de Vector estructura la de rigidez de Matriz nes Deformacio arg1 = || | | | | J S D1 = Reacciones finales en los nudos Paraconocerlasreaccionesfinalessemultiplicalamatrizde rigidezdecadaelementoporsudeformacinrealysesumalacarga expresada en su vector de carga correspondiente. | | | | elemento as c de Vector elemento rigidez MatrizVVMMjijijijiarg +((((((

AA=((((((

uu | || | | | Q D K Ri + = Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.20 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas CAPTULO 2 MICROSOFT EXCEL 2.1 Entorno de Trabajo Paraelpropsitoquesepersigue,separtirdelhechodequela mayoraconocelosaspectosmsbsicosdeExcelyslo selimitara describir los componentes que sern de especial utilidad en el programa a desarrollar. Un archivo de Excel es en realidad un libro de clculo que consta de una o ms hojas, cada hoja contiene 16, 777, 216 campos llamados celdas ordenados en 65, 536 filas y 256 columnas; estas celdas pueden contenertexto,nmeros,fechasyfrmulas.Enlasiguientefigurase muestra un libro abierto en Excel Figura 2.1-1 Comopuedeverse,lasfilasorenglonesestnnumeradasen formasucesiva1,2,3etc.,mientraslascolumnasestnnombradas conletrasdelabecedarioA,B,Cetc.Enelejemploanteriorlacelda seleccionadaesladelafila3,columna2,oennotacinpropiadel Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.21 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Excel,eslaceldaB3.EnelentornodetrabajodeExcelpueden seleccionarse varias celdas a la vez, a un conjunto de celdas se le llama rangoysunotacinconsisteenescribirlaprimeraceldaarribaala izquierda, luego separar con dos puntos y escribir la ltima celda abajo aladerecha,porejemplo,siseleccionamoslasceldasA1,A2,A3,B1, B2yB3sedicequehemosseleccionadoelrangoA1:B3.Abajoenla izquierdapuedenobservarsetresfichastituladasHoja1,Hoja2y Hoja 3, que son las hojas que conforman el libro. 2.2 Funciones Matemticas Como ya se mencion, las celdas pueden contener frmulas y para que unafrmulanoseaconfundidacontextosimple,stassiempredeben empezar con el signo igual (=), las frmulas estn compuestas de una o ms funciones. Har hincapi en algunas funciones que si bien no son todas las disponibles sern las necesarias para resolver un problema de anlisisestructural.Acontinuacinsepresentaunatablacondichas funciones: FUNCIN SINTAXIS DESCRIPCINSUMA SUMA(nmero1;nmero2; ...)Suma todos los nmeros en los rangos indicadosMAX MAX(nmero1;nmero2; ...)Devuelve el valor mximo de un conjunto de valores.MMULT MMULT(matriz1;matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices. El resultado es una matriz con el mismo nmero de filas que matriz1 y el mismo nmero de columnas que matriz2.MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz. Ademsdelasfuncionesanteriores,tambinenunaceldase puedenrealizaroperacionesdirectas,porejemplosiescribimosen cualquiercelda=5*8+1laceldamostrarelresultadodeesta operacin,osea41,deigualformasienotraceldaescribimos =A1+3 entonces se sumar el valor de la celda A1 ms tres. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.22 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 2.3 Visual Basic para aplicaciones. Excelcuentaconunlenguajedeprogramacincomouna extensindeVisualBasicdenominadoVisualBasicparaAplicaciones, dicholenguajese ajusta alos elementosdeExcel que semencionaron anteriormente,esdecir,libros,hojas,celdas,funciones,etc.,esto permiterealizarrutinasautomatizadasparasimplificartrabajo.A continuacin se explica como hacer uso de esta caracterstica de Excel. Figura 2.1-2 EnelmenHerramientas>Macro>EditordeVisualBasic,obien pulsando Alt+F11, se abre una ventana como sta: Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.23 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Figura 2.1-3 El espacio a la derecha sirve para escribir el cdigo que deseemos ejecutar,esdecir,aquescribiremostodaslasinstruccionesque deseamos que el programa ejecute, en este entorno se le llama macro. Unamacroestconstituidadeunoomsbloquesde instrucciones llamados procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo1 Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3 End Sub Paradardealtaunprocedimientosedebeasignarleunnombre anteponiendolainstruccinSub.Acontinuacinseescribelalistade tareas que llevar a cabo dicho procedimiento. En el ejemplo anterior, el procedimiento se llama Ejemplo1 y la tarea que va a realizar es llamar a Excel Application llamar al libro 1 WorkBooks(1), llamar a la hoja 1 WorkSheets(1), y al rango A1 asignarle el valor 2+3 y se mostrar Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.24 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas elresultado5,finalmenteseterminaelprocedimientoconla instruccin End Sub.Enlamayoradeloscasos,Applicationnosernecesario especificarlo, ya que en todo momento se estar trabajando en la misma aplicacin, o sea Excel. A menos que sucediera lo contrario, Workbook tampocosernecesarioporquesetrabajarconunsololibro. Worksheetsssernecesarioespecificarlo,yaquesetrabajarncon diferentes hojas y, obviamente, Range tambin deber estar definido. Variables Comoentodolenguajedeprogramacinexistendatosvariables quenossirvenparaalmacenardiferentesvaloressegnlorequierael programa. Para ilustrar lo anterior vase el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo2 i = 0 i =WorkSheets(1).Range("A1").ValueEnd Sub Enesteejemplolavariableitomaelvalorcontenidoenlacelda A1. En VBA tambin se pueden definir variables del tipo matriz como se hace en el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo3 Dim m(0,3) m(0,0) =WorkSheets(1).Range("A1").Value m(0,1) =3.15 m(0,2) =WorkSheets(1).Range("A1").Value+3.15 m(0,0) = m(0,0) End Sub Enelejemplo3sedeclaraunamatrizdeunrenglnycuatro columnas(amenosqueseespecifiquelocontrario,elnmerode renglonesycolumnassecuentadesdecero,osealamatrizmtieneel rengln0ylascolumnas0,1,2,3).Obviamentelasmatricespueden contener diferentes tipos de datos, por ejemplo nmeros, texto, etc. Pero enVBAsi no se lesindicauntipo dedatos especficosetomaun tipo Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.25 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas variable,perohayquesercongruenteenelmomentoderealizar operaciones ya que si se multiplica un nmero por un texto, devolver un error. Instrucciones lgicas Existendeterminadassentenciasoinstruccioneslgicasqueson degranutilidadpara evaluardatos,unadelasmsimportantesesla sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es: If condicin Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else] Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque: If condicin Then [instrucciones] [ElseIf condicin-n Then [instrucciones_elseif] ... [Else [instrucciones_else]] End If A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento: Sub ejemplo4 Dim m(0, 3) m(0, 0) = 1 m(0, 1) = 5 m(0, 2) = 3 valor1 = m(0, 1) valor2 = m(0, 2) If valor1 > valor2 Then m(0, 3) = valor1 Else m(0, 3) = valor2 End If End Sub Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.26 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores alostresprimeroselementos,despussealmacenaenlavariable valor1elvalordelelementodosyenlavariablevalor2elvalordel elementotres.Acontinuacinseevalasilavariablevalor1esmayor quevalor2,encasodequeseaverdaderoentonceselelementocuatro de la matriz m ser igual a la variable valor1, si no entonces ser igual a la variable valor2 y se termina la instruccin con End If. Instrucciones cclicas Cuandosetrataderepetirunaseriedetareasescuando intervienenestetipodeinstrucciones,unainstruccinmuyutilizada, ser la instruccin For, a continuacin se indicar su sintaxis y se dar un ejemplo de su utilizacin. For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones] Next [contador] Enelsiguiente ejemplose escribirnlosnmerosdel1al10en las primeras 10 celdas de la columna uno. Sub Ejemplo5 For i = 1 to 10 Step 1 WorkSheets(1).Cells(i,1) = i Next i End Sub Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.27 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas CAPTULO 3 ANLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCEL 3.1 Explicacin Del Cdigo Fuente Paraexplicarelcdigofuenteesnecesariomencionaralgunos detalles acerca de cmo se van a ordenar los datos en el libro de Excel. Ellibrovaacontenerseishojas,lahojaunosellamar CONFIGURACIN, en sta se van a escribir los datos necesarios para elclculo,lashojasdos,tres,cuatroycinco,llamadasPASO_1, PASO_2,PASO_3yPASO_4,respectivamenteseescribirnlos resultados y enlahojaseis tituladaSECCIONESsealmacenarn los tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el clculo. AcontinuacinseexplicaelprocedimientollamadoPASO_1,el cual calcula y escribe en la hoja PASO_1 las matrices de rigidez de los elementos de la estructura.(Eltextocolornegro es elcdigofuente, el texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1() Worksheets("PASO_1").Select 'Selecciona la Hoja llamada "PASO_1" Dim mrei(4, 4)'Declara matriz de elementos de 4 x 4 numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el numero de elementos Worksheets("PASO_1").Cells.Clear 'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1" RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglones For i = 1 To numel 'Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value Se guarda en la variable L la longitud del elemento iner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 3).Value Se guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento elas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 2).Value Se guarda en la variable elas el mdulo de elasticidad del elemento tipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 8).Value Se guarda en la variable tipo el tipo de seccin del elemento Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.28 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Select Case tipo Se evala el tipo de seccin y de acuerdo a sta se calculan los coeficientes de rigidez Case 1 Caso uno la seccin es constante mrei(1, 1) = (4 * iner * elas) / L mrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / L Case 2 Caso dos la seccin es vara de una altura en j a otra altura en k hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk a = 1 f11 = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Case 3 La seccin varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + Integral(2, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + Integral(3, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.29 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Case 4 La seccin varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value h = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 6).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk If h < hmin Then hmin = h If hj = hk = h Then hmin = h f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(2, L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(3, L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) End Select Termina el clculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularn los dems elementos de la matriz de rigidez mrei(1, 3) = (mrei(1, 1) + mrei(2, 1)) / L mrei(1, 4) = -(mrei(1, 1) + mrei(2, 1)) / L mrei(2, 3) = (mrei(2, 2) + mrei(1, 2)) / L mrei(2, 4) = -(mrei(2, 2) + mrei(1, 2)) / L mrei(3, 1) = mrei(1, 3) mrei(3, 2) = mrei(2, 3) mrei(3, 3) = (mrei(1, 1) + mrei(2, 2) + mrei(2, 1) + mrei(1, 2)) / (L ^ 2) mrei(3, 4) = -(mrei(1, 1) + mrei(2, 2) + mrei(2, 1) + mrei(1, 2)) / (L ^ 2) mrei(4, 1) = mrei(1, 4) mrei(4, 2) = mrei(2, 4) mrei(4, 3) = mrei(3, 4) Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.30 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas mrei(4, 4) = mrei(3, 3) 'Una vez obtenida la matriz del elemento "i" llamada mrei se escribe en la Hoja "PASO_1" Worksheets("PASO_1").Cells(1, 1) = "MATRICES DE ELEMENTOS" titulo (Worksheets("PASO_1").Range(Cells(1, 1), Cells(1, 4))) For r = 1 To 4 'Ciclo para contar los Renglones por matriz For c = 1 To 4 ' Ciclo para contar las columnas por matriz Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c).Value = mrei(r, c) 'Se escribe la matriz "mrei" en la hoja "PASO_1" dar_formato (Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c)) Next c RENGLON = RENGLON + 1 'Se aumenta el rengln Next r Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON - 3, 5) = "ELEMENTO" & i 'Se enumeran las matrices titulo (Worksheets("PASO_1").Range(Cells(RENGLON - 3, 5), Cells(RENGLON, 5))) Next i error: End Sub Termina el Prodecimiento PASO_1 Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la estructura en lo que ser el procedimiento PASO_2 Sub PASO_2() Worksheets("PASO_2").Select 'Se selecciona la Hoja "PASO_2" gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("d:g")) 'Se obtiene nmero de direcciones de desplazamientos numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el numero de elementos Worksheets("PASO_2").Cells.Clear ' Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_2" RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglones Worksheets("PASO_2").Cells(1, 1) = "MATRIZ DE RIGIDEZ" & "DE " & gdl & " X " & gdl titulo (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(1, 1), Cells(1, gdl))) '****** CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ ****** For r = 2 To gdl + 1 For c = 1 To gdl Worksheets("PASO_2").Cells(r, c) = 0 Next c Next r '****** CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ****** For i = 1 To numel Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.31 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas For r = 1 To 4 For c = 1 To 4 With Worksheets("PASO_2") If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value = "" Or Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value = "" Then Else .Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value) = .Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value) + Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c).Value End If End With Next c RENGLON = RENGLON + 1 Next r Next i Worksheets("PASO_2").Cells(1, gdl + 2) = "VECTOR DE CARGAS" & "DE " & gdl & " X " & 1 titulo (Worksheets("PASO_2").Cells(1, gdl + 2)) '****** CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL ****** RENGLON = 1 For i = 1 To numel For c = 4 To 5 If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c).Value = "" Then Else Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c) + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c) + 1, gdl + 2) + Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 4) * -1 'JLu End If If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2).Value = "" Then Else Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2) + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2) + 1, gdl + 2) + Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 6) * -1 'JLr End If Next Next dar_formato (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl))) dar_formato (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(2, gdl + 2), Cells(gdl + 1, gdl + 2))) End Sub Termina procedimiento PASO_2 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.32 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Ahorayasedisponedelamatrizderigidezdetodoslos elementos, la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de laestructura,ahorasecalculanlasdeformacionesenlosnudoscomo se puede observar en el procedimiento PASO_3 Sub PASO_3() '*********PASO #3, OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA ********* Worksheets("PASO_3").Select ' Se selecciona la Hoja "PASO_3" Worksheets("PASO_3").Cells.Clear 'Se borran los Datos existentes en la hoja "PASO_3" gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("D:G")) 'Se obtiene el nmero de desplazamientos Worksheets("PASO_3").Cells(1, 1) = "INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ" & "DE " & gdl & " X " & gdl titulo (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(1, 1), Cells(1, gdl))) Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl)).Select ' Se selecciona el rango en donde se escribir la inversa de la matriz de rigidez de la estructura Selection.FormulaArray = "=MINVERSE(PASO_2!R2C1:R" & gdl + 1 & "C" & gdl & ")" ' Se obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 2) = "VECTOR DE CARGAS" & "DE " & gdl & " X " & 1 titulo (Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 2)) '***** CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS ****** For r = 1 To gdl For c = 1 To gdl Worksheets("PASO_3").Cells(r + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(r + 1, gdl + 2) Next c Next r Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 4) = "DEFORMACIONES EN LOS NUDOS" titulo (Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 4)) Worksheets("PASO_3").Range(Cells(1 + 1, gdl + 4), Cells(gdl + 1, gdl + 4)).Select 'Se selecciona el rango donde se escribir el producto Selection.FormulaArray = "=MMULT(R2C1:R" & gdl + 1 & "C" & gdl & "," & "R2" & "C" & gdl + 2 & ":R" & gdl + 1 & "C" & gdl + 2 & ")" 'Se multiplica Suu^-1 * JLr dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl))) dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, gdl + 2), Cells(gdl + 1, gdl + 2))) dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, gdl + 4), Cells(gdl + 1, gdl + 4))) End Sub Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.33 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Parafinalizarresta calcularlasreaccionesdecada elemento,las cuales se obtienen en procedimiento PASO_4 Sub PASO_4() '*********PASO #4, ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA EXTREMO********* Worksheets("PASO_4").Select ' Se selecciona la Hoja "PASO_4" numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el numero de elementos gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("D:G")) 'Se obtiene nmero de direcciones de desplazamientos Worksheets("PASO_4").Cells.Clear ' Se borran los datos existentes en la hoja "PASO_4" Worksheets("PASO_4").Cells(1, 1) = "MATRICES DE ELEMENTOS" titulo (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(1, 1), Cells(1, 4))) '****** CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA "PASO_1" EN LA HOJA "PASO_4" For r = 1 To numel * 4 For c = 1 To 4 Worksheets("PASO_4").Cells(r + 1, c) = Worksheets("PASO_1").Cells(r + 1, c) dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(r + 1, c)) Next Next For r = 1 To numel Worksheets("PASO_4").Cells(r * 4 - 2, 11) = "ELEMENTO" & r titulo (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(r * 4 - 2, 11), Cells(r * 4 + 1, 11))) Next r Worksheets("PASO_4").Cells(1, 6) = "REACCIONES EN LOS NUDOS" titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 6)) Worksheets("PASO_4").Cells(1, 8) = "VECTOR DE CARGAS" titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 8)) Worksheets("PASO_4").Cells(1, 10) = "REACCIONES FINALES" titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 10)) '****** CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA "PASO_3" A LA "PASO_4" Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA ELEMENTO RENGLON = 1 For i = 1 To numel For r = 1 To 4 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.34 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value = "" Then Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value = Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value + 0 dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6)) Else Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value = Worksheets("PASO_3").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, gdl + 4).Value + 0 dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6)) End If RENGLON = RENGLON + 1 Next Next '****** CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS ELEMENTOS EN LA HOJA "PASO_4" RENGLON = 1 For i = 1 To numel For r = 1 To 4 If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 7).Value = "" Then Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8).Value = 0 dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8)) Else Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8).Value = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 7).Value + 0 End If RENGLON = RENGLON + 1 Next Next '****** CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO RENGLON = 1 For i = 1 To numel Worksheets("PASO_4").Range(Cells(RENGLON + 1, 10), Cells(RENGLON + 4, 10)).Select Selection.FormulaArray = "=MMULT(R" & RENGLON + 1 & "C1:R" & RENGLON + 4 & "C4,R" & RENGLON + 1 & "C6" & ":R" & RENGLON + 4 & "C6)+R" & RENGLON + 1 & "C8:R" & RENGLON + 4 & "C8" dar_formato (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(RENGLON + 1, 10), Cells(RENGLON + 4, 10))) RENGLON = RENGLON + 4 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.35 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Next End Sub En esencia el procedimiento para el clculo de una estructura se realizaconlosprocedimientosanteriores,sinembargosehanomitido detalles menores del cdigo original de este trabajo por la sencilla razn dequeseraintilsaturardefuncionesyprocedimientosque,sibien sontiles,nosonnecesariospararesolverelproblemaencuestin; entoncespodradecirsequeestecdigofuenteesunaversin simplificadadelprogramaoriginal,sinembargoenloscaptulos siguientesseexplicarlaformadeintroducirlosdatosconbaseal programa original. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.36 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 3.2 Forma De Introducir Los Datos En este captulo se explica la forma en que el usuario puede introducir losdatosenlahojadeclculo,elprocesoesbastantesencillo,sin embargoesaqudondeseponenenprcticalosconocimientosyla capacidadporpartedelusuariodeplantearelproblema adecuadamente,enespecialendetectarlosgradosdelibertaddela estructura.Enelcaptuloanteriorparafinesdeexplicarelcdigo fuente se mencion que el libro de Excel contiene seis hojas de clculo, laprimerahojaCONFIGURACINesdondesehadeintroducirla informacin,necesariaparaelclculo,quesepuedehacerdeforma manualohaciendousodeelcuadrodedilogodeconfiguracin haciendoclicenbotnCONFIGURACINdelabarradeherramientas adjunta al libro de Excel. En la figura 2.1-4 se muestra dicha hoja. Figura 2.1-4 En la columna A titulada ELEMENTOS se escribirn los elementos connmerosconsecutivos1,2,3,4,etc...,locualsepuedehaceren Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.37 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas forma manual o mediante el cuadro de dilogo Configuracin del Marco, como se muestra en la siguiente figura. Figura 3.2-1 En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos, alpulsar elbotnAceptarautomticamenteseescribirnlosnmeros 1, 2 y 3 en la hoja de configuracin. La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada elemento.Enesteprogramasehalimitadoelnmerodesecciones disponiblesparaelanlisisadiez,enlaterceracolumnallamada SECCIN se escribe un nmero del uno al diez y en el cuadro de dilogo Configuracin del Marco se editarn dichas secciones. Se considera que loselementosdelaestructurapuedenserdeunsolomaterialylas secciones pueden caer dentro de cuatro tipos. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.38 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Tipo 1.- La seccin es constante. hLFigura 3.2-2 Figura 3.2-3

Tal como se muestra en la figura 3.2-2 la altura es uniforme a lo largodel elemento, porloquealintroducirlosdatossloesnecesario escribir el momento de inercia y el mdulo de elasticidad. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.39 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Tipo 2.- La altura vara de hj a hk a lo largo de L hjLhkFigura 3.2-4hj > hk hjLhkFigura 3.2-5hk > hj

Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.40 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Figura 3.2-6

Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo jyenelcampohklaalturaenelextremok.Comoseobservaenlas figuras 3.2-4 y 3.2-5 pueden existir dos casos: que hj sea mayor que hk o que hk sea mayor que hj. Tipo 3.-La altura vara de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L ahjLhk hkhjaFigura 3.2-7hj > hk Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.41 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas a ahjLhjhk hkFigura 3.2-8hk > hj

Figura 3.2-9

Elprocedimientoessimilaraltipodeseccinanterior,perocon un nuevo dato, la distancia a, la cual debe considerarse como un factor delalongitudL,porejemplosilalongituddelmiembroesdeseis metros y la distancia a es de dos metros, entonces se debe escribir en el campo distancia a 2/6 o 0.3333. Tipo 4.-La altura vara de hj a hk, luego de h a h y de hk a hj, a lo largo de L Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.42 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas hjLahkhhjahkFigura 3.2-10hj > hk > h hjLahkhhjahkFigura 3.2-11h > hk > hj Figura 3.2-12

Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.43 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Porltimoseconsideraelcasoenqueexistantresalturas diferentes y para definirlose llenan loscampos hj,hk,h ydistanciaa, talcomoseexplicanteriormente.Caberecalcarqueparasecciones constantessepuedenutilizarseccionesdediferentestipos,comopor ejemplo perfiles estructurales, pero para secciones variables tienen que ser forzosamente rectangulares. En las columnas D, F, G y H, tituladas ju , ku , jAy kA , se escribe ladireccindedesplazamiento.Siesunarotacinenelextremojse escribe en la columna ju , si se trata de una traslacin en j entonces de escribe en la columna jAy as para cada direccin, dejando en blanco las celdas que no tengan una direccin. EnlascolumnasI,J,KyL,tituladas jRm , kRm , jRd y jRd ,se escribenlascargasdeempotramientodecadaelementoaisladoyse puede hacer uso del cuadro de dilogo Configuracin del Marco el cual contempla seis casos diferentes de condiciones de carga. A continuacin se muestra cmo hacer uso de esta caracterstica. Figura 3.2-13 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.44 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Enlafigura3.2-13seobservaunalistaenlacualsepuede seleccionarelelementoquesedeseacargar,despussemarcala configuracindecargadeseada.Acontinuacinsemuestralosdatos necesarios para cada tipo de carga. CargaFigura 3.2-14Carga uniformemente distribuida CargaFigura 3.2-15Carga triangular simtrica CargaaFigura 3.2-16Carga trapezoidal simtrica Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.45 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas L/2CargaFigura 3.2-17Carga puntual al centro del miembro aCargaFigura 3.2-18Carga puntual descentrada CargaExtremo cargado 1Figura 3.2-19Carga triangular asimtrica CargaExtremo cargado 2Figura 3.2-20Carga triangular asimtrica Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.46 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Unavezelegidalaconfiguracinydespusdehaberintroducido losdatosnecesariosparasta,sehaceclicenaadircargasyse sumarnlasnuevascargasalasquesehallanalmacenadas;para borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.47 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 3.3 Forma De Interpretar Los Resultados Mientrasquelaconfiguracindelmarcosepresentaenunasolahoja declculo,losresultadosobtenidossepresentanencuatrohojas diferentes,estoporque,comosehadicho,semuestrapasoapasoel desarrollo del clculo. Para explicar los datos arrojados por el programase debe recordar el mtodo del clculo como se present en el captulo uno.Laprecisinquesemanejaesdecuatrodgitosylosvalores positivos se muestran con letra negra, los negativos en rojo y los valores cero en azul. En el paso uno se obtiene la matriz de rigidezKde cada elemento, como se muestra en la siguiente figura. Figura 3.3-1 ElsegundopasoesensamblarlamatrizderigidezSdela estructura y el vector general de cargas J, los cuales estarn separados entre s por una columna vaca y obviamente tendrn el mismo nmero Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.48 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas derenglonesigualalgradodeindeterminacincinemtica.A continuacin se muestra un ejemplo. Figura 3.3-2 LuegoseobtienelamatrizinversadeSysemultiplicaporel vector J para as obtener elvectorde deformaciones, escritoenforma matricial || | | | |J S D1 = Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.49 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Figura 3.3-3 Porltimoseobtienenlasreacciones,dosmomentosydos cortantes por cada elemento y ser el resultado de multiplicar la matriz de rigidez Kde cada elemento por el vector de deformaciones Di que le correspondeysumarlelascargasdeempotramientoQas | || | | | Q D K Ri + = .Sienlafigura3.3-4selocalizaelelementotresse puedeverquetieneunmomentopositivoenelextremoide11.2886 Ton/myuncortantepositivode20.6046Ton,enelextremojun momento negativo de 14.0561 Ton/m y un cortante de 21.3953 Ton. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.50 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Figura 3.3-4 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.51 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 3.4 Alcance Del Programa Hastaahorasetieneyaunaideadecualeselalcancedelprograma, pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes apartados. 3.4.1 Ventajas Paralosestudiantesdeanlisisestructuralsercmododisponerde unaherramientaquehagalosmismosclculosquesehacenenclase enunaformaautomtica,perosobretodosertilpararevisary detectarerroressintenerqueverificarlosclculosrepetitivos,deesta manera el problema se centrar en el planteamiento y razonamiento de la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales. No se desea restarleimportanciaarealizarunclculodemaneramanualporque serainapropiadoomitirestetipodeaprendizaje,sealamientoconel que se quieredejar claro que un estudiante que no haya efectuadoun clculomanualnoestencondicionesdeutilizarunprograma computacional para resolver dicho clculo.Unaventajaimportanteeselentornotanconocidoyaccesible como es Excel, que resultar fcil de asimilar para alguien que se inicia enelclculodeestructurasasistidoporcomputadora,ademsdela ventaja de que no necesita instalacin. 3.4.2 Limitaciones Encontrapartealodichoanteriormente,elentornoenqueseha desarrolladoelprograma,ademsdeserunaventaja,tambinesuna desventajaporqueExcelnoestconcebidopararealizarclculosde ndoleestructural,estollevaaimponerunalimitantebastante importante al programa. Excel no puede almacenar matrices mayores de sesenta renglones y columnas, lo cual limita a calcular estructuras con unnmeromximodegradosdelibertaddesesenta.Otradelas dificultadesconquesehaenfrentadoeselproblemadegraficarlos resultados,esposiblehacerestatareaenExcel,peroserademasiado Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.52 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente an no se habra concluido con este trabajo. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.53 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas CAPTULO 4 EJEMPLOS 4.1 Marcos Plano Con Miembros De Seccin Constante Ejemplo 1 6.00 4.00 3.004 Ton/mI III IIFigura 4.1-1EI=cte=1 En la figura anterior (4.1-1) se observa que el nmero de elementos son 3,elgradodeindeterminacincinemticaesde4,seconsideraun mdulodeelasticidadyunmomentodeinerciaconstanteigualala unidad para todos los elementos. Figura 4.1-2 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.54 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Figura 4.1-3 Figura 4.1-4 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.55 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Figura 4.1-5 Figura 4.1-6 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.56 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Las reacciones finales en cada elemento son: 6 mts.9.7551 Ton14.2449 Ton0 Ton-m13.4697 Ton-mw = 4 Ton/mFigura 4.1-7 4 mts.10.7045 Ton2.6515 Ton2.6515 Ton-m13.4697 Ton-mw = 4 Ton/mFigura 4.1-8 3 mts.6.8838 Ton5.1162 Ton2.6515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Ton/mFigura 4.1-9 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.57 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas Ejemplo 2 w = 4 Ton/mw = 4.5 Ton/m2.00 2.002.00 2.003.503.001.009.003.003.504.002 Ton.IIIIVIIIVVIFigura 4.1-10 Enlasiguientetablasedescribenlascincoseccionesexistentes para el anlisis. Seccin Dimensiones (m x m) Elasticidad (Ton/m) Inercia (m^4)1 0.30 x 0.60 2,213,594.360.00542 0.35 x 0.65 2,213,594.360.00803 0.30 x 0.30 2,213,594.360.00074 0.35 x 0.35 2,213,594.360.00135 0.35 x 0.40 2,213,594.360.0019 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.58 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas En la figura 4.1-11 se muestra la configuracin del marco y en la figura 4.1-12 se muestran los resultados obtenidos Figura 4.1-11ELEMENTOS LONGITUD SECCINqj qK Dj DkRmj Rmk Rdj Rdk1 9 1 1 2 24.62963 -24.6296 14 142 9 2 3 4 30.17747 -29.6836 16.91598 16.584023 3.5 3 1 3 6 74 3.5 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7 Figura 4.1-12REACCIONES EN LOS NUDOSVECTOR DE CARGASREACCIONES FINALES5312.62647 2656.31323 885.43774 -885.43774 -0.00507 24.6296296 11.114782656.31323 5312.62647 885.43774 -885.43774 0.00505 -24.6296296 -11.25582885.43774 885.43774 196.76394 -196.76394 0 14 13.98433-885.43774 -885.43774 -196.76394 196.76394 0 14 14.015677880.29345 3940.14672 1313.38224 -1313.38224 -0.00315 30.1774691 16.387173940.14672 7880.29345 1313.38224 -1313.38224 0.0028 -29.683642 -20.007751313.38224 1313.38224 291.86272 -291.86272 0 16.9159808 16.45882-1313.38224 -1313.38224 -291.86272 291.86272 0 16.5840192 17.041181707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 -0.00507 0 -11.11478853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 -0.00315 0 -9.47695731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00288 0 -5.88335-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00256 0 5.883351707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 0.00505 0 11.25582853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 0.0028 0 9.33591731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00288 0 5.88335-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00256 0 -5.883353690.86116 1845.43058 1845.43058 -1845.43058 -0.00315 0 -6.910221845.43058 3690.86116 1845.43058 -1845.43058 0 0 -1.093661845.43058 1845.43058 1230.28705 -1230.28705 0.00256 0 -2.66796-1845.43058 -1845.43058 -1230.28705 1230.28705 0 0 2.667964132.04281 2066.0214 1549.51605 -1549.51605 0.0028 0 10.671842066.0214 4132.04281 1549.51605 -1549.51605 -0.00236 0 0.01549.51605 1549.51605 774.75803 -774.75803 0.00256 0 2.66796-1549.51605 -1549.51605 -774.75803 774.75803 0 0 -2.66796ELEMENTO4ELEMENTO5ELEMENTO6MATRICES DE ELEMENTOSELEMENTO1ELEMENTO2ELEMENTO3 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.59 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas 4.2 Marcos Planos Con Miembros De Seccin Variable Considreseelejemploanteriorytmenselasmismascargas, dimensiones,materiales,etc.Ahorasupngaselasseccionesvariables que se muestran en la siguiente figura. 0.30x0.400.30 x 0.300.30x0.60 0.30x0.600.35 x 0.40 0.35 x 0.350.35x0.45 0.35x0.65 0.35x0.650.30 x 0.30Figura 4.2-1 REACCIONES EN LOS NUDOSVECTOR DE CARGASREACCIONES FINALES2521.44434 1540.64111 451.34283 -451.34283 -0.00802 24.6296296 16.660311540.64111 2521.44434 451.34283 -451.34283 0.00795 -24.6296296 -16.93715451.34283 451.34283 100.29841 -100.29841 0 14 13.96924-451.34283 -451.34283 -100.29841 100.29841 0 14 14.030764024.86186 2422.4607 716.36917 -716.36917 -0.00406 30.1774691 21.927952422.4607 4024.86186 716.36917 -716.36917 0.00335 -29.683642 -26.05436716.36917 716.36917 159.19315 -159.19315 0 16.9159808 16.40262-716.36917 -716.36917 -159.19315 159.19315 0 16.5840192 17.097381707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 -0.00802 0 -16.66031853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 -0.00406 0 -13.28486731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00413 0 -8.55576-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00345 0 8.555761707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 0.00795 0 16.93715853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 0.00335 0 13.00802731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00413 0 8.55576-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00345 0 -8.555763690.86116 1845.43058 1845.43058 -1845.43058 -0.00406 0 -8.643091845.43058 3690.86116 1845.43058 -1845.43058 0 0 -1.141661845.43058 1845.43058 1230.28705 -1230.28705 0.00345 0 -3.26158-1845.43058 -1845.43058 -1230.28705 1230.28705 0 0 3.261584132.04281 2066.0214 1549.51605 -1549.51605 0.00335 0 13.046342066.0214 4132.04281 1549.51605 -1549.51605 -0.00297 0 -0.01549.51605 1549.51605 774.75803 -774.75803 0.00345 0 3.26158-1549.51605 -1549.51605 -774.75803 774.75803 0 0 -3.26158ELEMENTO4ELEMENTO5ELEMENTO6MATRICES DE ELEMENTOSELEMENTO1ELEMENTO2ELEMENTO3Figura 4.2-2 Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.60 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas CAPTULO 5 CONCLUSIONES Comosehavistoenloscaptulosanteriores,haymuchopotencialen anlisisestructuralasistidoporcomputadoras,clculosqueenel pasado se realizaban en das, hoy se ejecutan en al instante, asimismo, modelosqueresultaban extremadamentecomplejosporlacantidadde variablesquehabaqueevaluar,ahorasellevanacaboconhacerun soloclic.Sinembargotodovienepartiendodeunmismopunto:la creatividad y la lgica del calculista. Seesperaqueestetrabajoacarreebeneficiosalestudianteenel sentidodehacercomprensibleelanlisisdeestructuras,sehadado solamenteunaideadelaimplementacinenprogramasde computacin,peroobviamentequedaenlaimaginacindellectorla gama de posibilidades para crear un programa ms fcil, ms completo, en un lenguaje ms apropiado, etc. Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.61 Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas REFERENCIAS CAMBA C., Jos Luis, Francisco Chacn G. y Francisco Prez A., Apuntes de Anlisis Estructural, UNAM, Mxico. CELIGETA, Juan Toms,Curso de Anlisis Estructural, EUNSA, San Sebastin, 1998. FALCON, Roberto Aguilar, Anlisis Matricial de Estructuras, ESPE, Ecuador, 2004. KREYSZIG, Edwin, Matemticas Avanzadas para Ingeniera Vol. 1, Limusa, Mxico, 2003. MORA F., Walter y Jos Luis Espinoza B., Programacin en Visual Basic (VBA) para Excel y Anlisis Numrico, Escuela de Matemticas del Instituto Tecnolgico de Costa Rica, Costa Rica, 2005.