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Revista de la Ingeniería Industrial, Vol. 7, No. 1, 2013, 21-30 ISSN 1940-2163 AcademiaJournals.com

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE UN ROBOT TERAPÉUTICO PARA LA

REHABILITACIÓN DE MIEMBROS INFERIORES

César Humberto Guzmán Valdivia1, Andrés Blanco Ortega

2,

Marco Antonio Oliver Salazar3, José Luís Carrera Escobedo

4

Resumen— La rehabilitación, en un sentido general, tiene como objetivo la reincorporación física de un

paciente a sus actividades de la vida cotidiana. Cuando una articulación se encuentra inmovilizada por largos

periodos de tiempo tiende a degenerarse. En México, es común encontrar centros de rehabilitación saturados,

debido al gran número de pacientes que necesitan de una terapia. Para ayudar en el proceso de rehabilitación,

se propone un robot terapéutico para rehabilitar los miembros inferiores. En el presente trabajo se muestra la

cinemática directa e inversa de un robot terapéutico accionado por actuadores lineales. El sistema consta de 4

grados de libertad para la movilización de la cadera y rodilla. Los parámetros geométricos se obtienen

mediante la convención de Denavit Hartemberg. El resultado obtenido son simulaciones que indican un

amplio espacio de trabajo del robot y la posibilidad de ser implementado en terapias de rehabilitación. En

conclusión, el nuevo mecanismo robótico permite ser utilizado para la rehabilitación de miembros inferiores.

Palabras clave—Rehabilitación, Mecatrónica, Robot Terapéutico, Modelo cinemático, Actuadores Lineales.

Introducción En los últimos años, la población con discapacidad es un grupo que ha llamado la atención desde diversas

perspectivas a las universidades, instituciones privadas y organizaciones no gubernamentales. La discapacidad no

sólo afecta a la persona con limitaciones físicas en la realización de sus actividades, también muestran un desajuste

psicológico, una limitación en su desarrollo socioeconómico, educativo y cultural [1]. En México, de acuerdo a las

estadísticas del Censo Nacional de Población y Vivienda proporcionado por el Instituto Nacional de Estadística,

Geografía e Informática (INEGI), existen más de dos millones de personas que cuentan con una discapacidad, es

decir, representa el 2.31% de la población nacional, siendo la discapacidad motriz la más representativa por encima

de la auditiva y visual [2].

Hoy en día, los accidentes cerebrovasculares (ACV) representan la primera causa de discapacidad en los

países desarrollados y la tercera causa de muerte en el mundo. Por ende, estos problemas de salud requieren de

atención urgente, debido a las limitaciones de movilidad ó discapacidad que ocasionan. La hemiplejia es un trastorno

en el cual el paciente posee la mitad del cuerpo paralizada, y por lo general, es causada por un ACV [3]. La

rehabilitación, en un sentido general, tiene como objetivo mantener, recuperar y desarrollar el movimiento corporal

humano mediante terapia física [4]. Las terapias de rehabilitación, aplicadas principalmente por un fisioterapeuta,

son procedimientos clave para la reincorporación de una persona a sus actividades de la vida cotidiana [5].

Existen dos tipos de rehabilitación: activa y pasiva [6]. En la primera, el individuo puede realizar los

ejercicios por sí mismo de forma voluntaria, y en cuanto a su clasificación se divide en: asistida, libre y resistida. En

la segunda, el terapeuta es el que moviliza las extremidades sin ningún esfuerzo del paciente, es decir, la persona no

tiene fuerza muscular; un ejemplo de ésta son las personas con hemiplejia. La particularidad que distingue una

1 El M.C. César Humberto Guzmán Valdivia es Profesor-Investigador del Departamento de Ingeniería en Mecatrónica en la

Universidad Politécnica de Zacatecas, Fresnillo, Zacatecas. hello_ingeniero@hotmail.com (autor corresponsal) 2 El Dr. Andrés Blanco Ortega es Profesor-Investigador del Departamento de Ingeniería Mecatrónica en el Centro Nacional de

Investigación y Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos. andres.blanco@cenidet.edu.mx. 3 El Dr. Marco Antonio Oliver Salazar es Profesor-Investigador del Departamento de Ingeniería Mecatrónica en el Centro

Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos. moliver@cenidet.edu.mx. 4 El Dr. José Luis Carrera Escobedo es Profesor-Investigador del Departamento de Ingeniería en Mecatrónica en la Universidad

Politécnica de Zacatecas, Fresnillo, Zacatecas. jlcarrera20@hotmail.com.

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rehabilitación para pacientes hemipléjicos en comparación de otras, es la de alcanzar los rangos articulares máximos

en cada articulación de forma pasiva [7]. Por otro lado, para rehabilitar las articulaciones de una persona con

hemiplejia es necesario conocer: (a) la condición, características y limitaciones de cada paciente; (b) el rango

máximo de movimiento; (c) la duración y el tipo de ejercicio [8].

La articulación de la cadera, también conocida como coxofemoral, tiene movilidad en los tres ejes en el

espacio, es decir, a este tipo de movimiento se conoce como enartrosis. La articulación de la cadera está formada

principalmente por la cabeza del fémur y el acetábulo en forma de unión esférica. La articulación coxofemoral es la

más fuerte de todo el cuerpo, resultando ser la más difícil de luxar. La importancia de la cadera es soportar el peso

corporal y desempeñar la locomoción [9]. La cadera es una articulación compuesta por una bola y una cavidad que

permite tres rangos de movimientos. Los movimientos de flexión y extensión son hacia al frente de la persona,

abducción y aducción son hacia los lados de la persona y la rotación interna y externa son giros internos de la cadera,

(Figura 1). El rango de movimiento de la articulación coxofemoral incluye aproximadamente: 120° de flexión, -20°

de extensión, 45° de abducción, 30° de aducción, 45° de rotación interna y 45° de rotación externa [10].

Figura 1.- Movimientos de la cadera (Elaboración propia)

Actualmente, la rehabilitación de personas con hemiplejia es fundamental para mantener la flexibilidad y el

completo rango de movimiento de cada extremidad afectada, así como evitar que los músculos se atrofien. Sin

embargo, a diferencia de otras partes del cuerpo, la cadera requiere de mucho esfuerzo físico para alcanzar sus

amplitudes articulares. En otras palabras, la cadera es la articulación más difícil de mover. Por esta razón, este tipo de

rehabilitación es cansada y físicamente demandante. A causa de la extenuante rehabilitación de una persona con

hemiplejia es necesario la utilización de un robot. Para esto, se propone el análisis cinemático de un robot terapéutico

que permita realizar movimientos básicos de la cadera en personas con hemiplejia, para determinar si es posible

coadyuvar en el proceso de rehabilitación de forma segura.

Antecedentes A partir de los años 70's, después de la segunda guerra mundial, la rehabilitación ha tenido un crecimiento

muy activo, tanto desde el punto de vista médico como tecnológico [11]. Hoy en día, los avances en medicina buscan

mejorar la pronta recuperación del paciente para brindar una mejor calidad de vida. Por otro lado, los actuales

desarrollos tecnológicos en el área de la rehabilitación, se encuentran en una etapa de crecimiento, debido al reciente

interés en universidades y centros de investigación [12]. La mecatrónica es una sinergia de distintas disciplinas de la

ingeniería [13]. Se enfoca en el diseño y manufactura de dispositivos electromecánicos inteligentes. Los dispositivos

y servicios que son producidos usando los principios mecatrónicos, se han convertido en una parte importante en la

vida diaria de las personas.

Los dispositivos mecatrónicos enfocados a la rehabilitación, son dispositivos que coadyuvan a la

recuperación de un paciente después de haber sufrido algún tipo de enfermedad ó lesión en alguna parte de su cuerpo

[14]. La gran mayoría, se adaptan anatómicamente al cuerpo de la persona con sistemas de monitoreo para brindar

mayor seguridad en las rutinas de ejercicios. Desde hace unos 20 años, los dispositivos mecatrónicos para

rehabilitación, ya sean simples o complejos, han demostrado ser una herramienta beneficiosa en la recuperación y

mantenimiento del movimiento corporal [15].

Los dispositivos llamados de "movimiento pasivo continuo (CPM, por sus siglas en inglés)" son utilizados

en países de primer mundo para propósitos de rehabilitación pasiva [16]. En México, solo algunos centros de

rehabilitación particulares cuentan con este tipo de tecnología. El concepto de CPM fue introducido en 1970 por

Salter [17]. Actualmente, los dispositivos de CPM tanto para miembros superiores como inferiores, facilitan la

23

rehabilitación del paciente, debido a que realizan en forma repetitiva y automática los movimientos terapéuticos en

un intervalo y a una velocidad determinada [18]. Por otra parte, debido a la falta de rehabilitadores para cadera, los

centros médicos utilizan los CPM comerciales para rodilla en la terapia de cadera, (Figura 2). Hasta cierto punto, esta

práctica es benéfica; sin embargo, los CPM de rodilla cuentan con un grado de libertad (GDL) para desempeñar

ejercicios simples, y asimismo, no fueron diseñados para alcanzar todos los movimientos articulares de la cadera.

Figura 2. Máquinas comerciales de CPM para rodilla [19-20].

Recientemente, se ha despertado el interés en desarrollar dispositivos mecatrónicos para ser usados en

terapias de rehabilitación de miembros inferiores [21]. En 1999, Sakaki propone una máquina para ejercicios

terapéuticos (TEM, por sus siglas en inglés) [22]. Esta máquina fue diseñada para personas con espasticidad. Los

movimientos son enfocados a la pierna con la finalidad de mover en el plano sagital la cadera y rodilla. La forma de

operación es con el paciente acostado sobre una cama. Por esta misma línea, se encuentra el rehabilitador de

miembros inferiores llamado "Multi-ISO" propuesto por Moughamir [23]. Este dispositivo fue desarrollado con

propósitos médicos y deportivos para rehabilitación rodilla que permite realizar movimientos de flexión y extensión.

En el 2004 con un nuevo enfoque en el diseño mecánico, Homma presenta un sistema de rehabilitación para

movilización de miembros inferiores de 4 GDL basado en la utilización de cables paralelos [24]. Los movimientos

articulares que realiza en la cadera son de flexión, extensión, abducción, aducción, rotación interna y rotación

externa. En la rodilla los movimientos son de flexión y extensión. Por su parte, con el propósito de ayudar a la

rehabilitación de personas con lesiones en la médula espinal, Metrailler propuso un dispositivo llamado

"MotionMaker" con el objetivo de rehabilitar miembros inferiores [25]. El sistema cuenta con 3 GDL y puede mover

la cadera, rodilla y tobillo del paciente. La operación del dispositivo se lleva a cabo con el paciente acostado y puede

ser con ambas piernas a la vez.

En el 2009, cambiando el modo de actuación, Bradley introduce un rehabilitador para miembros inferiores

utilizando pistones neumáticos [26]. El dispositivo llamado "Nexos" es un prototipo que moviliza la cadera y rodilla

únicamente en flexión y extensión (0° a 20° de flexión en cadera). La diferencia entre el rehabilitador TEM antes

mencionado, es su implementación con pistones neumáticos y las ecuaciones cinemáticas.

Finalmente, otro proyecto con similitudes a los rehabilitadores TEM y Nexos es propuesto por Akdogan en

el 2011 [27]. El prototipo llamado "Physiotherabot" tiene la característica de introducir control de impedancias e

inteligente. El modelo matemático del sistema es considerado como un péndulo invertido y no considera fricciones.

Los movimientos que realiza solamente en la pierna derecha son de flexión-extensión y abducción-aducción para

cadera y de flexión-extensión para rodilla (0° a 120° de flexión y 15° de abducción en la cadera). Sin embargo, el

rango de movimiento es reducido en abducción-aducción y no cuenta con extensión y rotación interna-externa de

cadera, por otro lado, tiene la desventaja de contar con un modelo matemático de un péndulo invertido simple,

debido a la complejidad de modelar un sistema con 3 GDL.

En la literatura mostrada anteriormente se encuentran varios prototipos para la rehabilitación de cadera. Sin

embargo, éstos no abordan el análisis cinemático de un robot con actuadores lineales. El trabajo aquí propuesto se

enfoca en proponer un nuevo mecanismo con actuadores lineales para obtener la cinemática directa e inversa del

robot y determinar si es posible realizar los movimientos básicos de la cadera.

24

Metodología La cinemática directa describe de manera analítica el movimiento espacial del efector final del robot en

función de las posiciones de cada articulación. En la Figura 3 se muestra la representación geométrica de la pierna y

del robot. La pierna puede ser modelada como un sistema robótico de 4 GDL. El primero simula la abducción-

aducción de cadera, el segundo y tercero la flexión-extensión de cadera y rodilla y el último la dorsi-plantarflexión

del tobillo. Con base al tipo de movimientos y rangos articulares de los miembros inferiores se diseñó un robot con 5

GDL. El efector final del robot permite fácilmente cargar y mover la pierna con respecto a un sistema de referencia

fijo. Todas las articulaciones del robot son de tipo prismático a excepción de la primera, que es rotacional y permite

el movimiento de abducción-aducción de la pierna. Para simplificar el modelo geométrico del robot se consideraron

los dos últimos movimientos traslacionales como uno solo rotacional en el efector final debido a que la diferencia de

alturas en los eslabones produce un nuevo ángulo. El final de las cadenas cinemáticas tanto de la pierna como del

robot presentan un punto en común situado en el tobillo. El modelo geométrico entonces demuestra dos formas de

alcanzar el mismo punto, lo que significa que son sistemas equivalentes pero con distinta configuración en sus

movimientos.

Figura 3.- Estructura cinemática de la pierna y del robot

En la Tabla 1 se presentan los parámetros geométricos de la pierna y del robot según la convención de

Denavit-Hartenberg [28]. En la tabla, i representa el número de la articulación, ai representa la distancia a lo largo

del eje xi, αi se refiere al ángulo entre los ejes zi y zi+1 , di representa la distancia entre los ejes zi y por último θi

representa el ángulo con respecto al eje xi y xi+1.

Tabla1.- Parámetros geométricos de la pierna y del robot

Pierna Robot

i ai αi di θi bi βi li φi

1 0 90 d1 θ1 0 90 0 90+ φ1

2 a2 0 0 θ2 0 -90 l2 0

3 a3 0 0 θ3 0 90 l3 -90

4 0 0 0 θ4 0 0 0 φ4

25

El modelo geométrico directo (MGD) permite calcular la posición y orientación de la pierna en función de

sus ángulos articulares. Para encontrarlo es necesario calcular la matriz de transformación homogénea i-1

Ti de cada

articulación usando (1).

(1)

Para obtener el MGD de la pierna es necesario multiplicar las siguientes matrices en el siguiente orden:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Para obtener el MGD de la pierna es necesario multiplicar las siguientes matrices en el siguiente orden:

(8)

(9)

(10)

(11)

26

(12)

(13)

Por otra parte, el modelo geométrico inverso (MGI) puede determinar los movimientos articulares para

llevar el actuador final a una posición cartesiana deseada [29]. La solución de la cinemática inversa es fundamental

para el seguimiento de trayectorias del efector final. Como se muestra en la Figura 3, dadas las características del

efector, la cinemática inversa se define a partir del vector de posición del punto final del efector (Px, Py, Pz).

Para encontrar la cinemática inversa de la pierna es necesario hacer algunas manipulaciones algebraicas con

las matrices de la siguiente forma:

(14)

De esta manera es posible igualar los términos de la última columna de ambas matrices resultando:

(15)

(16)

donde: , y

Si (15) y (16) se elevan al cuadrado y luego se suman entonces tenemos:

(17)

(18)

(19)

(20)

Simplificando la ecuación se obtiene:

(21)

Para encontrar el ángulo se realizan pasos similares a partir de (14):

(22)

(23)

(24)

Utilizando la siguiente identidad trigonométrica se puede determinar el ángulo :

(25)

(26)

27

(27)

El ángulo se puede encontrar mediante:

(28)

Para el caso del robot las ecuaciones se pueden encontrar de la siguiente forma:

(29)

(30)

(31)

Resultados

En las Figura 4 y 5 se muestra el espacio de trabajo de la pierna utilizando (7). Para la simulación de los

modelos cinemáticos directos e inversos se utilizó el software MATLAB. Por otro lado, se graficó el espacio de

trabajo del robot para comprobar que cubre el espacio de trabajo de la pierna. Como se observa en la Figura 6, los

límites superior e inferior satisfacen todos los movimientos de la pierna.

a)

b)

Figura 4. Espacio de trabajo de la pierna. a) vista frontal, b) vista superior.

Figura 5. Vista isométrica del espacio de trabajo de la pierna.

-0.5 0 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distancia a lo largo del eje X (m)

Dis

tan

cia

a lo

lar

go

del

eje

Z (

m)

-0.5 0 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Distancia a lo largo del eje X (m)

Dis

tan

cia

a lo

lar

go

del

eje

Y (

m)

-0.50

0.51

-0.5

0

0.5-1

-0.5

0

0.5

1

Eje

Z (

m)

Eje X (m)Eje Y (m)

28

Figura 6. Espacio de trabajo del robot

Las figuras mostradas anteriormente son del modelo cinemático directo. Cuando se utilizan las ecuaciones

de la cinemática inversa para el seguimiento de alguna trayectoria deseada es necesario calcular la posición de cada

articulación, tanto de la pierna como de cada actuador del robot. Para este caso se propone una trayectoria en 2

dimensiones con un punto inicial de Pinicial(1,0) hasta un punto final de Pfinal(0.5,0.5). En la Figura 7 se presenta el

robot cargando la pierna y siguiendo una trayectoria deseada. El robot terapéutico considera la cinemática

propiamente de la pierna para calcular la posición de cada una de sus articulaciones. En la Figura 8 se muestran los

ángulos calculados por la cinemática inversa de la pierna.

Figura 7. Movimientos del robot para mover la pierna a lo largo de una trayectoria deseada.

Figura 8. Ángulos de la pierna en radianes. θ2 representa el ángulo de la cadera y θ3 el ángulo de la rodilla.

-1

0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

-1

0

1

Eje Y (m)Eje X (m)

Eje

Z (

m)

-0.5 0 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

X(m)

Z(m

)

0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Án

gu

los

de

la p

iern

a y

ro

dil

la

2

3

29

Los resultados obtenidos claramente muestran que es factible el mecanismo propuesto para la movilización

de la pierna. Por otro lado, el cálculo de la cinemática inversa y directa permite evaluar la posición del robot en cada

una de sus posiciones para alcanzar las trayectorias propuestas.

Conclusiones

En el presente artículo, se muestra la cinemática directa e inversa de un robot terapéutico para la

rehabilitación de miembros inferiores. El modelo geométrico directo es ilustrado a detalle. Se presentan las

ecuaciones cinemáticas directas e inversas para el cálculo de trayectorias planificadas. Los resultados de simulación

indican que es el mecanismo propuesto puede ser implementado en un prototipo. Como trabajo futuro, se tiene

contemplado encontrar el modelo dinámico del sistema para poder conocer las fuerzas y torques necesarios para cada

actuador. Finalmente, con este trabajo, se concluye que es posible el desarrollo e implementación de mecanismos

simples para la rehabilitación de la pierna a un bajo costo.

Agradecimientos

Este trabajo es financiado por la Universidad Politécnica de Zacatecas, a través de una beca doctoral para el

primer autor. Los autores aprecian el apoyo de la Universidad Politécnica de Zacatecas (UPZ) y el Centro Nacional

de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet). Agradecemos el apoyo brindado por la DGEST en el desarrollo

del proyecto “Sistemas Biomecatrónicos para Rehabilitación de Extremidades Inferiores” con clave ProIFOEP

4534.12-P.

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