Aplicacion de Fourier a La Geologia

8/17/2019 Aplicacion de Fourier a La Geologia

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

“ Norte de la universidad peruana ” FACULTAD DE INGENIERÍA

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Geológica

APLICACION DE FOURIER AL ANÁLISIS CUANTITATIVO

DE SERIES DE DATOS ESTRATIGRÁFICOS Y AL

CÁLCULO DE LA TEMPERATURA DE LA TIERRA

CURSO:

ANALISIS MATEMATICO III

DOCENTE:

Ing. EVER ROJAS HUAMAN

ALUMNOS:

ABANTO ARAUJO, Ana Cecilia

ALIAGA MEJIA, Henrry Alfredo

FERNÁNDEZ HUACCHA, Rosa Isabel

RIVASPLATA ÑAZCO, Anna victoria

VALDERA SÁNCHEZ. Gian

CICLO:

VACACIONAL

CAJAMARCA-PERÚ

2016


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFACULTAD DE INGENIERÍA


APLICACIONESDEFOURIERALAGEOLOGÍA Pág. 2

RESUMEN

El análisis de Fourier es también importante en ciencias por lo cual este artículo nos

muestra algunas de sus aplicaciones específicamente para Ciencias Geologías:cálculo de la temperatura en la profundidad de la Tierra y en la rama de la

estratigrafía.

Respecto al tema que asume que la señal estratigráfica está conformada por una

sumatoria de funciones periódicas y por medio de esta representación se puede

determinar las frecuencias principales. El análisis espectral singular permite separar la

señal estratigráfica en componentes estadísticamente independientes que se pueden

relacionar con procesos geológicos particulares. Así mismo estos componentes

principales no lineales se pueden combinar con el Clasificador de Señal Múltiple para

determinar las frecuencias predominantes en la señal estratigráfica, siendo una

alternativa al análisis de Fourier. Esto puede aplicarse en un caso sintético que presenta

la curva granulométrica en una sección; más simple sería decir que esta metodología

se aplica en un caso sintético que representa la curva de variación granulométrica en

una sección.

Para el caso de determinar la temperatura de la tierra en una profundidad dada es un

problema más simple que utiliza generalmente periodos de 1 año respecto a unadistancia x, siendo la temperatura u(t ,x).


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ÍNDICE

Pág.

INTRODUCCION .......................................................................................................... 4

MARCO TEORICO ....................................................................................................... 5

Serie de Fourier ....................................................................................................... 5

Definición ................................................................................................................. 6

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica ............................. 7

Ejemplos de series de Fourier................................................................................ 7

FORMULACIONES ................................................................................................... 8

Forma compacta ...................................................................................... 8

Forma expon encial ................................................................................... 9

Formulación mod erna: ............................................................................ 9

APLICACIONES ......................................................................................................... 10

ANÁLISIS CUANTITATIVO DE SERIES DE DATOS ESTRATIGRÁFICOS

........................................................................................................................11

Análisis de Fourier ............................................................................................ 11

CÁLCULO DE LA TEMPERATURA DE LA TIERRA .................................. 14

CONCLUSIONES ....................................................................................................... 16

LINKOGRAFÍA ........................................................................................................... 17


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INTRODUCCION

En el análisis de series de datos estratigráficos aparecen dos temáticas de importancia

primordial a la hora de caracterizar la presencia o ausencia de tendencias ambientales

o energéticas. Estas se refieren al filtrado de las series de datos estratigráficos y a la

determinación de frecuencias predominantes, las cuales pueden dar indicios de la

ocurrencia de eventos geológicos de naturaleza uniforme, periódica o episódica durante

el proceso de generación del registro estratigráfico. Para abordar el problema

relacionado con el filtrado de la serie estratigráfica se cuenta con diferentes

metodologías desarrolladas en el campo del análisis de señales y de series de tiempo,

las cuales se pueden aplicar en el caso de series de datos espaciales de propiedadeslitológicas. Sin embargo es de recordar que para realizar el filtrado de una señal se

requiere conocer el rango de frecuencias que se quieren excluir (ruido) y que por ende

no sería de interés conservar en la señal. Sin embargo esta aproximación puede tener

problemas cuando se aplica en señales estratigráficas dado que en muchos casos la

delimitación señal – ruido no puede hacerse de forma clara. Esto es debido a que las

altas frecuencias presentes en la misma pueden corresponder al resultado de la

ocurrencia de procesos geológicos particulares con periodicidades cortas. El análisis de

las frecuencias predominantes de la señal se ha realizado a nivel tradicional medianteanálisis de Fourier y el espectro de frecuencias asociado a este se ha determinado por

diferentes métodos. Entre estos métodos se pueden mencionar periodograma, máxima

entropía y clasificador de señal múltiple entre otros.


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MARCO TEORICO

Serie de Fourier

La serie de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier

empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha

función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como

combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al

matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando

estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales seriessistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de

investigación se llama algunas veces análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una

herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación

incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y

compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones,

y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se

puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

función

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/1807https://es.wikipedia.org/wiki/1811https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/1811https://es.wikipedia.org/wiki/1807https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor


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Definición

Si es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada

a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma

compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Donde:

Siendo:

A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler


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Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un

periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de

discontinuidades, de período 2p. Sean

Y

Entonces la serie converge a

En donde:

Ejemplos de series de Fourier

Gráfico de una función periódica.

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.

Veamos un ejemplo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dicahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Periodic_identity_function.gifhttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Periodic_identity.pnghttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica


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En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

Ingeniería

El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de

Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las

componentes:

Por lo tanto:

FORMULACIONES

Forma com pacta

En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en

lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidales. Otra forma de expresar la compleja

forma de la serie de Fourier es:

Donde


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Forma expon encial

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

La serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

Estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con . Otra formade expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

Donde:

Formulación mo derna:

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado

integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler


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El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denotacon . Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

Que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones

de pueden desarrollarse en series de Fourier. Así, el

conjunto es una base ortonormal del espacio . El

desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función de cuadrado integrable

y los coeficientes de Fourier , se verifica que:

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de

funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los

enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

APLICACIONES

La Serie de Fourier y sus aplicaciones

En matemáticas, una serie de Fourier descompone funciones periódicas o señales

periódicas en la suma de funciones oscilantes simples, como senos y cosenos (o

exponenciales complejos). El estudio de la serie de Fourier Es una rama del análisis de

Fourier.

La serie de Fourier Se nombra en honor de Jean-Baptiste José Fourier (1768-1830),

que hizo contribuciones importantes al estudio de la serie trigonométrica, después de

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert


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investigaciones preliminares por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo la

serie con el fin de solucionar la ecuación del calor en una placa de metal.

En las ramas de la Electrónica e Ingeniería se trabajan diferentes formas de señalestales como: sinusoidal, cuadrada y triangular. Todas estas señales mencionadas son

periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo.

ANÁLISIS CUANTITATIVO DE SERIES DE DATOS ESTRATIGRÁFICOS

Las señales estratigráficas son series de tiempo (o siendo más estrictos son series

espaciales) y por lo tanto su análisis se puede realizar usando los diferentes métodos

que se han desarrollado para el tratamiento de este tipo de información. En esta sección

se presentan los conceptos de algunas herramientas que se emplean habitualmentepara el análisis de señales estratigráficas

Análisis de Fourier

Un proceso físico puede ser descrito en el dominio del tiempo por el valor de la

variable de interés (tamaño de grano, unidades API, etc.) en función del tiempo

{x (t):- ∞


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Donde an y bn son los coeficientes de Fourier, N es la longitud de la serie. Así mismo

este proceso se puede representar en el dominio de la frecuencia, en donde el fenómeno

de interés puede ser descrito por su amplitud y fase en función de la frecuencia, {X (w)}.

A nivel gráfico esta representación se hace mediante el denominado periodograma (Fig.

1b)

De esta forma x (t) y X (w) son dos representaciones de la misma función y la conexión

entre estas se encuentran dada mediante la transformada de Fourier. Esta función seencuentra definida por (HSU 1987):

Donde w es la frecuencia (en Hertz), t el tiempo, e i = √-1.

La transformada inversa de Fourier se encuentra definida por:

Las ecuaciones (1) y (2) corresponden al denominado par de transformadas de Fourier

y permiten que una función sea expresada en el dominio del tiempo o de la frecuencia

según se requiera. La transformada directa de Fourier (Ecuación 1) representa a la serie

de tiempo en términos de la distribución de varianza para diferentes frecuencias. El par

transformado esta normalizado de tal forma que la varianza total es la misma ya sea se

calcule en el dominio del tiempo o de la frecuencia, lo cual se encuentra establecido en

el denominado teorema de Parseval:

Las ecuaciones (1) y (2) representan la definición de la transformada de Fourier para

señales continuas de longitud infinita, pero para emplear estas importantesherramientas en la práctica se requiere una versión discreta de la misma, la cual se


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denomina la transformada discreta de Fourier. La transformada discreta de Fourier de

una serie de tiempo x(n) finita de longitud N está dada por:

La ecuación anterior se puede expresar en notación polar compleja:

La ecuación 5 puede ser definida en términos de una serie X(k):

Donde los coeficientes a(k) y b(k) están dados por:

La frecuencia del k-esimo coeficiente de Fourier está determinado por la frecuencia f s

de muestreo y por la longitud de la serie:


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Fig. 2. La Serie de tiempo en d) es el resultado de la suma de componentes periódicos en a), b)

y c).

CÁLCULO DE LA TEMPERATURA DE LA TIERRA

Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de

la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie.

Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f

periódica en el tiempo t y de período 1 (un año). La temperatura u( t, x) en eltiempo t ≥ 0 y profundidad x ≥0 es también periódica en t y es natural asumir que

|| ≤ ‖ ‖ . Bajo estas circunstancias u (t,x) puede ser expandida mediante una

serie de Fourier para cada x fijo, x 0 ≤ < ∞, como sigue:

Con coeficientes de

Fourier

Sabemos que la función u satisface la ecuación diferencial parcial conocida como

Ecuación del calor

Por lo tanto,


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En otras palabras, los coeficientes c n satisfacen la ecuación 1.5:

tomando el signo positivo o negativo de acuerdo a si > 0 ó < 0. Por otra

parte, sabemos que (0) = ∫ ()−1

= (̇). Resolviendo la ecuación,

obtenemos que:

Y por tanto resulta finalmente

Supongamos por ejemplo que la temperatura de la superficie viene dada por unafunción sinusoidal simple () = sin2 (lo cual significa que la temperatura anual

media (0) = ∫ 1

es cero). En este caso, la función vendrá dada por:

Esta fórmula nos dice que la temperatura a la profundidad = queda afectada porel factor − y está completamente fuera de fase con respecto a las estaciones como loindica la Figura 1:


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CONCLUSIONES

El análisis de Fourier es una herramienta fundamental para el tratamiento de lasseñales estratigráficas, ya que permite determinar el contenido frecuencial de la

señal en estudio, con lo cual se pueden evidenciar procesos alo- cíclicos

particulares y también facilita la definición de la dimensión de empotramiento en

el caso que se vaya a realizar el Análisis Espectral Singular.

En fin, aunque las series de Fourier pueden parecer complicadas a primera

vista, no es necesario tener un profundo entendimiento de sus ecuaciones

para comprender sus aplicaciones; no obstante, es importante conocer sus

propiedades.


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LINKOGRAFÍA

García, C. O. (2006). Sobre la Utilización del Análisis de Fourier, AnálisisEspectral Singulary Redes Neuronales Artificiales en Estratigrafía. Parte 1:

Teoría y Caso Sintético. Recuperado el 22 de 2 de 2016

Melina, L. 2. (03 de 2011). Series de Fourier Aplicación : Temperatura de la

Tierra. Recuperado el 23 de 2 de 2016

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