Series de Fourier
118
Funciones Ortogonales y Series de Fourier CAPÍTULO 12
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Funciones Ortogonales y Series de Fourier
CAPÍTULO 12
Contenidos
• 12.1 Funciones Ortogonales• 12.2 Series de Fourier• 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos• 12.4 Series d eFourier Complejas• 12.5 Problema de Sturm-Liouville• 12.6 Series de Bessel y Legendre
12.1 Funciones Ortogonales
El producto interior de dos funciones f1 y f2 en unintervalo [a, b] es el número
DEFINICIÓN 12.1Productos Interiores de Funciones
b
adxxfxfff )()() ,( 2121
Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en unintervalo [a, b] si
DEFINICIÓN 12.2Funciones Ortogonales
0)()(),( 2121 b
adxxfxfff
Ejemplo
• Las funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que
061
),(1
1
631
1
221
xxdxxff ．
Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal en un intervalo [a, b]
si (2)
DEFINICIÓN 12.3Conjunto Ortogonal
nmdxxxb
a nmnm ,0)(),(),(
Conjuntos Ortonormales
• La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada. Por tanto podemos definir la norma cuadrada de una función como
(3)
Si {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||n(x)|| = 1 para todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b].
,)( 22 b
a nn dxx b
a nn dxxx )()( 2
Ejemplo 1
Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−, ].Solución Sea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que
0 ,0sin1
cos)()() ,( 00
nfornx
n
nxdxdxxx nn
Ejemplo 1 (2)
y
nmnmxnm
nmxnm
dxxnmxnm
nxdxmxdxxx nmnm
,0)sin()sin(
21
])cos()[cos(21
coscos)()(),(
Ejemplo 2
Determine la norma de cada función del Ejemplo 1.
Solución
0 ,||||
)2cos1(21
cos||||
,cos
22
n
dxnxnxdx
nx
n
n
n
22 ,1 02
00 dx
Analogía con Vectores
• Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que
(4)tenemos
(5)
Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores.
,332211 vvvu ccc
3
1232
3
322
2
212
1
1
||||
),(
||||
),(
||||
),(
||||
),(
nn
n
n vv
vuv
v
vuv
v
vuv
v
vuu
Desarrollo en Series Ortogonales• Suponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a,
b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero
(6)Then
?)()()()( 1100 xcxcxcxf nn
),(),(),(
)()(
)()()()(
)()(
1100
1100
mnnmm
b
a mnn
b
a m
b
a m
b
a m
ccc
dxxxc
dxxxcdxxxc
dxxxf
• Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos
,...2,1,0 ,)(
)()(
)(),()()(
2
2
ndxx
dxxxfc
dxxccdxxxf
b
a n
b
a nn
b
a nnnnn
b
a n
En otras palabras,
(7)
(8)
Entonces (7) se transforma en
(9)
0
),()(n
nn xcxf
2||)(||
)()(
x
dxxxfc
n
b
a n
n
02 )(
||)(||
),()(
nn
n
n xx
fxf
• Bajo la condición de la definición anterior, tenemos
(10)
(11)
Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal con respecto a una
función peso w(x) en [a, b], si
DEFINICIÓN 12.4Conjunto Ortogonal y Función Peso
nmdxxxxwb
a nm ,0)()()(
2||)(||
)()()(
x
dxxxwxfc
n
b
a n
n
b
a nn dxxxwx )()(||)(|| 22
Conjuntos Completos
• Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada miembro del conjunto es función nula.
12.2 Series de Fourier
• Una Serie TrigonométricaPodemos demostrar que el conjunto
(1)
es ortogonal en [−p, p]. Así una función f definida en [−p, p] puede escribirse como
(2)
,
3sin,
2sin,sin,,
3cos,
2cos,cos,1 x
px
pxp
xp
xp
xp
1
0 sincos2
)(n
nn xpn
bxpn
aa
xf
• Ahora calculamos los coeficientes.
(3)
Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces (3) se transforma en
• Así tenemos
(4)
1
0 sincos2
)(n
p
pn
p
pn
p
p
p
pdxx
pn
bdxxpn
adxa
dxxf
000
22)( pax
adx
adxxf
p
p
p
p
p
p
p
pdxxf
pa )(
10
• Además,
(5)
por ortogonalidad tenemos
1
0
sincoscoscos
cos2
cos)(
n
p
pn
p
pn
p
p
p
p
dxxpn
xpm
bdxxpm
xpm
a
dxxpma
dxxpm
xf
0sincos
0,0cos
p
p
p
p
xdxpn
xpm
mxdxpm
• y
Así (5) se reduce a
y por tanto
(6)
nmp
nmxdx
pn
xpmp
p ,
0,coscos
paxdxpn
xf n
p
p
cos)(
p
pn dxxpn
xfp
a
cos)(1
• Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mx/p) y usamos
y
obtenemos que
(7)
0sinsin
0 ,0sin
p
p
p
p
xdxpn
xpm
mxdxpm
nmp
nmxdx
pn
xpmp
p ,
0,sinsin
p
p nmp
nmdxx
pn
xpm
,
,0sinsin
La serie de Fourier de una función f definida en elintervalo (−p, p) se determina mediante
(8)donde
(9)
(10)
(11)
DEFINICIÓN 12.5Series de Fourier
1
0 )sincos(2
)(n
nn xpn
bxpn
aa
xf
p
pdxxf
pa )(
10
p
pn dxxpn
xfp
a
cos)(1
p
pn dxxpn
xfp
b
sin)(1
Ejemplo 1
Desarrolle (12)
en una serie de Fourier.SoluciónLa gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .
xx
xxf
0,
0,0)(
221
)(01
)(1
0
2
0
0
0
xx
dxxdxdxxfa
Ejemplo 1 (2)
22
0
00
0
0
)1(11cos
cos1
sin1sin
)(1
cos)(01
cos)(1
nn
n
nnx
n
dxnxnn
nxx
dxnxxdx
dxnxxfa
n
n
←cos n = (-1)n
Ejemplo 1 (3)
De (11) tenemos
Po tanto
(13)
nnxdxxbn
1sin)(
10
1
2 sin1
cos)1(1
4)(
n
n
nxn
nxn
xf
Fig 12.1
Sean f y f’ continuas por partes en el intervalo (−p, p); esto es, sean f y f’ continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y discontinuidades finitas sólo en estos puntos. Entonces al serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, laserie de Fourier converge al promedio
donde f(x+) y f(x － ) denotan el limite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente.
TEOREMA 12.1Condiciones de Convergencia
2)()( xfxf
Ejemplo 2
• La función f en el Ejemplo 1, es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así que la serie (13) converge a
en x = 0.22
02
)0()0( ff
Extensión Periódica
• Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en x = 0, 2, 4, … converge a
y en x = , 3, … converge a
22)0()0( ff
02
)0()( ff
Ch12_29
Fig 12.2
Secuencia de Sumas Parciales
• Secuencia de Sumas ParcialesPara (13), escribimos las sums parciales como
Fig 12.3.
xxxS
xxSS
2sin21
sincos2
4
,sincos2
4 ,
4
3
21
Fig 12.3
12.3 Series de Fourier de Coseno y Seno
• Funciones Pares e Impares
– par si f(−x) = f(x)
– impar si f(−x) = −f(x)
Fig 12.4 Función Par
Fig 12.5 Función Impar
(a) El producto de dos funciones pares es par.(b) El producto de dos funciones impares es impar.(c) El producto de una función par y uan función impar es impar.(d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par.(e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar.(f) Si f es par, entonces(g) Si f es impar, entonces
TEOREMA 12.2 Propiedades de Funciones Pares e Impares
0)(
)(2)(0
a
a
aa
a
dxxf
dxxfdxxf
Series de Cosenos y Senos• Si f es par en (−p, p) entonces
• De manera similar, si f es impar en (−p, p) entonces
0sin)(1
cos)(2
cos)(1
)(2
)(1
0
00
p
pn
pp
pn
pp
p
xdxpn
xfp
b
xdxpn
xfp
xdxpn
xfp
a
dxxfp
dxxfp
a
p
nn xdxpn
xfp
bna0
sin)(2
,...2,1,0,0
(i) La serie de Fourier de una función par f en elintervalo (−p, p) es la serie de cosenos
(1)donde
(2)
(3)
DEFINICIÓN 12.6
Series de Fourier de Cosenos y Senos
1
0 cos2
)(n
n xpn
aa
xf
p
dxxfp
a00 )(
2
p
n dxxpn
xfp
a0
cos)(2
(continuación)
(ii) La serie de Fourier de una función impar f en elintervalo (−p, p) es la serie de senos
(4)donde
(5)
DEFINICIÓN 12.6
Series de Fourier de Cosenos y Senos
1
sin)(i
n xpn
bxf
p
n dxxpn
xfp
b0
sin)(2
Ejemplo 1
Desarrolle f(x) = x, −2 < x < 2 en una serie de Fourier.SoluciónEstudio de la Fig 12.6, muestra que es una función par en (−2, 2) y p = 2.
Así
(6)
Fig 12.7 es la extensión periódica de la función del Ejemplo 1.
ndxx
nxb
n
n
12
0
)1(42
sin
1
1
2sin
)1(4)(
n
n
xn
nxf
Fig 12.6
Fig 12.7
Ejemplo 2• L afunción
representada en la Fig 12.8 es impar en (−, ) con p = .De (5),
y por tanto
(7)
x
xxf
0,1
0,1)(
ndxnxb
n
n)1(12
sin)1(2
0
nxn
xfn
n
sin)1(12
)(1
Fig 12.8
Fenómeno de Gibbs
• Fig 12.9 muestra las sumas parciales de (7). Podemos ver qeu la gráfica tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades. Este “exceso” SN no se alisa sino que permanece constante aun cuando el valor de N sea grande. Este comportamiento se conoce como el fenómeno de Gibbs.
Fig 12.9
Desarrollos en Semiintervalos
• Si una función f está definida sólo para 0 < x < L, podemos suministrar una función arbitraria para −L < x < 0.
• Si y = f(x) está definida para 0 < x < L,(i) Reflejar al gráfica respecto al eje y en −L < x < 0;
la función hora es par. Fig 12.10.(ii) Reflejar la gráfica por el origen sobre −L < x < 0;
la función ahora es impar. Fig 12.11.(iii) definir f en −L < x < 0 mediante f(x) = f(x + L).
Fig 12.12.
Fig 12.10
Fig 12.11
Fig 12.12
Ejemplo 3Desarrolle f(x) = x2, 0 < x < L, (a) en una serie de cosenos, (b) en una serie de senos (c) en una serie de Fourier.Solución La gráfica está representada en la Fig 12.13.
Ejemplo 3 (2)
(a)
Entonces
(8)
22
2
0
2
2
0
20
)1(4cos
2
,322
n
Ldxx
Ln
xL
a
LdxxL
a
nL
n
L
1
22
22
cos)1(4
3)(
n
n
xLn
n
LLxf
Ejemplo 3 (3)
(b)
De ahí que
(9)
]1)1[(4)1(2
sin2
33
212
0
2
nn
L
n n
Ln
Ldxx
Ln
xL
b
1
23
12
sin]1)1[(2)1(2
)(n
nn
xLn
nnL
xf
Ejemplo 3 (4)
(c) Con p = L/2, n/p = 2n/L, tenemos
Por tanto
(10)La gráfica de esta extensión se muestra en la Fig 12.14.
nL
xdxLn
xL
b
n
Lxdx
Ln
xL
aLdxxL
a
L
n
L
n
L
2
0
2
22
2
0
22
0
20
2sin
2
2cos
2 ,
322
12
22 2sin
12cos
13
)(n
xLn
nx
Ln
n
LLxf
Fig 12.14
Fuerza Impulsora Periódica
• Considere el siguiente sistema físico
(11)
donde
(12)
es un desarrollo en serie de senos en un semiintervalo.
)(2
2
tfxkdt
xdm
1
sin)(n
np tpn
Btx
Ejemplo 4• Recurriendo a (11), m = 1/16 de slug, k = 4 lb/pie, la
fuerza f(t) con período 2 se muestra en la Fig 12.15. Aunque f(t) actúa en el sistema para t > 0, podemos ampliar al gráfica con período 2 al eje t negativo para obtener una función impar. Con p = 1, de (5) obtenemos
De (11) obtenemos
(13)
ntdtntb
n
n
11
0
)1(2sin2
tnn
xdt
xd
n
n
sin)1(2
4161
1
1
2
2
Ejemplo 4 (1)
Para hallar la solución particular xp(t), sustituimos (12) en (13). Así
Por tanto
(14)
)64(
)1(32
)1(2)4
161
(
22
1
122
nnB
nBn
n
n
n
n
tnnn
txn
n
p
sin)64(
)1(32)(
122
1
12.4 Series de Fourier Complejas
• Formula de Euler eix = cos x + i sin xe-ix = cos x i sin x
(1)
Series de Fourier Complejas• De (1), tenemos
(2)
Usando (2) para remplazar cos(nx/p) y sin(nx/p), se tiene
(3)
,2
cosixix ee
x
iee
xixix
2sin
1
////0
222 n
pxinpxin
n
pxinpxin
nee
bee
aa
1
//0 )(21
)(21
2 n
pxinnn
pxinnn eibaeiba
a
1
/
1
/0
n
pxinn
n
pxinn ececc
donde c0 = a0/2, cn = (an ibn)/2, c-n = (an + ibn)/2. Donde la función f es real, cn y c-n son números complejos conjugados.Tenemos
(4)p
pdxxf
pc )(
121
0 ．
(5)
p
p
pxin
p
p
p
p
p
p
nnn
dxexf
dxxpn
ixpn
xfp
dxxpn
xfpidxx
pn
xfp
ibac
/)(21
sincos)(21
sin)(1
cos)(1
21
)(21
(6)
p
p
pxin
p
p
p
p
p
p
nnn
dxexf
dxpn
ixpn
xfp
dxxpn
xfpidxx
pn
xfp
ibac
/)(21
sincos)(21
sin)(1
cos)(1
21
)(21
Las Series de Fourier Complejas de función f definidaen un intervalo (p, p) están dadas por
(7)
donde (8)
DEFINICIÓN 12.7Series de Fourier Complejas
n
pxinnecxf /)(
,2,1,0,)(21 /
ndxexfp
cp
p
pxinn
• Si f satisface la hopótesis del Teorema 12.1, una serie d eFourier compleja converge a f(x) en un punto de continuidad y al promedio
en un punto de discontinuidad.
2)()( xfxf
Ejemplo 1
Desarrolle f(x) = e-x, < x <, en una serie de Fourier compleja.Solucióncon p = , (8) se obtiene
][)1(2
121
21
)1()1(
)1(
inin
xininxxn
eein
dxedxeec
Ejemplo 1 (2)
Empleando la fórmula de Euler
De ahí se tiene que
(9)
eninee
enineenin
nin
)1()sin(cos
)1()sin(cos)1(
)1(
1
1sinh)1(
)1(2)(
)1( 2
n
ininee
c nnn
Ejemplo 1 (3)
Entonces la serie de Fourier compleja es
(10)
La serie (10) converge al desarrollo de período 2 de f.
n
inxn en
inxf
1
1)1(
sinh)( 2
Frecuencia Fundamental
• El período fundamental es T = 2p y por tanto p = T/2. La serie de Fourier se transforma en
(11)
donde = 2/T se llama frecuencai angular fundamental.
1
0 )sincos(2 n
nn xnbxnaa
n
xinnec
Espectro de Frecuencias
• Si f es periódica y tiene período fundamental T, el conjunto de puntos (n, |cn|) se llama espectro de frecuencias de f.
Ejemplo 2
• En el Ejemplo 1, = 1, por lo cual n ecibe valores de 0, 1, 2, … Usando , vemos de (9) que
Fig 12.17.1
1sinh ||
2
22
nc
i
n
Fig 12.17
Ejemplo 3• Halle el espectro de la onda mostrada en Fig12.18. La
onda es la extensión periódica de la función f:
21
41
41
41
41
21
,0
,1
,0
)(
x
x
x
xf
Ejemplo 3 (2)SoluciónAquí T = 1 = 2p so p = ½. Como f es 0 en (½, ¼) y (¼, ½), (8) se transforma en
2sin
1
21
41
41
2
)1()(
2/2/2
41
41
221
21
2
nn
c
iee
nine
dxedxexfc
n
ininxin
xinxinn
Ejemplo 3 (3)
Es fácil de comprobar que
Fig 12.19 ilustra el espectro de frecuencias de f.
2141
410 dxc
Fig 12.19
12.5 Problema de Sturm-Liouville
• Valores propios y funciones propiasRecuerde el ejemplo Ejemplo 2, Sec 3.9
(1)
Esta ecuación posee soluciones no triviales sólo cuando toma valores n = n22/L2, n = 1, 2, 3,… llamados valores propios. Las soluciones no triviales correspondientes y = c2 sin(nx/L) o simplemente y = sin(nx/L) se llaman funciones propias.
0)(,0)0(,0 Lyyyy
Ejemplo 1
• Se deja como ejercicio demostrar que los tres casos posibles: = 0, = 2 < 0, = 2 > 0, ( > 0), que los valores propios y las funciones propias para
(2)
son respectivamente n = n2 = n22/L2, n = 0, 1,
2, …y y = c1 cos(nx/L), c1 0.
0)(,0)0(,0 Lyyyy
Problema Regular de Sturm-Liouville
• Sean p, q, r y r funciones de valores reales continuas en [a, b], y sea r(x) > 0 y p(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces se dice que
Resolver (3)
Sujeta a (4)(5)
es un problema regular de Sturm-Liouville. Los coeficientes en (4), (5) se suponen reales e independientes de .
0))()((])([ yxpxqyxrdxd
0)()( 11 ayay 0)()( 22 ayay
Ch12_79
(a) Existe un número infinito de valores propios realesque se pueden arreglar en orden creciente 1 < 2 < 3 < … < n < … tal que n → cuando n → .
(b) Para cada vlor propio hay sólo uan función propia (excepto para multiplos constantes no nulos).
(c) Las funciones propias que corresponden a diferentesvalores propios son linealmente independientes.
(d) El conunto d efunciones propias que corresponden al conjunto de valores propios es ortogonal con respecto a la función pesop(x) en el intervalo [a, b].
TEOREMA12.3 Propiedades del Problema Regular de Strum-Liouville
Demostración de(d)Sean ym e yn be funciones propias correspondientes a valores propios m y n. Entonces
(6)
(7)
De (6)yn (7)ym tenemos
0))()((])([ mmm yxpxqyxrdxd
0))()((])([ nnn yxpxqyxrdxd
')(')()()( mnnmnmnm yxrdxd
yyxrdxd
yyyxp
Integrando la ecuación anterior de a a b, se tiene
(8)
Como todas las soluciones deben satisfacer las condiciones de frontera (4) y (5), de (4) tenemos
0)(')(
0)(')(
11
11
ayBayA
ayBayA
nn
mm
)]()()()()[(
)]()()()()[(
)()(
ayayayayar
bybybybybr
dxyyxp
mnnm
mnnm
b
a nmnm
Para que A1 y B1 no nulas ambas, satisfagan el sistema, el determinante de los coeficientes debe valer cero
De manera similar de (5), tenemos
Así el lado derecho de (8) vale cero.De ahí tenemos la relación de ortogonalidad
(9)
0)(')()(')(
0)(')()(')(
bybybyby
ayayayay
mnnm
mnnm
nm
b
a nm dxxyxyxp ,0)()()(
Ejemplo 2
Resolver(10)
Solución Se debería verificar que para = 0 y < 0, (10) sólo posee la solución trivial. Para = 2 > 0, > 0, la solución general es y = c1 cos x + c2 sin x. Ahora la condición y(0) = 0 implica c1 = 0, así que y = c2 sin x. La segunda condición y(1) + y(1) = 0 implica c2 sin + c2 cos. = 0.
0)1()1(,0)0(,0 yyyyy
Ejemplo 2 (2)
Escogiendo c2 0, tenemos(11)
De Fig 12.20, vemos que hay infinitas soluciones para > 0. Es fácil obtener los valores de > 0. Así que los valores propios son n = n
2, n = 1, 2, 3, …y las funciones propias correspondientes sonyn = sin nx.
tan
Fig 12.20
Problema Singular de Sturm-Liouville
• Existen varias condiciones para (3)– r(a) = y se especifica una condición de frontera del
tipo provisto en (5) en x = b; (12)– r(b) = 0 y se especifica una condición de frontera del
tipo provisto en (4) en x = a. (13)– r(a) = r(b) = 0 y no se especifica ninguna condición
de frontera en x = a ni en x = b; (14)– r(a) = r(b) y las condiciones de frontera y(a) = y(b),
y’(a) = y’(b). (15)
Observaciones:
• La ecuación (3) que satisface (12) y (13) es un problema singular de valores en la frontera.La ecuación (3) que satisface (15) es un problema periódico de valores en la frontera.
• Al suponer que las soluciones de (3) están acotadas en [a, b], de (8) se tiene– Si r(a) = 0, entonces la relación de ortogonalidad
(9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = a; (16)
– Si r(b) = 0 , entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = b; (17)
– Si r(a) = r(b) = 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = a ni en x = b; (18)
– Si r(a) = r(b), entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple con las condiciones de frontera periódicas y(a) = y(b), y’(a) = y’(b). (19)
Forma Autoconjunta
• En realidad (3) es al misma que(20)
Así podemos escribir la ecuación diferencial de Legendre como
(21)
Aquí hallamos que el coeficiente de y es al derivada del coeficiente de y.
0)1('2")1( 2 ynnxyyx
0))()(()()( yxpxqyxryxr
0)1(])1[( 2 ynnyxdxd
• Además, si los coeficientes son continuos y a(x) 0 para todo x en un intervalo, entonces cualquier eduación diferencial de segundo orden
(22)swe puede reformular en la llamada forma autoadjunta (3).
• Para entender el hecho anterior, empezamos desdea1(x)y + a0(x)y = 0
Sea P = a0/a1, = exp( Pdx), = P, entoncesy + Py = 0, y + Py = 0,
Así d(y)/dx = 0.
0))()(()()( yxdxcyxbyxa
• Ahora para (22), sea Y = y, el factor de integración e [b(x)/a(x)] dx. En este caso (22) se transforma en
En resumen, (22) puede transformarse en
......)()(
')(/)()(/)()(/)(
Ye
dxd
Yexaxb
Yedxxaxbdxxaxbdxxaxb
(23) 0)()(
)()(
')()(
"
)/()/(
)/()/(
yexaxd
exaxc
yexaxb
ye
dxabdxab
dxabdxab
• Además, (23) es la misma que (3)
dxabdxabdxab
dxabdxabdxab
exa
xdxpexqexr
yexa
xdeye
dx
d
)/()/()/(
)/()/()/(
)(
)()(,)(,)( donde
0)(
)('
Ejemplo 3
• En la Sec 5.3, vimos que la solución general de al ecuación diferencial paramétrica de Bessel
Dividiendo la ecuación de Bessel entre x2 y multiplicando la ecuación resultante por el factor de integración e [(1/x)] dx = eln x = x, tenemos
)()( es
... ,2 ,1 ,0 ,0)('"
21
2222
xYcxJcy
nynxxyyx
nn
22
22
22
,,/, donde
0)('or ,0)('"
xpxnqxr
yx
nxxy
dx
dy
x
nxyxy
Ejemplo 3 (2)
Ahora r(0) = 0, y de las dos soluciones Jn(x) y Yn(x) sólo Jn(x) está acotada en x = 0. De (16), el conjunto {Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …, es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = x en [0, b]. Así
(24)
Siempre quei y por consiguiente los valores propios i = i
2 se definen por medio de un acondición límite en x = b del tipo provisto en (5):
A2Jn(b) + B2Jn(b) = 0 (25)
,,0)()(0 ji
b
jnin dxxJxxJ
Ejemplo 4
• De (21), identificamos q(x) = 0, p(x) = 1 y = n(n + 1). Recuerde de la Sec 5.3 que cuando n = 0, 1, 2, …, la ED de Legendre posee soluciones polinomiales Pn(x). Observamos que r(−1) = r(1) = 0 junto con el hecho de que Pn(x) son las únicas soluciones de (21) que están acotadas en [−1, 1], para concluir que el conjunto {Pn(x)}, n = 0, 1, 2, …, es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [−1, 1]. Así
nmdxxPxP nm ,0)()(1
1-
12.6 Series de Bessel y Legendre
• Series de Fourier-Bessel Hemos demostrado que{Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …es ortogonal con respecto a p(x) = x en [0, b] cuando i esté definida por medio de
(1)Esta serie ortogonal, o serie de Fourierde generalizada, el desarrollo de una función f definida en (0, b) en términos de este conjunto ortogonal es
(2)
donde(3)
0)()( 22 bJBbJA nn
1
)()(i
ini xJcxf
20
)(
)()(
xJ
dxxfxJxc
in
b
in
i
La norma cuadrada Jn(ix) se define mediante
(4)
Esta serie (2) se llama series de Fourier-Bessel.
b
inin dxxxJxJ0
22 )()(
Relaciones de Recurrencia Diferenciales
• Recordando (20) y (21) da la Sec 5.3, tenemos las relaciones de recurrencia diferenciales como
(5)
(6)
)()]([ 1 xJxxJxdxd
nn
nn
),()]([ 1 xJxxJxdxd
nn
nn
Norma Cuadrada
• El valor de (4) depende de i = i2. Si y = Jn(x)
tenemos que
Al multiplicar por 2xy’, se tiene
0]['
0'
22222
22
ydxd
nxxydxd
yxn
xxydxd
• Integrandopor partes [0, b], se obtiene
Como y = Jn(x), el límite inferior es 0 para n > 0, porque Jn(0) = 0. Para n = 0, en x = 0. Así
(7)
donde y = Jn(x).
0
22222
0
22 )('2bb
ynxxydxxy
,)])[()]([
)(2
2222222
0
22
bJnbbJb
dxxxJ
nn
b
n
• Ahora se consideran tres casos de (1).– Caso I: Si se elige A2 = 1 y B2 = 0, entonces (1) es
(8)Hay un número infinito de raíces positivas xi = ib de (8) (see Fig 5.3), que definen i = xi/b. Los valores propios son positivos y i = i
2 = (xi/b)2. De las raíces negativas de (8) no resulta ningún nuevo valor propio puesto que Jn(−x) = (−1)nJn(x).
0)( bJn
El número 0 no es un valor propio de para ningún n puesto que Jn(0) = 0, n= 1, 2, 3, … y J0(0) = 1. Cuando (6) se escribe como xJn(x) = nJn(x) – xJn+1(x), de (7) y (8) se deduce
(9)
).(2
||)(|| 21
22 bJb
xJ inin
– Caso II: Si se elige A2 = h 0 y B2 = b, entonces (1) es(10)
Hya un número infinito de raíces positvas xi = ib para n = 1, 2, 3, …. Como antes, i = i
2 = (xi/b)2. = 0 no es un valor propio para n = 1, 2, 3, …. Sustituyendo ibJn(ib) = – hJn(ib) en (7), se tiene
(11)
.0)()( bJbbhJ nn
).(2
||)(|| 22
22222 bJ
hnbxJ in
i
iin
– Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), i se definen da las raíces
(12)Aunque (12) es sólo un caso especial de (10), es la única solución para la cual = 0 es un valor propio. Para n = 0, el resultado en (6) implica que J0(b) = 0 es equivalente a J1(b) = 0.
0)(0 bJ
Como x1 = 1b = 0 es una raíz de la última ecuación y puesto que J0(0) = 1 no es trivial, deducimos de 1 = 1
2 = (x1/b)2 que 1 es un valor propio. Pero no podemso utilizar (11) cuando 1
= 0, h = 0, n = 0, y n = 0. Sin embargo de (4) tenemos
(13)Para i
> 0 podemos usar (11) con h = 0 y n = 0:
(14)
2||1||
2
0
2 bdxx
b
).(2
||)(|| 20
22
0 bJb
xJ ii
La serie de Fourier-Bessel de una función f definida enel intervalo (0, b) se expresa mediante(i)
(15)
(16)donde i se definen mediante Jn(b) = 0.
DEFINICIÓN 12.8Serie de Fourier-Bessel
1
)()(i
ini xJcxf
b
inin
i dxxfxJxbJb
c02
12 )()(
)(
2
(continuación)
(ii)(17)
(18)
donde i se definen mediante hJn(b) + bJ’n(b) = 0.
DEFINICIÓN 12.8Serie de Fourier-Bessel
1
)()(i
ini xJcxf
b
inini
ii dxxfxJx
bJhnbc
022222
2
)()()()(
2
(continuación)
(iii)(19)
(20)
donde the i se definen mediante J’0(b) = 0.
DEFINICIÓN 12.8Serie de Fourier-Bessel
201 )()(
iii xJccxf
,)(2
021 b
dxxfxb
c b
ii
i dxxfxJxbJb
c0 02
02 )()(
)(
2
Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto(0, b), entonces un desarrollo de Fourier-Bessel de f converge a f(x) en algún punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-)] / 2 en algún punto donde f es discontinua.
TEOREMA 12.4Condiciones para Convergencia
Ejemplo 1
Desarrolle f(x) = x, 0 < x < 3, enn una serie de Fourier-Bessel , usando función de Bessel de orden uno que satisfacen la condición límite J1(3) = 0.
SoluciónEmpleamos (15) donde ci se expresan mediante (16) con b = 3:
3
0 12
22
2)(
)3(3
2dxxJx
Jc i
ii
Ejemplo 1 (2)
Sea t = i x, dx = dt/i, x2 = t2/i
2, y use (5) en la forma d[t2J2(t)]/dt = t2J1(t):
)()3(
22)(
es desarrollo el Por tanto
)3(
2)]([
)3(9
2
11 2
2
3
0 22
22
3
xJJ
xf
JdttJt
dt
d
Jc
ii ii
iiii
i
i
Ejemplo 2
• Si las i del Ejemplo 1 se definen medianteJ1(3) + J1(3) = 0, lo único que cambia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Como 3J1(3) + 3J1(3) = 0 que concuerda con (10) cuando h = 3, b = 3 y n = 1. Así (18) y (17) producen a su vez
)()3()89(
)3(18)(
)3()89(
)3(18
11
21
22
21
22
xJJ
Jxf
J
Jc
ii ii
ii
ii
iii
La serie de Fourier-Legendre de una función f definida en el intervalo ( － 1, 1) se expresa mediante(i)
(21)
(22)donde i se definen mediante Jn(b) = 0.
DEFINICIÓN 12.9Serie de Fourier-Legendre
0
)()(n
nn xPcxf
1
1)()(
212
dxxPxfn
c nn
Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto( － 1, 1), entonces un desarrollo en serie deFourier-Legendre (21) converge a f(x) en algún punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-) / 2 en un punto donde f es discontinua.
TEOREMA 12.5Condiciones de Convergencia
Ejemplo 3
Escriba los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo de Fourier-Legendre de
Solución De la página 269 y (22):
10
01
,1
,0)(
x
xxf
43
123
)()(23
21
1121
)()(21
1
0
1
1 11
1
0
1
1 00
xdxdxxPxfc
dxdxxPxfc
Ejemplo 3 (2)0)13(
21
125
)()(25 1
0
21
1 22 dxxdxxPxfc
12.22. Fig Véase
...)(32
11)(
16
7)(
4
3)(
2
1)(
que ahí De32
11)157063(
8
11
2
11)()(
2
11
0)33035(8
11
2
9)()(
2
916
7)35(
2
11
2
7)()(
2
7
5310
1
0
351
1 55
1
0
241
1 44
1
0
31
1 33
xPxPxPxPxf
dxxxxdxxPxfc
dxxxdxxPxfc
dxxxdxxPxfc
Fig 12.22
Otra Forma de la Serie
• Si se establece x = cos , x = 1 implica que = 0, x = −1 implica que = . Como dx = −sin d, (21) y (22) se transforma, respectivamente, en
(23)
(24)
donde f(cos ) se ha remplazado por F().
0
)(cos)(n
nnPcF
,sin)(cos)(2
120
dPFn
c nn
