Aula Presencial 14-03-2015 (1)
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Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco
Clculo III
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Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de Pernambuco
Clculo IIIProfessor-formador:
Jos Domingos Albuquerque Aguiar
Tutores:Aleksandros El Aurens Meira de Souza (Limoeiro)
Cleiton Lus de Siqueira Alves (Dias dvila)
Anderson Spinelli Valdevino da Silva(Santana do Ipanema)
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Clculo III
Objetivo:
Definir e compreender integrais imprprias.
Sumrio:Reviso das principais integrais indefinidas;
Reviso do mtodo da substituio;
Definir integrais imprprias;Resolver exemplos.
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Rpida Reviso de IntegraisTABELA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS
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Rpida Reviso de IntegraisRegra da Substituio: Exemplo 1
Encontre Fazemos a substituio de u = x4+2 porque sua diferencial du = 4x3dx, que, parte do fator constante 4, ocorre na integral. Assim, usando x3dx = du/4 temos:
=
= = ( )
Note que no estgio final retornamos para a varivel original x.
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Rpida Reviso de IntegraisRegra da Substituio: Exemplo 2
Encontre Seja u = 1 - 4x2. Ento du = -8x dx, portanto x dx = - du/8
=
=
= ( ) = ( )
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Rpida Reviso de IntegraisRegra da Substituio: Exemplo 3
Encontre Seja u = x-2. Ento du = dx
=
= /
= /
=2/ =
Observao: Iremos utilizar essa integral mais a frente nesta aula
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Na definio de integral definida
,trabalhamos com uma funo f definida em umintervalo [a,b] e presumimos que f no tenha uma
descontinuidade infinita.
Estudaremos o conceito de integral definida para o
caso em que o intervalo infinito e tambm para o
caso onde f tem uma descontinuidade infinita em[a,b]. Em ambos os casos, a integral chamada
integral imprpria.
Integrais Imprprias
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Vamos estudar a rea da regio S que est sob a
curva y = 1/x2, acima do eixo x e direita da reta x=1.
Voc poderia pensar que, como S tem extenso
infinita, sua rea deve ser infinita, mas vamos olharcom mais ateno.
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A(t) = = - = 1- Observe que A(t) < 1 independente de quo grande t
seja escolhido.
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Observe as figuras abaixo e note que a rea da regio
sombreada se aproxima de 1 quando t
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Isso ocorre porque:
lim = lim =
Assim, conclumos que:
12
= lim
12 = 1
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Definio de Integral Imprpria do Tipo 1
a) Se , dx existe para cada nmero t a, ento
= lim
Desde que o limite exista (como nmero).
b) Se , dx existe para cada nmero t b, ento
= lim Desde que o limite exista (como nmero).
Integrais Imprprias
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Definio de Integrais Convergentes e Divergentes
As integrais imprprias e sochamadas convergentesse os limites
correspondentes existem e divergentesse os limitesno existem.
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Exemplos de Integrais Convergentes e Divergentes
= 1, (obs.: esse exemplo j foi feito)logo essa integral convergente.
1
= lim 1
=
limln ||
= lim( l n l n 1 ) = logo essa integral divergente.
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Definio de Integral Imprpria do Tipo 1
(continuao)
c) Se ambas e , so convergentes, entodefinimos
=
Nesta parte, qualquer nmero real a pode ser usado.
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Definio de Integral Imprpria do Tipo 2
a) Se f contnua em [a,b) e descontnua em b, ento
= lim
Se esse limite existir (como nmero).
b) Se f contnua em (a,b] e descontnua em a, ento
= lim+
Se esse limite existir (como nmero).
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Definio de Integral Imprpria do Tipo 2
(continuao)
c) Se f tiver uma descontinuidade em c, onde a < c < b, e
ambas as integrais imprprias e foremconvergentes, ento definimos.
= +
Integrais Imprprias
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Exemplo de Integral Imprpria do Tipo 2
(observe que existe uma descontinuidade infinita que
ocorre em x=2.
2 = lim
+
= lim
+
=
lim+ =
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Na prxima aulacontinuaremos estudando
algumas aplicaes comintegrais imprprias