Autoinducción. Circuito R-L
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Autoinducción. Circuito R-L Electromagnetismo Autoinducción e Inducción mutua Autoinducción. Circuito R-L Circuitos acoplados (I) Circuitos acoplados (II) Oscilaciones eléctricas Circuito LCR conectado a una batería El problema de los dos condensadores Elementos de un circuito de C.A. Sistema electro- mecánico oscilante Medida de la auto- inducción de un anillo Circuito LCR en serie Resonancia Medida de la velocidad de la luz en el vacío Efectos mecánicos de la ley de Faraday Caída de un imán El anillo de Thomson (I) El anillo de Thomson (II) Autoinducción Establecimiento de una corriente en un circuito Caída de la corriente en un circuito Energía del campo magnético Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito Actividades Solenoide de longitud variable Referencias Autoinducción En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida. Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i. 1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère 2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través Autoinducción. Circuito R-L http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/autoinducci ... 1 de 11 05/04/2011 11:24 a.m.
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Autoinducción. Circuito R-L
Electromagnetismo
Autoinducción e Inducción mutua
Autoinducción. Circuito R-L
Circuitos acoplados (I)
Circuitos acoplados (II)
Oscilaciones eléctricas
Circuito LCR conectadoa una batería
El problema de losdos condensadores
Elementos de un circuito de C.A.
Sistema electro-mecánico oscilante
Medida de la auto-inducción de un anillo
Circuito LCR en serieResonancia
Medida de la velocidadde la luz en el vacío
Efectos mecánicos dela ley de Faraday
Caída de un imán
El anillo de Thomson (I)
El anillo de Thomson (II)
Autoinducción
Establecimiento de una corriente en un circuito
Caída de la corriente en un circuito
Energía del campo magnético
Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito
Actividades
Solenoide de longitud variable
Referencias
Autoinducción
En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado alpropio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquiercircuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida quedenominaremos fuerza electromotriz autoinducida.
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido poruna corriente de intensidad i.
1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoidesuponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenidoaplicando la ley de Ampère
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través
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de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio Fy la intensidad i.
Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamentedepende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de lasustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de unsolenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro quesi se encuentra en el vacío
La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, enhonor a Joseph Henry.
f.e.m. autoinducida
Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m.en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, esdecir de intensidad.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación decorriente.
Establecimiento de una corriente en un circuito
Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no
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alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda uncierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo quedepende de la resistencia.
La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por laautoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.
En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y unaautoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una femequivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno delos tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que
Vab+Vbc+Vca=0
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condicionesiniciales t=0, i=0.
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, laintensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muyrápidamente.
Caída de la corriente en un circuito
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Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería,la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda ciertotiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamientohay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se generauna fem que se opone a la disminución de corriente.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una femequivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno delos dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que idisminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa
Vab+Vba=0
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condicionesiniciales t=0, i=i0.
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de loscasos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.
Energía del campo magnético
Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesariosuministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempoes V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en
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la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito
iR=V0+VL
Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.
El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. Elprimer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, esla energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en laautoinducción o su campo magnético asociado.
Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por labobina una corriente de intensidad i.
Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en suinterior se escribe
La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética(energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociadaa un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula
La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.
Comprobación
Cuando se cierra el circuito
La energía suministrada por la batería hasta el instante t es
La energía disipada en la resistencia es
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La energía acumulada en la autoinducción en forma de campomagnético es
Como podemos comprobar E0=ER+EB
Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada enla autoinducción se disipa en la resistencia.
La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0
Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con eltiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia porefecto Joule será P=i2R
Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada.
Establecimiento y caída de la corriente eléctrica enel circuito
Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemosobservar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corrienteen el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso decarga y descarga de un condensador a través de una resistencia.
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Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene unvalor constante e igual a V0. Se establece la corriente en el circuito durante untiempo P/2.
La intensidad i en el intervalo 0<t<P/2 es
Se calcula la intensidad final i1 en el instante t=P/2. En este instante, la fem sehace cero, la corriente cae en el circuito.
La corriente i en el intervalo P/2<t<P es,
Se calcula la intensidad final i2 en el instante t=P
La corriente i en el intervalo P<t<3P/2 es, se obtiene integrando no es entre loslímites 0 y i, sino entre la intensidad remanente i2 e i.
Calculamos la intensidad final i3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.
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Actividades
Introduciendo una señal cuadrada en el circuito RL, observamos elestablecimiento y caída de una corriente en un circuito. Representamosconjuntamente la fem V0 y la diferencia de potencial en los extremos de laresistencia vR=iR en la pantalla de un "osciloscopio".
Se introduce
La resistencia R en WLa autoinducción L (en mH ó 10-3 H)La fem V0, en voltiosLa frecuencia f en Hz de la señal cuadrada. El periodo P es la inversa de lafrecuencia, P=1/f . Por ejemplo, si la frecuencia es 40 Hz el periodo es0.025 s
Se pulsa en el botón titulado Gráfica.
Ejemplo
R=2 Ω
L=6.5·10-3 H
f=40 Hz
V0=7.0 V
El periodo es P=1/f=0.025 s
En el instante t=P/2=0.0125 s la intensidad vale
La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es VR=i1·R=6.85 V
En el instante t=P=0.025 s la intensidad vale
La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es VR=i2·R=0.15 V
En el instante t=3P/2=0.0375 s la intensidad vale
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La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es VR=i3·R=6.85 V
y así, sucesivamente
Solenoide de longitud variable
En la página “Condensador plano-paralelo” estudiamos los cambiosenergéticos que ocurrían cuando se desplazaba una de las placas delcondensador plano-paralelo conectado a una batería.
Las placas de signos opuestos se atraen, con una fuerza que hemos calculado½qE, la mitad del producto de la carga q de las placas por el campo eléctricouniforme existente E entre las placas.
El solenoide está formado por espiras. Cuando la corriente pasa por elsolenoide las espiras se atraen, debido a que las corrientes circulan en el mismosentido. Resulta complicado calcular la fuerza de atracción entre las espiras. Lafuerza F (véase la figura) que tenemos que ejercer para incrementar laseparación entre las espiras, es decir, la longitud del solenoide se puedecalcular de forma indirecta.
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Cuando se conecta una batería V0 a una resistencia R y una autoinducción L, lacorriente se incrementa, la autoinducción se comporta como una batería VLque se opone al incremento de la corriente, el circuito equivalente de la partederecha de la figura.
donde la autoinducción L ahora no es constante.
La ecuación del circuito
Vab+Vbc+Vcd+Vda=0
Multiplicando por la intensidad,
Teniendo en cuenta que
Tenemos la relación
La ecuación de la energía del circuito se escribe
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El primer término, es la energía por unidad de tiempo suministrada por labatería
El segundo, es la energía por unidad de tiempo, que se pierde en laresistencia
El tercer término, es la energía por unidad de tiempo que se acumula enla autoinducción en forma de campo eléctrico.
El cuarto término, ha de ser la energía por unidad de tiempo suministradapor la fuerza externa F aplicada (potencia).
La batería y el trabajo de la fuerza externa contribuyen, por una parte, aincrementar la energía del campo magnético en el interior del solenoide y por laotra a calentar la resistencia.
En el caso de un solenoide de longitud l, formado por N espiras de sección S
Despejamos la fuerza F
Donde el término entre paréntesis es precisamente el campo magnético en elinterior de un solenoide.
Un argumento similar, se puede emplear para determinar la fuerza necesariapara incrementar la sección S de las espiras, manteniendo constantes lalongitud del solenoide y el número de espiras.
Referencias
Para el último apartado: "Solenoide de longitud variable"
Blanchard C. H. Magnetic pressure and tension via the solenoid. Am .J Phys. 44 (9) September 1976, pp.891-892
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