1Resumen En este trabajo se propone unatcnica hbrida para la sntesis de controladores desistemas dinmicos no lineales, pertenecientes a laclase de los sistemas suaves y afines en la seal decontrol; tal tcnica integra, de manera original,elementos de las teoras de control por mododeslizante, control difuso y control por gananciaprogramada. El esquema hbrido propuesto garantizala transicin estable dentro de un conjunto decondiciones de operacin y logra corregir losinconvenientes inherentes a cada una de las teorascuando actan de manera individual, as por ejemplo:se corrige el carcter cualitativo y heurstico que rodeael control difuso, mediante la implantacin de unprocedimiento sistemtico que orienta la asignacin deconjuntos difusos y la configuracin de la base dereglas difusas, se logra la completa cancelacin de lasoscilaciones de alta frecuencia en la seal de control,principal inconveniente de la tcnica de control pormodo deslizante y finalmente, se subsana la debilidadde la estrategia de ganancia programada, esto es, la nogaranta de estabilidad a lazo cerrado en el momentode transiciones.

Palabras clave Sistemas No Lineales, Control por ModoDeslizante, Control Difuso, Ganancia Programada.

I. INTRODUCCINl Control por Modo Deslizante (CMD) es una tcnicapoderosa para controlar sistemas no lineales, la cual

consiste en el empleo de acciones de control conmutadaso discontinuas, con una o varias superficies deconmutacin o deslizamiento, en donde una vez alcanzadauna superficie el sistema entra en modo de deslizamientoy presenta caractersticas de invariabilidad en cuanto aincertidumbres y perturbaciones externas; sin embargo,esta tcnica posee, entre otras, las siguientes desventajas[7]: oscilaciones de alta frecuencia en la seal de control(fenmeno mejor conocido por el trmino anglosajn

chattering) y sensibilidad ante el ruido, debido a que laentrada depende del signo de la variable medida, al tomarvalores alrededor de cero. Esto implica que los elementosactuadores deben estar sometidos a una intensa actividad,generalmente, en perodos prolongados de tiempo, lo cualreduce el tiempo de vida til de los mismos. La tcnica deCMD ha sido empleada en aplicaciones de diversas reas,tales como: accionamientos elctricos, robtica, control deprocesos, vehculos areos y submarinos, sistemaselctricos de potencia, entre otras [11]. Okayay Kaynak,et. al. [7] atribuyen el elevado empleo de la tcnica deCMD al buen desempeo de control en sistemas nolineales, aplicabilidad a sistemas de mltiples entradas ymltiples salidas, criterios de diseo bien establecidospara sistemas en tiempo discreto y, como ya se mencionanteriormente, la propiedad ms importante y que hadespertado el inters en muchos investigadores: lainvariabilidad con respecto a incertidumbres yperturbaciones externas. Por su parte, un controladordifuso, est fundamentado en la teora de conjuntosdifusos y en la lgica difusa propuestas por Lotfi A. Zadehen 1965 [20] como un modo matemtico derepresentacin de la vaguedad e imprecisin existente enel lenguaje, objetos fsicos reales y en la forma de pensardel ser humano. El control difuso, permite convertir unaestrategia de control lingstica, expresada en el formatode reglas difusas If Then, en una estrategia de controlautomtico, cuyo procedimiento de diseo se abordadesde una perspectiva de ensayo y error.

La ganancia programada es una tcnica clsica, deamplio uso en la industria, la misma es ms conocida porsu denominacin anglosajona gain scheduling, estacontempla el control de un sistema no lineal a travs de unconjunto de tareas lineales.

Asegurar la transicin de un sistema no lineal entrepuntos de operacin, constituye una componentefundamental del control de sistemas no lineales sobre unamplio espectro de condiciones de operacin. Talproblema ha sido abordado por diferentes tcnicas, entre

Aplicacin de la Tcnica de GananciaProgramada Difusa por Modo Deslizante al

Control de la Transicin entre Condiciones deOperacin de un Brazo Robot

Jos Manuel Andrade Da Silva (), Pedro Antonio Teppa Garrn y Jos Jess Ferrer SurezCentro de Teora Matemtica de Sistemas

Universidad Simn Bolvar, Departamento de Procesos y Sistemas, Edificio de Matemticas y Sistemas,Piso 3, Ofic. 318. Apdo. Postal 89000, Caracas, Venezuela. e-mail (): jandrade@usb.ve

E

2las que destacan: el control adaptativo multimodelos [2],las redes neuronales [15] y la ganancia programada [9].

Los sistemas no lineales considerados pertenecen a laclase de los sistemas no lineales suaves (continuamentediferenciables en la totalidad del espacio de operacin delsistema), y afines en la seal de control.

En este trabajo se resuelve el problema de transicinentre condiciones de operacin de un sistema dinmico nolineal; integrando de una manera, a juicio de los autores,completamente novedosa, resultados de las teoras decontrol por modo deslizante, control difuso, y control porganancia programada. Tal formalismo lo denominamosGanancia Programada Difusa por Modo Deslizante(GPDMD).

El artculo est estructurado de la siguiente forma: laseccin II contiene los fundamntos tericos de Controlpor Modo Deslizante, Control Difuso y GananciaProgramada. En la seccin III se presenta el problema detransicin entre condiciones de operacin, mientras queen la seccin IV se plantea el problema de oscilaciones dealta frecuencia en la seal de control. La seccin V estdedicada a la formulacin de la metodologa deGanancia Programada Difusa por Modo Deslizante, enla seccin VI se presentan los resultados obtenidos en laaplicacin de la tcnica propuesta a un brazo robot de dosarticulaciones, finalmente en la seccin VII estn lasconclusiones del presente trabajo.

II. FUNDAMENTOS TERICOSEn esta seccin se expondrn diversos elementos

conceptuales los cuales por su particular naturaleza seencuentran dispersos en la literatura especializada, y delos cuales se nutre, en mayor o menor grado, elformalismo hbrido desarrollado.

A. Control por Modo DeslizanteLa teora de sistemas de control de estructura variable

en modo de deslizamiento o sistemas de control por mododeslizante SCMD, consiste en el empleo de acciones decontrol conmutadas o discontinuas, con una o variassuperficies de conmutacin, en donde una vez alcanzadauna superficie (dependiendo del esquema de conmutacinempleado), el sistema entra en modo de deslizamiento ypresenta caractersticas de invariabilidad en cuanto aincertidumbres y perturbaciones externas. Las superficiesde conmutacin se conocen tambin como: funciones deconmutacin, [5] o superficies de deslizamiento [11],stas son definidas como sigue:

Definicin 1: Una superficie de deslizamiento jS se

define mediante una funcin lineal escalar ( )xjs de laforma siguiente:

( ) == 0xx jnj sS , mj , ,2,1 K= (1)

donde ( )xjs se denomina funcin de conmutacin y mcorresponde al nmero de entradas del sistema.

La trayectoria de estado de un sistema de control pormodo deslizante, presenta dos comportamientos, loscuales se definen a continuacin:

Definicin 2 (Modo de Alcance o Reaching Mode):Un sistema se encuentra en modo de alcance cuando unatrayectoria originada en cualquier punto del espacio deestado evoluciona hacia la superficie de deslizamiento,alcanzando dicha superficie (en un tiempo finito)

Garantizar el alcance de una superficie dedeslizamiento es un elemento crucial en un SCMD, estodepende del cumplimiento de una condicin, la cual,recibe el nombre de condicin de alcance. Existen variosenfoques [5]; sin embargo, destaca la ley de alcance omtodo de alcance, adoptado por nosotros en el presentetrabajo. Tal enfoque determina la dinmica de la funcinde conmutacin, la forma general viene dada por: ( ) ( )sKfsQs = sgn& (2)con [ ]Tmi sss 1 LL=s , mmQ una matrizdiagonal tal que 0>iiq , y mmK una matrizdiagonal con 0>iik . Por su parte, las funciones jfverifican la condicin siguiente:( ) 0>jjj sfs cuando 0js con mj ,,1 L= (3)Definicin 3 (Modo Deslizante o Sliding Mode):Un sistema se encuentra en modo deslizante cuando latrayectoria de estado tiende asintticamente al origen delespacio de estado a travs de la superficie dedeslizamiento.

La ley de control en un SCMD puede disearse a partirde dos estrategias, la primera basada en el esquema deconmutacin que se elija y la segunda, en el empleo deestructuras predefinidas para la ley de control [5]. Dentrode la primera estrategia de control se tiene, entre otras, laley de control para el esquema de conmutacin de ordenlibre, esta se obtiene a partir de la ley de alcance.

Si en el diseo de una ley de control se combina conuna condicin de alcance, el diseo apropiado de lasuperficie de deslizamiento, es posible asegurar laestabilidad asinttica del sistema [6].

B. Control Difuso (Modelo Takagi-Sugeno)Un controlador difuso, est fundamentado en la teora

de conjuntos difusos y en la lgica difusa propuestas porZadeh [20] como un modo matemtico de representacinde la vaguedad e imprecisin existente en el lenguaje,objetos fsicos reales y en la forma de pensar del serhumano. Tal controlador est formado por las siguienteunidades: Interfaz de Fuzzificacin o Fuzzificador, laBase de Conocimiento integrada a su vez por una Base deDatos y por una Base de Reglas, el Mecanismo deInferencia y, finalmente la Interfaz de Defuzzificacino Defuzzificador

3Un sistema de control difuso generalmente emplea elmodelo de MAMDANI o el modelo de TAKAGI-SUGENO (TS). Este ltimo fue propuesto por Takagi ySugeno [16] y posteriormente desarrollado por Sugeno yKang [14]. La diferencia principal entre ambos modelosradica en el consecuente de las reglas difusas queconforman la base de reglas del sistema. En el modelo deMamdani se emplean conjuntos difusos en el consecuente,los cuales pueden ser lineales, no lineales o singletons;mientras que en el modelo TS se emplea una combinacinlineal de las variables de entrada del sistema difuso. Otracaracterstica interesante es que combina una descripcinmatemtica y una descripcin lingstica en un solomodelo, esto es importante en aplicaciones en donde sepuede reflejar el conocimiento de un experto mediantereglas difusas If-Then y el modelo matemtico que sedispone es incompleto o muy complejo para ser empleadoen el diseo de un sistema de control.

La j-sima implicacin difusa en el modelo TS es:( ) ( ) (4)

Entonces es y y es Si

22

1111

jqqjj

jjjqjqjj ftt

++++=

LL

con ( )tjk variables medibles del sistema, jk conjuntosdifusos particionados en el espacio del universo dediscurso de las variables medibles ( )tjk y jkconstantes con rj ,,2,1 L= y qk ,,2,1 L= .

C. Ganancia ProgramadaLa ganancia programada es una tcnica clsica, de

amplio uso en la industria, la misma es ms conocida porsu denominacin anglosajona gain scheduling, yconstituye una forma de atacar la restriccin local de latcnica de linealizacin de las ecuaciones no lineales deun sistema. La mencionada tcnica es, en esencia, unaaproximacin intuitiva y profundamente heurstica que hacobrado fuerza e inters en la comunidad cientficadebido a su xito en una amplia variedad de problemas decontrol. El procedimiento general de tal tcnicaevoluciona en los siguientes trminos:1. Linealizar las ecuaciones dinmicas del sistema no

lineal alrededor de un conjunto de puntos deequilibrio.

2. Determinar un controlador para cada modelo lineal atravs de un mtodo convencional de sistemaslineales invariantes en el tiempo (LTI, por sus siglasen ingls).

3. Construir una ley de control global, que puedeconsistir en la interpolacin de parmetros de loscontroladores locales.

4. Asegurar la estabilidad y el desempeo del sistema nolineal, a lo largo de los puntos intermedios mediantesimulaciones intensivas.

Existen varios inconvenientes asociados a tal estrategia,en particular, esta no garantiza la estabilidad a lazocerrado. Adicionalmente, un know how probado y unconocimiento del sistema, son a menudo indispensables

en la implantacin de tal estrategia. Este ltimo punto setraduce en el hecho, de que este tipo de mtodos no esreproducible en un contexto general.

III. PROBLEMA DE TRANSICIN ENTRE CONDICIONES DEOPERACIN

Considere un sistema dinmico no lineal afn en la sealde control P descrito 0 t por las ecuaciones ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ))(),( tttttt uxfuxhxgx =+=& (5)donde ( ) nx Xt es el vector de estado, X es unconjunto abierto, ( ) mUt u es el vector de control,U es el conjunto de todos los controles admisibles demanera que U(.)u es una funcin medible. El espaciode operacin de P es UxX = con vector deoperacin ( ) = ux , . Las funciones vectoriales g yh son 1C por lo que cumplen una condicin de Lipschitzen las vecindades de los puntos de operacin en , loque garantiza la existencia y unicidad de las soluciones de(5).

Adicionalmente, el conjunto de condiciones de operacines definido como

= { ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) pjjeqjeqjeqjeq ,,1 ,,:, K=== 0uxfux }(6)

De igual forma, definimos una programacin queregula las transiciones en a travs de la variable( )tPx .Problema 1 Determine una ley de control global( ) mUt u que garantice las transiciones del sistemano lineal P conforme a una programacin ( )tPx dentrodel conjunto de condiciones de operacin . Talestransiciones deben asegurar la estabilidad a lazo cerradode P y ciertas especificaciones de desempeo.

IV. PROBLEMA DE OSCILACIONES DE ALTA FRECUENCIAEN LA SEAL DE CONTROL

Las oscilaciones de alta frecuencia en la seal decontrol, fenmeno mejor conocido por el trminoanglosajn chattering, son causadas por lasconmutaciones de alta frecuencia de un CMD que excitalas dinmicas no modeladas de sensores o actuadores delsistema de control. Este fenmeno implica: control debaja precisin, elevadas prdidas por calor en circuitoselctricos de potencia y alto desgaste en partes mecnicasmviles; esto ha sido considerado como un serioobstculo para su aplicacin [17]. Por tal motivo, se hanrealizado diversos esfuerzos conducentes a reducir y hastaeliminar las oscilaciones de alta frecuencia en la seal decontrol. Entre los enfoques desarrollados se tiene:

(i) Enfoque de Capa Frontera [12]-[13].

4(ii) Enfoque de Observador sin Dinmicas NoModeladas [3].

(iii) Enfoque de Forma Regular [4]-[8].(iv) Enfoque de Rechazo de Perturbaciones [18]-

[19].En el presente trabajo de investigacin se propone un

enfoque hbrido a travs de un algoritmo sistemticobasado en CMD y control difuso. Este enfoque permite lacancelacin de las oscilaciones de alta frecuencia en laseal de control tal como se evidenciar en la aplicacinpresentada.

V. METODOLOGA DE DISEO DE GANANCIAPROGRAMADA DIFUSA POR MODO DESLIZANTE

El enfoque de Ganancia Programada Difusa por ModoDeslizante posee la arquitectura de control mostrada en lafigura 1. En esta arquitectura: P es la planta no linealautnoma multivariable afn en la seal de control, K es eloperador ( )( )x,s jK correspondiente al controlador, y S(j)es el j-simo generador de las superficies de deslizamiento[1].

Figura 1 Arquitectura de Ganancia ProgramadaDifusa por Modo Deslizante

El sistema no lineal P (5) es representado en el interiorde una regin poliedral mediante un modelo lineal incierto[1]. La regin poliedral es construida alrededor del puntode equilibrio jsimo ( ))()( , jeqjeq ux mediante la fijacin deun error de aproximacin entre el sistema no lineal y laaproximacin de primer orden, esto induce un poliedrosimtrico de tamao con ecuacin { ( ) }nixxXx ieqiiS ,,1 , , L== (7)

El modelo lineal incierto tiene la forma( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ))()()(0)()()(0 jeqjjjeqjj ttt uuBBxxAAx +++=& (8)

donde )(0jA y )(0

jB son matrices Jacobianas de dimensin

apropiada y )( jA , )( jB son matrices de

incertidumbres asociadas a los estados y a las entradas,respectivamente. Son considerados todos los puntos deoperacin pj ,,1 L= . Las incertidumbres son acotadasde la siguiente manera:

2

)()( max jiij

A A= , qi 2,,1 K= (9)

2

)()( max jiij

B B= , pi 2,,1 K= (10)donde q es el nmero de estados no lineales y p elnmero de entradas no lineales.

El siguiente resultado muestra que los modosdeslizantes del sistema no lineal (5) y el modelo linealincierto (8) son idnticos. Tal resultado es fundamental ennuestra metodologa, pues permite el empleo de tcnicaslineales de control por modo deslizante para el diseo desistemas no lineales de la clase considerada, y msimportante an, permite garantizar la estabilidad.

Proposicin 1 (Proposicin de Identidad entre ModosDeslizantes): Dado el sistema no lineal P (5), el modelolineal incierto (8) y una superficie de deslizamientodescrita por

( ) ( )( ))()()( , jeqjj tt xxCxs = (11)con pjnmj ,,1, x )( L=C . Si se cumple ( ) ( )( ) ( )xBxxAxg )()()()( jjjeqj t += (12) ( ) ( )[ ]xIBxh )()( jj += (13)con )()(0

)( jjj AAA += , )()(0)( jjj BBB += , ( )x )( jy ( )x )( j de dimensin apropiada.Entonces se garantiza la identidad entre los modosdeslizantes del sistema no lineal P (5) y el modelo linealincierto (8).

La demostracin de la proposicin 1 se encuentra enAndrade [1]. Es de destacar que tal resultado permite eldiseo de la superficie de deslizamiento del sistema nolineal P a partir del modelo lineal incierto.

Para el diseo de la ley de control se emplea elsiguiente resultado.

Proposicin 2: Dado un sistema no lineal P (5) , elconjunto de condiciones de operacin (6), el modelolineal incierto (8), y la variable de programacin ( )tPx .Si:

(a)-. Se verifica la proposicin 1.

(b)-. La matriz ( )*)()(0)( BjBjj IBC + es no singular.Entonces la ley de control:

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )] ( )jeqjjjjj

eqjjjjj tt

usKsQ

xxACBCu

++++

=

sgn

~

~

1

(14)

5con ( ) ( ) ( ) += AjAjj IAA 0~ y ( ) ( ) ( ) += BjBjj IBB 0~garantiza:

(i)-. Alcance de la superficie de deslizamientocorrespondiente a cada condicin de operacin enfuncin de la variable de programacin ( )tPx .(ii)-. Estabilidad Asinttica Global.

Las matrices AI , BI son matrices binarias cuyaestructura esta vinculada a la aplicacin.

La metodologa de diseo propuesta se condensa en elalgoritmo de Ganancia Programada Difusa por ModoDeslizante dado a continuacin.

Paso 1: Definir la variable de programacin px yconjunto de condiciones de operacin .

Paso 2: Construir un modelo lineal incierto (8) paracada condicin de operacin definida en .

Paso 3: Disear la superficie de deslizamiento (11) paracada condicin de operacin en .

Paso 4: Determinar p leyes de control empleando laproposicin 2.

Paso 5: Definir m variables lingsticas asociadas a is yla variable lingstica Px , normalizar losuniversos de discurso en el rango [-1,+1] yasignar conjuntos difusos a cada is y a Pxconsiderando las figuras 2 y 3, respectivamente.

Paso 6 : Construir Base de Reglas siguiendo el formatoestablecido en la tabla 1.

Figura 2: Conjuntos difusos asociados a cadasuperficie de deslizamiento

Figura 3: Conjuntos difusos asociados a la variable deprogramacin

Tabla 1 Formato de la Base de Reglas delControlador para cada condicin de operacin

( )iEQii tZE uus = Entonces es Si ( 0K0Q == , )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]iAABBii ttN KsQxIACIBCus O +++= *01* Entonces es Si ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]iAABBii ttP KsQxIACIBCus O ++++= *01* Entonces es Si

VI. APLICACIN A UN BRAZO ROBOT DE DOSARTICULACIONES (BRDA)

Un brazo robot industrial es un manipuladormultifuncional diseado para desplazar materiales, piezas,herramientas o dispositivos especiales; mediantemovimientos programados en aplicaciones de ensamblaje,pintura por rociado, soldadura, etc. Por lo general, losmovimientos son repetitivos y requieren un alto grado deprecisin en lo referente a posicin y velocidad. Adems,puede ser utilizado en ambientes peligrosos, en los que unoperador humano no debera estar expuesto al realizar suslabores. Estas caractersticas, hacen del brazo robot unelemento importante en algunas aplicaciones deautomatizacin, con altos requerimientos de movilidad ydestreza. Un manipulador articulado posee una serie deenlaces que proveen movilidad y flexibilidad, para laoperacin en un amplio espacio; en el caso que sedesarrolla a continuacin, se considera un Brazo Robot deDos Articulaciones (BRDA). Este sistema es altamentecomplejo por varios aspectos: por un lado elcomportamiento dinmico no lineal natural, y laintroduccin de no linealidades adicionales debido a quelas fuerzas de coriolis y centrifuga no deben serdespreciadas a altas velocidades; adems, la carga inercialen cada unin vara con la posicin del brazo. Por otrolado, la existencia de incertidumbres provenientes delconocimiento incierto de algunos de los componentes delsistema, e.g. cargas desconocidas, imprecisin en lasconstantes de torque de los actuadores o en laspropiedades de la masa del manipulador, dinmicas nomodeladas a alta frecuencia, perturbaciones aditivas en la

6forma de friccin de Coulomb, etc. Obviamente, bajoestas condiciones un sistema de control lineal, no proveeun desempeo satisfactorio, por lo que se requieren otrosesquemas de control como los desarrollados en estetrabajo.

Para el desarrollo del modelo se asume que elmanipulador articulado es un cuerpo rgido, i.e. loselementos del robot (enlaces y uniones) no sufrendeformaciones por elasticidad. Esta aproximacin esvlida en aplicaciones de tipo industrial debido a que lascaractersticas de los materiales empleados en laconstruccin de los mismos, permiten despreciar talesdeformaciones. Por tanto, desde el punto de vistamecnico, se puede considerar el brazo robot como unconjunto de cuerpos rgidos enlazados, que conformanuna estructura cinemtica con un comportamientodinmico altamente no lineal. Adems, se asume que lamasa est concentrada en un punto ubicado en el extremofinal de cada enlace. El modelo matemtico del BRDA estomado de [10].

La dinmica del BRDA puede ser descrita por elsiguiente modelo no lineal:

( ) ( ) vD,NM +=+ &&& (15)donde:

12 : Vector de Posicin.12& : Vector de Velocidad.12&& : Vector de Aceleracin.12 : Vector de Torques.

v : Seal de Perturbacin Externa.( ) 22M : Matriz simtrica definida positiva que

representa la inercia del brazo robot.( ) 12,N & : Vector de fuerzas gravitacional,coriolis, centrfuga y amortiguamiento.

12D : Vector de Perturbacin Externa.El sistema BRDA tiene 2 grados de libertad tanto en el

espacio cartesiano 2x como en el espacio de acoples oarticulaciones 2 .

La matriz de inercia del brazo robot es no singular y dela siguiente forma:

( )

=2221

1211

MMMM

M (16)

donde cada componente de la matriz viene dada por lassiguientes expresiones:

212111 )( lmmM += (17) ( )2121212 cos = llmM (18) ( )2121221 cos = llmM (19) 22222 lmM = (20)

El vector ( ) N,N =& viene dado por( ) ( ) ( )( ) ( )

+++=

sinsin

sinsin

22222212122

1

1111212121222

&&&&

glmllm

glmmllmN

(21)donde 1 y 2 representan los coeficientes deamortiguamiento para 1 y 2 respectivamente.

Se consideran los siguientes valores para los distintosparmetros del modelo:

l1 = 0.2 m; l2 = 0.2 m; m1 = 1.5 kg; m2 = 1 kg;

1 = 2 = 10 kgm2s1Las condiciones de operacin se presentan a travs de

los vectores de estado siguientes:

( )T

eq

= 0 2

0 01 x (22)

( )T

eq

= 0 0 0 2

2 x (23)Por su parte, en las figuras 4 y 5 se muestra el BRDA

para las respectivas condiciones de operacin.

Figura 4: Condicin de Operacin asociado a ( )1eqx

Figura 5: Condicin de Operacin ( )2opx

7Deseamos la transicin entre ambas condiciones deoperacin de manera estable y sin oscilaciones de altafrecuencia en la seal de control. Se sonsidera la siguientecondicin inicial:

( ) [ ]T0 1 0 40 =x (24)y una perturbacin tipo escaln de 4 unidades a partir de 1segundo.

Los resultados obtenidos, empleando el algoritmo deGanancia Programada Difusa por Modo Deslizantepropuesto en el presente trabajo, se presentan acontinuacin.

La figura 6 muestra la variable de programacin ( )txP .

Figura 6 Variable de Programacin

En las figuras 7 y 8 se tiene la respuesta de la plantacorrespondiente a la posicin y velocidad angular de laprimera articulacin del brazo robot.

Figura 7 Posicin Angular de la primera articulacindel BRDA

Figura 8 Velocidad Angular de la primeraarticulacin del BRDA

Por su parte, las figuras 9 y 10 muestran la respuestadel sistema BRDA referentes a posicin y velocidadangular de la segunda articulacin.

Figura 9 Posicin Angular de la segunda articulacindel BRDA

Figura 10 Velocidad Angular de la segundaarticulacin del BRDA

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

segundos

rad/seg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

segundos

radianes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

segundos

rad/seg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

segundos

radianes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

segundos

radianes

8A continuacin se presentan los resultados referentes alas seales de control (Figura 11 y 12). Cabe destacar lainexistencia de oscilaciones de alta frecuencia en ningunade las seales.

Figura 11 Seal de control 1u

Figura 12 Seal de control 2u

VII. CONCLUSIONESSe desarroll un formalismo de control hbrido que

permite la sntesis de controladores para sistemasdinmicos no lineales afines en la seal de control. Elformalismo propuesto integra en forma exitosa y original,diferentes elementos de las teoras de control por mododeslizante, control difuso, y control por gananciaprogramada a travs de una estrategia de GananciaProgramada Difusa por Modo Deslizante, la cual seemplea en la resolucin del problema de transicin entrecondiciones de operacin de un sistema no lineal de laclase mencionada. Es de destacar que despus de unaintensa revisin bibliogrfica, no se encontr en laliteratura especializada un enfoque similar al desarrolladopara garantizar la transicin estable entre diferentes

condiciones de operacin de un sistema no lineal.El esquema de GPDMD permite la completa

cancelacin de las oscilaciones de alta frecuencia en laseal de control.

El algoritmo de diseo representa un procedimientosistemtico que orienta la asignacin de conjuntos difusosy la configuracin de la base de reglas difusas.

VIII. REFERENCIAS[1] Andrade, Jos Manuel. Control Hbrido de Sistemas

No Lineales Afines en la Seal de Control. Trabajode Grado de Maestra, Universidad Simn Bolvar,Venezuela, 2002

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

segundos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

segundos

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[20] Zadeh, L. A. Fuzzy Sets. Information and Control,1965, 8, 338-353.

Andrade Da Silva, Jos Manuel: Ingeniero Electricista,M. Sc., Profesor de Sistemas de Control delDepartamento de Procesos y Sistemas de laUniversidad Simn Bolvar. Miembro del Centro deTeora Matemtica de Sistemas de la UniversidadSimn Bolvar.

Teppa Garrn, Pedro Antonio: Ingeniero Electricista,M. Sc., Dr., Profesor de Sistemas de Control delDepartamento de Procesos y Sistemas de laUniversidad Simn Bolvar. Miembro del Centro deTeora Matemtica de Sistemas de la UniversidadSimn Bolvar.

Ferrer Surez, Jos Jess: Ingeniero Electrnico,MSEE, Ph. D., Profesor de Sistemas de Control delDepartamento de Procesos y Sistemas. Miembro delCentro de Teora Matemtica de Sistemas de laUniversidad Simn Bolivar.

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1: IV Congreso de Automatizacin y Control Mrida, 12-14 noviembre 2003