FISICA I

Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui

3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES3.1. LANZAMIENTO DE PROYECTILESSi lanzamos un proyectil sobre la superficie de la tierra, formando un ángulo agudo con

respecto a la horizontal, el movimiento del proyectil es un movimiento curvilíneo que se

da en dos dimensiones como se muestra en la figura 3.1:

Figura 3.1

Si despreciamos la resistencia del aire y consideramos el movimiento cerca de la

superficie de la tierra entonces es un movimiento bajo aceleración constante.

Considerando el tramo AB de la trayectoria de la partícula tenemos las siguientes

condiciones:

La aceleración constante (aceleración de la gravedad g = 9.8 m/s2), la posición y la

velocidad del proyectil en el instante de tiempo t cualquiera (punto B) son:

∧∧→

∧∧→

∧→

+=

+=

−=

jViVv

jyixr

jga

yx

(3.1)

La posición y la velocidad del proyectil en el instante de tiempo t0, (punto A) son las

condiciones iniciales, son datos conocidos

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∧∧→

∧∧→

+=

+=

jvivv

jyixr

0y0x0

000 (3.2)

Por definición de aceleración:

dtavdtdvda

→→→

→=⇒=

Integrando en el tramo AB de su trayectoria y de la ecuación (3.1):

∫∫∫

−==

∧→→ t

t

t

t

V

V 000

dtjgdtavd

∧→→−−= j)tg(tvv 00 (3.3)

Escribiendo los vectores en función de sus componentes rectangulares, usando las

ecuaciones (3.1) y (3.2)

( )[ ]j)tg(tViVjViV

j)tg(tjViVjViV

00Y0xyx

00Y0xyx

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

−−+=+

−−+=+

Igualando componentes, tenemos:

(3.4)VV 0xx =

(3.5))tg(tVV 00yy −−=

Por definición de velocidad:

dtVrd

dt

rdV

=

=

Reemplazando la velocidad para un instante de tiempo t cualquiera, dada por la

ecuación (3.3):

[ ]dtj)tg(tVrd 00ˆ−−=

Integrando:

[ ]

(3.6)2

)tg(t)t(tVrr

dtj)tg(tVrd

20

000

t

t00

r

r 00

−−−+=

−−= ∫∫

ˆ

Escribiendo los vectores en función de sus componentes rectangulares, usando las

ecuaciones (3.1) y (3.2)

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( ) ( )[ ] j

2)tg(t)t(tVyi)t(tVxjyix

j2

)tg(t)t(tjV)t(tiVjyixjyix

20

00y000x0

20

00y00x00

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

−+−++−+=+

−−−+−++=+

Igualando componentes, tenemos:

)t(tVxx 00x0 −+= (3.7)

2)tg(t)t(tVyy

20

00y0−

+−+= (3.8)

Las ecuaciones (3.4) y (3.7) representan la velocidad y la coordenada en el eje X de la

partícula lo que demuestran que el movimiento en el eje X es similar al movimiento con

velocidad constante.

Las ecuaciones (3.5) y (3.8) representan la velocidad y la coordenada en el eje Y de la

partícula, lo que demuestra que el movimiento en el eje Y es uniformemente

acelerado, y que la aceleración esta dada por la gravedad.

Resumiendo:Eje X: Movimiento con velocidad constante

constanteVV 0xx == (3.4)

)t(tVxx 00x0 −+= (3.7)

Eje Y: Movimiento con aceleración constante

)tg(tVV 00yy −−= (3.5)

2)tg(t)t(tVyy

20

00y0−

+−+= (3.8)

Además se puede demostrar:

)y2g(yVV 020

2 −−= (3.9)

Haciendo x0 = 0; y0 = 0; t0 = 0; de la ecuación (3.7) tenemos que0xVxt = ;

remplazando en la ecuación (3.8)

220x0x

0y x2V

gxVV

y += (3.10)

Estas ecuación es la ecuación que relaciona las coordenadas x, y del proyectil. La

ecuación (3.10) demuestra que la trayectoria del proyectil es una parábola

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Problema 3.1.Un bloque se desliza sobre una mesa a 1.1 m/s y cae al piso en 0.35 s. Calcule a) la

altura de la mesa; b) la distancia horizontal del borde de la mesa al punto en el que

cae el bloque; c) las componentes horizontal y vertical, y la magnitud y dirección, de la

velocidad del bloque justo antes de tocar el piso.

Solucióna) De la ecuación (5.8) con y = 0, V0y = 0, t0 = 0, t = 0.35 s

m0.6y2)tg(t-)t 0

20

0 =⇒−

−+= (tVyy 0y0

b) De la ecuación (5.7) con x0 = 0, V0x = 1.1 m/s, t0 = 0

m0.385x)t(tVxx 00x0 =⇒−+=

c) De la ecuación (5.5) con V0y = 0, t0 = 0, t = 0.35 s

m/s3.43Vy −=⇒−−= )tg(tVV 00yy

De la ecuación (5.4)

m/s1.1V0x ==xV

La magnitud de la velocidad:

3.6m/sVVV 2y

2x =+=

El ángulo debajo de la horizontal:

°=⇒== 72.2θ3.12VV

tanθx

y

Problema 3.2.Un nadador se lanza de un risco con una velocidad horizontal como se muestra en la

figura. ¿Qué velocidad mínima debe tener al saltar de lo alto del risco para no chocar

con la cornisa en la base?

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Solución:El tiempo de caída de los 9 m desde el reposo se encuentra resolviendo la ecuación

(5.8) con y0 = 0, y = 9 m, V0y = 0, t0 = 0,

s1.36t2)tg(t-)t2

00 =⇒−−+= (tVyy 0y0

La velocidad para recorrer 1.75 m horizontalmente. De la ecuación (5.7)

1.3m/s1.36s1.75m

)t(t)x(x

0

0 ==−−=0xV

Problema 5.3.Se lanza un balón con componente de velocidad inicial hacia arriba de 16 m/s y

horizontal de 20 m/s. a) ¿Cuánto tiempo tarda el balón en llegar al cenit de la

trayectoria? b) ¿A que altura esta este punto? c) ¿Cuánto tiempo pasa desde que se

lanza el balón hasta que vuelve a su nivel original? d) ¿Qué distancia horizontal viaja

el balón en este tiempo?

Solución:a) El cenit es la altura máxima del proyectil. De la ecuación (5.5), con t0 = 0, vy = 0

1.63s9.8m/s16m/s

gv

t)tg(t 20y

00y ===⇒−−= vyv

b) De la ecuación (5.8) con y0 = 0, V0y = 16 m/s, t0 = 0, t = 1.63s

m13.1y2)tg(t-)t 0

20

0 =⇒−−+= (tVyy 0y0

c) De la ecuación (5.8) con y0 = 0, y = 0, V0y = 16 m/s, t0 = 0.

3.27st2)tg(t-)t2

00 =⇒−−+= (tVyy 0y0

d) De la ecuación (5.7) con x0 = 0, V0x = 20 m/s, t0 = 0

m65.3x =⇒−+= )t(tVxx 00x0

Problema 3.4.Desde la azotea de un edificio de 15 m se lanza una piedra con velocidad de 30 m/s

en un ángulo de 33° sobre la horizontal. Calcule a) la altura máxima que alcanza la

roca sobre la azotea; b) la magnitud de la velocidad de la piedra justo antes de golpear

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el suelo; c) la distancia horizontal desde la base del edificio al punto donde la roca

golpea el suelo.

Solución:a) De la ecuación (5.5) con v0y = (30m/s) sen33°=16.34 m/s, vy =0, t0 = 0

1.7s9.8m/s16.34m/st)tg(tvv 200yy ==⇒−−=

Luego de la ecuación (5.8) con y0 = 15m, v0y = 16.34 m/s, t0 = 0, t = 1.7s

13.6my2)tg(t-)t 0

20

0 =⇒−

−+= (tVyy 0y0

b) De la ecuación (5.9) con v0y = 16.34 m/s, y0 =15, y = 0

23.7m/sv)y2g(yvv y020y

2y =⇒−−=

Luego la magnitud de la velocidad es:

34.6m/sv)cos33(30(23.7m/s) 22 =⇒°+=+= 22xy vvv

c) De la ecuación (5.5) con v0y = 16.34 m/s, vy =-23.7m/s, t0 = 0

st)tg(tvv 00yy 1.4=⇒−−=

De la ecuación (5.7) con x0 = 0, V0x = (30m/s) cos33°= 25.2m/s, t0 = 0, t =4.1s

m103.3x =⇒−+= )t(tVxx 00x0

Problemas propuestosProblema 3.1Una bola de nieve rueda del techo de un granero con

inclinación hacia debajo de 40°. El borde del techo esta

a 14 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7 m/s al

dejar el techo. Puede despreciarse la resistencia del

aire. a) A qué distancia del borde del granero golpea la

bola el piso. b) Un hombre de 1.9 metros de altura está

parado a 4 m del granero ¿lo golpeara la bola de

nieve?

Problema 3.2.Un avión que desciende con un ángulo de 41º por debajo de la horizontal, suelta una

bolsa de correo desde 900 m de altura. La bolsa golpea el suelo 5 s después.

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a) ¿Que rapidez tiene el avión? b) ¿Qué componentes vertical y horizontal tiene la

velocidad de la bolsa justo antes de llegar al suelo?

3.2. CASO PARTICULARSi el lanzamiento empieza y termina en la misma línea horizontal, entonces:

Figura 3.2

De la figura podemos observar que las condiciones iniciales son: x0 = 0; y0 = 0; t0 = 0

Además:

: es el ángulo del lanzamiento del proyectil.

H: es la altura máxima del proyectil.

D: alcance del proyectil.

También, las componentes rectangulares de la velocidad inicial son:

senθVVcosθVV

00y

00x

==

(3.11)

Se puede demostrar

2gθsenV

2gV

H22

020y == (3.12)

gsen2θV

gV2V

D200y0x == (3.13)

El tiempo en que el proyectil permanece en el aire se llama tiempo de vuelo “tv” y se

puede demostrar que:

gsenθ2V

g2V

t 00yv == (3.14)

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Problema 3.5.Un cañón lanza un proyectil cuyo alcance máximo es R, probar que la altura

alcanzada es R/4 y que el tiempo total de vuelo es gR2 .

Solución:Para el máximo alcance del proyectil; el ángulo de lanzamiento es º45=

De la ecuación 3.12:

4gHV4gV

21

2gV

2g45ºsenVH 2

0

20

220

220 =⇒=

== (1)

De la ecuación 4.13:

gRVg

Vg

sen90ºVR 20

20

20 =⇒== (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2)

4RHgR4gH =⇒=

De la ecuación (4.14):

g2V

22

g2V

gsen45º2Vt 000

v ===

De la ecuación (2):

g2R

g

2)gR(g

2)gR(t

2v ===

Problema 3.6.Un proyectil que tiene un alcance horizontal R llega a una altura máxima H. Demostrar

que debe haberse disparado con una rapidez inicial de:

21

22

8

16

+H

HRg

Formando un ángulo con la horizontal dado por:

+= −

22

1

16

4

HR

Hsen

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Solución:De las ecuación (3.12) y (3.13)

(1)θcosR16Hθsen

cosθR4Hsenθ

4cosθsenθ

RH

gsenθenθc2vRy

2gθsenvH

22

22

20

220

−−−−−−−−−=

=

=⇒

==

Luego

)2(−−−−−−

+=⇒

+=

=+

+=+

−

221

22

2

2

2

22

22

22

2

22

2

22

16HR4Hsenθ

16HR4Hsenθ

R16H)

R16Hθ(1sen

θsenR16Hθcos

R16Hθsen

R16Hθens

De la ecuación (3.12) y (2) la rapidez inicial

H

HRg

HR

H

gH

sen

gHv

8

)16(

16

422 22

22

0

+=

+

==

=

2gθsenVH

220

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PROBLEMAS PROPUESTOSProblemaUn cañón de un barco lanza horizontalmente, desde una altura de 5 metros respecto al

nivel del mar, un proyectil con una velocidad inicial de 900 ms-1. Si el tubo del cañón es

de 15 m de longitud y se supone que el movimiento del proyectil dentro del tubo es

uniformemente acelerado, debido a la fuerza constante de los gases de la combustión

de la pólvora, calcular:

La aceleración del proyectil dentro del cañón y el tiempo invertido por el proyectil en

recorrer el tubo del cañón.

La distancia horizontal alcanzada por el proyectil desde que abandona el cañón hasta

que se introduce en el agua.

ProblemaSe lanza una piedra desde un acantilado con un ángulo de 37° con la horizontal como

se indica en la figura. El acantilado tiene una altura de 30.5 m respecto al nivel del mar

y la piedra alcanza el agua a 61 m medidos horizontalmente desde el acantilado.

Encuentre el tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mar desde que se lanza desde

el acantilado y la altura, h, máxima alcanzada por la piedra.

ProblemaUna lanzadora de bala hizo un lanzamiento con una rapidez de 13.0 m/s a un ángulo

de 43° sobre la horizontal. Soltó la bala desde una altura de 2 m sobre el suelo. a) Que

distancia viajo la bala en la horizontal? b) Cuanto tardo la bala en tocar tierra?

ProblemaUn estudiante está parado en la azotea de un edificio a una altura de 71.8 m sobre el

suelo. y arroja su teléfono horizontalmente del edificio, con una velocidad de 23.7 m/s.

a) .Que distancia horizontal viaja el teléfono antes de tocar el suelo? b) Cual es la

velocidad con la que el teléfono toca el suelo?

ProblemaUn dirigible está ascendiendo a razón de 7.50 m/s a una altura de 80.0 m sobre el

suelo cuando se lanza horizontalmente un paquete desde su cabina con una rapidez

de 4.70 m/s. a) Cuanto tarda el paquete en llegar al suelo? b)Con que velocidad

(magnitud y dirección) toca tierra?

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Problema.Un acróbata en motocicleta se lanza desde el borde de un risco. Justo en el borde

su velocidad es horizontal con magnitud 9 m/s. Obtenga la posición, distancia desde

el borde y velocidad de la moto después de 0.5 s. (5 puntos)

Problema.Se lanza al aire una pelota desde el suelo. A una altura de 30 pies se observa que su

velocidad es:

spiesjiV /ˆ20ˆ25 +=

A que altura máxima se elevara la pelota; cual será la distancia total horizontal que

recorre la pelota. (g = 32 pies/s2)(5 puntos).

Problema.Se muestra la trayectoria parabólica de un proyectil. Determinar (a/b) si al impactar el

proyectil en el suelo el módulo de la velocidad se ha duplicado (4 puntos)

Problema.Desde el marco inferior de una ventana que se encuentra a una altura de 60m se

lanza un proyectil formando un ángulo de 530 sobre la horizontal; si luego de 6

segundos impacta en el piso. Hallar la máxima altura alcanzada por el proyectil.