1. Encuentra en cada una de las funciones los intervalos en los cuales son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo:

a¿ f (x )=x4−x2

f ' ( x )=4 x3−2 xf ' ' ( x )=12x2−212 x2−2=012 x2=2

x=√ 16=±0.408En el intervalo (-0.408,0.408) la curva es cóncava hacia arriba.

b¿ f (x )= x

x2+2

f ' ( x )= 2−x2

x4+4 x2+4

f ' ' ( x )= 2 x3−12xx6+6 x4+12 x2+8

2 x3−12 xx6+6 x 4+12x2+8

=0

2 x3−12x=02 x (x2−6 )=0x2=6x=√6=±2.4495En el intervalo (-∞,-2.4495) es cóncava hacia arriba, en (-2.2295,0) es cóncava hacia abajo, en (0,2.4495) es cóncava hacia arriba y en (2.4495,∞) es cóncava hacia abajo.

c ¿ f ( x )= x2−1x2+1

f ' ( x )= 4 x

x4+2 x2+1

f ' ' ( x )= 4−12 x2

x6+3 x4+3 x2+14−12 x2

x6+3 x4+3 x2+1=0

4−12 x2=0−12 x2=−4

x=√ 13=±0.577En el intervalo (-∞,-1) es cóncava hacia abajo, en (-1,0) es cóncava hacia arriba, en el punto (0,4) es cóncava hacia abajo, en (0,1) es cóncava hacia arriba y en (1,∞) es cóncava hacia abajo.

d ¿ f ( x )=√ x2−9f ' ( x )= x

√x2−9f ' ' ( x )= 9√ x2−9

x4−18 x2+81

9√ x2−9

x4−18 x2+81=0

9√ x2−9=0√ x2−9=0x2−9=0x=√9=±3En el intervalo (-∞,-3) es cóncava hacia arriba, en (-3,3) se tiene una indeterminación y en (3,∞) es cóncava hacia arriba.