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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.Tema 7.- Los circuitos de corriente continua

Desarrollo del tema.

1. Los conductores eléctricos. Las resistencias fijas y variables.

2. Medida del valor de una resistencia.

3. Las leyes de Kirchhof.

4. Los circuitos puente : de hilo y de Wheatstone.

5. Principio de superposición.

6. El teorema de Thévenin

7. El teorema de Norton.

8. El teorema de Millman.

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1. Los conductores eléctricos. Las resistencias fijas y variables.

La corriente eléctrica continua (DC), se puede explicar como el flujo de electrones por un conductor. Para definir este transporte, se establece la magnitud Intensidad de corriente. Para mantener la corriente constantemente, se necesita un generador, que proporciona al circuito una f.e.m.

Las sustancias materiales, desde el punto de vista eléctrico, se pueden distinguir entre aislantes, conducen muy mal la corriente eléctrica (poseen una resistividad muy grande), semiconductores, que en determinadas circunstancias, se vuelven conductoras ( poseen gran importancia en la electrónica) y los conductores, que poseen una resistividad eléctrica muy pequeña, permitiendo fácilmente el paso de la corriente eléctrica.

Todas las sustancias muestran una resistencia al paso de la corriente eléctrica. En ocasiones es necesaria su presencia en los circuitos, ya sea para disipar energía y proteger determinados elementos o para obtener energía térmica, como consecuencia del efecto Joule.

Las resistencias pueden ser fijas o variables. Dentro de las fijas, pueden ser óhmicas, cuyo valor no depende de las condiciones medioambientales y no óhmicas, cuyo valor depende de las condiciones ambientales, siendo utilizadas como sensores.

Las resistencias óhmicas, cumplen la ley de Ohm y se denominan también resistores. Existen tres tipo de resistencias:

a. Las resistencias bobinadas.- Están formadas por un largo hilo conductor, enrrolado en espiral sobre un soporte cilíndrico de porcelana, cerámico u otro material aislante .

b. Resistencias aglomeradas.- Se encuentran formadas por una mezcla de sustancias de gran resistencia (generalmente carbón) y un aglutinante se moldea y se compacta en un molde cilíndrico y se encapsula en una cubierta de plástico o de cerámica. En las bases del cilindro se colocan dos conductores o terminales.c. Resistencia de película depositada.- Están formadas por una película de metal, un óxido metálico o carbón depositados sobre un cilíndrico cerámico.

Las resistencias variables son los potenciómetros, que poseen tres terminales, y los reostatos, que poseen dos terminales, en un conductor móvil.

2. Medida del valor de una resistencia.

Para calcular el valor de una resistencia se utiliza el código de colores o bien el polímetro. Para medir con un polímetro la resistencia, se coloca el dial en la posición de medida de resistencias, normalmente en la posición intermedia. A continuación se colocan los puntales, el

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negro en el borne COM y el puntal rojo en el borne que señala tensión y resistencias. La medida se realiza a circuito abierto y se conectan los puntales con los dos terminales de la resistencia. Si en el display, aparece un cero, la escala se deberá aumentar, si aparece un uno, se disminuirá la escala.

Para medir el valor del resistor, se observa el color de las cuatro líneas axiales. Las tres primeras determina el valor, la cuarta la precisión.

Problema 1.- Calcular el valor de la resistencia equivalente de un cubo cuyas aristas poseen todas una resistencia de 20 Ω si se conecta a una tensión los dos vértices opuestos a una tensión de 120 V. ¿ Cuál será la intensidad obtenida?

Datos.- Un cubo con 6 aristas . Va – Vd = 120 V . R i = 20 ΩResolución.- Los puntos B,H y F se encuentran al mismo potencial. De la misma forma los puntos E, C y G.

La variación de la tensión será :

3

R = 22 10^3 = 22000 (+-) 1100 Ohmios

R-R -N oro

Va

Vd


hace que RT = R3 +

R6 +

R3 =

203 +

206 +

203 = 16.66 Ω

I = VRt =

12016.66 = 7.2 A

3. Las leyes de Kirchhoff.

Un circuito eléctrico es una línea conductora y cerrada por donde circula una corriente eléctrica. Para que esto sea posible, es necesaria la presencia de un generador que proporciona y mantiene una tensión constante entre sus bornes, o lo que es lo mismo aporta una f.e.m.

En un circuito eléctrico existen también diferentes receptores, cuya misión es transformar la energía eléctrica en otros tipos de energía. Unos de estos receptores son los resistores que transforma la energía eléctrica en térmica. Además, existen una serie de dispositivos de mando y control, como son los interruptores, conmutadores etc.

Cuando una parte del conductor lo conectamos a tensión constante (conductor de retorno), diremos que esta a masa. Cuando esta tensión constante es cero, diremos que se ha conectado a tierra.

Un circuito eléctrico puede estar formado por una serie de redes. Una red la forma un conjunto de mallas. Una malla es una línea cerrada conductora, es decir, si se parte de un punto, se vuelve al mismo lugar sin haber pasado dos veces por el mismo sitio. Cuando más dos conductores salen de un punto común lo denominamos nudo. Se denomina rama a la parte de un circuito que se encuentra entre dos nudos.

Las reglas de Kirchhoff, establece que :

1 En los nudos : Σ Ii = 0

2. En las mallas Σ ξi = Σ Ii ir

Para la aplicación práctica de estas leyes se han de tener en cuenta:

1. Se debe de asignar previamente el sentido de las corrientes que atraviesan cada malla y cada rama. Si al efectuar los cálculos, el valor es negativo, supone que el sentido propuesto es el contrario que el real.2. Si en el circuito existen n nudos, aplicaremos la ecuación de los nudos n-1 veces. Son

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positivas las intensidades que llegan al nudo y negativas las que salen de él 3. La segunda ley de las mallas, se aplicaran a todas las que hay en el circuito. El número de mallas se determina : M = R - ( N – 1). El sentido de la corriente será el positivo, contrario a las agujas del reloj y el negativo en el mismo sentido.

Problema 2.- Calcular el valor de las intensidades en cada rama del circuito siguiente, la caída de tensión entre los puntos BC, la potencia generada por ξ1 y la potencia disipada en la resistencia R3 .

Resolución. Lo primero que se debe de determinar es el sentido de corriente

Una vez establecido el sentido de la corriente, definiremos las dos ecuaciones de Kirchhoff:El número de nudos = 2 , por lo que el número de ecuaciones independientes es una:

Nudo A .- I1 – I2 – I3 = 0

El número de mallas será : M = R – (N-1) = 2

Malla 1.- ξ1 - ξ3 + ξ2 = I1 ( R1 + R2) + I3 ( R4 + R5)

Malla 2 .- (sentido contrario a las agujas del reloj)

ξ1 + ξ4 + ξ2 = I1 ( R1 + R2) + I2( R5 + R6 + R7)

Ecuación 1 .- I1 = I2 + I3

Ecuación 2 .- 11 – 25 + 20 = I1 (1 + 5) + I3 (1 + 5)

1 = I1 + I3 ;; I3 = 1 – I1

Ecuación 3 .- 11 + 22 + 20 = 6 I1 + 7 I2

I1 = I2 + 1 – I1 ;;; 2 I1 -1 = I2

5

I1

I2

I3


53 = 6 I1 + 7 ( 2 I1 – 1 ) ;;; 53 + 7 = 20 I1 ;;; I1 = 6020=3 A

I3 = 1 – 3 = - 2 A ( existe un cambio de sentido en la intensidad I2 )

I2 = 3 . 2 – 1 = 5 A

VB - VC = ξ1 – I1 R1 = 11 – 3 . 1 = 7 V.

P1 = I1 . Ξ1 = 3 . 11 = 33 W.

P3 = I32 R3 = 22 . 5 = 20 W.

Estos circuitos se pueden resolver por el método de las mallas, considerando únicamente las ecuaciones referidas a las mallas y obteniendo los resultados de la resolución del sistema de ecuaciones.

Resolvamos el siguiente circuito:

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Lo primero definiremos el sentido de la corriente en las tres mallas y establezcamos las tres ecuaciones independientes:

13 = 2 IA + 3 (IB + IA) = 5 IA + 3 IB

16 = IB + 3 (IB + IA) + (IB + IC) = 3 IA + 5 IB + IC

21 = (IB + IC) + 3 IC = IB + 4 IC

Se resuelve el sistema utilizando el método Cramer :

I1 =

13 3 016 5 121 1 4

5 3 03 5 10 1 4

= 13. 5.4−1.1−3. 16.4−21.10.16.1−21 .5

5 .5.4−1.1−33.4−0.003.1−5.0 = 11859 =

= 2 A .

I2 =

5 13 03 16 10 21 4

5 3 03 5 10 1 4

= 5959 = 1 A

I3 =

5 3 133 5 160 1 21

5 3 03 5 10 1 4

= 29559 = 5 A

La intensidad que pasa por la rama BF será : I = IA + IB = 2 + 1 = 3 ALa intensidad que pasa por la rama BE será : I = IB + IC = 1 + 5 = 6 A.

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Problema 3.- Determinar el valor que toma la intensidad en el amperímetro A.

Aplicamos las leyes de Kirchhoff.

I3 = I1 + I2

Malla 1 .- 80 – 14 = I1 (20 + 0.5) - I2 ( 24 + 1)66 = 20.5 I1 - 25 I2

Malla 2 .- 14 – 34 = I2 . 25 + I3 . 5 = -20

Se resuelve el sistema por el método Cramer .

I1 + I2 – I3 = 0

20,5 I1 – 25 I2 + 0 = 66

0 + 25 I2 + 5 I3 = - 20

I3 =

1 1 0

20,5 −25 660 25 20

1 1 −1

20,5 −25 00 25 5

= −740−740 = 1 A

25 I2 + 5 ( 1) = - 20 ;; I2 = - 1 A ;; cambia de sentido la corriente.

I1 + (-1) - 1 = 0 ;; I1 = 2 A

Problema 4. En la red que aparece en la figura calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B y la carga que adquiere cada condensador.

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Nudo .- I1 + I2 – I3 = 0

12 = I2 . 6 + 3 I3

12 = ( 2 + 4 ) I1 + 3 I3 ;;; 12 = 6 I1 + 3 I3

Para resolverlo se aplica la regla de Cramer.

I2 =

1 0 −10 12 36 12 3

1 1 −10 6 36 0 12

=7272 = 1 A

VA – VB = 12 – 6 (1) = 6 V

I3 =

1 1 00 6 126 0 12

1 1 −10 6 36 0 12

= 14472=2 A

I1 = I3 – I2 = 2 - 1 = 1 A

VR = 4 . 1 = 4 V

CT = C 1. C 2

C 1C2= 2 μ F ;; C =

QV ;; Q = V . C = 2 10-6 . 4 =

Q = 8 10-6 C = 8 μ C

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I3

I1

VR


Problema 5.- El circuito de la figura representa un receptor de resistencia 2 Ω. Alimentado por dos pilas iguales aunque una se encuentra más gastada que la otra , lo que determina que sus f.e.m. sean respectivamente 1,5 V y 1.3 V .

a Si el interruptor I está abierto, ¿pasará corriente en alguna zona del circuito?.b. Cuando se cierra el interruptor, calcular el valor de la intensidad que atraviesa la

resistencia y determinar el calor disipado en un segundo por la resistencia R

*En el caso a, si pasa corriente a través del circuito de los generadores:

ξ1 – ξ2 = I ( r1 +r2 ) ;;; I = 1.5−1.3

11 = 0.1 A

I3 – I1 – I2 = 0

1.5 = I1 . 1 + I3 . 2

1.3 = I2 + 2 I3 ;;; I1 = 1.5 - 2 I3

I2 = 1.3 – 2 I3

I3 - ( 1.5 – 2 I3 ) - ( 1.3 – 2 I3 ) = 0Como consecuencia de ello I3 = 0,56 A Q = 0.24 I2 . R = 0,24 0,562 2 = 0,150 cal/s

4. Los circuitos puente : de hilo y de Wheatstone.

Ambas conexiones tienen como objeto el cálculo de resistencias dsconocidas. El puente está formada por cuatro resistencias puenteadas entre B y C . La resistencia desconocida es la Rx y en la rama contigua se coloca un reostato para regular la resistencia.

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Se cierra el interruptor S2 y se regula la resistencia del reostato para que no pase corriente por la rama BC, que se manifiesta en que el galvanómetro se encuentra a cero.

Según esto, la tensión de B es la misma que en C, por lo tanto:

I1 . R1 = I2 . R3

I1 . R2 = I2 . Rx ; al resolver la proporción : R1 Rx = R2 . R3

Pudiéndose calcular el valor de Rx.El puente de hilo es una pequeña adaptación del puente de Wheatstone .

Las resistencias 1 y 2 se sustituye por un hilo conductor en donde se toma la corriente desde un punto intermedio. Como la resistencia del conductor es directamente proporcional a la longitud del hilo y calibrando el reostato para que no pase corriente por el galvanómetro, se deduce:

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Rx = R2R1 . R3 = R3 .

LL ´

5. Principio de superposición.

El principio de superposición indica que en una red eléctrica formada por varios generadores, la intensidad que recorre una rama es igual a la suma algebraica de las intensidades que la recorre, suponiendo que cada generador actuara independientemente y los demás generadores fueran sustituidos por sus resistencias internas.

Problema 6.- Aplicando el teorema de superposición, calcular las intensidades que atraviesan cada rama en el circuito siguiente:

Para aplicar el principio de superposición se debe tener en cuenta tres circuitos equivalentes:

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I(3)

I(1)

I(2)

I3

I1 I2

I´3I´1

I´2

I´´3

I´´1

I´´2


Circuito 1 .-

RT = 10.5

105 = 3,33 Ω

I3 = 3

RTr 3=

503,334 = 6,8 A

V = 50 – 6,8 . 4 = 22,8 ;; I1 = 22,810 = 2,88 A

V = I . R I2 = 22,8

5 = 4,56 A

Circuito 2 .-

R´T = 4.5

45 =2,22 Ω

I´1 = 1

R´Tr ´ 1R1=

302,2219 = 2,45 A

V = ξ1 – I´1 ( R1 + r´1) = 30 – 2,45 . 10 = 5,5 V

I´3 = 5,54 = 1,37 A

I´2 = 5,55 = 1,1 A

Circuito 3 .-

R´´T = 4.10

410 = 2,85 Ω

I´´2 = 2

R´ ´ Tr ´ ´2R2=

202,8514 =2,54A

V = 20 – 2,54 (4 + 1) = 7,3 V

I´´3 = 7,34 = 1,82 A

I´´1 = 7,310 = 0,73 A

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Las intensidades totales que circulan por las ramas serán :

I3 = I3 + I´3 + I´´3 = 6,8 + 1,37 + 1,82 = 10 A

I1 = I1 + I´1 – I´´ 1 = 2,28 + 2,45 – 0,73 = 4 A

I2 = - I2 + I´2 – I´´2 = -4,56 + 1,1 – 2,54 = - 6 A ;; el sentido es contrario al indicado .

6. El teorema de Thévenin

El teorema de Thévenin se anuncia de la siguiente forma:Una red con dos terminales, donde se conecta una resistencia de carga R, es equivalente a la

rama formada por un generador de tensión Uo, que es la diferencia de potencial existente entre los terminales de carga cuando ésta se suprime y la resistencia equivalente entre dichos terminales al eliminar todas las fuerzas electromotrices de la red.

Según el circuito:

Uo = VA – VB = Va – Vb = R2 I´ ;;; I´= rR1R2

Uo = R2 .rR1R2

;;; Cálculo de la Req

La polaridad de Uo ha de ser la misma que al conectar la resistencia de carga R el sentido de A a B sea la misma que si circulara en sentido real.

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Req = R3 + R1r . R2R1R2r ;;;

La Intensidad que pasa por la resistencia R será :

I = Uo

ReqR

Problema 7.- Calcular las intensidades que atraviesa cada rama, aplicando el teorema de Thévenin y las leyes de Kirchhoff.

Req

Req = R4 + R5 + R1R3 .R2

R1R2R3= 5 + 15 +

1010.20101020 = 30 Ω

I´ = R

= 12

R1R2R3=

5030101020 = 2 A

15


U0 = - 30 + 2 . 20 = 10 V

I = U 03

ReqR=

102303010 = 6 A

Para resolver el circuito por Kirchhoff, se debe de indicar previamente el sentido de las intensidades en cada rama:

Aplicando la regla de los nudos : - I1 - I2 + I3 = 0

Malla 1 .- 20 I1 - 20 I2 = 50 + 30 = 80

Malla 2.- 20 I2 + 30 I3 = 230 – 30 = 200

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Resolviendo el sistema se obtiene :

I3 =

−1 −1 020 −20 800 20 200

−1 −1 120 −20 00 20 30

=

= 96001600 = 6 A

7. El teorema de Norton.

El teorema de Norton es semejante al de Thévenin, la diferencia que Thévenin establecía una tensión equivalente Uo que existe entre dos terminales y Norton trabaja con intensidades.

El teorema de Norton se enuncia de la siguiente manera :Una red donde existen dos terminales en donde se conecta una resistencia de carga R es

equivalente a un circuito con una fuente de intensidad Io conectada en serie a la propia resistencia y en paralelo a una resistencia equivalente Req obtenida al eliminar los generadores entre los dos terminales.

Apliquemos el teorema al siguiente circuito: Según el teorema de Norton se va a establecer un circuito equivalente:

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−1.−20.200−80 .20−−1.20.200−80 . 00.20.20−0. −20−1.−20 .30−−1.20.30−0.01 20.20−−20.0


En los circuitos eléctricos, además de existir generadores de tensión, existen generadores de corriente, cuya equivalencia es la siguiente:

Io se obtiene cortocircuitando A y B

Va - Vb = ( I* - Io ) . R2 = I0 . R3 I0 = I∗. R2

R2R3

Del circuito (3) I* =

R1r R2 . R3R2R3

Entre A y B ;; Req = R2 + R1r . R2R1rR2

Del circuito (2) :- VA – VB = (I 0 - I) Req = I . .R

I = I0 Req

ReqR

Problema 8.- Hallar el equivalente Norton entre los extremos A y B y la intensidad que atraviesa la resistencia R = 10 Ω

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(3)(2)


El circuito equivalente será

Aplicando el teorema de Kirchhoff , se cumple:

I1 – I2 – I0 = 0

20 I1 + 20 I2 = 50 + 30 = 80 V

- 20 I2 + 30 I0 = ξ3 – ξ2 = 200 V

I0 =

−1 −1 020 20 800 −20 200

1 −1 −1

20 20 00 −20 20

= 96001200 = 8 A

19

I1

I2

I0


El circuito equivalente de Norton será :

Req = R2 + R5 + R1R4. R3

R1R3R4=15 + 5 +

20 . 202020 = 30 Ω

I . R = ( I0 – I ) . Req, ;; I = I 0.Req

RReq= 8. 30

3010 = 6 A

8. El teorema de Millman.

El teorema de Millman permite calcular la diferencia de potencial entre dos nudos de una red, entre los que existen diferentes elementos conectados, generadores o resistencias.

Ξ = iri

1ri

1r = 1

ri

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Problema 9.- Calcular la intensidad que atraviesa por la resistencia de carga de R = 10 Ω

Aplicando el teorema de Millman, el circuito equivalente será :

ξ = iri

1ri

=

62 10

0.512

10.5

= 9.2 V ;;; 1r = 1

ri = 12 1

0.5 = 2.5

r = 0.4 Ω

I = Rr

= 9.2

100.4 = 0.88 A

Problema 10 .- Dos pilas de fuerzas electromotrices de 21 y 23 V y resistencias internas de 1 Ω, respectivamente, se conectan en paralelo uniendo los polos del mismo signo . Calcular la intensidad que pasa por una resistencia de 5 Ω, conectada en serie con el sistema.

Se debe de aplicar el teorema de Kirchhoff y el de Millman.

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Aplicando el teorema de Kirchhoff.

Nudo .- I1 + I2 – I3 = 0

Malla 1 .- I1 – I2 = 21 – 23 = -2

Malla 2 .- I2 + 5 I3 = 23

Se resuelve el sistema por Cramer .

I3 =

1 1 01 −1 −20 1 23

1 1 −11 −1 00 1 5

= −21−23−5−5−1 =

−44−11 = 4 A

Aplicando el teorema de Millman .-

ξ = iri

1ri

;; 1r =

1ri

;; ξ =

211 23

111

11

= 442 = 22 V

1r =

111

1 ;; r = 0.5 Ω

I = Rr

= 22

50.5 = 4 A

22

I1I3

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