7/23/2019 Cin_1314-I

1/31

Tema I: Cinematica

7/23/2019 Cin_1314-I

2/31

Espacio Fsico 3D Sistema de ejes coordenadas cartesianasortogonales OXYZ

P(x,y,z) - representacin del punto P .

{(x,y,z)}- coordenadas cartesianas de P

Vector de posicin:

Unidades SI- patron de longitud METRO.

o

(i, j, k)vectores unitarios

P

Norma (modulo) de un vector:

Posicin:

7/23/2019 Cin_1314-I

3/31

Espacio

Z

Y

Xo

d12

= x2" x

1( )2+ y

2" y

1( )2+ z

2" z

1( )2

Distancia entre P1y P2:

d12

= P1P2= OP

2"OP

1= x

2"x

1( )i + y2 "y1( )j + z2 "z1( )k

P1P2

Definicin: Espacio euclideo tridimensional:

Se define la distancia d12entre P1(x1,y1,,z1) y P2(x2,y2,z2):

7/23/2019 Cin_1314-I

4/31

Tiempo Aparato de medir el tiempo: RELOJ.SI- segundosMecnica clasica: tiempo absoluto (no depende

del estado del movimiento del observador que

realiza la medida)

(!,",z) -> (x,y,z)

"=

x

2+

y

2

# = arctgy

x

$

%&

'

()

z = zr= x

2+ y

2+ z

2

" = arctgx

2+ y

2

z

#

$%

&

'(

) = arctgy

x

#%

&(

(r,#,") -> (x,y,z)

7/23/2019 Cin_1314-I

5/31

Def: Trayectoria del movil

Def: Desplazamiento:

S.R OXYZ-fijo

"!

r = !

r(t+ "t)#!

r(t)

Z

O Y

X

"!

r

"!

r

!

r(t+ "t)

!

r(t)

Unidades: SI [m]

7/23/2019 Cin_1314-I

6/31

Vector Velocidad: modulo, sentido y direccion

Def: Velocidad promedio

S.R OXYZ-fijo

Z

O Y

X

Def: Velocidad instantanea

!vm

!

v

"!r!r

(t)

!

r(t+ "t)

Unidades: SI [m/s]

!

vm (t,"t) = "

!

r"t

= "x"t

i + "y"t

j + "z"t

k

vm = vmx2+ vmy

2+ vmz

2

7/23/2019 Cin_1314-I

7/31

Velocidad en terminos del arco recorrido

S.R OXYZ-fijo

"!

r = !

r(t+ "t) #!

r(t)!

r =!

r(s)

Z

O Y

X

$sOo

Derivacin en cadena:

Def. de la derivada:

Se obtiene para la velocidad en terminos del arco:

"!r

!

r(t+ "t)

!

r(t)

!

v(t)

7/23/2019 Cin_1314-I

8/31

Nota: tienen:

i) siempre la misma direccin ii) no siempre el mismo sentido

Z

O Y

X

dsOo

Analizamos 2 casos:

!

r(t+ "t)

!

r(t) d!r

7/23/2019 Cin_1314-I

9/31

Vector Aceleracin: modulo, sentido y direccion

Def: Aceleracin promedio

S.R OXYZ-fijo

Z

O Y

X

Unidades: SI [m/s2]

!

r(t+ "t)!

r(t)

!

v(t+ "t)

!

v(t)

!am(t,"t)

7/23/2019 Cin_1314-I

10/31

Vector Aceleracin: modulo, sentido y direccion

S.R OXYZ-fijoZ

O Y

X

Def: Aceleracin instantanea Unidades: SI [m/s2]

!

v(t+ "t)

!

r(t+ "t)

!

r(t)!

a(t)

!

v(t)

7/23/2019 Cin_1314-I

11/31

Componentes intrinsecas de la acelaracin:

Aceleracin Tangencial (aT) y Acelaracin Normal (aN)

dsA

A

7/23/2019 Cin_1314-I

12/31

Que es ?

Que es la magnitud ?

Derivacin en cadena:

ds

A

A

7/23/2019 Cin_1314-I

13/31

Que es la magnitud ?

Pasos para determinar esta magnitud:

1. El movimiento se desarrolla en el plano oscilador.2. Los vectores uNpara $t->0 se unen en el punto C, denominado centro

de la curvatura.

3. Se define el radio de la curvatura != AC

4. Los vectores uT y uNforman el mismo angulo ", puesto que tanto en A

como en A

dsA

A

C

d"

7/23/2019 Cin_1314-I

14/31

Representacin grfica:

7/23/2019 Cin_1314-I

15/31

Se define el arco:

d!

uT

Por lo tanto:

Definir d"en funcin de

El limite infinitesimal: A->A, dt->0, d"->0 :

Si A->A|duT|

|uT|d! d!

uT(A)

uT(A)

entonces

d"=

d

!

uT

Si

d" = d!

uT

ds =#d" =#d!

uT$

$

1

#=

d!

uT

ds

!

uT

1"

d"=

d

!

uT=

!

uT(A)#

!

uT (A')

7/23/2019 Cin_1314-I

16/31

Entonces se tiene:

Casos particulares:

1. v=const -> aT=0 (mov. uniforme)

2. !=% -> aN=0 (mov. rectilineo)

Responsable del cambio de direccin en la velocidad

Responsable del cambio en lamagnitud de la velocidad.

7/23/2019 Cin_1314-I

17/31

Movimiento bajo

Problema cinematico:

Se conoce: la trayectoria seguida y

Obtener r(t):

Solucin:

7/23/2019 Cin_1314-I

18/31

Caso particular:

7/23/2019 Cin_1314-I

19/31

Caracteristicas del movimiento bajo

Movimiento se desarrolla en un planoy que pasa por ro

Trayectoria del movimiento: ParabolaSe demuestra:

i) S.R.:

x(t) = vo cos"(t # t o)

y(t) = vosen"(t # t o)#1

2g(t # t o)

2

y = xtg"#1

2 g x2

vo2 cos2"

y

x

"

ii)

7/23/2019 Cin_1314-I

20/31

Utilidades en mov. bajo

Altura maxima

Alcance maximo

Altura maxima si

7/23/2019 Cin_1314-I

21/31

Ot ti l

7/23/2019 Cin_1314-I

22/31

Otros casos particulares:

1. Movimiento uniformemente acelerado aT=const (MUA)

7/23/2019 Cin_1314-I

23/31

2. Movimiento rectilineo uniformemente acelerado

aT=const, != %, aN=0 (MRUA)

7/23/2019 Cin_1314-I

24/31

Movimiento Circular. (MC)

R=const

O

ds

Unidades de #: [rad]

&:[rad/s]

d#

t+dt

tR

!

v(t)

7/23/2019 Cin_1314-I

25/31

Movimiento circular uniforme (MCU)

Si &=const MCU o Movimiento periodico

Movimiento periodico y sus parametros:

Si el movil realiza 1 revolucion completa

7/23/2019 Cin_1314-I

26/31

Movimiento Circular desde el plano de la particula:.

Se considera:

Una particula en MC. en uncirculo de radio R y centro Oo

Vector velocidad angular:

1. Modulo:

2. Direccin y sentido:

Vector velocidad en MC:

R

!

v

!

"

!

r!

7/23/2019 Cin_1314-I

27/31

Definicin de la aceleracin angular en (MC)

Unidades de #: [rad]

&:[rad/s]

'::[rad/s2]

Caso particular: '=const -> MCUA

Relacin de ' y & con a y a :

7/23/2019 Cin_1314-I

28/31

Relacin de 'y &con aTy aN:

Si &=const, '=0, aT=0 -> MCU

!

v

!

"

!

r

!

aT

!

aN

!

"

V l id d A l i C d d P l

7/23/2019 Cin_1314-I

29/31

Velocidad y Aceleracion en Coordenadas Polares:

Se puede escribir:

se definen en cada punto del planouu

x

7/23/2019 Cin_1314-I

30/31

Obtenemos las siguientes expresiones para la

velocidad y aceleracin en coordenadas polares:

Y

7/23/2019 Cin_1314-I

31/31

Aplicacin: Movimiento bajo Fuerzas Centrales

!

a = rur+ rur+ r

"u" + r

"u" + r

"u"

!

a = ur(r # r"

2

)aceleracionradial

"

#

$

%

$

+u"(2 r"+ r

")

aceleraciontransversal

"

#

$

%

$

=

!

ar+

!

a"