Cinematica de Un Punto Material - VAC 2016 (1)

UNIVERSIDADNACIONALDECAJAMARCA

FACULTADDEINGENIERIA

ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIACIVIL

CICLOACADEMICOVACACIONAL2016

CINEMATICADEUNPUNTOMATERIAL

M.Sc.NORBILTEJADACAMPOS

CINEMATICADEUNPUNTOMATERIAL

0.INTRODUCCION:

CINEMATICA:

Estudiaelmovimientodeloscuerpossinconsiderarlascausasqueloproducen,tambinsepuedeconsiderarcomolaGeometradelmovimiento.

Lacinemticadescribecomovarialavelocidadyaceleracindeuncuerpoconeltiempoyconsuscambiosdeposicin.

MOVIMIENTO:

Elmovimientodeunapartculaesentendidocomoelcambiodeposicindelapartculaamedidaquetranscurreeltiempo,elcualdebeestarreferidoaunsistemadereferencia,loquepermitirdefinirsuposicinencualquierinstante.

MOVIMIENTO:

1PormediodeunaEcuacinHoraria:

2PormediodeunVectorPosicin:

z

P

S

z

P

o

P

r

rf(t)x

0

S=f(t)

y

x

0

y

3PormediodesusCoordenadasRectangulares:

z

P(x,y,z)

z

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

0y

x

y

x

1.POSICION,VELOCIDADyACELERACION

a.Posicin(r)ydesplazamiento(dr)

dr

rP/O

rQ/O

drrQrPFig01.Trayectoriaquesigueunapartcula

Lapartcula,enciertoinstante,sehallarenlaposicinP,definidapor:rPxiyjzk

Ladiferenciadeposicindelapartculaendosinstantesrecibeelnombrededesplazamientodedichapartcula,lacualsehallaenPenelinstantetyenQenelinstantet+t,eldesplazamientovienedadopor:

1.POSICION,VELOCIDADyACELERACION

b.velocidad(v)yaceleracin

(a

)

vrvvxivyjvzkavaaxiayjazkvxiyjzkaxiyjzkLavelocidaddeunapartculaes,pordefinicin,lavariacindeposicinporunidaddetiempo:drdt

Laaceleracindeunapartculaes,pordefinicin,lavariacinporunidaddetiempodelavelocidad.dvdt

Ladireccindelavelocidadeslatangentealatrayectoriayelsentidoeseldeldesplazamiento.

Elmodulodelavelocidadrecibeelnombredeceleridad.

2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL

a.Posicinydesplazamiento2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL

b.Velocidadmedia(v):

X

x

P(x+x,t+t)

P(x,t)

x

O

t

t

t

Matemticamente:Grficamente:

v

xt

xfxotfto

tangxt


c.Velocidadinstantnea(v):

Matemticamente:

vlimvmlimt0tX

x

P

P

P

t0

x

P

v

dx

dt

x

Tenemos:

O

t

t

t

xxo

tv.dt

;

vv(t)

to


d.Aceleracinmedia

a:

a

vt

vfvotfto

alimalimt0te.Aceleracininstantneaa:

v

t0

Tenemos:

dv

dt

vvo

ta.dt

;

aa(t)

to

2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

2.1.MOVIMIENTORECTILINEOUNIFORME(MRU):

Ejemplo01.-2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

2.2.MOVIMIENTORECTILINEOUNIFORMEMENTEACELERADO(MRUA):

Ejemplo02.-

x

v

a

xvot12

at

2

ov=v+at

a=constante

vo

0

to=0

t

0

to=0

t

0t

2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

2.3.MOVIMIENTORECTILINEOVARIADO(MRV):

Ejemplo03.-Enlafigura,semuestralascoordenadasdeuninsectoquecaminahorizontalmente(enunadimensin,sobreelejex).Segndichainformacin,a)graficarsuvelocidadyaceleracinenfuncindeltiempo;b)hacerunestudiodelmovimiento.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

Ejemplo04.-Enelgrficoadjunto,semuestracomovaralavelocidadenfuncindeltiempodeuncuerpoquesemueveenlnearecta(eje+X).Sienelinstantet=0s,elmvilseencuentraenxo=10m;sepide:a)determinelaposicinent=5s,b)realizarlosgrficosdex-tya-t,paraelmovimientodelcuerpo.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

Ejemplo05.-Enelgrfico,semuestraladependenciadelaaceleracinenfuncindeltiempoparaunapartculaquesemueveenlnearecta.Sepide:a)analizareltipodemovimientoenlosdiferentesintervalosdetiempo,b)determinarlaposicinyvelocidadquealcancedichapartculaalos50segundosdespusdehaberiniciadodelreposo.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

Ejemplo06.-UnmvilsemueveenlnearectaconunavelocidadcuyocuadradodecrecelinealmenteconeldesplazamientoentrelospuntosAyBquedistan30mentres.Determineeldesplazamientoxdelmvildurantelos2squeprecedenlallegadaaB.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones

Ejemplo07.-Enlafigura,elrodilBsemueveconaceleracinconstante.Siparat0=0s,x=0myvx=0m/s.DeterminarlaaceleracindelrodilA,cuandoelBesta3mdelorigenylaaceleracindeBesde6m/s2.

3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL

3.1.CoordenadasRectangulares:

rZ

tA

s

t/A/

v

Posicin:rr(t)xiyjzk

r/r'r'(t)x'iy'jz'ks

r

Velocidad:

v/////Arxrvivmttrvlimvmlimt0trvjtX

A

v

0YX

TAvA

v

/

dr

t0

dt

VelocidadMediavm

VelocidadInstantneav

yt

zk

vijkxiyjzk

dx

dt

dy

dt

dz

dt


3.1.CoordenadasRectangulares:Aceleracin:

vvamamvxvyvzcurva

z

P

rP

vP

aP

rQ

Q

aQ

vQ

vQ

vP

ttt

t

ijk

AceleracinMediaam

AceleracinInstantneaa

0avalimamlimt0tradvxdvydvzy

x

FIGURA.-Variacindelavelocidadalolargodelatrayectoriaenelmovimientocurvilneo

dv

dt

dtdtdt

ijkxiyjzk

t0

dv

dt


3.1.CoordenadasRectangulares.-Aplicaciones

Ejemplo08.-UnapartculasemueveenelplanoOXY;unobservador

colocadoenOsabequelasecuacionesparamtricasdelatrayectoria

escritasenelSIson:x=2+t,y=2+3t+2t2.a)Determinarlaforma

explcitadelatrayectoria,b)Laexpresindelvectordeposicin,velocidady

aceleracin,c)Lascondicionesinicialesdelmovimiento,d)Losvaloresdel

vectordeposicinyvelocidadparat=2s.e)Distanciadelapartculaal

observadorent=2s,f)Elvectordesplazamientoyelvectorvelocidadmedia

entret=2syt=5s.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL

3.1.CoordenadasRectangulares.-Aplicaciones

Ejemplo09.-Unapartculasemueverespectoaunsistemareferencial

XYZ,llevandoaceleracionesde(3t2,6t,0)pies/s2.Siinicialmente

estenlaposicin(5,1,0)pies,convelocidadde(3,-2,0)pies/s,

respectivamente.Determinar,parat=3s,laposicinylavelocidad

dedichapartcula.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL

3.2.AceleracinenCoordenadasIntrinsecas:TangencialyNormal:

aaTaNdvuTauTvz

PO

S

P

aT

dv

dtdt

dv

dt

duTdt

auTcurva

aN

a

Tangente

dvdt

v2uN

Normal

Mdulos:

aaTaN0

y

aT

dvdt

aN

v2

2

2

x

o

dy2dxr33/2

1dx

2dyRadiodeCurvatura:2

rr


3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones

EjemploN10.-Selanzauncuerpohorizontalmenteconunavelocidadinicialde20m/senelcampogravitatorioterrestre.Determinarelradiodecurvaturadesutrayectoriaalos2segundosdespusdeserlanzadodichoobjeto.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN10.-3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN11.-Unacajasedeslizaporunaguaquetieneformadehiprbola.Cuandolacajallegaalpuntox=5m,llevaunaceleridadde5m/squedisminuyearaznde0,5m/s2.Determinelaaceleracinyelradiodecurvaturaendichaposicin.

tsentydadasporttxcos23.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN12.-Unapartculasemueveenelplanoxyysuscoordenadasestn,.Encuentre:a)laecuacindelatrayectoriaenlaquesemuevelapartculasudesplazamientoygraficarlo,b)paracuando0,25segundos,laposicin,velocidad,laaceleracinyelradiodecurvatura.(Supongaquelasdistanciassemidenenmetros,eltiempoensegundos,yquelacantidadangular3testexpresadaenradianes).3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN12.-

incrementndosearaznde./3smvA3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN13.-Untobognviajaporunacurvaquepuedeseraproximadamentelaparbolay=0,01x2.DeterminelamagnituddesuaceleracincuandollegaalpuntoA,dondesurapidezesvA=10m/syest2


3.3.CoordenadasPolares:Posicin:

yrrurrurvdrdurry

curva

EjeTransversal(+)u

r

P

ur

EjeRadial(+)

x

Velocidad:

drddtdt

vurrudtdt

drdt

durdt

vrurru

-x

0x

arurru-y

Aceleracin:dvddtdt

urcosisenju(sen)i(cos)j2u2rruarrVectoresunitarios:

r


3.3.CoordenadasPolares.-Aplicaciones

EjemploN14.-Eltubodobladoquellevaagua,deseccintransversaluniforme,

giraalrededordelejeverticalABconvelocidadangularconstante140rev/min.SilavelocidaddelaguaenlaporcinABdeltuboes400mm/s(constante),determinelamagnituddelavelocidadyaceleracindeunapartculadeaguainmediatamenteantesquesalgadeltuboenelextremoC.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN15.-Elmovimientocurvilneoplanodeunapartculaestdefinidoencoordenadaspolaresporr0.833t35ty0.3t2donderestadadoencm,estenradianesytensegundo.Enelinstanteenquet=2s;determinarlasmagnitudesdelavelocidad,aceleracinyelradiodecurvaturadelatrayectoria.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL


EjemploN16.-LarotacindelabarraOAsedefinepor14t3t2rad,2dondetseexpresaensegundos.ElcollarnBsedeslizaalolargodelabarra

demaneratalquesudistanciadesdeOes

r1,25t20,9t3m

.Parat=1s,

determine:a)suvelocidad,b)suaceleracintotalyc)suaceleracinrelativaalabarra.



EjemploN17.-LabarraranuradaseencuentrafijaenOy,como

resultadodelavelocidadangularconstante3rad/s,conducealapartculaPporunabrevedistanciasobrelaguaespiralr=0,4(m),dondeseexpresaenradianes.Determinelavelocidadyaceleracindelapartculaenelinstanteenqueabandonalaranuraenlabarra,esdecir,r=0,5m..



EjemploN18.-ElpernoPsedeslizaenlasranurasdelbrazogiratorioOAydelabarracircularfijaBC.SiOAgiraconvelocidadangular

constante2rad/sencuentrelavelocidaddePcuando60.


rRuRZuZ3.4.CoordenadasCilndricas:

Z

Posicin:

uR(cos)i(sen)juZ

u

Donde:

vP

uR

Velocidad:drdt

ddt

RuRZuZ

vRuRRuZuZr

z

Trayectoria

Aceleracn:

RuRRuZuZaRR2u2RRuZuaX

0

y

R

x

Y

dvd

dtdt

RZ

sepide:srad/3,03.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL

3.4.CoordenadasCilndricas.-Aplicaciones:

EjemploN19.-Larampadeunaparcamientotieneformadehlice:r()153senmquebaja6mencadarevolucincompleta.Paraunautomvilquebajapordicharampaconvelocidadconstante,

a.Determinarsuvelocidadysuaceleracincuando=0b.Determinarsuvelocidadysuaceleracincuando=90c.Demostrarquevelocidadyaceleracinsonperpendicularescuando=903.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL

3.4.CoordenadasCilndricas.-Aplicaciones:

Ejemplo20.-Unautomvilrecorrelarampadesalidadeunaparcamientoconceleridadconstantede16km/h.Larampaesunahlicededimetro36mypasoderosca6m(loquedesciendecadavueltacompleta).Determineelmdulodelavelocidadyaceleracindelautocuandodesciendeporlarampa.


3.5.CoordenadasEsfricas:

Posicin:

rrurZ

ur

rurvrursenu

r

P

uu

Velocidad:

u(sen)i(cos)jarr2r2sen2ur2rrr2sencosu0

AX

Vectoresunitarios:ur(sencos)i(sensen)j(cos)ku(coscos)i(cossen)j(sen)k

Y

Aceleracin:

2rsen2rcosrsenu


3.5.CoordenadasEsfricas.-Aplicaciones:

Ejemplo21.-LagragiraentornoalejeCDalaraznconstantede3rad/min.Almismotiempo,elaguilnABde20cmdelargovadescendiendoalaraznconstantede5rad/min.CalcularlavelocidadyaceleracindelpuntoBcuando=30.


3.5.CoordenadasEsfricas.-Aplicaciones:

EjemploN22.-Elradar,estasiguiendoaunavinenplenovuelo.Enelinstanterepresentado,laposicindestevienedadaporR=19500m,=110y=60.Comparandostaconposicionesanterioresseestimanlasderivadas:

R85,5m/sR4,5m/s29,0x103rad/s20,0x106rad/s2

2,5x103rad/s80,0x106rad/s2

Paraesteinstante,determinar:a.Lavelocidadyaceleracindelavinencoordenadasesfricas(R,,).b.Lavelocidadyaceleracindelavinencoordenadasrectangularestalesqueelejezcorrespondaaleje=0yelejexcorrespondaaleje=90y=0c.Determinarlosmdulosdelavelocidadyaceleracindelavin.

rrur3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL

3.5.CoordenadasEsfricas:Posicin:

Velocidad:

Aceleracin:

Vectoresunitarios:

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