Circuitos Acoplados Magnéticamente C. R. Lindo Carrión11 Unidad IV Circuitos Acoplados...

Circuitos Acoplados MagnéticamenteCircuitos Acoplados Magnéticamente

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad IVUnidad IV


Conferencia 1Conferencia 1


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos

Definir el concepto de Inductancia MutuaDefinir el concepto de Inductancia Mutua Definir el fenómeno de acoplamiento magnético y su Definir el fenómeno de acoplamiento magnético y su

utilidad en los circuitos utilidad en los circuitos eléctricos.eléctricos. Utilizar adecuadamente el modelo del transformador ideal Utilizar adecuadamente el modelo del transformador ideal

y las relaciones de corriente , voltaje y potencia que lo y las relaciones de corriente , voltaje y potencia que lo caracterizancaracterizan

4.1 Introducción4.1 Introducción4.2 Inductancia mutua4.2 Inductancia mutua4.3 Consideraciones de energía4.3 Consideraciones de energía4.4 El transformador ideal4.4 El transformador ideal

ContenidoContenido



En circuitos eléctricos I se presentó al inductor como un elemento En circuitos eléctricos I se presentó al inductor como un elemento de circuito, y se definió en términos del voltaje entre sus de circuito, y se definió en términos del voltaje entre sus terminales y la tasa de cambio de la corriente que pasa a través terminales y la tasa de cambio de la corriente que pasa a través de ellas. Hablando estrictamente, esa fue la definición de auto de ellas. Hablando estrictamente, esa fue la definición de auto inductancia, pero en lenguaje común se le llamó sólo inductancia. inductancia, pero en lenguaje común se le llamó sólo inductancia.

4.1 Introducción4.1 Introducción

Ahora es preciso considerar la inductancia mutua, una Ahora es preciso considerar la inductancia mutua, una propiedad que esta asociada mutuamente con dos o más propiedad que esta asociada mutuamente con dos o más bobinas que se encuentran físicamente cercanas entre sí. No bobinas que se encuentran físicamente cercanas entre sí. No existe ningún elemento de circuito llamado inductor mutuo, existe ningún elemento de circuito llamado inductor mutuo, lo que es más, la inductancia mutua no es una propiedad lo que es más, la inductancia mutua no es una propiedad asociada con un solo par de terminales, sino que se define asociada con un solo par de terminales, sino que se define con respecto a dos pares de terminales.con respecto a dos pares de terminales.

La inductancia mutua es el resultado de la presencia de un La inductancia mutua es el resultado de la presencia de un flujo magnético común que enlaza a dos bobinas.flujo magnético común que enlaza a dos bobinas.



El dispositivo físico cuya operación se basa de manera inherente en la inductancia mutua es el transformador.

Como indicamos en la sección anterior de sistemas trifásicos, Como indicamos en la sección anterior de sistemas trifásicos, para suministrar potencia de manera eficiente, ésta se para suministrar potencia de manera eficiente, ésta se transmite a alto voltaje. Las líneas de 500KV son instalaciones transmite a alto voltaje. Las líneas de 500KV son instalaciones típicas de transmisión. Sin embargo, la potencia que se típicas de transmisión. Sin embargo, la potencia que se suministra a nuestras casas, por ejemplo es, típicamente suministra a nuestras casas, por ejemplo es, típicamente 208/120 Vrms. Para bajar de un nivel alto de voltaje a uno 208/120 Vrms. Para bajar de un nivel alto de voltaje a uno bajo se utiliza un transformador.bajo se utiliza un transformador.

La mayor parte de los radios contienen uno o más La mayor parte de los radios contienen uno o más transformadores, así como los receptores de televisión, los transformadores, así como los receptores de televisión, los equipos de alta fidelidad, algunos teléfonos, automóviles y los equipos de alta fidelidad, algunos teléfonos, automóviles y los tranvías eléctricos.tranvías eléctricos.

Los transformadores continúan siendo un componente Los transformadores continúan siendo un componente eléctrico importante. Además de los sistemas de potencia, eléctrico importante. Además de los sistemas de potencia, donde los transformadores desempeñan un papel donde los transformadores desempeñan un papel importante. Hay otras aplicaciones. importante. Hay otras aplicaciones.



Por ejemplo, los transformadores se usan para eliminar ruido de alta Por ejemplo, los transformadores se usan para eliminar ruido de alta frecuencia en sistemas de control de audio e industriales, y se frecuencia en sistemas de control de audio e industriales, y se construyen conectores de pared especiales que reducen el voltaje construyen conectores de pared especiales que reducen el voltaje para recargar baterías de calculadoras y de herramientas de mano.para recargar baterías de calculadoras y de herramientas de mano.

Se definirá primero la inductancia mutua y se estudiarán los Se definirá primero la inductancia mutua y se estudiarán los métodos por medio de los cuales sus efectos se incluyen en métodos por medio de los cuales sus efectos se incluyen en las ecuaciones de circuito. las ecuaciones de circuito.

4.2 Inductancia Mutua4.2 Inductancia Mutua

Si por una bobina fluye una corriente que varía en el tiempo, Si por una bobina fluye una corriente que varía en el tiempo, se produce un flujo magnético y por ende un voltaje en esta. se produce un flujo magnético y por ende un voltaje en esta. Si acercamos otra bobina observamos que las líneas de flujo Si acercamos otra bobina observamos que las líneas de flujo inciden de manera que recíprocamente en esta se induce un inciden de manera que recíprocamente en esta se induce un voltaje y si existe trayectoria posible, también existirá una voltaje y si existe trayectoria posible, también existirá una corriente. El voltaje que se induce en la segunda bobina es corriente. El voltaje que se induce en la segunda bobina es proporcional al cambio de la corriente de la primera bobina. proporcional al cambio de la corriente de la primera bobina.



Si relacionamos el voltaje inducido en la segunda bobina con Si relacionamos el voltaje inducido en la segunda bobina con la corriente circulante de la primera bobina, se establece un la corriente circulante de la primera bobina, se establece un coeficiente llamado coeficiente llamado inductancia mutuainductancia mutua

El voltaje inducido en una El voltaje inducido en una bobina es proporcional a la bobina es proporcional a la razón con respecto al tiempo razón con respecto al tiempo del cambio de flujo y el número del cambio de flujo y el número de vueltas N, en la bobina.de vueltas N, en la bobina.

Para comenzar nuestra descripción de dos bobinas acopladas, Para comenzar nuestra descripción de dos bobinas acopladas, emplearemos la ley de Faraday, que puede establecer como emplearemos la ley de Faraday, que puede establecer como sigue:sigue:

Las dos bobinas acopladas se Las dos bobinas acopladas se muestran en la Figura 1.muestran en la Figura 1.



Los componentes de flujo son:Los componentes de flujo son:

L1L1 Flujo en la bobina 1, que no se une con la Flujo en la bobina 1, que no se une con la bobina 2; este bobina 2; este es producido por la corriente en es producido por la corriente en la bobina 1la bobina 1L2L2 Flujo en la bobina 2, que no se une con la Flujo en la bobina 2, que no se une con la bobina 1; este bobina 1; este es producido por la corriente en es producido por la corriente en la bobina 2la bobina 21212 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la en la bobina 2bobina 22121 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la en la bobina 1bobina 11111==L1L1++2121 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la en la bobina 1bobina 12222==L2L2++1212 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la en la bobina 2bobina 211 Flujo total en la bobina 1Flujo total en la bobina 1

22 Flujo total en la bobina 2Flujo total en la bobina 2



A fin de escribir las ecuaciones que describen las bobinas A fin de escribir las ecuaciones que describen las bobinas acopladas, definimos los voltajes y corrientes usando la acopladas, definimos los voltajes y corrientes usando la convención de signos pasivos en cada par de terminales.convención de signos pasivos en cada par de terminales.

En forma matemática la ley de Faraday puede escribirse En forma matemática la ley de Faraday puede escribirse como:como:

El flujo El flujo 11 será igual a será igual a 1111, el flujo de la bobina 1 ocasionado , el flujo de la bobina 1 ocasionado por la corriente de la bobina 1, más o menos el flujo en la por la corriente de la bobina 1, más o menos el flujo en la bobina 1 producido por la corriente de la bobina 2, es decir,bobina 1 producido por la corriente de la bobina 2, es decir,

dt

dNtv 111 )(

12111 Si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se suman, Si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se suman,

entonces se usa el signo más; si la corriente de la bobina 2 es entonces se usa el signo más; si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se oponen uno al otro, se usa un signo tal que los flujos se oponen uno al otro, se usa un signo menos. La ecuación para el voltaje puede escribirse como:menos. La ecuación para el voltaje puede escribirse como:

dt

dN

dt

dN

dt

dNtv 12

111

11

11 )(



De la física básica se sabe que De la física básica se sabe que 1111 = N = N11ii11PP1111 y y 1212 = N = N22ii22PP1212

donde las donde las PP son constantes (permeancias) que dependen de son constantes (permeancias) que dependen de las trayectorias magnéticas tomadas por los componentes del las trayectorias magnéticas tomadas por los componentes del flujo. La ecuación del voltaje puede escribirse como:flujo. La ecuación del voltaje puede escribirse como:

La constante NLa constante N1122PP1111 = L = L1111 (la misma L que usamos antes) se (la misma L que usamos antes) se

llama ahora la llama ahora la auto inductanciaauto inductancia, y la constante N, y la constante N11NN22PP1212 = L = L1212 se llama se llama inductancia mutuainductancia mutua. Por tanto. Por tanto

Usando el mismo razonamiento anterior podemos escribir:Usando el mismo razonamiento anterior podemos escribir:

dt

diPNN

dt

diPNtv 2

12211

11211 )(

dt

diL

dt

diLtv 2

121

111 )(

dt

diL

dt

diLtv 1

212

222 )(



Si el medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, Si el medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, entonces entonces PP1212 = = PP2121. De aquí, L. De aquí, L1212 = L = L2121 = M. Por conveniencia, = M. Por conveniencia, definamos Ldefinamos L11 = L = L1111 y L y L22 = L = L2222. Entonces escribimos:. Entonces escribimos:

Ahora necesitamos examinar los detalles físicos de las Ahora necesitamos examinar los detalles físicos de las bobinas acopladas. En física básica aprendimos la regla de la bobinas acopladas. En física básica aprendimos la regla de la mano derecha, la cual afirma que si giramos los dedos de mano derecha, la cual afirma que si giramos los dedos de nuestra mano derecha alrededor de la bobina en la dirección nuestra mano derecha alrededor de la bobina en la dirección de la corriente, el flujo producido por la corriente está en la de la corriente, el flujo producido por la corriente está en la dirección de nuestro pulgar.dirección de nuestro pulgar.

dt

diM

dt

diLtv 2111 )(

dt

diM

dt

diLtv 1222 )(

A fin de indicar la relación física de las bobinas y, por A fin de indicar la relación física de las bobinas y, por consiguiente, simplificar la convención de signos para los consiguiente, simplificar la convención de signos para los términos mutuos, empleamos lo que comúnmente se llama la términos mutuos, empleamos lo que comúnmente se llama la convención de puntoconvención de punto..



Se colocan puntos al lado de Se colocan puntos al lado de cada bobina de modo que si cada bobina de modo que si entran corrientes en ambas entran corrientes en ambas terminales con puntos o salen terminales con puntos o salen de ambas terminales con de ambas terminales con puntos, los flujos producidos puntos, los flujos producidos por esas corrientes se sumarán. por esas corrientes se sumarán. Esto puede verse en la Figura 2.Esto puede verse en la Figura 2.

Cuando se escriben las ecuaciones para los voltajes Cuando se escriben las ecuaciones para los voltajes terminales, los puntos se usan para definir el signo de los terminales, los puntos se usan para definir el signo de los voltajes mutuamente inducidos.voltajes mutuamente inducidos.

Si las corrientes iSi las corrientes i11(t) e i(t) e i22(t) están ambas entrando o saliendo (t) están ambas entrando o saliendo de los puntos, el signo del voltaje mutuo inducido M(dide los puntos, el signo del voltaje mutuo inducido M(di22/dt) /dt) será el mismo en una ecuación que el del voltaje será el mismo en una ecuación que el del voltaje autoinducido Lautoinducido L11(di(di11/dt). Si una corriente entra a un punto y la /dt). Si una corriente entra a un punto y la otra sale de un punto, los términos del voltaje mutuo inducido otra sale de un punto, los términos del voltaje mutuo inducido y del voltaje autoinducido tendrán signos opuestos.y del voltaje autoinducido tendrán signos opuestos.



EjemploEjemplo

Determine la expresión de vDetermine la expresión de v11(t) y v(t) y v22(t) (t) para el circuito que se muestra en la para el circuito que se muestra en la Figura 3.Figura 3.

Las ecuaciones del voltaje vLas ecuaciones del voltaje v11(t) y v(t) y v22(t) haciendo uso de la (t) haciendo uso de la convención de punto es:convención de punto es:

Solución:Solución:

dt

diM

dt

diLtv 2111 )(

dt

diM

dt

diLtv 1222 )(



EjemploEjemplo

Determine la expresión de vDetermine la expresión de v11(t) y v(t) y v22(t) (t) para el circuito que se muestra en la para el circuito que se muestra en la Figura 4.Figura 4.

Las ecuaciones del voltaje vLas ecuaciones del voltaje v11(t) y v(t) y v22(t) haciendo uso de la (t) haciendo uso de la convención de punto es:convención de punto es:


dt

diM

dt

diLtv 2111 )(

dt

diM

dt

diLtv 1222 )(



Suponga que el circuito de la Figura 3 es excitado con una Suponga que el circuito de la Figura 3 es excitado con una fuente senoidal. Los voltajes serán de la forma fuente senoidal. Los voltajes serán de la forma VV11eejjtt y y V V22eejjtt, y , y las corrientes serán de la forma las corrientes serán de la forma II11eejjtt e e II22eejjtt, donde , donde VV11, , VV22, , II11 e e II22 son fasores. son fasores.

Sustituyendo esos voltajes y corrientes en las ecuaciones de Sustituyendo esos voltajes y corrientes en las ecuaciones de vv11(t) y v(t) y v22(t), obtenemos:(t), obtenemos:

VV11 = j = jLL11II11 + j + jMMII22

VV22 = j = jLL22II22 + j + jMMII11

El modelo del circuito acoplado en el dominio de la frecuencia El modelo del circuito acoplado en el dominio de la frecuencia es idéntico al del dominio del tiempo, excepto por la manera es idéntico al del dominio del tiempo, excepto por la manera en que están marcados los elementos y variables. El signo de en que están marcados los elementos y variables. El signo de los términos mutuos se maneja de la misma forma que se los términos mutuos se maneja de la misma forma que se hace en el dominio del tiempo.hace en el dominio del tiempo.



EjemploEjemplo

Determine el voltaje de salida Determine el voltaje de salida VVoo el circuito que se muestra en el circuito que se muestra en la Figura 5.la Figura 5.

La ecuación de la LKV para la malla 1 y 2 es:La ecuación de la LKV para la malla 1 y 2 es:


(2 + j4)(2 + j4)II11 – j2 – j2II22 = 24 = 24||30º30º

-j2-j2II11 + (2 + j6 – j2) + (2 + j6 – j2)II22 = 0 = 0

Resolviendo las ecuaciones se obtiene:Resolviendo las ecuaciones se obtiene:

II22 = 2.68 = 2.68|3.43º|3.43º A A

VVoo = 2 = 2II22 = 5.36 = 5.36|3.43º|3.43º V V



4.3 Análisis de Energía4.3 Análisis de Energía

Ahora haremos un análisis de energía Ahora haremos un análisis de energía en un par de bobinas mutuamente en un par de bobinas mutuamente acopladas como la red que se muestra acopladas como la red que se muestra en la Figura 6.en la Figura 6.

Primero colocamos todos los voltajes y corrientes en el circuito Primero colocamos todos los voltajes y corrientes en el circuito igual a cero. Una vez que el circuito esta inactivo, igual a cero. Una vez que el circuito esta inactivo, comenzamos haciendo que la corriente icomenzamos haciendo que la corriente i11(t) se incremente de (t) se incremente de cero a algún valor Icero a algún valor I11 con las terminales del lado derecho con las terminales del lado derecho abierto, es decir iabierto, es decir i22(t) = 0, y por consiguiente la potencia que (t) = 0, y por consiguiente la potencia que entra en esas terminales es cero.entra en esas terminales es cero. La potencia instantánea que entra en las terminales del lado La potencia instantánea que entra en las terminales del lado izquierdo es:izquierdo es:

)()(

)()()( 11

111 tidt

tdiLtitvtp



La energía almacenada dentro del circuito acoplado en tLa energía almacenada dentro del circuito acoplado en t11 cuando icuando i11(t) = I(t) = I11 es entonces: es entonces:

Ahora comenzando en el tiempo tAhora comenzando en el tiempo t11, dejamos que la corriente , dejamos que la corriente ii22(t) se incremente de cero a algún valor I(t) se incremente de cero a algún valor I22 en el tiempo t en el tiempo t22 mientras se mantiene imientras se mantiene i11(t) constante a I(t) constante a I11. La energía . La energía entregada a través de las terminales del lado derecho es:entregada a través de las terminales del lado derecho es:

Sin embargo, durante el intervalo tSin embargo, durante el intervalo t11 a t a t22 el voltaje v el voltaje v11(t) es(t) es

dt

diM

dt

diLtv 2111 )(

21110 110 11 2

1)()()()(

11

ILtditiLdttitvIt

22220 2222 2

1)()()()(

22

1

ILtditiLdttitvIt

t



Como iComo i11(t) es constante I(t) es constante I11, la energía liberada a través de las , la energía liberada a través de las terminales del lado izquierdo es:terminales del lado izquierdo es:

Por lo tanto, la energía total almacenada en la red para t > tPor lo tanto, la energía total almacenada en la red para t > t22 es:es:

Podemos, por supuesto, repetir completo nuestro análisis Podemos, por supuesto, repetir completo nuestro análisis anterior pero con uno de los puntos en sentido inverso, y en anterior pero con uno de los puntos en sentido inverso, y en este caso el signo del término de la inductancia mutua sería este caso el signo del término de la inductancia mutua sería negativo, produciendo:negativo, produciendo:

210 2112

11

222

1

)()(

)()( IMItdiMIdtIdt

tdiMdttitv

It

t

t

t

21222

211 2

1

2

1IMIILILw

21222

211 2

1

2

1IMIILILw



Es importante darse cuenta que en nuestra derivación de la Es importante darse cuenta que en nuestra derivación de la ecuación anterior, los valores Iecuación anterior, los valores I11 e I e I22 podrían haber sido podrían haber sido cualesquiera valores en cualquier tiempo; por consiguiente, la cualesquiera valores en cualquier tiempo; por consiguiente, la energía almacenada en las bobinas acopladas energía almacenada en las bobinas acopladas magnéticamente en cualquier instante de tiempo esta dad magnéticamente en cualquier instante de tiempo esta dad por la expresión:por la expresión:

Las dos bobinas acopladas representan una red pasiva, y, por Las dos bobinas acopladas representan una red pasiva, y, por lo tanto, la energía almacenada dentro de esta red debe ser lo tanto, la energía almacenada dentro de esta red debe ser no negativa para cualesquiera valores de las inductancias y no negativa para cualesquiera valores de las inductancias y de las corrientes.de las corrientes.

)()()]([2

1)]([

2

1)( 21

222

211 titMitiLtiLtw

La ecuación para la energía instantánea almacenada en el La ecuación para la energía instantánea almacenada en el circuito magnético puede escribirse como:circuito magnético puede escribirse como:

21222

211 2

1

2

1)( iMiiLiLtw



Sumando y restando el término:Sumando y restando el término:

En esta expresión reconocemos que la energía instantánea En esta expresión reconocemos que la energía instantánea almacenada será no negativa sialmacenada será no negativa si

Observe que esta ecuación especifica un límite superior del Observe que esta ecuación especifica un límite superior del valor de la inductancia mutua.valor de la inductancia mutua.

21

2

2

2

1i

L

M

y arreglando la ecuación se obtiene:y arreglando la ecuación se obtiene:2

12

2221

2

2

1 2

1

2

1)(

i

L

MiLi

L

MLtw

21LLM

Definimos el coeficiente de acoplamiento entre las dos Definimos el coeficiente de acoplamiento entre las dos bobinas Lbobinas L11 y L y L22 como: como:

21LL

Mk



notamos que el rango de valores de M es: 0 notamos que el rango de valores de M es: 0 k k 1 1

Para valores grandes de k (es decir, k>0.5), se dice que las Para valores grandes de k (es decir, k>0.5), se dice que las bobinas están fuertemente acopladas, y para pequeños bobinas están fuertemente acopladas, y para pequeños valores (es decir, kvalores (es decir, k0.5), se dice que las bobinas están 0.5), se dice que las bobinas están débilmente acopladas.débilmente acopladas.

Las ecuaciones anteriores indican que el valor para la Las ecuaciones anteriores indican que el valor para la inductancia mutua esta limitado al intervaloinductancia mutua esta limitado al intervalo

Este coeficiente es una indicación de qué cantidad de flujo de Este coeficiente es una indicación de qué cantidad de flujo de una bobina está ligado con la otra bobina; es decir, si todo el una bobina está ligado con la otra bobina; es decir, si todo el flujo de una bobina alcanza la otra bobina, entonces tenemos flujo de una bobina alcanza la otra bobina, entonces tenemos el 100% de acoplamiento y k=1.el 100% de acoplamiento y k=1.

Y que el límite superior es la media geométrica de las Y que el límite superior es la media geométrica de las inductancias Linductancias L11 y L y L22..

210 LLM



EjemploEjemplo

El circuito acoplado de la Figura El circuito acoplado de la Figura 6 tiene un coeficiente de 6 tiene un coeficiente de acoplamiento de 1 (es decir, acoplamiento de 1 (es decir, k=1). Se desea determinar la k=1). Se desea determinar la energía almacenada en la energía almacenada en la bobinas mutuamente acopladas bobinas mutuamente acopladas en el tiempo t=5ms. en el tiempo t=5ms. LL11=2.653mH y L=2.653mH y L22=10.61mH.=10.61mH.

De los datos la inductancia De los datos la inductancia mutua es:mutua es:


mHLLM 31.521

El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 8.muestra en la Figura 8.



Las ecuaciones de malla para la red son:Las ecuaciones de malla para la red son:

(2 + j1)(2 + j1)II11 – j2 – j2II22 = 24 = 24|0º|0º

-j2-j2II11 + (4 + j4) + (4 + j4)II22 = 0 = 0

Resolviendo las ecuaciones se obtiene:Resolviendo las ecuaciones se obtiene:

II11 = 9.41 = 9.41|-11.31º|-11.31º A A II22 = 3.33 = 3.33|33.69º|33.69º A A

Expresadas estas ecuaciones en el tiempo, son:Expresadas estas ecuaciones en el tiempo, son:

ii11(t) = 9.41cos(377t -11.31º) A(t) = 9.41cos(377t -11.31º) A

ii22(t) = 3.33cos(377t +33.69º) (t) = 3.33cos(377t +33.69º) AA

A t=5ms, 377t = 1.885rad ó 108º por consiguiente:A t=5ms, 377t = 1.885rad ó 108º por consiguiente:

ii11(5ms) = 9.41cos(108º -11.31º)= -1.1 (5ms) = 9.41cos(108º -11.31º)= -1.1 AA

ii22(5ms) = 3.33cos(108º +33.69º)=-(5ms) = 3.33cos(108º +33.69º)=-2.61 A2.61 A



Por lo tanto, la energía almacenada por las bobinas acopladas Por lo tanto, la energía almacenada por las bobinas acopladas en t=5ms es:en t=5ms es:

4.4 El transformador ideal4.4 El transformador ideal

Consideremos la situación Consideremos la situación que se ilustra en la Figura que se ilustra en la Figura 9, que muestra dos 9, que muestra dos bobinas de alambre bobinas de alambre embobinado en un solo embobinado en un solo núcleo magnético cerrado.núcleo magnético cerrado.

)61.2)(1.1)(31.5()61.2)(61.10(2

1)1.1)(653.2(

2

1|)( 225 mmmtw mst

mJmmmtw mst 5.2225.1514.3661.1|)( 5

El núcleo magnético concentra el flujo de manera que todo el El núcleo magnético concentra el flujo de manera que todo el flujo una todas las vueltas de ambas bobinas. En el caso ideal flujo una todas las vueltas de ambas bobinas. En el caso ideal también ignoramos la resistencia del alambre.también ignoramos la resistencia del alambre.



Examinemos ahora las ecuaciones de acoplamiento bajo la Examinemos ahora las ecuaciones de acoplamiento bajo la condición de que el mismo flujo vaya a través de cada condición de que el mismo flujo vaya a través de cada devanado y, por tantodevanado y, por tanto

y, por tanto la razón de vy, por tanto la razón de v11 a v a v22 es: es:

Para desarrollar la relación entre las corrientes iPara desarrollar la relación entre las corrientes i11 e i e i22 empleamos la Ley de Ampere que se escribe en forma empleamos la Ley de Ampere que se escribe en forma matemática como:matemática como:

dt

dN

dt

dNtv

1

111 )(

dt

dN

dt

dNtv

2

222 )(

2

1

2

1

2

1

N

N

dt

dN

dt

dN

v

v

2211. iNiNidlH encerrada



donde H es la intensidad del campo magnético y la integral donde H es la intensidad del campo magnético y la integral esta sobre la trayectoria cerrada recorrida por el flujo esta sobre la trayectoria cerrada recorrida por el flujo alrededor del núcleo del transformador. Para el material del alrededor del núcleo del transformador. Para el material del núcleo ideal núcleo ideal μμ==, H=0. Por tanto, H=0. Por tanto

Observe que si dividimos la ecuación anterior entre NObserve que si dividimos la ecuación anterior entre N11 y la y la multiplicamos por vmultiplicamos por v11 obtenemos: obtenemos:

Sin embargo, como vSin embargo, como v11 = (N = (N11/N/N22)v)v22, tenemos, tenemos

02211 iNiN1

2

2

1

N

N

i

i

0211

211 ivN

Niv

02211 iviv

y de aquí la potencia total en el dispositivo es cero, lo que y de aquí la potencia total en el dispositivo es cero, lo que significa que un transformador ideal no tiene pérdidas.significa que un transformador ideal no tiene pérdidas.



Por tanto, para resumir la convención de punto para un Por tanto, para resumir la convención de punto para un transformador ideal,transformador ideal,

donde ambos voltajes tienen referencia positiva en los puntos donde ambos voltajes tienen referencia positiva en los puntos yy

donde se define que ambas corrientes entran a los puntos.donde se define que ambas corrientes entran a los puntos.

Considere ahora el circuito que se Considere ahora el circuito que se muestra en la Figura 10, donde el muestra en la Figura 10, donde el símbolo usado para el símbolo usado para el transformador indica que es un transformador indica que es un transformador con núcleo de transformador con núcleo de hierro.hierro.

22

11 v

N

Nv

02211 iNiN



Debido a la relación entre los puntos, las corrientes y voltajes Debido a la relación entre los puntos, las corrientes y voltajes asignados; los voltajes fasoriales asignados; los voltajes fasoriales VV11 y y VV22 están relacionados están relacionados por la expresiónpor la expresión

y las corrientes fasoriales, están relacionadas por:y las corrientes fasoriales, están relacionadas por:

El signo es inverso al obtenido anteriormente, ya que la El signo es inverso al obtenido anteriormente, ya que la dirección de dirección de II22 es inversa. Las dos ecuaciones anteriores es inversa. Las dos ecuaciones anteriores pueden rescribirse como:pueden rescribirse como:

2

1

2

1

N

N

V

V

1

2

2

1

N

N

I

I

21 VV2

1

N

N

21 II1

2

N

N

También note que:También note que:2

*2222

*111 SIVIVIVS

*

1

2

2

1

N

N

N

N



De la Figura notamos que De la Figura notamos que ZZLL = = VV22//II22, y, por lo tanto la , y, por lo tanto la impedancia de entrada es:impedancia de entrada es:

Si ahora definimos la razón de vuelta comoSi ahora definimos la razón de vuelta como

Entonces las ecuaciones de definición del transformador ideal Entonces las ecuaciones de definición del transformador ideal son:son:

L1 ZI

VZ

2

2

1

1

1

N

N

1

2

N

Nn

21 VVn

1 21 II n 21 SS L1 ZZ

2

1

n

Debe tenerse cuidado al usar estas relaciones, debido a que Debe tenerse cuidado al usar estas relaciones, debido a que los signos de los voltajes y las corrientes dependen de las los signos de los voltajes y las corrientes dependen de las referencias asignadas y de cómo están relacionadas con los referencias asignadas y de cómo están relacionadas con los puntos.puntos.

Circuitos Acoplados Magnéticamente C. R. Lindo Carrión11 Unidad IV Circuitos Acoplados...

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