CIRCUITO DE VENTILACION

Leyes de Kirchhoff

Las dos leyes fundamentales administrada por la conducta de los circuitos

elctricos fueron desarrolladas por el fsico alemn Gustav Robert Kirchhoff.

Aunque estas leyes fueron desarrolladas con respecto a circuitos elctricos, a

estado siendo aplicado a circuitos de ventilacin usando anlisis de la analoga de

H -Q2.

Primera ley de Kirchhoff

La figura es un segmento de un circuito de ventilacin donde se encuentran

cuatro ramas en un punto comn o conjuncin. Para este capitulo conjuncin es

especficamente definida como un punto donde tres o ms ramas se encuentran. Segn la primera ley de kirchhoff, el caudal de salida de una conjuncin ser igual

al caudal de entrada de la conjuncin; entonces

Q1 + Q2 = Q3 + Q4

Segunda ley de kirchhoff

La segunda ley de kirchhoff dice que la suma de las cadas de presin en una malla

cerrada deber ser igual a cero, el cual puede ser expresada de la siguiente forma:

H = 0

La figura est referida al orden adoptado aplicando la ecuacin anterior. Una malla

cerrada consiste de flujos a, b, c y d, indicado por la lnea segmentada. Si se suman

las cadas de presin en sentido del reloj en la malla, la siguiente ecuacin debe ser

escrita como:

H = Ha + Hb + Hc Hd = 0

Ha, Hb, y Hc son positivas, porque el caudal del flujo Q1 est en el sentido de las

sumas de las cadas de presin. Por lo tanto, Hd es negativo, debido a que Q2 se

opone a la direccin de las suma de las cadas de presin.

Circuitos series

En un sistema de ventilacin, dos combinaciones de flujos de aire son posibles:

series o paralelos. Ocurren tambin combinaciones complejas, estas pueden ser

reducidas usando algunas tcnicas bsicas.

En la figura se puede definir un circuito serie. g ppp

Resistencia equivalente en circuito serie

La figura ilustra un simple circuito en serie. El caudal de aire de cada rama es el

siguiente:

Q = Q1 = Q2 = Q3 = ..............

Aplicando la segunda ley de kirchhoff en sentido contrario al reloj resulta lo

siguiente:

H1 + H2 + H3 Hm = 0

Para este caso, la presin del ventilador Hm es igual a la cada total (cada esttica)

para los puntos AB. Uno puede a menudo convenir no involucrar el ventilador, la

expresin puede ser escrita de la siguiente forma:

H = H1 + H2 + H3 + .............

Puede ser expresado en trminos de caudal y resistencia para cada rama

H = R1 |Q|Q + R2|Q|Q + R3|Q|Q + ...........

En los circuitos en serie hay que tener especial cuidado con el caudal y la direccin

de los flujos, la ecuacin puede ser escrita de la siguiente forma adoptando la

convencin de signos.

H = R1 Q2 + R2 Q

2 + R3 Q2 + ...........

Factor comn en Q2,

H = ( R1 + R2 + R3 + .... ) Q2 = Req Q

2

Donde Req esta referido a la resistencia equivalente de los circuitos en serie, esto

significa la suma individual de todas las resistencias. Entonces, la ecuacin general

de las resistencias en serie puede ser escrita de la siguiente forma:

Req = H = R1 + R2 + R3 + .........

Q2

Curva caracterstica circuitos series

Los clculos de flujo en serie pueden ser resueltos grficamente usando la curva

caracterstica, las curvas son visualizadas para cada condicin de flujo. En este caso

las cadas de presin son acumulativas para un caudal dado.

Circuitos paralelos

Las ramas pueden ser conectadas en paralelo donde el flujo de aire es dividido.

En ventilacin de minas, es practicado en termino de ramales, y las mallas son

referidas a las ramas. Hay dos formas de ramales, ramal natural ocurre cuando el

caudal es dividido en mallas paralelas acordado por su propia regulacin. Los

ramales controlados son cuando se prescribe el caudal en cada malla paralela por

una regulacin. Para la primera ley de Kirchhoff, uno puede escribir la expresin

general como sigue:

Q = Q1 + Q2 + Q3 + ......

Cuando las ramas son arregladas en paralelo, el caudal total es la suma de los

caudales individuales.

Para la segunda ley de Kirchhoff,

H = H1 = H2 = H3 = ...........

La cada de presin en los ramales paralelos son iguales.

Resistencia equivalente para circuitos paralelos

Como para los circuitos en serie, la resistencia equivalente para ramales paralelos

puede ser determinada aplicando la primera ley de Kirchhoff y la ecuacin de

Atkinson para la conjuncin, se puede escribir.

Q = (H / R1) + (H / R2)

+ (H / R3)

Donde Q es el caudal total y H es la cada de presin en las ramas paralelas del

tramo AB. Ahora esta ecuacin puede ser expresada en trmino de resistencia

equivalente.

Q = (H) ( 1 / (R1) + 1 / (R2)

+ 1 / (R3) ) = (H) ( 1 / (Req)

)

La ecuacin general para la resistencia equivalente puede ser escrita como sigue:

1 / (Req) = 1 / (R1) + 1 / (R2) + 1 / (R3) + .......

Regla del caudal dividido

El caudal de aire requerido para cada flujo paralelo puede ser determinado por

datos conocidos como el caudal total y la resistencia de cada rama, como las

prdidas de presin en paralelo son iguales, puede ser escrito como sigue:

Req Q2 = R1 Q12 = R2 Q2

2 = ........

Para esto, uno puede expresar los caudales individuales en funcin del caudal total

del circuito, de las resistencias individuales y de la resistencia equivalente.

Q1 = Q (Req / R1)

Q2 = Q ( Req / R2) , etc.

Curva caracterstica de circuitos

paralelos

Algunas soluciones se pueden obtener a travs de la curva caracterstica. La cada

de presin en un punto sobre la curva es calculada, asumiendo un caudal. En este

caso los caudales son acumulativos para una misma cada de presin.

Ley de Ohm

Ley de Ohm: V=R*I

RS = R1 + R1 + R3

1/Rp = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Anlisis de redes simples con ramas

naturales

Las redes constituyen el sistema de ventilacin, el resultado es una complicada

maza de aire. En algunas instancias, la mayora de las redes de ventilacin pueden

agruparse en circuitos equivalentes series paralelos. Por lo tanto, las ramas

naturales presentan ms dificultad al problema, debido a la direccin de flujo y

magnitud de las presiones y caudales que son desconocidos. El problema en el

diseo minero es determinar el caudal de cada rotura.

Solucin algebraica a redes simples

Las redes simples pueden ser combinadas algebraicamente con circuitos series y

paralelos. En el siguiente ejemplo utilizar las tcnicas previas analizadas ilustrando

un anlisis medio.

Ejemplo, para un circuito simple de ventilacin mostrado en la figura, los siguientes

datos de resistencias han estado determinadas en unidades de 10-10 in min2/ft6.

R1 = 0.50 R6 = 1.30

R2 = 1.20 R7 = 0.95

R3 = 1.00 R8 = 1.50

R4 = 0.75 R9 = 1.35

R5 = 1.25 R10= 0.40

Solucin grafica de redes simples

Redes simples son de fcil solucin grfica. Por ejemplo, la solucin grfica de la

mina, se ha resuelto algebraicamente en el ejemplo y es mostrado en el siguiente

grfico.

Combine todos los conductos de ventilacin en un conducto equivalente. Fig.

Dibuje la curva caracterstica de la rama D y la rama B.

Dibuje la curva caracterstica de la combinacin E.

Determine caudal para cada rama si el caudal de la mina es 100.000 cfm; lea QD =

61.000 y QB = 39.000 cfm.

Dibuje la curva caracterstica de la rama A y la rama 3.

Dibuje la curva caracterstica de la rama C.

Determine el caudal de la rama secundaria, basado sobre el caudal de flujo de D;

lea QA = 22.000 cfm y Q3 = 39.000 cfm

Anlisis de redes complejas

Las redes son complejas cuando los circuitos paralelos cuando son montados e

interconectados y separados y circuitos no muy claros. En otras palabras, el circuito

no puede ser reducido a un equivalente.

Si la ramificacin es natural, la solucin algebraica es imposible y complicada.

La solucin de las redes complejas est basado en la ecuacin de Atkinson y las

leyes de Kirchhoff. En orden de aplicacin de estas leyes son el modelo lgico. La

siguiente terminologa de redes deber ser adoptada:

Un nodo, es definido como el punto donde tres o ms ramas se encuentran

Una rama es el segmento de un conducto de ventilacin entre dos nodos.

La malla es un circuito cerrado.

La figura muestra un ejemplo elemental de redes complejas. La red consiste en seis

ramas y cuatro nodos, con un ventilador localizado en la rama 1derivando el aire

en la direccin que indica la flecha. Por lo tanto, para este caso se puede escribir:

Nb = 6 y Nj = 4

Donde Nb es el nmero de ramas y Nj es el nmero de nodos. Si uno asume que el

caudal total es Q1 y que las resistencias en cada rama son conocidas, lo siguiente

debe ser determinado:

La cada de presin de cada rama

La direccin y caudal de cada rama, excepto la rama 1

La presin esttica del ventilador

En efecto hay 12 variables desconocidas por resolver, se necesitan 12 ecuaciones

independientes. Un requerimiento de ecuaciones independientes puede ser escrita

por la ecuacin de Atkinson, como sigue:

H1 = R1 | Q1 | Q1

H2 = R2 | Q2 | Q2

H3 = R3 | Q3 | Q3

H4 = R4 | Q4 | Q4

H5 = R5 | Q5 | Q5

H6 = R6 | Q6 | Q6

Las seis ecuaciones deben ser obtenidas por la ley de Kirchhoff.

Un teorema de redes dice que hay exactamente Nj 1 ecuaciones independientes

que pueden ser derivada por la primera ley de kirchhoff (Close 1966). Se tiene que

la suma algebraica de los caudales es igual a cero. Entonces, se puede obtener tres

ecuaciones independientes aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos A, B y

C:

Nodo A : -Q1 + Q2 + Q3 = 0

Nodo B : -Q2 + Q4 + Q6 = 0

Nodo C : -Q3 Q6 + Q5 = 0

Ser notado que la aplicacin de la primera ley de Kirchhoff al nodo D producir

una ecuacin que puede ser derivado por sobre tres ecuaciones; esto no es

independiente.

Otro teorema de redes es que hay un mnimo nmero de mallas Nm que puede

resolver

el problema de redes es como sigue:

Nm = Nb Nj + 1

En la figura se debe aplicar la segunda ley de kirchhoff a las tres mallas. De aqu

llevaremos a cabo el requerimiento de 12 ecuaciones independientes.

Seleccionando las tres mallas indicadas en la figura (b), y destacando que la presin

del ventilador debe ser incluida, produce la siguiente ecuacin:

Malla 1 : -Hm + H1 + H2 + H4 = 0

Malla 2 : H3 H6 H2 = 0

Malla 3 : H6 + H5 H4 = 0

Sobre las ecuaciones en las mallas pueden ser expresados en trminos de caudal

y resistencias de cada rama sustituyndola en las ecuaciones anteriores.

Malla 1 : - Hm + R1 | Q1 | Q1 + R2 | Q2 | Q2 + R4 | Q4 | Q4 = 0

Malla 2 : R3 | Q3 | Q3 R6 | Q6 | Q6 R2 | Q2 | Q2 = 0

Malla 3 : R6 | Q6 | Q6 + R5 | Q5 | Q5 R4 | Q4 | Q4 = 0

Donde Q1 es dado, uno determina cinco caudales y la presin del ventilador.

Ahora, se puede expresar en dos trminos desconocidos (Q3 y Q6).

Q2 = Q1 Q3

Q4 = Q2 Q6 = Q1 Q3 Q6

Q5 = Q3 + Q6

Ley de Kirchhoff

La ley de nudos que la suma de las corrientes que llegan a un nodo es cero; es

decir, que el total de corriente que entra (signo mas, por ejemplo) es igual al total

de la corriente que sale del nudo (signo menos en su caso). I1 - I2 - I3 = 0

La ley de mallas establece que la suma de cadas de potencial a lo largo de una

malla debe coincidir con la suma de fuerzas electromotrices (de los elementos

activos) a lo largo de la misma. En nuestro caso, utilizando las mallas I y II

recorridas en los sentidos indicados tendremos las siguientes ecuaciones:

e1 = I1R1 + I3R3 -e2 = I2R2+I2R4 I3R3 = I2(R2 + R4) I3R3

Ramificaciones controladas

Cuando los flujos de ventilacin son arreglados en paralelos y se prescribe el caudal

de aire hecho para cada rama sin obstruccin, entonces es utilizado la ramificacin

controlada. Los flujos en paralelo usualmente son controlados por una resistencia

artificial para todas o una rama del circuito. La rama fuera de la resistencia artificial

es llamada rama libre. La resistencia artificial es de alguna forma la prdida por

choque, crendose un regulador.

Determinacin del tamao del regulador

Como mecanismo de control de ventilacin de minas, un regulador funciona

similarmente al regulador de sistema de calefaccin de la casa. En efecto, el

regulador es un orificio que causa una alteracin de contraccin y expansin del

flujo en un ducto.

Es admisible calcular el tamao aproximado del regulador. En orden a determinar

el tamao del regulador, uno primero necesita tener la prdida por choque para

crear el regulador por ramas. Este procedimiento involucra calcular las prdidas de

presin en cada rama basado en los caudales designados. La rama con ms alta

cada de presin es la rama libre y no necesita regulador.

Para segunda ley de Kirchhoff las prdidas de presin en paralelo son iguales; por

lo tanto, la cantidad de prdidas por choque debera ser creada para permitir la

asignacin de los caudales, calculado por la substraccin de la cada de presin de

la rama libre. Esto es ilustrado en el ejemplo.

Ejemplo, dado algunos flujos de aire, determine la rama libre y la cantidad de

reguladores necesarios para distribuir 100.000 cfm.

Calcule la cada de presin para cada rama usando la ecuacin de Atkinson para

los caudales asignados. Necesitando la prdida de presin por choque con la

substraccin de las prdidas de presin de la rama libre y las otras ramas.

Note que para un caudal total de 100.000 cfm en ramificacin natural la cada de

presin total es de 0.214 in. A 0.940 in con ramificacin controlada. Esto requerir

un incremento en la potencia a igual proporcin.

El tamao del regulador puede ser bien fundamentado para la prdida por choque

terica asumiendo que es circular, o el orificio es simtrico (McElroy, 1935)

X = [ (1/CC) - N]2

N

Donde X es el factor de prdida por choque, N es la razn del rea del orificio Ar

para la rama de rea A y CC es el coeficiente de contraccin. El coeficiente de

contraccin es determinado por la siguiente ecuacin.

CC = 1

( Z ZN2 + N2 )

Sustituyendo en la primera ecuacin, resulta la siguiente expresin (Wang, 1980).

N = ( Z )

X + 2(X) + Z

Donde Z es el factor de contraccin. Este factor vara con la configuracin del

regulador, como indica en la tabla. El valor de 2.5 es comnmente usado.

El rea del orificio Ar es usualmente llamado el rea del regulador. Donde el rea

de la rama A es conocida, el regulador puede ser determinado con la siguiente

ecuacin:

Ar = N A

La formula asume que es una abertura simtrica. En orden de clculo es necesario

primeramente calcular X, esto puede ser con la siguiente ecuacin bsica:

X = HX

HV

Donde HX es la prdida por choque que se necesita para ser creado el regulador y

HV es la presin de velocidad.

Ejemplo, dado Q = 150.000 cfm, HX = 2.25 in y A = 40 ft2 defina el rea del regulador.

V = Q / A = 150.000 / 40 = 3.750 fpm

HV = w (V / 1098 )2 = 0.075 (3757 / 1098 )2 = 0.88 in

X = HX / HV = 2.25 / 0.88 = 2.56

N = ( Z / ( X + 2(X) + Z ) ) = ( 2.5 / (2.56 + 2(2.56) + 2.5 )) = 0.55

Ar = N A = 0.55 (40) = 22 ft2

Anlisis de redes con ramificacin

controlada

Cada red compleja o simple puede ser resuelta algebraicamente en forma rpida y

directa, si solamente es por ramificacin controlada. La razn es que la direccin y

el caudal son conocidos; y solamente el caudal de la mina, las prdidas y la

localizacin de los reguladores se debe determinar. El siguiente procedimiento

general es sugerido:

Sobre el esquema de la mina prepare un plano de la mina, indicando caudales de

aire asignado a cada rama.

Calcule la cada de presin individual para cada rama, empleando el caudal Q

asignado.

Determine el nmero de mallas requerido aplicando la segunda ley de Kirchhoff,

por Nm = Nb Nj + 1.

Comience a trabajar con malla interior y exterior hasta que la segunda ley de

Kirchhoff ha sido satisfecha por todos los requerimientos de la malla. Si ms de

dos ramas estn en paralelo, cada malla asociada incluir la rama libre para evitar

confusin.

Redes simples

Un ejemplo ilustra sobre el procedimiento con redes simples

Ejemplo, dado un esquema simple de ventilacin, determine el caudal de la mina,

localizacin de los reguladores y la presin esttica de los ventiladores para las

siguientes condiciones. Los valores de Q son en cfm y los valores de R en 10-10 in

min2/ft6.

Q3 = 25.000 Q8 = 15.000

Q4 = 40.000 Q9 = 35.000

Q5 = 10.000 Q10 = 20.000

R1 = 0.238 R5 = 50.00 R9 = 8.16

R2 = 3.550 R6 = 1.780 R10 = 75.0

R3 = 32.00 R7 = 6.120 R11 = 0.408

R4 = 18.70 R8 = 22.20 R12 = 0.476

Solucin, el caudal de la mina es determinado aplicando la primera ley de Kirchhoff

trabajando con los nodos internos y externos.

Q2 = Q6 = 25.000 + 40.000 + 10.000 = 75.000 cfm

Q7 = Q11 = 15.000 +35.000 + 20.000 = 70.000 cfm

Q mina = Q1 = Q12 = 75.000 + 70.000 = 145.000 cfm

La cada de presin de cada rama es calculada para los caudales designados como

sigue:

H1 = R1 Q12 = (0.238x10-10) (145.000)2 = 0.5 in

Para una parte de la red, la segunda ley de kirchhoff de satisfacer cinco mallas.

Nm = Nb Nj + 1 = 10 6 + 1 = 5

Si las mallas en la figura (c) son definidas, las siguientes ecuaciones pueden ser

escritas para determinar la localizacin de los reguladores y la cantidad de

reguladores.

Malla 1 : 2.0 + Hx = 3.0 Hx = 1.0 (rama 3)

Malla 2 : 3.0 = 0.5 + Hx Hx = 2.5 (rama 5)

Malla 3 : 1.0 + Hx = 3.0 Hx = 2.0 (rama 9)

Malla 4 : 0.5 + Hx = 3.0 Hx = 2.5 (rama 8)

Malla 5 :2.0 + 3.0 + 1.0 + Hx = 3.0 + 3.0 +2.0 Hx = 2.0 (rama 2 o 6)

La presin esttica de la mina es determinada aplicando la segunda ley de Kirchhoff,

ABCDGH o ABEFGH,ABEFGH Hs mina = 0.5 + 3.0 + 3.0 + 2.0 + 1.0 = 9.5 in

Redes complejas

Dado el esquema de un sistema de ventilacin de minas mostrado en la figura, con

caudales asignados y las cadas de presin calculadas, determine el caudal de la

mina y la presin esttica.

Nivel superior: Q = 20.000 + 30.000 + 25.000 = 75.000 cfm

Nivel inferior: Q = 40.000 + 15.000 + 35.000 = 95.000 cfm

Caudal de la mina Q = 75.000 + 95.000 = 170.000 cfm

Para una parte de la red B a J, la segunda ley de Kirchhoff debe ser satisfecha en

las cinco mallas, donde

Nm = Nb Nj + 1 = 13 9 + 1 = 5

Si las mallas de la figura 5 son definidas, se determinaran las siguientes

ecuaciones:

Malla 1: 0.4 + Hx = 1.2 Hx = 0.8 rama CD

Malla 2: 1.2 + 1.8 = 0.8 + Hx Hx = 2.2 rama CE

Malla 3: 1.9 = 0.7 + Hx + 0.4 Hx = 0.8 rama FG

Malla 4: 0.4 + 1.2 = 1.3 + Hx Hx = 0.3 rama GI

Malla 5: 0.8 + 3.0 + 1.3 = 0.6 + 1.9 + 1.2 + 1.1 + Hx

Hx = 0.3 rama BF o IJ

Cada esttica mina Hs = 0.7 + 5.1 + 1.6 = 7.4 in

Mtodo de transformacin triangulo

en estrella

Por analoga por el clculo de las redes elctricas, en el clculo de los sistemas de

ventilacin, para su simplificacin, se utiliza la transformacin del tringulo en

estrella de tres rayos. As, el tringulo ABC puede ser reemplazado por una

equivalente estrella con radios AO, BO y CO ver figura.

Si suponemos que el aire entra en el punto A y sale por el punto B, entonces para

el tringulo la resistencia entre los puntos se determinar como la resistencia

comn de las ramificaciones paralelas AB y ACB. Para la estrella esta resistencia

ser igual a la suma de las resistencias de las secciones AO y OB.

R3,1 + R1,2 = R1(R2 + R3)

R1 + R2 + R3 + 2(R1(R2 +R3))

Por analoga

R2,3 + R1,2 = R2(R1 + R3)

R1 + R2 + R3 + 2(R2(R1 + R3))

R3,1 + R2,3 = R3(R1 + R2)

R1 + R2 + R3 + 2(R3(R1 + R2))

Sumando las dos primeras ecuaciones y restando la tercera resolvemos:

S S R = R1 + R2 + R3

R1,2 = ( R1(SR R1) + R2(SR R2) - R3(SR R3) )

SR + 2(R1(SR R1)) SR + 2(R2(SR R2))

SR + 2(R3(SR R3))

R2,3 = ( R2(SR R2) + R3(SR R3) - R1(SR R1) )

SR + 2(R2(SR R2)) SR + 2(R3(SR R3))

SR + 2(R1(SR R1))

R3,1 = ( R3(SR R3) + R1(SR R1) - ) )

SR + 2(R3(SR R3)) SR + 2(R1(SR R1))

SR + 2(R2(SR R2))