Representacin algebraica de una circunferencia

La representacin algebraica se realiza con la ecuacin:

C: (x a)2 + (y b)2 = r2

donde C:(a,b) corresponde al centro y r a la medida del radio

Determine la ecuacin de la circunferencia de cada una de las siguientes

situaciones:

Una circunferencia cuyo centro es (1,2) y dimetro mide 12.

Una circunferencia cuyo centro es el origen y radio mide 4

3.

Una circunferencia cuyo radio es 3 y su centro es el origen.

Una circunferencia centrada en el punto (3,5) y es tangente al eje x.

Representacin Grfica Representacin Algebraica

Una circunferencia centrada en el punto ( 2, 1) y es tangente al

eje y.

Representacin Grfica Representacin Algebraica

Una circunferencia con centro en el punto ( 1, 5) y es tangente al

eje x.

Representacin Grfica Representacin Algebraica

La ecuacin de la circunferencia d, e y f.

Obtener la medida del radio a partir de dos puntos

El radio es la distancia que hay del centro a un punto de la circunferencia,

si se tienen esos dos puntos, es posible obtener su medida con la frmula

de distancia entre dos puntos.

d = (1 2)2 + (1 2)2

Ejercicio

Determine la medida del radio de una circunferencia que pasa por el

punto (6,1) y cuyo centro est en el punto (4,7).

Determine la ecuacin de la circunferencia de centro (1,0) y que pasa por

el punto (3,4).

Puntos interiores, exteriores o pertenecientes a una circunferencia

Para determinar algebraicamente si un punto se ubica en el interior,

exterior o pertenece a una circunferencia es necesario conocer dos

distancias:

Del centro a un punto de la circunferencia: radio

Del centro al punto que se quiere ubicar.

Para esto se aplica la frmula de distancia entre dos puntos

d = (1 2)2 + (1 2)2

Teniendo las dos distancias, se realiza una comparacin entre las medidas

obtenidas.

Si la distancia entre el centro y el

punto que se quiere ubicar es

Tipo de punto

Menor que el radio Interior

Igual al radio Perteneciente a la circunferencia

Mayor al radio Exterior

Ejercicio

Considere la circunferencia con ecuacin ( 7)2 + ( + 1)2 = 6 ,

clasifique los siguientes puntos en interiores, exteriores o pertenecientes a

esa circunferencia.

(0,0) (1,5) (2,3)

(5

2, 4) (

;1

3, 0) (

;3

2, 5)

Rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia

Para determinar si una recta es tangente, secante o exterior a una

circunferencia se procede a:

1. Sustituir la ecuacin de la recta secante, tangente o exterior en la

circunferencia, realizando procedimientos (frmulas notables, sumas,

restas, despejes) hasta obtener una ecuacin cuadrtica.

2. Resolver la ecuacin cuadrtica con MODE 53.

3. Se clasificar dependiendo de la cantidad de soluciones que tenga.

Cantidad de soluciones Tipo de recta

0 soluciones Exterior

1 solucin Tangente

2 soluciones Secante

Ejercicio

A continuacin se presentan varios sistemas de ecuaciones en dos

incgnitas. Una de las ecuaciones de cada sistema corresponde a la

ecuacin de la circunferencia y la otra representa la ecuacin de una

recta. En cada caso indique si la recta es exterior, tangente o secante a la

circunferencia respectiva.

a) {4 = ( 1)2 + 2

= + 1 b) {

3 = ( + 1)2 + ( + 3)2

= 5 c) {

5 = 2 + 2

= 2

d) {3 = ( 2)2 + ( + 3)2

= + 2 e) {

1 = ( 2)2 + 2

= f) {

6 = 2 + 2

= 3

Representacin algebraica de rectas secantes, tangentes y

exteriores a una circunferencia Dado que las rectas secantes, tangentes y exteriores son lineales la forma

algebraica que tendrn ser

Se pueden presentar dos casos para formar la ecuacin.

1. Tener dos puntos (pares ordenados) pertenecientes a la recta (esto

se da generalmente en rectas secantes)

Si se tienen dos pares ordenados de esa recta se colocan en el

MODE 51 de la calculadora en el siguiente orden:

A B C

X1 1 Y1

X2 1 Y2

La primera respuesta ser el valor de la m (pendiente) y la segunda

el valor de la b.

y = x +

pendiente

Interseccin eje y

Ejercicio

Determine la ecuacin de la recta secante AB a la circunferencia C.

2. Tener la pendiente m o la interseccin con el eje y b y un par

ordenado (este caso se presenta generalmente en la recta

tangente)

En este caso se sustituyen los valores dados en la frmula de la ecuacin

y=mx+b y se procede a despejar, para obtener el valor faltante.

Ejercicio

Determine la ecuacin de la recta cuya pendiente es 5 y que es tangente

a una circunferencia en (1,4).

A

B

1 4

3

7

2

Posicin relativa entre rectas en el plano

Si dos rectas son paralelas tienen la misma inclinacin y nunca se

intersecan, por lo tanto el valor de la pendiente ser el mismo.

Ejercicio

Determine si las siguientes parejas (ver hacia abajo) de rectas son paralelas.

y=4x+2 y=3

2 + 2 4x-2y=1 y=6x+3

y=4x+3 y=2

3 + 5 y=2x+3 y= 15+6x

Cul es el criterio de una recta que pasa por el punto (5,3) y es paralela a

la recta determinada por y=6x?

La pendiente de y=6x, es m=6, dado que la otra recta es paralela a sta, la

pendiente de ella tambin ser 6.

Por lo tanto se tiene m=6 y el punto (5,3), solamente faltara obtener el valor

de b (interseccin con y), entonces se realiza el procedimiento donde se

sustituye la frmula de la funcin lineal y=mx+b

3=65+b

b=27

Ya se tiene m=6 y b=27, estos se sustituyen de nuevo en la ecuacin

y=mx+b

y=6x27

Ejercicio

Cul es la ecuacin de una recta paralela a la recta determinada por

y=7x+4 y que pasa por el punto (0,1)?

Determine la ecuacin de la recta paralela al dimetro de la

circunferencia ( 1)2 + ( 2)2 = 4 y que pasa por el punto (4,5)

Determine la ecuacin de la recta

paralela a l y que pasa por el punto

(2,3).

Posicin relativa de una recta: perpendicularidad

Rectas tangentes a la circunferencia AC es una recta tangente a la circunferencia de centro O.

Existe una propiedad que indica que todas las rectas tangentes a una

circunferencia sern perpendiculares al radio de la circunferencia en el

punto de tangencia.

Para obtener la ecuacin de la recta tangente:

Se obtiene la pendiente de la ecuacin del radio.

Como el radio y la tangente son perpendiculares, la m de la

tangente ser igual al opuesto inverso de la m del radio.

Ejemplo: Si la pendiente del radio es ;9

8 la pendiente de la tangente

ser 8

9

Teniendo los datos de la m de la tangente y un par ordenado que

sea parte de ella, se puede obtener la b con la frmula =

Ejercicio

Determine la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia C

definida por ( 2)2 + ( + 3)2 = 9

Considere la circunferencia de centro Q( 2, 3) tal que la recta y=14x 7

es tangente en un punto P. Determine la ecuacin del dimetro que pasa

por el punto T.

La recta P es tangente a la circunferencia C centrada en el origen. El

punto de tangencia es (5,12). Determine la pendiente y la ecuacin de la

recta P.

Perpendicularidad entre radio y recta tangente: Formacin de tringulos rectos

Dado que todas las rectas tangentes a una circunferencia son

perpendiculares al radio de la misma, se pueden formar tringulos

rectngulos.

De esta forma se pueden calcular distancias o medidas de ngulos,

aplicando el teorema de Pitgoras o la Ley de Senos en esos tringulos.

Teorema de Pitgoras

Se utiliza para determinar la medida de algn lado.

Hipotenusa2 = cateto2 + cateto2

Cateto Cateto

Hipotenusa

Ley de senos

Se utiliza para determinar la medida de algn lado, conociendo slo un

lado y dos ngulos.

O para determinar cul es la medida de un ngulo.

En la figura la recta AB es tangente a la circunferencia de centro O. Con

base en la informacin brindada, calcule lo que se le solicita.

1. S mBOA = 39, mABO, = _________

2. Si AB=8 cm, BO=10 cm, radio=______

3. Si = 60, OA=7 cm, BO=_______

4. Si OB=24 cm, dimetro=14 cm, AB=______

5. Si = 34, AB=9 cm, radio=_______

A

B

C

BC

sen =

AC

sen =

AB

sen

O

A B

Traslaciones de una circunferencia

La traslacin consiste en un cambio de posicin de una circunferencia sin

que el radio se vea alterado.

Para trasladar una circunferencia se cambian los valores del centro (a,b)

aplicando la traslacin a las coordenadas solicitadas.

Ejercicios

Determine las coordenadas del nuevo centro de las siguientes

circunferencias al aplicarle la traslacin solicitada en cada una de ellas.

Ecuacin de la circunferencia Traslacin Nuevo centro

3 = ( + 2)2 + ( 5)2 (x + 1, y 6)

16 = 2 + ( 7)2 (x + 2, y)

4 = ( + 1)2 + 2 (x, y 5)

1 = ( + 2)2 + ( + 5)2 (x 7, y 9)

Represente algebraicamente las siguientes circunferencias despus de

haber trasladado su centro al punto mencionado.

Ecuacin de la circunferencia Nuevo centro

3 = ( + 1)2 + ( + 3)2 (2,4)

16 = 2 + ( 5)2 (3,2)

4 = ( 5)2 + 2 (0,3)

Prctica 1. La ecuacin de una circunferencia cuyo dimetro es 12 y las coordenadas de

su centro estn dadas por el punto (0,2) es

A) (x 2)2 + y2 = 6

B) (x 2)2 + y2 = 12

C) x2 + (y 2)2 = 12

D) x2 + (y 2)2 = 36

2. La ecuacin de la circunferencia cuyo centro est dado por las coordenadas

(3,4) y que pasa por el punto (2,3) corresponde a

A) (x 3)2 + (y + 4)2 = 2

B) (x + 3)2 + (y 4)2 = 2

C) (x 3)2 + (y + 4)2 = 2

D) (x + 3)2 + (y 4)2 = 2

3. La ecuacin de una circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas

(3, 2) y es tangente al eje x corresponde a

A) (x 3)2 + (y + 2)2 = 2

B) (x 3)2 + (y + 2)2 = 4

C) (x + 3)2 + (y 2)2 = 4

D) (x 3)2 + (y + 2)2 = 4

4. Considere la siguiente figura.

De acuerdo con los datos de la figura, la ecuacin de la circunferencia con

centro en A y que pasa por el punto B es

A) (x 2)2 + y2 = 2

B) (x 2)2 + y2 = 4

C) (x + 2)2 + y2 = 4

D) x2 + (y 2)2 = 4

5. Considere la siguiente figura

De acuerdo con los datos de la figura. La ecuacin de la circunferencia con

centro en A y que pasa por el punto B corresponde a

A) ( + 4)2 + ( 6)2 = 25

B) ( 4)2 + ( + 6)2 = 25

C) ( + 4)2 + ( 6)2 = 20

D) ( 4)2 + ( + 6)2 = 20

6. El radio de la circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas (1

2, 1) y

que contiene el punto (3

2, 1) corresponde a

A) 1

B) 2

C) 2

D) 4

7. Sea x2 + y2 8x + 16 = 4 la ecuacin de una circunferencia. Cules son las

coordenadas del centro esa circunferencia?

A) (0,4)

B) (4,0)

C) (0, 4)

D) (4,0)

8. Sea x2 + 6x + y2 = 10 la ecuacin de una circunferencia. Cules son las

coordenadas del centro esa circunferencia?

A) (0,3)

B) (3,0)

C) (0, 3)

D) (3,0)

9. Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia de

ecuacin ( + 5)2 + ( 3)2 = 5.

I. Su centro est dado por las coordenadas (5, 3)

II. Su radio es 5.

Cules de ellas son verdaderas?

A) Slo la I.

B) Slo la II.

C) Ambas.

D) Ninguna.

10. Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia de

ecuacin 2 4 + 2 = 0.

I. Las coordenadas de su centro son (2,0)

II. La medida de su radio es 2.

Cules de ellas son verdaderas?

A) Slo la I.

B) Slo la II.

C) Ambas.

D) Ninguna.

11. La longitud del dimetro de la circunferencia cuyo centro tiene coordenadas

(4,2) y que contiene al punto (2, 1) corresponde a

A) 13

B) 26

C) 13

D) 213

12. Si los extremos del dimetro de una circunferencia tiene coordenadas (1,5) y

(1, 1) entonces, la longitud de esa circunferencia corresponde a

A) 9

B) 6

C) 3

D) 12

13. De acuerdo con los datos de la figura adjunta en la cual A es el centro de la

circunferencia que contiene al punto B, la longitud de esa circunferencia es

A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

14. De acuerdo con los datos de la figura adjunta en la cual A es el centro de la

circunferencia que contiene el punto B, el rea del crculo es

A) 5

B) 10

C) 25

D) 25

15. Considere la circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas (2, 3)

y que tiene 3 unidades de radio. Cul de las siguientes coordenadas

corresponde a un punto exterior de esa circunferencia?

A) (0,0)

B) (0, 3)

C) (2,0)

D) (3, 2)

16. Un punto en el interior de la circunferencia de ecuacin ( + 3)2 + ( 3)2 = 1

tiene como coordenadas

A) (-3,2)

B) (;1

2, 3)

C) (;9

2,

9

2)

D) (;5

2,

5

2)

17. Sea (x 2)2 + (y 1)2 = 4 la ecuacin de una circunferencia. Cul es un

punto que pertenece al interior de esa circunferencia?

A) (1,3)

B) (0,1)

C) (2,2)

D) (2, 1)

18. Las coordenadas de un punto que pertenece a la circunferencia de ecuacin

( 1)2 + 2 = 3 corresponde a

A) (0,0)

B) (5,1)

C) (4,0)

D) (1,1)

19. Sea 36 = x2 + y2 la ecuacin de una circunferencia. Cul corresponde a la

ecuacin de una recta exterior a esa circunferencia?

A) y = 4

B) y = 4

C) y = 6x

D) y = 6x

20. Considere la siguiente figura

De acuerdo con los datos de la figura, la ecuacin de la recta secante AB con la

circunferencia es

A) y =x;8

3

B) y =x:8

3

C) y =;x;8

3

D) y =8x:1

3

21. La ecuacin de la recta tangente a la circunferencia de ecuacin 2 + 2 = 9

en el punto (3,0) corresponde a

A) x = 0

B) y = 0

C) x = 3

D) y = 3

22. Cul es la ecuacin de una recta tangente a una circunferencia de centro

(3,5) en el punto (2,4)?

A) y = 5x 6

B) y = 6x 5

C) y = 22x 1

D) y =;x:22

5

23. En la figura, AB es una recta secante a la circunferencia. Cul es la ecuacin

de la recta AB?

A) y = x +1

3

B) y =;3x

4

1

4

C) y =x

3 1

D) y =;x

4

3

4

24. Considere la siguiente figura de una circunferencia con centro en A.

De acuerdo con los datos de la figura. Cul es la ecuacin de una recta

paralela a la recta secante BD?

A) y = x + 5

B) y = x + 3

C) y = 3x 1

D) y = 3x + 1

25. Considere la siguiente figura de una circunferencia de centro O y en la cual la

recta AB es tangente a ella en el punto A.

De acuerdo con los datos de la figura anterior, si OB=15 cm y = 35. Cul

es aproximadamente la medida, en centmetros cuadrados, del dimetro de esa

circunferencia?

A) 8,60 cm.

B) 17,21 cm.

C) 12,29 cm.

D) 24,57 cm.

26. Sea (x 4)2 + (y + 5)2 = 6 la ecuacin de una circunferencia, si el centro de

esa circunferencia se traslada a las coordenadas (1,0). Cul corresponde a

la ecuacin de la circunferencia trasladada?

A) (x 1)2 + y2 = 6

B) (x + 1)2 + y2 = 6

C) x2 + (y 1)2 = 6

D) x2 + (y + 1)2 = 6

27. Las coordenadas del centro de una circunferencia son (2,5), si al centro de

esa circunferencia se le aplica la traslacin (x + 3, y 6) . Cules son las

coordenadas del centro de la circunferencia trasladada?

A) (1, 1)

B) (1, 1)

C) (5, 11)

D) (2,5)

O

A B