Funciones - Conceptos para BxM

HKVTEXVictor Solano Mora

FuncionesResumen para BxM


Definición de función y su interpretación

Función:Una función es una relación entre dos conjuntos A y B, de maneraque cada elemento de A se relaciona con un único elemento de B.

Esta definición se interpreta así:

“Una función es una relación entre dos conjuntos A y B.”Se necesitan dos conjuntos para hablar de funciones.

“Cada elemento de A se relaciona.”Todos los elementos de A deben tener, obligatoriamente, una “pareja”.

“Se relaciona con un único elemento de B.”Un elemento de A no puede tener dos o más “parejas” diferentes.


Los diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son la forma de representar a las funciones deforma elemental, permiten comprender la definición visualmente.

Considere el siguiente ejemplo:

A−3−2−1. . .

123

B−15

03

. . .

−3015

f


¿Cómo saber si no es función mediante el diagrama?

1. Cuando un elemento de A no tiene “pareja”.

A 4−1910

B2310

2. Cuando un elemento de A tiene más de una “pareja”.

A910

B−3310


Funciones representadas por gráficos

¿Qué es un gráfico?

Un gráfico es el conjunto Gf que contiene a todas y cada una de las“parejas” (x, y) formadas por la función. Al tratarse de un conjunto,siempre se escriben las “parejas” entre llaves.

Gf = {. . . , (−3,−15), (−2, 0), (−1, 3), . . . , (1,−3), (2, 0), (3, 15), . . .}

En este caso, los puntos suspensivos indican la existencia de muchasotras parejas que no están escritas, pero que pertenecen a la función.

Un gráfico NO corresponde a una función si una de las “parejas”posee el mismo primer valor y el segundo es diferente.

Gw = {(9,−3), (1, 1), (0, 0), (9, 3)}


¿Cómo se relacionan el diagrama y el gráfico?

Observe las “parejas” del siguiente diagrama de Venn y gráfico:

A−3−2−1. . .

123

B−15

03

. . .

−3015

f

Gf = {. . . , (−3,−15), (−2, 0), (−1, 3), . . . , (1,−3), (2, 0), (3, 15), . . .}

¿Nota alguna semejanza?


Tablas o representación tabular de una función

Las funciones también se pueden representar mediante tablas, en lascuales se colocan en una fila (o columna) los elementos del conjuntoA, y en otra fila (o columna), los elementos del conjunto B.

X . . . -3 -2 -1 . . . 1 2 3 . . .Y . . . -15 0 3 . . . -3 0 15 . . .

X Y. . . . . .-3 -15-2 0-1 3. . . . . .1 -32 03 15

. . . . . .

Las tablas pueden ser horizontales (izquierda) o verticales (derecha).Siempre la primer fila (o columna) representa a los elementos de A, yla segunda, a los elementos de B.


Relación entre las tablas, diagramas y gráficos

Ya se conoce sobre la equivalencia entre diagramas de Venn ygráficos. Sin embargo, ¿qué hay de las tablas?, ¿son tambiénequivalentes?

Para responder esta pregunta, observe el siguiente gráfico y surespectiva tabla:

Gf = {. . . , (−3,−15), (−2, 0), (−1, 3), . . . , (1,−3), (2, 0), (3, 15), . . .}

X . . . -3 -2 -1 . . . 1 2 3 . . .Y . . . -15 0 3 . . . -3 0 15 . . .

¿Observa alguna similitud?¿Se puede decir algo sobre los diagramas y las tablas?¿Alguna vez pensó que estas representaciones serían equivalentes?¿Recuerda otra forma distinta de representar funciones?


La gráfica de una función

Una de las representaciones más conocidas de las funciones es lagráfica. Esta permite observar un trazo o dibujo sobre el cual seanalizan las funciones.

X

Y

1−1

3

−3

(−1, 3)

(1,−3)

(2, 0)

(−2, 0)

Esta es un poco más complicadade comprender inicialmente, poresta razón se agregan lassiguientes especificaciones:

La línea X representa a loselementos de A.La línea Y representa a loselementos de B.Los puntos (x, y) a las “parejas”formadas.


La gráfica y su lectura

En comparación con las representaciones anteriores, esta últimaconlleva una aparente dificultad mayor.

Cuando se mezcla la información de los conjuntos A y B en un soloesquema, el cual resume casi todas sus propiedades como función,suele confundirse mucho si no se conoce la forma adecuada deinterpretarla.

Se recomienda leer siempre por separado la información de lasgráficas, ver en el eje X lo que corresponde al conjunto A, y en eleje Y , lo que corresponde al conjunto B. Además, las parejas siempreagrupan de primero a los elementos del conjunto A y de segundo, alos elementos del conjunto B.


¿Cuando una gráfica no es una función?

En la versión gráfica es más sencillo saber cuando no se tiene unafunción, puesto que basta trazar una recta vertical y si esa rectavertical “toca” 2 o más veces a la función, entonces no es función.

X

YEs función

X

YNo es función


Equivalencia entre representaciones

Como en cada una de las representaciones anteriores, se va aejemplificar como las gráficas equivalen a las formas ya analizadas derepresentar una función.

X

Y

1−1

3

−3

(−1, 3)

(1,−3)

(2, 0)

(−2, 0)

A−3−2−1. . .

123

B−15

03

. . .

−3015

f



Como en cada una de las representaciones anteriores, se va aejemplificar como las gráficas equivalen a las formas ya analizadas derepresentar una función.

X

Y

1−1

3

−3

(−1, 3)

(1,−3)

(2, 0)

(−2, 0)

X Y. . . . . .-3 -15-2 0-1 3. . . . . .1 -32 03 15

. . . . . .


Representación algebraica de una función

Estamos ante el último tipo de representación, más utilizado, parafunciones, la algebraica. Esta consta de describir a una función comouna fórmula para x. En este caso, se suele representar como

f (x) = y

f ∶ A→ B

La letra f es el nombre de la función (suelen usarse letrasminúsculas), la variable del conjunto A siempre estará entre losparéntesis a la par de la letra de la función f (x).

Dicha expresión siempre equivale a la variable del conjunto B, la cualse iguala siempre a f (x).

La representación algebraica se conoce como criterio de la función.


¿Cómo saber si un criterio no representa a una función?

Aunque parezca más complicado, resulta ser lo contrario. Solo bastasustituir o evaluar los valores del conjunto A dados en el criterio, ycomprobar que todos los resultados están en el conjunto B.

Para la relación definida por f ∶ {4,−1, 9, 1, 0, 16}→ {2,−1, 3, 1, 0, 4}con f (x) =

√x, determine si es función.

Se sustituye cada valor en la función y se calcula el resultado:

f (4) =√

4 = 2

f (−1) =√−1 MATH Error

f (9) =√

9 = 3

f (1) =√

1 = 1

f (0) =√

0 = 0

f (16) =√

16 = 4

Ese resultado de MATH Error no corresponde a ninguno de losvalores en B, entonces f no es función.



f (x) = x3− 4x

X . . . -3 -2 -1 . . . 1 2 3 . . .Y . . . -15 0 3 . . . -3 0 15 . . .

X

Y

1−1

3

−3

(−1, 3)

(1,−3)

(2, 0)

(−2, 0)

A−3−2−1. . .

123

B−15

03

. . .

−3015

f

Gf = {. . . , (−3,−15), (−2, 0), (−1, 3), . . . , (1,−3), (2, 0), (3, 15), . . .}


Definiciones básicas de los elementos de una función

Hasta el momento se ha hablado de los conjuntos A y B, de las“parejas” de una función, del eje X y eje Y . No obstante, no se handado los nombres formales de estos términos. Por esta razón, seenuncian a continuación:

1. Dominio: Es el conjunto inicial de la función, el que serepresentó hasta ahora como A, corresponde al eje X.

2. Codominio Es el conjunto final de la función, el que serepresentó hasta ahora como B, corresponde al eje Y .

3. Preimagen: Es un elemento del dominio que tiene una “pareja”.

4. Imagen: Es un elemento del codonomio que tiene una “pareja”.

5. Par ordenado: Es un elemento del dominio con su respectiva“pareja” del codominio, siempre se escribe entre paréntesis.

6. Ámbito: Es el conjunto de todos los elementos del codonomioque tienen una “pareja”.


Dominio máximo

DefiniciónEl dominio máximo de una función es aquel dominio que contiene lamayor cantidad de elementos posibles que no indefinan la función, esdecir, todos aquellos que produzcan una imagen real.

Para encontrar el dominio máximo de una función se suele primeroidentificar el tipo de criterio al que pertenece la función.

Los tipos de criterios más usuales en las preguntas de Bachillerato porMadurez son los siguientes:

1. Criterio con raíz de índice par y variable dentro.

2. Criterio fraccionario con variable en denominador.

3. Criterio con variables de exponente negativo.

4. Todos los demás.


Criterios con raíz par

Se llaman criterios con raíz par a todos aquellos criterios que poseanun radical cuyo índice sea un número par. Para comprender esteconcepto mejor, se nombrarán las partes de un radical:

índice√

radicando´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

radical

Ahora, los criterios que se buscan en este tipo son todos aquellos cuyoíndice sea par y posean variable en el radicando. Por ejemplo:

1. f (x) =√

x + 2

2. g(x) =3 + 6

√2 − x

2+ 1

3. h(x) =

√

2x −23

4. k(x) =√−3x + x3

− 6x + 1

5. m(x) =5 + x

5 + 8√

x

6. n(x) =x4 − x2 + 2

1022√

x − 3



Para obtener el dominio máximo de este tipo de criterios, se consideraúnicamente el radicando (o que aparece dentro de la raíz), el resto sepuede ignorar sin problema.

Por ejemplo, de las funciones anteriores:

1. f (x) =√

x + 2

2. g(x) =3 + 6

√2 − x

2+ 1

3. h(x) =

√

2x −23

4. k(x) =√−3x + x3

− 6x + 1

5. m(x) =5 + x

5 + 8√

x

6. n(x) =x4 − x2 + 2

1022√

x − 3

Para analizarla solo se necesita la parte demarcada con rojo, el restodel criterio no es relevante para calcular el dominio máximo.



El dominio máximo de las funciones cuyo criterio posee una raíz deíndice par es siempre un intervalo con un infinito y un número.

Los siguientes pasos permiten encontrar la respuesta:

1. El signo de la variable es el mismo signo del infinito.

2. El corchete del infinito siempre va abierto, pero el del númerodepende de la ubicación de la raíz.● Si está en numerador (arriba), el corchete va cerrado.● Si está en denominador (abajo), el corchete va abierto.

3. El número se obtiene al aplicar la siguiente fórmula:

−(# solo) ÷ (# de x)


Ejemplos del criterio de raíz par

Obtener el dominio máximo de f (x) =√

x + 2.

1. Como la variable x está positiva, el infinito va positivo.

2. La ráiz no aparece en fracción, entonces se considera arriba y vael corchete cerrado.

3. El número es

−(# solo) ÷ (# de x) = −(2) ÷ (1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En calculadora

= −2

4. El dominio máximo sería [−2,+∞[.



Obtener el dominio máximo de g(x) =3 + 6

√2 − x

2+ 1.

1. Como la variable x está negativa, el infinito va negativo.

2. La ráiz aparece en la parte de arriba de la fracción, entonces elcorchete cerrado.

3. El número es

−(# solo) ÷ (# de x) = −(2) ÷ (−1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En calculadora

= 2

4. El dominio máximo sería ] −∞, 2].



Obtener el dominio máximo de h(x) =

√

2x −23

.



3. El número es

−(# solo) ÷ (# de x) = −(−23) ÷ (2)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En calculadora

=13

4. El dominio máximo sería [13

,+∞[.



Obtener el dominio máximo de k(x) =√−3x + x3

− 6x + 1.

1. Como la variable x está negativa, el infinito va negativo.


3. El número es

−(# solo) ÷ (# de x) = −(0) ÷ (−3)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En calculadora

= 0

4. El dominio máximo sería ] −∞, 0].



Obtener el dominio máximo de m(x) =5 + x

5 + 8√

x.


2. La ráiz aparece en la parte de abajo de la fracción, entonces elcorchete abierto.

3. El número es

−(# solo) ÷ (# de x) = −(0) ÷ (1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En calculadora

= 0

4. El dominio máximo sería ]0,+∞[.



Obtener el dominio máximo de n(x) =x4 − x2 + 2

1022√

x − 3.


2. La ráiz aparece en la parte de abajo de la fracción, entonces elcorchete abierto.

3. El número es

−(# solo) ÷ (# de x) = −(−3) ÷ (1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En calculadora

= 3

4. El dominio máximo sería ]3,+∞[.


Tipos de criterio en dominio máximo

Ya se discutió sobre los criterios que involucran una raíz de índice par,ahora se continuará con los criterios que involucran variables endenominador o con exponente negativo.

✓ Criterio con raíz de índice par y variable dentro.

2. Criterio fraccionario con variable en denominador.

3. Criterio con variables de exponente negativo.


Los criterios siguientes, el fraccionario y de exponente negativo, serealizan de la misma forma, por esta razón su método de resolución seescribirán como uno solo.


Criterio fraccionario o de exponente negativo

Se llaman criterios fraccionarios a todos aquellos que posean unafracción, en la cual, aparezca la variable en el denominador. De igualmanera, un criterio con exponente negativo se identifica fácilmente,siempre que la variable esté afectada por estos.

Unos ejemplos de este tipo de funciones son:

1. u(x) =−2 − x + x2

x− 1

2. v(x) =7

x3 + 2x2 − x − 2

3. w(x) =x − 3

(2 − x)(x + 3)

4. a(x) =1

2 − x+ x−1

5. b(x) = (3x − 4)−7+

92

6. c(x) =x − 3

2+ (x2

+ 4)−1

Para analizarla solo se necesita la parte demarcada con rojo, el restodel criterio no es relevante para calcular el dominio máximo.


Criterio fraccionario o de exponente negativo

Para obtener el dominio máximo de este tipo de funciones solo sesiguen estos pasos:

1. Se copia en la calculadora cada denominador o expresión conexponente negativo.

2. Se presiona la tecla CALC y se prueban los valores entre llavesde las opciones.

3. Solo son correctas aquellos valores cuyo resultado sea 0.

Nota: Si un criterio posee dos o más fracciones (también si se trata deexponentes negativos) se debe calcular las imágenes para cada partepor separado, si alguno de todos los fragmentos del criterio da unresultado de 0, se está ante un valor correcto.


Ejemplos del criterio fraccionario o exponente negativo

Obtener el dominio máximo de u(x) =−2 − x + x2

x− 1.

A) RB) R − {−1}

C) R − {0}

D) R − {2}

Recuerda que se toma solo eldenominador, le término oparéntesis con exponente negativo,lo demás se ignora. En esteejemplo se toma lo de rojo.

Al calcular la imagen de los números entre llaves (−1, 0 y 2), el únicoque produce un resultado de 0 está en la opción C.



Obtener el dominio máximo de v(x) =7

x3 + 2x2 − x − 2.

A) RB) R − {−1, 1}

C) R − {−2,−1, 1}

D) R − {−2,−1, 1, 2}


Al calcular la imagen de los números entre llaves (−2,−1, 1 y 2), losúnicos que producen un resultado de 0 está en las opciones B y C. Noobstante, se elige la opción C.

Nota: Cuando varias opciones contienen números que todos dan 0, seelige la opción con mayor cantidad de números.



Obtener el dominio máximo de w(x) =x − 3

(2 − x)(x + 3).

A) RB) R − {0}

C) R − {2,−3}

D) R − {−3, 2}


Al calcular la imagen de los números entre llaves (−3,−2, 0, 2 y 3), elúnico que produce un resultado de 0 está en la opción C.



Obtener el dominio máximo de a(x) =1

2 − x+ x−1.

A) RB) R − {0}

C) R − {2}

D) R − {0, 2}


Se analiza parte fraccionaria 2 − x, esta produce un resultado 0 alprobar el número 2, entonces la respuesta está en C y parte de la D.

Se analiza parte exponente x, esta produce un resultado 0 al probar elnúmero 0, entonces la respuesta está en B y parte de la D.

Como ambas partes conforman el criterio de la función, la respuestadebe excluir a ambos números, es decir, la respuesta es la opción D.



Obtener el dominio máximo de b(x) = (3x − 4)−7+

92

.

A) RB) R − {3}

C) R − {3, 4}

D) R − { 43}


Se analiza parte exponente 3x − 4, esta produce un resultado 0 alprobar el número 4

3 , entonces la respuesta está en la D.



Obtener el dominio máximo de c(x) =x − 3

2+ (x2

+ 4)−1.

A) RB) R − {−2}

C) R − {2}

D) R − {−2, 2}


Se analiza parte exponente x2 + 4, esta no produce un resultado 0 alprobar los números entre paréntesis, entonces la respuesta no está enninguna de las opciones con llaves. Entonces la correcta es la A.

Nota: Cuando sea un ejercicio de criterio tipo 2 o tipo 3 y ninguno delos números entre llaves produce un 0, entonces se toma la respuestacon la opción R.


Tipos de criterio en dominio máximo

Hasta el momento se han explicado los 3 primeros criterios.

✓ Criterio con raíz de índice par y variable dentro.

✓ Criterio fraccionario con variable en denominador.

✓ Criterio con variables de exponente negativo.


Cuando una función sea catalogada como criterio de tipo 4, larespuesta para todas estas será R.

Nota: Hay ciertas funciones que no satisfacen tener el dominiomáximo R, como los logaritmos. No obstante, estas funciones no sonpreguntadas en este tema.


Función lineal

Una función se dice lineal cuando su gráfica se representa con unalínea recta. El criterio de este tipo de funciones corresponde a laexpresión

f (x) = m ⋅ x + b

en el cual, m es un número real y se le conoce como pendiente y, b esotro número real conocido como ordenada al origen (ordenada).

Cuando la pendiente es nula (m = 0), el criterio corresponde a

f (x) = b

Cuando la ordenada es nula (b = 0), el criterio corresponde a

f (x) = m ⋅ x


Características de la función lineal

Sobre función lineal suele preguntarse por las intersecciones con losejes coordenados (eje X y eje Y), la monotonía de la función(creciente, decreciente o constante) o sobre puntos que pertenecen a lagráfica de la función.

A) Intersecciones con los ejes:● Con el eje X: (− b

m , 0).

● Con el eje Y: (0, b).

B) Monotonía de la función linea:● Creciente: m > 0, es decir, pendiente positiva.

● Constante: m = 0, es decir, sin variable x.

● Decreciente: m < 0, es decir, pendiente negativa.


Construcción del criterio de la función lineal

En muchos casos, no se tiene el criterio de la función lineal para asíobtener los valores de m y de b fácilmente. Por esta razón, sepresentan los siguientes métodos según las características brindadasen lugar del criterio.

● Cuando se dan 2 puntos de la función.

● Cuando se da un punto y parte del criterio.

● Cuando se presenta una ecuación.


Criterio de la función lineal: Dos puntos

En una función se pueden presentar los puntos de las siguientesforma:

(3, 2)X

Y

f (3) = 2

En todo caso, cuando se presentan de esta forma, se recurre alMODE 51 de la calculadora para encontrar los valores de m y de bfácilmente. Solo se introducen los datos de manera que se complete elcuadro de esta forma:

a b cx1 1 x1x2 1 y2

Ô⇒ {el resultado de X representa a m.el resultado de Y representa a b.



Ejemplo 1:Determine la intersección con el eje X de la recta que pasa por lospuntos (−2,−4) y (7, 11).

Se coloca la calculadora en MODE 51 y se colocan los puntos paraobtener los valores de m y de b:

a b c−2 1 −47 1 11

Ô⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

el resultado de X representa a m =53

.

el resultado de Y representa a b =−23

.

La intersección con el eje X es (−bm

, 0) =⎛

⎝−

−2353

, 0⎞

⎠= (

25

, 0).



Ejemplo 2:Determine la intersección con el eje Y de la función f , en la cual,f (−8) = −14 y f (4) = 6.


a b c−8 1 −144 1 6

Ô⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


.


.

La intersección con el eje Y es (0, b) = (0,−23

).



Ejemplo 3:Determine la pendiente de lafunción f de la gráfica adjunta.

X

Y

1

1

−23


a b c1 1 10 1 −2

3

Ô⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


.


.

La pendiente de la función f es m =53

.



Ya se analizó la primer forma de obtener el criterio de una funciónlineal, donde los datos brindados son puntos (ya sea como paresordenado, por gráfica o como imágenes en notación de funciones).

Ahora se continuará con la segunda forma de brindar los datos:

✓ Cuando se dan 2 puntos de la función.

● Cuando se da un punto y parte del criterio.



Criterio de la función lineal: Parte del criterio y un punto

El MODE 51 solo funciona si hay dos puntos, entonces para laspreguntas que solo brindan uno de los puntos se recurre a una de lassiguientes fórmulas:

Cuando se necesita m

m =y − b

x

Deben tener la ordenada bcomo dato, además delpunto (h, k), f (h) = k o conuna gráfica.

Cuando se necesita b

b = y −m ⋅ x

Deben tener la pendiente mcomo dato, además delpunto (h, k), f (h) = k o conuna gráfica.



Ejemplo 4:

Determine la intersección con el eje Y de la función f (x) = 53 x + b, en

la cual, f (4) = 6.

Como se tiene parte del criterio (falta el valor de b), entonces seutiliza la fórmula:

b = y −m ⋅ x

b = 6 −53⋅ 4

b =−23


).



Ejemplo 5:

Determine la monotonía de la función f (x) = mx − 23 , en la cual,

f (−8) = −14.

Como se tiene parte del criterio (falta el valor de m), entonces seutiliza la fórmula:

m =y − b

x

m =

−14 −−23

−8

m =53

Como la pendiente es positiva (m > 0), es una función creciente.



Solo falta determinar los valores de ptm y b cuando se presente larecta en forma de ecuación. Entonces para ello se utilizan un par defórmulas.

Ahora se continuará con la última forma de brindar los datos:

✓ Cuando se dan 2 puntos de la función.

✓ Cuando se da un punto y parte del criterio.



Criterio de la función lineal: Ecuación

Cuando se presenta una ecuación no aparece ningún punto, por lotanto, el MODE 51 y las fórmulas anteriores no funcionan. Entoncespara las preguntas que solo brindan la ecuacón se recurre a una de lassiguientes fórmulas:

Cuando se necesita m

m = ±# de X# de Y

El símbolo “±” indica quese debe usar el “+” o el “−”.

Se usa el “+” si aparece el“=” entre las letras x y y dela ecuación. Si no, se debeutilizar el “−”.

Cuando se necesita b

m = ±# solo# de Y

El símbolo “±” indica quese debe usar el “+” o el “−”.

Se usa el “+” si aparece el“=” entre la y y el númerosolo de la ecuación. Si no,se debe utilizar el “−”.



Ejemplo 6:Determine la pendiente de la recta cuya ecuación es 10x − 6y = 4.

Como se tiene una ecuación, entonces se utiliza la fórmula (nóteseque el “=” NO está entre la x y la y):

m = ±# de X# de Y

m = −10−6

m =53

La pendiente de la recta es m =53

.



Ejemplo 7:Determine la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación es12y = 20x + 8.

Como se tiene una ecuación, entonces se utiliza la fórmula (nóteseque el “=” está entre la y y el número solo):

m = ±# solo# de Y

m = +8−12

m =−23


).

Funciones - Conceptos para BxM

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