1. MODELADO E IDENTIFICACIN DE SISTEMAS FSICOS Prof. Paolo Castillo Rubio

2. INTRODUCCIN Para dimensionar y calcular las caractersticas de un sistema de control es necesario que se conozca la relacin entre las seales de entrada y de salida de los bloques que lo constituyen. Esta relacin se puede expresar como funciones de transferencia o como ecuaciones diferenciales. Existen dos formas bsicas para obtener esta relacin: Modelado terico Identificacin experimental 3. MODELADO TERICO. A partir de leyes fsicas se encuentra la funcin de transferencia. Las leyes son normalmente en la forma de ecuaciones diferenciales, la relacin entre las seales de entrada y salida son tambin una ecuacin diferencial. Esta ltima se puede transformar con la ayuda de la Transformada de Laplace para obtener la funcin de transferencia. IDENTIFICACIN EXPERIMENTAL. A partir de diferentes experimentos prcticos se encuentra la funcin de transferencia para diferentes procesos. 4. MODELADO TERICO El modelado terico se utiliza sobre todo en procesos a travs de los cuales, y de manera sencilla, se pueden llegar a las leyes fsicas que relacionan las seales de entrada y salida. Hay muchos procesos que resultan tan complicados que es imposible poder desarrollar las ecuaciones diferenciales con un trabajo relativamente correcto. En este caso es mejor utilizar algn mtodo de identificacin experimental, o una combinacin de ambos mtodos. 5. 1) SISTEMAS MECNICOS Se les llama a los sistemas compuestos de masas, que al ser influidos por fuerzas externas o internas se ponen en movimiento. Los sistemas mecnicos son, por ejemplo, gras, brazos robticos, servomecanismos, sistemas mecnicos rotatorios, sistemas de posicin, barcos, etc. Dada la analoga que existe entre los sistemas mecnicos de translacin y los de rotacin, los analizaremos por separado. 6. 1.1. Sistemas Mecnicos Translatorios Para analizar las caractersticas dinmicas de los sistemas mecnicos, en primer lugar, se dividen en sus partes bsicas, es decir, masas, resortes y amortiguadores. 7. MASA La influencia de una o varias fuerzas F sobre el movimiento de una masa M se determina por la segunda ley de Newton: La resultante de fuerzas que actan sobre un cuerpo es igual a la masa de ste por la aceleracin. 8. RESORTE La fuerza de un resorte ideal es proporcional a su estiramiento x, de acuerdo con la siguiente relacin: Aqu se supone que x es cero en estado estable; es decir, que el resorte no est estirado ni comprimido. La constante k es la medida de la dureza del resorte (k mayor, dureza mayor). RESORTE 9. AMORTIGUADOR La fuerza de un amortiguador ideal es proporcional a la velocidad con la cual se comprime o descomprime. La constante de amortiguacin se denomina b (b grande, amortiguacin fuerte). 10. 1.2. Sistemas Mecnicos de Translacin Combinados A los sistemas mecnicos que estn combinados con los elementos bsicos antes mencionados, se les puede encontrar la relacin entre las fuerzas y su aceleracin, velocidad y espacio correspondientes sumando sus fuerzas. En la siguiente figura se tiene un sistema que consiste en una masa slidamente conectada con un resorte y un amortiguador. A la masa, adems, se le aplica una fuerza exterior. Se trata de encontrar la funcin de transferencia de la fuerza a la posicin. Se supone que la masa est en reposo, es decir, y = 0 cuando F = 0. 11. La ecuacin diferencial de este sistema se obtiene al aplicar la segunda ley de Newton para la masa del sistema. Adems de la fuerza exterior F, la masa est afectada por las fuerzas que ejercen el amortiguador y el resorte. 12. La dimensin de las fuerzas depende de la posicin y velocidad actual de la masa de acuerdo con la siguiente relacin: Al despejar la ecuacin tenemos: 13. La Transformada de Laplace de la ecuacin diferencial nos da: La funcin de transferencia es: 14. 1.3. Sistemas Mecnicos Rotatorios Este tipo de sistemas estn constituidos por masas rotatorias, resortes de torsin y friccin; que son directamente equivalentes a los sistemas de translacin considerando: el ngulo ^ a la distancia, el momento ^ a la fuerza, el momento de inercia ^ a la masa, etc. El sistema rotatorio de la figura siguiente, consiste en un rotor que est sujeto con una flecha flexible. El otro lado de la flecha est sujeto. El rotor tiene una friccin viscosa B. 15. Nomenclatura: J: Momento de inercia D: Coeficiente de la flecha B: Factor de friccin : ngulo de rotacin M: Momento 16. La ecuacin de movimiento de Newton para la rotacin nos da: Si se usa la Transformada de Laplace, se obtiene: Y como funcin de transferencia: 17. 2) SISTEMAS ELCTRICOS El tipo de sistemas elctricos que se van a estudiar son aquellos que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Las seales de entrada y salida son el voltaje y la corriente elctrica. La forma tradicional de construir reguladores elctricos ha sido con ayuda de estos componentes y un amplificador de seales. 18. RESISTENCIA La ley de Ohm dice que el voltaje u a travs de una resistencia es igual a la corriente i por la misma resistencia R: La Transformada de Laplace nos da la siguiente relacin: 19. CONDENSADOR El voltaje u a travs de un condensador es igual a su carga Q dividida por la capacitancia C. La carga es igual a la integral de la corriente i: La Transformada de Laplace nos da la siguiente relacin: 20. INDUCTOR El voltaje u a travs de un inductor es igual a la inductancia L por la derivada de la corriente i: La Transformada de Laplace nos da la siguiente relacin: 21. Despus de transformar los componentes bsicos, se encuentra que la relacin entre el voltaje U y la corriente I se puede escribir de forma parecida: A los parmetros R, 1/Cs y Ls se les llama elementos de impedancia compleja. 22. 2.1. Circuitos elctricos combinados En el caso de los sistemas elctricos combinados, el camino ms fcil es el de la impedancia compleja del circuito, como se muestra en la siguiente figura. El circuito consta de una resistencia en serie con un condensador. El voltaje u1 es la seal de entrada, mientras que el voltaje u2 es la seal de salida. 23. La relacin que existe entre el voltaje de entrada y de salida es: 24. La funcin de transferencia es: Asimismo, la funcin de transferencia para cualquier circuito elctrico con resistencias, condensadores e inductores se encuentra mediante sus impedancias complejas. 25. 2.2. Circuitos elctricos con componentes activos Los componentes comunes de estos circuitos elctricos son los amplificadores operacionales. Se debe hacer funciones de transferencia de los circuitos elctricos que los contengan. Los amplificadores operacionales son un amplificador de corriente continua con alto (negativo) factor de amplificacin, los cuales normalmente se usan como se muestra en la siguiente figura. 26. La funcin de transferencia del voltaje de entrada U1 al voltaje de salida U2 es: - A(s), en donde: | A(j) | >> 1, en el campo de las frecuencias normalmente usada. 27. En el rea lineal el amplificador abierto A(s) puede describirse como un sistema de primer orden con un factor alto de ganancia: Las impedancias Z1 y Z2 son complejas y arbitrarias. Si la corriente de entrada I0 se desprecia, entonces con la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff se obtiene: Por ejemplo, para el amplificador operacional 741 los valores son: K = 100000 y T = 0,01 seg. 28. Al despejar resulta: Para el amplificador se tiene: Con U1 como seal de entrada y U2 como seal de salida, al eliminar U0 se obtiene: 29. Con valores grandes de la ganancia del amplificador (K), esta ecuacin se puede aproximar en bajas frecuencias a: En la prctica, la funcin de transferencia de un amplificador operacional es igual a la relacin existente entre la impedancia compleja de retroalimentacin Z2 y la impedancia compleja de entrada Z1, con signo invertido. Esta funcin de transferencia no cambia con la carga (lo opuesto a circuitos con elementos pasivos). 30. 3) SISTEMAS TRMICOS Los sistemas trmicos cuentan con procesos que de alguna forma intercambian energa calorfica con su medio ambiente. Pueden ser procesos qumicos, hornos, casas o calentadores de agua, entre otros. Las seales de entrada y salida para este tipo de sistemas son la temperatura, la energa calorfica y la potencia calorfica. La ley natural bsica para los sistemas trmicos es el balance de energa. sta nos dice que el cambio en la energa calorfica por unidad de tiempo es igual a la potencia inferida menos la extrada. 31. En forma matemtica esta relacin se escribe: 32. Cuando se utiliza la relacin de balance de energa para sistemas sencillos se puede usar la relacin de la energa calorfica de una cierta materia con la temperatura T: Donde: E = energa calorfica de cierta materia T = temperatura de cierta materia V = volumen de cierta materia c = capacitividad trmica = densidad 33. Si se supone que el volumen V, la capacitividad c y la densidad son constantes, se obtiene que: Tanto la potencia inferida como la extrada pueden expresarse en funcin de la temperatura, ya que: Donde Q es el flujo del fluido a tratar 34. Es importante recalcar que tanto la capacitividad c como la densidad pueden estar en funcin de la temperatura y que en situaciones especiales (no lineales) existe intercambio de calor entre gases, por ejemplo entre agua y vapor. La siguiente figura muestra un tanque de agua aislado con un volumen V = 4 m3 . El flujo Q es constante y del orden de 0,1 m3 /s. La temperatura de entrada Ti vara. 35. Encuentre la funcin de transferencia entre la temperatura de entrada Ti y la temperatura del tanque T. Se supone que en el tanque hay una buena mezcla, por lo que existe la misma temperatura en todo el lquido. La energa inferida en el tanque se extrae de l. El balance nos da: Donde: Energa calorfica del agua es: E = T V c La potencia trmica inferida del agua es: Pi = Ti Q c La potencia trmica extrada del agua es: Pe = T Q c 36. Sustituyendo en el balance de energa nos da: Dado que el volumen V, la capacitividad c y la densidad son constantes, nos da: Al usar la Transformada de Laplace, se obtiene: 37. Tomando Ti como la entrada y T como la salida, se obtiene: Al sustituir con los valores, nos da una funcin de transferencia de primer grado: 38. 4) SISTEMAS DE CONCENTRACIN Los sistemas de concentracin son comunes en la industria del proceso, son aquellos en los cuales hay que regular la concentracin de sales, el pH, la concentracin de diversos polvos en lquidos, etc. Tomemos como ejemplo un tanque de mezclado al cual le llega un lquido de algn tipo, y del cual sale el lquido mezclado con algn polvo. Llmese a la concentracin de polvo en la entrada c1 y a la concentracin de salida c2 . Estas variables se pueden medir, por ejemplo, en g/m3 . 39. En la suposicin de que hay una buena mezcla en el tanque (igual concentracin en todo el tanque), se puede escribir la siguiente ecuacin de balance. Se supone, adems, que tanto el flujo Q como el volumen V son constantes. Donde: Mp = cantidad total de polvo en el tanque Q = flujo de lquido en el tanque V = volumen de lquido en el tanque c1 = concentracin de polvo en la entrada c2 = concentracin de polvo en el tanque y en la salida 40. La ecuacin indica que los cambios en la cantidad total de polvo en el tanque son proporcionales a la diferencia entre la cantidad de polvo a la entrada y la salida. La funcin de transferencia de c1 a c2 se puede obtener con la Transformada de Laplace: 41. 5) SISTEMAS DE NIVEL En los sistemas de nivel los cambios en el volumen del lquido en el tiempo son iguales a la entrada actual del lquido menos la salida actual del mismo. 42. En forma matemtica se describe como: Donde: V = volumen del lquido A = rea del tanque h = nivel del lquido u1 = flujo de entrada u2 = flujo de salida 43. Si se toma como seal de regulacin el flujo de entrada u1 y el flujo de salida u2 es variable y se toma como una perturbacin en el sistema, la ecuacin de balance aplicando la Transformada de Laplace queda: 44. 6) SISTEMAS DE TRANSPORTE Este tipo de sistemas es aquel que tarda un tiempo en llevar el material, lquido o gas, de un punto a otro. Por ejemplo, las bandas transportadoras o los tubos. Si se tiene el tiempo de transportacin L, ste se transforma al plano con la ayuda de la transformada de Laplace: 45. Tomemos como ejemplo el tanque de agua del ejemplo de sistemas trmicos, ahora el flujo de salida est conectado a un tubo aislado de forma ideal. Las dimensiones del tubo son tales que el lquido tarda en salir 12 segundos, como se muestra en la figura: Donde T0 es la temperatura de salida del tubo 46. Como ya se ha encontrado la funcin de transferencia del tanque, o sea, de Ti a T. Lo que queda por encontrar es la funcin de transferencia del tubo. La siguiente relacin es vlida entre T y T0 : Al usar la Transformada de Laplace para sistemas de tiempo muerto o retardo, se obtiene: 47. Entonces, la funcin de transferencia del tubo es: La funcin de transferencia total del tanque y del tubo se encuentra aplicando las reglas algebraicas de diagramas de bloques: En forma algebraica: 48. LINEALIZACIN DE SISTEMAS NO LINEALES Hasta el momento se han estudiado sistemas en los que la relacin entre la seal de entrada y la de salida se describen con ecuaciones diferenciales lineales (en los que se puede utilizar la Transformada de Laplace). Los sistemas no lineales son, en general, ms difciles de analizar en forma matemtica. Por ejemplo, es ms complicado ver sus caractersticas. Para facilitar los clculos debemos, en muchos casos, linealizar el sistema. 49. Sistemas hidrulicos y neumticos En los sistemas hidrulicos y neumticos el medio de trabajo est formado por fluidos y gases que circulan. Al igual que en los sistemas elctricos, en los sistemas de fluidos existen ciertos elementos cuya funcin es la base para las caractersticas dinmicas de los sistemas compuestos. 50. El tratamiento de la relacin del flujo debe mantenerse a un nivel bsico. Dado un cierto fluido (gas o lquido) el flujo q est en funcin de la presin antes del ahorcamiento: En el caso de lquidos (Bernoulli) y gases (corriente subsnica turbulenta) se vale que bajo ciertas condiciones el flujo Q sea proporcional a la raz cuadrada de la diferencia de presin: 51. La constante Ks es aproximadamente proporcional al rea de ahorcamiento, la cual puede variar (por ejemplo, vlvulas de regulacin). Al linealizar la ecuacin, se obtiene una relacin del incremento de presin con respecto a la variacin de flujo: En donde la resistencia del fluido R es: 52. En sistemas hidrulicos el flujo se toma como flujo volumtrico (m3 /s). En sistemas neumticos, como flujo de masa (kg/s, mol/s). Un tipo de ahorcamiento que se usa mucho en sistemas neumticos es la vlvula de diafragma. La distancia entre el diafragma y la boquilla x es la seal de entrada en la vlvula, y una muy pequea variacin da un gran cambio en la resistencia del ahorcamiento que la vlvula de diafragma representa. 53. Si la sobrepresin en la tubera es p, el flujo a travs de la vlvula es q y el rea efectiva de ahorcamiento es proporcional a la posicin del diafragma x, se obtiene la siguiente relacin: Despus de ser linealizada: En donde: 54. IDENTIFICACIN EXPERIMENTAL La identificacin experimental se usa cuando es demasiado complicado encontrar las ecuaciones diferenciales en forma terica. Los mtodos ms utilizados de la identificacin experimental son: Anlisis a la respuesta escaln Anlisis experimental de frecuencias Identificacin de parmetros con el mtodo de mnimos cuadrados 55. Anlisis a la respuesta escaln Consiste en que a partir de un cambio conocido en forma de escaln en la seal de entrada, se obtiene una funcin de transferencia aproximada del proceso. 56. Anlisis experimental de frecuencias Consiste en que al tener las seales sinusoidales del proceso, stas se usan para poder analizar las caractersticas del mismo. En primer lugar, este mtodo proporciona la curva de frecuencias, y de ste, se puede obtener, en segundo lugar, la funcin de transferencia. 57. Identificacin de parmetros con el mtodo de mnimos cuadrados ste consiste en que a partir de una gran cantidad de valores de las seales de entrada y de salida como base, se decide la funcin de transferencia. Este mtodo consta de mucho clculo, por lo que normalmente se utilizan computadoras para obtener el modelo.