Clases de Matematicas 3

UNIDAD 1: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

CLASE 1ECUACION LINEAL

DE DONDE SURGEN LAS ECUACIONES LINEALES

En la vida cotidiana y en la vida profesional hay varias situaciones o problemas que se pueden representar con un modelo matemático con el fin de resolverlos.

Para obtener un modelo matemático y resolverlo tengamos en cuenta las siguientes sugerencias:1. Entender bien el enunciado.2. Identificar la(s) incógnita(s) que por lo general están dadas en la pregunta.3. Obtener el modelo matemático.4. Resolver el modelo matemático.5. Comprobar el modelo matemático.

Vamos a encontrar un modelo matemático para resolver el siguiente ejemplo:

La edad de Arturo mas 13 es igual a 40 ¿Qué edad tiene Arturo?

Incógnita → edad de Arturo = x

La edad de Arturo mas 13 es igual a 40

A este modelo matemático x +13 = 40 también se le llama ecuación, de aquí en adelante utilizaremos el nombre de ecuación.

Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo es verdadera para determinados valores de esas incógnitas.

Elementos de la ecuación: igualdad

miembro izquierdo → x + 13 = 40 ← miembro derecho

Termino: Cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + ó –

El miembro izquierdo de la ecuación tiene 2 términos: x, 13El miembro derecho de la ecuación tiene 1 término: 40

La incógnita es la cantidad desconocida y se representa generalmente por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Se dice que es una ecuación de primer grado o lineal porque la incógnita esta elevada a la primera potencia. x1 = x

1

El lenguaje matemático es trasladar un problema común a su ecuación, como en nuestro ejemplo inicial:

Lenguaje común Lenguaje matemáticoLa edad de Arturo mas 13 es igual a 40. x +13 = 40

Llena la siguiente tabla:¿Es una ecuación?

¿Es una ecuación de primer grado (lineal)?

Términos del miembro izquierdo

Términos del miembro derecho

Incógnita(s)

−62+x=3+13 y15=12+3x2−8=xx+ y=zx2−8+x

Las siguientes expresiones nos servirán para entender la notación del lenguaje matemático:

Lenguaje común Lenguaje matemáticoLa mitad de un numero ❑

❑

12x=1

2 ( x1 )= x2

La tercera parte de un numero 13x=1

3 ( x1 )= x3

El doble de un numero2x

El triple de un numero3x

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita.

De las siguientes situaciones obtén su ecuación, resuélvela y compruébala.Recuerda que para resolver una ecuación seguimos las siguientes reglas:

1. El doble de un número es 24. ¿Cual es el número?

Incógnita → numero = x Comprobación (sustituimos el valor obtenido en la ecuación)

32 x

2

Si un termino esta: Pasa al otro miembro de la igualdad:sumando restandorestando sumandomultiplicando dividiendo(con el mismo signo)dividiendo multiplicando(con el mismo signo)

2 x=24

x=242

x=12

El número es 12

2(12)=2424=24

Incógnita → numero = x Comprobación

3(1 )+3=63+3=66=6

El número es 1

3. La mitad de un número menos 2 es 6, ¿Cuál es el numero?

Incógnita → numero = x Comprobación

12x−2=6

x2

=6+2

x2

=8

x=8 (2)x=16

x2

−2=6

162

−2=6

8−2=66=6

El número es 16

4. La suma de dos números enteros consecutivos da 17 ¿Cuáles son esos números?

número 1 = x Comprobación Incógnitas número 2 = x + 1

3

3 x+3=63 x=6−33 x=3

x=33

x=1

x+( x+1)=17x+x+1=172 x+1=172 x=17−12 x=16

x=162

x=8

x+x+1=178+8+1=1717=17

5. En el centro de copiado del CCH Vallejo la maquina 1 produce el doble de copias que la maquina 2 y ambas producen al día 300 copias, ¿Cuántas copias produce cada maquina?

maquina 1 = 2x Comprobación Incógnitas maquina 2 = x

2 x+x=3003 x=300

x=3003

x=100

2 x+x=3002(100 )+100=300200+100=300300=300

La maquina 2 produce 100 copiasLa maquina 1 produce 200 copias

6: Ana, Beti y Caro realizaran un trabajo de historia. Ana escribirá x cuartillas, Beti escribirá el triple de cuartillas que Ana y Caro escribirá el doble de las cuartillas de Ana mas 8. Si el trabajo tendrá un total de 248 cuartillas ¿Cuántas cuartillas escribirá cada una?

cuartillas de Ana = x Comprobación Incógnitas cuartillas de Beti = 3x

cuartillas de Caro= 2x + 8

4

x+3 x+2 x+8=24840+3(40 )+2(40 )+8=24840+120+80+8=248248=248

cuartillas de Ana = 40cuartillas de Beti = 3x = 3(40) =120 cuartillas de Caro= 2x + 8 =2(40) + 8 =80 + 8 = 88

CLASE 2SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L)

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO.

En la clase 1 recordamos lo que es una ecuación lineal, en esta clase vamos a recordar lo que es un sistema de ecuaciones lineales.

Situaciones que dan lugar a S.E.L. (Como se obtiene un S.E.L.)Ejemplo. El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30 y si se compran 3 cuadernos y una pluma es de $35. Encuentra el precio de cada artículo.

¿Cómo podemos obtener un S.E.L. y resolverlo? Seguimos los mismos pasos para obtener y resolver una ecuación1. Entender bien el enunciado.2. Identificar la(s) incógnita(s) que por lo general están dadas en la pregunta.3. obtener el modelo matemático, en este caso el modelo matemático es un S.E.L.4. resolver el modelo matemático.5. comprobar el modelo matemático.

Solución: incógnitas: c = precio de cada cuaderno p = precio de cada pluma primera ecuación: 2c + 2p = 30 __1 S.E.L de 2 x 2 (2 ecuaciones y dos incógnitas) segunda ecuación: 3c + 1p = 35 __2

Ahora podemos definir lo que es un S.E.L.Un sistema de ecuaciones lineales es ______________________________________________________________________________________________________________________________

Indica si los siguientes sistemas de ecuaciones son lineales y de cuanto por cuanto.

a) 2x + 2y = 28 S.E.L. de 2x2 b) 6s – 4 = 4t2 1 ecuacion no lineal

5

x+3 x+2 x+8=2486 x+8=2486 x=248−86 x=240x=40

3y = 25

c) -6x = 35 d) 3s + 8t – 6r = -8 8 = x2 + y S.E. no L. de 2x2 4s – 8t + r = 3 S.E.L. de 2x3

Resolver un sistema de ecuaciones, es encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen las igualdades, a estos valores se les llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Una solución S.E.L de 2x2 Tiene solución

Infinidad de soluciones No tiene solución

- Método graficoMétodos para - Método de suma o restaresolver S.E.L. - Método de sustitución Vamos a retomar el problema planteado al inicio de clase y resolverlo por el método grafico que es el que veremos en esta clase.

El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo.Solución:Incógnitas: cuaderno = c Las ecuaciones nos quedan 2c + 2p = 30 ____1 pluma = p 3c + p = 35 ____2 2c + 2p = 30 _____1 3c + p = 35_______2Despejar una incógnita2c+2 p=302c=30−2 p

c=30−2 p2

=302

−2 p2

=

c=15−p

Despejar una incógnita3c+ p=353c=35−p

c=35−p3

Tabulación. Para graficar una recta mínimo necesito 2 puntos

p c = 15 – p 0 y = 15- (0)= 15- 0 = 1510 y = 15- (10)= 15- 10 = 5

Tabulación. Para graficar una recta mínimo necesito 2 puntos

c = c=35−p

30

c=35−p3

=35−03

=11.66

10

c=35−p3

=35−103

=253

=8 .33

Grafica. Para las graficas tomar como eje horizontal p (se puede tomar cualquiera, pero para que todos tengamos los mismos ejes hagámoslo de esa manera).Las dos rectas se grafican en el mismo eje coordenado.

6

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14

0

5

10

15

20

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. Precio de la pluma __________ Precio del cuaderno __________

Ejercicio 1. Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2

7 x+4 y=13 ___ 15 x−2 y=19 ___ 2Solución:

7 x+4 y=13¿1 5 x−2 y=19¿2Despejar una incógnita. Cuando las incógnitas son “x” y “y” se despeja y. 4 y=13−7 x

y=13−7 x4

Despejar una incógnita. Cuando las incógnitas son “x” y “y” se despeja y.−2 y=19−5x

y=19−5x−2

y=(13-7x)/4x y0 3,2510 -14.25

Tabulación

Tabulación.

Grafica

y=(19-5x)/-2x y0 -9,510 15.5

7

x

y

0 2 4 6 8 10

-15

-10

-5

0

5

10

15

La solución es el punto donde se intersecan las rectas.x = _3_________ y = ____-2________

Ejercicio 2. Laura va al mercado y compra dos kilos de Manzanas más tres kilos de Peras y le cobran $ 60, a la siguiente semana compra cuatro kilos de Manzana más cinco de peras y le cobran $110. ¿Qué precio tiene el kilo de cada fruta?Solución.

2m+3 p=60 ___ 14m+5 p=110 ___ 2

2m+3 p=60¿ 4m+5 p=110¿

Despejar una incógnita (las manzanas)

m=60−3 p2

Despejar una incógnita (las manzanas)

m=110−5 p4

Tabulación

m=60−3 p2

p m0 305 22.510 1515 7.520 0

Tabulación

m=110−5 p4

p m0 27.55 21.2510 1515 8.720 2.5

Grafica. (El eje horizontal es el de las peras)

8

x

y

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0

5

10

15

20

25

30

35

La solución es el punto donde se intersecan las rectas.p = ____ $10______ m = ____ $15______

Ejercicio 3. Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2

x−2 y=6 ___ 12 x−4 y=5 ___ 2

Solución:x−2 y=6¿ 2 x−4 y=5¿

Despejar una incógnita

−2 y=6−x

y=6−x−2

Despejar una incógnita

−4 y=5−2x

y=5−2x−4

Tabulación

y=(6-x)/-2x y0 -310 2

Tabulación

y=(5-2x)/-4x y0 -1.2510,0 3.75

Grafica

9

x

y

0 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

La solución es el punto donde se intersecan las rectas.x = __________ y = __________

CLASE 3SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L)

SOLUCION POR EL METODO DE SUMA O RESTA.

Método de suma o resta:

1. Se ordenan las ecuaciones en columnas de acuerdo a las incógnitas.2. Se escoge una incógnita para eliminarla, de preferencia la que tenga un factor igual a 1.Factor es el número que multiplica a la incógnita, por ejemplo en 3x el factor es ____en w el factor es ___.3. Se multiplican las ecuaciones por los factores de las incógnitas a eliminar en forma cruzada, a un factor (cualquiera) se le cambia de signo.4. Se realiza la suma o resta y se encuentra la primera incógnita.5. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la incógnita faltante6. comprobar los resultados en ambas ecuaciones

Vamos a resolver el problema inicial de la clase anterior (clase 2) pero ahora utilizando el método de suma ó resta.

Ejemplo: El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo.

solución:

10

incógnitas: cuaderno = c pluma = p

2c + 2p = 30 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3c + p = 35

1. 2c + 2p = 30 ____1 3c + p = 35 ____2

2. vamos a eliminar p,

3. 1(2c + 2p = 30) → 2c + 2p = 30 -2(3c + p = 35) → -6c – 2p = -70 ____________4. -4c = -40 c = -40/-4 c = 10 5. sustituyendo c en ec. 2 3c + p = 35

p = 5

cada cuaderno vale $10 y cada pluma vale $56. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2

2c + 2p = 30 3c + p = 35 2(10) + 2(5) =30 3(10) + 5 = 3520 + 10 = 30 30 + 5 =35 30 = 30 35 = 35

Ejercicio 1. En un laboratorio de biología se van a comprar tubos de ensayo y probetas, la tienda dice que diez tubos de ensayo y cuatro probetas cuestan $62, y tres tubos de ensayo y cinco probetas cuestan $30, ¿Cuánto cuesta cada producto?

solución:incognitas: Tubos de ensayo = t probetas = p

10t + 4p = 62 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3 t + 5p = 30

1. 10t + 4p = 62____1 3 t + 5p = 30 ____2

2. vamos a eliminar p,

3. 5(10t + 4p = 62) → 50t + 20p = 310

11

-4(3 t + 5p = 30) → -12t - 20p = -120 ____________4. 38t = 190 t = 190/38 t = 5

5. sustituyendo t en ec. 2 3(5) + 5p = 30

15 + 5p = 30 5p = 15

p = 3

cada tubos de ensayo vale $5 y cada probeta vale $3

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 210t + 4p = 62 3 t + 5p = 3010(5) + 4(3) = 62 3(5) + 5(3) = 3050 + 12 =62 15 + 15 = 30

62 = 62 30 = 30Resuelve los siguientes ejercicios por el método de suma o resta.Ejercicio 2. Rosa y julia tienen ahorrado entre las dos $40, Rosa tiene el doble de lo que tiene julia más $7 ¿Cuánto tiene ahorrado cada una?

solución:incógnitas: Dinero ahorrado de Rosa = R Dinero ahorrado de Julia = J

R + J = 40 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas R = 2J +7

1. R + J = 40____1 R – 2J = 7 ____2

2. vamos a eliminar R

3. 1(R + J = 40) → R + J = 40 -1(R - 2J = 7) → -R + 2J = -7 ____________4. 3J = 33 J = 33/3

J = 11

12

5. sustituyendo J en ec. 1 R + J = 40 R + 11 = 40 R = 40 - 11R = 29

Rosa tiene ahorrado = $29 y Julia tiene ahorrado $11

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2R + J = 40 R – 2J = 729 + 11 = 40 29 – 2(11) =7 40 = 40 29 – 22 = 7

7 = 7

Ejercicio 3. Resuelve el siguiente S.E.L. x = 3 + 2y _______ 1 -4y = 6 - 3x _______ 2solución:incógnitas: x, y

x – 2y =3 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3x – 4y = 6

1. x – 2y = 3____1 3x – 4y = 6____2

2. vamos a eliminar x

3. 3( x – 2y = 3) → 3x – 6y = 9 -1(3x – 4y = 6) → -3x + 4y = -6 ____________4. -2y = 3 y = 3/-2

y = -1.5

5. sustituyendo y en ec. 1 x – 2y = 3x – 2(-1.5) = 3x + 3 = 3

13

x = 0

6. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2x – 2y = 3 3x – 4y = 6 – 2(-1.5) = 3 3(0) – 4(-1.5) = 6

6 = 6

CLASE 4SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SOLUCION POR EL METODO DE SUSTITUCION.

Método de sustitución:

1. Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones (de preferencia la que tenga un factor igual a 1)2. La incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación para obtener el valor de esta incógnita.3. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en el paso 2 en cualquier ecuación original para obtener el valor de la incógnita restante.4. comprobar los resultados en ambas ecuaciones

Ejemplo. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L.

x – y = 6 ____ 1 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3x + y = 2 ____ 2

1. despejamos x de la ecuación 1 x = 6 + y

2. sustituimos x en la ecuación 2 3(6 + y) + y = 2 18 + 3y + y = 2 4y = 2 - 18

14

y= -16y = - 4

3. sustituimos y en la ecuación 1 x - (- 4) = 6x + 4 = 6x = 6 - 4x = 2

4. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2

x – y = 6 3x + y = 2 2 – (-4) = 6 3(2) + (-4) = 22 + 4 = 6 6 – 4 = 2

6 = 6

Ejercicio 1. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L.

__ 1

__ 2

Solución:1. despejamos x de la ecuación 1

2. sustituimos x en la ecuación 2

15

x−1=27

x+ y=14

x−1=27

x=27

+1

x=2+77

x=97

x+ y=14

97

+ y=14

y=14

−97

y=7−3628

y=−2928

y=−2928


x+ y=14

97

+(−2928 )=1

497

−2928

=14

36−2928

=14

728

=14

14

=14

Ejercicio 2. 9x – 3y = 2411x + 2y = 1

1. despejamos x de la ecuación 1

9 x−3 y=249 x=24+3 y

x=24+3 y9

16

x−1=27

97

−1=27

9−77

=27

27

=27

2. sustituimos x en la ecuación 2

11 x+2 y=1

11(24+3 y9 )+2 y=1

264+33 y9

+2 y=1

264+33 y9

=1−2 y

264+33 y=(1−2 y )9264+33 y=9−18 y33 y+18 y=9−26451 y=−255

y=−25551

y=−5

3. sustituimos y en la ecuación 1

9x - 3y = 249x-3(-5 )=249x+15=249x=24−15

x=99

x=1


9 x+3 y=249(1 )−3(−5 )=249+15=2424=24

11 x+2 y=111(1 )+2(−5 )=111−10=11=1

Ejercicio 3: Del siguiente enunciado obtener el S.E.L. y resolverlo por el método de sustitución. La edad de Juan es el doble que la de pedro y ambas suman 15, ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución:Incógnitas: Edad de Juan → J Edad de Maria → M

17

J = 2P ____ 1 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas J + P = 15 ____ 21.

2. sustituimos J en la ecuación 2 (2P) + P = 15

3P = 15 P = 15/3 P = 5

3. sustituimos P en la ecuación 1 J = 2P J = 2(5)J = 10

4. comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2 J = 2P J + P = 1510 = 2(5) 10 + 5 = 1510 = 10 15 = 15

Ejercicio 4. Resolver por el método de sustitución el siguiente ejercicio:

Don Juan compro 30 animales para su granja (patos y chivos), si por cada pato pago $20 y por cada chivo $120 y en total gasto $3000, ¿Cuántos patos y cuantos chivos compro?

Solución:

p + ch = 30 ___ 120p + 120ch = 3000 ___ 2

18

1. despejamos p de la ecuación 1 p=30−ch

2. sustituimos p en la ecuación 2

20(30−ch )+120ch=3000600−20 ch+120ch=3000100ch=3000−600

ch=2400100

ch=24

3. sustituimos ch en la ecuación 1

p+ch=30p+24=30p=30−24p=6

Se compraron 24 chivos y 6 patos


p+ch=3024+6=3030=30

20 p+120ch=300020(6 )+120(24 )=3000120+2880=30003000=3000

CLASE 5SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 3X3 (S.E.L. de 3X3)

Sistema de ecuaciones lineales de 3x3 (3 ecuaciones, 3 incógnitas)

Anota las características de cada sistema

19

2 x+4 y−3w=53 x−2 y+4w=54 x+3 y−6w=5

2 x+4 y−3w=52 y+4w=5

6w2=5

2 x+4 y−3w=53 x−2 y+4w=5+ x4 x+3 y−6w=5− y

2 x+4 y=53 x−2 y=52 x=5

2 x+4 y−3w=53 x−2 y+4w=5 _5 ecs_________ 3 ecs. (1 no lineal) ________________ _________ _3 incog_______ _____________ ________________ _________ _S.E.L. 5x3_____ _____________ ________________ _________

forma triangular se resuelve por el método de sustituciónejemplo:

Métodos para resolver S.E.L. de 3x3

no esta en forma triangular se resuelve por el método general

ejemplo:

2 x+4 y−3w=53 x−2 y+4w=54 x+3 y−6w=5

Resolvamos primero un S.E.L. de 3X3 en forma triangular utilizando el método de sustitución.

Ejemplo : Resolver el siguiente S.E.L de 3x3

2 x+4 y−3 z=10 __ 1−3 y+4 z=5 __ 2

z=5 __ 3Solución: Vemos que el valor de z = 5

Sustituimos z en Ec. 2

−3 y+4 z=5−3 y+4 (5 )=5−3 y+20=5

−3 y=5−20−3 y=−15

y=−15−3

y=5

20

2 x+4 y−3 z=10 __ 1−3 y+4 z=5 __ 2

z=5 __ 3

sustituimos y y z en la ec. 1

2 x+4 y−3 z=102 x+4 (5 )−3 (5)=102 x+20−15=10

2 x=10−20+152 x=5

x=52

Solución

x=52

y=5z=5

comprobación: Ecuación 1 Ecuación 2

2 x+4 y−3 z=10

2(52 )+4(5 )−3(5 )=10

5+20−15=1010=10

−3 y+4 z=5−3(5)+4(5 )=5

−15+20=55=5

Método general para resolver S.E.L. de 3X31. Tomamos 2 ecs. cualesquiera, se utiliza el método de suma ó resta para eliminar una incógnita, la ecuación resultante es la ec. 4.2. Se toma la ecuación restante del sistema con cualquiera de las otras dos, se elimina la misma incógnita del paso 1 por el método de suma ó resta, la ecuación resultante es la ec. 5.3. Se toma la ec.4 y la ec.5 (S.E.L. de 2x2) y se resuelve encontrando esas dos incógnitas (se utiliza cualquier método).4. Los dos valores encontrados se sustituyen en cualquier ecuación original y se encuentra la incógnita restante.5. Se comprueba el resultado.

Ejemplo : Resolver el siguiente S.E.L de 3x3

x+4 y−z=6 __ 12 x+5 y−7 z=−9 __ 23 x−2 y+ z=2 __ 3

Solución: 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita x

−2( x+4 y−z=6 )→−2 x−8 y+2 z=−121(2 x+5 y−7 z=−9 )→2 x+5 y−7 z=−9

−3 y−5 z=−21 ___ 4

21

2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita x −3( x+4 y−z=6 )→−3x−12 y+3 z=−18

1(3 x−2 y+ z=2)→ 3 x−2 y+ z=2−14 y+4 z=−16 ___ 5

3. se toman ec.4 y ec. 5

−3 y−5 z=−21 ___ 4−14 y+4 z=−16 ___ 5

vamos a eliminar z

4 (−3 y−5 z=−21 )→−12 y−20 z−845(−14 y+4 z=−16 )___−70 y+20 z=−80

−82 y=−164y=2

sustituyendo y en ec. 4

- 3y - 5z = - 21−3(2 )− 5 z = −21− 6 −5 z = −21 −5 z=−21+6−5 z=−15z=3

sustituyendo y y z en ec. 1

x+4 y−z=6x+4 (2)−3=6x+8−3=6x+5=6x=6−5x=1

Solución: x = 1, y = 2, z = 3comprobación ecuación 1 ecuación 2 ecuación 3

x+4 y−z=61+4 (2 )−3=61+8−3=66=6

2 x+5 y−7 z=−92(1)+5 (2)−7 (3)=−92+10−21=−9−9=−9

3 x−2 y+z=23(1 )−2(2)+3=23−4+3=22=2

22

Ejercicio 1. Resolver el siguiente S.E.L de 3x3

5 x−2 y+z=24 __ 12 x+5 y−2 z=−14 __ 2x−4 y+3 z=26 __ 3

Solución: 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita x

−2(5 x−2 y+z=24 )→−10+4 y−2 z=−485(2 x+5 y−2 z=−14 )→10 x+25 y−10 z=−70

29 y−12 z=−118 ___ 42. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita x 5( x−4 y+3 z=26 )→5x−20 y+15 z=130−1(5 x−2 y+ z=24 )→−5x+2 y− z=−24

−18 y+14 z=106 ___ 53. se toman ec.4 y ec. 5

29 y−12 z=−118−18 y+14 z=106 vamos a eliminar z

14 (29 y−12 z=−118 )→406 y−168 z=−165212(−18 y+14 z=106 )→−216 y+168 z=1272

190 y=−380y=−2

sustituyendo y en ec. 4

29 y−12 z=−11829(−2)−12 z=−118−58−12 z=−118−12 z=−118+58

z=−60−12

z=5

sustituyendo y y z en ec. 1

5 x−2 y+z=245 x−2(−2)+5=245 x+4+5=245 x=24−95 x=15x=3

Solución: x = 3, y = -2, z = 5comprobación ecuación 1 ecuación 2 ecuación 3

5 x−2 y+z=245(3 )−2(−2)+5=2415+4+5=2424=24

2 x+5 y−2 z=−142(3 )+5(−2 )−2(5 )=−146−10−10=−14−14=−14

x−4 y+3 z=263−4 (−2 )+3(5 )=263+8+15=2626=26

23

Ejercicio 2. Del siguiente enunciado obtener su S.E.L, resolverlo y comprobarlo. Juan compro 2 lápices, 1 goma y 3 plumas por $15 Porfirio compro 1 lápiz, 3 gomas y 5 plumas por $23 Raquel compro 3 lápices, 3 gomas y 3 plumas por $21, los 3 fueron a la misma papelería.

¿Cuál es el precio de cada producto?

Solución: El S.E.L. nos queda

2 l+g+3 p=15 ___1l+3g+5 p=23 ___23 l+3g+3 p=21 ___ 3

1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita l

−1(2 l+g+3 p=15 )→−2 l−g−3 p=−152( l+3g+5 p=23 )→2l+6 g+10 p=46

5 g+7 p=31 ___ 42. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita l 2(3 l+3g+3 p=21)→6 l+6 g+6 p=42−3(2 l+g+3 p=15 )→−6 l−3g−9 p=−45

3 g−3 p=−3 ___ 53. se toman ec.4 y ec. 5

5 g+7 p=313 g−3 p=−3 vamos a eliminar g

−3(5 g+7 p=31)→−15 g−21 p=−935(3 g−3 p=−3)→15 g−15 p−15

−36 p=−108p=3

sustituyendo p en ec. 4

5 g+7 p=315 g+7(3 )=315 g+21=315 g=31−21

g=105

=2

sustituyendo p y g en ec. 1

2 l+g+3 p=152 l+2+3(3)=15l=(15−11)/2=2

Solución: p = 3, g = 2, l = 5comprobación ecuación 1 ecuación 2 ecuación 3

24

2 l+g+3 p=152(2 )+2+3(3)=154+2+9=1515=15

l+3g+5 p=232+3(2 )+5(3)=232+6+15=2323=23

3 l+3g+3 p=213(2 )+3(2)+3(3 )=216+6+9=2121=21

Unidad 2: Sistemas de coordenadas y lugares geométricos

CLASE 6SISTEMAS DE COORDENADAS

DISTANCIA ENTRE PUNTOS

En ocasiones para localizar un punto en un plano es necesario utilizar un sistema de referencia

Veamos el siguiente ejemplo:En el tablero de ajedrez para localizar una pieza se acostumbra llamar al eje horizontal con letras y al eje vertical con números.

Señala el origen del sistema de referencia

¿En que posición esta ubicado el caballo? ___________________

¿En que posición esta ubicado el peón? _____________________

¿En que posición esta ubicado el rey? ______________________

¿En que posición esta ubicado la reina? _____________________

Otro ejemplo:Para ubicar un punto en el globo terráqueo también se utiliza un sistema de referencia, llamando al eje horizontal: longitud y al eje vertical: latitud.

80 Señala el origen del sistema de referencia

¿En que posición esta ubicado México? 100 Long este, 20 latitud norte

25

20 ¿En que posición esta ubicado Pekín? 160 100 120 long. Oeste, 40 latitud norte

En base a los 2 ejemplos anteriores, ¿Para que me sirve un sistema de coordenadas o sistema de referencias?___________________________________________________________________

Rene Descartes (1654-1705)Cuando Rene Descartes escribía el anexo de “Geometría” en su obra titulada: “Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias”, propuso un nuevo sistema de coordenadas para estudiar esta disciplina.Llamado ahora “sistema de coordenadas cartesianas “en su honor, este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica.

Sistema de coordenadas cartesianas

Este sistema esta formado por dos rectas siendo el punto donde se cruzan el origen

y (eje de las coordenadas)(+)

cuadrante II y . A (x, y) cuadrante I

x (eje de las absisas)(- ) o x (+)

cuadrante III cuadrante IV

( -)En el siguiente dibujo localiza la pareja de números de los siguientes puntos:

A (4, 2)B (0,0) C (-6, -200)…

26

Distancia entre dos puntos Es la longitud de un segmento de recta.

¿Cómo calculo la longitud de la base de la casasi utilizo como referencia la recta numérica?

Obteniendo la distancia del punto A al punto B (dAB)dAB

0 A(8) B(20)

Si al valor de B le resto el valor de A me queda dAB=|20−8|=|12|=12

Que es lo mismo que si al valor de B le resto el valor de A dAB=|8−20|=|−12|=12

El valor absoluto me indica el valor real de una medida.

¿Que pasa si cambiamos la casa al lado negativo de la recta?, ¿Cambia la longitud de su base?

B(-20) A(-8) 0

Utilizando otra vez valor absoluto: dAB=|−20−(−8 )|=|−20+8|=|−12|=12

Que es lo mismo que dAB=|−8−(−20 )|=|−8+20|=|12|=12

Observamos que el valor absoluto de la longitud es la misma no importando de que lado esta la casa.

Ahora ya podemos obtener una formula general para obtener la distancia o longitud de un segmento:

dAB

0 A(x1) B(x2)

27

Distancia de un segmento de recta paralelo al eje x

dAB=|x2−x1|=|x1−x2|

Distancia de un segmento de recta paralelo al eje y

dAB=|y2− y1|=|y1− y2|

En el siguiente sistema de coordenadas cartesianas (S.C.C.) calcula las longitudes de los segmentos de recta.

y A 5 J

E F 4

I2

x-7 -5 -2 3 7

BG H

-4 C D

¿Podemos obtener la distancia del segmento inclinado? __no__ ¿Por qué? ____porque no está paralelo a ningún eje.__________________________________

Vamos a obtener una formula para calcular esta longitud.

¿Recuerdas el teorema de Pitágoras? __“En todo triangulo rectángulo la suma del cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa” ________________________________________________

B(x2,y2) ¿Cómo utilizarías este teorema para calcular

la dAB?

A(x1,y1) C(cambia)

(dAB )2=(dAC )2+(dBC )2

(dAB )2=(x2−x1)2+( y2− y1)2

dBC=√ (x2−x1 )2+( y2− y1)2

28

La distancia de un segmento entre dos puntos: A(x1,y1), B(x2,y2) es:

dBC=√ (x2−x1 )2+( y2− y1)2

Ahora ya podemos calcular el valor del segmento inclinado, vamos a llamarle al punto J (x1,y1)y al punto I (x2,y2 )

Sustituyendo valores: dBC=√ (3−7 )2+(5−2 )2=√16+9=√25=5 ul.

(ul: unidades lineales, pueden ser centímetros, metros, kilómetros, etc.)

¿Que pasa si para calcular la distancia del segmento inclinado cambiamos J(x2,y2) y I(x1,y1)?,

¿Crees que cambie la distancia? _______

Has los cálculos y observa que pasa

dBC=√ (3−7 )2+(2−5 )2=√16+9=√25=5¿Qué concluyes?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ejercicio: a) ¿Cuál es la distancia del submarino al avión? b) ¿Cuál es la distancia del submarino al barco? c) ¿Cuál es la distancia del barco al avión? Los valores están en Km y

5

x -7 3

-6

29

dSubmarino−Avion=√(3−(−7 ))2+(5−(−6 ))2=√(3+7)2+(5+6)2=√100+121=14.86Km

dSubmarino−Barco=0−(−6 )=6Km Es un segmento paralelo al eje “y”

dBarco−Avion=√(3−(−7 ))2+(5−0)2=√(3+7)2+(5)2=√100+25=11.18 Km

CLASE 7 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN

Imaginemos una montaña, coloquemos nuestro sistema de ejes.

La relación entre el incremento de altura y el incremento de base en una recta se le llama pendiente y se designa por la letra m.

y C

104 B E Pendiente de una recta D

A F x 80 100 150 270

1. Vamos a calcular la pendiente de la recta AB.

mAB=alturabase

=10480

=1 .3

2. Calculo de la pendiente de la recta AC.

mAC=altura

base=130

100=1 .3

30

m= Δ alturaΔ base

=y2− y1

x2−x1

¿Al ver los resultados de las pendientes anteriores que concluimos?___que no importa que altura y que base se tome en una recta, la pendiente es la misma en toda la recta.__________________________________________________________________________________________

D

a1

CB

b1 mAB=mCDa2

Ab2

Volvamos al cálculo de las pendientes de la montaña.

3. Calculo de la pendiente de la recta CD.

mCD=altura

base=130−104

0=26

0=indet er minada

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente de un segmento vertical no exista__________________________________________________________________________________

4. Calculo de la pendiente del segmento DE.

mDE=altura

base= 0

150−100= 0

50=0

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente en un segmento horizontal es cero__________________________________________________________________________________

5. Calculo de la pendiente del segmento EF.

mEF=altura

base= 0−104

270−150=−104

120=−0. 86

¿Que observamos en este resultado?___ que la pendiente es negativa____

Pendiente - +

31

Ángulo de inclinación.

El ángulo de inclinación es el ángulo que el segmento forma con el eje de las absisas (eje x)

tan α=Δ alturaΔ base

=m

tan α=mα=tan−1m

Angulo de inclinación

α=tan−1m

+

Sentido del ángulo de inclinación x(el ángulo es siempre con respecto al eje x)

-

Vamos a calcular los ángulos de inclinación de la montaña.

1. Calculo del ángulo de inclinación de la recta AC. mAC=1.3α=tan−1(1 .3)α=52 . 43 º

2. Calculo del ángulo de inclinación de la recta CD.

El ángulo de inclinación es de 90º

3. Calculo del ángulo de inclinación de la recta DE.

El ángulo de inclinación no existe. 4. Calculo del ángulo de inclinación de la recta EF.

32

mEF=−0 .86α=tan−1(−0 . 86 )α=40.69 º

Ejercicio 1: Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas AB, BC, AC y BD

y

B 2(0,2)

-6 6 xA -1 C

(-6,-1) (6,-1)

D (0,-7) -7

Solución:

RectaCalculo de la pendiente Calculo del ángulo de inclinación

recta ABmAB=altura

base=

2−(−1)0−(−6 )

=2+16

=36

=12

=0 .5

mAB=12

=0 .5

α= tan−1(12 ) α=26 . 56 º

recta BCmBC=altura

base=

2−(−1 )0−6

=2+1−6

=3−6

=1−2

=−0 . 5

mBC=−12=−0. 5

α=tan−1(−12 )

α=−26 . 56 º

recta ACmAC=

alturabase

=0−1−(−1 )

=0−1+1

=0−0

=0No existe

recta BDmBD=altura

base=

2−(−7 )0

=2+70

=90=indefinida

90°

33

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

5

10

15

20

25

30

35

Ejercicio 2.Encuentra un objeto inclinado en tu casa (escalera, tabla, techado, etc.), colócala en el plano cartesiano, obtén su pendiente y ángulo de inclinación

Unidad 3: La recta y su ecuación cartesiana.

CLASE 8SITUACIONES QUE DAN ORIGEN A UNA RECTA.

El uso de la línea recta en el plano cartesiano es muy común para observar el comportamiento de una situación que se quiere analizar.

Veamos el siguiente ejemplo: Un taxi cobra $2.00 por Km. recorrido más $6.00 el banderazo.Llena la siguiente tabla:

Como los Km. recorridos (x) y el cobro (y) pueden variar reciben el nombre de variables.

A la variable cobro (y) se le llama variable dependiente porque depende del numero de Km. recorridos (x)

A la variable Km. recorridos se le llama variable independiente por que no depende de algo, ese valor nosotros lo seleccionamos.

De aquí en adelante en los ejemplos y ejercicios que hagamos siempre vamos a asignar a:

x como variable independiente y

y como variable dependienteVamos a graficar los puntos obtenidos:

34

Km. recorridos x 1 2 3 4 5Cobro (en pesos) y 8 10 12 14 16

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

5

10

15

20

25

30

35

Contestemos:¿Qué figura resulto? _____________________________________________________________¿Para qué crees que nos pueda servir colocar esa recta en el plano cartesiano?______________________________________________________________________________________________¿Cuál es el valor de la pendiente? ____m = 2____

¿En base a la gráfica podemos calcular el cobro exacto para 15.3 Km? _______no____________¿Cómo podemos hacerle para calcular ese valor? __ obtener la ecuación de la recta____________

Ecuaciones de la recta.

Ecuación de la recta punto-pendiente.conocidos uno de sus puntos A(x1, y1) y su pendiente (m)

y

m y=m( x−x1 )+ y1

A( x1 , y1 )

x

Ecuación de la recta pendiente-ordenada al origenconocidos su pendiente (m) y su ordenada al origen (b)ordenada al origen: es el punto que interseca a la recta en el eje y.

y

m y=mx+b

35

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

5

10

15

20

25

30

35

A(0 ,b ) ordenada al origen

x

Ecuaciones de la recta cuando es paralela a uno de sus ejes

y

y= y1 y1

x=x1

x1 x

Regresando a nuestra recta inicial (la del cobro del taxi), ¿Qué ecuación podemos obtener? __Ecuación de la recta punto- pendiente__________________________________________

Si tomamos el punto A (1,8) ¿Cuál es la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente?

y=m( x−x1 )+ y1

Sustituyendoy=2(x−1)+8y=2x−2+8y=2x+6

Ahora que ya tenemos la ecuación de la recta podemos conocer el cobro para 15.3 Km.

y=2(15 . 3 )+6y=30 . 6+6y=36 . 6 El cobro para 15.3 Km. es $36.6

Ejercicio 1. Laura trabaja vendiendo tarjetas de crédito en su tiempo libre, al mes le pagan $300.00 más una comisión de $20.00 por cada tarjeta que vende.a) llena la tabla.b) grafica los valoresc) Obtén la ecuación de la recta (punto-pendiente)d) Obtén la ecuación de la recta (pendiente-ordenada al origen)e) ¿Qué diferencia tienen las dos ecuaciones?f) ¿Cuánto ganara en un mes si vende 15 tarjetas?

Tarjetas x 0 2 4 5 7Sueldo ($) y 300 340 380 400 440

36

Solución: b)

c) m=340−300

2−0=40

2=20

, si tomamos el punto A (2,340)y=m( x−x1 )+ y1

y=20( x−2)+340y=20x−40+340y=20x+300

d) La ordenada al origen es b = 300y=mx+by=20x+300e) Son las mismas, porque es la misma recta

f)

y=20x+300y=20(15)+300y=300+300y=600

Ejercicio 2: Obtén las ecuaciones de las siguientes rectas

y A(-2,6) ym= 7

−5=−1 .4

y=−1.4 ( x−3 )−1y=−1.4 x+4 .2−1y=−1.4 x+3 .2

x = 2

x x 2

37

B(3,-1)

y m = -6 yy=−6 x+6

y = 4

6 4

x x

Ejercicio 3: Una bacteria se divide de acuerdo a la siguiente tabla.Horas x 1 2 3 4 5Divide y 1 2 4 8 16

a) grafica los valoresb) Obtén la ecuación de la rectac) ¿Cuántas divisiones habrá realizado en 13 horas?

38

CLASE 9ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA

En base al análisis de las rectas hechas en las clases anteriores, concluimos que:

“Toda ecuación de primer grado con dos variables representa una recta”.

Por ejemplo: y=2x+6

2−x= yy=2−xy=− x+2

3 x− y=0− y=−3xy=3 x

x+4− y=0− y=−x−4y=x+4

Todas las rectas las pasamos a su forma pendiente-ordenada al origen.

La siguiente ecuación también nos representa una recta:

Ax + By + C = 0 → ecuación general de una recta

¿Cómo nos queda si la pasamos a su forma pendiente ordenada al origen?

Ax+By+C=0By=−Ax−C

y=−Ax−CB

y=−AxB

−CB es decir

m=− AB

b=−CB

39

Ejemplo: Obtener la pendiente y la ordenada al origen de la las rectas

a)

x− y+8=0A=1 ,B=−1 ,C=8

m=−1−1

=1

b=−8−1

=8 b)

−9 x+10 y−11=0A=−9 ,B=10 ,C=−11

m=−−910

=910

b=−−1110

=1110 c)

−5 x−7 y−13=0A=−5 ,B=−7 ,C=−13

m=−−5−7

=−57

b=−−7−7

=−137

Ejercicio 1. El peso de un objeto sobre la luna es directamente proporcional con respecto a su peso sobre la tierra. Una persona pesa 6.25 veces mas en la tierra que en la luna.a) obtener la ecuación que me represente el peso de la luna con respecto al peso en la tierra.b) ¿cuanto vale m y b?c) ¿Cuánto pesa una persona en la luna si su peso en la tierra es de 60 Kg.?d) Transformar la ecuación a su forma generale) Hacer la grafica

Solución:

a) Si tomamos y = peso en la tierra

PT=6 .25 PL

y=6. 25 x x = peso en la luna

b) m = 6.25, b = 0

c)

60=6 .25 x

x=606 .25

=9 .6 Su peso será de 9.6 Kg.

d)

y=6 .25 xy−6 .25 x=0−6 .25 x+ y=0A=−6 .25 , B=1 ,C=0

e)

40

Ejercicio 2. Una agencia de renta de automóviles cobra $3.50 por kilómetro recorrido, más $200 por la renta del automóvil.a) obtener la ecuación que me represente el cobro por Km. recorrido.b) ¿cuanto vale m y b?c) ¿Cuanto es el cobro por 26.7 Km. recorridos?d) Transformar la ecuación a su forma generale) Hacer la grafica

Solución:

a)

Cobro=3 .50 (kilometros )+200y=3 .50 x+20

b) m = 3.50, b = 20

c)

y=3 .50 x+20y=3 .50(26 .7)+200y=93. 45+200y=293. 45 El cobro es de $ 293.45

d)

y=3 .5 x+20y−3 .5 x−20=0−3 .5 x+ y−20=0A=−3 .5 ,B=1 ,C=−20

41

x y=6. 25 x 0 01,0 6,252,0 12,53,0 18,754,0 25,05,0 31,256,0 37,57,0 43,758,0 50,09,0 56,2510,0 62,5

e)

Ejercicio 3. El sueldo semanal de un vendedor se integra con un pago semanal más la comisión. El pago semanal es de $350, la comisión es de $50 por cada vajilla que vende. a) obtener la ecuación que me represente el sueldo del vendedor.b) ¿Cuánto vale m y b?c) ¿Cuál es el sueldo cuando vende 12 vajillas?d) Transformar la ecuación a su forma generale) Hacer la grafica

Solución:

a)

Sueldo=50( vajillas)+350y=50 x+350

b) m = 50, b = 350

c)

y=50 x+350y=50 (12)+350y=600+350y=950 El sueldo es de $ 950.

d)

y=50 x+350y−50 x−350=0−50 x+ y−350=0A=−50 ,B=1,C=−350

42

x y=3 . 50 x+200 20,01,0 23,52,0 27,03,0 30,54,0 34,05,0 37,56,0 41,07,0 44,58,0 48,09,0 51,510,0 55,011,0 58,512,0 62,013,0 65,514,0 69,015,0 72,516,0 76,0

e)

CLASE 10MÁS SITUACIONES SOBRE LA RECTA.

Pertenencia de un punto a una recta.

Ejemplo: Verifica si los puntos A(1,2) y B(1,1) pertenecen a la recta 2x + 3y -5 = 0

Solución: No importa en qué forma este la ecuación de la recta se sustituyen cada uno de los puntos en la ecuación:

Para el punto A(1,2)

2 x+3 y−5=02(1)+3 (2)−5=02+6−5=08−5=03=0 No se cumple la igualdad, el punto no pertenece.

Para el punto B(1,1)

2 x+3 y−5=02(1)+3 (1)−5=02+3−5=05−5=00=0 Si se cumple la igualdad, el punto si pertenece.

43

xa) y=50 x+350

0 350,050,0 2850,0100,0 5350,0150,0 7850,0200,0 1,0350x10^4250,0 1,2850x10^4300,0 1,5350x10^4

Intersección de dos rectas que se cortan.

Este tema se vio en el capitulo 1 (S.E.L. de 2x2) utilizando los método grafico, de sustitución y de suma o resta.

Ángulo entre dos rectas que se cortan.

Las rectas l1 y l2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente.

y l2 El ángulo entre las dos rectas estadado por la expresión:

l1

α=tan−1( m2−m1

1+m2m1)

x

Ejemplo: Obtener el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(4,7) con la recta que pasa por los puntos C(-3,1) y D(-4,2), dibujar las rectas.

Solución:

m1=

7−14−1

=63=2

m2=

2−1−4−(−3 )

= 1−1

=−1

α=tan−1(m2−m1

1+m2m1)

α=tan−1(−1−21+2(−1 ) )

α=tan−1(−3−1 )

α=tan−1 (3 )α=71 .56 º

Condición de paralelismo entre dos rectas.

y Las rectas l1 y l2 son paralelas si y solo si m1 = m2

l1

l1 l2 m1 = m2

44

l2

x

Condición de perpendicularidad entre dos rectas.

y Las rectas l1 y l2 son perpendiculares si y solo si m1 * m2 = - 1 l1

l1 l2 m1 * m2 = - 1

l2

x

Ejemplo: Utilizando la perpendicularidad de rectas, verifica si los puntos: A(-1,1), B(4,6) y C(-4,4) forman un triángulo rectángulo, dibujar las rectas

Solución: Sabemos que si un triangulo es triangulo rectángulo dos de sus lados son perpendiculares.

mAB=6−1

4+1=5

5=1

mAC= 4−1

−4+1= 3

−3=−1

mAB mAC=1(−1)=−1

Si es un triangulo rectángulo.

Distancia de un punto a una recta

Se tiene la recta “ l ” y un punto A(x,y) fuera de la recta.

yA(x,y)

y La distancia del punto A(x,y) a la recta “ l ” que l tiene como ecuación Ax+By+C = 0 se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta que llega al punto, y se calcula como:

45

x

d=|Ax+By+C

√A2+B2|

x

Ejemplo: obtener la distancia de la recta 3 y=−4 x+1al punto D (3,0)

Solución: Pasamos la recta a su forma general Sustituimos valores

3 y=−4 x+13 y+4 x−1=04 x+3 y−1=0A=4 ,B=3 ,C=−1

d=|4 (3)+3 (0)−1

√42+32|=

d=|12−1

√16+9|=d=|

11

√25|=

d=|115

|=115

=2. 2

Ejercicio. De las rectas

y−2=2x _________ 1−2 x+ y−3=0 _____ 2

a) Graficarlasb) En base a sus pendientes investigar si son paralelas, perpendiculares o forman otro ángulo entre ellasc) Si se cruzan calcular el ángulo entre ellas, si son paralelas calcular la distancia entre ellas.

Solución: a) Grafica:

46

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

5

10

15

20

25

b) Pasando las ecuaciones a su forma pendiente ordenada al origen:

1)

y−2=2 xy=2x+2m=2 2)

−2 x+ y−3=0y=2 x+3m=2

Las pendientes son iguales las rectas son paralelas

c) Distancia entre ellas: De ec. 1

Por lo tanto un punto es: A(0,2) y la ec. 2 en su forma general es −2 x+ y−3=0 x1 = 0, y1 =2 A = -2, B = 1, C = -3Sustituyendo valores

d=|−2(0 )+1(2)−3

√(−2)2+12|=

d=|2−3√4+1

|=|−1√5

|=

d=|−12. 23

|=|−0. 44|=0 .44

CLASE 11

47

x y=2x+2 −2 x+ y−3=0 0 2,0 3,01,0 4,0 5,02,0 6,0 7,03,0 8,0 9,04,0 10,0 11,05,0 12,0 13,06,0 14,0 15,07,0 16,0 17,08,0 18,0 19,09,0 20,0 21,010,0 22,0 23,0

x y=2x+20 2

PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO.

Ejemplo: Determina el área del siguiente triangulo cuyos vértices son: A(-1,1). B(4,6), C(-4,4).

Solución: A=

(base)(altura )2

Si tomamos BC como base:

dBC=√(−4−4 )2+(4−6 )2=√64+4=√68=8 .24

mBC= 4−6−4−4

=−2−8

=28= 1

4

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto B(4,6)) es:

y=14

( x−4 ))+6

y=14x−4

4+6

y=14x−1+6

y=14x+5

pasándola a su forma general

−14x+ y−5=0

4 (−14x+ y−5=0)

−x+4 y−20=0A=−1 ,B=4 ,C=−20

altura=|(−1 )(−1 )+4 (1)−20

√(−1 )2+( 4 )2|=

|1+4−20√1+16

|=|−15√17

|=15√17

=3. 63

sustituyendo valores Area=

8. 24 (3. 63 )2

=14 . 95u2

Ejercicio 1. Determina el área del siguiente triangulo cuyos vértices son: A(4,2). B(-1,4), C(1,-2).

48

Solución: A=

(base)(altura )2

Si tomamos AC como base:

dAC=√(1−4 )2+(−2−2)2=√9+16=√25=5

mAC=−2−21−4

=−4−3

=43

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto A(4,2)) es:

y=43

( x−4 )+2

y=43x−16

3+2

y=43x−

16+63

y=43x−10

3

pasandola a su forma general

−43x+ y+

103

=0

3(−43x+ y+10

3=0)

−4 x+3 y+10=0A=−4 ,B=3 ,C=10

altura=|(−4 )(−1 )+3(4 )+10

√(−4 )2+(3 )2|=

|4+12+10√16+9

|=|26√25

|=|265

|=265

=5 . 2


5 (5 . 2)2

=13u2

49

Ejercicio 2. Determina el área del siguiente triangulo cuyos vértices son: A(-2,3). B(1,-1), C(3,4).

A=(base)(altura )

2

Si tomamos AC como base:

dAC=√(3−(−2))2+( 4−3)2=√(3+2 )2+(1)2=√25+1=√26=5. 099

mAC= 4−33−(−2)

= 13+2

=15

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto C(3,4)) es:

y=15

( x−3 )+4

y=15x−3

5+4

y=15x−

3+205

y=15x+17

5

pasándola a su forma general

−15x+ y−

175

=0

5(−15x+ y−17

5=0)

−x+5 y−17=0A=−1 ,B=5 ,C=−17

altura=|(−1 )(1)+5(−1)−17

√(−1 )2+(5 )2|=

|−1−5−17√1+25

|=|−23√26

|=23√26

=4 . 51


5 . 099( 4 .51 )2

=11. 49u2

50

Ejercicio 3. En un terreno amplio se va a colocar pasto de acuerdo a la siguiente figura (las medidas están en Km.).

A(1,8), B(7,1), C(11,2) ¿Cuánto pasto es necesario?

Solución: A (1,8). B (7,1), C (11,2). A=

(base )(altura )2

Si tomamos AB como base:

dAB=√(7−1 )2+(1−8 )2=√(6)2+(−7 )2=√36+49=√85=9 . 21 mAB=1−8

7−1=−7

6La ecuación punto- pendiente (tomando el punto A(1,8)) es:

y=−76

( x−1 )+8

y=−76x+7

6+8

y=−76x+

7+486

y=−76x+55

6 pasandola a su forma general

76x+ y−

556

=0

6(76x+ y−55

6=0)

7 x+6 y−55=0A=7 ,B=6 ,C=−55

altura=|(7)(11)+6(2 )−55

√(7 )2+(6 )2|=

|77+12−55√49+36

|=|34√85

|=34√85

=3. 68sustituyendo valores

Area=9. 21(3 .68 )

2=16 . 94Km2

51

Unidad 4: Circunferencia, Elipse y sus ecuaciones cartesianas.

CLASE 12CIRCUNFERENCIA (CENTRO EN EL ORIGEN)

Si colocamos un punto fijo “C” en el origen del plano cartesiano y de el amarramos un cordón y lo hacemos girar, ¿Que figura se forma con el extremo del cordón?

Circunferencia: Una circunferencia es el lugar geométrico (figura que se forma) de todos los puntos tales que su distancia a un punto fijo es constante.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen: si en nuestra circunferencia formamos un triangulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio obtenemos la ecuación de la circunferencia.

x2+ y2=r2

Para obtener la ecuación de cualquier circunferencia con centro en el origen solo es necesario conocer su radio.

Ejemplo 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro en el origen:

a) radio = 1 b) radio = 5 c) radio = 7

x2+ y2=r2

x2+ y2=12

x2+ y2=1

x2+ y2=r2

x2+ y2=52

x2+ y2=25

x2+ y2=r2

x2+ y2=72

x2+ y2=49

52

Ejemplo 2: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto:

a) P (3,6)

Solución: El radio lo obtenemos utilizando la distancia entre dos puntos

r2=45 Sustituyendo

x2+ y2=r2

x2+ y2=45

b) P (-2,-5)

Solución: El radio lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras

r2=29 Sustituyendo

x2+ y2=r2

x2+ y2=29

c) P (-3,4)


r2=25 Sustituyendo

x2+ y2=r2

x2+ y2=45

53

Intersección entre una recta y una circunferenciaUna recta y una circunferencia se pueden intersecar en: ningún punto 1 punto 2 puntos

Estas intersecciones las podemos encontrar por medio del método grafico y el método de sustitución.

Ejemplo 1: Encontrar los puntos de intersección de la recta y=x y la circunferencia

x2+ y2=26 a) Por el método grafico, b) Por el método de sustitución.

Solución:a)

b) Tenemos nuestro sistema de ecuacionesy=x ___1

x2+ y2=26 __2 utilizando el método de sustitución Sustituyendo x en ec. 1 sustituyendo y en ec. 2 para x = 3.605 para x = -3.605

54

x2+ y2=26x2+x2=262 x2=26

x2=262

x=±√13x=±3 . 605

y=xy=3 . 605A(3 .605 ,3. 605 )

y=xy=−3.605B(−3.605 ,−3. 605 )

Ejercicio 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro en el origen:

a) radio = 2 b) radio = 3 c) radio = 9

x2+ y2=r2

x2+ y2=22

x2+ y2=4

x2+ y2=r2

x2+ y2=32

x2+ y2=9

x2+ y2=r2

x2+ y2=92

x2+ y2=81

Ejercicio 2: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto:

a) P (2,-6)


r2=40 Sustituyendo

x2+ y2=r2

x2+ y2=40

b) P (2,-7)


55

r2=53 Sustituyendo

x2+ y2=r2

x2+ y2=53

Ejercicio 3: Encontrar los puntos de intersección de la recta y+1=2 x y la circunferencia

x2+ y2=16 a) Por el método grafico, b) Por el método de sustitución.

Solución:a)

b)y+1=2 x ___1

x2+ y2=16 __2

utilizando el método de sustitución Sustituyendo x en ec. 1 sustituyendo y en ec 2 para x = 2.177 para x = -1.377

56

x2+ y2=16x2+(2x−1 )2=16x2+4 x2−4 x+1=165 x2−4 x−15=0x=2 .177x=−1 .377

y=2x−1y=2(2. 177 )−1y=4 .354−1y=3 . 354A(2 . 177 ,3 . 354 )

y=2x−1y=2(−1 .377 )−1y=−3.754B(−1. 377 ,−3 . 754 )

Ejercicio 4. Encontrar los puntos de intersección de la recta y=− x−3 y la circunferencia

x2+ y2=6 , a) Por el método grafico, b) Por el método de sustitución.

Solución:a)

b) Tenemos nuestro sistema de ecuaciones

y=− x−3 ___1

x2+ y2=6 ___2

utilizando el método de sustitución Sustituyendo x en ec. 1 sustituyendo y en ec. 2

57

para x = - 0.663 para x = -2.336

x2+ y2=6x2+(−x−3 )2=6x2+x2+6 x+9=62 x2+6 x2+3=0x=−0 . 663x=−2 . 336

y=− x−3y=−(−0 .663 )−3y=0. 663−3y=−2.337A(−0 . 663 ,−2 .337 )

y=− x−3y=−(−2. 336 )−3y=2. 336−3y=−0 .664B(−2. 336 ,−0. 664 )

CLASE 13CIRCUNFERENCIA (CENTRO FUERA DEL ORIGEN)

Vamos a dibujar una circunferencia con centro fuera del origen

La ecuación de esta circunferenciacon centro en C(h, k) esta dada porla ecuación:

( x−h )2+( y−k )2=r2

Ejemplo 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro fuera del origen:

a) radio = 1, C(3,-3) b) radio = 4, C(3,2) c) radio = 3, C(5,-1)

58

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−3 )2+( y−(−3 ))2=12

( x−3 )2+( y+3 )2=1

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−3 )2+( y−2 )2=42

( x−3 )2+( y−2 )2=16

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−5 )2+( y−(−1 ))2=32

( x−5 )2+( y+1 )2=9

¿Qué observamos al trasladar el centro de la circunferencia a la ecuación?_________________________________________________________________________________________________

Ejemplo 2. Obtén la ecuación de la circunferencia y graficarla si uno de sus diámetros tiene como extremos los puntos A(-2,5), B(4,-3)

Solución: Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio.

Centro de la circunferencia. En este caso el centro de la circunferencia es el PmAB

PmAB=(x1+x2

2,y1+ y2

2 )¿(−2+4

2,5+(−3 )2 )=

(22 ,5−32 )=(1 ,22 )=(1,1)

El centro de la circunferencia es C(1,1)

Radio de la circunferencia.

El radio es la dAB entre 2

dAB=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2=√ (4−(−2 ))2+(−3−5 )2=√ (4+2 )2+(−8 )2=√ (6 )2+64

¿√36+64=√100=10

r=102

=5

Sustituyendo valores:

59

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−1 )2+ ( y−1 )2=52

( x−1 )2+ ( y−1 )2=25

Ejemplo 3. Obtén la ecuación de la circunferencia y graficarla si uno de sus puntos es A(3,-9) y su centro es C(-1,3)



El radio esta dado por r=dAC

dAB=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2

¿√ (−1−3 )2+(3−(−9))2

¿√ (−4 )2+(3+9 )2=√16+(12 )2

¿√16+144=√160=12 . 64


( x−h )2+( y−k )2=r2

(x−(−1 ))2+( y−3 )2=(√160 )2

( x+1 )2+( y−3 )2=160

Ejercicio 1. Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro fuera del origen:

a) radio = 2, C(-3,0) b) radio = 3, C(3,-2) c) radio = 5, C(0,-1)

60

( x−h )2+( y−k )2=r2

(x−(−3 ))2+ ( y−0 )2=22

( x+3 )2+ ( y )2=1

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−3 )2+( y−(−2 ))2=32

( x−3 )2+( y+2 )2=9

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−0 )2+( y−(−1))2=52

( x )2+( y+1 )2=25

Ejercicio 2. Obtén la ecuación de la circunferencia y grafícala si uno de sus diámetros tiene como extremos los puntos A(6,0), B(0,-5)



PmAB=(x1+x2

2,y1+ y2

2 )¿(6

2,+(−5)2 )=

¿(3 ,−52 )=(3 ,−2.5)

El centro de la circunferencia es C(3,-2.5)



dAB=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2=√ (−6 ))2+(−5 )2=√36+25=√61=7 . 81

r=7 .812

=3 .9


61

( x−h )2+( y−k )2=r2

( x−3 )2+( y−(−2 . 5))2=3 .92

( x−3 )2+( y+2. 5 )2=15 . 21

Ejercicio 3. Obtén la ecuación de la circunferencia y graficarla si uno de sus puntos es A(-3,-3) y su centro es C(-1,-1)



El radio esta dado por r=dAC

dAB=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2

¿√ (−1−(−3 ))2+(−1−(−3 ))2

¿√ (−1+3 )2+ (−1+3 )2=√22+ (2 )2

¿√4+4=√8=2. 82


( x−h )2+( y−k )2=r2

(x−(−1 ))2+( y−(−1))2=(√8 )2

( x+1 )2+( y+1 )2=8

62

Ejercicio 4. Obtén la ecuación de la circunferencia y grafícala si uno de sus diámetros tiene como extremos los puntos A(-5,0), B(4,0)



PmAB=(x1+x2

2,y1+ y2

2 )¿(−5+4

2,02 )=

¿(−12,0)=(−0 .5,0 )

El centro de la circunferencia es C(-0.5,0)



dAB=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2=√ (4−(−5 ))2+(0 )2=√92=√81=9

r=92=4 .5

63


( x−h )2+( y−k )2=r2

(x−(−0. 5 ))2+( y−0 )2=4 . 52

( x+0 .5 )2+( y )2=20 .25

CLASE 14CIRCUNFERENCIA (APLICACIONES)

Ejercicio1. Una circunferencia tiene por centro C (3 , 32 )

y pasa por el punto A(1,-1), obtener la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto A. Dibujar las graficas.

Solución: Vamos a dibujar nuestro centro y nuestro punto A.Para que la recta que pasa por A sea tangente a la circunferencia, necesita ser perpendicular a la recta AC.

( x−h )2+( y−k )2=r2

(x−3 ))2+( y−1. 5 )2=10 .25

mrecta∗mAC=−1

mrecta=−1mAC

64

Calculo de mAC m= Δ altura

Δ base=

y2− y1

x2−x1

=1 .5−(−1 )

3−1=1 .5+1

2=2 .5

2=1 .25

Pendiente de la recta mrecta=− 1

mAC=− 1

1 .25=−0 .8

Sustituyendo valores en la ecuación punto pendiente (utilizando m y el punto A(1,-1)

y=m( x−x1 )+ y1

y=−0 .8 (x−1)+(−1)y=−0 .8 x+0 .8−1y=−0 .8 x−0 .2

Ejercicio 2. Tenemos una recta y=− x−3 y una circunferencia ( x+2)2+( y−2 )2=6a) Encontrar los puntos de intersección de la recta y la circunferencia utilizando el método grafico.b) Encontrar los puntos de intersección de la recta y la circunferencia utilizando el método de sustitución.

Solución:

a) Recta

circunferencia C(-2,2) r2 = 6 r = 2.44

65

x y=− x−3-5 y = -(-5)-3 = 5-3 = 20 y = -0-3 = -3

b) Tenemos nuestro sistema de ecuaciones

y=− x−3 ___1

( x+2)2+( y−2 )2=6 ___2

utilizando el método de sustitución

Raices

( x+2)2+( y−2 )2=6( x+2)2+(−x−3−2 )2=6( x+2)2+(−x−5)2=6( x2+4 x+4 )+( x2+10 x+25 )=6x2+4 x+4+x2+10 x+25=6x2+4 x+4+x2+10 x+25−6=02x2+14 x+23=0

x1=−2. 63x2=−4 . 36

Sustituyendo x en ec. 1

para x = - 2.63 para x = -4.36

y=− x−3y=−(−2. 63 )−3y=2. 63−3y=−0 .37A(−2 .63 ,−0 .37 )

y=− x−3y=−(−4 . 36 )−3y=4 .36−3y=1 . 36B(−4 . 36 ,1.36 )

Ejercicio 3. Tenemos una recta que pasa por los puntos A(2,7) y B(-5,0) y una circunferencia cuyo centro es C(-2,3) y r2 = 9a) Graficar la recta y la circunferencia en un mismo eje coordenado.b) Obtener las ecuacionesc) Encontrar los puntos de intersección de la recta y la circunferencia utilizando el método de sustitución.

Solución: a) b) Ecuación de la recta

m=−7

−7=1

Ecuación de la circunferenciaTomamos el punto A(2,7)

66

y=m( x−x1 )+ y1

y=1 (x−2)+7y=x−2+7y=x+5

( x−h )2+( y−k )2=r2

(x−(−2 ))2+( y−3 )2=9

( x+2 )2+( y−3 )2=9 c) Tenemos nuestro sistema de ecuaciones

y=x+5 ___1

( x+2)2+( y−3 )2=9 ___2

Utilizando el método de sustitución Raíces

( x+2)2+( y−3 )2=9( x+2)2+( x+5−3 )2=9( x+2)2+( x+2)2=9( x2+4 x+4 )+( x2+4 x+4 )=9x2+4 x+4+x2+4 x+4=9x2+4 x+4+x2+4 x+4−9=02x2+8x−1=0

x1=0. 12x2=−4 . 12

Sustituyendo x en ec. 1para x = 0.12 para x = -4.12

y=x+5y=0.12+5y=5 .12P1(0 .12 ,5. 12)

y=x+5y=−4 .12+5y=0. 88P2(−4 . 12 ,0 .88 )

CLASE 15ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Vamos a construir una elipse con el “Método del jardinero”.1. Fijamos dos puntos llamados focos.2. Amarramos un cordón a los focos y tensándolo con un lápiz dibujamos la figura.

67

La curva trazada se llama elipse

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.

Elementos de la elipse:

Focos. Puntos fijos de la elipse. (F1 y F2)

Eje mayor: Segmento de recta que pasa por los focos y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse, su longitud es 2a.

Eje menor: Es el segmento de recta que pasa por el centro de la elipse, perpendicular al eje mayor y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse, su longitud es 2b.

Centro de la elipse: Es el punto medio del eje mayor y del eje menor.

Vértices: Son los puntos que se ubican en los extremos del eje mayor. (V1,V2)

Distancia focal: Es la medida del segmento de recta que une a los dos focos y su longitud es 2c.

Lado recto: Es el segmento de recta perpendicular al eje mayor, que pasa por alguno de los focos

y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse. LR=2b2

a

Excentricidad: Es la relación de c entre a: e= c

a Un semieje es la mitad del eje.

¿Cuántos ejes tiene la elipse?______ 2 ______________________________________________¿Cuántos semiejes tiene la elipse?____ 4 ____________________________________________

La distancia del origen al vértice (a) es la misma que la distancia de b a c

Ecuaciones de la elipse con centro en el origen

Eje mayor sobre el eje x:x2

a2+ y2

b2=1

68

Eje mayor sobre el eje y:

x2

b2+ y2

a2=1

Ejemplo 1. Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (3,0) y eje mayor igual a 10.Calcular e y LR

Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 5,c = 3.

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√52−32=√25−9=4

sustituyendo valores en la formula:

x2

a2+ y2

b2=1

x2

52+ y2

42=1→ x2

25+ y2

16=1

e=35=0 .6

LR=

2( 4 )2

5=

2(16)5

=325

=6 . 4

Ejemplo 2. Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (-6,0) y eje mayor igual a 15. Calcular e y LR

Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 7.5,c = 6.

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√7 .52−62=√56 . 25−36=√20 .25=4 .5

69


x2

a2+ y2

b2=1

x2

7 .52+ y2

62=1→ x2

56 . 25+ y2

36=1

e= 67 .5

=. 8

LR=2( 4 .5 )2

7 . 5=

2(20 .25 )7 . 5

=40 . 57 .5

=5.4

Ejercicio 1. Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (-4,0) y un vértice en el punto (6.5, 0). Calcular e y LR

Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano

de acuerdo con los datos: a = 6.5,c = 4.

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√6 .52−42=√42 .25−16=√26 .25=5 .12


x2

a2+ y2

b2=1

x2

6 .52+ y2

5 . 122=1→x2

42 .25+ y2

26 .21=1

e= 46 .5

=0 .6

LR=2(5 . 12)2

6 .5=

2(26 . 21)6 . 5

=52. 426 . 5

=8 . 06

Ejercicio 2. Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0,7) y un vértice en el punto (0,9).Calcular e y LR.

Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 9.5,c = 7.

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√92−72=√81−49=√32=5 .65

70


x2

b2+ y2

a2=1

x2

5 .652+ y2

9. 52=1→ x2

31. 92+ y2

90.25=1

e= 79 .5

=0 .73

LR=2(5 . 65)2

9 . 5=

2(31 . 92)9 . 5

=63 . 849 .5

=6 .72

Ejercicio 3. Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0,-5) y b = 3. Calcular e y LR.

Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: b = 3,c = 5.

a2=b2+c2

a=√32−52=√9−25=√34=5 . 83


x2

b2+ y2

a2=1

x2

32+ y2

5 . 832=1→ x2

9+ y2

33 . 98=1

e= 55 .83

=0.85

LR=2(3 )2

5 .83=

2(9 )5. 83

=185 . 83

=3 .08

Ejercicio 4. Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice en el punto (0,7), LR = 4.Calcular e.

Solución: a = 7,

LR=2b2

a

4=2b2

714=b2

b=3 .74

a2=b2+c2

a2−b2=c2

√a2−b2=c√49−13 .98=c5 .91=c

71

x2

a2+ y2

b2=1

x2

49+ y2

14=1

e=5 .91

7=0. 84

CLASE 16ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

Ecuación de la elipse con centro en (h,k) con eje mayor paralelo a uno de los ejes coordenados.

Al desplazar la gráfica de la elipse en el plano, su forma y sus dimensiones no cambian, por lo que sus parámetros a, b, c y la suma de las distancias de cualquier punto que se encuentre sobre la elipse a los focos se conservan.

Elipse con centro C(h,k) fuera del origen y eje mayor paralelo al eje x (elipse horizontal):

72

La ecuación esta dada por:

( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

Elipse con centro C(h,k) fuera del origen y eje mayor paralelo al eje y (elipse vertical):

La ecuación esta dada por:

( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1

Ejemplo. Dibujar la elipse con centro en el punto (2, 3), un foco en (2, 6) y uno de sus vértices en (2, 8) y obtener:

a) Su ecuaciónb) ec) LR

Solución:

73

a) Elipse vertical

( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1

c=dCF1=|y2− y1|=|6−3|=|3|=3a=dCV 1=|y2− y1|=|8−3|=|5|=5

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√52−32

b=√25−9b=√16=4

h = 2k = 3

sustituyendo valores:

( x−2 )2

16+

( y−3 )2

25=1

b) e=3

5=0 .6

c) LR=

2( 4 )2

5=

2(16)5

=325

=6 . 4

Ejercicio 1. Dibujar la elipse con centro en el punto (-4, 2), un foco en (0, 2), e = 0.8 y obtener:a) Su ecuaciónb) LR

Solución:

74

a) Elipse horizontal

( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

c=dCF 2=|x2−x1|=|0−(−4 )|=|4|=4

e=ca

ea=c

a=ce=

40.8

=5

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√52−42

b=√25−16b=√9=3

h = -4k = 2


(x−(−4 ))2

25+

( y−2 )2

9=1

( x+4 )2

25+

( y−2 )2

9=1

b) LR=

2(3 )2

5=

2(9 )5

=185

=3 .6

Ejercicio 2. A partir de la ecuación:

( x−1 )2

16+

( y+2 )2

25=1

, encuentra sus elementos y grafícala.Solución:

75

En una elipse a siempre es mayor que b, por lo tanto la ecuación queda como ( x−1 )2

b2+

( y+2 )2

a2=1

, por lo tanto se trata de una elipse vertical con centro fuera del origen.

donde a2 = 25 → a = 5 b2 = 16 → b = 4

a2=b2+c2

a2−b2=c2

√a2−b2=c√25−16=c√9=c3=c

h = 1, k = -1, C(1, -2)

e=35=0 .6

LR=

2( 4 )2

5=

2(16)5

=325

=6 . 4

Ejercicio 3. Dibujar la elipse con centro en el punto (-6, -7), un vértice en (-6, 0), e = 0.6 y obtener:a) Su ecuaciónb) LR

76

Solución:

a) Elipse vertical

( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1

a=dCV 1=|y2− y1|=|−7−0 )|=|−7|=7

e=ca

ea=c(0 . 6)(7 )=c4 . 2=c

a2=b2+c2

b=√a2−c2

b=√72−( 4 .2 )2

b=√49−17 .64b=√31. 36=5.6

h = -6k = -7


(x−(−6 ))2

31 .36+

( y−(−7 ))2

49=1

( x+6 )2

31 .36+

( y+7 )2

49=1

b) LR=

2(5 . 6)2

7=

2(31 . 36)7

=62 .727

=8 . 96

Ejercicio 4. A partir de la ecuación:

( y−4 )2

4+

( x+8 )2

49=1

, encuentra sus elementos y grafícala.Solución:

77

Acomodando la ecuación:

( x+8 )2

49+

( y−4 )2

4=1

En una elipse a siempre es mayor que b, por lo tanto la ecuación queda como ( x+8 )2

a2+

( y−4 )2

b2=1

, por lo tanto se trata de una elipse horizontal con centro fuera del origen.

donde a2 = 49 → a = 7

b2 = 4 → b = 2

a2=b2+c2

a2−b2=c2

√a2−b2=c√49−4=c√45=c6 .7=c

h = -8, k = 4, C(-8, 4)

e=6 .77

=0 . 95

LR=2(2 )2

7=

2(4 )7

=87=1. 14

Unidad 5: La parábola y sus ecuaciones cartesianas.

78

CLASE 17PARABOLA Y SU ECUACION CARTESIANA.

Hoy en día es muy común encontrar parábolas tanto en fenómenos naturales como en el diseño de tecnología.

Por el desplazamiento bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra, los chorros y gotas de agua que salen de las fuentes forman bonitos arcos parabólicos.

Cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

En el diseño arquitectónico

La parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija D llamada directriz y un punto fijo F, llamado foco.

79

Elementos de la parábola:

Eje de simetría: Es la recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto que se encuentra a la mitad del foco y la directriz.

Distancia focal (p): Longitud que hay entre el vértice y el foco. (Su valor siempre es positivo).

Lado recto (LR): Segmento de recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría.LR = 4p

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y como eje de simetría uno de los ejes coordenadosTipo de parábola Abre hacia Ecuación Grafica

Vertical arriba x2=4 py

Vertical abajo x2=−4 py

Horizontal derecha y2=4 px

Horizontal izquierda y2=−4 px

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la directriz y de la parábola con vértice en el origen y foco en F (0, -5), dibujar la parábola.

Solución:

80

Parábola vertical, abre hacia abajo, su ecuación es: x2=−4 py

p = 5 ecuación de la directriz

x2=−4 pyx2=−4 (5) yx2=−20 y y=5 LR=4 (5)=20

Ejemplo 2. Determinar la ecuación de la directriz y de la parábola con vértice en el origen y foco en F (-7, 0)Solución:

Parábola horizontal, abre hacia la izquierda, su ecuación es: y2=−4 px

ecuación de la directriz

p = 7

y2=−4 pxy2=−4 (7 )xy2=−28 x x=7 LR=4 (7)=28

Ejercicio 1. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen cuya directriz es y=−6Solución:

81

Parábola vertical, abre hacia arriba, su ecuación es: x2=4 py

p = 6

x2=4 pyx2=4 (6) yx2=24 y LR=4 (6)=24

Ejercicio 2. Una parábola tiene por ecuación: y2=8 x , encontrar sus elementos y graficarla.

Solución:

La ecuación es de la forma y2=4 px , parábola horizontal que abre hacia la derecha.

por lo tanto

4 p=8p=2 LR=4 (2)=8 Directriz x=−2

Ejercicio 3. Una parábola tiene por ecuación: y2=−16 x , encontrar sus elementos y graficarla.

82

Solución:

La ecuación es de la forma y2=−4 px , parábola horizontal que abre hacia la izquierda.

por lo tanto

−4 p=−16p=4 LR=4 (4 )=16 Directriz x=4

Ejercicio 4. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen cuya directriz es x=3 .5

Solución:

Parábola horizontal, abre hacia la izquierda, su ecuación es: y2=−4 px

p = 3.5

y2=−4 pxy2=−4 (3 .5 )xy2=−14 x LR=4 (3.5 )=14

83

Ejercicio 5: Si los extremos del lado recto de una parábola son A(-4, 2) y B(4,2), encontrar sus elementos y graficarla.

Solución:

Parábola vertical, abre hacia arriba, su ecuación es: x2=4 py

LR=|4−(−4 )|=|4+4|=|8|=8LR=4 pLR4

=p

84

=p

2=p

sustituyendo valores

x2=4 pyx2=4 (2) yx2=8 y

directriz: y=−6

84

Clases de Matematicas 3

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