Matematicas Pre 3

7/23/2019 Matematicas Pre 3

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AUTORES:

CONCEPCIÓN GIL RAMOSANTONIO RUIZ LUJÁN



ÍNDICE:

UNIDAD 1 : LOS NÚMEROS NATURALES Pág.21.1. Orden de las operaciones

1.2. Potencias1.3. Mínimo común múltiplo. Máximo común denominador

UNIDAD 2 : LOS NÚMEROS ENTEROS Pág. 52.1.- Operaciones con números enteros2.2.- Potencias de números enteros.

UNIDAD 3 : LOS NÚMEROS RACIONALES Pág. 83.1.- Orden en los números racionales.3.2.- Simplificacin de fracciones

3.3.- Operaciones con números racionales3.!.- Operaciones com"inadas.

UNIDAD 4 : LOS NÚMEROS DECIMALES Pág. 12!.1.- Operaciones con números decimales!.2.- #a m$ltiplicacin % la di&isin por la $nidad seg$ida de ceros.

UNIDAD 5 : GEOMETRÍA : FIGURAS PLANAS . ÁREAS Pág. 15

5.1.- 'eorema de Pitágoras.5.2.- (ig$ras Planas. )reas.

EJERCICIOS RESUELTOS Pág. 18

OJETI!OS

*l o"+eti&o de este c$adernillo es el de ofrecer al al$mno de 3, de*SP la posi"ilidad de poder recordar los conocimientos /$e ad/$iri ens$ paso por la esc$ela. *l al$mno de"e iniciar s$ a$toaprendi0a+ereali0ando los e+ercicios /$e a/$í se le proponen las sol$ciones están alfinal pero no es con&eniente cons$ltarlas asta no a"er intentado resol&er los pro"lemas con a%$da de las indicaciones tericas. demás el profesor t$tor estará disponi"le para c$al/$ier d$da /$e s$r+a en las oras dedicadasa las t$torías indi&id$ales.

1



UNIDAD 1 : LOS NÚMEROS NATURALES

1.1. ORDEN DE LAS OPERACIONES#os parntesis.

*n ocasiones tienes /$e reali0ar &arias operaciones seg$idas4 para indicar c$ál esla /$e se reali0a primero podemos escri"irla entre parntesis.

*+emploa6 7! 26 3 9 8 3 9 2! Primero m$ltiplicamos ! 2

"6 72 : 36 : 1 9 5 : 1 9 ; Primero s$mamos 2 : 3c6 25 - 7< : 56 9 25 = 1! 9 11 Primero s$mamos < : 5d6 3 72 : !6 9 3 ; 9 18 Primero se s$man 2 : !e6 21 = ; 2 9 21 = 12 9 < >omo no a% parntesis de"emos reali0ar

primero la m$ltiplicacin ; 2f6 ! : < 3 9 ! : 3 9 : ? l no a"er parntesis acemos primero la

di&isin < 3.NOTA Primero reali0aremos las operaciones /$e están dentro de los parntesis. *ncaso de no a"er parntesis reali0aremos los prod$ctos % las di&isiones antes /$e lass$mas % las restas.

*@*A>B>BOS.1.1 Aeali0ar las operaciones sig$ientes16 1; : 12 2 26 38 : ! = !C 36 7! = 36 : 5 !6 71; ! : 26 !56 72 : ! !6 = 3 ;6 28 ? : 3 2 ?6 5 = ! 73 = ; 36 86 7? = 36 2 : 1 7< 3 : !6

1.2.- POTENCIAS1.2.1. efinicin de potencia

Dna potencia es $na forma a"re&iada de escri"ir el prod$cto de $n número por símismo &arias &eces

E an se lee a ele&ado a n % significa a · a · a ......·a 7n &eces6 E

*l número FFaGG se denomina "ase % FFnGG exponente.

*+emplo 23 se lee 2 ele&ado al c$"o 7o a 36 % es lo mismo /$e 222

1.2.2. Operaciones con potencias Aeglas para operar potencias

Producto de potencias de

igual base

an . am = an+m

*+emplo

32 33 9 35 9 2!3

Producto de potencias de

igual exponente

an . bn 9 7a .·b6n 23 33 9 72 363 9 ;3 9 21;

Cociente de potencias de

igual base

an : am = an-m ?! ?3 9 ?! =3 9 ?1 9 ?

Cociente de potencias de

igual exponente

an : bn 9 7a : b6n <! 3! 9 7< 36! 9 3! 9 81

Potencia de una potencia 7an6m 9 an·m 72362 9 232 9 2; 9 ;!

2



3



HO' Para s$mar o restar potencias no a% ning$na regla /$e simplifi/$e laoperacin. *+emplo 23 : 2! 9 8 : 1; 9 2!.

*@*A>B>BOS.1.2 plicar las propiedades anteriores % calc$lar

<6 52

!2

9 1C6 1C5

1C3

9 116 85

83

9 126 723

62

9

136 32 732639 1!6 52 253 9 156 !<3 ?2 9

1.3.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. MÁ"IMO COMÚN DENOMINADOR.

1.3.1.- Múltiplos de $n número

Son los números /$e res$ltan de m$ltiplicar dico número por otro númeronat$ral c$al/$iera.

*+emplo los múltiplos de ! son M7!6 9 IC ! 8 12 1; .....J

1.3.2.- i&isores de $n número

Son los números por los /$e se p$ede di&idir n$estro número siempre /$e ladi&isin sea exacta es decir al di&idir el resto de"e dar C.*+emplo 3; 3 9 12 entonces 3; es di&isi"le por 3 o 3 es di&isor de 3;.

1.3.3. Húmeros primos % números comp$estos.

- Húmeros primos son los números /$e slo se p$eden di&idir de forma exacta por la $nidad % por ellos mismos.

- Húmeros comp$estos son los /$e tienen &arios di&isores al menos $no mása parte del 1 % de ellos mismos.

*+emplo - *l número 1? slo p$ede di&idirse por 1 % por 1? . *s $n número primo.- *l número 12 es di&isi"le por 1 % 12 % además por 23! % ; . *s $n número

comp$esto.

1.3.!. escomposicin factorial

Kamos a allar todos los di&isores primos de $n número comp$esto. Para ello procedemos de la sig$iente forma

1.- Kamos di&idiendo n$estro número por los distintos números primos demenor a ma%or anotando a/$ellos para los /$e la di&isin sea exacta.2.- contin$acin encadenamos los di&isores asta o"tener 1 en el cociente.

!



*+emplo: Dividendo : divisor = cociente

2! 2 9 12 Pondremos 12 2 9 ; ; 2 9 3

3 3 9 1

#os di&isores primos p$edenaparecer más de $na &e0 comooc$rre con el 2 . *sto se escri"irá 2! 9 23 3 1

1.3.5. Máximo común di&isor.

*l máximo común di&isor de dos o más números es el ma%or de los di&isorescom$nes de dicos números. Se calc$la- escomponemos en factores primos los números.- *l M.>. será el prod$cto de los factores primos com$nes al menor

exponente.

*+emplo1 >alc$la el M> de los números 28 % 35.

?1?635287..1?535

1?228 2

==

==

DC M

*+emplo2 >alc$la el M> de los números 8 % <.

16<87..132<

1238=

=

= DC M

*n este caso como el único di&isor común es el 1 se dice /$e los números son

primos entre sí.

1.3.;. Mínimo común múltiplo

*l mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiploscom$nes de dicos números. Se calc$la- escomponemos en factores primos los números.- *l m.c.d será el prod$cto de los factores primos com$nes ele&ados al ma%or

exponente % de los no com$nes .*+emplo calc$la el m.c.m. de los números 3C % !5.

<C15326!53C.7..153!5

15323C2

2==

=

=mcm

*@*A>B>BOS.1.3 >alc$lar el M.>. % el m.c.m. de los sig$ientes números

1;6 12 % 18 1?6 !! % 33 186 1C % 211<6 ; 1! % 18 2C6 25 !2 % 35 216 21C 1C5 % 35

5

2!12

;

31

222

31



DHB 2 #OS HLM*AOS *H'*AOS

#os números nat$rales se consideran como enteros positi&os da lo mismo decir5 /$e : 5 . Por cada entero positi&o se aade el correspondiente entero negati&o así de: 12 tendremos = 12 de 13? tendremos = 13? etc.

#os números enteros estarán formados por enteros positi&os enteros negati&os% el cero.

#a representacin en la recta.Dn entero negati&o se coloca a la i0/$ierda del cero.

-# -5 4 -3 -2 -1 $ 1 2 3 4 5 #

sí p$es -5 es menor /$e - 3.

Kalor a"sol$to de $n número entero. *s el número nat$ral /$e sig$e al signo. Se indica con dos "arras

!!

!!

=+

=−

sí p$es el &alor a"sol$to de = 8 será 8 % el de : 123 será 123.

2.1.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.

2.1.1.- S$mas % resta.

1. Si los números tienen el mismo signo se s$man % se pone el mismo signo .*+emplos :2 : 5 9 : ?

- 3 - ! 9 - ?

2. Si los números tienen distinto signo se restan los &alores a"sol$tos % se poneel signo del /$e tenga ma%or &alor a"sol$to.*+emplos : ! = < 9 -5 4 -3 : 8 9 : 5

- ! : < 9 :5 4 :3 = 8 9 - 5

3. Si tenemos &arios números antes de aplicar 1 2 agr$pamos los números positi&os por $n lado % los negati&os por otro.*+emplos

1! = 5 : 12 = ? : ; = 8 9 71! : 12 : ;6 = 75 : ? :86 9 32 = 2C 9 128 = 2C : 2 = 35 = 1 9 78 : 26 = 72C : 35 :16 9 1C = 5; 9 - !;

*@*A>B>BOS.2.1.1

16 1C = ? 9 26 = 1C : ? 9 36 5 = ! : 3 9 !6 = ? = 2 : 5 : 3 956 =2C : 35 = 23! : 12C 9 ;6 =12 = 1! =18 =2C : ! 9

?6 12 = 1! = 25 : 32 : 2 9 86 ! = 2 =8 : 5 : 21 : 13 9

;



2.1.2.- Prod$ctos.1.Se m$ltiplican en primer l$gar los signos sig$iendo esta regla

7:67:6 9 : 7:67-6 9 - 7-6 7:6 9 -

7-6 7-6 9 :2.desp$s se m$ltiplican los números en &alor a"sol$to

Hota no se p$eden escri"ir dos signos seg$idos sin $tili0ar parntesis.*+emplos 3 -! Mal 3 7 - ! 6 Nien

3 : - ! Mal 3 : 7- ! 6 Nien

*+emplosa6 = ?2 3 9 - 7 ?236 9 - 21; "6 7 - 56 7 - ! 6 9 : 7 5!6 9 : 2Cc6 3 7 - ! 6 5 9 - 7 3!56 9 - ;C d6 = 237-!6 9 : 7 23!6 9 : 2!

*@*A>B>BOS.2.1.2 *fectúa las sig$ientes operaciones

<6 2 7-365 9 1C6 =27-567-!6 9 116 =837-!6 9 126 = 7 - 56 9136 7-567-167-26 9 1!6 7-26359 156 ! 7-167-;67-26 9

2.1.3.- Operaciones com"inadas con números enteros.

Operaciones sin paréntesis.

- Se de"en efect$ar en primer l$gar las m$ltiplicaciones 4 en $na seg$ndaetapa las s$mas % restas. O"ser&a

a6 8 = 2 3 9 8 = ; 9 2 "6 5 : ! 2 9 5 : 8 9 13c6 5 2 =12 9 1C = 12 9 - 2- Se emplean poco los dos p$ntos para la di&isin. Si aparecen con las demás

operaciones se efectúan en primer l$gar las m$ltiplicaciones % di&isionescomen0ando de i0/$ierda a dereca. O"ser&a

a6 12 2 = < 9 ; = < 9 - 3 "6 ! 3 = ; 2 : ! 9 12 = 3 : ! 9 712 : !6-7 3 6 9 1; = 3 9 13c6 8 = !3 : 12 ; = 2 9 8 = 12 :2 = 2 9 7 8 : 2 6 = 7 12 : 2 6 91C-1!9- !


1;6 8 = 2 3 ! 9 1?6 12 ! = ! 9 186 < = < 2 91<6 12 = ! 2 9 2C6 15 = 2C ! 9 216 25 5 = 5 : 8 !9226 15 3 = ; 3 : 5 3 = 1C 5 9

Operaciones con paréntesis.

- Se resol&erán en primer l$gar los parntesis dentro de los c$ales a% slonúmeros.

- Si a% $nos parntesis dentro de otros se de"e ir de dentro acia f$era.O"ser&aa6 ! = 2 7 5 = 16 9 ! = 2! 9 ! =8 9 - !

"6 12 7 5 = 16 = ! 9 12 ! = ! 9 !8 = ! 9 !!

c6 7 - 5 = ? 6 7 - 2 6 = 5 9 7 -126 7 - 2 6 = 5 9 : 2! = 5 9 1<d6 12 3 = 7 5 = 3 2 6 2 : 3 = ; 2 9 12 3 = 7 5 = ; 6 2 :3 =3 9

9123-7-162 : 3 = 3 9 12 3 : 2 : 3 = 3 9 12 5 :3-3 9 ;C:3-39;C

?



*@*A>B>BOS.2.1.3 *fectúa las sig$ientes operaciones236 3 7! 5 = 126 = 12 9 2!6 5 = 2 71C = 23 26 : ; = ?C 9256 3 =2 = 73 ! = !6 : 37- 56 = 1C9 2;6 712 3 : ;6 3 = 2 5 92? 6 2 73 !6 7- 26 : 3 75 = 5 ;6 9 286 5 = 1; 8 73 ! : !6 9

2<6 = ! 3 ; : 2 = 2 - 1 = 7- 2 = 16 9

2.2.- POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS.Potencias de "ase entera % exponente nat$ral7: 26! 9 7:267:267:267:26 se lee FFmás dos ele&ado a c$atroGG7- 263 9 7- 267- 267- 26 se lee FFmenos dos ele&ado a tresGG

Potencias de base

positiva

Siempre son positi&as 7: 562 9 7: 56 7: 56 9 :25 9 52

7: 263 9 7: 26 7: 26 7: 26 9 8 9 23

Potencias de base

negativa

exponente par

Siempre son positi&as 7- 2 62 9 7- 26 7- 26 9 : ! 9 22

7- 2 6! 9 7- 26 7- 26 7- 267- 269 : 1; 9 2!

Potencias de base

negativa

exponente impar

Siempre son negati&as 7- 263 9 726 7- 26 7-26 9 - 8 9 - 2 3

7- 363 9 7-36 7-36 7-36 9 - 2? 9 - 33

Hota las reglas para operar potencias est$diadas en la $nidad de números nat$rales sonaplica"les a los números enteros.

2.2.1.- Operaciones con potencias.

*n el caso de aparecer en $na operacin com"inada potencias a"rá /$e reali0ar primero stas. Si es el parntesis el /$e está ele&ado a $na potencia a"rá /$e reali0ar primero el parntesis % desp$s la potencia. *+emplos

a6 ! = 3 22 9 ! = 3 ! 9 ! = 12 9 - 8 "6 = 1 = 2 7! = ; 362 9 - 1 = 2 7! = 262 9 - 1 = 2 7262 9 -1 = 2 7!6 9 - 1= 8 9 - <

>OH>#DSBOH*S (BH#*S

Para operar con números enteros seg$iremos la sig$iente J%&'&()*' +% O,%&'*/%0

7o prioridad de las operaciones6:16 S$mas % rectas. Parntesis26 Potencias36 M$ltiplicacin % di&isin!6 S$mas % restas


3C6 7- 263 22 7- 56 = 7- 562 7-16 9316 22 : 7-562 - 7-!62 9326 23 22 = 7-263 7-262 9336 ! 32 : 7-165 : 7-163 7-563 9

3!6 2 1C : 7-1652

: 7-262

7-562

9356 3 = 2 I2 = ! 2 7- 56 = 5J : 7- !6 52 93;6 7-2!6 7- !6 : 7-2!6 ! 9

8



DHB 3 #OS HLM*AOS A>BOH#*S

) %0 )/' &'*/6

1.- S$pongamos /$e tengo $n pastel lo corto en c$atro tro0os ig$ales % me como $na

parte . *sto podemos expresarlo con $n número !

1

4 de tal forma /$e el ! se llamadenominador e indica las partes en /$e di&idimos la $nidad % el 1 se llama n$merador eindica las partes /$e tomamos.

QR$ parte nos /$edará . P$es !

3

.

sí en general diremos /$e

b

a

es $na fraccin dondeb

es el denominador e indica las partes en /$e sedi&ide la $nidad % a es el n$merador e indica las partes /$e se toman.

2.- #a fraccin b

a

tam"in representa al número decimal /$e se o"tiene al di&idir a

entre b .

*+emplo !

3

9 CT?5 . P$es al di&idir 3 entre ! o"tengo CT?5.

F&'*/%0 +% /78%&0 %/9%&0.

'oda fraccin de números enteros se p$ede escri"ir como $na fraccin de

números nat$rales /$e será positi&a si el n$merador % el denominador tienen el mismo

signo % negati&a si tienen distinto signo.

*+emplo

5

3

5

3−=

−8

5

8

5−=

− <

?

<

?=

−−

3.1.- ORDEN EN LOS NÚMEROS RACIONALES.

!racciones con el mismonumerador *s menor la /$e tiene ma%or denominador *+emplos

3

8

5

8<

!racciones con el mismo

denominador

*s menor la /$e tiene menor denominador ?

5

?

3<

!racciones con distinto

numerador denominador

1.Se s$stit$%en las fracciones por otras e/$i&alentes con ig$aldenominador.2.Se aplica la ordenacincorrespondiente para fraccionescon el mismo denominador.

;

!

<

2

se transforman en

18

12

18

!

7 !%& /9' 6

l$ego 18

12

18

!<

entonces ;

!

<

2<

<



1C



N9'. C8 &%+)*& ' 87/ +%/8*/'+& +0 80 &'*/%0 /+%/8*/'+&%0 +*09*/90.

Para red$cir a común denominador dos o más fracciones procederemos de la

sig$iente forma16 >alc$lamos el m.c.m. de los denominadores.26 >ada fraccin se amplía m$ltiplicando s$s trminos por el res$ltado de di&idir el

mínimo común múltiplo de todos los denominadores por el s$%o propio.*+emplo

;

!

<

2

el m.c.m.7< ;6 9 1818 < 9 2 % 18 ; 9 3 entonces

18

!

2<

22

<

2==

% 18

12

3;

3!

;

!==

*@*A>B>BOS.3.1 >omparar entre sí los sig$ientes pares de fracciones

16 8

2

8

11

26 15

8

12

8

36 25

2!

2!

23−

!6 <

?

8

;

56 1C

12

12

1C

;6 ;

1

8

1

?6 ;

?

15

?

2C

<

86 <

?

;

5

!

3−−−

3.2.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Para simplificar $na fraccin

- se calc$la el M.>.. del n$merador % del denominador - se di&ide n$merador % denominador por el M.>..*+emplo

==1!!2

1!28

!2

28

3

2

fraccin simplificada

↑ 1!6!228.7.. = DC M

3.3.- OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

3.3.1.- S)8' ; &%09' +% &'*/%0. E<%8,=

Con el mismo

denominador

1.Se s$man %Uo restan los n$meradoresde+ando el mismo denominador.2.Se simplifica la fraccin.

13

3

3

!?

3

!

3

?

3

11

3

!?

3

!

3

?

==−

=−

=+=+

Con distinto

denominador

1.#os números enteros se con&ierten enfracciones.2.#as fracciones se red$cen a comúndenominador 3.Se s$man %Uo se restan las fracciones7con igual denominador 6.

!. Se simplifica el res$ltado.

;

13

212

22;

12

2;

12

!3C

12

!

12

2!

12

;

3

1

1

2

!

2

3

12

!

3

===

=−

=−+=

=−+=−+

11



3.3.2.- P&+)9> *%/9% ; ,9%/*' +% &'*/%0 E<%8,=

Producto Se m$ltiplican los n$meradores % elres$ltado es el n$merador se m$ltiplicanlos denominadores % el res$ltado es el

denominador

d b

ca

d

c

b

a

=

===12

15

;2

53

;

5

2

3

7simplificamos6

!5

312315 ==

Cociente Se m$ltiplica la primera fraccin por lain&ersa de la seg$nda. 7Ker nota6.

cb

d a

c

d

b

a

d

c

b

a

==

8

15

!2

53

!

5

2

3

5

!

2

3===

7esta %aestá simplificada es irred$ci"le6

Potencia Para ele&ar $na fraccin a $na potencia seele&a el n$merador % el denominador adica potencia.

ba

ba

n

nn

=

;!

2?

!

3

!

33

33

==

N9'. F&'*/ */?%&0' +% )/' +'+'.

os fracciones son in&ersas c$ando s$ prod$cto es ig$al a la $nidad.

#a fraccin in&ersa de b

a

es a

b

% &ice&ersa.

*+emplo 5

3

s$ in&ersa es 3

5

p$es1

15

15

35

53

3

5

5

3===

*@*A>B>BOS.3.3.2 Aeali0ar las sig$ientes operaciones

<6 2

5

2

3+

1C6 2

5! −

1165

15

8−

126 2

5

8

3−−

136 35

21

1!

1

1C

?++

1!63

15

8

1C

?−+

156 <

!

2

3

−−

1;6 !

3

2

3 −

1?6 28

35

1!

5

1C

?

186

3

5

31

8

!

?

−

−

3.4.- OPERACIONES COMINADAS.

>$ando a% $na serie de operaciones com"inadas a% /$e aplicar la regla de prioridad de las operaciones % las reglas /$e emos &isto antes.

Aecordamos

12



13

Prioridad de las operaciones

1.- Parntesis2.- Potencias3.- M$ltiplicacin % di&isin!.- S$mas % restas

*n caso de ig$al prioridad seopera de i0/$ierda a dereca.



*+emplo

=

−−− 8

!

35

3

11!

?

32

para resol&erlo seg$imos este proceso

9 −21!

?

3

57

3

1−

-8

!

3

6 9 −2 ?

!2

( −− 5

3

1

!

2!

69 −2

3

1;−

75 = ;6 9

7 las fracciones se an simplificado para facilitar los cálc$los 6

9=−−− 617

3

1;2

=+−

3

1! =+−

3

1

1

!=+−

3

1

3

12

=

+−3

112

3

11−

m.c.m.71 36 9 3

*@*A>B>BOS.3.! *fectúa las sig$ientes operaciones con fracciones

1<6=

−+−

!

123

8

5

2C6=

−

+−

!

123

8

5

216=−

+−

!

123

8

5

226=

+−

2

12

1C

3

;

5

236=

+−

2

12

1C

3

;

5

2!6=

+−

2

12

1C

3

;

5

256

=

+−2

5

3

2

1C

3

;

5

2;6

=−

5

;

3

1

5

3 2

2?6 ( ) =−− 2

2

1

2

1

2

1 2

1!



DHB ! #OS HLM*AOS *>BM#*S

Sea el número 23T1! ste es $n número decimaltal /$e

- la parte entera es 23- la parte decimal es 1!la coma separa la parte entera de la parte decimal.

Dn número decimal se p$ede descomponer como de &arias formas alg$nas de

ellas son

23T1! 9 23 : CT1! 9 23 $nidades % 1! centsimas23T1! 9 2C : 3 : CT1 : CTC1 9 2 decenas 3 $nidades 1 dcima % ! centsimas

Sistema de n$meracin

M"ltiplos de la unidad

1 decena 9 1C $nidades1 centena 9 1CC $nidades1 millar 9 1 CCC $nidades etc.

#ubm"ltiplos de la unidad

1 dcima 9 1C

1

9 CT1 $nidades

1 centsima 9 1CC

1

9 CTC1 $nidades

1 milsima 9 1CCC

1

9 CTCC1 $nidades

1 die0milsima 9 1CCCC

1

9 CTCCC1 $nidadesetc.

4.1.- OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

4.1.1. S)8' ; &%09'

Para s$mar o restar números decimales se escri"en $no de"a+o del otro de forma

/$e las comas decimales estn alineadas. contin$acin se s$man o restan como los

números nat$rales % se coloca la coma decimal alineada.

*+emplo 2T3; !T32

: 1T23 - 1T12

3T5< 3T2C

15



4.1.2. M)=9*,=*'*/

Para m$ltiplicar dos números decimales se m$ltiplican como si f$eran números

nat$rales % al res$ltado se le coloca la coma decimal de forma /$e tendrá tantas cifras

decimales como la s$ma de las cifras decimales de los factores.

*+emplo 2T12

× 1T3

; 3 ;

2 1 2

2V? 5 ;

4.1.3. D*?*0*/

Para di&idir dos números decimales tenemos /$e eliminar la coma decimal del

di&isor para ello m$ltiplicamos el di&idendo % el di&isor por 1C 1CC 1CCC ..asta /$e

el di&isor se con&ierta en $n número nat$ral. contin$acin se ace la di&isin como si

de números nat$rales se tratase % c$ando se "a+e el trmino /$e lle&a la coma decimal

pondremos la coma en el di&isor.

*+emplo 2? V !2

*n primer l$gar /$itamos la coma del di&isor m$ltiplicando di&idendo %di&isor por 1C.

2?!T 2

3! 22T8 1C2

C;

4.1.4. P9%/*'

Dna potencia de $n número decimal es m$ltiplicar ese número por sí mismotantas &eces como indica el exponente.

*+emplo 71T263 9 1T2 1T2 1T2 9 1T?28

*@*A>B>BOS.!.1 Aeali0a las sig$ientes operaciones con números decimales sin acer $so de la calc$ladora

16 23T5; : 2T35; : CT235; 9 26 1?T28 = 5TC3 9 36 !3 : CT5 : 1CT3 = 53TC; 9

!6 2?8T3! 1T2 9 56 1!T2 3TC1 9 ;6 2;T52 1T3 9

?6 2T3 : 71T! 2 CT!6 = 72T162 9 86 12T;! 5T2 9 <6 2!1T1; 2T11 9

1;

1T 2

12



1?



4.2.- LA MULTIPLICACIÓN @ LA DI!ISIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DECEROS.

!.2.1.- l m$ltiplicar $n número por la $nidad seg$ida de ceros se m$e&e lacoma tantos l$gares a la dereca como ceros a%a.

*+emplos ;T!5;1 1CC 9 ;!5T;1321T21 1CCC 9 321 21C1?T1? 1C2 9 1 ?1? 7 p$es 1C2 es 1C 1C 9 1CC 6

!.2.2.- l di&idir $n número por la $nidad seg$ida de ceros se m$e&e la comatantos l$gares a la i0/$ierda como ceros a%a.

*+emplos ;!5T;1 1CC 9 ;T!5;1321 21C 1CCC 9 321T21C1 ?1? 1C2 9 1?T1?

!.2.3.- l m$ltiplicar $n número por $na dcima o $na centsima o $namilsima etc. se m$e&e la coma tantos l$gares a la i0/$ierda como decimalesa%a en el seg$ndo factor.

*+emplos ;!5T;1 CTC19 ;T!5;13 212T1 CTCC1 9 3T21211?1T? 1C-3 9 CT1?1? 7p$es 1C-3 9 CTCC1 por ser el exponente negati&o6

!.2.!.- l di&idir $n número por $na dcima o $na centsima o $na milsimaetc. se m$e&e la coma tantos l$gares a la dereca como decimales a%a en el

di&isor.

*+emplos ;T!5;1 CTC1 9 ;!5T;132T121 CTCC1 9 32 1211T?1? 1C-2 9 1?1T?

*@*A>B>BOS.!.2 Aeali0a las sig$ientes operaciones sin acer $so de la calc$ladora.

1C6 5T2; 1CCC 9 116 5T2; 1CC 9 126 5T2; CT19 136 5T2; CTC1 9

1!6 !T25 1CC = 12T2 1C : 3T2 CT1 9 156 28T12 1C = 3T1! 1C :!5; CTC1 9

18



DHB 5 W*OM*'AX (BWDAS P#HS.)A*S

5.1.- TEOREMA DE PITÁGORAS

*n $n triáng$lo rectáng$lo la ipoten$sa al c$adrado es ig$al a la s$ma de losc$adrados de los catetos

$

C 1 $ % = c% + c%

C 2*+emplo

*n $n triáng$lo rectáng$lo la ipoten$sa mide 13 cm. % $no de los catetos mide5 cm.Q>$ánto mide el otro cateto

>omo $ 2 9 c2 : c2 entonces132 9 52 : c2 1;< 9 25 : c2 de donde c2 9 1;< - 25 9 1!! ⇒ c 9 12 cm.

*@*A>B>BOS 5.1

16 >alc$lar la ipoten$sa si los catetos miden 1; cm. % 12 cm. respecti&amente.26 *n $n triáng$lo rectáng$lo la ipoten$sa mide 35 cm. % $n cateto 28 cm.

>alc$lar el otro cateto.

5.2.- FIGURAS PLANAS. ÁREAS:

TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO

&

l & b b

' 2

.&b

' l 2 ' b · &

TRAPECIO ROMO PARALELOGRAMO

b

D &

& d b

(

' &

b (

.2

+

' 9 2

.d D

' = b &

1<



BE"ÁGONO CIRCUNFERENCIA @ CIRCULO

a r

l

n lados

P 9 n l ) 9 r ..2 π

' 9 2

2

al na P =

' 92. r π

*@*MP#OS

1.- >alc$la el área de $n triáng$lo si s$ alt$ra es de 3 cm. % s$ "ase de 5 cm.

#a frm$la para el área es ' 2

.&b

4como " 9 5 % 9 3 ⇒

25.?2

15

2

3.5cm==

.

2.- Q>$anto &ale el lado de $n c$adrado de !<cm2 de área

plicamos la frm$la del c$adrado ' = l % ⇒ !<9 l2⇒

l 9 .?!< cm=

3.- >alc$la el área de $n rectáng$lo si s$ alt$ra es de 3cm. % s$ "ase de 5 cm.#a frm$la para el área es ' b · & como " 9 5 % 9 3 ⇒ 9 5 3 9 15 cm.

!.- >alc$la el área de $n trapecio si s$ alt$ra es de !cm. s$ "ase menor de 5cm. % s$ "ase ma%or 12 cm.

#a frm$la para el área es ' &

b (.

2

+

⇒

23!!.2

125cm=

+

5.- >alc$la el área de $n rom"o si la diagonal ma%or mide 12 cm. % la diagonal menor mide 8cm.

#a frm$la para el área es ' 9 2

.d D

como 9 12 cm % d 98 cm ⇒ 9

2!82

8.12cm=

;.- >alc$la el área de $n paralelogramo si s$ alt$ra es de ;cm. % s$ "ase de 8cm.#a frm$la para el área es 9 " como 9; cm. % " 98 cm.

⇒ 9 ; 8 9!8 cm2

?.- >alc$la el perímetro % el área de $n exágono reg$lar /$e tiene de apotema !Y33 cm.% s$ lado 5 cm.#a frm$la para el perímetro P 9 ; 593C cm.


a P

⇒ 9

2<5Z;!2

33Z!3Ccm=

8.- >alc$la la longit$d de $na circ$nferencia % el área del círc$lo de $na circ$nferenciade radio 5cm.

2C



#a frm$la para la longit$d de la circ$nferencia es # 9 cmr !Z3151!Z322 ==π

#a frm$la para el área del círc$lo es ' 222 5Z?851!Z3 cmr ==π

*@*A>B>BOS.5.2

36 >alc$la el área de $n triáng$lo si s$ alt$ra es de 12 cm. % s$ "ase de 15 cm.

!6 *n $n triáng$lo la alt$ra mide 3 cm. % el área ?T5 cm2. >alc$la la "ase.

56 Q >$anto &ale el lado de $n c$adrado de 12T25 cm2 de área

;6 Q etermina el área de $n c$adrado de 13 cm de lado

?6 >alc$la el área de $n rectáng$lo si s$ alt$ra es de ; cm. % s$ "ase de ? cm.

86 Si en $n rectáng$lo el área mide !2 cm2 % la alt$ra 1! cm. c$anto mide la "ase.

<6 >alc$la el área de $n trapecio si s$ alt$ra es de 5cm. s$ "ase menor de !cm. % s$ "asema%or 8 cm.

1C6 etermina la alt$ra de $n trapecio si s$ área es de ;8 cm2 s$ "ase menor de 5 cm. %s$ "ase ma%or 12 cm.

116 >alc$la el área de $n rom"o si la diagonal ma%or mide 23 cm. % la diagonal menor mide 18 cm.

126 Si el área de $n rom"o mide ?5 cm2 % la diagonal menor mide 8 cm.c$anto mide ladiagonal ma%or

136 >alc$la el área de $n paralelogramo si s$ alt$ra es de 2; cm. % s$ "ase de 18 cm.

1!6 *l área de $n paralelogramo mide 18C cm2 si s$ alt$ra es de 15 cm. calc$la la "ase.

156 >alc$la el perímetro % el área de $n pentágono reg$lar /$e tiene de apotema 8T2;cm. % s$ lado 12 cm.

1;6 >alc$la el perímetro % el área de $n octágono reg$lar /$e tiene de apotema <T;; cm.% s$ lado 8 cm.

1?6 >alc$la la longit$d de $na circ$nferencia % el área del círc$lo de $na circ$nferenciade radio 33 cm.

186 >alc$la la longit$d de $na circ$nferencia % el área del círc$lo de $na circ$nferenciade radio 21 cm.

21



EJERCICIOS RESUELTOS

Sol$cin de los e+ercicios prop$estos en esta g$ía

*@*A>B>BOS 1.116 1; : ; 9 22 26 !2 = !C 9 2 36 1 : 5 9 ; !6 7! : 26 ! 9 ; ! 9 2!56 72 : 16 = 3 9 3 = 3 9 C ;6 ! : ; 9 1C?6 5 = ! 73 - 26 9 5 = ! 1 95 = ! 9 1 86 ! 2 : 1 73 : !6 9 8 : 1 ? 9 8 : ? 9 15

*@*A>B>BOS 1.2

<6 75 !62 9 2C2 9 !CC 1C61C5 1C3 9 1C2 116 85 83 9 85-3 9 82

126 72263 9 22.3 9 2; 136 32 32.3 9 32 3; 9 32:; 9 381!6 52 75263 9 52 52.3 9 52.5;

9 52:; 9 58 156 7?263 ?2 9 ?; ?2 9 ?;-2 9 ?!

*@*A>B>BOS 1.3.

1;6 12 9 22 3 18 9 2 32 M.>.712186 9 2 3 9 ; % m.c.m 712186 9 22 32 9 3;

1?6 !! 9 22 11 33 9 3 11 M.>..7!!336 9 11 % m.c.m.7!!336 922 3 11 9 132

186 1C 9 2 5 21 9 3 ? M.>..71C216 9 1 % m.c.m.71C216 9 2 3 5 ? 9 21C

1<6 ; 9 2 3 1! 9 2 ? 18 9 2 32 M.>..7;1!186 9 2 % m.c.m.92 32 ? 9 12;

2C6 25 9 52 !2 9 2 3 ? 35 9 ? 5 M.>..9 1 % m.c.m.92 3 52 ? 9 1C5C

216 21C 9 2 3 5 ? 1C5 9 3 5 ? 35 9 5 ? M.>.. 9 5 ? 9 35 %

m.c.m.=2 3 5 ? 9 21C

*@*A>B>BOS 2.1.116 3 26 =3 36 5 : 3 = ! 9 8 = ! 9 ! !6 5 : 3 - 7? : 26 9 8 = < 9 -156 35 : 12C - 72C : 23!6 9 155 = 25! 9 - << ;6 ! - 712 : 1! : 18 : 2C6 9 ! = ;! 9 -;C?6 12 : 32 : 2 - 71! : 256 9 !; = 3< 9 ? 86 ! : 5 : 21 : 13 - 72 : 86 9 !3 = 1C 9 33

*@*A>B>BOS 2.1.2<6 - 72 3 56 9 - ; 5 9 - 3C 1C6 - 72 5 !6 9 - !C 116 : 78 3 !6 9 <; 126:5

136 - 75 1 7- 266 9 1C 1!6 - 72 3 56 9 - 3C 156 - 7! 1 ; 26 9 - !8*@*A>B>BOS 2.1.31;6 8 = 2! 9 - 1; 1?6 !8 = ! 9 !! 186 < = 18 9 - < 1<6 12 = 2 9 1C2C6 15 = 5 9 1C 216 5 = 5 : 2 9 ? = 5 9 2 226 5 = 2 : 15 = 2 9 2C = ! 9 1;236 3 72C - 126 = 12 9 3 8 = 12 9 2! = 12 9 12 2!6 5 = 2 71C - !;6 : ; = ?C 95 = 2 7- 3;6 : ; - ?C 9 5 : ?2 : ; = ?C 9 13 256 3 - 2 - 712 - !6 - 15 = 1C 9

3 - 2 = 8 - 15 = 1C 9 3 : 21 = 1C 9 1! 2;6 73; : ;6 3 = 1C 9 !2 3 = 1C 91! = 1C 9 ! 2?6 2 12 7-26 : 3 75 - 3C6 9 - !8 : 3 7-256 9 - !8 - ?5 9 - 123286 5 = 2 712 : !6 9 5 = 2 1; 9 5 = 32 9 -2? 2<6 = ?2 : 2 = 2 - 1 : 3 9 - ?2 : 2

= 2 2 9 -?2 : 2 = ! 9 -?!

22



*@*A>B>BOS 2.2.13C6 = 8 ! 7-56 : 25 9 - 8 7-2C : 256 9 -8 5 9 -!C316 22 : 7-562 - 7-!62 9 ! : 25 - 1; 9 2< = 1; 9 13326 23 22 - 7-263 7-262 9 8 ! - 7-265 9 8 ! : 32 9 8 3; 9 288336 ! 32 : 7-165 : 7-163 7-563 9 ! < - 1 : 7-16 7-563 9 ! 8 : 125 9 32 : 125 9

15?3!6 2 1C : 7-16 52 : 7-262 7-562 9 2 1C - 52 : ! 25 92 52 : 1CC 9 5C : 1CC 915C356 3 =2 . I2 = ! 2 7-56 - 5J : 7-!6 52 9 3 = 2 I2 = ! - 1C - 5J : 7-!6 25 93 = 2 ;2 - 1CC 9 3 = 12! = 1CC 9 3 = 22! 9 - 2213;6 7-2!6 7-!6 : 7-2!6 ! 9 ; : 7-;6 9 C

*@*A>B>BOS 3.1

16 8

2

8

11⟩

26 !15

!8

15

8

512

58

12

8;C61512.7..

15

8

12

8=⟩==mcm

36 25

2!

2!

23 −⟩

!6 8<

8?

<

?

<8

<;

8

;?26<8.7.. =<==mcm

56 ;1C

;12

1C

12

512

51C

12

1C;C61C12.7.. =<==mcm

;6 !;

!1

;

1

38

31

8

12!6;8.7.. =<==mcm

?6 1C;

1C?

!15

!?

32C

3<;C6;152C.7.. ⟨⟨=mcm

86 ;;

;5

!<

!?

<!

<33;6<;!.7..

−⟩

−⟩

−=mcm

*@*A>B>BOS 3.3.2

<6!

2

8

2

53==

+

1C6 2

3

2

58

2

5

21

2!=

−=−

116 15

;?

15

?58

15

155

15

8 −=

−=−

126 8

23

8

2C3

!2

!5

8

3 −=

−−=−

−

136 35

!8

2?C

2<;

?C

!25!<

235

221

51!

51

?1C

??==

++=++

1!6 3C

53

3C

<C3?

3C

<C1;21

3C

3C3

215

28

31C

3? −=

−=

−+=−+

156 3

2

;18

;12

6<72

!3=

−−

=−

−

1;6

2

;

12

3

!

2

3−=

−

=

− 1?6 5

1

1!C

28

351!C

2835

35

28

1!C

35===

186 <;

1C85

332

521?

3

5

8!

63167?7==

−−

*@*A>B>BOS 3.!

1<6 8

3?

8

!25

2!

221

8

5

!

?3

8

5

!

1

!

!23

8

5=

+−=+

−=

+

−=

−+

−

2C6 ;!

133

8

?

8

1<

!

18

8

2!5

!

1

!

!2.

8

83

8

5==

−

+−

=

−

+−

216 215

2!23C

!1

!2<

!1

822<

!12.

82!5

!12

88.3

85 −=−=−−=−−=−

+−=−

+−

23



226 !

<

!

1C

!

1

2

5

!

1

2

1

2

22

;C

15

2

12

1C

3

;

5 −=−=−=

+−=

+−

236 ;

11

;C

11C

1C

6227

;

5

52

55

1C

3

;

5

2

1

2

22

1C

3

;

5

2

12

1C

3

;

5−=

−=

−=

−=

+−=

+−

2!6 3;

25

627?2

6275C

6127

1C

;

5

1C

12

;

5

52

51

1C

1C2

1C

3

;

5

2

12

1C

3

;

5−=

−−−=

−=

−=

+−=

+−

256 18

?

18

5?5C

3;

31<

18

5C

32

3522

3

1C

;

5

2

5

3

2

1C

3

;

5 −=

−=−=

+

−=

+−

2;6 !

15

12

!5

3;5

2253

225

3;

5

3

15

;

5

3

5

;

3

1

5

3 22

====

−=

−−

2?68

5

8

<

!2

!1

!

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2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

22

2

1

2

1

2

1 22 −

=−=−=

−−=

−−

*@*A>B>BOS !.116 2;T151; 26 12T25 36 CT?! !6 33!TCC8 56 !2T?!2 ;6 2CT!?6 2T3 : ? = !T!1 9 !T8< 86 2T!3C?[ <6 5C8T8!?;

*@*A>B>BOS!.21C6 52;C 116 CTC52; 126 CT52; 136 52; 1!6 !25 = 122 : 32 9335 1562T812 = 31T! : !T5; 9 -2!TC28

*@*A>B>BOS5.1

16 $ %

= c%

+ c%

4\2

9 1;2

: 122

4\2

9 25; : 1!!

de donde \2

9 25; : 1!! 9 !CC ⇒ \ 9 2C cm. 26 \29 c2: c2 4352 9 282 : c2 41225 9 ?8! : c2 de donde c2 9 1225 - ?8! 9 !!1 ⇒ c 9 21cm.

*@*A>B>BOS5.2

36 Dtili0ando la frm$la para el área es ' 2

&b

como " 9 15 % 9 12 ⇒

2<C

2

18C

2

1215cm==

!6 Sa"emos /$e el área es ' 2&b

como 9 ?T5 % 9 3 ⇒

?T5 cmbb

b5315

2

3=⇒=⇒

56 Podemos despe+ar de la frm$la del área del c$adrado ' = l % ⇒ 12T259 l2⇒

l 9.5Z325Z12 cm=

;6 Si $tili0amos la frm$la del área de $n c$adrado ' = l % ⇒ 9 132 9 1;< cm 2

?6 #a frm$la para el área es ' = b · & como " 9 ; % 9 ? ⇒ 9 ; ?9 !2 cm2.

2!



86 >omo la frm$la para el área es ' = b · & ⇒ !2 9 " 1! ⇒ " 9 3 cm.

25



<6 *l área de $n trapecio es ' =&

b (

2

+

⇒ 9

23C5

2

!8cm=

+

1C6 Sa"emos /$e la frm$la para el área es '

&b (

2

+

⇒

;8 9

281?13;.

2

125cm&&& =⇒=⇒

+

116 #a frm$la para el área es ' 9 2

d D

como 9 23 cm % d 9 18 cm ⇒

9

22C?2

1823cm=

126 >omo la frm$la para el área es ' 9 2

d D

% 9 ?5 cm % d 9 1C cm ⇒

cm D D D

151C15C2

1C?5 =⇒=⇒=

136 Sa"emos /$e el área es ' = b · & % como 9 2; cm. % " 9 18 cm.⇒

9 2; 18 9 !;8 cm2

1!6 Para determinar la "ase $samos ' = b · & como 9 18C cm2. % 9 15 cm. ⇒

18C 9 " 15 ⇒ " 9 12 cm2

156 Dtili0ando la frm$la del perímetro P 9 5 12 9 ;C cm.


a P

⇒ 9

28Z2!?2

2;Z8;Ccm=

1;6 #a frm$la para el perímetro P 9 8 8 9 ;! cm.


a P

⇒ 9

212Z3C<2

;;Z<;!cm=

1?6 #a frm$la para la longit$d de la circ$nferencia es # 9 cmr 2!Z2C?331!Z322 ==π

#a frm$la para el área del círc$lo es ' 222 !;Z3!1<331!Z3 cmr ==π

186 #a frm$la para la longit$d de la circ$nferencia es # 9 cmr 88Z131211!Z322 ==π

#a frm$la para el área del círc$lo es ' 222 ?!Z138!211!Z3 cmr ==π

Matematicas Pre 3

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