Cuaderno autoinstructivo-fisica

PRUEBA DE DEFINICIÓN DE NIVELES

FÍSICA

CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE

PREPARACIÓN

Í N D I C E

1. MAGNITUDES FISICAS

1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA 1.2. MAGNITUDES FÍSICAS

1.2.1. Cantidad o magnitud física 1.2.2. Medición 1.2.3. Magnitud 1.2.4. Magnitudes Fundamentales 1.2.5. Sistema Internacional de unidades 1.2.6. Conversión de unidades

1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA 1.3.1. Análisis dimensional

1.3.2. Principio de homogeneidad 1.4. PROBLEMAS RESUELTOS 1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.6. AUTOEVALUACIÓN

2. VECTORES 2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES 2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE METODOS GRAFICOS 2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR 2.4. VECTORES UNITARIOS 2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES 2.6. PRODUCTO ESCALAR 2.7. PRODUCTO VECTORIAL 2.8. FUERZA Y VECTORES 2.8.1. Fuerza Resultante 2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES

2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS 2.11. AUTOEVALUACIÓN

3. CINEMÁTICA

3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO 3.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 3.2.2. Análisis de gráficas del MRU 3.2.3. Movimiento rectilíneo uniforme variado (MRUV) 3.2.4. Análisis de gráficas del MRUV 3.2.5. Movimiento de caída libre

3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO 3.3.1. Movimiento de proyectiles 3.3.2. Movimiento circular 3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU) 3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)

Í N D I C E

3.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 3.5. AUTOEVALUACIÓN

4. LEYES DEL MOVIMIENTO 4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA 4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO 4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO 4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y REACCIÓN 4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO 4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 4.7. FUERZA CENTRÍPETA 4.8. PROBLEMAS RESUELTOS 4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS 4.10. AUTOEVALUACIÓN

5. TRABAJO 5.1. UNIDADES DE TRABAJO 5.2. TRABAJO MOTOR Y TRABAJO RESISTENTE 5.3. DETERMINACIÓN DE TRABAJO MECÁNICO CON GRÁFICOS 5.4. POTENCIA 5.5. ENERGIA MECÁNICA 5.6. ENERGIA CINÉTICA 5.7. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA 5.8. ENERGÍA POTENCIAL 5.8.1. Energía potencial gravitatoria 5.8.2. Energía potencial elástica 5.9. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL 5.10. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA 5.11. PROBLEMAS PROPUESTOS 5.12. AUTOEVALUACIÓN

6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO

6.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS 6.2. COLISIONES 6.2.1. Colisiones en una dimensión 6.2.2. Colisiones elásticas en dos dimensiones entre dos partículas 6.2.3. Coeficiente de restitución 6.3. PROBLEMAS RESUELTOS 6.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5. AUTOEVALUACIÓN

7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS 7.1. MOMENTO DE INERCIA 7.2. ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL 7.3. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE 7.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Í N D I C E

7.5. MOMENTO ANGULAR 7.5.1. Conservación del momento angular 7.5.2. Momento angular de un sistema de partículas 7.5.3. Momento angular de un sólido

7.6. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN COMBINADAS

7.7. MOVIMIENTO DE RODADURA 7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 7.9. AUTOEVALUACIÓN

8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 8.1. ECUACIONES DEL MAS 8.2. ENERGÍA EN SISTEMAS MASA-RESORTE (OSCILADOR ARMÓNICO) 8.3. PROBLEMAS RESUELTOS 8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 8.5. AUTOEVALUACIÓN 9. ONDAS MECÁNICAS 9.1. ONDAS ARMÓNICAS SOBRE UNA CUERDA 9.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA SENOIDAL 9.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN SUS EXTREMOS 9.4. ONDAS SONORAS 9.4.1. Intensidad del sonido 9.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 9.6. AUTOEVALUACIÓN 10. FLUIDOS 10.1. DENSIDAD 10.2. PRESIÓN 10.2.1. Presión atmosférica 10.2.2. Presión dentro de un fluido en reposo 10.2.3. Vasos comunicantes 10.3. PRINCIPIO DE PASCAL 10.4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 10.5. FLUIDOS IDEALES EN MOVIMIENTO 10.6. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 10.7. ECUACIÓN DE BERNOULLI 10.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 10.9. AUTOEVALUACIÓN 11. CALOR Y TEMPERATURA 11.1. DILATACIÓN TÉRMICA 11.2. CALOR 11.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR 11.3.1. Conducción 11.3.2. Convección 11.3.3. Radiación

Í N D I C E

11.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 11.5. AUTOEVALUACIÓN 12. ELECTRICIDAD 12.1. CORRIENTE ELÉCTRICA 12.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL O VOLTAJE 12.3. RESISTENCIA ELÉCTRICA 12.4. ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS 12.5. RESISTORES EN SERIE Y PARALELO 12.5.1. Resistores en serie 12.5.2. Resistores en paralelo 12.6. PROBLEMAS RESUELTOS 12.7. PROBLEMAS PROPUESTOS 12.8. AUTOEVALUACIÓN 13. APÉNDICE I. CONCEPTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 13.1. DERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALES 13.2. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 13.3. INTEGRALES 13.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA 13.5. PROBLEMAS RESUELTOS 14. APÉNDICE II. CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES

Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física

Magnitudes físicas

1

1. MAGNITUDES FÍSICAS

1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA

La alegría de ingresar a una Universidad le permite a uno, realizar una serie de

actividades, se siente triunfador, comunica este acontecimiento a todas las personas

de su entorno, hasta se siente dueño del mundo. De pronto retorna a la realidad, pues

empieza mañana sus clases en la Universidad, reflexiona y observa el mundo exterior,

como consecuencia de ello, llega a la conclusión de que se encuentra en el “espacio

exterior” rodeado de cerros, árboles, edificios, aves, ríos y automóviles en movimiento;

observa en la noche la luna brillante en movimiento fuera de todo control humano, y se

da cuenta que tampoco puede controlar el movimiento de la Tierra. Sin embargo se

entera que después de mucho el hombre ha podido comprender las reglas que rigen

estos movimientos.

El estudio de las reglas que rigen el comportamiento de los fenómenos naturales es lo

que constituye la Ciencia; estas reglas cuyo número es sorprendentemente pequeño

explican por qué la Tierra es redonda, por qué el mar y el cielo son azules, etc.

Entonces conocer el funcionamiento de las leyes de la naturaleza es fascinante y de

suma importancia, porque nos permite aplicarlas a nuestras necesidades.

La ciencia es una forma de pensar y también un cúmulo de conocimientos, es decir: la

ciencia es una forma de conocer. Y ¿la Física? La física estudia cosas tan básicas

como: el movimiento, las fuerzas, la energía, el calor, el sonido, la luz, los átomos,

etcétera, conocimientos que serán fundamentales en tu carrera.


Magnitudes físicas

2

1.2. MAGNITUDES FÍSICAS

En la naturaleza se presentan una serie de fenómenos, cuya descripción conduce a

establecer varias hipótesis, las cuales se ponen a prueba una y otra vez y si no hay

contradicciones se puede llegar a establecer una LEY o PRINCIPIO.

Cuando uno se encuentra en un taller o una planta industrial, nace la necesidad de

hacer mediciones de algún tipo, como la temperatura del ambiente, la presión del

sistema de refrigeración, el voltaje a que trabajan las maquinarias, etc. El desarrollo

de la ingeniería de la construcción de la hidráulica y la ingeniería estructural involucran

la longitud, el área, el volumen y la masa.

En la exploración de la naturaleza se ha encontrado que la longitud, el tiempo y la

masa desempeñan un papel fundamental en la medición.

1.2.1. Cantidad o magnitud física

Es una característica de un fenómeno o de un objeto susceptible a ser medido, al cual

se le asocia un número, que se obtiene por medio de la operación llamada medición.

El volumen de un objeto, la altura de una edificación, la temperatura del medio

ambiente, el periodo de rotación de la tierra, etc., son ejemplos de cantidad física.

1.2.2. Medición

Es una técnica que se utiliza para determinar el número asociado a la cantidad física

por comparación con un patrón conocido que se adopta como UNIDAD.

Por ejemplo, cuando se desea conocer la longitud de una barra metálica. Con un

instrumento apropiado se determina que es 12 m, para obtener esto, se hizo una

comparación con la longitud de un patrón conocido como "metro".


Magnitudes físicas

3

1.2.3. Magnitud

La magnitud de una cantidad física está dada por un número y una unidad de

medición.

Ejemplo: Si M es una cantidad física su magnitud puede ser M: 20º C, 60 kg, 30 s. Los

números asociados son: 20, 60 y 30 y las unidades: ºC: grado centígrado, kg.: 1

kilogramo y s: 1 segundo.

1.2.4. Magnitudes fundamentales

La experiencia demuestra que hay tres modos básicos de describir cualquier cantidad

física que son: el espacio que ocupa, la materia que contiene y el tiempo que persiste.

Todas las descripciones de la materia, relaciones y eventos son combinaciones de

éstas. Todas las medidas se reducen a la medición de la longitud, la masa y el tiempo.

De ahí, que las magnitudes fundamentales son aquellas que no se definen en

términos de otras, son independientes entre sí. La longitud, el tiempo y la masa son

magnitudes fundamentales, suficientes y necesarias para el estudio de la mecánica.

Tabla 1.1. Magnitudes fundamentales

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DIMENSION

LONGITUD L

MASA M

TIEMPO T

La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la

misma. Así para medir la distancia entre dos puntos, se compara con una unidad

estándar de distancia, tal como el metro. Todas las magnitudes físicas pueden

expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales.


Magnitudes físicas

4

1.2.5. Sistema Internacional de unidades

El sistema internacional de unidades (SI), es esencialmente el mismo que se conoce

como sistema métrico. El comité internacional de pesas y medidas ha establecido

siete cantidades fundamentales y ha asignado unidades básicas oficiales para cada

cantidad.

Su estructura está conformada por magnitudes fundamentales y derivadas.

Tabla 1.2. Magnitudes fundamentales

CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Corriente eléctrica ampere A

Temperatura kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Tabla 1.3. Magnitudes suplementarias

CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereoradián sr


Magnitudes físicas

5

Tabla 1.4. Magnitudes derivadas

Cantidad Unidades derivadas Símbolo

Área

Volumen

Frecuencia

Densidad de masa

Rapidez, velocidad

Velocidad angular

Aceleración

Aceleración angular

Fuerza

Presión

Trabajo, energía, cantidad de calor

Potencia

Carga eléctrica

Diferencia de potencial, fem

Resistencia eléctrica

Conductividad térmica

metro cuadrado

metro cúbico

hertz

kilogramo por metro cúbico

metro por segundo

radian por segundo

metro por segundo cuadrado

radian por segundo cuadrado

newton

pascal

joule

watt

coulomb

volt

ohm

watt por metro kelvin

m2

m3

Hz

kg/m3

m/s

rad/s

m/s2

rad/s2

N (kg·m/s2)

Pa (N/m2)

J (N·m)

W (J/s)

C

V (J/C)

Ω (V/A)

W/(m·K)

1.2.6. Conversión de Unidades

Debido a que se requieren muchas unidades en una diversidad de trabajos, con

frecuencia es necesario convertir una medición de una a otra unidad. Por ejemplo: El

diámetro de una varilla de construcción 1/2 pulgada se necesita pasar a mm. Se usa 1

pulgada = 25,4 mm. Entonces la conversión será: 0,5 pulg×(25,4 mm/1 pulg) = 12,5

mm.


Magnitudes físicas

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Ejercicios resueltos

1. Convertir 30 m a pies.

Entonces: 1 m = 3,281 pies

30 m×(3,281 pies/1 m) = 114,3 pies

2. La velocidad de 60 mi/h a pies/s.

Entonces: 1mi = 5 280 pies, 1 hora = 3 600 s

60 mi/h = 60×(5 280 pies/1 mi) ×(1 h/3 600 s) = 88 pies/s

1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA

La dimensión de una cantidad física es la combinación algebraica de [L], [T] y [M], a

partir de las cuales se forma la cantidad física.

Una velocidad es una longitud por unidad de tiempo. Por lo tanto la dimensión de la

velocidad es: [V] = L/T

La dimensión de la fuerza es: [F] = MLT−2

No se debe confundir la dimensión de una cantidad física con las unidades en las

cuales se mide.

Una velocidad se puede representar en unidades de metros por segundo, millas por

hora, kilómetros por hora, todas estas elecciones son consistentes con la dimensión

L/T.

Cualquier cantidad física tiene dimensiones que son combinaciones algebraicas de las

dimensiones fundamentales LqTrMs, donde q, r y s indican el orden o exponente de la

dimensión, los cuales pueden ser positivos, negativos, enteros o fraccionarios.


Magnitudes físicas

7

1.3.1. Análisis dimensional

El estudio de las dimensiones de una ecuación física se llama análisis dimensional.

Cualquier ecuación que relacione cantidades físicas debe tener dimensiones

consistentes, es decir: las dimensiones de un lado de la ecuación deben ser las

mismas que las del otro lado. Por ejemplo para la ecuación 2gh = v2:

Su ecuación dimensional es:

[g] [h] = [v]2 donde observarás que la constante 2 tiene dimensión igual a la unidad

(LT−2)(L) = (L/T)2

L2T−2 = L2T−2

1.3.2. Principio de homogeneidad

Si las dimensiones en ambos lados de una ecuación física son las mismas, se dice

que la ecuación física es dimensionalmente homogénea.

Si una ecuación física consiste de una suma algebraica de varios términos, la

dimensión de todos y cada uno de los términos debe ser la misma.

1.4. PROBLEMAS RESUELTOS

3. Hallar la ecuación dimensional del volumen de un cuerpo esférico.

Solución

El volumen es: V = 4/3π r3 entonces:

[V] = [4/3][π][ r3]

[V] = L3

Observa que las constantes 4/3 y π su dimensión es igual a la unidad.


Magnitudes físicas

8

4. Hallar la dimensión de la energía cinética.

Solución

Ek = ½ mv2

[Ek] = [½][m][v] 2

[Ek] = (1) M (L2T-2) = ML2T-2

5. Uno de los resultados más famosos que obtuvo Albert Einstein está dado por la

ecuación: E = mc2, en la que E es el contenido de energía de la masa m y c es

la rapidez de la luz. ¿Cuáles son las dimensiones de E?

Solución

E = mc2, entonces [E] = [m][c] 2 = M [L/T]2 = ML2T−2

6. En la ecuación: D = A·m + B·E +C·X, donde D es densidad, E es área, m es

masa y X es distancia. Hallar la dimensión de A, B y C.

Solución

Por el principio de la homogeneidad, cada término de la ecuación debe tener la misma

dimensión que la del primer miembro. Entonces:

[D] = [A·m] = [B·E] = [C·X]

[D] = [A] [m]

[M/L3] = [A] M

Despejando, [A] = L−3

Análogamente:

[D] = [B·E]

[M/L3] = [B] L2

Despejando, [B] = ML−5

Finalmente,


Magnitudes físicas

9

[D] =[C·X]

[M/L3] = [C] L

[C] = ML−4

7. Halle la dimensión de K, dada la ecuación:

K = m·v2/F

Donde m es masa, v es velocidad y F es fuerza.

Solución

[K] = [m][v] 2/[F]

[K] = M×(L/T)2/(ML/T2] = L

8. Hallar la dimensión de R, si P·R = AB sen 60°, donde P es peso, A es

aceleración y B es volumen.

Solución

[P·R] = [P][R] = [A][B][sen 60°]

[ML/T2][R] = [L/T2][L3]

[R] = M−1L3.

9. La velocidad v que adquiere una embarcación marina es una función de la

potencia P del motor, de la fuerza de resistencia F que ejerce el agua y está

dado por:

v = Pr·Fs

Hallar los valores de r y s.

Solución

Usando el principio de homogeneidad:

[v] = [Pr][Fs]

L/T = (ML2/T3)r (ML/T2)s.

LT−1 = Mr+s L2r+s T−3r−3s


Magnitudes físicas

10

Igualando exponentes de las dimensiones correspondientes.

r + s = 0

2r + s = 1

−3r −2s = −1

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: r = 1, s = −1

10. ¿Es dimensionalmente correcta la relación x = v/3 + 8at, donde x es distancia, v

es velocidad, t es tiempo y a es aceleración?

Solución

Debe cumplirse que [x] = [v/3] = [8at] o [x] = [v] = [a][t]

Así, L = L/T y por lo tanto no se cumple el principio de homogeneidad.

La ecuación es incorrecta.


Magnitudes físicas

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1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Convierta la densidad del agua de mar de 1,02 g/cm3 a kg/m3.

Respuesta. 1,02×103 kg/m3

2. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, hallar la ecuación

dimensional de K:

D

KPC

⋅

⋅=

ρ

2

Donde: C = velocidad, P = presión, ρ = densidad y D = diámetro.

Respuesta. L1/2

3. El período de oscilación de un péndulo está dado por la siguiente fórmula:

yx gLT π2=

Hallar (x/y), si L = longitud y g = 9,81 m/s2.

Respuesta. −1

4. Hallar x + y para que la siguiente fórmula sea dimensionalmente correcta:

θsenc

baH

y

x

=

22

2

Donde: H = altura, b = radio, a = velocidad y c = aceleración.

Respuesta. 1

5. Calcular las dimensiones de X e Y, si la ecuación dada es correcta

dimensionalmente:


Magnitudes físicas

12

2

0

22

−=++

m

dPCYBXA

Donde: A = área, B = volumen, P = presión y m0 = masa.

Respuesta. L−4T−4, L−5/2T−2


Magnitudes físicas

13

1.6. AUTOEVALUACIÓN

1. Si se cumple: A + B = 1/A; entonces podemos afirmar que:

I. A y B son funciones trigonométricas

II. A y B son magnitudes adimensionales

III. No se sabe qué tipo de magnitudes son A y B

a) Solo I es verdadero

b) Solo II es cierto

c) Solo III es cierto

d) I y II son verdaderos

e) II y III son ciertos

2. Hallar la ecuación dimensional de la constante G de la ley de gravitación de

Newton, sabiendo que F es fuerza, d es distancia, m1 y m2 son masas. La ley de

gravitación está expresada mediante la fórmula:

221

d

mmGF =

a) M−1 L3 T−2

b) M L3 T−2

c) M−1 L2 T2

d) M L3 T

e) M L T

3. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta:

metrosyx

yBxA357

2,=

+

+

Halle las dimensiones de B y A, sabiendo que Ny 357,= , donde N se mide

en newtons.

a) M L2 T−1 y M L2


Magnitudes físicas

14

b) M L3 T−2 y L2

c) L3 y L2

d) M L T−2 y L2

e) Ninguna anterior

4. Hallar la ecuación dimensional de P, si la ecuación dada es correcta

dimensionalmente:

2

0

1

−

=

C

R

RmP

m0 es masa y C es la velocidad de la luz.

a) M L T-1

b) M L T

c) M L T-2

d) M L T2

e) M L T3

5. Hallar las dimensiones de X en la ecuación dada, si ésta es correcta

dimensionalmente:

( )YKsenAcmYXK ππ 2235 =++

a) L

b) L2

c) L3

d) L−1

e) Ninguna anterior


Vectores 15

2. VECTORES

En muchas aplicaciones de la física es necesario indicar la dirección así como la

magnitud de una cantidad. La dirección en la que se mueve una banda

transportadora es a menudo tan importante como la rapidez con la que lo hace. El

efecto de un jalón de 20 N haciendo un ángulo con el piso es diferente del

correspondiente a un jalón también de 20 N pero paralelo al piso. Las cantidades

físicas como desplazamiento, velocidad y fuerza con frecuencia se encuentran en la

industria.

2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES

Algunas cantidades físicas pueden describirse por completo mediante un número y

una unidad. Sólo las magnitudes físicas son de interés al hablar de un área de 12 cm2,

un volumen de 15 m3 o una distancia de 15 km. Estas cantidades se denominan

escalares.

Una cantidad escalar se específica completamente por medio de su magnitud, esto

es, un número y una unidad. La rapidez (20 mi/h), la distancia (30 km) y el volumen

(200 cm3) son ejemplos de ella.

Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o

restarse de la manera usual. Así.

24 mm + 30 mm = 54 mm

20 pies2 – 14 pies

2 = 6 pies

2

Algunas cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad, tienen dirección, así como

magnitud. En esos casos, reciben el nombre de cantidades vectoriales. La dirección

debe ser una parte de los cálculos relacionados con dichas cantidades.


Vectores 16

Una cantidad vectorial se específica completamente mediante una magnitud y una

dirección; consta de un número, una unidad y una dirección. Son ejemplos, el

desplazamiento (29 m, norte) y la velocidad (41 mi/h, 30º al noroeste).

La dirección de un vector puede establecerse haciendo referencia a las direcciones

convencionales norte, este, oeste y sur. Considere, por ejemplo, los vectores 20 m,

oeste, y 40 m, a 30º NE, como se muestra en la Figura 2.1. La expresión NE, noreste,

indica que el ángulo se forma girando una línea en la dirección norte a partir de la

dirección este.

Fig. 2.1. Indicación de la dirección de un vector con referencia al norte (N), al sur (S),

al este (E) y al oeste (O).

Otro método para especificar la dirección, que será particularmente útil más adelante,

es tomar como referencia las líneas perpendiculares denominadas ejes. Estas líneas

imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, si bien pueden orientarse en

cualquier otra dirección en tanto sigan siendo perpendiculares. Una línea horizontal

imaginaria suele llamarse eje x y una línea vertical imaginaria denominarse eje y.

(Véase la Fig. 2.2). Las direcciones se determinan por medio de ángulos que se

miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. En la

figura se ilustran los vectores 40 m a 60° y 50 m a 210°.

En este cuaderno los vectores se representarán con los siguientes símbolos: A o Ar

Noroeste Noreste

Sureste Suroeste

N 90o

O E

S 270o

N

S

O E

40 m, 30º Noreste

20 m, 0

30º


Vectores 17

mientras que su módulo se representará por: A o Ar

.

Fig. 2.2. Indicación de la dirección de un vector.

Suponga que una persona viaja en automóvil de Lima a San Juan, el desplazamiento

desde Lima puede representarse mediante un segmento de línea dibujado a escala

desde Lima hasta San Juan (Véase la Fig. 2.3). Una punta de flecha se dibuja sobre el

extremo en San Juan para denotar la dirección. Conviene notar que el

desplazamiento, representado por el vector D1 o 1Dr

, es por completo independiente de

la trayectoria real del medio de transporte.

Fig. 2.3. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Su dirección se indica mediante

una flecha continua. El espacio recorrido es una cantidad escalar, indicada en la

figura por medio de una línea punteada.

Eje y

90º

Eje x

0º, 360º 180º

270º (50 m, 210º)

(40 m, 60º)

210º

60º

Lima

D1

S1

40º 140º

San Juan

•

•


Vectores 18

Otra diferencia importante es que el desplazamiento vectorial tiene una dirección

constante de 140º (o 40º noroeste). Sin embargo, la dirección del automóvil en

cualquier instante del viaje varía.

2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE MÉTODOS GRÁFICOS

Hay dos métodos gráficos comunes para encontrar la suma geométrica de vectores.

El método del polígono es el más útil, puesto que puede aplicarse rápidamente a más

de dos vectores. El método del paralelogramo es útil para la suma de dos vectores a

la vez. En cada caso, la magnitud de un vector se indica a escala mediante, la

longitud de un segmento de recta. La dirección se denota por medio de una punta de

flecha al final del segmento.


1. Un barco recorre 100 mi en dirección norte, el primer día de un viaje; 60 mi al

noreste, el segundo día; y 120 mi rumbo este, el tercer día. Encuentre el

desplazamiento resultante mediante el método del polígono.

Solución

Una escala adecuada puede ser 29 mi = 1 cm, como en la Fig. 2.4. Usando esta

escala, se tiene:

cm 6mi 20

cm 1xmi 120mi 120

cm 3mi 20

cm 1xmi 60mi 60

cm 5mi 20

cm 1xmi 100mi 100

==

==

==

Al medir con una regla, se tiene del diagrama a escala que la flecha de la resultante

tiene una longitud de 10,8 cm. Por tanto, la magnitud es:


Vectores 19

mi 216cm 1

mi 20xcm 10,8cm 10,8 ==

La medición del ángulo θ con un transportador, muestra que la dirección es 41°. El

desplazamiento resultante es, en consecuencia,

R = (216 mi, 41°)

Fig. 2.4. Método del polígono para la suma vectorial.

Note que el orden en el que se suman los vectores no cambia la resultante de ningún

modo, por lo que se puede empezar con cualquiera de las tres distancias recorridas

por el barco.

El método del polígono puede resumirse como sigue:

• Elija una escala y determine la longitud de las flechas que correspondan a cada

vector.

• Dibuje una flecha a escala que represente la magnitud y la dirección del primer

45º

120 millas

100 millas

Desplazamiento resultante

Punto de Inicio

θθθθ

N

E •

60 millas

1 cm

20 mi


Vectores 20

vector.

• Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su cola coincida con la punta del

primer vector.

• Continúe el proceso de juntar cola con punta hasta que se haya representado la

magnitud y dirección de todos los vectores.

• Dibuje el vector resultante de modo que su cola se sitúe en el origen (punto de

inicio) y su punta coincida con la punta del último vector.

• Mida con una regla y un transportador para determinar la magnitud y dirección de la

resultante.

Los métodos gráficos pueden emplearse para encontrar la resultante de todos los

tipos de vectores. No se restringen a medir desplazamientos. En el siguiente ejemplo,

se determina la resultante de dos fuerzas por medio del método del paralelogramo.

En el método del paralelogramo, que es útil para sumar sólo dos vectores a la vez,

dichos vectores se dibujan a escala con sus colas en un origen común. (Véase la Fig.

2.5) En ese caso, las dos flechas forman los lados adyacentes de un paralelogramo.

Los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas de igual longitud. La

resultante se representa mediante la diagonal del paralelogramo comprendida entre

las dos flechas vectoriales.

Fig. 2.5 Método del paralelogramo para la suma de vectores.


2. En un poste telefónico se enrolla una cuerda, formando un ángulo de 120°. Si

se tira de un extremo con una fuerza de 60 N, y del otro con una fuerza de 20 N,

¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?

1 cm

1 N

120º

θ

20 N

60 N

R


Vectores 21

Solución Empleando la escala de 1 cm = 10 N, encontramos:

cm 2N 10

cm 1xN 20

cm 6N 10

cm 1xN 60

=

=

En la Fig. 2.5, se construye un paralelogramo dibujando las dos fuerzas a escala

desde un origen común con 120° entre ellas. Completando el paralelogramo, es

posible dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. La medición de R y θ

con una regla y un transportador produce los valores de 53 N para la magnitud y 19°

para la dirección.

En consecuencia, R = (53 N, 19°)

2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR

Considere el vector Ar

, en un sistema de coordenadas

rectangulares como se muestra en la Fig. 2.6. El vector Ar

puede ser representado como la suma de dos vectores:

yx AAArrr

+=

Donde, Ax = A cos θ , Ay = A sen θ.

La magnitud y la dirección de Ar

se determinan por

22yx AAA +=

=θ −

x

y

A

A1tan

Fig. 2.6

Ar

xAr

yAr

θ x

y


Vectores 22

2.4. VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es un vector adimensional con magnitud

igual a 1. Sirve para describir una dirección. En un sistema

coordenado xy se pueden definir los vectores unitarios i y

j como se muestra en la figura 2.7.

Dado el vector Ar

se define el vector Unitario Aµr

como:

AA

Aµ

r

=

El vector Unitario Aµr

no tiene significado físico pero se usa para especificar una

dirección en el espacio.

Los vectores unitarios en el sistema cartesiano son:

i : Vector unitario a lo largo del eje x.

j : Vector unitario a lo largo del eje y.

k : Vector unitario a lo largo del eje z.

La representación de un vector en el plano cartesiano (Fig.

2.8), en el caso de tres dimensiones es:

kjiA zyx AAA ++=r

Y su módulo es 222

zyx AAAA ++=

Fig. 2.7

Ar

xAr

yAr

θ x

y

j

i

Ar

x

y

z

Fig. 2.8


Vectores 23

2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES

Para este método primero debe dibujarse un sistema de coordenadas el cual servirá

de referencia para la ubicación de los vectores.

Luego se determinan las componentes de cada uno de los vectores a sumarse,

obteniéndose finalmente las componentes del vector resultante.

Por ejemplo para la Fig. 2.9:

Suma Vectorial: jiBAR yx RR +=+=rrr

Componente x: xxx BAR +=

Componente y: yyy BAR +=

El método de componentes puede resumirse como sigue:

• Elegir un sistema de coordenadas.

• Dibujar los vectores a sumar con un rótulo, desde el origen de coordenadas.

• Determinar las componentes x e y de todos los vectores.

• Determinar la suma algebraica de las componentes en las direcciones x e y.

• Encontrar el módulo del vector resultante utilizando el teorema de Pitágoras.

• Utilizar una relación trigonométrica idónea para encontrar el ángulo que el vector

resultante forma con el eje +x.

Fig. 2.9

Ar

BrR

r

x

y


Vectores 24


3. En la figura se muestran tres fuerzas que

actúan sobre una partícula. Obtener: (a) las

componentes x, y de la fuerza neta sobre la

partícula, (b) la magnitud y (c) la dirección de

la fuerza resultante.

Solución

Componentes de las fuerzas

( ) ( )( ) ( )

( )( ) iF

jF

jjsenF

iicosF

N 150

N 200

399053 N 500

301053 N 500

3

2

1

1

−=

−=

=°=

=°=

x

y

y

x

N,

N,

r

r

r

r

Componentes de la fuerza neta

( )( ) jR

iR

N 199

N 151

=

=

y

xr

r

Magnitud de la fuerza neta

N250N199151 2222 =+=+= RRR yx

Dirección de la fuerza neta

°=

=

= −− 852

151

19911 ,tantanx

y

R

Rθ

x

y F1 = 500 N

F2 = 200 N

53,0° F3 = 150 N


Vectores 25

4. En la figura se muestran tres

vectores de velocidad y cuyos

módulos son: A = 5,0 m/s, B = 10,0

m/s, C = 15,0 m/s. Obtenga la

resultante de los vectores, CBArrr

++ ,

y determine el módulo y la dirección

de la resultante.

Solución

( ) i,A sm 05=r

( ) ( ) j,sen,i,cos,B sm 060010sm 060010 °+°=r

( ) ( ) j,sen,i,cos,C sm 030015sm 030015 °+°−=r

( ) ( ) j,i,R sm 216sm 03 +−=r

El módulo es:

( ) ( ) sm 16sm 47516sm 216sm 0322 ==+= ,,,R

La dirección es 180° − α

°=

= − 80

03

2161

,

,tanα

θ = 180° − 80° =100°

2.6. PRODUCTO ESCALAR

Dados los vectores BArr

y mostrados en la Fig.

2.10, se define el producto escalar como,

θABcosB A =⋅rr

60,0° 30,0°

Ar

Br

Cr

x

y

α

x

y

16,2 m/s

3,0 m/s

θ

Ar

Br

Fig. 2.10


Vectores 26

Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas

kjiB

kjiA

zyx

zyx

BBB

AAA

++=

++=r

r

Su producto escalar se representa como:

zzyyxx BABABA ++=⋅BArr


5. Calcule el ángulo entre los vectores A = (−1,00 i + 6,00 j) N y B = (3,00 i − 2,00

j) N.

Solución

El producto escalar es: ( ) N 15,00N 0012003 −=−−=++=⋅ ,,BA zzyyxx BABABArr

Como el módulo del vector A es ( ) ( ) N 03700600122

,,, =+−=A y del vector B es

( ) ( ) N 01300200322

,,, =−+=B , reemplazando en θcosBA AB=⋅rr

tenemos:

θcos,,, 0130370015 =−

De donde °=

−= − 133

013037

00151

,,

,cosθ


Vectores 27

2.7. PRODUCTO VECTORIAL

Dados los vectores BArr

y mostrados en la Fig.

2.11, se define el producto vectorial como:

BACrrr

×=

Siendo C un vector perpendicular a los vectores A y B cuya magnitud es

θsenABC =

Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas

kjiB

kjiA

zyx

zyx

BBB

AAA

++=

++=r

r

Su producto vectorial se determina como la determinante de la matriz:

( ) ( ) ( )kji

kji

C xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx BABABABABABA

BBB

AAA −+−+−==r


6. Determine el producto vectorial Frrrr

×=ττττ , donde ( ) ( ) j,i,r m 552m 505 −=r

y

( )k,F N 10345 5×=s

.

Solución

BACrrr

×=

θ Ar

Br

Fig. 2.11


Vectores 28

( ) ( ) j,i,

,

,,

kji

Fr Nm10942Nm10361Nm

1034500

0552505 66

5

×−×−=

×

−=×=rrr

ττττ

2.8. FUERZA Y VECTORES

Un empuje o tirón que tiende a provocar movimiento, recibe el nombre de fuerza. Un

resorte estirado ejerce fuerzas sobre los objetos a los cuales están unidos sus

extremos, el aire comprimido ejerce fuerzas sobre las paredes del recipiente que lo

contiene, y un tractor ejerce una fuerza sobre el camión que tira de él. Es probable

que la fuerza más familiar sea la fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre todo

cuerpo por la Tierra, que se denomina peso del cuerpo. Existe una fuerza definida aun

cuando no haya contacto entre la Tierra y los cuerpos que atrae. El peso como una

cantidad vectorial está dirigida hacia el centro de la Tierra.

La unidad de fuerza del SI es el newton (N).

2.8.1. Fuerza resultante

Cuando dos o más fuerzas actúan en el mismo punto sobre un objeto, se denominan

fuerzas concurrentes. Su efecto combinado recibe el nombre de fuerza resultante.

La fuerza resultante es aquella fuerza única que producirá el mismo efecto en

magnitud y dirección que dos o más fuerzas concurrentes.

Las fuerzas resultantes pueden calcularse de manera gráfica representándose cada

fuerza concurrente como un vector. El método del polígono o el método de

componentes para la suma de vectores darán entonces la fuerza resultante.


Vectores 29

2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Propiedad Explicación Figura Representación

Igualdad A = B si A=B y

sus direcciones

son iguales

Adición C = A + B

Propiedad Explicación Figura Representación

Negativo de A = −B si B=A y

un vector su dirección es opuesta

Sustracción C = A − B

Multiplicación B = sA si B= sA y

por un escalar la dirección de B y A

son iguales

AX = BX

AY = BY

AZ = BZ

A B

CX = AX + BX

Cy = Ay + By

Cz = Az + Bz

A B

CX = AX − BX

Cy = Ay − By

Cz = AZ − BZ

B

A sA

BX = sAX

BY = sAY

BZ = sAZ

A

C B

AX = −BX

AY = −BY

AZ = −BZ

A B

C −B


Vectores 30


1. Si la figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo

o magnitud de la resultante, si M y N son puntos medios.

Respuesta. cm25

2. Determine el módulo o magnitud de la

resultante de los vectores mostrados.

Respuesta. N320

3. Hallar el módulo de la resultante de los

vectores mostrados.

Respuesta. 5,0 N

4. Si la figura es un hexágono regular de 10 cm de lado, hallar

el módulo de la resultante de los vectores que se muestran.

Respuesta. 10 cm

5. Si la resultante de los vectores mostrados es un

vector vertical, hallar el módulo de C.

Respuesta. 21 N

A = 20 N

B = 20 N 60º

N

10 cm

M

B = 10 N A = 10√2 N

37º

45º x

C = 15 N

y

10 cm

4√3 N 60º

37º

C x

25 N

y


Vectores 31


1. Hallar el módulo de la resultante de los vectores

graficados.

a) 8,0 cm

b) 10 cm

c) 20 cm

d) 1,0 cm

e) 15 cm

2. A partir de los vectores mostrados, determine:

DCBArrrr

−+− 32

Datos: A = 20 m, B = 30 m, C = 10 m y D = 50 m.

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

3. ¿Cuál es el módulo de la resultante de

los tres vectores mostrados?

a) 5 √3 cm

b) 5,0 cm

c) 10 √3 cm

d) 10 cm

e) −5,0 cm

Ar

A

Br

Cr

Dr

16 cm

12 cm

10 cm 37º

20 cm

30 cm

10 cm

60º 120º

120º 60º


Vectores 32

4. En el cubo de lado a que se muestra, hallar el módulo del

vector DCBARrrrrr

−−+= .

a) a

b) 2a

c) 4a

d) 2a

e) a22

5. El gráfico que se muestra es una pirámide recta cuya

base es un cuadrado de lado a. Si su altura es igual a

2a , hallar el módulo de la resultante de los vectores

que se indican.

a) 2a

b) 22a

c) 24a

d) 26a

e) 28a

Ar

Br

Cr

Dr


Cinemática 33

3. CINEMÁTICA

Se vive en un mundo donde a simple vista, se aprecia que todo está en movimiento:

un hombre caminando, un ave volando, un pez nadando, un motor que tira, un río que

fluye, una corriente de agua, un automóvil en marcha, un avión en vuelo, el Sol y la

Luna se mueven respecto a la Tierra.

El movimiento es un fenómeno que consiste en el cambio de posición que realiza un

cuerpo, en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera

fijo.

3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

Los elementos del movimiento son:

• MOVIL. Es el cuerpo que realiza el movimiento.

• TRAYECTORIA. Es la línea recta o curva que describe el móvil.

• POSICION. Es un vector que indica la posición de un móvil, empieza en el origen

de coordenadas y termina en el móvil. Se representa por

( ) kjir zyxt ++=r

.

• DESPLAZAMIENTO. Se define para un intervalo de tiempo (t1, t2). Es el vector que

va desde la posición en t1 hasta la posición en t2.

( ) ( ) ( )ttt 12 rrrrrr

−=∆


Cinemática 34

• INTERVALO DE TIEMPO (∆t). Es el tiempo transcurrido desde un instante t1 hasta

un instante t2: ∆t = t2 – t1.

• VELOCIDAD MEDIA. Es la relación entre el vector deplazamiento y el intervalo de

tiempo empleado:

( ) ( ) ( )

12

12

tt

tt

t

tm

−

−=

∆

∆=

rrrv

rrrr

Se mide en m/s y tiene la misma dirección que el desplazamiento.

• RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el

tiempo total empleado.

empleado tiemporecorrida distancia

=mr

La rapidez media es una cantidad escalar y es diferente a la velocidad media. Por

ejemplo si partes de tu casa y después de un tiempo retornas a ella, tu

desplazamiento será nulo al igual que la velocidad media. Sin embargo si habrá

rapidez media ya que realizaste cierta distacia o espacio recorrido.

• VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Es la derivada del vector posición respecto del

tiempo:

( )( )td

tdt

rv

rr

=

Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes:

( )td

txdv x = ,

( )td

tydv y = ,

( )td

tzdv z =

Revisa el Apéndice I para que revises ejercicios de derivación.

• RAPIDEZ INSTANTÁNEA. Es el módulo o valor de la velocidad instantánea.


Cinemática 35

• ACELERACION MEDIA. Se define la aceleración media como la rapidez del cambio

de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo:

( ) ( ) ( )

12

12

tt

tt

t

tm

−

−=

∆

∆=

vvva

rrrr

• ACELERACIÓN INSTANTÁNEA. es igual a la derivada del vector velocidad

instantánea respecto del tiempo t:

( )( )td

tdt

va

rr

=

Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes:

( )td

tvda x

x = , ( )

td

tdva

y

y = , ( )td

tvda z

z =

3.2. CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN

Es el que se realiza a lo largo de una línea que puede ser horizontal, vertical o

inclinada. Estudiaremos dos clases de estos movimientos: Movimiento Rectilíneo

Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

Trayectoria del móvil

Vector velocidad instantánea, v

r

Vector posición, rr

x

y


Cinemática 36

3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Es el movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, con velocidad

constante.

Ejemplo. El automóvil viaja por una trayectoria recta, recorriendo espacios en tiempos

iguales.

v

Ecuaciones del MRU

La velocidad es constante e independiente del tiempo transcurrido.

La distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado.

Ecuaciones:

Posición : x = xo + v t

Desplazamiento : ∆x = x − xo

Siendo xo la posición inicial del móvil. Observe que no es necesario escribir las

ecuaciones en notación vectorial ya que el movimiento es en una dimensión.

Tabla 3.1. Unidades de distancia, tiempo y velocidad

UNIDADES DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD

SI m s m/s

De uso popular km h km/h


Cinemática 37

3.2.2. Análisis de gráficas del MRU

Gráfica posición (x) – tiempo (t)

Se va a representar gráficamente la distancia recorrida por un móvil que viaja con una

velocidad de 40 m/s con movimiento rectilíneo uniforme y que parte del origen de

coordenadas xo = 0 m.

t = 0 s x = xo

t = 1 s x1 = 0 + 40 m/s × 1 s = 40 m

t = 2 s x2 = 0 + 40 m/s × 2 s = 80 m

t = 3 s x3 = 0 + 40 m/s × 3 s = 120 m

t = 4 s x4 = 0 + 40 m/s × 4 s = 160 m

Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

x(m) 0 40 80 120 160 200 240

t(s) 0 1 2 3 4 5 6

En la gráfica se representan los tiempos empleados en el eje de las abscisas y las

distancias recorridas en el eje de las ordenadas, obteniendo el siguiente gráfico.

m/s 402

802-480-160

Pendiente +===∆

∆=

t

x que es la velocidad media.

x (m)

t (s) 0 2 4

160

80 ∆t

∆x


Cinemática 38

Análisis de la gráfica. En el MRU la gráfica de la posición x en función del tiempo es

una línea recta que pasa por el origen cuando xo = 0, por tanto es una función lineal.

Se encuentra que a intervalos de tiempos iguales (∆t), le corresponde

desplazamientos iguales (∆x). La pendiente de la recta x vs t representa la velocidad

media del móvil.

Pendiente = ∆x / ∆t

En el MRU la velocidad es constante.

Gráfica velocidad – tiempo

Se va a representar gráficamente la velocidad de un cuerpo que recorre una

trayectoria recta de 30 m en cada segundo.

t1 = 1s x1 = 30 m v = 30/1 m/s = 30 m/s

t2 = 1s x2 = 60 m v = 60/2 m/s = 30 m/s

t3 = 1s x3 = 90 m v = 90/3 m/s = 30 m/s

t4 = 1s x4 = 120 m v = 120/4 m/s = 30 m/s

Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

v (m/s) 30 30 30 30 30 30 30

t (s) 0 1 2 3 4 5 6

Al representar los tiempos empleados en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje

de la ordenada, se obtiene el siguiente gráfico:

v (m/s)

t (s) 0 2 4

30

∆t

Desplazamiento, ∆x

v


Cinemática 39

Análisis de la gráfica. El valor de la pendiente en la gráfica v vs t es constante e igual

a 30 m/s para todos los intervalos de la recta.

La altura en la gráfica v vs t indica la velocidad media y el eje horizontal el intervalo de

tiempo. El valor de la velocidad multiplicada por un intervalo de tiempo define el área

del rectángulo que es el desplazamiento del móvil, por tanto, en toda gráfica v - t, el

área debajo de la gráfica representa el desplazamiento efectuado por el móvil.

Las unidades de esta área no son metros cuadrados por que un lado del rectángulo

está medido en segundos y el otro lado en metros por segundo.


1. Un automóvil se mueve con velocidad constante v = 72 m/s. Se pide:

a) Una expresión para la posición x(t)

b) La posición en t = 20 s.

c) El desplazamiento entre t = 10 s hasta t = 20 s.

d) Haga una gráfica x vs. t.

Solución (a)

Considerando que el móvil parte desde un origen de coordenadas, es decir xo = 0,

escribimos:

Posición: x(t) = xo + v t = 0 + 72 t

x (t) = 72t

Solución (b)

Para t = 20 s, se tiene: x (20) = 72 (20) = 1 440 m

x (20) = 1 440 m

Solución (c)

∆x = v ∆t = 72 (20 − 10) = 720 m

∆x = 720 m


Cinemática 40

2. Un automóvil parte del kilómetro cero de una carretera, desarrollando 100 km/h

durante una hora; se detiene por completo durante 0,50 h, luego regresa a 50

km/h durante 1,0 hora, vuelve a detenerse 0,50 h y finalmente vuelve al punto de

partida a 50 km/h. Si cada tramo se realiza con un MRU, se pide:

a) Traza la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo (t).

b) Traza la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t).

Solución (a)

Solución (b)

Primer tramo: 0 ≤ t ≤ 1h x = xo+ v t = 0 + 100 t = 100 t

Segundo tramo: 1 ≤ t ≤ 1,5h x = xo+ v t = 100 +0 t = 100 km

Tercer tramo: 1,5 ≤ t ≤ 2,5h x = xo+ v t = 100 – 50 (t - 1,5)

Cuarto tramo: 2,5 ≤ t ≤ 3h x = xo+ v t = 50 + 0 t = 50 km

Quinto tramo: 3 ≤ t ≤ 4h x = xo+ v t = 50 – 50 (t - 3)

x (m)

t (s) 0 1 2

144

72 ∆t

∆x

v (km/h) 100 0 -50

1 2 3 4 t(h)


Cinemática 41

3. Un tren se traslada sobre una vía rectilínea, manteniendo la velocidad constante

de 20 m/s. Sabiendo que el tren parte de un punto considerado como origen, en

el instante to = 0, en movimiento progresivo, y que en el margen de la ferrovía

existen postes espaciados a intervalos regulares de 100 m, determine:

a) La ecuación de movimiento con respecto al tiempo

b) El tiempo transcurrido durante el paso de dos postes consecutivos, para

un observador en el tren.

c) La cantidad de postes que pasan por el observador del ítem b en 1 minuto.

Solución (a)

Datos: v = 20 m/s, t0 = 0 s, x0 = 0 m

Distancia entre los postes = 100 m.

Siendo el movimiento uniforme:

x = xo + v t ⇒ x = 0 + 20 t

x = 20 t

Solución (b)

∆x = x - xo= v t

∆x = v t

100 = 20 t⇔

t = 0,520

100= s

Solución (c)

Utilizando regla de tres:

x (km)

100

50

0 1 2 3 4 t(h)


Cinemática 42

5,0 s _____ 1 poste

60 s _____ n postes

5,0n = 60

n 120,5

60==

n = 12 postes

4. Dos móviles A y B parten simultáneamente de

la misma posición, con velocidades constantes

y respectivamente iguales a 6,0 m/s y 8,0 m/s.

Los móviles recorren los ejes Ox y Oy,

formando un ángulo recto. Determine:

a) Las ecuaciones con respecto al tiempo

de los móviles

b) La distancia que los separa, después de 5,0 segundos de su partida

Solución (a)

Datos:

vA = 6,0 m/s

vB = 8,0 m/s

Para un móvil A, vA = 6,0 m/s y xoA = 0 m. Por tanto, su ecuación de movimiento será

xA = 0 + 6

xA = 6 t

Para móvil B, vB = 8,0 m/s y xoB = 0 m. Por tanto, su ecuación horaria será

xB = 0 + 8 t.

XB = 8 t

Solución (b)

d2 = xA2 + xB

2 ⇒ d2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50

d = 50 m.


Cinemática 43

5. Los diagramas temporales de los puntos

materiales A y B, que se desplazan sobre una

misma recta, están representados en la figura.

Determine:

a) Las ecuaciones con respecto al tiempo

b) El instante en que se produce el encuentro

de los móviles

c) La posición del punto de encuentro

d) Los desplazamientos de los móviles hasta el encuentro

e) Los instantes en que la distancia entre los móviles es 40 m.

Solución (a)

Para la obtención de sus ecuaciones horarias determinemos el inicio de sus

velocidades.

vA m/s)(

tt

xx

t

x

oAA

oAA

A

A 56

30

06

300==

−

−−=

−

−=

∆

∆=

vB m/stt

xx

t

x

oBB

oBB

B

B 330

90

030

900−=

−=

−

−=

−

−=

∆

∆=

vA > 0 ⇒ Movimiento Progresivo

vB < 0 ⇒ Movimiento Retrógrado

Ecuación horaria de A: xA = -30 + 5 t

Ecuación horaria de B: xB = 90 – 3 t

Solución (b)

-30 + 5 t = 90 – 3 t ⇒ 8 t = 120 ⇔ t = 158

120=

t = tE por tanto:

tE = 15 s

Solución (c)

xE = xA = -30 + 5 · 15 = 45 o xE = xB = 90 - 3 · 15 = 45

xE = 45 m


Cinemática 44

Solución (d)

Para un móvil A:

∆xA = xE - xoA = 45 - (-30) = 75 m

Para móvil B:

∆xB = xE - xoB = 45 - 90 = - 45 m

Solución (e)

Antes de encontrar: Después de encontrar:

xB - xA = 40 m xA - xB = 40 m

90 – 3 t - (- 30 + 5 t) = 40 -30 + 5 t - (90 – 3 t) = 40

120 – 8 t = 40 -120 + 8 t =40

8 t = 80 8 t = 160

t = 108

80= t = 20

8

160=

t = 10 s t = 20 s

6. Un tren de 100 m de longitud mantiene una velocidad constante de 72 km/h.

Determine la longitud del puente por el cual pasa el tren, si el transcurso

completo dura 15 s.

Solución

vtren = 20 m/s

vtren . t1 = 20 · t1 = 100

t1 = 5 s

Tiempo Total = 15 s = t1 + t2

t2 = 10 s

vtren · t2 = Lpuente = 20 · 10 = 200 m

7. Dos móviles se trasladan por la misma carretera, la cual es rectilínea, y sus

desplazamientos obedecen a las ecuaciones horarias x = 10 + 40 t y x' = 330 –

60 t. Los espacios son medidos en kilómetros y los instantes en horas. Si ambos

parten en el mismo instante, determine:


Cinemática 45

a) El instante del encuentro.

b) La posición del encuentro.

c) Los respectivos desplazamientos hasta el encuentro.

d) La distancia que los separa, después de 3 horas de la partida

Solución (a)

x = 10 + 40 t ...(1) (km/h)

x' = 330 – 60 t ...(2) (km/h)

x = x' (encuentro)

de (1) - (2)

0 = -320 + 100 t

t = 3 h 12 min.

Solución (b)

Reemplazando t en (1):

x = 138 km

Solución (c)

∆x = 128 km

∆x' = -192 km

Solución (d)

x = 10 + 40 (3) = 130 km

x' = 330 – 60 (3) = 150 km

x' - x = 20 km

8. La figura ilustra las posiciones de los dos móviles, A y B, que parten en el mismo

instante, con velocidades constantes y respectivamente iguales a 1,2 m/s y 1,6

m/s. La distancia inicial entre los móviles es 40 m. Determine:

a) El tiempo que transcurre desde hasta el instante del encuentro.

b) Las distancias recorridas por los móviles hasta el encuentro.


Cinemática 46

Solución (a)

vA - t = dA ....(1)

vB - t = dB ....(2)

Del gráfico y por pitágoras

(vA t)2 + (vB t)2 = dA

2 + dB2

t2(vA2 + vB

2) = 402

t = 20 s

Solución (b)

vA(20) = 24 m

vB(20) = 32 m

9. El diagrama registra la variación de las posiciones de los dos móviles, que

caminan sobre la misma recta, en función del tiempo. Sabiéndose que la razón

entre las velocidades de los móviles A y B es 2, determine:

a) Las respectivas velocidades de los móviles.

b) La posición del punto de encuentro.


Cinemática 47

Solución (a)

2=B

A

v

v ...(1)

xA = -50 + 20 vA

xB = 50 + 20 vB

⇒ t = 20 se cumple xA = xB y de (1):

vB = 5 m/s y vA = 10 m/s

Solución (b)

Remplazando en cualquiera de las ecuaciones de movimiento:

x = -50 + 20 (10) = 150 m

3.2.3. Movimiento rectilineo uniforme variado (MRUV)

Es aquel movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, variando

progresivamente el valor de la rapidez (v), ya sea aumentando (acelerando) o

disminuyendo (desacelerando o retardado) esta variación depende de la aceleración y

esta aceleración es una magnitud constante.

Ecuaciones del MRUV

• Aceleración media o instantánea a = ∆v/∆t es constante en el tiempo.


Cinemática 48

• Velocidad instantánea v(t) = vo + a t

La gráfica velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente puede ser

positiva (+) cuando la velocidad aumenta y negativa (-) cuando la velocidad

disminuye.

• La posición x(t) tiene una relación cuadrática con el tiempo.

x(t) = xo + vo t + a t2/2

La gráfica x - t corresponde a una parábola.

• Reuniendo las ecuaciones de la velocidad y de la posición, se obtiene:

v2 = vo

2 + 2a (x − xo)

IMPORTANTE: Recuerde que:

• Cuando el móvil parte del reposo la velocidad inicial vo es igual a 0,

• el desplazamiento recorrido por un móvil, es igual al área en una gráfica v – t y

• la aceleración es igual a la pendiente en una gráfica v – t.

v (m/s)

V0

v (m/s)

V0

t(s) t(s)

a > 0 a < 0

xo

x (m)

t (s)

a > 0

xo

x (m)

t (s)

a < 0


Cinemática 49

Tabla 3.2. Unidades de distancia, tiempo, velocidad y aceleración

UNIDADES DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACIÓN

SI m s m/s m/s2

De uso popular km h km/h km/h2

3.2.4. Análisis de gráficas de MRUV

Gráfica de la velocidad (v) – tiempo (t)

Representamos la velocidad en el eje de las ordenadas, mientras que el tiempo en el

eje de la abscisa, de un cuerpo que parte del reposo (vi = 0) que se mueve con una

aceleración de 4 m/s2.

vt = v1 + a t

vt = 0 + (4 m/s2) (0 s) = 0 m/s2

vt = 0 + (4 m/s2) (1 s) = 4 m/s2

vt = 0 + (4 m/s2) (2 s) = 8 m/s2

vt = 0 + (4 m/s2) (3 s) = 12 m/s2

Registramos los datos obtenidos en la tabla y graficando obtenemos:

v(m/s) 0 4 8 12 16 20 24

t(s) 0 1 2 3 4 5 6

v (m/s)

t (s) 0 2 4

16

8 ∆t

∆v Pendiente: a = ∆v/∆t= 4 m/s2


Cinemática 50

Análisis de la gráfica. La gráfica v – t es una línea recta.

La recta pasa por el origen de coordenadas, debido a que el móvil parte sin

velocidad inicial.

La pendiente de la recta es la constante, que en este caso viene a ser la

aceleración.

Aceleración = pendiente en gráfica v – t

El desplazamiento es el área debajo la gráfica.

Gráfica de la posición (x) – tiempo (t)

Representamos la posición x en el eje de la ordenada y el tiempo en la abscisa, para

un cuerpo que parte del reposo (vo = 0) y del origen de coordenadas (xo = 0),

moviéndose con una aceleración de 2 m/s2.

Aplicando la fórmula: x(t) = xo + vot + a t2/2

Se registra los datos obtenidos en la tabla y se grafica:

x(m) 0 1 4 9 16 25

t(s) 0 1 2 3 4 5

t2(s2) 0 1 4 9 16 25

Linealizamos la gráfica (x vs t2), con el objeto de hallar la pendiente, elevando los


Cinemática 51

datos del tiempo al cuadrado en la tabla.

Análisis de la gráfica 1. La gráfica posición (x) en función del tiempo es una

parábola.

La parábola siempre pasa por el origen, debido a que el móvil parte desde el reposo

(velocidad inicial = 0).

El movimiento tiene aceleración positiva porque la parábola es cóncava hacia arriba.

Análisis de la gráfica 2. La gráfica muestra que la distancia es directamente

proporcional al cuadrado de los tiempos.

La pendiente de la gráfica es igual a la mitad de la aceleración (a/2) cuando el móvil

parte del reposo.


10. Un vehículo que se desplaza a 10 m/s, debe parar después de 10 s que el

conductor frena. Se pide:

a) Representar las gráficas v - t y x - t

b) ¿Cuál es el valor de la aceleración, en el MRUV, que los frenos deben

imprimir al vehículo?

c) Escriba las ecuaciones v(t) y x(t).

d) ¿Cuál es la distancia que recorre el vehículo en esta frenada?

Solución (a)

Solución (b)

Aceleración, a = ∆v/∆t = (0 – 10) / (10 – 0) = –1m/s2


Cinemática 52

Solución (c)

Ecuación para la velocidad: v= vo + a t = 10 + (-1) t = 10 – t

Ecuación para la posición: x(t) = xo + vo t + a t2/2 = 0 + (10) t + (-1) t2/2

= 10 t – t2/2

Solución (d)

De la ecuación v2= vo2 + 2a (x - xo), obtenemos

0 = (10)2 + 2 (-1)(x-0)

x = 50 m

11. Un auto se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando el conductor pise el

acelerador, el movimiento pasa a ser uniformemente acelerado, alcanzando una

velocidad de 35 m/s en 3 s. Se pide:

a) Trazar las gráficas v - t y x - t.

b) Calcular la aceleración del auto.

c) Escribir las ecuaciones v(t) y x(t).

d) Hallar la distancia alcanzada.

Solución (a)

v (m/s) x(m)

35

5

t(s) t(s)

Solución (b)

Aceleración a = ∆v/∆t = (35-5) / (3-0) = 10 m/s2

Solución (c)

Ecuación para la velocidad. v(t) = vo + a t = 5 + 10 t2


Cinemática 53

Ecuación para la posición. x(t) = xo + vo t + a t2/2 = 0 + 5 t + 10(t2)/2

= 5 t + 5 t2

Solución (d)

La distancia corresponde al valor de x cuando t = 3 s

x = 5 (3) +5 (3)2 = 60 m

12. En el instante en que una señal de tránsito cambia a verde, un automóvil se

pone en movimiento con la aceleración de 1,8 m/s2. En el mismo instante pasa

un tranvía con velocidad uniforme de 9,0 m/s, en la misma dirección del

automóvil. Se pide:

a) Graficar v - t y x – t.

b) Escriba las ecuaciones x(t) y v(t) para el automóvil y el tren.

c) ¿Qué velocidad tendrá cuando alcanza el auto al tranvía?

d) ¿A qué distancia lo alcanza?

Solución (a)

Solución (b)

Para el automóvil

Posición: x(t) = x o + vo t + a t2/2 = 0 + 0(t) + 1,8(t2)/2 = 0,9 t2

Velocidad: v(t) = vo + a t = 0 + 1,8 t = 1,8 t

Para el tren

Posición: x (t) = x o + vot + a t2/2 = 0 + 9(t) + 0(t2)/2 = 9 t

Velocidad: v(t) = vo + a t = 9 + 0 t = 9 m/s = constante (MRU)

Solución (c)


Cinemática 54

En el punto de encuentro las posiciones x son iguales, por tanto:

0,9 t2 = 9 t 1ra solución: t = 0

2da solución: t = 10 s

La velocidad del automóvil cuando lo alcanza es: v = 1,8(10) = 18 m/s

Solución (d)

Lo alcanza en x = 9(10) = 90 m

13. Un punto material recorre el eje Ox con las velocidades indicadas en el

diagrama. En el instante inicial to = 0, el móvil pasa por el origen de las abscisas

x o = 0. Determine:

a) La aceleración

b) La ecuación de la velocidad

c) La ecuación con respecto al tiempo

d) La posición del móvil en el instante t = 5 s.

e) El desplazamiento en los 10 s iniciales.

Solución

a) Sabemos que a = ∆x

∆v y que:

∆t = 5 - 0 = 5 s


Cinemática 55

∆v = 0 - 20 = -20 m/s

La aceleración será: a = 5

20− = -4 m/s2

b) v = vo + a t ∴ v = 20 – 4 t

c) x = 0 + 20 t + 2

4−t2

d) Para t = 5 s, la posición del móvil será:

x = 50 m

e) Observando el gráfico v - t, verificamos que:

Área del triángulo superior = 50 (entre 0 s y 5 s)

Área del triángulo inferior = -50 (entre 5 s y 10 s)

Por tanto, el desplazamiento entre 0 s y 10 s será:

∆x = 0 m

14. Un punto material recorre

el eje x con velocidad que

varia en el tiempo, según

el diagrama, determine:

a) La aceleración.

b) La ecuación de la

velocidad.

c) El desplazamiento en

los 25 s iniciales.

Solución

a) a = =∆t

∆v1 m/s2

b) De: v = vo + a t

Siendo para t = 0 ⇒ vo = 10 m/s

v = -10 + t

c) Del diagrama:

A1 + A2 = 62,5 m


Cinemática 56

15. Una partícula recorre una

recta con velocidad que

varia según el diagrama.

Determine:

d) Las aceleraciones

en los trechos AB y

BC.

e) El instante en que el

desplazamiento es

máximo.

f) El desplazamiento en el instante t = 30 s.

Solución

a) Tramo AB ⇒ a = =∆

∆

t

v0,8 m/s2

Tramo BC ⇒ a = -0,8 m/s2

b) 20 s

c) A1 + A2 = 40 m

16. Dos móviles A y B parten

simultáneamente de la misma posición y

recorren el eje Ox. El diagrama representa

las velocidades de los móviles en función

del tiempo. Determine:

a) El instante del encuentro

b) El instante en que la razón entre las

velocidades de B y de A es igual a

3.

Solución

a) vA = 4 t

vB = 10 + 2 t

xA = xoA + 2 t2 ...(1)

xB = xoB + 10 t + t2 ...(2)

v (m/s)

t (s)

10

20

0 5

A

B


Cinemática 57

En el encuentro xA = xB y como parten de la misma posición xoA = xoB, así:

Restando (1) - (2):

t = 10 s

b) =A

B

v

v3 =

4t

2t10 +

t = 1 s

17. La posición x de un cuerpo, que se mueve a lo largo de una recta, en función

del tiempo t, es mostrada en el gráfico. Para cada uno de los cuatro intervalos

señalados en el gráfico, indique:

a) Si la velocidad es positiva, negativa o nula.

b) Si la aceleración es positiva, negativa o nula.

Solución (a)

Se observa que en todo momento el movimiento se realiza en la dirección positiva del

eje x, por lo tanto en los intervalos I, II y III la velocidad es positiva y en el intervalo IV

la velocidad es nula.

Solución (b)

Analicemos la concavidad de la gráfica en:

Intervalo I : Hacia arriba : a > 0

Intervalo II : Recta : a = 0

Intervalo III : Hacia abajo : a < 0

Intervalo IV : Recta : a = 0


Cinemática 58

18. Una partícula recorre el eje x. En el instante to = 0

el espacio inicial es xo = 0. En el diagrama se

representa la velocidad de la partícula en función

del tiempo. Determine:

a) La aceleración de la partícula.

b) Los tipos de movimiento entre los instantes 0

y 15 s y 15 s y 30 s.

c) El desplazamiento en los 15 s iniciales y entre 15 s y 30 s.

d) La posición del móvil en el instante 15 s y en el instante 30 s.

Solución

a) vf = vo + a t entonces a = 2 m/s2

b) De 0 s - 15 s

a es positivo y v negativo

El movimiento es uniformemente acelerado.

De 15 s – 30 s

a es positivo y v positivo

El movimiento es uniformemente acelerado.

c) De 0 - 15 s

d = vo t + 2

1a t2 = -225 m

De 15 s – 30 s

d = 225 m

d) En el instante

t = 15 s ⇒ x = -225 m

t = 30 s ⇒ x = 0 m

Luego en t = 30 s el móvil regresa a su posición inicial.


Cinemática 59

19. Un punto material describe un movimiento rectilíneo, partiendo de un punto

donde se encontraba en reposo. Se observa que su velocidad varía con el

tiempo, indicado por un reloj, de acuerdo con los valores medidos y tabulados a

continuación.

a) Construya, en papel milimetrado, el gráfico de v en función de t.

b) A partir de la curva ajustada en el gráfico del ítem anterior, calcule la

distancia recorrida por el punto material entre t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s.

Solución (a)

Solución (b)

Sabiendo las velocidades en los puntos t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s, usamos:

v22 = v1

2 + 2 a·∆x ...(1)

(6,77)2 = (2,25)2 + 2a·∆x ...(2)

De la parte primera se sabe que la aceleración es 1,5 m/s2

Luego remplazando en (2): ∆x = 13,5 m


Cinemática 60

20. A partir del gráfico construido para resolver la pregunta anterior. Determine:

a) La velocidad media del punto material entre los instantes t1 = 1,0 s y t2 =

6,0 s.

b) La aceleración del punto material.

Solución (a)

La velocidad media es:

vm = 2

vv t2t1 + ...(1)

Necesitamos vi para t1 = 1 s, luego:

∆x· t1 = vo t1 + 2

1a t1

2 = 0,75 m (con a = 1,5 m/s2)

y su velocidad será vt1 = 1,5 m/s ...(2)

Remplazando (2) en (1):

vm = 1,5 + 2978,

= 5,24 m/s

Solución (b)

a = tg α = 10

8714,= 1,49 m/s2

3.2.5. Movimiento de caída libre

La caída libre es un caso particular del MRUV siendo la aceleración la gravedad (g =

9,8 m/s2) un vector vertical hacia abajo. El movimiento descrito es acelerado con

trayectoria rectilínea vertical; no se tiene en cuenta la resistencia del aire.

La aceleración de la gravedad no es una constante en la superficie de la tierra, esto se

debe a que la tierra noes perfectamente esférica y además posee superficies

accidentadas. Los valores de la gravedad son:

En los polos g = 9,83 m/s2

En el ecuador g = 9,79 m/s2


Cinemática 61

Observe que:

• El movimiento de subida es desacelerado o retardado

alcanzando el móvil una altura máxima en cuyo instante

su velocidad es cero.

• El movimiento de caída libre es rectilíneo y

uniformemente acelerado.

• En el vacío todos los cuerpos caen con la misma

aceleración.

• A una misma altura, el tiempo de subida y el tiempo de

bajada son iguales.

• A una misma altura, el módulo de la velocidad de subida y de bajada son iguales.

Ecuaciones de caída libre

Como el movimiento de caída libre es un caso particular del MRUV, las fórmulas son

las mismas, siendo la aceleración ya conocida (g) y la posición la identificamos por la

coordenada “y”. Así tenemos:

v = vo − g t

v2 = vo

2 − 2 g (y − yo)

y = yo + vo t − g t2/2


Cinemática 62


21. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s.

Se pide:

a) Graficar v - t, y – t.

b) Escriba las ecuaciones y(t) y v(t).

c) ¿En qué tiempo alcanza su altura máxima?

d) ¿Cuál es la altura máxima?

e) ¿En qué tiempo regresa al punto de lanzamiento?

Solución (a)

Solución (b)

Posición: y = yo + vo t - g t2/2 = 0 + 20(t) – 9,8(t2)/2 = 20 t – 4,9 t2

Velocidad: v = vo – g t = 20 – 9,8 t

Solución (c)

El tiempo de subida se obtiene cuando v = 20 – 9,8 t = 0, es decir

t = 20/9,8 = 2,02 s

Solución (d)

La altura máxima se alcanza cuando v2 = vo2 - 2 g h = 0, es decir

h = vo2/2g = (20)2/(2·9,8) = 20,4 m

Solución (e)

Regresa al punto de lanzamiento cuando y = 20 t – 4,9 t2 = 0, es decir

t = 20/4,9 = 4,08 s

hmax

y (m)

t (s)

v = 0 v (m/s)

t (s)

20

hmax


Cinemática 63

22. Desde lo alto de un edificio se lanza una pelota, verticalmente hacia abajo, con

una velocidad inicial de 14 m/s y tarda 2,0 s en llegar al piso. Se pide:

a) Graficar y - t y v – t.

b) La altura de donde fue lanzada la pelota.

c) Escribir las ecuaciones y(t) y v(t)

d) La velocidad con que la pelota llega al piso.

Solución (a)

Solución (b)

La altura desde donde se lanzo debe cumplir:

y = yo + vo t - g t2/2 = H – 14(2) – 4,9(2)2 = 0, resultando H = 47,6 m

Solución (c)

Posición. y = yo + vo t - g t2/2 = -14 t – 4,9 t2

Velocidad v = vo – g t = -14 – 9,8 t

Solución (d)

La velocidad de llegada, se obtiene de: v = -14 – 9,8(2) = -33,6 m/s

hmax

y (m)

t (s)

0 2,0

v (m/s)

t (s)

−14

0 2,0


Cinemática 64

23. Un observador ve desde su ventana, un cuerpo caer con velocidad de 10 m/s.

Otro observador, situado a 75 m debajo del primero, observa el mismo objeto

pasar en caída libre y alcanzar el suelo en 1,0 s, considerando la aceleración de

la gravedad local igual a 10 m/s2, determine:

a) La velocidad del móvil al pasar por el segundo observador

b) El tiempo que le toma al cuerpo para ir del primero al segundo observador.

c) La altura relativa del segundo observador al suelo.

d) La altura de caída del cuerpo relativa al suelo, desde el instante en que es

abandonado.

Solución

a) En el tramo entre el 1o y el 2o observador:

vo = v1 = 10 m/s

v = v2 = ?

h = ∆h2 = 75 m

g = 10 m/s2

Sustituyendo estos datos en:

v2 = vo2 + 2gh

v2 = 40 m/s

b) En el tramo entre el 1o y el 2o observador:

vo = v1 = 10 m/s t = t2 = ?

v = v2 = 40 m/s g = 10 m/s2

Sustituyendo:

t2 = 3,0 s

c) En el tramo entre el 2o observador:

h = ∆h3 = ?

vo = v2 = 40 m/s

Sustituyendo ⇒ ∆h3 = 45 m

d) La caída es de una altura total de : ∆h1 + ∆h2 + ∆h3

Desde el punto inicial hasta el punto en que se localiza el 1er observador, se

tiene:

vo= 0 , v = v1 = 10 m/s y ∆h1 = ?


Cinemática 65

Sustituyendo en

v2 = vo2 + 2gh ⇒ ∆h1 = 5,0 m

Siendo ∆h2 = 75 m y ∆h3 = 45 m, tenemos:

h = 125 m.

24. Dos esferitas son lanzadas verticalmente de abajo hacia arriba, a partir de la

misma altura, con la misma velocidad inicial de 15 m/s, pero con intervalo de

tiempo de 0,5 s entre los lanzamientos. Despreciando la resistencia del aire,

realice en el mismo sistema de ejes, los gráficos de velocidad en función del

tiempo para las dos esferitas. Indique en los ejes las unidades de medida.

Determine también el instante en que las alturas de las dos esferitas coinciden y

justifique sus respuestas.

Solución

La altura máxima alcanzada es igual para las dos esferas, pues la resistencia del aire

fue despreciada.

El tiempo de ascenso de la esfera A es:

ta = 1,5g

vo −=− s

Como t'a = ta + t'o ⇒ t'a = 2,0 s

Las esferas A y B tendrán la misma altura, en el instante en que la primera estuviera

en caída y la segunda estuviera ascendiendo, cuando el tiempo transcurrido para A

fuera t, para la esfera B será (t - 0,5), pues hay un desfase de 0,5 s entre ambas.


Cinemática 66

Las observaciones correspondientes serán:

A ⇒ hA = 15 t + 2t210−

B ⇒ hB = 15(t-0,5) + 20,5)(t210

−−

Igualando hA = hB ⇒ t = 1,75 s

Podemos llegar a la observación de t = 1,75 s a través de la observación del gráfico

anterior.

• El área A representa la altura de caída de la esfera A.

• El área B representa la altura que le falta a la esfera B para alcanzar la altura

máxima.

Para que el área A sea igual al área B, el instante t deberá ser el punto medio entre

1,5 s y 2,0 s. Así las esferas A y B estarán en la misma altura en el instante t = 1,75 s.


Cinemática 67

25. La figura representa la velocidad en función del tiempo, de un cuerpo que fue

lanzado de abajo para arriba (t = 0 representa el instante del lanzamiento).

¿Cual es la mayor altura que él alcanza en relación al punto de lanzamiento?

Justifique su respuesta.

Solución

Calculemos el tiempo que toma el alcanzar su máxima altura (vf = 0):

vf = vo – g t

0 = 10 – 10 t ⇒ t = 1s

con t = 1 s calculamos la altura correspondiente:

h = 10(1) - 5 = 5 m.

26. Un proyectil es lanzado desde el suelo, en dirección vertical, con una velocidad

inicial de 400 m/s. Considerando la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2 y

despreciando la resistencia del aire, determine:

a) La altura máxima alcanzada.

b) El tiempo empleado por el proyectil hasta regresar a la posición inicial.

c) La altura, desde el suelo, en que ocurre el encuentro con un segundo

proyectil, soltado en el instante del lanzamiento del primer proyectil y

desde el punto de altura máxima por este alcanzado.

Solución

a) Hallando el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima:

vf = vo – g t ⇒ t = 40 s

Entonces hmax = 400(t) - 5(t2) = 8 000 m


Cinemática 68

b) Para subir emplea 40 s y despreciando la resistencia del aire, se cumple:

tsalida = tbajada ⇒ ttotal = 80 s

c) Para el proyectil (1):

vf1 = 400 – 10 t

Para el proyectil (2):

vf2 = -10 t

Pero vf1 = vf2 ⇒ t = 20 s

Ahora:

h = 400(20) - 5(20)2 = 6000 m, que es la altura del punto de encuentro.

27. Un cuerpo abandonado cae, en caída libre, de una altura de 125 m del suelo, en

un local donde la aceleración de la gravedad es 10 m/s2. Determine:

a) El tiempo de recorrido.

b) La velocidad con que llega al suelo.

c) La altura del punto donde el cuerpo pasa con velocidad igual a la quinta

parte de la velocidad máxima.

Solución

h = 125 m

a) ⇒ 125 = 5 t2 ⇒ t = 5s

b) La velocidad con que llega al suelo es:

vf = vo + g t = 50 m/s

c) La vmax = 50 m/s, entonces:

La altura para v = 10 m/s:

vf2 = vo

2 + 2gh ⇒ h = 5 m

Es decir que el punto esta a 5 m de nuestro nivel de referencia, entonces la

altura de este punto es 120 m.


Cinemática 69

28. Un cuerpo A es abandonado, en caída libre, de una altura de 120 m sobre el

suelo. En el mismo instante se lanza un cuerpo B, de abajo para arriba, en la

misma dirección, con velocidad voB. Demuestre que la aceleración de la

gravedad local es de 10 m/s2 y que los y que los cuerpos chocan 3,0 s después

de iniciado los movimientos. Determine:

a) La velocidad voB.

b) Las velocidades de los cuerpos A y B en el instante del choque.

c) La altura donde ocurre el encuentro.

Solución

Tiempo de choque = 3,0 s.

a) hA= 120 - 2

1(10)(3,0)2 = 75 m

hB = 75 m = voBt - 2

1(10)(3,0) ⇒ voB = 40 m/s

b) vfA = -30 m

vfB = 10 m/s

c) a 75 m del suelo

29. A 180 m del suelo se abandona un cuerpo, en caída libre. La altura es dividida

en tres trechos tales que los tiempos utilizados en los diversos trechos son

iguales. Suponiendo la aceleración de la gravedad local igual a 10 m/s2.

Determine:

a) La altura de cada trecho

b) La velocidad media en cada trecho.


Cinemática 70

Solución (a)

Calcularemos las alturas correspondientes a cada tramo del movimiento:

hA = 180 - 2

1(10)t2

hB = 180 - 2

1(10)(2t)2

hC = 180 - 2

1(10)(3t)2

Pero hC = 0 (al nivel del suelo), luego t = 2 s.

∴ hA = 160 m y hB = 100 m

Con lo que tenemos en el primer tramo una separación de 20 m, en el segundo tramo

60 m y en el tercer tramo 100 m.

Solución (b)

vfA = vo - g(2) = - 20 m/s ⇒ vmA = - 10 m/s

vfB = - 40 m/s ⇒ vmB = - 30 m/s

vfC = -60 m/s ⇒ vmC = - 50 m/s

30. Del alto de un muro, de altura 40 m, se lanza una piedra, de abajo para arriba,

con velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la aceleración de la gravedad local es de

10 m/s2 y suponiendo despreciable la resistencia del aire. Determine:

a) El tiempo empleado por la piedra hasta alcanzar el suelo.

b) La velocidad con que la piedra llega al suelo.

c) La altura máxima alcanzada por la piedra con respecto al suelo.

d) El gráfico de velocidad en función del tiempo, suponiendo un eje orientado

de abajo para arriba.


Cinemática 71

Solución

vo = 10 m/s y considerando el nivel de referencia desde la posición inicial y con la

coordenada positiva dirigida hacia abajo. La coordenada positiva dirigida hacia abajo.

a) vf = -vo + (10) t ⇒ t = 1 s (con vf = 0 m/s)

El cuerpo toma 2 segundos en pasar por la posición de lanzamiento

(considerando la subida y la bajada), y desde aquí al suelo le toma:

h = 40 = 10(t) + 5 t2 ⇒ t = 2 s

El tiempo total que toma hasta llegar al suelo es: t = 4 s.

b) vf = v0 + g(2) ⇒ vf = 30 m/s

c) Se necesita calcular la altura que alcanza en el primer segundo de ser

lanzado:

h = - 5 m

Altura máxima es de 45 m del suelo.

d)

3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO

Hay muchos casos importantes de movimientos dentro de un plano. Estudiaremos dos

de ellos: el movimiento de proyectiles y el movimiento circular.


Cinemática 72

3.3.1. Movimiento de proyectiles

Se refiere al movimiento de un objeto que ha sido lanzado horizontalmente o en forma

inclinada. La trayectoria que describe, es un movimiento curvilíneo que resulta de la

combinación de dos movimientos: una horizontal uniforme y otra vertical

uniformemente variada.

Ejemplo: Una pelota de glof lanzada como se muestra en la figura.

El movimiento de proyectiles podemos estudiarlos en dos perspectivas: Movimiento

Horizontal y Movimiento Vertical.

Al lanzarse el objeto con una rapidez inicial vo formando un ángulo θ con la horizontal,

la velocidad inicial tiene dos componentes:

Componente horizontal: vox = vo cos θ

Componente vertical: voy = vo sen θ

Ángulos

sen θ

cos θ

15°

0,2588

0,9659

30°

0,5

0,8660

37°

0,6018

0,7986

45°

0,7071

0,7071

53°

0,7986

0,6018

60°

0,8660

0,5

90°

-1

0

x

v0x = v0 cos θ

y

v0

v0y = v0 sen θ

θ


Cinemática 73

Movimiento Horizontal

Cuando se lanza un objeto con cierta inclinación, este adquiere una velocidad inicial

horizontal. Después de ser arrojado, no existe aceleración en la dirección horizontal y

por lo mismo el proyectil se desplaza en la dirección horizontal con una velocidad

constante (MRU).

La posición del proyectil en la dirección horizontal en función del tiempo es:

x = xo + vo cosθ t

Movimiento Vertical

Luego de lanzar el objeto, esta tiene una aceleración hacia abajo debido a la

gravedad.

La posición del proyectil en la dirección vertical en función del tiempo es:

y = yo + vo senθ t – g t2/2

Combinando estas dos ecuaciones para la posición horizontal y vertical, se encuentra

que la trayectoria descrita corresponde a una parábola.


Cinemática 74


31. Un avión vuela horizontalmente (θ = 0) a 500 m de altura con velocidad

constante de 600 m/s y deja caer víveres. Se pide:

a) Escribir las ecuaciones de posición horizontal x(t) y vertical y(t).

b) La velocidad vertical con que los víveres llegan a la Tierra.

c) ¿Qué tiempo tarda en caer?

d) ¿La distancia recorrida por el avión desde que suelta los víveres hasta que

esta llega a Tierra?

Solución

a) Posición Horizontal : x = xo + v t = 0 + 600 t

Posición Vertical : y = yo + vo t – g t2 /2 = 500 + 0 – 4,9 t2

= 500 – 4,9 t2

b) Velocidad vertical final de caída

vf2 = vi

2 - 2g(y - yo) = 0 – 2·9,8·(0-500) = 9 800

Resultando vf,y = 98,99m/s

c) Decimos que llega al piso cuando y = 0 m

y = 500 + 0 – 4,9 t2 = 0, resultando t = 10,1s

32. Jesús es futbolista, patea la pelota con una velocidad inicial de 18 m/s con un

ángulo de elevación de 15°. Se pide:

a) La ecuación de las posiciones horizontal x(t) y vertical y(t)

b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?

c) ¿Qué tiempo tarda la subida?

d) ¿Qué tiempo demora el balón en todo el movimiento?

e) ¿Qué alcance tuvo el balón?


Cinemática 75

Solución (a)

Posición horizontal: x = xo +v t = 0 + 18·cos(15°)t = 17,38 t

Posición vertical : y = yo + vosen(15°)t – gt2/2

= 0 + 18·sen(15°)t – 4,9t2 = 4,65t – 4,9t2

Solución (b)

De la expresión para la velocidad : vy2 = [vosen(15°)]2 – 2g(y-yo), tenemos: 0 = (4,65)2

–2·9,8·(h - 0), resultando : h = 1,1m

Solución (c)

De la expresión para la velocidad: vy = vosen(15°) – gt = 4,65 – 9,8t =0. Resulta t =

0,47 s.

Solución (d)

Tiempo total de recorrido hasta que retorna al piso : tT = 2 t = 2·0,47 = 0,98 s

Solución (e)

El alcance horizontal que tiene el balón es: d = vocos(15°)tT = 17,38·0,98 = 17 m

33. Un proyectil fue lanzado con velocidad vo, formando un ángulo α con la

horizontal. Suponiendo despreciable la resistencia del aire y sabiendo que la

aceleración de la gravedad local vale g, determine:

a) La altura máxima alcanzada.

b) El alcance horizontal.

c) El ángulo de lanzamiento para que el alcance sea máximo.

Solución

a) En la vertical, tenemos: voy = vo · sen α.

Un punto de altura máxima (∆Y = H), la velocidad es: vy = 0.

Substituyendo los valores de voy y vy en la siguiente ecuación:


Cinemática 76

( ) αα 220

220 22 senvgHHgsenv02gHvv 22

0y2y ⋅=⇒−+⋅=⇒+=

g

senvH

2

220 α⋅

=

b) En la horizontal, el movimiento es uniforme y vx = vo · cos α

Sustituyendo esos resultados en la ecuación horaria, vemos:

x = vx · t x = vo · cos α · t (I)

Cuando regresa a la posición del lanzamiento, la velocidad del cuerpo:

vy = - vo. sen α

Substituyendo tenemos:

vy = voy + h t

- vo. sen α = vo . sen α - g t

g t = 2 vo ·sen α

g

senvt

α⋅= 02

(II)

Sustituyendo (II) en (I), vemos:

x = v0 · cos αg

senv α⋅20

x = g

cossenvo αα ⋅⋅ 22

Por trigonometría sabemos que:

2 sen α . cos α = sen 2α. Por tanto:

x = g

senvo α22 ⋅

c) Para que x (alcance horizontal) sea máximo, sen α deberá ser máximo, será

igual a 1. Como sen 90o = 1, tenemos:

2α = 90o α = 45o

Esto es, el alcance será máximo cuando el ángulo de lanzamiento sea igual a

45O


Cinemática 77

34. Una bomba es abandonada de un avión con velocidad de 720 km/h, en vuelo

horizontal a 1 125 m de altura. Despreciando la resistencia del aire y suponiendo

la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2, determine:

a) El tiempo empleado por la bomba hasta alcanzar el suelo.

b) El alcance horizontal.

Solución

vbomba = 720 km/h

a) 0 = 1 125 - 2

1(10)t2 ⇒ t = 15 s

b) El alcance horizontal será:

vbomba·15 = 15·720 km/h = 3 · 103 m

35. Un cañón dispara un proyectil con velocidad de 100 m/s, según una inclinación

de 30o con respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire y

suponiendo la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2, determine:

a) El tiempo empleado hasta que el proyectil vuelva a la misma horizontal de

su lanzamiento.

b) La altura máxima alcanzada.

c) El alcance horizontal.

d) El instante en que el proyectil alcanza la altura de 80 m.

e) Las posiciones del proyectil en los instantes de ocurrido el ítem (d).

Solución

a) La velocidad en la dirección vertical es:

voy = 50 m/s

el tiempo que toma para alcanzar su máxima altura es cuando vf = 0

∴ vfy = 50 - 10t ⇒ t = 5 s.

Luego el tiempo usado es : 10 segundos.

b) La altura máxima es alcanzada en t = 5 s :


Cinemática 78

hmax = 50(5) - 5(5)2 = 125 m.

c) La velocidad horizontal es:

vx = 100cos30° = 50 3 m/s

Entonces el alcance horizontal es:

vx·(10) = 500 3 m

d) 80 = 50t - 2

1(10)t2 ⇒ t = 8 s y t = 2 s

e) Las posiciones son:

t = 2 s ⇒ (100 3 ;80 m)

t = 8 s ⇒ (400 3 ;80 m)

3.3.2. Movimiento circular

Es el movimiento que recorre un móvil y cuya trayectoria corresponde a una

circunferencia.

Ejemplo: La trayectoria descrita por una piedra que gira atada al extremo de una

cuerda como el de la figura.

3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU)

Es aquel movimiento que tiene la trayectoria

circular y recorre longitudes iguales en

tiempo iguales. En el movimiento circular

uniforme, la rapidez (magnitud de la

velocidad v) no cambia, pero la dirección de

la velocidad cambia permanentemente por

influencia de la aceleración centrípeta ac.

La velocidad es un vector tangente a la

trayectoria y, por tanto perpendicular al

ac

ac ac

ac

v

v

v

v

R


Cinemática 79

radio.

Elementos del MCU

• Longitud Recorrida. Es la longitud de arco de circunferencia recorrido por un cuerpo

con movimiento circular.

• Desplazamiento Angular (∆θ). Es el ángulo que se describe el vector posición

durante el movimiento. Se expresa en radianes.

• Período (T). Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circular para dar

una vuelta completa.

• Frecuencia (f). Es el número de vueltas dado por un cuerpo con movimiento circular

en cada unidad de tiempo.

Tf

1=

Se mide en hertz (Hz) o 1/s.

• Velocidad Lineal o Tangencial (v). Es el vector velocidad del móvil y que tiene la

dirección tangente a la circunferencia.

• Rapidez Angular (ω). Es aquella cantidad escalar que nos indica el ángulo que

recorre un cuerpo en cada unidad de tiempo.

t∆

∆=

θω

Se mide en rad/s.

También es frecuente medir la rapidez angular en revoluciones por minuto o rpm:

srad

602

minrev

1rpm 1π

==

• Revolución. Es una vuelta completa que da el móvil.


Cinemática 80

Ecuaciones del MCU

Rapidez angular:

Tf

ππω

22 ==

Rapidez tangencial o lineal:

RT

Rv ω

π==

2

Aceleración centrípeta

Es la cantidad vectorial que representa el cambio de dirección de la velocidad; su

dirección es hacia el centro de giro.

Por definición la aceleración es una magnitud que representa el cambio de la

velocidad; en el caso de la aceleración centrípeta, solo cambia la dirección, más no la

magnitud. Por este motivo este movimiento sigue siendo uniforme (MCU) a pesar que

interviene la aceleración centrípeta.

La aceleración centrípeta se calcula por la expresión:

RR

vac

22

ω==

Ejemplos resueltos

36. Una partícula con movimiento circular uniforme, describe un ángulo de φ = 3,2

radianes en 2,0 segundos, si el radio de la circunferencia descrita es de 0,30 m.

Se pide:


Cinemática 81

a) La rapidez angular

b) La rapidez lineal

c) El período

d) La frecuencia

e) La aceleración centrípeta

Solución

a) Velocidad angular. ω = ∆φ/∆t = 3,2/2 = 1,6 rad/s

b) La velocidad lineal. v = ωR = 1,6 rad/s × 0,3m = 0,48 m/s

c) Período. ω =2π/T, luego T = 2π/w = 2π/1,6 = 3,9 s

d) Frecuencia. f = 1/T = 1/3,9 = 0,96/s = 1,96 Hz

e) Aceleración centrípeta.

ac = ω2R = ( 1,6 rad/s)2 × 0,3 m = 0,77 m/s2

Aceleración tangencial y angular

La aceleración angular at cambia el

módulo de la velocidad tangencial pero no

la dirección de la velocidad.

Se define la aceleración angular

instantánea α como la derivada de la

velocidad angular con respecto del tiempo.

dt

dωα =

La aceleración angular se mide en rad/s2.

ac

ac

at

ac

v

v

v

R

at

at


Cinemática 82

La aceleración tangencial y angular se relacionan por:

Rat α=

3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)

Es aquel movimiento efectuado por un móvil durante el cual la aceleración angular y la

aceleración tangencial permanecen constantes.

Ecuaciones del MCUV

Posición angular:

2

tαtωθθ(t)

2

oo ++=

Velocidad angular:

αtωω(t) o +=

Además,

∆θ2αωω2o

2(t) +=

Que son idénticas a las obtenidas para el movimiento rectilíneo uniforme variado si

hacemos los cambios θr → , ωv → y αa → . Obsérvese también, que la

aceleración centrípeta ahora ya no es constante, mientras que la aceleración

tangencial no cambia su magnitud.

Ejemplos resueltos

37. La posición angular de un punto sobre la orilla de una rueda giratoria está dada

por 2 34,00 3,00t t tθ = − + , donde θ se mide en radianes y t en segundos. ¿Cuál


Cinemática 83

es la aceleración angular a los 4,00 s?

Solución

Para revisar el tema de derivadas consulta el Apéndice I

2003006004 ttdt

d,,, +−==

θω

tdt

d006006 ,, +−==

ωα

( )s

radt 018004 ,, ==α


Cinemática 84


1. Si la posición del cuerpo en función del tiempo es 0152 ,, += tx m. Determine

la posición en t = 2,0 s.

Respuesta. x = 6,0 m

2. Determine el espacio total recorrido por un móvil cuya gráfica velocidad vs

tiempo es la que se muestra:

Respuesta. 200 m

3. Una partícula se encuentra en el punto x = 4,0 m en el momento de empezar a

contar el tiempo (t = 0,0 s) y se mueve con una velocidad constante de 8,0 m/s.

a) Escriba la ecuación de la posición en función del tiempo.

b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de 10,0 s?

Respuesta. a) x = 4,0 m + 8,0 m/s t ; b) 84 m

4. La ecuación que nos da la posición de un móvil viene dada por

CBtAtx +−= 2 , donde A = 8 m/s2, B = 6 m/s y C = 4 m.

a) ¿Es un movimiento uniformemente acelerado?

b) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 1 s?

Respuesta. a) Sí; b) 10 m/s

v(m/s) 20,0 -20,0

0 5,00 10,0 t(s)


Cinemática 85

5. Cuando un proyectil lanzado con un cañón alcanza la altura máxima, el módulo

de su velocidad se reduce a la mitad. Determine el ángulo que el cañón forma

con la horizontal.

Respuesta. 60°


Cinemática 86


1. La distancia media de la Tierra al Sol es de 1,5·1011 m y el módulo de la

velocidad de la luz es 3,0·108 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda la luz del Sol en llegar a

la Tierra?

a) 5,0×102 s

b) 4,0×102 s

c) 3,5×102 s

d) 8,5×102 s

e) 9,3×102 s

2. ¿Cuál es la velocidad en t = 8,00 s de la gráfica mostrada?

a) 5,00 m/s

b) 0 m/s

c) −5,00 m/s

d) 8,00 m/s

e) 7,5 m/s

x(m)

10

-15

0 5,00 10,0 t(s)


Cinemática 87

3. La gráfica que representa el movimiento de un móvil que marcha con una

rapidez v = 20 m/s, con movimiento rectilíneo uniforme, es:

a)

b)

c)

d) a y b

e) Ninguna

v(m/s) 20,0 -20,0

0 5,00 10,0 t(s)

x(m) 100

0 5,00 10,0 t(s)

x(m) 20,0 -20,0

0 5,00 10,0 t(s)


Cinemática 88

4. La ecuación de posición de una partícula en función del tiempo es x = (2,0 m/s)t

+ 1,0. ¿Cuál será su desplazamiento entre t = 0,0 s y t = 2,0 s?

a) 5,0 m

b) 4,0 m

c) 1,0 m

d) 2,0 m

e) −4,0 m

5. Un disco de 1,00 m de diámetro que se encuentra en reposo acelera

uniformemente durante 20,0 s y alcanza una velocidad de 2 000 rpm. La

aceleración angular y las vueltas que ha dado hasta alcanzar dicha velocidad,

son respectivamente:

a) 20,0 rad/s2; 200 vueltas

b) 20,0 rad/s2; 330 vueltas

c) 55,0 rad/s2; 130 vueltas

d) 10,0 rad/s2; 330 vueltas

e) 5,00 rad/s2; 400 vueltas


Leyes del movimiento 89

4. LEYES DEL MOVIMIENTO

La descripción del movimiento que hemos realizado hasta el momento, se hizo

prescindiendo de sus causas, vamos a estudiar las causas del movimiento, es decir,

las fuerzas. Acostumbramos a decir que se necesita una fuerza para producir

movimiento o un cambio en él. Eso es cierto pero un elemento fundamental de la

descripción del movimiento, es como una fuerza se relaciona con el movimiento

resultante.

Una aceleración es la evidencia de la acción que llamamos fuerza.

Uno de los muchos logros del gran científico Isaac Newton fue resumir las relaciones

entre fuerza y movimiento en tres enunciados generales que se conocen con el

nombre de las Leyes del Movimiento.

4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA

“Un objeto permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante a menos

que sobre él actúe una fuerza no equilibrada”.

Ejemplo: Cuando un vehículo que se mueve a gran velocidad, se detiene

bruscamente, y cesa por tanto la acción impulsora que ejerce sobre los pasajeros,

éstos se sienten lanzados hacia delante a causa de su propia inercia.

Esta experiencia nos permite afirmar que toda partícula libre se encuentra en reposo o

en movimiento rectilíneo uniforme.



4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO

“La fuerza que actúa sobre un cuerpo, le produce aceleración, y es igual al producto

de la masa del cuerpo por aceleración que le imprime”. La Segunda ley del

movimiento de Newton se expresa comúnmente en forma de ecuación como sigue:

maF =

Donde la masa m representa la respuesta del cuerpo (Inercia) ante

la acción de la fuerza F. Un sistema puede contener más de un

objeto, y m es la masa total del sistema en movimiento. Conviene

puntualizar que, si más de una fuerza está actuando sobre un

objeto o sistema, entonces F es la fuerza neta o no equilibrada (resultante):

aFrr

m=∑

Unidades en el SI: 1 = kg· m/s2 = 1 newton = 1 N

El newton es la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s2 cuando actúa sobre una

masa de 1 kg.

4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO

La masa (m) de un cuerpo es una cantidad escalar que representa a la inercia del

cuerpo al aplicársele una fuerza.

El peso (W) de un cuerpo es una cantidad vectorial y es la fuerza gravitacional con

que la Tierra lo atrae:

W = mg

Donde g es la aceleración de la gravedad y cerca de la superficie tiene un valor

relativo medio constante de 9,8 m/s2.

∑ Fr

ar




1. Se tiene una masa de 0,5 kg en reposo y se desea ponerla en movimiento. Se

pide:

a) La fuerza necesaria para que adquiera una aceleración de 0,3 m/s2.

b) Si se le aplica una fuerza vertical hacia arriba de 10 N, ¿cuál será su

aceleración?

Solución

Fuerza. F = ma = 0,5 × 0,3 = 0,15 N

∑F = F – mg = ma, reemplazando datos: 10 – 0,5 × 9,8 = 0,5 × a, resultando

a = 10,2m/s2

2. Una fuerza de 75 N actúa sobre un cuerpo que la imprime una aceleración de

5,0 m/s2. Calcular el valor de la masa en los siguientes casos:

a) Si la fuerza es horizontal.

b) Si la fuerza es vertical hacia arriba.

Solución

a) Fuerza horizontal. F = ma, reemplazando datos: 75 = m(5), resultando: m

= 15kg

b) Fuerza vertical hacia arriba. ∑F = F – mg = ma, reemplazando datos:

75 – m(9,8) = m(5), resolviendo, se obtiene: m = 5,06kg



4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y

REACCIÓN

“Para cada fuerza actuante sobre un cuerpo (acción), siempre existe otra fuerza

actuante sobre un segundo cuerpo (reacción) de igual magnitud y sentido opuesto”.

Esto indica:

Facción = − Freacción

Donde el signo negativo indica la dirección opuesta.

Ejemplo: La fuerza que se ejerce para iniciar el movimiento de un cohete es la fuerza

de reacción proveniente de los gases al ser expulsados.

4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO

Hasta este momento hemos estudiado un movimiento prescindiendo casi por completo

de la fricción, habiendo asumido por razones de comodidad superficies ideales sin

fricción, sin embargo, no existe ninguna superficie perfectamente lisa.

http://blog-comunidad.ebay.es/images/2006/11/ronaldinho1.jpg

acciónFr

reacciónFr



Fuerza de rozamiento

Es aquella fuerza que surge entre dos superficies cuando una

trata de desplazarse con respecto a la otra. Esta fuerza siempre

se opone al deslizamiento. La fuerza de rozamiento se presenta

de diferentes formas:

• Rozamiento entre superficies

• Rozamiento en fluidos

Nos limitaremos a estudiar solamente el rozamiento entre superficies que se clasifica

en:

• Rozamiento estático

• Rozamiento cinético

Rozamiento Estático

Es el que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo.

El valor de la fuerza de rozamiento estática varía desde 0 hasta un valor máximo. Este

valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la fuerza mínima

necesaria para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente

fórmula:

Nf ss µ≤

Siendo: fs = fuerza de rozamiento estático

µs = coeficiente rozamiento estático

N = reacción normal

Rozamiento cinético

Es aquella que se presenta cuando hay deslizamiento entre dos superficies.

Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el

Fricción



valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece constante.

Nf kk µ≤

Siendo: fk = fuerza de rozamiento cinético

µk = coeficiente de rozamiento cinético

N = reacción normal


1. Una caja de cedro cuya masa es 20 kg descansa sobre una mesa también de

cedro. µs = 0,40 y µk = 0,30. Se pide:

a) La fuerza mínima que es preciso ejercer para ponerla en movimiento.

b) Si se aplica una fuerza de 80 N, qué aceleración tendrá.

c) La fuerza necesaria aplicar a la caja para que se mueva con aceleración

de 0,50 m/s2.

F

Solución

a. En este caso la fuerza normal es igual al peso del cuerpo.

N = W = mg = 20 kg x 9,8 m/s2 = 196 N

Fuerza mínima para iniciar el movimiento = µsN = 0,4 x 196 = 78,4 N

b. Debe cumplirse la segunda ley de Newton: ∑F = F - fk = ma

Reemplazando datos se obtiene:

80 – 0,3 x 196 = 20(a), resultando: a = 1,06 m/s2



c. Debe cumplirse la segunda ley de Newton: ∑F = F - fk = ma.

Reemplazando datos se obtiene:

F – 0,3 x 196 = 20 x 0,5, resultando: F = 68,8N

Ventajas del rozamiento

Gracias al rozamiento:

• Podemos caminar o correr, impulsándonos con nuestros pies sin resbalar.

• Las ruedas pueden rodar.

• Podemos efectuar movimientos curvilíneos sobre la superficie.

• Los clavos pueden quedar incrustados en las paredes.

Desventajas del rozamiento

• Debido del rozamiento los cuerpos en roce se desgastan, motivo por el cual se

utiliza los lubricantes.

• Para vencer la fuerza del rozamiento hay que realizar trabajos, el cual se pierde

parte en calor

Tabla 4.1. Coeficientes de fricción o de rozamiento

SUPERFICIES EN CONTACTO µs µk

Acero sobre Acero

Cobre sobre Acero

Vidrio sobre Vidrio

Teflón sobre Acero

Madera sobre Madera

Piedra sobre Piedra

0,74

0,53

0,94

0,04

0,50

0,70

0,74

0,53

0,94

0,04

0,50

0,70



4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama que muestra el cuerpo escogido

solo, libre de su entorno, con vectores que muestran los módulos y direcciones de

todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos los cuerpos que interactúan

con él.

En un DCL no se deben incluir las fuerzas que el cuerpo escogido ejerce sobre otro

cuerpo.

Si en un problema intervienen dos o más cuerpos, hay que descomponer el problema

y dibujar un DCL para cada cuerpo.


3. Los dos bloques de la figura se mueven juntos

hacia la derecha. Dibuje el DCL de cada bloque.

Respuesta

4. Dos cajas de madera se encuentran

en contacto como se muestra en la

figura. Si se aplica una fuerza F a la

primera caja (de masa m1), dibuje el

DCL de cada caja. Considere que no hay fricción entre las cajas y el suelo.

m1

F

m2

W1

N1

f1 F

W2

N1 f1

f2

m2 Fr

m1



Respuesta

4.7. FUERZA CENTRÍPETA

Es la fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad y que produce el efecto de

giro o curvatura en el movimiento de los cuerpos.

La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y el mismo sentido que la aceleración

centrípeta o sea apuntará hacia el centro de la curva.

La expresión para la fuerza centrípeta es:

∑ === 22

ωmR

vmmaF cscentrípeta

Siendo m la masa del cuerpo en movimiento.

La fuerza centrípeta hace que la velocidad del cuerpo cambia constantemente en

dirección y produce la aceleración centrípeta.

Ejemplo: Cuando un automóvil da vuelta en una pista, la fuerza de fricción estática

actúa como fuerza centrípeta.

Fr Fc Fc

W1

W2

N1 N2




5. Una pequeña esfera de masa m se sujeta

al extremo de una cuerda de longitud R y

se hace girar en una circunferencia vertical

alrededor de un punto fijo O, como se ve

en la figura. ¿En qué posición (A, B ó C) la

cuerda podría romperse si la velocidad

tangencial aumenta (vC > vB > vA )?

Solución

La cuerda se romperá en el punto donde la tensión sea mayor.

El DCL de la masa m en los tres puntos se muestra en la siguiente figura.

Las ecuaciones de movimiento de m en dirección radial son:

En el punto A: 2

AA

mvmg+T =

R ó

2

A

A

vT =m -g

R

En el punto B: 2

B

B

mvT =

R

En el punto C:

2

C

C

mvT -mg=

R ó

2

C

C

vT =m +g

R

Analizando estas ecuaciones se observa que la tensión TC es la mayor de todas.

Entonces en C podría romperse la cuerda.

R

O

A

B

C

vA

vC

vB

mg

mg

mg TA

TB

TC

R

O

A

B

C

vA

vC

vB




1. Un automóvil, de masa 900 kg, va a describir una curva, cuyo radio es 30 m, en

una carretera plana y horizontal. Se pide:

a) La fuerza centrípeta necesaria para que consiga dar la curva a la velocidad

de 10 m/s.

b) ¿Si la fuerza de fricción estática máxima con la pista es de 4 000 N, cual

será la velocidad máxima con la que puede girar sin resbalar?

Solución

Fuerza centrípeta. Fc = mv2/R = 900 x (10)

2/30 = 3 000 N

La fuerza de fricción es la fuerza centrípeta

f = mv2/R, resultando v = (fR/m)

1/2 = (4 000 x 30 / 900)

1/2 = 12 m/s

2. En una superficie horizontal, reposan los cuerpos A y B, cuyas masas son

respectivamente iguales a 30 kg y 20 kg. En un instante dado, pasa a ejercer

sobre ellos una fuerza Fr

de intensidad 200 N.

a) La aceleración del sistema.

b) La fuerza que ejerce el cuerpo A sobre el cuerpo B.

c) La fuerza que el cuerpo B ejercería sobre el cuerpo A si la fuerza -Fr

actuase sobre B en vez de Fr

.

Solución

La aceleración del sistema es:

ba

smm

Fa

+= entonces

2030

200as

+=

2ss

m4a =

De la figura se observa que, R es la reacción que ejerce el cuerpo A sobre el cuerpo

B. Además el cuerpo B se mueve con la aceleración del sistema entones:



sBamR = N420R ⋅= N80R =

La aceleración del sistema es:

ba

smm

Fa

+= entonces

2030

200as

+=

2ss

m4a =

La fuerza que el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A es R

sAamR = N430R ⋅= N120R =

3. Tres cuerpos A, B y C de masas 10 kg, 20 kg y 30 kg respectivamente, están

ligados a través de cuerdas inextensibles, cuyas masas son despreciables.

Suponiendo el rozamiento despreciable y el modulo de la fuerza Fr

igual a 300

N. Determine:

a) La aceleración del sistema.

b) Las tensiones en las cuerdas.

c) El modulo de la aceleración y el modulo de la fuerzas de tensión, si la

fuerza F-r

actuase sobre el cuerpo C sustituyendo a la fuerza Fr

.

Solución

a) La aceleración del sistema es:

CBA

smmm

Fa

++=

302010

300as

++=

2ss

m5a =

b) Todos los cuerpos se mueven con la misma aceleración del sistema, de la figura

se observa que la tensión el cuerpo C es:

scBC amT = N530TBC ⋅= N150TBC =

Del cuerpo B se observa que:

sBBCAB amTT =− entonces 150520TAB +⋅= N250TAB =



c) El módulo de la aceleración es:

CBA

smmm

Fa

++=

302010

300as

++=

2ss

m5a =

De la figura se observa que la tensión T3 del cuerpo A es:

sABA amT = N510TBA ⋅= N50TBA =

Del cuerpo B tenemos que:

sBBACB amTT =− entonces 50520TCB +⋅= N150TCB =

4. La figura muestra el cuerpo A, de masa 20 kg, que reposa sobre el cuerpo B, de

masa 30 kg. El cuerpo B se apoya en una superficie horizontal cuyo coeficiente

de rozamiento es 0,40. Suponiendo que: a) La aceleración de la gravedad local

sea 10 m/s2, b) El cuerpo A permanece en reposo con respecto al cuerpo B; c)

El modulo de la fuerza Fr

sea igual a 600 N. Determine:

a) La fuerza de rozamiento

b) La aceleración del sistema

Solución

a) La fuerza de fricción se define como:

µ= Nfr

De la figura se observa que la fuerza normal es:

( )gmmN BA += ( ) N103020N ⋅+= N500N =

Reemplazando en la fuerza de fricción tenemos que:

N4,0500fr ⋅= N200fr =



b) La aceleración del sistema es:

( ) sBAr ammfF +=− entonces BA

rs

mm

fFa

+

−=

Remplazando los valores numéricos tenemos:

3020

200600as

+

−=

2ss

m8a =

5. Un bloque de peso 300 N es colocado sobre un plano liso, inclinado 30o en

relación a la horizontal. Tome g = 10 m/s2 y determine la intensidad de la:

a) Fuerza resultante

b) Aceleración del bloque

Solución

a) De la figura se observa que en el eje Y no hay movimiento entonces:

)30cos(mgN =

En el eje X hay movimiento debido a una fuerza resultante en la dirección del

Movimiento que es:

)30(mgsenFR = N5,0300FR ⋅= N150FR =

b) La aceleración del sistema es:

sR ma)30(mgsenF == entonces )30(gsenas =

Luego 5,010as ⋅= 2s

s

m5a = .



6. Los bloques A y B de la figura tienen masas 70 kg y 30 kg respectivamente. Los

rozamientos y las masas de la cuerda se consideran despreciables. Suponiendo

que g = 10 m/s2. Determine :

a) La aceleración del bloque B.

b) La intensidad de la fuerza de tensión.

Solución

a) Ambos cuerpos (A, B) tienen la misma aceleración. De la figura se observa

que en el cuerpo B se tiene:

amTm BB =− (1)

Del cuerpo A se tiene que:

amT A= (2)

Remplazando (2) en (1) y despejando "a" tenemos:

gmm

ma

BA

B

+= , 10

3070

30a ⋅

+= ,

2s

m3a =

b) La tensión de la cuerda es:

amT A= N3070T ⋅= N210T = .

7. Un bloque de masa 10 kg es levantado verticalmente por intermedio de una

cuerda, con aceleración de 2,0 m/s2. ¿Cuál es el módulo de la fuerza que la

cuerda ejerce sobre el bloque? Use g = 10 m/s2.

Solución



De la figura se observa que la fuerza (F) ejercida por la cuerda es:

F - mg = ma F = (a + g)m

Entonces

F = (10+2)·10 N F = 120 N.

8. En la figura vemos los cuerpos 1 y 2, de masas m1 = 2,0 kg y m2 = 4,0 kg

respectivamente, ligados por una cuerda que pasa por una polea. El bloque 2

esta apoyado en el suelo. Suponiéndose la inexistencia de rozamientos y de

otras masas, se pregunta cuales son los módulos de las siguientes fuerzas. g =

10 m/s2 ):

a) Fuerza de tensión en la cuerda f

b) Fuerza ejercida por el suelo sobre el bloque 2.

Solución

a) De la figura se observa que en el cuerpo 1.

gmT 1= N102T ⋅= T = 20 N

b) En el cuerpo 2 tenemos:

gmRT 2=+ TgmR 2 −=

Evaluando tenemos, R = 20 N



9. La figura representa un cuerpo de masa

igual a 60 kg sobre un plano inclinado de

30o en relación a la horizontal. Considere (g

= 10 m/s2) y desprecie el rozamiento. Cuál

es la fuerza necesaria para que:

a) El cuerpo suba el plano con

aceleración de 0,80 m/s2.

b) El cuerpo se mueva con velocidad

constante.

Solución

a) De la figura se observa que la fuerza (F) necesaria es:

ma)30(mgsenF =− )30(mgsenmaF +=

Evaluando

5,010608,060F ⋅⋅+⋅= F = 348 N

b) Cuando el cuerpo se mueve con velocidad constante, no hay aceleración por tanto

la fuerza necesaria es:

)30(mgsenF = F = 60 · 10 · 0,5 F = 300 N

10. Admita que su masa sea de 60 kg y que se encuentra sobre una balanza, la cual

se encuentra dentro de un elevador, como se ilustra en la figura. Siendo g = 10

m/s2 y estando la balanza calibrada en newtons, ¿cuánto indica la balanza,

cuando el elevador desciende con aceleración constante de 3,0 m/s2?



Solución

De la figura se observa que la fuerza que el hombre sobre la balance es R donde:

mamgR −=− R = (g – a) m

Evaluando tenemos:

R = (10 - 3)⋅60 N R = 420 N

11. El bloque de masa m de la figura está unido con un cordón

a una varilla vertical. Cuando el sistema gira en torno al eje

de la varilla, el cordón se extiende como se indica en el

diagrama, siendo la tensión en el cordón de 80,0 N.

Calcule:

a) El valor de la masa m del bloque, el cual tiene

movimiento circular uniforme.

b) La rapidez angular del bloque.

Solución

Hay equilibrio vertical: °= 153080 ,sen,mg

Entonces m = 6,52 kg

En dirección horizontal: Rm 2153080 ω=°,cos,

Entonces, ( )( ) s

rad133

s

rad

7500526

153080153080,

,,

,cos,,cos,=

°=

°=

mRω

12. Un carrito de control remoto con masa de 1,60 kg se

mueve a una rapidez constante de 12,0 m/s, en un

círculo vertical dentro de un cilindro hueco metálico

de 5,00 m de radio (ver figura). Calcule el valor de la

fuerza normal en los puntos A y B.

53,1°

0,750 m

53,1°

80,0 N

mg



Solución

En A

R

vmmgNA

2

=−

N 861819005

012601

22

,,,

,, =

+=

+= g

R

vmNA

En B

R

vmmgNB

2

=+

N 430819005

012601

22

,,,

,, =

−=

−= g

R

vmNB (0,5 puntos)

NA

W

NB W




1. Hallar la aceleración de un cuerpo que desciende por un plano inclinado sin

rozamiento.

Respuesta. g sen θ

2. Hallar la aceleración de los bloques 1 y 2, si m2

= 2 m1. No hay rozamiento.

Respuesta. (2/3)g

3. Hallar la aceleración de los bloques 1 y 2,

de masas m1 y m2, respectivamente.

Asuma que no hay rozamiento, que las

poleas son de peso despreciable y que m2

= 4 m1.

Respuesta. a1 = g, a2 = g/2

4. Hallar la aceleración del conjunto, si m1 =

200 kg, m2 = 180 kg y α = 30°.

Respuesta. 4g/19

5. En la figura mostrada se tiene un

carrito en cuyo interior está

suspendido un péndulo. Si el hilo del

péndulo forma con la vertical un

ángulo θ = 37°, hallar la aceleración

del carrito en m/s2.

1

2

1

2

α

m2 m1

α



Respuesta. 24 m/s2




1. Si el coeficiente de rozamiento entre A y

B es 0,300, ¿cuánto debe valer F para

que B no deslice?

a) 49,0 N

b) 147 N

c) 490 N

d) 980 N

e) 98,0 N

2. ¿Desde qué distancia mínima se debe lanzar un

bloque con una velocidad inicial de 36 km/h para

que no se caiga? El coeficiente de rozamiento

cinético de la superficie es µk = 0,5. Considere g

= 10 m/s2.

a) 1,0 m ≤ d ≤ 4,0 m

b) 4,0 m ≤ d ≤ 6,0 m

c) 6,0 m ≤ d ≤ 9,0 m

d) 9,0 m ≤ d ≤ 10 m

e) d ≥ 10 m

3. El sistema que se muestra está en equilibrio. A = B = 4,0 kg. Si

se añade 2,0 kg a la masa B, ¿cuánto tiempo invertirá la masa

A en subir 3,92 m?

a) 1,0 s

b) 2,0 s

c) 3,0 s

d) 4,0 s

e) 5,0 s

A B F

m

d

A B



4. Halle el coeficiente de rozamiento µ entre

A y B sabiendo que A no resbala

verticalmente. Considere g = 10 m/s2. MA

= 3,0 kg y MB = 7,0 kg.

a) 2/5

b) 1/5

c) 1/3

d) 1/2

e) 2/3

5. Un bloque de 3,0 kg está colocado sobre

otro de 5,0 kg. Los coeficientes de fricción

estático y cinético entre los bloques son

0,20 y 0,10 respectivamente. ¿Cuál es la

fuerza máxima F para que los bloques se

muevan juntos? Considere g = 10 m/s2.

a) 16 N

b) 1,6 N

c) 8,0 N

d) 160 N

e) Ninguna de las anteriores

B A 150 N

M = 5,0 kg

m = 3,0 kg

F

Liso


Trabajo 112

5. TRABAJO

El trabajo de una fuerza es el producto escalar del vector de fuerza paralela por e

vector desplazamiento:

dFrr

⋅=W

Cuando la dirección de la fuerza forma un ángulo θ con la dirección del

desplazamiento, como se aprecia en la figura, hay que multiplicar la componente de la

fuerza F, esto es F cos θ, por el desplazamiento d.

θcosFdW =

Si tenemos una fuerza F horizontal actuando sobre un cuerpo A que se desplaza

sobre el plano, como se muestra en la figura, el trabajo realizado por la fuerza, al

desplazar el cuerpo la distancia d, será:

FdW =

Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo, porque en

este caso la componente de la fuerza en la dirección del movimiento es igual a cero.

dv

θ

Fr


Trabajo 113

F

peso

desplazamiento

peso

desplazamiento

El peso es perpendicular al desplazamiento, según se muestra en la figura, por lo que

el trabajo realizado por el peso es cero.

5.1. UNIDADES DE TRABAJO

La unidad de trabajo es el joule (J), que es el trabajo efectuado por una fuerza de 1

newton de magnitud al mover su punto de aplicación la distancia de 1 metro en la

dirección de su aplicación. Es decir:

1 joule = 1 newton × 1 metro

5.2. TRABAJO MOTOR Y TRABAJO RESISTENTE

Si un cuerpo se mueve en el mismo sentido en que actúa la fuerza, el trabajo se

denomina motor; pero si el cuerpo se mueve en sentido contrario a la fuerza, el trabajo

se denomina resistente.

5.3. DETERMINACIÓN DE TRABAJO MECÁNICO CON GRÁFICOS

El trabajo realizado por una fuerza constante o variable es igual al área debajo de la

curva:


Trabajo 114


1. Si la fuerza que se aplica a un cuerpo es de 25 N y forma un ángulo de 45° con

la horizontal, ¿cuál será el trabajo realizado por la fuerza al mover dicho cuerpo

12 m por una superficie rugosa de coeficiente cinético de rozamiento igual a

0,20?

Solución

El trabajo puede calcularse a partir de la fórmula:

W = F⋅ d ⋅ cos θ

Reemplazando tenemos:

W = 25 N (12 m) cos 45o

W = 212 J

2. Se quiere subir a un camión una caja de 40 N, para ello se usa un plano

inclinado de 20 m de largo y cuyo ángulo de inclinación es de 37° y una fuerza

de 50 N que forma un ángulo de 37° con al dirección de desplazamiento sobre el

plano inclinado.

a) Hallar el trabajo realizado por cada una de las fuerzas aplicadas a la caja.

b) Hallar el trabajo total sobre la caja.

Solución (a)

El diagrama de cuerpo libre (DCL) nos muestra: Eje X: F cos 37o; P cos 53

o

x

W = Área

x1 x2

Fx

x

Fx

0 x

F

W = Área


Trabajo 115

Eje Y: N, P sen 53o; F sen 37

o.

37o

F

37o

P

37o

A

A´

AA =20m

37o

F

37o

P

37o

A

A´

AA =20m

Las fuerzas en el eje vertical no realizan trabajo, porque no tienen componentes en la

dirección de desplazamiento.

Para F: W = 50 × 20 × cos 37o = 800 J

37o

F

P

37o

N 37o

F

P

37o

N

Solución (b)

Finalmente, el trabajo total se obtiene sumando los trabajos parciales: W = 800 - 480 =

320 J


Trabajo 116

5.4. POTENCIA

La potencia es el trabajo realizado por una fuerza en la unidad de tiempo, es decir:

t

WP =

Donde W es el trabajo realizado y t es el tiempo transcurrido.

La potencia es un concepto muy importante, pues en un motor lo que interesa no es

tanto la cantidad total de trabajo que puede hacer hasta que se descomponga, sino la

rapidez con que puede entregar el trabajo, o sea, el trabajo que puede hacer en cada

unidad de tiempo: la potencia.

Unidades de potencia

En el sistema internacional la unidad de potencia es el watt (W) que representa la

potencia de una máquina que realiza un trabajo de un joule en un segundo. Es decir:

1W = 1J/1s


3. ¿Cuánto trabajo realiza una fuerza de 10 N que empuja un objeto una distancia

de 10m en la misma dirección?

Solución

W = F ⋅ d = 10 ⋅ 10 = 100 N

4. Cierto auto es capaz de aumentar su rapidez de 0 km/h a 100 km/h en 10 s. Si

se duplica la potencia del motor, ¿cuántos segundos tomará para efectuar este

cambio de rapidez?


Trabajo 117

Solución

Si desarrolla el doble de potencia entonces desarrollará el doble de fuerza y por lo

tanto el mismo cambio de velocidad lo hará en la mitad de tiempo

5. ¿Qué requiere más trabajo, levantar una masa de 10 kg una altura de 2 m o una

masa de 5 kg una altura de 4 m?

Solución

El mismo trabajo, porque el trabajo requerido es el producto del peso por la altura.

6. ¿En qué condiciones el trabajo realizado por una fuerza es cero?

Solución

Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento.

5.5. ENERGÍA MECÁNICA

Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Por consiguiente, la

energía es igual al trabajo que puede realizar el cuerpo. Pero si sobre el cuerpo se

realiza un trabajo, su energía aumenta en una cantidad igual al trabajo recibido:

Cambio de energía = Trabajo realizado

El concepto de energía es muy importante en Física. Muchos procesos que ocurren en

la naturaleza son mediante los cambios de energía que se producen.

Conviene ahora distinguir dos clases de energía: Energía cinética y Energía potencial.


Trabajo 118

5.6. ENERGÍA CINÉTICA

Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad.

Luego, un cuerpo posee energía cinética cuando se encuentra en movimiento, como

un automóvil en una carretera o una molécula en un gas.

La energía cinética está dada por la expresión:

2

2

1mvE k =

Donde m es la masa y v es la rapidez del cuerpo.

La energía se mide en las mismas unidades que el trabajo, porque es una magnitud

del mismo tipo. Luego, se expresa en joules si la masa está en kg y la velocidad en

m/s.


7. Supón que un auto tiene una energía cinética de 2 000 J. ¿Cuál será el valor de

su energía cinética si se duplica su velocidad?

Solución

J'k

E

JJ)('k

E

kEv)m('

kE

Jmvk

E

0008

000800024

42

22

1

20002

2

1

=

==

=⋅=

==


Trabajo 119

5.7. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA

El trabajo realizado por la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al cambio en la energía

cinética del cuerpo:

KIkFkneto EEEW −=∆=


8. (a) Si se duplica la rapidez de una partícula, ¿cuánto cambia su energía

cinética? (b) Si el trabajo neto realizado sobre una partícula es cero, ¿qué se

puede afirmar acerca de su rapidez?

Respuesta

(a) Aumenta a 4K. (b) Es constante.

9. Una partícula de 0,600 kg tiene una rapidez de 2,00 m/s en el punto A y una

energía cinética de 7,50 J en el punto B. Determine: (a) La energía cinética en A,

(b) la rapidez en B y (c) el trabajo total realizado sobre la partícula al desplazarse

de A hacia B.

Solución

(a) EKA = (0,600)(2,00)2/2 J = 1,20 J

(b) ( )mKv BB /2= = 5,00 m/s

(c) Wneto= EKB − EKA = 6,30 J


Trabajo 120

5.8. ENERGÍA POTENCIAL

La energía potencial es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud

de su posición o configuración, a causa de las fuerzas que actúan sobre él.

5.8.1. Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m que se encuentra a una

distancia h por encima de un nivel de referencia está dada por:

mghE p =

La energía potencial puede tomar valores positivos (por encima del nivel de

referencia) o valores negativos (por debajo).

5.8.2. Energía potencial elástica

Un resorte ideal estirado o comprimido ejerce una fuerza elástica F = −kx sobre un

cuerpo, donde x es la distancia de estiramiento o compresión.

La energía potencial elástica almacenada en un resorte está dada por:

2

2

1kxE p =

Donde k es la constante de fuerza del resorte y x es la distancia de compresión o

extensión del resorte respecto a su posición no alargada (de equilibrio).

La energía potencial total U es la suma de las energías potenciales gravitacional y

elástica.


Trabajo 121


10. ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso al caer desde la altura h? ¿Qué

relación existe entre la expresión encontrada y la variación de la energía

potencial?

Solución

El trabajo es igual a la fuerza por la distancia.

Trabajo = m g h

m

h

m

h

W = mg⋅h

W = EP1 – EP2

Ya que EP1 = m g h, y la EP2 = 0 (suelo).

11. Una bala 200 g que se desplaza a 50 m/s impacta en un bloque de madera, se

introduce y se detiene luego de penetrar cierta distancia. Si se sabe que la

profundidad alcanzada fue de 4,0 cm, (a) ¿cuál fue el trabajo realizado por las

fuerzas de rozamiento para frenar la bala? (b) ¿Cuál fue la fuerza de rozamiento

promedio que actuó sobre la bala?

Solución (a)

Cambio de energía cinética = trabajo realizado.

Entonces 2

2

10 ifricción mvW −=

W = 0,200× 502 / 2 = −250 J


Trabajo 122

Solución (b)

Por otro lado para hallar la fuerza:

fdWfricción −=

−250 = −f (0,040)

f = 6 250 N

12. Una bala de 5,0 kg abandona un cañón de 2,0 m de largo con una velocidad de

800 m/s. ¿Cuál es la fuerza propulsara de los gases de la pólvora y la energía

cinética de la bala en la embocadura del cañón?

Solución

F = m × a = 5 a; pero 8002 = 2a × 2 = 4a, entonces a = 1,6×10

5 m/ s

2

Entonces F = 800 000 N.

La energía cinética de salida será: (½ )×5,0x 8002 = 1,6×10

6 J

5.9. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL

Un cuerpo puede poseer, a la vez, energía cinética y energía potencial. Por ejemplo,

un avión que se mueve a cierta altura posee energía cinética y energía potencial

gravitatoria. La energía total es la suma de todas las formas de energía que posee un

cuerpo.

En el caso de un cuerpo de masa m que se mueve con rapidez v a la altura h, como

un avión, su energía total es:

mghmvp

Ek

ET

E +=+= 2

2

1

En el dibujo que se muestra a continuación, ¿cómo se transforma la energía cinética

en energía potencia, y viceversa?


Trabajo 123

h

3

h

A

B

C

h

3

h

A

B

C

5.10. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

En el universo, como consecuencia de los innumerables fenómenos que en él ocurren

continuamente, se está produciendo sin cesar una transformación o un intercambio de

energía entre los cuerpos.

Veamos algunos ejemplos:

• En los molinos de viento, la energía cinética de las moléculas de aire se transforma

en energía cinética de las aspas del molino; y esta, a su vez, en energía potencial

del agua que el molino eleva.

• En un cuerpo que cae hay transformación de energía potencial gravitatoria en

energía cinética, porque pierde altura y gana velocidad.

• En una represa, la energía potencial del agua, que se encuentra en un embalse a

gran altura, se transforma en energía cinética al caer al fondo de la represa. En

este proceso, gran parte de la energía cinética del agua se transforma en energía

cinética de las turbinas que esta mueve. Esta energía cinética, a su vez, se

transforma en energía eléctrica en los generadores conectados a las turbinas. La

energía eléctrica se distribuye, mediante alambres conductores, a las ciudades

vecinas. Durante este proceso de distribución, parte de la energía eléctrica se

transforma en energía calorífica que se manifiesta en el calentamiento de los

alambres. Ya en la ciudad, el resto de la energía eléctrica continúa

transformándose en más energía calorífica: en planchas, cocinas eléctricas, etc.;


Trabajo 124

en energía radiante: en las lámparas eléctricas y en los hornos microondas; en

energía cinética: en los motores. Así podríamos seguir, indefinidamente, la historia

y evolución de cada una de estas formas de energía a través del espacio y del

tiempo.

Si en cualquier transformación de energía se miden las cantidades de energía de cada

forma que intervienen en el proceso, se comprueba que siempre que desaparece

cierta cantidad de energía de una forma determinada, aparece una cantidad

equivalente de otra o de varias formas de energía.

Este resultado nos conduce a un enunciado muy importante:

Principio de conservación de la energía

La cantidad total de energía del Universo es constante; ni se crea ni se destruye,

únicamente se transforma.

En el caso concreto de la energía mecánica, la ley de conservación se enuncia de la

siguiente forma:

En ausencia de rozamiento, la suma de la energía cinética y energía potencial de un

sistema se conserva.

Y matemáticamente, se expresaría así:

pfE

kfE

piE

kiE +=+

Donde los índices i y f expresan los estados iniciales o finales del análisis, aunque

realmente pueden ser dos estados cualesquiera.


Trabajo 125

Trabajo hecho por la fricción

En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se conserva. En caso exista una

fuerza de fricción se verifica que el trabajo hecho por la fricción es igual al cambio de

la energía mecánica total:

( ) ( )pikipFkFTfricción EEEEEW +−+=∆=

El rozamiento es un fenómeno que no puede desdeñarse, ya que siempre lo

encontraremos en cualquier sistema que se caracterice por el contacto entre sus

partes componentes.


13. ¿Para cuál de los casos mostrados a continuación, el trabajo es mayor?

Solución

Para el gráfico de la izquierda W = (30,0 + 6,00*45,0/2) = 165 J

Para el gráfico de la derecha W = (4,00*75,00) = 300 J

El gráfico de la derecha representa un trabajo mayor.

F (N)

4,00

75,00

x (m)

F (N)

6,00

5,00

50,00

x (m)


Trabajo 126

14. Una bola de 2,0 kg se desliza por una superficie sin fricción (ABC) como se

muestra en la figura. En A, la energía cinética de la bola es de 10 J y la

potencial, 54 J. Calcula:

a) La altura de la bola en el punto A, y

b) La velocidad de la bola en el punto B.

c) La velocidad en el punto C.

h

3

h

A

B

C

h

3

h

A

B

C

Solución (a)

En A: Ek = 10 J, Ep = 54 J

Energía total Et = 64 J

La altura en A es:

Ep = mgh

54 J = 2(10)h

h = 2,7 m

Solución (b)

En B la energía potencial es:

EPB = EPA/3

EPB = 18 J

Como la energía total es 64 J

EkB = 46J

Por lo que

m/s,v

Jvm

B

B

86

462

1 2

=

=


Trabajo 127

Solución (c)

En C:

m/sv

E

E

c

k

p

08

0

0

,=

=

=

15. La pista representada en la figura consta de un cuarto de circunferencia lisa y de

un tramo recto rugoso, unidos como se indica en la figura. El radio de la

circunferencia es de 1,20 m y la inclinación del plano es de 37o. Un bloque de

10 kg, que parte del reposo, se abandona en el punto más alto de la pista

circular. Esta última carece de rozamiento, mientras que el coeficiente de

rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es de 0,30. ¿Qué parte de la

energía cinética del bloque se disipa por rozamiento cuando está en el punto

más alto de la trayectoria en el plano?

37o

1,2m

37o

1,2m

Solución

Como hay fricción en el plano inclinado entonces perderá energía. Si el plano es

suficientemente largo, la máxima altura se alcanzará cuando adquiera el bloque el

reposo. Entonces en esa situación habrá perdido toda su energía cinética.

16. Halla la velocidad de la masa de 3,0 kg cuando la

masa de 2,0 kg haya bajado 3,0 m. Las masas

parten desde el reposo y considere g = 10 m/s2.

3 kg

2 kg

3 kg

2 kg


Trabajo 128

Solución

Por conservación de la energía, tomando como referencia el nivel H = 3,0 m debajo

del bloque de 2 kg: 2 × 10 × 3 = (½ ) × 2 × v2

+ (½) × 3 × V2

, ya que ambos bloques

tendrán energía potencial cero al bajar 3 m el bloque de 2 kg.

La aceleración de ambos bloque es la misma y es a = 4 m/s2

(calcúlalo usando la

segunda ley de Newton).

Con esta aceleración podemos hallar la velocidad v, usando: v2

= 2 × a × 3 = 24.

Entonces v2 = (60 – 24) 2/3 = 24 ⇒ v = √24 m/s.

17. Un gimnasta eleva lentamente 100 kg a 15 m de altura en 20 s, siendo la

aceleración de la gravedad local igual a 10 m/s2. Determine:

a) El trabajo realizado por el gimnasta sobre el peso.

b) La potencia desarrollada por el gimnasta

Solución

a) El trabajo realizado es:

yy dFW .= J000151510100mghW =⋅⋅== kJ15W =

b) La potencia desarrollada es:

kW75020

15

t

WP ,=== kW750P ,=

18. Un niño resbala en un plano inclinado

partiendo del reposo, en el punto A y

alcanzando el punto B a una velocidad de 10

m/s. La aceleración de la gravedad local es

de 10 m/s2, la masa del niño es de 30 kg y el

punto A se localiza a 20 m del suelo.

Determine:

a) La energía mecánica disipada.

b) La velocidad del niño al alcanzar el punto B, suponiendo que no hay


Trabajo 129

disipación de energía.

Solución

La energía mecánica disipada es la diferencia entre las energías mecánicas en el

Punto (B) y el punto (A) es decir MBMAd EEE −=

Calculemos las energías mecánicas en los puntos (A) y (B) entonces:

J201030mghEE pMA ⋅⋅=== kJ6EMA =

J2

1030

2

mvEE

22B

cMB

⋅=== kJ51EMB ,=

Entonces la energía disipada es:

kJ54516Ed ,, =−= kJ54Ed ,=

19. Un bloque de masa 1,00 kg se desliza hacia la derecha sobre una superficie

que tiene un coeficiente de fricción de 0,250. La masa es impulsada con una

rapidez de 3,00 m/s . Cuando ha recorrido 0,200 m se topa con un resorte que

tiene un coeficiente de elasticidad de 50,0 N/m. ¿Cuál es la distancia

comprimida del resorte?

Solución

Sabemos que el trabajo realizado por la fuerza de fricción es igual al cambio de la

energía mecánica total entre A (cuando la rapidez es de 3,00 m/s) y B (cuando el

bloque se detiene y el resorte se comprime al máximo una distancia x). Entonces

22

2

1

2

1AABf mvkxEEW −=−=

( ) 22

2

1

2

1Akf mvkxxdmgW −=+−= µ

m = 1,00 kg

K = 50,0 N/m

d = 0,200 m x

vA = 3,00 m/s vB = 0


Trabajo 130

Reemplazando los datos numéricos, obtenemos una ecuación cuadrática

25,0 x2 + 2,45 x − 4,01 = 0

Resolviendo se obtiene la distancia comprimida del resorte x = 0,354 m.


Trabajo 131


1. Un bloque parte del reposo de A, si la

superficie es lisa desde A hasta B, calcular

la distancia BC necesaria para detener al

bloque, si BC es rugosa con coeficiente µk.

Respuesta. h/µk

2. Calcular el trabajo que realiza el

muchacho, si el carrito de 25 N avanza

10 m a velocidad constante (no hay

fricción).

Respuesta. 125 J

3. El cuerpo m de la figura, empieza a deslizar desde el punto A llegando a

detenerse en el punto C. ¿Cuál es el trabajo en joules desarrollado por las

fuerzas de rozamiento de A hasta C?

Respuesta. 20 000 J

h

A

B C

m

h

h/3

A

B

C

30°

53°

30°


Trabajo 132

4. Se tiene un cuerpo deslizándose por una superficie sin rozamiento. Al pasar por

A tiene una velocidad de módulo 10 m/s. ¿Cuánto subirá en forma vertical

medido a partir del nivel de referencia? Considere g = 10 m/s2.

Respuesta. 7,0 m

5. Una bala de masa m con velocidad 100 m/s, penetra en un bloque de madera

fijo y se detiene a una profundidad de 10 cm. Si la fuerza retardadora es

constante, ¿cuánto demoró en detenerse?

Respuesta. 2,0×10−3

s

2,0 m h = ?

A


Trabajo 133


1. Hallar el trabajo total efectuado sobre

una masa de 30,0 kg para desplazarla

desde A hasta B (distantes 10 m). La

fuerza F actuante es de 200 2 N y µk

= 0,200. Considere g = 10 m/s2.

a) 900 J

b) 1 200 J

c) 700 J

d) 1 100 J

e) 1 800 J

2. Se empuja el bloque de 40 kg mediante una

fuerza F paralela al plano inclinado del

punto A al punto B. Luego en B se retira la

fuerza y se le permite deslizar hasta la

mitad de la distancia entre A y B. Encontrar

el trabajo hecho por la fuerza de fricción. µk

= 0,30 y g = 10 m/s2.

a) -72 J

b) -240 J

c) -24 J

d) -720 J

e) Ninguna de las anteriores

A B

45°

F

F

3,0 m A

B

37°


Trabajo 134

3. Un cuerpo de 1,00 kg inicialmente en reposo, se encuentra sobre una superficie

horizontal sin rozamiento. Sobre el cuerpo actúa una fuerza horizontal cuya

magnitud varía con el tiempo de la siguiente manera:

¿Cuál es el trabajo hecho por la fuerza durante el 2° segundo?

a) 0,500 J

b) 0,125 J

c) 0,375 J

d) 0,250 J

e) 0,650 J

4. Sobre un bloque de masa M que desciende a velocidad constante por un plano

inclinado un ángulo θ con la horizontal, actúa una fuerza F paralela al plano

inclinado. Si µk es el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano,

calcular el trabajo realizado por F al recorrer el bloque una distancia d.

a) µk⋅M⋅g⋅d⋅cosθ

b) M⋅g⋅d⋅(senθ – µk ⋅ cosθ)

c) µk⋅M⋅g⋅d⋅senθ

d) M⋅g⋅d⋅( µk ⋅ cosθ - senθ)

e) M⋅g⋅d⋅µk ⋅(senθ – cosθ)

F (N)

t (s)

1,0 0 1,0 2,0


Trabajo 135

5. El trabajo realizado por F(x) al trasladar un

cuerpo desde x = 0 a x = 10 m es de 96 J.

Determine el valor de F para x = 14 m.

a) 24 N

b) 12 N

c) 15 N

d) 17 N

e) 20 N

F (x)

x (m)

12 0 6,0 10,0


Cantidad de movimiento 136

6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Se define la cantidad de movimiento pr

o momento lineal como:

vprr

m=

Por ser una cantidad vectorial, podemos

expresarla en sus componentes rectangulares:

xx mvp = ymvpy = zz mvp =

La cantidad de movimiento se mide en kg·m/s.

6.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE

DOS PARTÍCULAS

Sean dos partículas aisladas, pero que

pueden interactuar entre si tal como se

indica en la figura y donde solo están

presentes las fuerzas F12 y F21 que

corresponden al par acción y reacción,

es decir si la suma de fuerzas externas

al sistema es igual a cero, entonces la

cantidad de movimiento pr

del sistema

se mantiene constante.

constante21 =+= ppprrr

Para dos partículas,

( ) ( )después2211antes2211 vvvv

rrrrmmmm +=+

m1

p1 = m1v1 v1

m1

m2

F12

F21

p1 = m1v1

p2 = m2v2



6.2. COLISIONES

Durante cualquier tipo de colisión o choque, la cantidad de movimiento se mantiene

constante instantes antes e instantes después de la colisión.

Existen los siguientes tipos de colisiones:

• Una colisión es elástica si la energía cinética se mantiene constante.

• Una colisión es inelástica si la energía cinética no se mantiene constante.

• Una colisión es perfectamente inelástica si la energía cinética no se mantiene

constante y además las partículas permanecen unidas después de la colisión.

6.2.1. Colisiones en una dimensión

Colisión elástica en una dimensión

Se conserva el momento lineal:

( ) ( )22112211 ´´ vvvvrrrr

mmmm +=+

Podemos suprimir el vector unitario i para escribir:

( ) ( )22112211 v´m´vmvmvm +=+

Además, se conserva la energía cinética:

2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1v´mv´mvmvm +=+

Colisión inelástica en una dimensión


( ) ( )22112211 ´´ vvvvrrrr

mmmm +=+

La energía cinética instantes antes e instantes después de la colisión no se mantiene

constante:

222

211

222

211

2

1

2

1

2

1

2

1v´mv´mvmvm +≠+



Colisión perfectamente inelástica en una dimensión


( ) ( ) después21antes2211 mmmm vvvrrr

+=+

La energía cinética instantes antes e instantes después de la colisión no se mantiene

constante.

6.2.2. Colisiones elásticas en dos dimensiones entre dos partículas

En la figura observará que dos esferas que no están alineadas van a colisionar. Aquí

también se conserva la cantidad de movimiento de las esferas instantes antes de la

colisión e instantes después de la colisión. También observará que después de la

colisión las esferas se mueven en dos dimensiones. Así, debe analizar la conservación

de la cantidad de movimiento en las direcciones x e y.

En el eje x:

φcoscos ´´ vmθvmvm 221111 +=

En el eje y:

φsensen ´´ vmθvm 22110 −=

Además se conserva la energía cinética antes y después de la colisión:

m1

m2



221

211

211

2

1

2

1

2

1v´mv´mvm +=

6.2.3. Coeficiente de restitución

Se define el coeficiente de restitución como

12

21

vv

v'v'e

−

−=

Donde v1 y v2 son las velocidades de las

partículas instantes antes de la colisión; v´1 y v´2

son las velocidades inmediatamente después de

la colisión.

Observe que:

• Para colisiones elásticas e = 1.

• Para colisiones inelásticas 0 < e < 1.

• Para colisiones completamente inelásticas e = 0.


1. Un buen tirador dispara un rifle sosteniendo la culata del mismo contra su

hombro. Si la magnitud de la cantidad de movimiento de avance de una bala es

igual a la cantidad de movimiento de retroceso del rifle, ¿por qué no es tan

peligroso el golpe del rifle como el de la bala?

Solución

Por conservación de la cantidad de movimiento: rrbb vmvm −=0

Entonces la rapidez del rifle es b

r

br v

m

mv = , y como br mm >> entonces su rapidez

será menor (y por lo tanto su energía cinética).



2. Una astronauta de masa 60,00 kg

da un paseo espacial para reparar

un satélite de comunicaciones. Un

compañero de equipo le lanza el

repuesto del satélite a 4,00 m/s

relativa al vehículo espacial. Ella

se encuentra en reposo relativo respecto al vehículo espacial justo antes de

atrapar el repuesto de 3,00 kg, como se muestra en la figura.

a. Determina la rapidez del astronauta justo después de atrapar el repuesto.

b. La variación de la energía mecánica del sistema repuesto – astronauta.

Solución

No existen fuerzas externas al sistema, entonces Pr

se conserva.

vmmvm )( 2111 += , smvmm

mv /,),(

,

,1900004

0063

0031

21

1 =

=

+=

JvmvmmKKK if 9222

1

2

1 2

11

2

21 ,)( −=−+=−=∆

Hay pérdida de energía debido a la colisión completamente inelástica.

3. Un auto de 1 200 kg que viaja inicialmente con rapidez de 25,0 m/s con rumbo al

este choca contra la parte trasera de una camioneta de 9 000 kg que se mueve

en la misma dirección a 20,0 m/s, como se muestra en la figura. La rapidez del

auto justo después del choque es de 18,0 m/s en dirección este.

¿Cuál es la rapidez de la camioneta justo después del choque?

¿Cuánta energía mecánica se pierde en el choque?

4,00 m/s

3,00 kg

60,00 kg 63,00 kg

25,0 m/s

20,0 m/s

Antes

18,0 m/s

v

Después



Solución

Como pr

se conserva: vmvmvmvm 2112211 +=+ ´

0009

018120002010000251200

2

112211

,

),(),(),(´ −+=

−+=

m

vmvmvmv

smv /,920=

JvmvmvmvmKKK if

42

22

2

11

2

22

2

11 105012

1

2

1

2

1

2

1×−=

+−+=−=∆ ,)´´(

4. En la figura se muestran las velocidades de

dos masas de m1 = 0,200 kg y m2 = 0,300

kg, instantes antes e instantes después de

una colisión inelástica con e = 0,800.

Determine:

a. Las velocidades (módulo y dirección) de

la masa m2 antes y después de la

colisión.

b. El cambio de energía cinética del sistema.

Solución (a)

Conservación de la cantidad de movimiento:

Coeficiente de restitución:

Resolviendo:

Solución (b)

Cambio de energía cinética:

Antes de la colisión

m1 m2

( ) i,v sm 0041 =r

2vr

Después de la

colisión

( ) i,v sm 7251 −=′r

2v ′r

m1 m2



5. En un campo de fútbol americano muy lodoso (sin fricción), el jugador A de 110

kg choca con un jugador rival B de 85 kg. Justo antes del choque, el jugador A

resbala con una velocidad de 8,8 m/s hacia el norte, y el jugador B lo hace con

una velocidad de 7,2 m/s hacia el este. Determine la velocidad (módulo y

dirección) con la cual se mueven juntos los dos jugadores inmediatamente

después de la colisión. (Para su respuesta debe presentar un dibujo adecuado

antes y después de la colisión, indicando las magnitudes pedidas)

Solución

Se conserva la cantidad de movimiento durante el

choque:

En x:

( ) θcosvmmvm BABB +=

( ) ( ) θcos, v851102785 +=

En y:

( ) θsenvmmvm BAAA +=

( ) ( ) θsen, v8511088110 +=

Resolviendo: θ = 57,7° = 58°

v = 5,87 m/s = 5,9 m/s

vA

vB

v

θ



6. Un automóvil A de 1500 kg viaja al sur y una camioneta B de 2000 kg viaja al

oeste. Si ambos colisionan y se mueven juntos con un momento lineal total (de

los dos vehículos) de 8000 kg⋅m/s dirigida a 45,0° al oeste del sur, determine la

rapidez inicial de cada vehículo instantes antes de la colisión.

Solución

Se conserva la cantidad de movimiento durante el

choque:

En x:

°−=− 045,senPvm BB

°= 04580002000 ,senBv

En y:

°−=− 045,cosPvm AA

°= 04580001500 ,cosAv

Resolviendo: vB = 2,83 m/s

vA = 3,77 m/s

7. Una bala de 5,00g viaja horizontalmente con velocidad de 500 m/s y choca con

un bloque de madera de 0,400 kg de masa que estaba en reposo sobre una

superficie plana. La bala atraviesa el bloque y sale con una rapidez reducida a

130 m/s. El bloque se desliza una distancia de 5,00 m sobre la superficie con

respecto a su posición inicial.

a. ¿Qué coeficiente de fricción cinética hay entre el bloque y la superficie?

b. ¿Qué cantidad de energía mecánica se pierde durante la colisión?

vA

vB

P 45,0°



Solución (a)

Velocidad del bloque inmediatamente después de la colisión

VMvmvm bloquebbalabbala += '

( ) smsmvvM

mV bb

bloque

bala /,/,' 6346254 ==−=

Cálculo del coeficiente de fricción usando energía solo para el bloque:

MgdMV kµ−=− 2

21

21802

2

,==gd

Vkµ

Solución (b)

La energía que se pierde durante la colisión:

( )( ) ( )( ) ( )( )

+−= −− 22323 62548000

2

113010005

2

150010005

2

1,,,, xxQ

Q = 574,19 J = 574 J




1. Un objeto de 0,10 kg que se desplaza inicialmente con una velocidad de 0,20

m/s hacia el este sufre un choque frontal elástico con un objeto de 0,15 kg que

en un principio está en reposo. ¿Cuál es la velocidad final del objeto de 0,10 kg

después del choque?

Respuesta. 0,04 m/s hacia el oeste

2. Si la bala de masa m que tiene una velocidad v se incrusta en el bloque de masa

M, de tal manera que el conjunto recorre una distancia d sobre el plano

horizontal, antes de detenerse, el coeficiente de rozamiento cinético entre el

bloque y el plano horizontal es:

Respuesta. dg

v

Mm

m

⋅⋅⋅

+ 2

22

3. Sobre la carretilla B se coloca un carrito A

y se le comunica al sistema una velocidad

v = 3,0 m/s. En cierto punto de la

trayectoria hay un obstáculo que impide

que A se siga moviendo. ¿Qué sucede

con B, luego del choque del carrito A con el obstáculo?

a) Se sigue moviendo con la misma velocidad

b) Se detiene

c) Aumenta su velocidad

d) Disminuye su velocidad

e) Faltan datos. No se puede determinar

M

d

v

A

B

v



Respuesta. c)

4. Un hombre que se encuentra sobre un carro, viaja en línea recta con una

velocidad de 2,0 m/s. La masa del carro y del hombre es 190 kg y llevan una

piedra de 10 kg que es arrojada hacia adelante con velocidad de 11,5 m/s

respecto de Tierra. El porcentaje de variación de la velocidad que tienen el carro

y el hombre, después de arrojar la piedra disminuye en:

Respuesta. Disminuye 25%

5. Si después del choque la velocidad de A es 1,0 m/s, ¿cuál será la velocidad de

B?

Respuesta. 1,5 m/s (derecha)

A B

vA = 2,0 m/s vB = 1,0 m/s

Superficie lisa

Antes del choque




1. ¿Cuánto vale BA mm , si la velocidad

del bloque A después del choque es

vA/3? El choque es perfectamente

elástico.

a) 2

b) 5

c) 1/5

d) 1/2

e) 2/3

2. Un cañón cuya masa es 5,0 × 103 kg, dispara un proyectil que pesa 100 kg. La

energía cinética del proyectil al salir del cañón es 7,5 × 106 J. ¿Qué energía

cinética adquirirá el cañón a causa del retroceso?

a) 7,5 × 104 J

b) 7,5 × 106 J

c) 15 × 104 J

d) 1,5 × 104 J

e) 2,5 × 103 J

3. Una masa m = 20 kg que traía una

velocidad de 15 m/s choca contra otra

masa M = 40 kg que estaba en reposo.

¿Cuál será la velocidad de la masa de

40 kg si el choque ha sido

perfectamente elástico?

a) 5,0 m/s

b) 20 m/s

A B

vA vB = 0 m/s

Superficie lisa

15 m/s

Superficie lisa

m M



c) 15 m/s

d) 7,0 m/s

e) 10 m/s

4. Una masa explosiva depositada en el suelo, explota fragmentándose en dos

partes, una de 0,40 kg que sale impulsada hacia el norte con una velocidad de

12,6 m/s y la otra de 0,18 kg que sale con una velocidad v de dirección

desconocida. Determinar v.

a) 30 m/s

b) 15 m/s

c) 28 m/s

d) 14 m/s

e) 18 m/s

5. Determine la altura H en cm que

alcanzarán las 2 bolas

mostradas, si la masa m es

puesta en libertad desde la

posición señalada (1).

a) 30 cm

b) 10 cm

c) 20 cm

d) 45 cm

e) 60 cm

(1) m

m 2m

2m m

h = 90 cm H = ?


Dinámica de cuerpos rígidos 149

m

R

Eje de giro

7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS

7.1. MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia es la resistencia que presentan los cuerpos a cambiar su

estado de rotación.

El momento de inercia de un cuerpo rígido depende de la distribución de masa del

mismo alrededor del eje de rotación y se mide en kg·m2.

Tabla 7.1 Momentos de inercia de diversos cuerpos

Cuerpo Momento de Inercia (kg·m2)

Masa puntual

2mRI =

Varilla delgada eje por el centro

2121 MLI =

Cilindro hueco

( )22

212

1 RRMI +=

Cilindro relleno

221 MRI =

L

R1

R2

R



Cilindro hueco de pared delgada

2MRI =

Esfera rellena

252 MRI =

Esfera hueca de pared delgada

232 MRI =


1. Si tuviera dos lapiceros de la misma marca y en el

extremo de uno de ellos colocara un borrador grande,

como se muestra en la figura, ¿cuál de los dos lapiceros

caería primero si estuvieran en posición vertical? ¿Por

qué?

Solución

Caería primero el lapicero que no tiene el borrador pegado porque tendría menor

momento de inercia y por lo tanto menor oposición al giro del lapicero.

R

R

R



ω

Eje de giro

7.2. ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL

En la figura se muestra un cilindro con momento de inercia I

que gira alrededor de su eje principal con rapidez angular ω. La

energía cinética rotacional de este cuerpo rígido es:

2I2

1K ω=


2. En la figura se muestra una masa m = 12,0 kg

suspendida de dos cuerdas, una enrollada alrededor de

un cilindro de radio r1 = 0,100 m y momento de inercia I1

= 0,0500 kg⋅m2, y la otra enrollada alrededor de un

cilindro de radio r2 = 0,150 m y momento de inercia I2 =

0,120 kg⋅m2. La masa se suelta desde el reposo y

desciende una altura h = 6,00 m.

a. Determine la rapidez de la masa m cuando desciende

6,00 m.

b. La aceleración angular en ambos cilindros.

Solución (a)

Por conservación de la energía mecánica (tomando el nivel en el suelo),

2

2

22

2

11 2

121

21

mvr

vI

r

vImgh +

+

=

De donde =

++

=

mr

I

r

I

mghv

22

22

1

1

27,95 m/s

Solución (b)

h

m

I2 I1



La aceleración tangencial es h

va

2

2

= = 5,27 m/s2

Entonces 1

1r

a=α = 52,7 rad / s2 y

22

r

a=α = 35,1 rad / s2

3. Un cilindro de masa M y radio RC =

2R, con momento de inercia

2C C

MR7

5I = se ata a un hilo mediante

un yugo a un eje sin fricción que pasa

por el centro del cilindro de modo que

éste puede girar. El hilo pasa por una

polea con forma de disco de masa M

y radio R montada en el eje sin

fricción que pasa por su centro. Un

bloque de masa M se suspende del extremo libre. El hilo no resbala en la polea

y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa, liberándose el sistema desde el

reposo. Usando sólo el método de energía, calcule:

a. La rapidez del bloque al descender una altura d = 4,00 m.

b. La aceleración del bloque.

Solución (a)

Energía mecánica inicial = energía mecánica final, con el nivel de referencia en la

posición inicial del bloque de masa M.

0MgdMv2

1ωI

2

1Mv

2

1ωI

2

1 22

PP

22

CC =−+

+

+

0MgdMv2

1ωMR

2

1

2

1Mv

2

1ωMR

7

5

2

1 22222

C

2PC =−+

++

0MgdMv2

1ωMR

4

1Mv

2

1ωMR

14

5 22P

2222CC =−+++

0MgdMv2

1Mv

4

1Mv

2

1MV

14

5 2222 =−+++

d



Finalmente, d2,47gd45

28v == = 4,94 m

Solución (b)

Como gdadv4528

22 == , entonces 2m/s3,05g45

14==a

7.3. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE

Se define el momento de una fuerza o torque ττττ de una fuerza F respecto del punto de

giro O como,

Frrrr

×=ττττ

Por definición de producto vectorial su

magnitud es:

φτ Fsenr= .

En el Si el torque se mide en N·m.

Podemos expresar el torque de una manera

más familiar, si observamos en la figura que

φrsend = . Entonces podemos expresar el

torque como:

Fd=τ

Donde d es el brazo de palanca.

Observe ahora a la barra de longitud L que puede girar alrededor de unos de sus

φ

Punto de giro

O rr

Fr

Frrrr

×=τ



extremos. Apliquemos ahora una fuerza de valor Fr

y veamos qué es lo que sucede:

• La fuerza Fr

le produce un giro antihorario a

la barra. En este caso el torque es

( ) kFd ˆ=τr

.

• La fuerza Fr

le produce un giro horario a la

barra y en este caso el torque será:

( ) kFd ˆ−=τr

.

• La fuerza Fr

no produce ningún giro

a la barra y en este caso el torque

es cero.

Observaciones:

• El torque está relacionado con los giros que realizan los cuerpos.

• Mientras más grande sea el brazo de palanca, mayor es el torque y mayor es la

tendencia del cuerpo a girar.

• Es importante notar que si la fuerza y el brazo de palanca son paralelos (la fuerza

está en la dirección radial) el torque resulta ser cero.


4. Se aplican tres fuerzas de igual magnitud a una placa cuadrada

como se muestra en la figura. Indique en que sentido (horario o

antihorario visto de planta) gira la placa. Fundamente su respuesta.

O •

F F

F θ



Solución

Los torques debido a las fuerzas verticales se anulan.

Entonces el torque neto es debido a la fuerza inferior, el cual produce un giro

antihorario.

5. Las tres barras representadas en la figura son uniformes e idénticas. Sobre cada

barra actúan dos o más fuerzas, todas de igual magnitud y perpendiculares a las

barras, como se muestra en la figura. Sustentando su respuesta, señale la barra

que se encuentra en equilibrio. Despreciar el peso de las barras.

Solución

Alternativa 3. Ya que la suma de fuerzas es cero y la suma de torques es cero.

7.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Supongamos que dos fuerzas iguales y opuestas actúan

sobre un cuerpo rígido tal como se muestra en la figura.

¿Se encuentra el sólido en equilibrio?

Aunque en este caso la suma de fuerzas sobre el cuerpo

es nula, el cuerpo no está en equilibrio, pues las fuerzas lo harán girar.

Vemos pues que para el caso de un cuerpo rígido, la condición

∑ = 0Frr

no es suficiente para mantener el equilibrio, necesitamos otra condición que nos

garantice que el cuerpo no gire. Esta condición nos la da el torque. Asi:

1° CONDICION DE EQUILIBRIO: Condición de equilibrio de traslación: ∑ = 0Frr



2° CONDICION DE EQUILIBRIO: Condición de equilibrio rotacional: ∑ = 0rr

τ


6. Un hombre lleva una tabla de 3,20 metros (ver figura). Con una mano empuja

hacia abajo sobre uno de los extremos con una fuerza F1 y con la otra mano,

que está a 40,0 cm de este extremo, empuja hacia arriba con una fuerza F2. La

tabla pesa 12,0 N y esta fuerza se aplica en su centro. (a) Dibuje el DCL de la

Tabla y (b) determine el módulo de F1 y F2 para que el sistema se encuentre en

equilibrio.

Solución (a)

El DCL se muestra en la figura.

Solución (b)

Aplicamos la segunda condición de equilibrio (momentos alrededor de extremo

izquierdo)

(F2)(0,400) = 12,0(1,60)

F2 = 48,0 N

0,400 m

F1

F2

1,60 m

0,400 m

12,0 N



Además por la primera condición)

F1 = F2 − 12,0 = 36,0 N

7. Se aplica una fuerza de 400 N sobre la barra que se muestra en la figura. El

punto de aplicación de esta fuerza está a 28,0 cm del punto O. Además sobre

la barra se aplican las fuerzas FB a 5,00 cm del punto O y FH como se muestra

en la figura. Si la barra pesa 30,0 N, determine:

a. El módulo de la fuerza ejercida FB.

b. El módulo y la dirección de la fuerza FH.

Solución

Aplicando la segunda condición de equilibrio y tomando

momentos alrededor de O:

( ) ( )( )cm N cm FB 028400005 ,, =

N FB310242 ×= ,

Aplicando la primera condición de equilibrio:

N FH 030,sen =θ

400−= BH FF θcos

Dividiendo las ecuaciones anteriores obtenemos la dirección de FH

400102420303 −×

=,

,tanθ , °= 9340875540,θ , °= 9340,θ

400 N

28,0 cm

5,00 cm

FB

FH cosθ

30,0 N

FH senθ

O

400 N

28,0 cm

5,00 cm

FB

FH 30,0 N

O



Entonces, ( )

N N

FH

3108419340875540

030×=

°= ,

,sen

,

8. El hombre de la figura sostiene una escalera de 5,400 m de longitud y 373 N

de peso, el cual está aplicado en el punto medio de la escalera. Determine el

módulo de la fuerza F1 que aplica el hombre a la escalera

Solución

Debido a que no se puede usar la primera

condición de equilibrio, al desconocer el módulo

de la fuerza en el punto de apoyo, debemos

aplicar la segunda condición de equilibrio,

considerando el punto de giro al extremo inferior

de la escalera.

Entonces, 211 dFwd =

( )( ) ( ) °=° 030600310307002 ,cos,,cos, m Fm N373

F1 = 279,75 N = 280 N

373 N 30,0°

F1

2,700 m

0,900 m

2,700 m

w

30,0°

F1

O

d1 d2



7.5. MOMENTO ANGULAR

Se define el momento angular de una partícula como:

prLrrr

×=

Cuya magnitud es φsenprL = .

Observa que:

• Si pr

es paralelo a rr

, entonces 0Lrr

= .

• Si pr

es perpendicular a rr

, entonces Lr

toma su máximo valor, rpLmax = .

El momento de una fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de

cambio del momento angular de la partícula:

τrrr

r

=×= Frdt

Ld

Esta expresión es válida si los orígenes de L y τ son comunes.

7.5.1. Conservación del momento angular

Al igual que la conservación del momento lineal, el principio de conservación del

momento angular es una ley de conservación universal.

φ

m

O rr

prLrrr

×=

pr



Sí 0τ

rr= , entonces. 0

dt

Ld rr

= y por lo tanto, Lr

es constante.

“Si el torque neto sobre una partícula es cero, entonces su momento angular se

mantiene constante”.

Observe además que Si r yFrr

son paralelos, entonces 0Frrrr

=× y por lo tanto el

momento angular se mantiene constante.

7.5.2. Momento angular de un sistema de partículas

Supóngase que se tiene un sistema de varias

partículas, entonces el momento angular del

sistema está dado por:

∑=++= i21 L....LLLrrrr

Observaciones

• Si el sistema de partículas se encuentra aislado (no hay fuerzas externas actuando

sobre el sistema), el momento angular del sistema se mantiene constante.

• Las fuerzas internas (fuerzas de interacción entre las partículas) no alteran el

momento angular del sistema.

• Si sobre el sistema actúan varias fuerzas externas, el torque resultante es igual a la

suma de los torques externos ∑=++= i21 τ....τττrrrr

(la sumatoria no incluye los

torques producidos por las fuerzas internas).

7.5.3. Momento angular de un sólido

Supóngase un sólido rígido que gira alrededor de uno

de sus ejes de simetría, su momento angular L y su

rapidez angular ω están relacionados según:



ωrr

IL =

Donde I es el momento de inercia del sólido respecto al eje de giro (eje de simetría).

Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes de simetría su momento angular y

su velocidad angular son vectores paralelos.

Si el torque de las fuerzas que actúan sobre el sólido es cero, entonces su momento

angular se mantiene constante, por lo tanto,

constanteI =ω

“Un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal (de simetría) se mueve con

rapidez angular constante si el torque externo resulta ser cero”.


9. En el principio del Universo, las estrellas (como el Sol) son grandes cuerpos

gaseosos de forma esférica que giran lentamente. Debido a la gravedad, estos

cuerpos de gas disminuyen poco a poco su volumen. ¿Qué le ocurre a la rapidez

angular de una estrella a medida que ésta se recoge?

Solución

Como no hay torques externos Lr

se conserva.

Así: 2211 ωω II = , entonces 12

12 ωω

I

I=

Al reducirse el volumen, 2I es menor que 1I , por lo cual 12 ωω >

10. Si se produce un calentamiento global a lo largo de este siglo, es probable que

los casquetes polares de la Tierra se fundan y el agua se distribuya más cerca

del ecuador. (a) ¿Cómo cambiaría esto el momento de inercia de la Tierra? (b)

¿Aumentaría o disminuiría la duración del día?



Solución (a)

Al fundirse el hielo, la masa se alejaría más del eje de rotación y el momento de

inercia aumentaría. Como cteI =ω , un aumento de I ocasiona una reducción en la

rapidez angular.

Solución (b)

Al disminuir ω , se retarda la rotación (aumenta el periodo) y por consiguiente, la

duración del día aumentaría.

11. Albert se para en el centro de una mesita giratoria

con los brazo extendidos horizontalmente y una

pesa en cada mano, como se muestra en la figura.

Luego se le pone a girar sobre un eje vertical y la

mesita no presenta fricción. Si él lleva las pesas a

su abdomen explique si la rapidez angular en este

segundo caso aumenta, disminuye o permanece constante con respecto al caso

inicial. Fundamente su respuesta.

Solución

Como no hay torques externos la cantidad de movimiento angular respecto al eje de

giro permanece constante.

Entonces, i

f

if

I

Iωω = Como el momento de inercia final If disminuye (al acercar la

masa al eje de giro), entonces la rapidez angular ωf aumenta.



12. La figura muestra un tubo cilíndrico

hueco de masa M, longitud L y momento

de inercia ML2/10, con tapas en los

extremos. Dentro del cilindro se

encuentran dos masas m separadas

una distancia d y atadas a un vástago

central por una cuerda delgada. El sistema puede girar alrededor de un eje

vertical (muy ligero) a través del cilindro. Cuando el sistema gira con rapidez

angular ω, las cuerdas que mantienen las masas se rompen súbitamente,

llegando las masas a ubicarse en los extremos del tubo. Calcula la expresión

correspondiente a la rapidez angular final del sistema. Considera que las

paredes interiores del cilindro carecen de rozamiento.

Solución

Como no hay torques externos: 221 ωω II = , de donde

ωω2

12

I

I=

Los momentos de inercia inicial y final son:

masastubo III +=1 210

22 mdML+=

22

2 22

10

+=

Lm

MLI

22

210mLML

+=

Entonces, ωω

210

21022

22

2mLML

mdML

+

+

=

13. Una mujer de 60,0 kg está parada en el borde de una mesa giratoria horizontal

en forma de disco sólido. La mesa tiene un momento de inercia de 500 kg⋅m2 y

un radio de 2,00 m y al principio está en reposo y tiene libertad de girar

alrededor de un eje vertical sin fricción que pasa por su centro. La mujer

empieza a caminar alrededor de la orilla en dirección de las manecillas del reloj

(visto desde arriba del sistema) a una rapidez constante de 1,50 m/s en relación

L

m m

d



con la Tierra.

a. ¿En qué dirección y con qué rapidez angular gira la mesa giratoria?

b. ¿Cuánto trabajo realiza la mujer para poner en movimiento la mesa giratoria?

Solución (a)

El momento angular del sistema se conserva, entonces 22110 ωω II −= donde I1 es el

momento de inercia de la mujer (tratada como una partícula) e I2 es el momento de

inercia de la mesa.

Entonces,( )

( ) rad/sR

v

I

mR

I

I3600501

50000260

2

2

12

12 ,,

,==

== ωω , en dirección

contraria a la de la mujer.

Solución (b)

if KKKW −=∆=

2212

222

22

2

21

21

21

21

ωω IR

vmRI

R

vIW m +

=

−−

=

JW 999360050021

50106021 22 ,),)((),)(,( =+=

7.6. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

COMBINADAS

Si un cuerpo rota alrededor de un eje de giro, el torque neto generado por la fuerza

externa será:

ατrr

I=

Donde α es la aceleración angular del cuerpo rígido alrededor del eje de giro.

Además, si el cuerpo se traslada se puede aplicar la segunda ley de Newton

maF =∑




14. Un cilindro uniforme de masa m1 y

radio R, gira sobre un eje sin

rozamiento. Se enrolla una cuerda

muy ligera alrededor del mismo,

que se une a una masa m2, la cual

está apoyada en un plano inclinado

sin rozamiento, el cual forma un

ángulo θ con la horizontal, como se

muestra en la figura. El sistema se deja en libertad desde el reposo con m2 a

una altura h sobre la base del plano inclinado.

a. Determina la aceleración de la masa m2.

b. Halla la tensión en la cuerda.

Solución (a)

Aplicaremos dinámica del cuerpo rígido.

El DCL se muestra en la figura.

==

R

aRMITR 2

121

α (1)

amTgsenm 22 =−θ (2)

De (1): 21am

T = en (2):

θgsenma

mam 212 2=+ ,

De donde: θgsen

mm

ma

21

2

2+

=

Solución (b)

θgsen

mm

mmT

+

=

21

21

22

θ

m2

m1

R

h

θ

m2

m1 R T

T

m1g

F

m2g

N



15. En la figura se muestra una esfera hueca uniforme

de radio R y masa M la cual gira alrededor de un eje

vertical sin fricción. Una cuerda ligera está enrollada

alrededor de la línea ecuatorial de la esfera hueca y

pasa sobre una polea en forma de disco de masa

M/2 y radio 2R. Al otro extremo de la cuerda se fija

un bloque de masa 4M. Si el bloque se libera desde

el reposo, determine:

a. El DCL cada uno de los cuerpos,

b. las ecuaciones dinámicas de movimiento de la esfera hueca, la polea y el

bloque y

c. las tensiones de la cuerda y la aceleración con la cual desciende el bloque.

(Iesfera = 2mr2/3, Idisco = mr

2/2)

Solución (a)

El DCL cada uno de los cuerpos.

Solución (b)

Las ecuaciones dinámicas de movimiento de la esfera, la polea y la masa

esf

2

esf1 Rm3

2RT α= o am

3

2T esf1 =

pp12 m2

1RT-RT α= o am

2

1T-T p12 =

mbg − T2 = mb a

Solución (c)

Las tensiones de la cuerda y la aceleración con la cual desciende la masa m.



Resolviendo las ecuaciones anteriores

g59

32T1 = g

59

44T2 = g

59

48a =

T1 = 5,32 N T2 = 7,32 N a = 7,98 m/s2

16. En la figura, el cilindro y la polea

giran sin fricción en torno a ejes

horizontales estacionarios que pasan

por su respectivo centro. Se enrolla

una cuerda ligera en el cilindro, la

cual pasa por la polea y tiene una

caja de 5,00 kg suspendida de su

extremo libre. No hay deslizamiento entre la cuerda y la superficie de la polea. El

cilindro uniforme tiene una masa de 6,00 kg y radio 40,0 cm. La polea es un

disco uniforme con masa 3,00 kg y radio 20,0 cm. La caja se suelta desde el

reposo y desciende mientras la cuerda se desenrolla del cilindro. 2

2

1MRI

cm=

a. Escriba las ecuaciones dinámicas que caractericen el movimiento del

sistema.

b. Calcule la magnitud de la aceleración de la caja.

Solución (a)

Cilindro:

=

C

CCC

R

aRMRT

2

2

1 …. (1)

Cilindro

Polea

Caja

T1

Cilindro



Polea:

=−

P

PPPP

R

aRMRTRT

2

2

12 …. (2)

Bloque:

maTmg =− 2 …. (3)

Solución (b)

Resolviendo:

2165

22

s

mg

MMm

ma

PC

,=

++=

T2

mg

Caja

T2

Polea T1



7.7. MOVIMIENTO DE RODADURA

El movimiento en general de un cuerpo rígido en el espacio es muy complejo, sin

embargo se puede simplificar el problema si se restringe la discusión a un cuerpo

rígido con alto grado de simetría, como un cilindro, una esfera, o un aro. Además, se

supone que el cuerpo sigue un movimiento de rodadura (traslación + rotación) en un

plano. Observe que para que el cuerpo ruede tiene que haber fricción pero esta no

disipa la energía sino que permite que el cuerpo gire, por lo cual puede emplear la

conservación de energía en estos casos.

La energía cinética de un cuerpo con movimiento de rodadura se expresa como,

2cm

2cm Mv

2

1I

2

1K += ω

El primer término de esta ecuación representa la energía cinética de rotación pura

alrededor de un eje que pasa por su centro de masa (centro geométrico) y el segundo

término expresa la energía cinética de traslación del centro de masa.


17. Se hace rodar cuesta abajo dos esferas sólidas sin resbalar: una esfera grande

de masa considerable y una esfera pequeña de poca masa. ¿Cuál de ellas llega

al pie de la cuesta primero? I esfera sólida = 2

52

MR

Solución

Como las esferas no resbalan se conserva la energía mecánica, entonces la energía

potencial inicial es igual a la energía cinética final (de rotación y traslación). Para una

esfera de masa M y radio R,

222

52

21

21

+=

R

vMRMvMgh



De donde, ghv7

10=

Entonces la rapidez al final de la cuesta no depende de la masa ni del radio. Ambas

esferas llegan iguales.

18. Un peñasco esférico, sólido y uniforme de

20,0 kg de masa, parte del reposo y baja

rodando por la ladera de una colina de

cierta altura h. La mitad superior es lo

bastante áspera como para que el

peñasco ruede sin resbalar, pero la mitad

inferior está cubierta de hielo y no hay fricción. Si el peñasco entra a la región de

la ladera que no tiene fricción con una rapidez de traslación de 10,0 m/s, calcule:

( 2

52

MRIcm = )

a. El valor de h.

b. La rapidez del peñasco al llegar a la base de la ladera.

Solución (a)

BA EE =

( )( ) ( )100

51

10021

2819

52

21

21

2

221

21

2

222

22

+=

+=

++=

h

R

vmRmv

hmg

hmgImvmgh

BB

BB

,

ω

h = 14,3 m

Solución (b)

CA EE =

22

21

21

CC Imvmgh ω+=

R

vBBC == ωω (No hay rozamiento, no hay torque y rapidez angular constante).

h

A

B

C

Áspero

Liso



+=

2

222

52

21

21

R

vmRmvmgh B

C

( )( ) ( )

s

mv

v

C

C

515

1051

21

314819 22

,

,,

=

+=




1. Se tiene una varilla uniforme AB de 5,00 m de

longitud y 50,0 N de peso soportada en A y

mantenida en equilibrio por una cuerda, como se

muestra en la figura. Una carga de 100,0 N

cuelga de la varilla a una distancia x de A. Si la

resistencia de ruptura de la cuerda es de 50,0 N,

encuentre el máximo valor de x.

Respuesta. 1,76 m

2. Un disco horizontal con un momento de inercia I1 gira con velocidad angular ω0

en torno a un eje mecánico vertical sin fricción. Un segundo disco horizontal,

cuyo momento de inercia es I2 y que inicialmente no está girando, cae sobre el

primero. Debido a que las superficies son rugosas, con el tiempo los dos discos

alcanzan la misma velocidad angular ω . Encuentre la razón ω/ω0.

Respuesta. I1 / (I1+I2)

3. Si el momento de torsión que se requiere para aflojar una tuerca que sostiene

un neumático desinflado en su lugar en un automóvil tiene una magnitud de 40,0

N⋅m, ¿cuál es la fuerza mínima que el mecánico debe ejercer en el extremo de

una llave de 30,0 cm de largo para aflojar la tuerca?

Respuesta. 133 N

4. Un tiovivo de 150 kg con forma de disco horizontal sólido y uniforme de 1,50 m

de radio se pone en movimiento envolviendo una cuerda alrededor del borde del

disco y tirando de la cuerda. ¿Qué fuerza constante se tendría que ejercer sobre

la cuerda para imprimir al tiovivo, que inicialmente está en reposo, una velocidad

angular de 0,500 rev/s en 2,00 s?

Tmax = 50 N

37°

37°

53°

5,0 m

A

B

50 N

100 N x



Respuesta. 177 N

5. Una escalera uniforme de longitud L y peso W descansa contra un muro vertical.

El coeficiente de fricción estática entre la escalera y el piso es igual al que existe

entre la escalera y el muro. Si este coeficiente de fricción estática es µe = 0,500,

determine el ángulo más pequeño que la escalera puede formar con el piso sin

resbalar.

Respuesta. 36,9°




1. Un hombre de 80,0 kg ha subido la cuarta parte de una escalera de 10,0 m que

descansa contra un muro liso sin fricción. Si la escalera tiene una masa de 20,0

kg y forma un ángulo de 60,0° con el suelo, calcule la fuerza de fricción del suelo

sobre el pie de la escalera.

a) 784 N

b) 196 N

c) 50 N

d) 170 N

e) 500 N

2. ¿Cuál debe ser la velocidad angular de un cilindro sólido que rueda en el suelo

al pie de un promontorio de tal modo que puede rodar hasta la cima del mismo si

el promontorio tiene 10,0 m de largo y 3,0 m de altura? La masa del cilindro es

2,00 kg y su radio es de 0,400 m.

a) 15,7 rad/s

b) 27,1 rad/s

c) 19,2 rad/s

d) 28,6 rad/s

e) 33,2 rad/s

3. En la figura se muestra una masa m = 2,00 kg atada a una

cuerda ligera enrollada en una polea cilíndrica de 10,0 cm de

radio y momento de inercia 4,00 kg·m2. La polea está

suspendida del techo y la masa m es liberada del reposo a una

distancia d = 1,20 m respecto al suelo. ¿Cuánto tiempo

demorará la masa en alcanzar el suelo?

a) 4,21 s

b) 7,00 s

m

d



c) 6,25 s

d) 1,44 s

e) 2,79 s

4. El radio de una rueda de masa m = 3,00 kg

es r = 6,0 cm. La rueda es liberada del

reposo en el punto A, sobre un plano

inclinado un ángulo, θ = 30,0°, como se

muestra en la figura. Si la rueda se mueve

sin deslizarse moviéndose una distancia d =

2,4 m hasta el punto B en 1,20 s, determine

la aceleración angular de la rueda. El

momento de inercia de la rueda es I = 0,005 1 kg·m2.

a) 48 rad/s2

b) 56 rad/s2

c) 65 rad/s2

d) 73 rad/s2

e) 82 rad/s2

5. Un disco y una esfera son soltadas simultáneamente desde lo alto de un plano

inclinado. Ambas ruedan hacia abajo sin deslizarse. ¿Cuál de ellas llegará

primero a la base del plano?

a) La que tenga menor diámetro

b) La que posea la mayor masa

c) El disco

d) La esfera

e) Ambas llegaran a la base del plano al mismo tiempo

θ

m

r

θ

A

B

d


Movimiento armónico simple 176

8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Es un movimiento periódico y oscilatorio (alrededor de una posición de equilibrio), tal

que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su

desplazamiento.

Para la figura mostrada, la fuerza resultante F tiene la forma kxF −= , donde x es la

posición de la partícula de masa m.

Observe que la posición de equilibrio se da en x = 0, A es la amplitud de oscilación

(valor del desplazamiento máximo del cuerpo o partícula) y x es la elongación del

resorte (medida desde la posición de equilibrio) o la posición del cuerpo unido al

resorte.

8.1. ECUACIONES DEL MAS

Aplicando la segunda ley de Newton a la figura mostrada, maF = y por lo tanto

kxma −= y (k/m)xa −=

Si hacemos el cambio mk=2ω , la aceleración queda expresada como x2ω−=a .

A k

Superficie lisa

x = 0 (punto de equilibrio)

A F

N

mg

v

x

m



La constante ω recibe el nombre de frecuencia angular y esta relacionada con el

periodo de oscilación T según la ecuación:

fT

ππ

ω 22

==

Siendo f la frecuencia de oscilación medida en el SI en hertz (1 Hz = 1/s). La

frecuencia angular se mide en rad/s.

Como td

xda

2

2

= entonces, xtd

xd 22

2

ω−= , así

022

2

=+ xtd

xdω

La cual es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple.

La solución de esta ecuación diferencial nos da la posición de la partícula que se

mueve con MAS, es decir:

)tAsen(x(t) θω +=

Donde A es la amplitud de oscilación, θ es el ángulo de fase y depende de las

condiciones iniciales del movimiento.

Podemos ahora encontrar la velocidad y aceleración de la partícula según,

( )θωω +== tAdt

dxv(t) cos

( ) ( )txtAtd

xda 22

2

2

ωθωω −=+−== sen

Observaciones

• La velocidad del oscilador es cero en los extremos y máxima en la posición de

equilibrio.



• La fuerza recuperadora apunta siempre hacia la posición de equilibrio.

• La aceleración es máxima en los extremos y cero en la posición de equilibrio.

Para observar los gráficos de posición, velocidad y aceleración de una partícula con

MAS, asumiremos por sencillez que el ángulo de fase es cero, de tal modo que las

ecuaciones de movimiento son,

= tx(t)

44 πsen

= tv(t)4ππ cos

−= ta(t)44

2 ππ sen

8.2. ENERGÍA EN SISTEMAS MASA-RESORTE (oscilador armónico)

En un sistema masa-resorte, la frecuencia angular se determina por

Tm

k πω

2==



Donde k, es la constante elástica del resorte (medina en N/m), m es la masa unida al

resorte y T es el periodo de oscilación.

Si no hay pérdida de energía,

constante21

21 22

=+= kxmvE

Como la energía del oscilador es constante en todo momento entonces podemos

evaluarlo en uno de sus extremos donde su energía cinética es cero, luego,

222

21

21

21

kAkxmvE =+=

Podemos entonces apreciar que la amplitud de oscilación fija la energía del oscilador.

También podemos de aquí hallar una relación entre su velocidad y su posición,

22 xAv −= ω

Así la rapidez máxima del oscilador ocurre en su posición de equilibrio y su valor es

ωAv =max .


1. Un objeto se mueve con MAS de amplitud A en el extremo de un resorte. Si la

amplitud se duplica,

a. ¿Qué sucede con la distancia total que el objeto recorre en un periodo?

b. ¿Qué sucede con el periodo?

c. ¿Qué sucede con la rapidez máxima del objeto?

Solución

La distancia total se cuadruplica, el periodo no cambia y la rapidez máxima se duplica.



2. Se tienen dos osciladores armónicos

idénticos de masa m y constante elástica

k. Uno de ellos tiene amplitud de 10,0 cm

y el otro de 20,0 cm, como se muestra en

la figura. ¿Cuál de los osciladores tiene

mayor frecuencia? Justifique

adecuadamente su respuesta.

Solución

Ambos tienen la misma frecuencia m

kf

π21

= .

3. Una masa de 2,00 kg se encuentra unida a un resorte de constante elástica k =

800 N/m, recorriendo en una oscilación completa una distancia de 1,20 m . Si en

el instante t = 0,200 s la masa pasa por su posición de equilibrio moviéndose

hacia la izquierda, determine:

a. La amplitud y la frecuencia angular del movimiento.

b. El ángulo de fase y la ecuación de movimiento del oscilador armónico

( )θ t A x(t) += ωsen .

Solución (a)

De la relación m

k=ω obtenemos rad/s 20,0=ω

En una oscilación completa 4A= 1,20 de aquí A = 0,300 m.

Solución (b)

El ángulo de fase y la ecuación de movimiento del oscilador armónico

La ecuación del MAS:

( )θ t ,x(t) += 203000 sen ( )θ t v(t) += 206 cos

De las condiciones iniciales t = 0,200 s, x(0,200) = 0

( )θ+= 4 0,3000 sen ( ) 0462000 <+= θ ),v( cos

Solo se satisface si

θ = π − 4 = −0,858 rad o θ = 3π − 4 = 5,42 rad (cualquiera de las dos)

A = 10,0 cm

k

m A = 20,0 cm

k

m



Ecuación del MAS

( )425203000 , t ,x(t) += sen o ( )8580203000 , t ,x(t) −= sen

4. Una masa de 1,00 kg se encuentra unida a un resorte ideal describiendo un

MAS de 0,400 m de amplitud. Si la masa, partiendo de x = 0 en dirección del eje

x positivo, alcanza el punto 0,200 m en 20,0 s, determine:

a. El periodo, la frecuencia angular y la constante elástica del resorte.

b. El ángulo de fase y la ecuación del movimiento armónico simple

( )θ t A x(t) += ωsen .

Solución

La ecuación del MAS:

( )θ t ,x(t) += ω sen4000 ( )θ t ,v(t) += ωω cos4000

Para t = 0, x = 0 y v(0) >0

( )θ 0,4000 sen= ( ) 0θ 0,400v(0) >= cosω

Solo satisface con θ = 0

Para t = 20,0s x =0,200

( )ω20,0 0,4000,200 sen=

De aquí ω = π/120 rad/s, T = 240s

De la relación m

k=ω obtenemos N/m 6,85x10 4−

=k

La ecuación del MÁS:

= t ,x(t)

1204000

πsen



5. Una masa de 2,00 kg se encuentra unida a un resorte de constante k = 3200

N/m, si en el instante t = 0 se encuentra en la posición x = −A/5 moviéndose

hacia la derecha con una rapidez de 31,35 m/s, determine para el oscilador

armónico:

a. El periodo T de oscilación.

b. La amplitud A.

c. La ecuación de posición ( )θ t A x(t) += ωsen .

Solución (a)

rad/s,m

kω 040==

El periodo T = 0,05π = 0,157 s

Solución (b)

22 xAv −= ω

Con v = 31,35 m/s y x = −A/5

A = 0,800 m

Solución (c)

) t(A x θω += sen

x = −A/5, t = 0

θ = 348° = 6,08 rad

6. Usted observa un objeto que se mueve en MAS. Cuando dicho objeto está

desplazado 0,600 m a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una

velocidad de 2,20 m/s a la derecha y una aceleración de 8,40 m/s2 a la

izquierda. Determine la amplitud A del movimiento.

Solución

xa 2ω−=

( )

s

rad

x

a7423

6000408

,,

,=

−−=

−=ω



22 xAv −= ω

( ) mv

xA 84007423202

60002

2

2

22 ,

,

,, =

+=+=

ω

7. La velocidad de un bloque de 0,500 kg unido a un resorte es:

( )

−

=

2714603

πt

s

rad

s

cmtv x ,cos,

a. ¿Qué tiempo le toma al bloque completar una oscilación?

b. ¿Cuánto recorre el bloque en un tiempo igual al periodo?

c. Escriba la ecuación de posición.

Solución (a)

T = 2π/ω = 1,334 s

Solución (b)

Aω = 3,60

A = 0,764 cm

d = 4A = 3,06 cm

Solución (c)

( ) ( )

−

=

27147640

πt

s

radcmtx ,sen,

8. Una bala de masa m = 0,100 kg

moviéndose con una rapidez de 120

m/s, colisiona con un bloque de masa M

= 4,00 kg en reposo y unido a un

resorte de constante K = 200 N/m. Si

debido a esta colisión completamente inelástica el sistema se pone a oscilar sin

ningún tipo de fricción, determine:

a. La frecuencia angular y el periodo de oscilación.



b. La amplitud oscilación.

c. La ecuación del MAS.

Solución (a)

Frecuencia de oscilación, rad/s 6,984,10200

==ω

Periodo de oscilación, T = 0,900 s

Solución (b)

Conservación de la cantidad de movimiento (revisa la unidad VI):

v0,100)(4,00120)(0,100((4,00)(0) +=−+

m/s 2,9268−=v

Amplitud de oscilación: v=ωA

A = 0,419 m

Solución (c)

Ecuación de movimiento:

) t,( ,x(t) π+= 9864190 sen




1. Un oscilador armónico tiene una masa de 0,200 kg y un resorte ideal con k =

140 N/m. Calcule el periodo, la frecuencia y la frecuencia angular.

Respuesta. 0,237 s; 4,21 Hz; 26,5 rad/s

2. Un objeto está en movimiento armónico simple con un período de π/2 s y

amplitud A = 0,400 m. En t = 0 s, el objeto está en x = 0. ¿A qué distancia está

de la posición de equilibrio en t = π/10 s?

Respuesta. 0,380 m

3. En un movimiento armónico simple, la aceleración:

a) Es constante

b) Crece cuando aumenta la velocidad

c) Es inversamente proporcional a la elongación

d) Es proporcional a la elongación

e) Ninguna anterior

Respuesta. d)

4. Un muelle de masa despreciable se encuentra en posición horizontal. Uno de los

extremos está fijo y el otro está unido a un bloque de masa 5,0 kg. Se separa el

bloque de la posición de equilibrio y se deja oscilar. El bloque tarda 30 s en

realizar 10 oscilaciones. Determine el valor de la constante de rigidez del

resorte.

Respuesta. 22 N/m



5. Una masa m oscila ligada a un muelle de constante recuperadora k. El período

del movimiento es T. Si se sustituye la masa m por una masa m´ = 2·m, el

período de la oscilación:

a) Queda multiplicado por un factor 2

b) Queda dividido por un factor 2

c) Queda multiplicado por un factor 2

d) Queda dividido por un factor 2

e) Ninguna anterior

Respuesta. a)




1. Un objeto realiza un movimiento armónico simple. Tarda 2,0 s en pasar de un

extremo al otro de la oscilación que distan 20 cm. La frecuencia del movimiento

es:

a) 0,50 Hz

b) 2,0 Hz

c) 0,25 Hz

d) 4,0 Hz

e) 5,0 Hz

2. Un objeto se mueve con un movimiento armónico simple de periodo T = 4,0 s y

amplitud A. Inicialmente el objeto está en x = 0 y su velocidad es positiva.

Calcular el tiempo que tarda el objeto en llegar al punto de elongación x = A/2.

a) 0,50 s

b) 0,33 s

c) 1,0 s

d) 0,66 s

e) 0,25 s

3. En un movimiento armónico simple es cierto que:

a) El periodo del movimiento es proporcional a la amplitud

b) El periodo del movimiento es inversamente proporcional a la amplitud

c) El periodo es independiente de la amplitud

d) La amplitud depende del tiempo

e) Sólo c y d son verdaderas



4. Una partícula describe un movimiento armónico simple. Su velocidad máxima es

1,0 m/s y la aceleración máxima 2,0 m/s2. La amplitud del movimiento es:

a) No hay suficientes datos para calcularla

b) 1,0 m

c) 0,25 m

d) 0,50 m

e) 0,87 m

5. Cuando un bloque de 0,20 kg se cuelga del extremo de un muelle vertical, éste

se alarga 9,8 cm. Seguidamente se aparta el bloque 2,0 cm de la posición de

equilibrio y se hace oscilar. La constante recuperadora ó constante de rigidez

del muelle es:

a) 20 N/m

b) 17 N/m

c) 0,20 N/m

d) 9,8 N/m

e) 2,0 N/m


Ondas mecánicas 189

9. ONDAS MECÁNICAS

Una onda mecánica es una perturbación que viaja por el material o sustancia que es

el medio. Al desplazarse la perturbación, las moléculas del medio se desplazan de

varias formas alrededor de su posición de equilibrio.

Cuando las partículas se desplazan perpendicularmente a la dirección de propagación

de la perturbación, se dice que la onda es transversal. Ejemplo, la onda en la cuerda.

Cuando las partículas se desplazan en la misma dirección que la de la propagación de

la perturbación, se dice que la onda es longitudinal. Ejemplo, las ondas producidas

en fluidos.



9.1. ONDAS ARMÓNICAS SOBRE UNA CUERDA

Si al extremo de una cuerda se le imprime un movimiento oscilatorio, entonces se

genera una onda armónica.

Si la fuente de la perturbación realiza un MAS, se produce una onda viajera, de tipo

senoidal, que se mueve hacia la derecha sobre la cuerda.

Bajo estas condiciones, las magnitudes

características del movimiento ondulatorio

son:

• Periodo (T)

• Amplitud (A)

• Frecuencia (f = 1/T)

• Longitud de onda (λ), que es la mínima

distancia entre dos puntos de una onda

que se comportan de igual modo.

• La rapidez v de propagación de la onda

senoidal es igual a :

fv λ=

En la figura se muestra gráfico de una onda

transversal en una cuerda. El gráfico (a)

representa la posición vertical y de un punto de la cuerda para las diferentes

posiciones x de la cuerda en un tiempo t determinado, mientras que el gráfico (b)

representa la posición vertical y de un punto de la cuerda para diferentes tiempos t

para una posición x determinada.

(b)



Rapidez de propagación de ondas en una cuerda

La velocidad de las ondas mecánicas solo depende de las propiedades del medio por

el que se propaga la perturbación. En el caso específico de una cuerda sometida a la

tensión F, la rapidez de propagación de la onda está dada por,

µλ

Ffv ==

Donde µ es la densidad lineal de masa de la cuerda:

=

m

kg

cuerda la de longitud

cuerda la de masaµ


1. Cuando una onda en una cuerda viaja de un medio A hacia un medio B y vA > vB

(v es la rapidez del pulso), (a) ¿el medio B es mas denso que el medio A? (b)

¿la longitud de onda de las ondas en el medio A es menor que la longitud de

onda en el medio B? Justifique sus respuestas.

Solución

(a) Verdadero. Como µ

Fv = , al ser vA > vB entonces µA < µB.

(b) Falso. Como v = λf y f no cambia entonces λA > λB.

F

v



9.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA SENOIDAL

Una cuerda se conecta a una hoja de

metal la cual se pone a vibrar como

se muestra en la figura. A medida que

la hoja se mueve verticalmente

siguiendo un movimiento armónico

simple se produce una onda viajera que se mueve hacia la derecha.

La función de onda de una onda senoidal que se desplaza de izquierda a derecha

tiene la siguiente expresión

( ) ( )tkxAtxy ω−= sen,

Si la onda se mueve hacia la izquierda:

( ) ( )tkxAtxy ω+= sen,

Donde:

ω = 2π/T es la frecuencia angular (rad/s).

k = 2π/λ es el número de onda (rad/m).

A partir de la ecuación de la onda se pueden obtener las expresiones de la velocidad y

aceleración de ésta,

t)(kxAdt

dyv y ωω −== cos

t)(kxAdt

dva

y

y ωω −−== sen2

De donde:

La velocidad máxima transversal: ωA

La aceleración máxima transversal: 2ωA




2. Una onda transversal

armónica se propaga a lo

largo de una cuerda en

dirección +x. La figura,

muestra el gráfico de la

posición transversal (y)

como una función de la

posición (x) en el tiempo t

= 0. La rapidez de

propagación de la onda

es de 12 m/s. Determine:

a. La longitud de onda.

b. La amplitud de la onda.

c. La frecuencia.

d. Escriba una ecuación que describa la onda viajera, usando los resultados

anteriores.

Solución

λ = 0,40 m

A = 0,050 m

f = v/λ = 30 Hz

( ) ( )

−

= txsentxy

s

rad188

m

rad715m0500 ,,,

3. Una onda senoidal en la cuerda tensa mostrada

en la figura, se describe mediante la función de

onda

( ) [ ]tx,y ππ 18750cm20 += sen

Donde x e y están en metros y t en segundos. La cuerda tiene una densidad de

masa lineal de 0,250 kg/m. Considerando que la tensión en la cuerda la

m

-0.060

-0.050

-0.040

-0.030

-0.020

-0.010

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80

x (m)

y (

m)



M

(I)

L

M/2

(II)

L

proporciona el arreglo mostrado en la figura, determina el valor de la masa m

suspendida. Observa que el peso de la cuerda no contribuye a la tensión y la

polea tiene masa despreciable.

Solución

Como T = mg y además fmg

v λµ

== , entonces( )

g

fm

µλ2

=

De la ecuación identificamos λ = 2,67 m, f = 9,0 Hz, µ = 0,250 kg/m.

Así, m = 14,7 kg

4. Responda las siguientes situaciones justificando su respuesta en cada caso.

a. La figura muestra dos

sistemas I y II, con cuerdas

idénticas que se encuentran

tensionadas por bloques

suspendidos de masas M y

M/2 respectivamente. Indicar en cuál de los sistemas la rapidez de

propagación de una onda sería mayor.

b. Dos ondas transversales se propagan en dos medios diferentes con

ecuaciones de propagación:

Y1 (x, t) = 3 sen (4x + 2t) y Y2 (x, t) = 2 sen (3x – 4t)

Con Y medido en milímetros, t en segundos y x en metros.

i) ¿Cuál de las dos tiene mayor rapidez de propagación?

ii) ¿Cuál de las dos ondas comunica a las partículas del medio correspondiente

mayores rapideces transversales?

Solución (a)

La cuerda del sistema I soporta mayor tensión y por lo tanto las ondas tendrán mayor

rapidez.

Solución (b)



(i) v = ω/k entonces la onda Y2 tiene mayor velocidad que la onda Y1.

(ii) vmax = Aω entonces onda Y2 comunica mayor velocidad que la onda Y1.

5. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda es:

1 10 75 0 400 250y( x,t ) ( , cm )cos ( , cm )x ( s )tπ π− − = +

Calcular:

a. La amplitud, longitud de onda y frecuencia.

b. La rapidez y dirección de propagación de la onda.

Solución

(a)2

0 75 5 000 400

A , cm; , cm, ,

λ= = = 125 6 25f Hz y v f , m s.= = =

(b)125 6 25f Hz y v f , m s.λ= = = Se mueve a la izquierda.

6. Se encuentra que un segmento de una cuerda de 6,00 m de longitud y 180 g de

masa contiene cuatro ondas transversales completas. La cuerda esta vibrando

senoidalmente con una frecuencia de 50,0 Hz y amplitud de 7,50 cm.

a. Determine el número de onda y la frecuencia angular.

b. Escriba la función que describe esta onda viajera en la dirección positiva y.

Las partículas de la cuerda vibran en dirección z.

c. Determine la tensión de la cuerda.

Solución (a)

m

rad

mk 194

501

2,

,==

π, Hzf 3142 == πω

Solución (b)

Debe indicar en forma correcta, la dirección de propagación de la onda y la dirección

de vibración de las partículas del medio: ( ) ( ) ( )tycmtyZ 314194507 −= ,sen,, .



Solución (c)

m

kg

m

kg03000

006

1800,

,

,==µ

( ) N 1692

== µλfT

7. La ecuación de una onda mecánica es ( ) ( ) ( )tymtyz 003170500 ,,cos,, += .

Sustentando su respuesta responda:

a. ¿La onda es longitudinal o transversal?

b. ¿En qué dirección se propaga la onda?

Solución

(a) Es transversal ya que se propaga en el eje y y oscila en el eje z.

(b) La onda se propaga en la dirección negativa del eje y.

8. Si la ecuación de una onda en una cuerda esta dada por la expresión

( )

−= 8,0t)25,0x

2(0,150m)t)y(x,

πsen donde x e y están en metros y t en

segundos, justifique la falsedad o veracidad de las siguientes proposiciones

a. La longitud de onda de la onda es 16,0 cm.

b. La onda recorre 1,60 m en 5,00 s.

Solución

(a) Verdadero λ = 16,0 cm

(b) Verdadero v = λ/T = 0,320 m/s. En 5,00 s recorre 1,60 m

9. La ecuación de cierta onda transversal en una cuerda es:

( ) ( )

−=

s

tztzy

03600cm0282mm 6,50

,,sen, π

Determine:

a. Amplitud, longitud de onda y la frecuencia.

b. La rapidez de propagación y la dirección de viaje de la onda.



c. La densidad lineal de la cuerda, si la tensión es de 10,0 N.

Solución (a)

A = 6,50 mm

λ = 0,280 m

f = 27,7 Hz

Solución (b)

La onda se propaga en dirección +z.

Su rapidez es v = 7,76 m/s.

Solución (c)

µ = 0,166 kg/m

9.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN SUS EXTREMOS

Cuando una onda viajera de forma senoidal se refleja en un extremo fijo de una

cuerda tensada, las ondas incidentes y reflejadas (con la misma frecuencia y amplitud)

se combinan (superponen) para formar una onda estacionaria (que no parece

moverse) con nodos y antinodos.

Los nodos son puntos que nunca se mueven (interferencia destructiva).

Los antinodos son puntos en los cuales la amplitud de movimiento es máxima

(interferencia constructiva).

Oscilador

Oscilador

Onda incidente

Onda reflejada

Nodos

Antinodos



Una cuerda con extremos fijos puede tener diferente número de armónicos o formas

de vibración (modos normales de vibración) como se observa en la figura.

En general una cuerda vibra en un modo normal si la frecuencia de vibración fn es

múltiplo entero de la frecuencia fundamental de vibración f1:

L

vnnffn

21 ==

Donde v es la rapidez de la onda, L es la longitud de la cuerda que vibra y n = 1, 2, 3,

4, ……………. También podrá observar a una cuerda vibrar en algún armónico si L es

múltiplo entero de λn/2.

2

λnnL =

Si no se cumplen estas condiciones de frecuencia o longitud de onda no se formarán

ondas estacionarias en una cuerda tensa.

2

λ1=L

L

Frecuencia fundamental, f1

Segundo armónico, f2

Tercer armónico, f3

2

λ2 2=L

2

λ3 3=L

µ

F

LL

vf

2

1

21 ==

L

vff == 12 2

L

vff

233 13 ==




10. Explique de qué formas se aumenta la frecuencia fundamental en las cuerdas de

una guitarra.

Solución

La frecuencia fundamental es µ

F

Lf

2

11 = , así se aumenta f1, disminuyendo la

longitud L de la cuerda, disminuyendo la densidad µ o aumentando la tensión F.

11. Una cuerda, fija en ambos extremos, resuena con una frecuencia fundamental

de 120 Hz. ¿Cuáles de las siguientes alternativas siguientes tendría el efecto de

reducir la frecuencia fundamental a 60 Hz?

a. Duplicar la tensión y duplicar la longitud de la cuerda.

b. Mantener fija la tensión y reducir la longitud a la mitad.

c. Reducir la tensión a la cuarta parte manteniendo fija la longitud.

Solución

Sólo C, pues µ

F

Lf

2

11 = , si se reduce la tensión a la cuarta parte, este se reduce a la

mitad.

12. Determina la longitud de onda de

las ondas estacionarias formadas

en la cuerda mostrada en la figura,

si la longitud es L = 1,20 m.

Solución

Se observa que λ2

3=L , de donde λ = 0,800 m.

L



13. En la figura 1 se muestra a una cuerda

tensa de longitud L con extremos fijos.

Las figuras 2 y 3 representan dos

armónicos de esa cuerda. Para las figuras

2 y 3, explique en cuál de ellos:

a. La longitud de onda es mayor.

b. La frecuencia es mayor.

Solución

(a) Figura 2, ya que λ2 = L frente a λ3 = 2L/3.

(b) Figura 3, ya que f3 = 3f1 frente a f2 = 2f1.

14. ¿Se formará una onda estacionaria una cuerda estirada de 2,00 m de longitud,

que transmite ondas con una rapidez de 6,0 m/s, si se le impulsa con una

frecuencia de 18,0 Hz?

Solución

L

vf

21 =

HzL

vf 51

21 ,==

1nffn = con n = 12, por lo tanto si se formarán ondas estacionarias ya que la

frecuencia es múltiplo de la frecuencia fundamental.

15. Si la longitud de onda del quinto armónico es 6,00 cm determine la longitud de

onda del tercer armónico.

Solución

n

Ln

2=λ

L

Figura 1

Figura 2

Figura 3



0065

25 ,==

Lλ

cmL 015,=

cm0103 ,=λ

16. Una cuerda tensa tiene 4,0 metros de longitud y por ellas se transmiten ondas

con rapidez de 12 m/s y una frecuencia de 15 Hz, formándose ondas

estacionarias. Determine (a) el número n del armónico que se forma en la

cuerda y (b) la tensión que hay sobre la cuerda si la densidad de ella es µ =

0,010 kg/m.

Solución (a)

La frecuencia fundamental es( )

Hz L

vvf 51

042

12

21

1 ,,

====λ

El número de armónico es 1051

15

1

===,f

fn n

Solución (b)

( ) ( ) N vT 4101001222 ,, === µ

17. Una cuerda de guitarra vibra en su modo fundamental con nodos en sus

extremos. La longitud del segmento de cuerda que vibra libremente es de 0,386

m. La aceleración transversal máxima de un punto en el punto medio del

segmento es de 8,30×103 m/s

2 y la velocidad transversal máxima es de 3,80

m/s.

a. Calcule la amplitud de esta onda estacionaria.

b. ¿Qué rapidez tienen las ondas viajeras transversales en esta cuerda?

Solución (a)

En el modo fundamental ,L2=λ además

y maxv ωA= y 2

y maxa ω A= dividiendo tenemos



38 40 10

3 80

y max 3

y max

a ,ω 2,21 10 rad s

v ,

×= = = ×

Luego la amplitud ,3

3

3 801

2 21 10

y maxv ,

A ,72x10 mω ,

−= = =×

Solución (b)

22

ω Lωv f ( L )( )

π πλ= = =

0 386272

3( , )( 2,21 10 )

v m s.π

×= =



9.4. ONDAS SONORAS

Las ondas sonoras son ondas longitudinales de compresión que se propagan a través

de un medio compresible.

La rapidez del sonido depende del medio de propagación.

Tabla 9.1. Rapidez del sonido en diferentes medios

Medio v (m/s) Medio v (m/s)

Aire (0 oC) 331 Agua de mar (25

ºC) 1 533

Aire (20 ºC) 343 Aluminio 5 100

Hidrógeno (0 oC) 1 286 Cobre 3 560

Oxígeno (0 oC) 317 Acero 5 130

Agua (25 °C) 1 493 Plomo 1 322

9.4.1. Intensidad del sonido

Se define la intensidad I de una onda a la potencia por unidad de área y es la rapidez

a la cual fluye la energía sonora a través de una unidad de área A perpendicular a la

dirección de propagación de la onda.

=

2m

W

área

potenciaI

El sonido más débil que puede detectar el oído humano a una frecuencia de 1 000 Hz

corresponde a una intensidad aproximada de 10−12 W/m

2 (llamado el umbral auditivo).

El sonido más fuerte que puede soportar el oído corresponde a una intensidad

aproximada de 1 W/m2 (llamado el umbral del dolor).

Las ondas sonoras transportan energías en tres dimensiones como ondas esféricas.

Si la potencia de la fuente es P, la intensidad media I1 sobre una superficie esférica de

radio r1 es:

21

14 r

PI

π=



La intensidad media I2 sobre una superficie esférica de radio mayor r2 debe ser menor.

Si no se absorbe energía entre las dos esferas, la potencia es la misma en cada

superficie:

2

1

22

2

2

21

2

1

4

4

r

r

rP

rP

I

I==

π

π

21

22

2

1

r

r

I

I=

Nivel de sonido

Debido al amplio rango de intensidades que puede detectar el oído humano, es más

conveniente usar una escala logarítmica de intensidades, en donde el nivel de sonido

β se define por la ecuación:

( )

=

0

dB 10,0βI

Ilog o 010

0 10 ,

β

×= II

Intensidad I1

r1

Fuente de las ondas

I2 < I1: misma potencia distribuida en un área mayor

r2



Donde I0 es la intensidad de referencia, tomada como el umbral de audición e igual a

10−12 W/m

2 e I es la intensidad (W/m

2) en el nivel β. Los niveles de intensidad de

sonido se expresan en decibeles (abreviado dB).

Tabla 9.2. Niveles de sonido de diversas fuentes

Fuente de sonido I (W/m2) ββββ (dB)

Umbral de audición 10-12

0

Crujido de hojas 10-11

10

Susurro 10-9

30

Zumbido de un mosco 10-8

40

Conversación normal 10-7

50

Aspiradora 10-5

70

Trafico congestionado 10-4

80

Tren subterráneo; podadora 10-2

100

Sirena, concierto de rock 1

120

Perforadora, ametralladora 10

130

Avión de turbinas cercano 103

150

Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), vivir con un tiempo de la

exposición continua, a un nivel de ruido ambiental promedio de 70 dB no causará

discapacidad auditiva. Una persona adulta puede tolerar ruidos, de vez en cuando, de

hasta 140 dB, mientras que en los niños, el ruido nunca debe exceder de 120 dB.




18. Si una onda sonora pasa del aire (vaire = 340 m/s) al agua (vagua = 1493 m/s)

entonces:

a. ¿La frecuencia de la onda aumenta disminuye o permanece igual?

b. ¿La longitud de onda aumenta, disminuye o permanece igual?

Solución

(a) La frecuencia de la onda no cambia al pasar de un medio a otro.

(b) Como agua

agua

aire

airevv

λλ= y vaire < vagua entonces la longitud de onda en el agua

aumenta.

19. Una granada explota de manera que se comporta como una fuente puntual de

8,00 W de potencia. Determine (a) la intensidad y (b) el nivel de sonido a 15,0 m

de la fuente.

Solución

24 r

PI

π= ,

2

310832m

WI −×= ,

( )

=

−1210dB 010

Ilog,β , dB594,=β

20. Durante una fiesta, un cohetecillo

explota generando ondas sonoras

como se ve en la figura 5. Un

muchacho ubicado en el punto A,

escucha un sonido de intensidad

4,00×10−6

W/m2. Determine (a) la

intensidad y (b) el nivel de sonido que percibe un muchacho ubicado en el punto

B.



Solución a

( )2

6

2

6

22

m

W10252

m

W10004

200

150 −− ×=×

=

= ,,A

B

AB I

r

rI

Solución b

( ) dB 27610

10252dB 012

12

6

,,

log, =×

=−

−

β

21. El sonido de una trompeta se transporta uniformemente en todas direcciones de

modo tal que a 5,00 m de distancia, el nivel de intensidad es 50,0 dB. ¿A qué

distancia el nivel de intensidad será de 70,0 dB?

Solución

Como 01001

1

10 ,

β

II = , ( )2

7010

050

12

1 100011010001m

WI −− ×=×= ,, ,

,

Igualmente 2

5

2 10001m

WI −×= ,

Entonces ==2

112

I

Irr 0,500 m

22. Si a un punto situado a 3,00 m de distancia de la fuente A y a 4,00 m de

distancia de la fuente B llegan sonidos con niveles de intensidad de 30,0 dB y

50,0 dB respectivamente, ¿cuál es el nivel de intensidad total del sonido que

llega al punto?

Solución

Como 01001

1

10 ,

β

II = , ( )2

9010

030

12

1 100011010001m

WI −− ×=×= ,, ,

,

Igualmente 2

72 10001

m

WI −×= ,

Entonces IT = I1 + I2 = 1,01×10−7 W/m

2, entonces



( )

×

×=

12-

-7

101,00

101,01og10,0dBβ l = 50,0 dB

23. Se ha determinado que el nivel sonoro de una fuente puntual a distancias rA y rB

son βA y βB respectivamente. Si se sabe que βA – βB = 10,0 dB, determine la

relación rB/rA.

Solución

( ) ( ) ( )

=

−

=−

−−B

A

12

B

12

ABA dB10,0

10dB10,0

10dB10,0ββ

I

II

I logloglog

( )

=

B

AdB10,0dB10,0I

Ilog

2

B

A10,0

==

A

B

r

r

I

I

Entonces, 10,0=A

B

r

r

24. Dos altavoces, S1 y S2, emiten sonidos uniformemente en todas direcciones de

frecuencia de 200 Hz. S1 tiene una potencia acústica de 1,200×10−3 W y S2 tiene

una de 1,800×10−3 W. Los altavoces están separados una distancia de 7,00 m y

pueden considerarse como fuentes puntuales. Considere un punto P que esta a

4,00 m frente de S1 y a 3,00 m de S2 y calcule el nivel de intensidad de sonido

que se registra en el punto P.



Solución

Intensidad de la fuente S1 en P:

266

2

3

1 W/m105,971018,75

4,00) (4

101,200 −−−

×=×

=×

=ππ

I

266

2

3

2 W/m1015,91050,0

(3,00) 4

101,800 −−−

×=×

=×

=ππ

I

La intensidad resultante en P será:

266

21 W/m1021,81068,75 −

−

×=×

=+=π

III

El nivel sonoro registrado en P:

( ) dB73,410

1021,8dB10,0β

12

6

=

×=

−

−

log

25. Un parlante y dos observadores se encuentran en línea recta. El parlante es

colocado entre los dos observadores, los cuales están separados una distancia

de 110 m. Si uno de ellos registra un nivel sonoro de 60,0 dB y el otro registra

80,0 dB, determine cuán lejos está el parlante de cada observador.

Solución

Con el esquema mostrado en la figura,

( )

=

0

11 dB 010

I

Ilog,β

( )

=

0

22 dB 010

I

Ilog,β

Entonces ( )

=−

2

112 dB 010

I

Ilog,ββ

r1 r2

I1,β1 I2,β2



Además tenemos que 2

1

14 r

PI

π= ,

2

2

24 r

PI

π= , de donde

2

1

2

1

1

=

r

r

I

I

Entonces ( )

=−=−

1

212 dB 20060080

r

rlog,,ββ , así 12 10 rr =

Finalmente como 11012 =+ rr

r1 = 10,0 m, r2 = 100 m




1. El sonido más tenue que una persona con oído normal puede oír a una

frecuencia de 400 Hz tiene una amplitud de presión de cerca de 6,0 × 10-5

Pa.

Calcule la intensidad correspondiente en W/m2.

Respuesta. 4,4 × 10-12

W/m2

2. Una onda sonora en el aire tiene f = 300 Hz y A = 6,00 × 10-3

mm. Para esta

onda, calcule la intensidad en W/m2 y el nivel de intensidad de sonido en dB.

Respuesta. 2,64 × 10-2

W/m2; 104 dB

3. Casi toda la gente interpreta un aumento de 9,0 dB en el nivel de intensidad de

sonido como una duplicación del volumen. ¿En qué factor debe aumentarse la

intensidad para duplicar el volumen.

Respuesta. 7,9

4. La boca de un bebé está a 30 cm de la oreja de su padre y a 3,00 m de la de su

madre. ¿Qué diferencia hay entre los niveles de intensidad de sonido que

escuchan ambos padres?

Respuesta. 20 dB

5. Calcule el nivel sonoro en dB de una onda sonora que tiene una intensidad de

4,0 µW/m2.

Respuesta. 66 dB




1. Un altavoz se coloca entre dos observadores separados por una distancia de

110 m, a lo largo de la línea que los une. Si un observador registra un nivel de

intensidad de 60 dB y el otro registra un nivel de intensidad de 80 dB, ¿a qué

distancia está el altavoz de cada observador?

a) 100,0 m y 10,0 m

b) 150,0 m y 50,0 m

c) 10,0 m y 8,0 m

d) 50,0 m y 5,0 m

e) 15,0 m y 10,0 m

2. Un experimento requiere una intensidad sonora de 1,2 W/m2 a una distancia de

4,0 m de un altavoz. ¿Qué salida de potencia se requiere?

a) 350 W

b) 241 W

c) 66 W

d) 295 W

e) 330 W

3. El nivel sonoro a una distancia de 3,0 m de una fuente es 120 dB. ¿A qué

distancia el nivel sonoro será 10 dB?

a) 7,59 × 105 m

b) 5,45 × 102 m

c) 9,49 × 105 m

d) 6,39 × 104 m

e) 7,49 × 103 m



4. Cuantos decibeles aumenta el nivel de intensidad de un sonido cuando se

duplica su intensidad.

a) 4,0 dB

b) 5,0 dB

c) 3,0 dB

d) 6,0 dB

e) 2,0 N/m

5. En un concierto de rock un alumno se sitúa a unos 15,0 m de los amplificadores

y percibe un nivel de intensidad sonora de 100 dB. Suponiendo que la potencia

sonora que emite un amplificador se propaga en el hemisferio que se encuentra

por delante del mismo, la intensidad sonora que percibe el alumno es:

a) 10 mW/m2

b) 15 mW/m2

c) 20 mW/m2

d) 40 mW/m2

e) 25 mW/m2


Fluidos 214

10. FLUIDOS

Un fluido es cualquier sustancia que puede fluir ya sea líquidos como gases. En un

líquido las moléculas no permanecen en posiciones fijas, aunque la interacción entre

ellas sigue siendo suficientemente grande para que el líquido pueda cambiar de forma

sin cambiar apreciablemente de volumen, adaptándose al recipiente que lo contiene.

En un gas, las moléculas están en continuo movimiento y la interacción entre ellas es

muy débil. Las interacciones tienen lugar, cuando las moléculas chocan entre sí. Un

gas se adapta al recipiente que lo contiene pero trata de ocupar todo el espacio

disponible. Revisaremos los denominados fluidos ideales o perfectos, aquellos que se

pueden desplazar sin que presenten resistencia alguna (no son viscosos).

10.1. DENSIDAD

Aun cuando para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente

proporcionales, la relación de proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Es

precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por

densidad,

volumenmasa

=ρ

La densidad se mide en el SI en kg/m3 aunque también se utiliza frecuentemente la

unidad g/cm3.


Fluidos 215

Tabla 10.1. Densidades de diversas sustancias a 20 °C

Sustancia Densidad (kg/m3)

Aceite 800 - 900

Gasolina 670 - 720

Agua 1 000

Glicerina 1 260

Agua de mar 1 010 - 1 030

Mercurio 1 355

Alcohol etílico 790

Acero 7 700 - 7900

Oro 19 300

Aluminio 2 700

Plata 10 500

Plomo 11 300

Hierro 7 880

Titanio 4 500


1. En un trabajo de medio tiempo, un supervisor le pide traer del almacén una

varilla cilíndrica de acero de 85,78 cm de longitud y 2,85 cm de diámetro.

¿Necesitará usted un carrito para transportar la varilla debido al peso que ella

tiene? Densidad del acero = 7,8×103 kg/m3.

Solución

No necesita un carrito ya que el peso de la varilla es:

( )

( ) ( )

N 941

N819885704

02850107,8

23

,

,,,

=

×××=

==

W

W

gVmgW

π

ρ


Fluidos 216

2. Imagine que compra una pieza rectangular de metal de 5,0 mm × 15,0 mm ×

30,0 mm y masa de 0,0158 kg. El vendedor le dice que es de oro. Para

verificarlo, usted calcula la densidad de la pieza. ¿Qué valor obtiene? ¿Fue una

estafa?

Solución

( )3

36

0227

1025201580

kg/mρ

kg/m,/,m/Vρ

=

×== −

Comparando con la tabla de densidades, no es oro.

10.2. PRESIÓN

Un individuo situado de puntillas sobre una capa de

nieve blanda se hunde, en tanto que otro de igual

peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre

una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.

La fuerza ejercida por unidad de superficie es la

presión. La presión es una cantidad escalar que

cuantifica la fuerza perpendicular a una superficie

Si una fuerza perpendicular F actúa sobre una superficie A, la presión en esa zona es:

A

Fp =

La unidad en el SI de la presión es el pascal (Pa), donde:

1 Pa =1 N/m2

Otras unidades de presión:

1 atm = 1,013×105 Pa

1 atm = 760 torr

1 mm de Hg = 1 torr

1 lb/in2 (psi) = 6,90×103 Pa

1 bar = 105 Pa

F

A


Fluidos 217

Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus

paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio

las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del

recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el

desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La presión

siempre es perpendicular a la superficie:

10.2.1. Presión atmosférica

La presión atmosférica es la presión ejercida por la masa de aire que se encuentra

directamente encima del área en consideración. La presión atmosférica al nivel de mar

es:

p0 = 1,013×105 Pa = 1 atm = 17,7 psi

La presión atmosférica varía con el clima y con la altura.

10.2.2. Presión dentro de un fluido en reposo

La presión p en el interior de un líquido, a

una profundidad h con respecto a la

superficie libre del líquido es:

ghpp ρ+= 0

Donde p0 es la presión atmosférica en el

borde libre del líquido, ρ es la densidad del

fluido y g es la aceleración de la gravedad.

h

p

p0

Densidad, ρ


Fluidos 218

La diferencia p − p0 = ρgh se denomina presión manométrica y representa la presión

que excede a la presión atmosférica.

La presión que se mide con relación con el vacío perfecto se conoce con el nombre de

presión absoluta:

p absoluta = p atmosférica + p manométrica

10.2.3. Vasos comunicantes

La presión en la parte superior de cada

columna de fluido es igual a p0 (presión

atmosférica). La presión sólo depende de

la profundidad, pero no de la forma del

recipiente.

Todos los puntos a una misma

profundidad y mismo líquido se

encuentran a la misma presión, sin

importar la forma del recipiente.


3. Un tubo de manómetro se llena

parcialmente con agua. Después se vierte

aceite (que no se mezcla con el agua y

tiene menor densidad que el agua) en el

brazo izquierdo del tubo hasta que al

interfaz aceite-agua está en el punto medio

del tubo (ver figura). Ambos brazos están

abiertos al aire. Determine la relación entre

las alturas haceite y hagua. ρaceite = 800 kg/m3 y

ρagua = 1 000 kg/m3.

1 2 3 4

p1= p2 = p3 = p4

hagua

haceite


Fluidos 219

Solución

En la base del tubo,

aceiteaceiteaguaagua ghpghp ρρ +=+ 00

De donde, 251800

1000,===

aceite

agua

agua

aceite

h

h

ρ

ρ

4. Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600 kg/m3) de 0,120 m

sobre 0,250 m de agua. a) ¿Qué presión manométrica hay en la interfaz aceite-

agua? b) ¿Qué presión manométrica hay en el fondo del barril?

Solución (a)

( )( )( ) Pa 706Pa 120081960001

01

==−

=−

,,pp

ghpp aceiteaceiteρ

Solución (a)

( )( )( )

kPa 163

Pa25008191000Pa 706

02

02

02

,

,,

=−

+=−

+=−

pp

pp

ghghpp aguaaguaaceiteaceite ρρ

5. Un corto circuito deja sin electricidad a un submarino que está 30,0 m bajo la

superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empujar hacia fuera una

escotilla en el fondo que tiene un área de 0,750 m2 y pesa 300 N. Si la presión

interior es de 1,00 atm, ¿qué fuerza hacia abajo se debe ejercer sobre la

escotilla para abrirla? Densidad del agua de mar = 1 030 kg/m3.

p0

p1

haceite

hagua

p2

h = 30,0 m

Superficie del mar

Escotilla


Fluidos 220

Solución

( )kN 272

00

0

,=−=

−−+=

−−=

WghAF

WApghpF

WApApF

agua

agua

agua

ρ

ρ

10.3. PRINCIPIO DE PASCAL

Todo cambio de presión en un punto de un fluido incompresible dentro de un

recipiente se transmite íntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del

recipiente que lo contiene.

Prensa hidráulica

En el pistón pequeño se aplica una fuerza F1, la presión producida se transmite a

todos los puntos del líquido, por lo que en el pistón grande la fuerza que se ejerce

hacia arriba es F2.

11

22 F

A

AF =

Se aplica una pequeña

fuerza en este lado.

Presión p debida a F1 es

transmitida por todo el fluido.

La presión en este lado actúa sobre un

área mayor y produce mayor fuerza.

W

F

p0 A

pagua A

h

p0 Superficie del mar


Fluidos 221

6. El pistón de un elevador hidráulico para autos tiene 0,30 m de diámetro. ¿Qué

presión manométrica, en pascales y atmósferas, se requiere para levantar un

auto de 1 200 kg? (1 atm = 1,013×105 Pa). g = 9,81 m/s2.

Solución

( )

( )

atmPa

s

mkg

d

mg

A

Fp

64110661

150

8191200

25

2

2

2

,,

,

,

=×=

=

==

ππ

10.4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en

un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido

desalojado.

Experimentalmente el empuje E es igual a la densidad del fluido ρf multiplicado por el

volumen del cuerpo sumergido Vs por la aceleración de la gravedad g.

sf gVE ρ=

Si un cuerpo flota,

cuerpodelcuerposumergidofluido gVgV

WE

ρρ =

=

W

E


Fluidos 222


7. Se sumerge dos bloques de tamaño idéntico en agua. Uno es plomo y el otro es

de aluminio. ¿Sobre cual actúa una mayor fuerza de flotación?

Respuesta

La fuerza de flotación es igual en ambos ya que los volúmenes sumergidos son

iguales.

8. Un cilindro de madera de densidad igual a 0,75 g/cm3 flota en agua con su eje

perpendicular a la superficie. El radio es de 10 cm y la altura es 15 cm. (a) ¿Qué

fracción del cilindro está sumergida? (b) ¿Cuánto vale la altura de la fracción

sumergida? ρagua = 1,0 g/cm3.

Solución (a)

En equilibrio, E = W

cuerpodelcuerposumergidofluido gVgV ρρ =

%,,

,750

001750

===fluido

cuerpo

cuerpodel

sumergido

V

V

ρ

ρ

cuerpodelsumergido VV ⋅= 750,

Solución (b)

cuerpodelsumergido hRhR 22 750 ππ ⋅= ,

hsumergido = 11,3 m = 11 m

9. Una estatua de oro sólido de 15,0 kg de peso está siendo

levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el

cable cuando la estatua está en reposo: (a) totalmente

sumergida y (b) fuera del agua? Desprecie el empuje del

aire. ρAu = 1,93×104 kg/m3, ρ agua de mar = 1,03 ×103 kg/m3. g

= 9,81 m/s2.


Fluidos 223

Solución (a)

Totalmente sumergida

34 m 10777 −×=

==

,f

oro

oroorof

V

mVV

ρ

N 139=−=

−=

gVgmT

EgmT

luidoffluidooro

oro

ρ

Solución (b)

Fuera del agua,

N 147== gmT oro

10. Una plancha de hielo flota en el lago de agua dulce. ¿Qué volumen mínimo debe

tener el hielo para que una mujer de 45,0 kg pueda pararse en ella sin mojarse

los pies? ρhielo = 920 kg/m3 y ρagua = 1 000 kg/m3. Considere que prácticamente la

plancha de hielo está completamente sumergida.

Solución

Hay equilibrio y por lo tanto:

hieloaguamujerhielohielo

mujerhielo

gVgmgV

EWW

ρρ =+

=+

De donde,

3m 5630,=−

=hieloagua

mujer

hielo

mV

ρρ

W

E

T

Hielo

Whielo

Wmujer E


Fluidos 224

11. Un chaleco salvavidas con un volumen de 0,0400 m3 sostiene a una persona de

75,0 kg (densidad de la persona = 980 kg/m3) en agua de mar (densidad del

agua de mar = 1,03×103 kg/m3) con el 20,0 % de volumen de la persona arriba

del agua cuando el chaleco salvavidas se sumerge por completo. ¿Qué

densidad tiene el chaleco salvavidas?

Solución

Como hay equilibrio, W persona + chaleco = E persona + chaleco

ρpersona g Vpersona + ρchaleco g Vchaleco = ρagua g(0,800 V persona ) + ρagua g V chaleco

Ordenando, ( )

agua

chaleco

personapersonaagua

chalecoV

Vρ

ρρρ +

−=

8000,

( )3

3

3

1003104000

980075

980100318000

m

kgchaleco

×+

−××

= ,,

,,,

ρ

10.5. FLUIDOS IDEALES EN MOVIMIENTO

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción

consideraremos el comportamiento de un fluido ideal.

Un fluido ideal se caracteriza por ser incompresible si su densidad no cambia y por no

tener fricción interna (viscosidad).

El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de

flujo. Si el patrón del flujo no cambia con el tiempo, se considera que el flujo es

estable.

Línea de flujo

Tubo de flujo


Fluidos 225

El flujo puede ser:

• Laminar, en el que las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente unas

sobre otras.

• Turbulento, donde el flujo es irregular y caótico.

Flujo laminar

Flujo turbulento

10.6. ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD

Para fluidos ideales, el producto de la rapidez del fluido ideal por el área que atraviesa

es constante en todos los puntos.

2211 vAvA =

v1

v2

A1

A2


Fluidos 226

• El producto Av es la razón del flujo de volumen o la rapidez con que el volumen

V cruza una sección del tubo,

Avdt

dVQ ==

• También el producto Av se conoce como gasto o caudal y se mide en el SI en

m3/s.

10.7. ECUACIÓN DE BERNOULLI

Según la ecuación de continuidad, la rapidez de flujo puede variar a lo largo de la

trayectoria del fluido. La presión también puede variar ya que depende de la altura al

igual que en la situación estática. Una relación importante llamada la ecuación de

Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo v y la altura y de dos puntos 1 y 2

cualesquiera, suponiendo un flujo estable en un fluido ideal de densidad ρ. Así,

2222

2111 2

121

vygpvygp ρρρρ ++=++

O en forma general,

v1

v2

A1

A2

y1

y2

p1A1

p2A2


Fluidos 227

constante21 2 =++ vygp ρρ

Si el tubo conductor es recto y está en posición horizontal:

222

211 2

121

vpvp ρρ +=+


12. En la figura se muestra parte de

una tubería la cual se ensancha

(caso A) y se angosta (caso B).

Para ambos casos, analice solo

el punto 2 y explique en cuál de

ellos es mayor: (a) la rapidez y

(b) la presión del fluido.

Considere que el caudal se

mantiene constante.

Solución

(a) En el caso B. Como el caudal se mantiene constante, a menor área mayor rapidez.

(b) En el caso A. Como el caudal se mantiene constante, a mayor área menor rapidez

y considerando la ecuación de Bernoulli: P + (ρv2)/2 = constante, si la rapidez v

disminuye, la presión P debe aumentar.

13. Los tornados y los huracanes suelen levantar el techo de las casas. Explique por

que sucede esto analizando la ecuación de Bernoulli.

Respuesta

Por encima del techo el viento tiene mayor velocidad y por lo tanto menor presión que

por el interior de la casa y por lo tanto hay una fuerza neta hacia arriba.

Área A

5 m/s

Caso A

Caso B

2 1

2 1

5 m/s

Área A

Área 2A

Área A/2


Fluidos 228

14. A menudo se dice a los niños que eviten parase

muy cerca de un tren que se mueve a alta

velocidad porque pueden ser succionados por el

tren. ¿Esto es posible? Explique su respuesta

analizando la ecuación de Bernoulli en la figura

mostrada. El punto A representa la zona más

cercana al tren y el punto B la zona más alejada.

Respuesta

Debido al movimiento del tren, la velocidad del aire es mayor en A que en B, vA > vB

entonces usando la ecuación de Bernoulli, PA < PB y la niña es empujada por el aire

hacia el tren.

15. Una corriente de agua fluye con rapidez de 3,77 m/s por una tubería horizontal

de 2,50×10−4 m2 de sección transversal a una presión de 1,20×105 pascal. Si la

tubería tiene en cierto punto una ampliación en su diámetro, aumentando su

sección transversal a 7,00×10−4 m2, determine (a) la rapidez y (b) la presión del

fluido es esta zona ampliada. ρagua = 1000 kg/m3.

Solución (a)

Por la ecuación de continuidad,

( )( )( ) s

m351

10007

773105024

4

2

112 ,

,

,,=

×

×==

−

−

A

vAv

Solución (b)

Por la ecuación de Bernoulli,

222

211 2

121

vPvP ρρ +=+

( ) ( )( ) Pa 10261351773100021

1020121 52252

22112 ×=−+×=−+= ,,,,vvPP ρ

A B


Fluidos 229

16. Un aneurisma es una dilatación anormal de un vaso sanguíneo como la aorta.

Suponga que, debido a un aneurisma, la sección transversal A1, de la aorta

aumenta a un valor A2 = 1,71 A1. La rapidez de la sangre a lo largo de una

porción normal de la aorta es v1 = 0,40 m/s, estando la persona en posición

horizontal (la persona está acostada). Determine por cuánto supera la presión

en la región dilatada a la presión en la región normal. Densidad de la sangre:

1 056 kg/m3.

Solución

Usando la ecuación de continuidad,

sm

230sm

400711 1

11

2

12 ,,

,===

A

Av

A

Av

Considerando que ambos puntos están a la misma altura,

222

211 2

121

vpvp ρρ +=+

( )22

2112 2

1vvpp −=− ρ

Pa5712 =− pp

17. Fluye agua (densidad 1,00 g/cm3)

continuamente de un tanque abierto como

en la figura. El área transversal en el

punto 2 es de 0,0480 m2 y en el punto 3

es de 0,0160 m2. El área del tanque es

muy grande en comparación con el área

transversal del tubo y por lo tanto v1 = 0.

Suponiendo que puede aplicarse la

ecuación de Bernoulli, calcule:

a. La rapidez del agua en los puntos 3 y 2.

b. La presión manométrica en el punto 2.

v1 A1

A2 = 1,71A1

v2

p2

p1


Fluidos 230

Solución (a)

Entre los puntos 1 y 3 podemos aplicar la ecuación de Bernoulli tomando como

referencia el piso:

232

1vPghp atmatm ρρ +=+

s

mghv 51223 ,==

Además, se puede aplicar la ecuación de

continuidad entre los puntos 2 y 3:

32

32 v

A

Av =

s

mv 1742 ,=

Solución (b)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3:

23

222 2

121

vpvp atm ρρ +=+

De donde la presión manométrica es, ( )22

232 2

1vvpp atm −=− ρ

Papp atm

42 10946 ×=− ,

h

Nivel


Fluidos 231


1. Calcule la presión manométrica sobre el buzo cuando está a 6,1

m de profundidad en el mar (ρ = 1,02 g/cm3). Use g = 9,81 m/s2.

Respuesta. 6,10×104 Pa

2. Un tubo en forma de U abierto por

ambos extremos contiene algo de

mercurio. Se vierte con cuidado un poco

de agua en el brazo izquierdo del tubo

hasta que la altura de la columna de

agua es de 15,0 cm. (a) Calcule la

presión manométrica en la interfaz

agua-mercurio (b) Calcule la distancia vertical h desde la superficie del mercurio

en el brazo derecho del tubo hasta la superficie del agua en el brazo izquierdo.

ρHg = 1,36×104 kg/m3, ρagua = 1,00×103 kg/m3, g = 9,80 m/s2.

Respuesta. (a) 1,47×103 Pa, (b) 13,9 cm

3. Un cubo de madera de densidad 0,900 × 103 kg/m3 flota en un vaso lleno de

agua. ¿Qué fracción del volumen total del cubo sobresale sobre del nivel del

agua? ρagua = 1,00×103 kg/m3.

Respuesta. 10 %

4. Un líquido (ρ = 1,65 g/cm3) fluye a través de dos secciones horizontales de

tubería unidas extremo con extremo. En la primera sección el área de sección

transversal es de 10,0 cm2, la rapidez del flujo es de 275 cm/s y la presión es de

1,20 × 105 Pa. En la segunda sección el área de sección transversal es de 2,50

cm2. Determine la rapidez del flujo y la presión en la sección más pequeña.

15,0 cm Agua

Mercurio

h


Fluidos 232

Respuesta. 11,0 m/s, 2,64×104 Pa

5. Se muestra un cilindro con un agujero lateral a y1 = 45,0 cm por donde sale el

agua. El nivel del agua se mantiene a una altura y2 = 60,0 cm mediante una

tubería interna. Determine la rapidez de salida del chorro de agua. ρagua =

1,00×103 kg/m3, g = 9,80 m/s2.

Respuesta. 1,72 m/s

y2

h

y1


Fluidos 233


1. Un recipiente de un litro esta completamente lleno de plomo cuya masa es de

11,3 kg. Si el recipiente se sumerge completamente en agua (ρ = 1,0 g/cm3),

entonces la fuerza de flotación sobre él es: (g = 10 m/s2)

a) 10 N

b) 113 N

c) 1000 N

d) 11,3 N

e) 1,13 N

2. Dos bloques cúbicos idénticos en tamaño y forma se cuelgan de hilos y se

sumergen totalmente en una alberca. El bloque A es de aluminio; su cara

superior está a 0,50 m bajo la superficie del agua. El bloque B es de latón; su

cara superior está a 1,50 m bajo la superficie del agua. Si la densidad del latón

es mayor que la del aluminio, indique las alternativas correctas:

I. La presión del agua es mayor sobre la cara superior del bloque B que

sobre la cara superior del bloque A.

II. La fuerza de flotación ejercida por el agua sobre el bloque A es mayor que

la ejercida sobre el bloque B.

III. La tensión en el hilo del que cuelga el bloque B es mayor que la tensión

del hilo sobre el bloque A.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) I y III

e) II y III

3. Una roca sólida, suspendida en el aire por medio de una báscula de resorte,

tiene una masa medida de 0,80 kg. Cuando la roca se sumerge en agua, la

lectura de la balanza es de 0,70 kg. ¿Cuál es la densidad de la roca?


Fluidos 234

a) 4,5×103 kg/m3

b) 3,5×103 kg/m3

c) 1,2×103 kg/m3

d) 2,7×103 kg/m3

e) 8,0×103 kg/m3

4. El suministro de agua de un edificio llega a través de un tubo de entrada

principal de 6,0 cm de diámetro. Una llave con salida de 2,0 cm de diámetro,

ubicada a 2,0 m por encima del tubo principal, llena un recipiente de 25 litros en

30 s. ¿Cuál es la presión manométrica en el tubo principal? ρagua = 1,00×103

kg/m3, g = 9,80 m/s2.

a) 1,7×104 Pa

b) 2,3×104 Pa

c) 4,8×104 Pa

d) 7,3×104 Pa

e) 5,6×104 Pa

5. La tubería mostrada transporta un caudal de

petróleo de 1,000×10−2 m3/s. Si la presión en

el punto 2 es 2,026×105 Pa, determine la

presión en el punto 1. Considere que los

diámetros son d1 = 16,00 cm, d2 = 6,000 cm y

ρpetróleo = 920 kg/m3. g = 9,81 m/s2.

a) 1,40×104 Pa

b) 3,15×105 Pa

c) 4,80×106 Pa

d) 6,60×105 Pa

e) 2,08×105 Pa

1 2


Calor y temperatura 235

11. CALOR Y TEMPERATURA

La temperatura es la sensación física que nos produce un cuerpo cuando entramos en

contacto con él. Observamos cambios en los cuerpos cuando cambian su

temperatura, por ejemplo, la dilatación que experimenta un cuerpo cuando incrementa

su temperatura. Esta propiedad se usa para medir la temperatura de un sistema,

como por ejemplo en los termómetros clínicos que consisten en un pequeño depósito

de mercurio que asciende por un capilar a medida que se incrementa la temperatura.

La escala de temperaturas adoptada por el SI es la llamada escala absoluta o Kelvin.

En ella el tamaño de los grados es el mismo que en la Celsius, pero el cero de la

escala se fija en el −273,16 °C. Este punto llamado cero absoluto de temperaturas es

tal que a dicha temperatura desaparece la agitación molecular, por lo que, según el

significado que la teoría cinética atribuye a la magnitud temperatura, no tiene sentido

hablar de valores inferiores a él. El cero absoluto constituye un límite inferior natural

de temperaturas, lo que hace que en la escala Kelvin no existan temperaturas bajo

cero (negativas).

11.1. DILATACIÓN TÉRMICA

Casi todos los materiales se expanden al aumentar su temperatura. Las cubiertas de

los puentes necesitan articulaciones y soportes especiales para permitir su expansión.

Una botella totalmente llena de agua y tapada se revienta al calentarse, pero podemos

aflojar la tapa metálica de un frasco vertiendo agua caliente sobre ella. Estos son

ejemplos de dilatación o expansión térmica.

El hecho de que las dimensiones de los cuerpos, por lo general, aumenten

regularmente con la temperatura, ha dado lugar a la utilización de tales dimensiones

como propiedades termométricas y constituyen el fundamento de la mayor parte de

los termómetros ordinarios.



Si un objeto tiene una longitud inicial L0 a una temperatura T0 y experimenta un

cambio de temperatura ∆T, esta dimensión lineal cambia en una cantidad ∆L:

TLL ∆=∆ 0α

O equivalentemente:

( )000 TTLLL −=− α

Donde L es la longitud final, T es la temperatura final y α es el coeficiente de dilatación

lineal característico para cada material.

Tabla 11.1. Coeficientes de expansión lineal

Material αααα (K−−−−1 ó °C−−−−1)

Aluminio 2,40 × 10−5

Cobre 1,70 × 10−5

Vidrio 0,40 × 10−5

Acero 1,20 × 10−5


1. El puente Humber de Inglaterra tiene el claro individual más largo del mundo (1

410 m). Calcule el cambio de longitud de la cubierta de acero (α = 1,20 × 10−5

1/°C) del claro si la temperatura aumenta de −5,00 °C a 18,00 °C.

Solución

( )( ) ( )[ ] m 0,389 m 0050018141010201 5=−−×=∆

− ,,,L

T0

L0

T = T0 + ∆T

L

∆L



2. Un evaluador usa una cinta métrica de acero (α = 1,20 × 10−5 1/°C) que tiene

exactamente 50,000 m de longitud a 20,0 °C. En un caluroso día de verano la

longitud de esta cinta llega a 50,009 m. ¿Qué temperatura se tiene en este

caluroso día?

Solución

( )00 TTLL −=∆ α

( )

( )( )C035

005010201

0005000950020

50

0 °=×

−+=

∆+=

−,

,,

,,,

L

LTT

α

11.2. CALOR

Si metemos una cuchara fría en una taza de café caliente, la cuchara se calienta y el

café se enfría para acercarse al equilibrio térmico. La interacción que causa estos

cambios de temperatura es básicamente una transferencia de energía de una

sustancia a otra. La transferencia de energía que ocurre solo por una diferencia de

temperaturas se llama flujo de calor o transferencia de calor, y la energía así

transferida se llama calor.

Se puede decir entonces que el calor es la energía que fluye de un cuerpo a otro en

virtud de una diferencia de temperaturas. El calor es energía en tránsito.

Cuando dos cuerpos A y B que tienen diferentes temperaturas se ponen en contacto

térmico, después de un cierto tiempo, alcanzan la misma temperatura se dice

entonces que los cuerpos han alcanzado la condición de equilibrio térmico.

11.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Los tres mecanismos de transferencia de calor son: conducción, convección y

radiación. Ocurre conducción dentro de un cuerpo o entre dos cuerpos en contacto. La

convección depende del movimiento de una masa de una región del espacio a otra. La

radiación es transferencia de calor por radiación electromagnética, como la luz del sol,

sin que tenga que haber materia en el espacio entre los cuerpos.



11.3.1. Conducción

Si sujetamos el extremo de una varilla de cobre y colocamos el otro en una llama el

extremo que sostenemos se calienta cada vez más, aunque no esta en contacto

directo con la llama. El calor llega al extremo más frio por conducción a través del

material. A nivel atómico, los átomos de las regiones, mas calientes tienen en

promedio más energía cinética que sus vecinos más fríos, así que los empujan y les

dan algo de su energía. Los vecinos empujan a sus vecinos, continuando así a través

del material. Los átomos en si no se mueven de una región del material a otra, pero su

energía sí.

Solo fluye calor entre regiones que están a diferentes temperaturas, y la dirección de

flujo siempre es de la temperatura más alta a la más baja.

La rapidez H con la cual el calor fluye por conducción a través de una placa de área A

y espesor L es

−=

L

TTkAH

21

Donde k es la conductividad térmica del material. H también es conocido como ritmo

como intensidad de corriente térmica (H = ∆Q/∆t) y se mide en J/s o W.

A

L

T1

T2

Flujo de calor para

T1 > T2



Tabla 11.2. Conductividades térmicas de diversos materiales

Sustancia k [W/(m·K)]

Aluminio 205,0

Latón 109,0

Cobre 385,0

Plomo 34,7

Mercurio 8,3

Plata 406,0

Acero 50,2

Ladrillo aislante 0,15

Ladrillo rojo 0,6

Hormigón 0,8

Corcho 0,04

vidrio 0,8

hielo 1,6


3. El edificio Cronos, como muchos otros edificios de la capital, está totalmente

vidriado hacia el exterior. Para contrarrestar el efecto invernadero, durante el

verano, los diseñadores plantean un sistema de aire acondicionado que

mantendrá la temperatura interior a 21,0 °C (podemos suponer que la cara

interna del vidrio se mantiene a esta temperatura). Si los rayos del sol mantienen

la cara externa del vidrio a 35,0 °C, determine la rapidez de la conducción del

calor a través de una ventana de 1,0 m2. El espesor del vidrio es de 1,50 cm.

kvidrio = 0,84 W/(m·°C)

Solución

De la ecuación,

−=

L

TTkAH

21

( )( )

WWH21087

01500

021035840 ×=

−= ,

,

,,,



4. Una habitación tiene una ventana de 3,0 m2 de superficie con un vidrio de 1,0

cm de espesor. La temperatura del aire exterior es de 3,0 °C. ¿A qué

temperatura podrá llegar la habitación si la calentamos con una estufa de 1 000

W? kvidrio = 0,84 W/(m·°C)

Solución

De la ecuación,

−=

L

TTkAH

21

21 TKA

HLT +=

( )( )( )( )

C03C03840

10010001 2

1 °+°×

=

−

,,,

,T

C7,0C03C041 °=°+°= ,,T

11.3.2. Convección

Cuando calientas tus manos alrededor de una fogata, el aire se eleva y calienta tus

manos. En este caso, el material presenta movimiento ya sea en forma natural debido

a la diferencia de temperaturas (el aire caliente tiende a subir debido a su menor

densidad) o forzado (ventilación). Otro ejemplo es el movimiento de líquido mientras

el agua se calienta.



11.3.3. Radiación

La transferencia de calor por radiación depende de ondas electromagnéticas como luz

visible, el infrarrojo y la radiación ultravioleta.

Todo cuerpo, aun a temperaturas ordinarias, emite energía en forma de radiación

electromagnética.

A temperaturas ordinarias, digamos 20,0 °C, casi toda la energía se transporta en

ondas de infrarrojo con longitudes de onda mucho mayores que las de luz visible. A

800 °C un cuerpo emite suficiente radiación visible como para verse al rojo vivo.

En la figura se muestra la emisión de radiación electromagnética roducida por nuestro

cuerpo.




1. Una vía de acero (α = 1,20×10−5 1/°C) mide 100 m a 20 °C. ¿Qué cambio de

longitud tendrá la vía cuando su temperatura se eleva hasta 40 °C?

Respuesta. 2,4 cm

2. El aeropuerto de Beijing fue diseñado por el arquitecto Norman Foster para las

olimpiadas del 2008. Esta construcción tiene un techo abovedado hecho de

acero, compuesto por vigas independientes de 240 m de largo cada uno.

Cuando se hicieron los modelos por computadora los ingenieros estructurales se

dieron cuenta que podrían tener problemas por fuerzas causadas por la

dilatación de la estructura. Si la temperatura para la cual la viga tiene 240 m es

20,0 °C, ¿cuánto se dilatará linealmente una viga a la máxima temperatura de

45,0 °C? αacero = 1,20×10−5 1/°C.

Respuesta. 7,20 cm

3. Una viga de acero de 10,0 m de longitud se coloca en una estructura de 20,0 °C.

Determine la variación de longitud de la viga si la temperatura disminuye a −35,0

°C. αacero = 1,20×10−5 1/°C.

Respuesta. −6,60 mm

4. Una caja de espuma de poliuretano para mantener frías las bebidas tiene un

área de pared total (incluida la tapa) de 0,80 m2 y un espesor de pared de 2,0

cm, y está llena con: hielo, agua y latas de gaseosa a 0,0 °C. Calcule la rapidez

del flujo de calor hacia el interior si la temperatura exterior es de 30,0 °C. kespuma

= 0,010 W/(m·K)

Respuesta. 12 W



5. Las ventanas de una casa son una fuente principal de pérdida de calor. Calcule

la rapidez del flujo de calor a través de una ventana de vidrio de 2,00 m × 1,50 m

de área y 3,200 mm de espesor, si las temperaturas de las superficies interna y

externa son de 15,0 °C y 14,0 °C respectivamente. Considere kvidrio = 0,84

W/(m·°C)

Respuesta. 788 W




1. Si metemos la mano en un horno caliente, el calor es incómodo pero soportable.

En cambio si tocamos la pared metálica interna del horno, nos quemaremos.

Considerando que hay equilibrio térmico, esta diferencia se debe a:

a) El aire es mejor conductor térmico que la pared del horno.

b) El metal del horno es mejor conductor térmico que el aire.

c) La temperatura de la pared del horno es mayor que la del aire.

d) La temperatura del aire es mayor que la de la pared del horno.

e) El metal es un buen aislante térmico.

2. La transmisión de calor por convección:

a) No requiere de un desplazamiento significativo de moléculas.

b) No es un mecanismo efectivo en los sólidos.

c) Es el único mecanismo de transferencia de calor en el vacío.

d) Se origina desde zonas de menor temperatura hacia zonas de temperatura

mayor.

e) Todas son válidas.

3. Normalmente calentamos un recipiente que contiene agua por la parte inferior y

conseguimos que hierva toda el agua. La energía se transfiere a las capas

superiores fundamentalmente por:

a) Conducción

b) Radiación

c) Convección

d) Cualquiera es igual

e) Faltan mayores datos



4. La estatua de la Libertad tiene 93,000 m de altura y está hecha de placas de

cobre (αcobre = 1,7×10−5 1/°C). Si ésta es su altura en un día de 20 °C, ¿cuál es

su altura cuando la temperatura es de 35 °C?

a) 92,764 m

b) 93,024 m

c) 95,46 m

d) 108 m

e) 95,370 m

5. Calcule el espesor que debe tener un muro de concreto con un área de 7,5 m2 si

la rapidez del flujo de calor que permite es de 722 W con una diferencia de

temperatura de 15 °C entre sus paredes. Considere kconcreto = 1,3 W/(m·°C).

a) 0,20 m

b) 0,45 m

c) 0,50 m

d) 1,5 m

e) 2,0 m


Electricidad 246

12. ELECTRICIDAD

En esta unidad también se aborda el análisis de algunos circuitos eléctricos simples

que constan de baterías y resistores en diversas combinaciones. La mayor parte de

los circuitos analizados se suponen que están en estado estable, lo que significa que

las corrientes son de magnitud y dirección constante.

12.1. CORRIENTE ELÉCTRICA

La corriente eléctrica I es la rapidez con la cual fluye la carga a través de la sección

transversal de un conductor.

dt

dQI =

La unidad de corriente en el SI es el ampere (A), donde 1 A = 1 C/s.

Las cargas que se mueven pueden ser positivas, negativas o ambas. Por convención

se adopta la dirección de la corriente a aquella que coincide con la dirección de las

cargas positivas.

En un metal las cargas que se mueven son los electrones (cargas negativas). En este

caso se dice, entonces, que la dirección de la corriente será opuesta a la dirección del

flujo de los electrones.

I

Sección recta

del alambre

Electrones


Electricidad 247

12.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL O VOLTAJE

Para que se establezca una corriente debe existir entre los extremos de un conductor

una diferencia de potencial eléctrico o voltaje. El voltaje V se define como la energía

por unidad de carga necesaria para mover una carga eléctrica dentro de un circuito.

La diferencia de potencial se mide en volts (V).

La corriente eléctrica siempre va de zonas de mayor potencial eléctrico hacia zonas de

menor potencial.

12.3. RESISTENCIA ELÉCTRICA

La proporción entre el voltaje V y la corriente eléctrica I con respecto a un conductor

en particular se conoce como su resistencia eléctrica R,

I

VR =

Esta ecuación se conoce como la ley de Ohm, pero no debe olvidar que la ley de Ohm

expresa la proporcionalidad directa de V con respecto a I o también que la resistencia

eléctrica se mantiene constante.

El grado de oposición que ofrece un material al paso de la corriente eléctrica por ella,

se especifica mediante la resistencia eléctrica. La unidad de la resistencia en el SI es

el ohm (Ω).

A

V

1

11 =Ω

La mayor parte de los circuitos eléctricos usan dispositivos llamados resistores para

controlar el nivel de corriente en las diferentes partes del circuito. El símbolo de un

resistor es:


Electricidad 248

12.4. ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Toda corriente eléctrica que pasa por un conductor

transporta energía, y en consecuencia potencia, el

cual puede ser aprovechado para su utilización.

La rapidez con la cual la carga eléctrica pierde

energía potencial cuando pasa a través de la

resistencia R del circuito mostrado, está dado por

IVP =

y como V = IR, entonces

RIR

VP 2

2

==

12.5. RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO

12.5.1. Resistores en serie

Para una combinación en serie de resistores, las

corrientes en los dos resistores son iguales porque

cualquier carga que fluye por R1 también debe fluir

por R2. La corriente es constante en cada resistor.

La resistencia equivalente de dos o más resistencias en serie es:

. . . . . . . 321 +++= RRRReq

Esta relación indica que la resistencia equivalente de una conexión de resistores en

serie es siempre mayor que cualquier resistencia individual.

R1

V

+ −

I

R2

R V

I

+

− ε


Electricidad 249

12.5.2. Resistores en Paralelo

Cuando los resistores están conectados en paralelo,

como en la figura, la diferencia de potencial a través

de ellos es la misma y además:

21 III +=

La resistencia equivalente de dos o más

resistencias en paralelo es:

. . . . . . . 1111

321

+++=RRRReq


1. Cuando se duplica el voltaje entre los extremos de un conductor determinado, se

observa que la corriente se triplica. ¿Cumple este conductor la ley de Ohm?

Respuesta. No. La corriente sólo debió duplicarse para mantener la resistencia

constante.

2. Un cable tiene una resistencia de 11,0 Ω. (a) Si se mantiene una diferencia de

potencial de 220 V a través del cable, ¿cuál es la corriente del alambre? (b)

¿Qué cantidad de carga fluye durante un tiempo de 1,00 segundo?

Solución (a)

A020011

220,

,===

R

VI

Solución (b)

+ −

R1

V I

R2 I1 I2


Electricidad 250

A020,=∆

∆=

t

QI

( )( ) C 020s 001 A020 ,,, ==∆Q

3. ¿Por cuál resistor circula más corriente?

Respuesta. Como todas tienen el mismo voltaje V, circula más corriente por la menor

resistencia (R).

4. Tres focos idénticos, con resistencia R, forman los circuitos mostrados. (a) ¿Qué

circuito tiene mayor resistencia? (b) ¿Qué circuito presenta mayor corriente? (c)

¿Por cuál de los focos circula la mayor corriente? (d) ¿Cuáles de los focos

tienen mayor voltaje?

Solución

(a) En serie: 3R. En paralelo: R/3.

(b) El circuito con menor resistencia equivalente: el circuito con los focos en paralelo.

(c) En cada foco: en serie, I = V/(3R); en paralelo, I = V/(R).

(d) En paralelo el voltaje es V. En serie es V/3.

V 2R

I

R 3R

V V


Electricidad 251

5. Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b del circuito.

Solución

Los resistores de 8,0 Ω, 16,0 Ω y 16,0 Ω están en paralelo.

016

1

016

1

08

11

1 ,,,++=

R, R1 = 4,0 Ω

Los resistores de 9,0 Ω y 18,0 Ω están en paralelo.

018

1

09

11

2 ,,+=

R, R1 = 6,0 Ω

El circuito quedaría reducido a:

La resistencia equivalente será:

08

1

012

1

024

11

,,,=+=

eqR

Req = 8,0 Ω

• a

8,0 Ω

16,0 Ω

16,0 Ω

9,0 Ω

18,0 Ω 6,0 Ω

20,0 Ω

• b

• a

4,0 Ω

6,0 Ω 6,0 Ω

20,0 Ω

• b


Electricidad 252

6. Para el circuito de la figura, determine las corrientes en los resistores de 25,0 Ω

y 20,0 Ω.

Solución

El voltaje en el resistor de 8,00 Ω es el mismo que en el resistor de 6,00 Ω (ambos

están en paralelo). Por lo tanto la corriente por la resistencia de 8,00 Ω es:

( )( ) A003A

008

006004,

,

,,==I

Entonces la corriente que pasa por a resistencia de 25,0 Ω es de (4,00 A + 3,00 A =

7,00 A).

El circuito puede verse ahora como se observa en la

figura. Finalmente, el voltaje en el resistor de 20,0 Ω es

de 199 V. Así

A959A020

175024,

,

,=

+=I

V

25,0 Ω

6,00 Ω

8,00 Ω

20,0 Ω

4,00 A

V

25,0 Ω

6,00 Ω

8,00 Ω

20,0 Ω

4,00 A

3,00 A

7,00 A

24,0 V 175 V


Electricidad 253

7. En el circuito mostrado en la figura, el voltaje entre los extremos del resistor de

2,00 Ω es de 12,0 V. ¿Cuál es la corriente a través del resistor de 6,00 Ω?

Solución

La corriente en los resistores de 2,00 Ω y 4,00 Ω es la misma (al estar en serie) y vale:

A006002

0121 ,

,

,==I

Entonces el voltaje en los resistores 2,00 Ω y 4,00 Ω es:

( )( ) V036006006 ,,, === eqIRV

Finalmente, la corriente por el resistor de 6,00 Ω es:

A006006

0362 ,

,

,==I

V

6,00 Ω

2,00 Ω 4,00 Ω


Electricidad 254


1. Si se mantiene constante el voltaje a través de un circuito y la resistencia

eléctrica aumenta al doble, ¿qué cambio sucede con la corriente?

Respuesta. Se reduce a la mitad.

2. ¿En un circuito de dos focos en serie, si la corriente que pasa por uno de ellos

es de 1,0 A , ¿cuál es la corriente que pasa por el otro?

Respuesta. 1,0 A

3. Para el circuito mostrado en la figura, indique a

través de que resistencia eléctrica pasa: (a) la

corriente más intensa y (b) la menos intensa.

Respuesta. La corriente más intensa pasa por R. La corriente menos intensa pasa por

3R.

4. Considere el circuito de la figura. Determine la corriente

en cada resistencia y de la batería de 3,00 V.

Respuesta. En la resistencia de 25,0 Ω: I1 = 0,120 A; en las resistencias de 5,00 Ω y

15,0 Ω: I2 = 0,150 A; corriente de la batería: 0,270 A.

R

V

2R

3R

2R

a b c

3,00 V

15,0 Ω 5,00 Ω

25,0 Ω


Electricidad 255

5. Determine la resistencia R del circuito de la figura, para

que la corriente I sea de 15,0 mA.

Respuesta. 500 Ω

9,00 V

R 100 Ω

I


Electricidad 256


1. Se mantiene una diferencia de potencial de 1,00 V entre los extremos de un

resistor de 10,0 Ω, durante un periodo de 20,0 s. ¿Cuál es la carga total que

pasa por el alambre en este intervalo de tiempo?

a) 200 C

b) 20,0 C

c) 2,00 C

d) 0,100 C

e) 0,500 C

2. Tres focos de luz idénticos van a ser conectados a una batería. ¿En qué caso

circulará más corriente por cada foco: cuando se conectan en serie o cuando se

conectan en paralelo a la batería?

a) Cuando se conectan en serie.

b) Cuando se conectan en paralelo.

c) En ambos casos la corriente es la misma.

d) Falta conocer la resistencia de cada foco.

e) En ningún caso circula corriente eléctrica.

3. A través de un resistor pasan 0,50 A cuando el voltaje entre los extremos del

resistor es de 120 V. ¿Qué corriente pasará por este mismo resistor si el voltaje

se reduce a 60 V?

a) 0,25 A

b) 0,50 A

c) 0,60 A

d) 1,0 A

e) 0


Electricidad 257

4. Determine la resistencia equivalente

entre los puntos x e y del circuito

mostrado en la figura.

a) 12 Ω

b) 6,0 Ω

c) 3,0 Ω

d) 10 Ω

e) 24 Ω

5. En la figura se muestran tres resistores, cuya

resistencia eléctrica es la misma (R1 = R2 = R3 =

R). Entonces:

a) La corriente que circula por el resistor R1

es mayor que la corriente que circula por el

resistor R2.

b) La corriente que circula por el resistor R2 es mayor que la corriente que

circula por el resistor R3.

c) La corriente total de la fuente es V/R.

d) La resistencia equivalente del circuito es 3R.

e) El voltaje del resistor R2 es menor que el voltaje del resistor R3.

12,0 Ω

10,0 Ω

3,0 Ω

6,0 Ω

18,0 Ω

9,0 Ω

7,0 Ω

x y

R1

V

R3

R2


Apéndice I 258

13. APÉNDICE I

APLICACIONES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

En diversas ramas de la ingeniería y la arquitectura es necesario utilizar las

herramientas básicas de cálculo para describir los fenómenos físicos. El uso del

cálculo es fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la mecánica, la

electricidad y el magnetismo. En esta sección revisaremos algunas propiedades

básicas y reglas prácticas que debes aplicar.

13.1. DERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALES

Primero se debe especificar una función que relacione una variable con otra (por

ejemplo, una coordenada como función del tiempo). Supongamos que una de las

variables se denomina y (la variable dependiente) y la otra t (la variable

independiente). Podríamos tener una relación de función polinómica como:

( ) dctbtatty +++=23

Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces y puede calcularse para

cualquier valor de t.

Derivada de una función ( ) natty =

Si ( ) natty = , la derivada de y con respecto de t se encuentra así:

1−=

nnatdtdy


Apéndice I 259

Derivada de una constante

Si ay = es constante, entonces 0=dt

dy


1. Si ( ) dctbtatty +++=23

Entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

023 223

+++=+++= cbtatdtdd

dtctd

dtbtd

dtatd

dttdy

2. La derivada de la función 742

5 2+−= tty es 45 −= t

dtdy

.

3. La derivada de la función 8423 234++++= tttty es

42612 23+++= ttt

dtdy

.

13.2. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para funciones trigonométricas seno y coseno se tiene lo siguiente:

( ) ataatdtd

cossen =

( ) ataatdtd

sencos −=


4. Si ( )tty 235 cos+= , entonces la derivada de la función es

( ) ( )( ) ( )ttdtd

dtd

dtdy

265235 sencos −=+=


Apéndice I 260

13.3. INTEGRALES

La integración se considera como la inversa de la derivación. Como ejemplo, sea la

expresión

( ) batdtdy

tf +==23

que fue el resultado de derivar la función ( ) cbtatty ++=3 donde a, b y c son

constantes.

Puede escribir la ecuación como ( ) ( )dtbatdttfdy +==23 y obtener ( )ty sumando

sobre todos los valores de t. Matemáticamente esta operación inversa se escribe

( ) ( )∫ ++=+= cbtatdtbatty 323

donde c es una constante de integración. Este tipo de integral se le conoce como

integral indefinida debido a que su valor depende de la elección de c.

Una integral indefinida general ( )tI se define como

( ) ( )∫= dttftI

Una integral definida para una función

continua general f(t) la integral puede

describirse como el área bajo la curva por

f(t) y el eje t, entre dos valores especificados

de t, por ejemplo, t1 y t2 en la figura. Así,

( )∫=

2

1

t

t

dttfÁrea

f (t)

t t1 t2


Apéndice I 261

Una integral común que surge en situaciones prácticas tiene la forma

( )11

1

−≠++

=∫+

ncnt

dttn

n

Si se conocen los límites de integración

( )11

2

1

11

12 −≠+

−=∫

++

nn

ttdtt

t

t

n

nn

Para funciones trigonométricas:

( ) ata

dtat cossen1

−=∫

( ) ata

dtat sencos1

=∫


5. ∫ += 1

43

4C

tdtt

6. 2

4

2

43

4

44 CtC

tt∫ +=+=

7. ∫ =−

==

3

0

333

0

32 9

3

03

3

tdtt

8. ( )∫ =−==

1

0

2525

1

0

2523

5

201

5

2

25

///

/

/

tdtt

9. ∫ =−

==

5

3

225

3

2

82

35

2

ttdt


Apéndice I 262

13.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

Si x(t) es la posición de un móvil, la velocidad instantánea se define como dtdx

v = y la

aceleración como dtdv

a = .

Si se conoce la velocidad instantánea de un móvil, su posición se puede calcular como

∫= vdtx .

Si se conoce la aceleración instantánea de un móvil, su velocidad se puede calcular

como ∫= adtv .


Todas las funciones de posición, velocidad o aceleración se encuentran escritas en

unidades del SI.

10. La posición de un móvil esta descrita por la ecuación ( ) 16 2+= ttx . Determine

la velocidad y la aceleración instantánea de este móvil como función del tiempo.

Solución

( ) tdtdx

tv 12==

( ) 12==dtdv

ta

11. La aceleración de móvil es ( ) tta 6−= . Determine la velocidad y la posición del

móvil como función del tiempo. Considere que en t =0, x = 0 y v = 0.

Solución


Apéndice I 263

( )∫∫ +−=−== 3

236 Ctdttadtv

Como 00 == vt , , entonces 03 =C , así

23tv −=

( )∫∫ +−=−== 4

323 Ctdttvdtx

Como 00 == vt , , entonces 04 =C , así

3tx −=


1. Si la posición de un objeto está dada por la ecuación 12

14 2

++= ttx metros,

determine su velocidad, sabiendo que dtdx

v = .

Solución

2

18 +== t

dtdx

v

2. La velocidad de un móvil es 0305 ,, += tv m/s. Encuentre su aceleración en t =

2,0 s, considerando que la aceleración es dtdv

a = .

Solución

05,==dtdv

a m/s2

Como la aceleración a no depende del tiempo, su valor es constante a = 5,0 m/s2 en

cualquier tiempo.


Apéndice I 264

3. Encuentre la ecuación de la aceleración de una partícula, si su posición está

dada por 254

1 2++= tty m. Considere que

==

dtdy

dtd

dt

dva y

y .

Solución

52

1+= tv y m/s

2

1==

dt

dva y

y m/s2

4. Determine la velocidad en t = 1,00 s, para un objeto cuya posición está dada por

( )ty π4002 sen,= metros. Considere que dtdy

v y = y el ángulo se encuentra

en radianes.

Solución

( )tdtdy

v y ππ 4008 cos,==

( ) 125001 ,, =sv y m/s

5. Determine la aceleración para un sistema que se mueve según la ecuación

( ) ttv y 03052

1,,cos += m/s.

Solución

( ) 030552 ,,sen, +−== tdt

dva y

y m/s2


Apéndice I 265

6. Si la velocidad de una partícula está dada por 042

1,+= tv m/s, determine la

posición de la partícula en t = 2,0 s, considerando que parte del reposo en x0 =

0,0 m y la posición es ∫+=t

t

vdtxx0

0 .

Solución

∫=

t

t

vdtx

0

09044

042

102

00

2

0

,,,

,

,

=+=

+= ∫

=

=

st

st

tt

dttx metros

7. La aceleración de un cuerpo está dada por la ecuación ta 04,= m/s2.

Determine su velocidad, considerando que ∫+= dtavv 0 , con v0 = 0,0 m/s.

Solución

∫= dtav

20204 tdttv ,, == ∫ m/s


Apéndice II 266

14. APÉNDICE II

CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES

CAPÍTULO 1. MAGNITUDES FÍSICAS

1. b)

2. a)

3. b)

4. a)

5. b)

CAPÍTULO 2. VECTORES

1. b)

2. e)

3. c)

4. d)

5. c)

CAPÍTULO 3. CINEMÁTICA

1. a)

2. c)

3. b)

4. b)

5. d)

CAPÍTULO 4. LEYES DEL MOVIMIENTO

1. c)

2. e)

3. b)

4. e)

5. a)


Apéndice II 267

CAPÍTULO 5. TRABAJO

1. e)

2. d)

3. c)

4. b)

5. a)

CAPÍTULO 6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1. a)

2. c)

3. e)

4. c)

5. b)

CAPÍTULO 7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS

1. d)

2. a)

3. b)

4. b)

5. d)

CAPÍTULO 8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. c)

2. d)

3. c)

4. d)

5. a)

CAPÍTULO 9. ONDAS MECÁNICAS

1. a)

2. b)

3. c)

4. c)

5. a)


Apéndice II 268

CAPÍTULO 10. FLUIDOS

1. a)

2. d)

3. e)

4. b)

5. e)

CAPÍTULO 11. CALOR Y TEMPERATURA

1. b)

2. b)

3. c)

4. b)

5. a)

CAPÍTULO 12. ELECTRICIDAD

1. c)

2. b)

3. a)

4. d)

5. a)

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