Cuadernos de Administración

Cuadernos de Administración

ISSN: 0120-3592

[email protected]

Pontificia Universidad Javeriana

Colombia

Sarmiento Sabogal, Julio Alejandro

Metodología para el cálculo de la tasa interna de retorno ponderada de alternativas con flujos no

convencionales

Cuadernos de Administración, vol. 16, núm. 25, enero-junio, 2003, pp. 195-217

Pontificia Universidad Javeriana

Bogóta, Colombia

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=20502509

Cómo citar el artículo

Número completo

Más información del artículo

Página de la revista en redalyc.org

Sistema de Información Científica

Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal

Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

http://www.redalyc.org/revista.oa?id=205

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=20502509

http://www.redalyc.org/comocitar.oa?id=20502509

http://www.redalyc.org/fasciculo.oa?id=205&numero=1032

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=20502509

http://www.redalyc.org/revista.oa?id=205

http://www.redalyc.org

195Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (25): 195-217, enero-junio de 2003

METODOLOGÍAS PARA EL CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO PONDERADA DE ALTERNATIVAS CON FLUJOS NO CONVENCIONALES

METODOLOGÍAS PARA EL CÁLCULO

DE LA TASA INTERNA DE RETORNO

PONDERADA DE ALTERNATIVAS

CON FLUJOS NO CONVENCIONALES*

Julio Alejandro Sarmiento Sabogal* *

* Es un artículo presenta los resultados de la investigación en curso “Caracterización de los modelos devaloración en Colombia”, financiado por la Pontificia Universidad Javeriana. El autor agradece los valiososcomentarios y aportes de Ignacio Vélez Pareja, decano de Ingeniería Industrial del Politécnico Grancolombiano,y de Edgardo Cayón y Jaime Sierra, profesores del Departamento de Administración de la Pontificia Univer-sidad Javeriana. Todos los posibles errores contenidos en este artículo son responsabilidad exclusiva del autor.El artículo se recibió el 01/28/03 y se aprobó 16/05/03.

** Especialista en Gerencia Financiera de la Pontificia Universidad Javeriana, 2001. Administrador de Empresas,1998. Profesor del Departamento de Administración de Empresas de la Facultad de Ciencias Económicas yAdministrativas de la Pontificia Universidad Javeriana. Correo electrónico: [email protected]

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.195

196 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (25): 195-217, enero-junio de 2003

JULIO ALEJANDRO SARMIENTO SABOGAL

RESUMEN

El método de la tasa interna de retorno pon-derada (TIRPo) se utiliza para eliminar lasinconsistencias de los supuestos de la TIRtradicional y, en su lugar, incluir explícita-mente las suposiciones del VPN. Al haceroperativas las propuesta de cada uno de losautores que han desarrollado la TIRP, losprocedimiento y soluciones varían. Este cir-cunstancia problemática se hace más evi-dente cuando el decisor se enfrenta aalternativas con flujos de caja no conven-cionales. El artículo muestra las metodolo-gías que suponen las posiciones de losautores y las que se derivan de la unión desus propuestas; además, analiza los resulta-dos obtenidos con cada metodología al tra-bajar con flujos de caja no convencionales.El estudio concluye que las cuatro metodo-logías estudiadas son consistentes con elVPN, desde el punto de vista numérico; sinembargo, propone el empleo de la metodo-logía denominada TIRP por ser la que pre-senta mayores fortalezas conceptuales.

Palabras Clave: TIR, rentabilidad, criteriosde decisión, evaluación financiera, TIR pon-derada, métodos de decisión.

ABSTRACT

The Weighted Internal Rate of Return(WIRRo) is used to eliminate inconsistenciesof traditional Internal Rate of Return (IRR)assumptions and instead to explicitly includeNet Present Value NPV assumptions. TheWIRR has been developed by authors whohave analyzed the model. However, whenimplementing each author’s proposals, pro-cedures and solutions vary. This issue is evenmore evident when decision makers are facedwith non-conventional cash flows. The ar-ticle shows methodologies based on the au-thors’ opinions and methodologies that arisefrom merging their proposals. It also ana-lyzes the results obtained with each non-con-ventional cash flow methodology. The studyconcludes that the four methodologies areconsistent with NPV from a numeric pointof view. However, the application of theWIRR methodology is most recommendedsince it is conceptually stronger.

Key Words: IRR, profitability, decisioncriteria, financial evaluation, weighted IRR,decision methods

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.196



1. El problema de los ordenamientosde alternativas excluyentes basadosen la TIR

La tasa interna de retorno (TIR) ha sido unode los criterios de decisión más apetecidospara la toma de decisiones financieras, nosolamente a efectos de aceptar o rechazar in-versiones, sino a efectos de ordenar alternati-vas mutuamente excluyentes con el fin deseleccionar la ‘mejor’. Este criterio se sopor-ta en una serie de supuestos implícitos quehacen que tenga inconvenientes cuando se usapara hacer ordenación —seleccionar la mejoropción—, y producen que en determinadosrangos de tasas de descuento la informaciónobtenida sea contradictoria con la de otrosmétodos, como el valor presente neto (VPN).

Estos supuestos son:• La tasa de reinversión de los fondos li-

berados por el proyecto se utiliza en losperíodos intermedios.

• La TIR no tiene en cuenta la diferenciaentre los valores de las inversiones.

• La TIR no diferencia los proyectos conla misma rentabilidad, pero con diferen-tes vidas (o períodos).

La TIR es la solución matemática de la ecua-ción (0), donde Ij representa los flujos deingresos, Ej son los flujos negativos e i esla variable que se va a despejar. El primersupuesto nace de la lógica de interés com-puesto, pues al elevar los flujos a la j, implí-citamente se está suponiendo que todos losflujos intermedios, sean entregados o no, sonreinvertidos a i, que para (0) es la TIR.

0)1()1( 00

=+

−+ ∑∑

==

n

jj

jn

jj

j

i

E

i

I(0)

Para una explicación más clara de este su-puesto, se mostrará un ejemplo oído en unaclase del profesor Ignacio Vélez: se tienen$10’000.000 para invertir a un año. Al re-visar el periódico, se encuentra que hay unapersona en apuros económicos, que estávendiendo un BMW modelo 2002, en per-fecto estado y sin ningún problema legal a$10’000.000. El inversionista compra el ve-hículo y lo usa por seis meses, al cabo delos cuales lo venderá aproximadamente en$60’000.000. La rentabilidad durante esteperíodo será del 500%1 (véase Gráfico 1).Como el inversionista tiene un horizonte deinversión de un año, la TIR supondría quedebe tomar los 60 millones y reinvertirlosal 500%, con lo cual al final del año obten-dría 360 millones.2 Para lograr esto ten-dría que reproducir seis veces más lacompra del vehículo.

En este ejemplo se muestra entonces cómoal suponer la reinversión a la misma TIR, elmétodo no es consistente con la realidad eco-nómica, pues si bien es posible encontrarproyectos de inversión excepcionalmente ren-tables, no es probable que éstos se repitanindefinidamente. Por otro lado, el VPN su-pone que los fondos son reinvertidos a la tasade descuento del inversionista y, por lo tan-to, reinvierte los sesenta millones no al 500%,sino a una tasa de mercado, con lo que logra

5i 1000.000.10000.000.60 Entonces

0i)(1

10.000.000i)(1

60.000.000TIR 011

=−=

=+

−+

=

i

2 VF = 60’000.000 (1+ 500%) = 360’000.000

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.197



un valor futuro de 72 millones —si se supo-ne una tasa de descuento del 20%— (véaseGráfico 2). En conclusión, el escenario pro-

puesto por el VPN es más posible que elmostrado por la TIR.

Gráfico 1

Diagrama de Flujo de caja de la situaciónpropuesta por la TIR

Gráfico 2

Diagrama de Flujo de caja de la situaciónpropuesta por el VPN

$60’

$10’

...en seis meses

$60’

...en un año$60’

$360’

1)51(*60 +=vf

$60’

...en un año$60’

$360’

1)51(*60 +=vf

...en un año$60’

$360’

1)51(*60 +=vf

$60’

$360’

$60’

$360’

1)51(*60 +=vf

$6 0’

$1 0 ’

... en seis meses

$6 0’

.. .en un añ o$6 0’

$7 2’

$6 0’

$7 2’

1)2.01(*60 +=v f

Fuente: elaboración propia.

El segundo problema de la TIR es que notiene en cuenta las diferencias entre los va-lores de las inversiones. Esto se debe a queal ser una medida relativa, no alcanza a evi-denciar la diferencia entre invertir un peso yganar dos e invertir cinco millones de pesosy recuperar diez millones. Para este crite-rio, el resultado es el mismo 100% en losdos casos. Sin embargo, económicamenteexiste una diferencia abismal entre los doscasos, de hecho, si el beneficio del proyec-to es interesante para el inversionista, la de-cisión racional que éste debería tomar espreferir el segundo al primero; puesto quepara lograr la misma cantidad de recursostendría que buscar cinco millones de pro-yectos iguales al primero para poder equi-parar la suma lograda en el segundo.

El VPN, por el contrario, supone implícita-mente que los recursos adicionales del inver-

sionista son invertidos a la tasa de descuentohasta el final del proyecto, con lo cual, aldescontarlos a ésta, el resultado será siem-pre cero. De esta forma, si se supone que elinversionista está pensando en invertir un pesoo cinco millones (suponiendo que estos pro-yectos sean mutuamente excluyentes), lomínimo que debe tener disponible para in-vertir es precisamente lo necesario para em-prender la segunda opción, de manera tal quesi decide invertir en la primera, dedicará $1 alproyecto y los $4’999.999 restantes no losdejara ociosos, sino que los invertirá a su tasade descuento (20%), con lo cual tendrá alfinal del período $5’099.9993 (como lo mues-tra el Gráfico 3). Así, al descontar este últi-mo valor a la misma tasa de descuento, elresultado es cero.

3 VF = 4’999.999 (1+0,2) = 5’099.999

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.198



pues le ofrece ganancias superiores a surentabilidad mínima durante un lapso másprolongado que la alternativa A —esto ocu-rre así los dos ofrezcan la misma rentabili-dad anual—. El VPN, por su parte, suponeimplícitamente que los recursos son rein-vertidos a la tasa de descuento hasta acabarcon la vida del proyecto de mayor duración,de manera tal que se obtendrá un resultadonulo. El Gráfico 4 muestra esta situación.

Gráfico 3

Supuesto del VPN con respecto a las diferencias entre los montos de las inversiones

4’999.999

5’099.999

1

2 Proyecto A

Complemento del Proyecto A

96 , 0 1 %) 20 1 (

2 = − ? = AVPN

0 999 . 999 4’ %) 20 1 ( 999 . 099 . 5 = =

+ = A VPN


Por último, La TIR no diferencia los pro-yectos con la misma rentabilidad, pero condiferentes vidas; puesto que ésta es unamedida relativa a un período. Supóngase quese tienen dos proyectos con rentabilidadanual del 50%, el proyecto A tiene una vidade un año, mientras que el proyecto B tieneuna duración de cuatro años. Si el inversio-nista tiene una tasa de descuento del 15%anual, preferirá el proyecto B sobre el A,

Gráfico 4

Resultados obtenidos por el VPN y la TIR, cuando se evalúan proyectos con diferentesperíodos de duración

$10

$15 TIR=50%

Proyecto A:

$10

$5

TIR=50%

$5 $5 $15

Proyecto B:

$10

$15

$15

VF=15*(1+0.15) 3

$22.81

$10

$5 TIR = 50%

$5 $5 $15

VPN

15%

= $5,96

VPN

15%

= $9,99

Supuesto implícito del VPN Resultados originales

0 15 % 15 1 (

81 , 22 % 15 ? ?

? =VPN


9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.199



De los puntos presentados hasta el momen-to, se puede concluir que la TIR tiene pro-blemas para ser usada como criterio deordenación de proyectos y que el VPN tieneunos supuestos que se adecúan de mejorforma a la realidad económica; por eso, encaso de que exista contradicción en losordenamientos presentados por los dos cri-terios, el inversionista deberá hacer casoomiso en los resultados de la TIR. Existenmúltiples métodos para eliminar los proble-mas presentados por la TIR, y entre ellos esposible destacar tanto a los métodos incre-mentales como a los métodos de incorpora-ción explícita de los supuestos usados porel VPN.

En este trabajo se aborda únicamente el cál-culo de la TIR ponderada, que pertenece alsegundo de los métodos mencionados, yaque se considera que los métodos incremen-tales, aunque resultan igualmente efectivos,exigen un mayor trabajo operativo sobre todocuando se enfrenta al decisor a un númeromuy grande de alternativas, por la necesi-dad de comparación por parejas de proyec-tos, esto aun con la utilización de recursoscomputacionales.

2. El criterio de TIR ponderada

Vélez Pareja (2002, p. 172) propone el cál-culo de la tasa interna de rentabilidad pon-derada (TIRP0) para eliminar los problemasque presenta la TIR cuando se hace orde-nación de alternativas de inversión.

1

1

−

+= − nIkI

KVFVFTIRP (1)

Donde:VFI = valor futuro de los fondos libera-

dos por la inversión entre los pe-ríodos 1 y n-1, reinvertidos a latasa de descuento

VF (K-1) = valor futuro del excedente inver-tido a la tasa de descuento

I = inversión inicial en el proyecton = número de períodos de evaluaciónK = cantidad de dinero disponible

Al llevar a valor futuro los fondos liberadospor la inversión entre 1 y n-1 se elimina elsupuesto implícito en el cálculo de la TIR, lacual considera que los fondos liberados porel proyecto se reinvierten a la misma TIR; encambio de esto se está suponiendo que éstosse reinvierten a la tasa de descuento. Por otraparte, el cálculo de K (Shull, 1992, p. 9) per-mite que todas las inversiones en los proyec-tos sean iguales, de manera que se obvie elproblema que presenta la TIR al no tener encuenta los valores de las inversiones.

Este modelo tiene una aplicación sencillacuando se están evaluando alternativas conflujos convencionales y con un solo perío-do de inversión, incluso algunas hojas decálculo electrónicas, como Excel®, traenincorporadas funciones como MIRR, queincluyen este modelo; sin embargo, no estan evidente cuando las inversiones tienenflujos no convencionales y más de un pe-ríodo de inversión.

3. Metodologías de cálculode la TIR ponderada cuando existemás de un período de inversión

De los modelos usados por Beaves, Shull yVélez Pareja se pueden deducir cuatro for-

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.200



mas diferentes de cálculo para hallar una TIRque incorpore explícitamente los supuestosusados para el cálculo del VPN. En primerlugar, se presenta el modelo extractado deBeaves (1988, p. 282), que propone el cál-culo de TIR modificada (MIRR4 ) cuya fór-mula es:5

1

%)1(

%)1(*Pr

1

1

0

1 −

+

+

=

−

−

=

=

∑

∑njn

jj

n

j

n

jj

dIa

dS

MIRR(2)

Donde:d% = tasa de descuentoSPrj = saldos positivos arrojados por el pro-yecto en el período j, después de descontarlas reinversiones requeridas por el proyectoIaj = inversiones que requieren recursos ex-ternos al proyecto en el período j

En este modelo se supone que los recursosentregados por el proyecto en años anterio-res a una nueva inversión son usados paracubrirla. En (1) el componente SPr suponeque los ingresos obtenidos del proyecto de-ben ser reinvertidos a la tasa de descuentohasta el período en el que se requiere unanueva inversión; si ésta es menor que losfondos existentes, significa que hay unosexcedentes o saldos positivos que serán re-invertidos a la tasa de descuento hasta el

final del proyecto, y en el caso contrario, sila nueva inversión supera los ingresos obte-nidos hasta ese período, el inversionista debecolocar nuevos recursos, los cuales se des-contarán a la tasa de descuento.

En el Cuadro 1 se muestra el procedimientopara el cálculo de MIRR. Obsérvese que elflujo de caja positivo entregado por el pro-yecto en el período 1 es reinvertido a la tasade descuento hasta el período 2, el cual seusa para disminuir la inversión de 300, ypor lo tanto en este período se requieren 80de recursos externos al proyecto. Estos 80son descontados al 10% hasta el período 0.Por otra parte, los 400 entregados por lainversión en el período 3 son reinvertidos ala tasa de descuento hasta el período 4 conlo cual se obtiene un flujo positivo de 440en el cuarto año. Todo esto hace que el pro-yecto quede convertido en una inversióninicial de 1.066,12 y un flujo positivo de1.940 en el año 4, sin que existan valores enlos períodos intermedios.

4 Modified Internal Rate Return.

5 Elaboración propia basándose en Beaves (1988).

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:12 p.m.201



Ejemplo 1Cuadro 1

Cálculo de MIRR

Donde:SPj = saldos positivos arrojados por el pro-

yecto en el período jIj = inversiones en el período j

Nótese que a diferencia de MIRR, IRR* nosupone que los recursos adicionales se usanpara disminuir los requerimientos posterio-res de recursos del proyecto, esto se obser-

Tasa de Descuento (TD) 10%

Período 0 1 2 3 4Flujo de caja -1000 200 -300 400 1500

Reinversión del flujo del período 1 a TD 220

Inversión externa requerida -66.12 -80Reinversión de 3 a TD 440

Flujo Final -1066.12 0 0 0 1940MIRR = (1940/1066.12)1/4 -1 = 16.14%

>>>>>>

>>>>>><<<<<<<<<

Por su parte Shull (1992) propone un méto-do alternativo al cual llama IRR*, cuyo cál-culo se puede mostrar como:6

1

%)1(

%)1(*

*

1

1

0

1 −

+

+

=

−

−

=

=

∑

∑njn

jj

n

j

n

jj

dI

dSP

IRR(3)

Fuente: elaboración propia basándose en Beaves (1988)

6 Elaboración propia con base en Shull (1992).



Reinversión del flujo del período 1 a TD 266.20Inversión externa requerida -247.93Reinversión de 3 a TD 440

Flujo Final -1247.93 0 0 0 2206.20MIRR = (2206.20/1247.93)1/4 -1 = 15.31%

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

>>>>>><<<<<<<<<<<<

Cuadro 2

Cálculo de MIRR

Fuente: elaboración propia basándose en Shull (1992)

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.202



va en la diferencia entre SPrj (en 2) compa-rada con SPj (en 3). Mientras en el primerose supone que los recursos pueden ser usa-dos para cubrir nuevos requerimientos, en elsegundo llevan a valor futuro todos los in-gresos hasta el último período, independien-temente de si existen o no inversionesadicionales. En el Cuadro 2 se puede obser-var cómo todos los flujos positivos son lle-vados hasta el período 4 a la tasa dedescuento y las inversiones son descontadasa la misma tasa, de manera que el flujo resul-tante es de –1.247,93 en 0 y 2.206,20 en 4.

Los dos modelos mostrados hasta el mo-mento suponen que la tasa adecuada paracalcular el valor presente de las inversioneses la tasa de descuento, sin embargo, el pro-cedimiento mostrado por Vélez Pareja (2000,p. 11) supone que la tasa adecuada para des-contar estos flujos es la misma TIR. Estasuposición se puede aplicar tanto a MIRRcomo a IRR*, con lo cual surgen dos nue-vas metodologías: la primera, que suponeque los fondos liberados en períodos ante-riores sirven para financiar nuevas inversio-nes (TIRP) y, la segunda, donde se hace untratamiento separado de los ingresos yegresos (TIRP*).7

Con esta suposición, y siguiendo la meto-dología de Shull (1992), se tiene:8

0%)1(

%)1(

%)1(*Pr

TIRP

1

0

1

=+

−

+

+

=

∑

∑

−

=

−

=

jj

n

j

jn

n

n

jj

i

Iai

dS

(4)

Donde i% es la tasa TIR ponderada que seva a calcular. Nótese que la formulación de(4) supone que se usa la misma TIRP paradescontar los flujos negativos contrario a (2)y (3), donde la tasa usada para el cálculo delvalor presente de las inversiones es la tasa dedescuento. En el Cuadro 3 se muestra cómo—análogamente a lo sucedido con el cálculode MIRR— los 200 entregados por el pro-yecto en el período 2 son reinvertidos a latasa de descuento hasta el período 3, en elcual se usan para cubrir parte de la nuevainversión de 300, por lo tanto, queda un sal-do negativo de 80 el cual no es modificado—contrario al cálculo de MIRR—. Adicio-nalmente, el flujo positivo del período 3 esllevado hasta 4 a la tasa de descuento.

En conclusión el flujo propuesto por la me-todología denominada TIRP está compues-to por una inversión inicial de 1.000, seguidapor un nuevo flujo negativo de 80 en (2) yfinalmente un ingreso de 1.940 en (4). Enla fórmula mostrada en el Cuadro 3 se ob-serva cómo los 80 negativos del período 2son descontados a la tasa resultante de des-pejar la ecuación.

7 TIRP* es el método usado por Vélez Pareja yTIRP es un método que resulta de unir los plantea-mientos de Shull y Vélez Pareja.

8 Elaboración propia basándose en Shull (1992) yVélez Pareja.

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.203





Reinversión del flujo del período 1 a TD 220

Inversión externa requerida -80Reinversión de 3 a TD 440

Flujo Final -1000.00 0 -80 0 1940

TIRP = 16.34%

>>>>>>

>>>>>>

%34.161000)1(

80)1(

194024 ??

??

??

iiTIRP



Reinversión del flujo del período 1 a TD 266.2Inversión externa requeridaReinversión de 3 a TD 440

Flujo Final -1000.00 0 -300 0 2206.2

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

>>>>>>

%88.151000%)1(

300%)1(

2.226* 24 ??

??

??

iiTIRP

Cuadro 3

Cálculo de TIRR

Fuente: elaboración propia basándose en Shull (1992) y Vélez Pareja (2999).

Cuadro 4

Cálculo de TIRP

Fuente: elaboración propia basándose en Shull (1992) y Vélez Pareja (2999).

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.204



rente, de forma que se debe determinarcuál de ellas es la más adecuada para eva-luar la inversión.

El punto fundamental que se debe obser-var en cada una de las metodologías es sucoincidencia con el VPN, pues si algunano coincide con cierta tasa de descuento ycon los resultados obtenidos con el VPN,debe ser descartada. El Gráfico 1 muestrael comportamiento de los resultados decada metodología con una tasa de descuen-to de 1 a 100 por ciento. Si se observa elpunto T1, todas las metodologías arrojanun mismo valor cuando se usa la TIR comotasa de descuento, lo cual muestra que conun solo proyecto cualquier metodologíaarroja la misma información sobre la viabi-lidad financiera de la alternativa.10 Sin em-bargo, en el resto de puntos del gráfico losresultados no son iguales. De hecho, haydiferencias hasta de 14,07% y la divergen-cia promedio entre los resultados es de5,64%, lo cual indica que aun cuando setrata de evaluar un solo proyecto, los re-sultados de las metodologías son consis-tentes con el VPN y la TIR, y puede ocurrirque al evaluar múltiples alternativas los re-sultados difieran.

9 Elaboración propia basándose en Shull (1992) yVélez Pareja (2000).

Por último, se presenta el procedimientopropuesto por Vélez Pareja (2000) denomi-nado aquí como TIRP*:9

0%)1(

%)1(

%)1(*

TIRP*

1

0

1

=+

−

+

+

=

∑

∑

−

=

−

=

jj

n

j

jn

n

n

jj

i

Ii

dSP

(5)

En (5), el tratamiento de ingresos y egresosse hace de manera separada, y los ingresosse llevan a valor futuro en el período 4, mien-tras que los egresos no sufren modificación.En el Cuadro 4 se muestra cómo los flujosentregados por el proyecto en los períodos1 y 3 son llevados hasta el 4 y sumados conel flujo de este período, mientras las inver-siones realizadas en los períodos 0 y 2 noson manipuladas. Queda como resultado: unflujo en el cual se invierten 1.000; no haymovimiento de caja en 1; hay una nueva in-versión de 300 en el período 2 seguida porotro período nulo, y por último, un ingresode 2.206,2 en 4.

4. Resultados obtenidos con cadauna de las metodologías cuandose evalúa un solo proyecto

Los resultados encontrados en los cua-dros anteriores muestran cómo cada unade las metodologías arroja un valor dife-

10 Cabe anotar que esta prueba se hace con el propó-sito de observar si las metodologías son consisten-tes con la TIR y el VPN cuando se trata de decidirsi el proyecto se acepta o se rechaza, esto nosignifica que los resultados de las ordenacionescoincidan.

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.205



5. Resultados de las metodologíascuando se evalúa más de unproyecto

Se usaron las cuatro metodologías expues-tas mostradas a tres alternativas mutuamenteexcluyentes que cumplen dos condiciones:todos se comportan como inversiones11 ytodos tienen más de un período de inver-sión. En el Cuadro 5 se muestran sus flujosde caja:

Ejemplo 2

Cuadro 5

Flujos de caja de los tres proyectosevaluados

Gráfico 1

Comportamiento de cada una de las metodologías a diferentes tasas de descuento

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

1% 6% 11%

16%

21%

26%

31%

36%

41%

46%

51%

56%

61%

66%

71%

76%

81%

86%

91%

96%

Tasa de descuento

Res

ulta

do d

e la

met

odol

og

MIRR IRR* TIRP TIRP*

T1


11 Este comportamiento se refiere a que el VPN deuna inversión debe disminuir a medida que la tasade descuento aumenta. Este comportamiento seconstató para tasas del 0% al 100%.


La forma de cálculo de cada una de las me-todologías se muestra a continuación:

Período Proyecto Proyecto B

Proyecto C

0 (1.000) 250 (800) 1 400 (500) 450 2 (300) (800) 350 3 700 1.200 (400) 4 1.100 100 1.000

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.206



5.1 Cálculo de MIRR

MIRR supone que los fondos liberados sonreinvertidos hasta un período donde se re-quiera una nueva inversión o, de lo contra-rio, son reinvertidos hasta el período n.12

En el Ejemplo 2, los tres proyectos tienenmás de un período de inversión antecedidopor flujos de caja positivos. En el Cuadro 6se muestra cómo en el proyecto A los 400

que se entregan en el período 1 se reinvier-ten a la tasa de descuento del 15% hasta elperíodo 2; luego, a este resultado se le restala inversión de 300 y queda un remanentede 160. En el proyecto B los 250 liberadosen el período 1 no alcanzan a cubrir la in-versión de 500 y, por lo tanto, se requierenfondos adicionales por valor de 212,5. Fi-nalmente, en el proyecto C se llevan los fon-dos liberados en los períodos 1 y 2 hasta elperíodo 3 y queda un superávit de 597,63.

12 Estrictamente el período n debe ser el último pe-ríodo de vida del proyecto con mayor duración.

Cuadro 6

Cálculo de MIRR-VF de los fondos liberados hasta los períodos que requieren nuevas

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 0 -800

1 0 -500+250(1+15%)= -212.5

0

2 -300+400(1+15%) = 160

-800 0

3 700 1200 -400+450(1+15%)2+350(1+15%)= 597.63

4 1100 100 1000

Los períodos resaltados con color gris sufrieron modificaciones.Fuente: elaboración propia.

Paso seguido se llevan a valor futuro los in-gresos y se calcula el valor actual de las in-versiones, todo a la tasa de descuento, y secalcula MIRR. En el Cuadro 7 se muestracómo los 160 sobrantes en 2 (Proyecto A)se han reinvertido hasta 4 y a éstos se hansumado el valor futuro de los 700 de 3 y los1.100 que entrega el proyecto en 4, lo que

da como resultado final un flujo para estaalternativa de (-1.000) en 0 y un ingreso de2.116,60 en 4.

En el Proyecto B los egresos de los períodos 1y 2 se descuentan a la tasa de descuento y los1.200 son llevados hasta 4 con la misma tasay sumados a los 100 que entrega el proyectoen este período. En la alternativa C, los exce-dentes de 597,63 son reinvertidos hasta 4 ysumados a los 1.000. Nótese que en todos loscasos los flujos han quedado compuestos por

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.207



una inversión inicial, tres períodos sin flujoalguno y un cuarto período donde se recibentodos los beneficios; de esta manera se ha in-cluido explícitamente el supuesto de reinversiónde los fondos a la tasa de descuento, teniendo

en cuenta que éstos se reinvierten hasta losperíodos que exigen nuevas inversiones. Adi-cionalmente, las inversiones adicionales reque-ridas por cada una de las alternativas se handescontado a la misma tasa de descuento.

Cuadro 7

Cálculo de MIRR-VA de los egresos y VF de los egresos

Los períodos resatlados con color gris sufrieron modificaciones.Fuente: elaboración propia.

Cuadro 8

Cálculo de MIRR-cálculo de inversión máxima en 1 y VF de los excedentes


Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C

0 -1000-800/(1+15%)2-212.5/(1+15%)

= -789.70-800

1 0 0 02 0 0 03 0 0 0

41100+160(1+15%)2+700

(1+15%)= 2116.60

100+1200(1+15%)= 1480

1000+597.63(1+15%)= 1687.27

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 0 0 02 0 0 03 0 0 0

4 2116.601480+[(1000-

789.70)*(1+15%)4]= 1847.82

1687.27+[(1000-800)*(1+15%)4]= 2037.07

MIRR 20.62% 16.59% 19.47%

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.208



Por último (Cuadro 8), es necesario igualarlas inversiones de los proyectos y reinvertirlos excedentes generados por este ajuste a latasa de descuento, de manera que se elimineel problema de las diferencias en los valoresde las inversiones. Después se calcula la ren-tabilidad del nuevo flujo que es MIRR.

En resumen, para calcular MIRR se siguie-ron los siguientes pasos:• Se calcularon los valores futuros de los

ingresos que eran previos a nuevas in-versiones que requería el proyecto y seobservó si éstos alcanzaban a cubrir ono los requerimientos, por lo tanto, que-dó como resultado un flujo positivo onegativo en períodos intermedios (véaseCuadro 6).

• Se eliminaron los flujos intermedios y sellevaron a valor futuro los flujos de caja

positivos y se calculó el valor actual delos negativos.

• Se igualaron los valores de las inversio-nes, al tomar como referencia el valormás alto, y se llevaron hasta el períodon las diferencias con las inversiones decada uno de los tros proyectos (véaseCuadro 8).

5.2 Cálculo de IRR*

La metodología propuesta en IRR* suponeque se calcula el valor actual de los egresosy el valor futuro de los ingresos sin tener encuenta si existen o no inversiones futuras.En el Cuadro 9 se muestra, por ejemplo,cómo para el proyecto A se llevan al perío-do 4 los flujos de 400 del período 1 y 700del período 3, mientras que el flujo negativode 300 del período 2 es llevado a 0.

Cuadro 9

Cálculos de IRR*-VA de los egresos y VF de los ingresos



0 -1000 -300/(1+15%)2

= -1226.84

-500/(1+15%) -800/(1+15%)2

= -1039.70

-800 -400/(1+15%)3

= -1147.83

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

41100+400(1+15%)3+70

0(1+15%)= 2513.35

100+250(1+15%)4+1200(1+15%)

= 1917.25

1000+450(1+15%)3+350(1+15%)2

= 2147.27

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.209



Es necesario, además, igualar las inversio-nes y reinvertir los excedentes a la tasa dedescuento, tal como lo muestra el Cuadro

10, al calcular la TIR del nuevo flujo, estoes, IRR*.

Cuadro 10

Cálculo de IRR* - cálculo de la inversión máxima y VF de los egresos

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1226.84 -1226.84 -1226.84

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 2513.351917.25+[(1226.84-1039.70)*(1+15%)]4

= 2244.57

2147.27+[(1226.84-1147.83)*(1+15%)]4

= 2285.47

IRR* 19.64% 16.30% 18.68%


En resumen, para calcular IRR* se siguie-ron los siguientes pasos:• Se eliminaron los flujos intermedios, se

llevaron a valor futuro los flujos de cajapositivos y se calculó el valor actual delos negativos.

• Se igualaron los valores de las inversio-nes, al tomar como referencia el valormás alto, y se llevaron hasta el período nlas diferencias con las inversiones de cadaproyecto.

5.3 Cálculo de TIRP

En TIRP, al igual que en MIRR, se suponeque los fondos liberados por el proyecto sedeben usar cuando se requieren nuevas in-versiones, de manera que se reinviertan a latasa de descuento hasta los períodos que

suponen inversiones adicionales (véase Cua-dro 11).

Según Vélez Pareja, las inversiones no sedeben llevar al período 0, con lo cual elflujo final tendrá varios períodos de inver-sión y se requiere tener como referente elvalor del máximo invertido en cada uno deellos e igualar las de proyectos de menoresrequerimientos de capital. De esta manerase busca la mayor inversión en 0 (-1.000)y se igualan las de los demás, con lo cualse debe suponer que hay una inversión de1.000 en el proyecto B y una de 2.000 enel C y se llevan al período 4 estos exceden-tes (Cuadro 12).

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.210



Cuadro 11

Cálculo de TIRP-VF de los fondos liberados hasta los períodos que requieren nuevas

sión por valor de 960, puesto que B requie-re de 800 adicionales, éstos son llevados alperíodo 4 a la tasa de descuento.

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 0 -800

1 0 -500+250(1+15%)= -212.5

0

2 -300+400(1+15%) = 160

-800 0

3 700 1200

-400+450(1+15%)2+350(1+15%

)= 597.63

4 1100 100 1000


Cuadro 12

Cálculo de TIRP-VF - cálculo de inversión máxima en 0 y VF de los excedentes

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 0 -212.5 02 160 -800 03 700 1200 597.63

4 1100 100+1000(1+15%)4

= 1849.011000+200(1+15%)4

= 1349.80


En el período 1 (Cuadro 13) la inversión másalta corresponde al Proyecto B, por lo quese asume una inversión por esta misma can-tidad para los proyectos A y C (obsérveseque anteriormente éstos no tenían flujos decaja asociado). En 2 (Cuadro 14) la alterna-tiva A tiene un flujo de caja positivo de 160,que se debe convertir en una nueva inver-

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.211



Cuadro 13

Cálculo de TIRP - cálculo de inversión máxima en 1 y VF de los excedentes

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 -212.5 -212.5 -212.52 160 -800 03 700 1200 597.63

4 1100+212.5(1+15%)3

= 1423.191849.01 1349.80+212.5(1+15%)3

= 1672.99


Cuadro 14

Cálculo de TIRP - cálculo de inversión máxima en 2 y VF de los excedentes

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 -212.5 -212.5 -212.52 -800 -800 -8003 700 1200 597.63

41423.19+[(160+800)*

(1+15%)2]= 2692.79

1849.01 1672.99+800(1+15%)2

= 2730.99


Por último, es necesario llevar los fondosliberados por los proyectos en el período 3(observe que en éste no hay inversiones enninguno de los proyectos) hasta 4, a la tasade descuento, y calcular la TIR del flujo re-sultante, la cual es TIRP (Cuadro 15).

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.212



En resumen, para calcular TIRP se siguie-ron los siguientes pasos:• Se calcularon los valores futuros de los

ingresos que eran previos a nuevas inver-siones que requiere cada uno de los pro-yectos y se observó si éstos alcanzaban acubrir o no estos requerimientos, por esoquedaron como resultado un flujo positi-vo o negativo en períodos intermedios.

• En cada uno de los períodos donde cual-quiera de los proyectos tenía un flujo decaja negativo, se igualaron las inversio-nes, al tomar como referencia el valormás alto, y se llevaron hasta el período nlas diferencias.

• En los períodos donde todas las alterna-tivas tenían flujos iguales o mayores a 0,se eliminaron los valores y se llevaron alperíodo n.

• Se calculó la TIR de los flujos cuya ca-racterística era que tenían el mismo nú-mero de períodos con inversiones, todasellas del mismo valor y su única diferen-cia estaba en el valor del período n.

5.4 Cálculo de TIRP*

Para el cálculo de TIRP* se supone que lasinversiones deben quedarse en sus respec-tivos períodos, lo cual implica que el pasoque se debe seguir es calcular la inversiónmáxima en cada uno de los momentos, don-de cualquiera de los proyectos la requiera.En el ejemplo hay inversiones desde 0 hasta3, con lo cual el flujo resultante para todoslos proyectos tendrá inversiones en estosperíodos y sólo se tendrá un flujo positivoen el período 4, la TIR de estos flujos esentonces TIRP*. Los cuadros 16 a 19 ilus-tran esta situación.

Cuadro 15

Cálculo de TIRP-VF de los fondos liberados en 3

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 -212.5 -212.5 -212.52 -800 -800 -8003 0 0 0

42692.79+700(1+15%

)= 3497.79

1849.01+1200(1+15%)= 3229.01

2730.99+597.63(1+15%)= 3418.26

TIRP 19.02% 16.11% 18.18%


9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.213



Cuadro 16

Cálculo de TIRP* - cálculo de inversión máxima en 0 y VF de los excedentes

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 400 -500 4502 -300 -800 3503 700 1200 -400

4 1100 100+[(1000+250)*(1+15%)4]= 2268.26

1000+[(1000-800)*(1+15%)4]= 1349.80


Cuadro 17

Cálculo de TIRP* - cálculo de inversión máxima de 1 y VF de los excedentes

Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -10001 -500 -500 -500

2 -300 -800 350

3 700 1200 -400

41100+[(500+400)*

(1+15%)3]= 2468.79

2286.26 1349.80+[(500+450)*(1+15%)3]= 2794.63


9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.214




Cuadro 18


Período Proyecto A Proyecto B Proyecto C0 -1000 -1000 -1000

1 -500 -500 -500

2 -800 -800 -8003 700 1200 -400

42468.79+500*(1+

15%)3

= 3130.04-1000.00 2794.63+[(800+350)*(1+15%)]2

= 4315.51


Cuadro 19



0 -1000 -1000 -1000

1 -500 -500 -500

2 -800 -800 -8003 -400 -400 -400

4 3130.04+[(700+400)*(1+15%)]= 4395.04

2286.26+[(1200+400)*(1+15%)]= 4126.26

4315,51

TIRP 18,44% 15,95% 17,72%

En resumen, para calcular TIRP se siguie-ron los siguientes pasos:• En cada uno de los períodos donde cual-

quiera de los proyectos tenía un flujo decaja negativo, se igualaron las inversio-nes, al tomar como referencia el valor

más alto, y se llevaron hasta el período nlas diferencias.

• En los períodos donde todas las alterna-tivas tenían flujos iguales o mayores a 0,se eliminaron los valores y se llevaron alperíodo n.

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.215



• Se calculó la TIR de los flujos cuya ca-racterística era que tenían el mismo nú-mero de períodos con inversiones, todasellas del mismo valor y su única dife-rencia estaba en el valor del período n.

6. Resultados de las metodologíascon diferentes tasas de descuento

En los numerales anteriores se mostró cómocada una de las metodologías evaluadas arro-

jó resultados diferentes; la pregunta enton-ces es si estos resultados son coincidenteso no con los datos que muestra el VPN. Pararesponderla se construyeron los resultadosde cada una de las metodologías y el VPNde los tres proyectos con tasas de descuen-tos desde el 5% hasta el 30% con variacio-nes del 0,001% y los resultados fueron lossiguientes:13

Cuadro 20

Resultados arrojados por cada una de las metodologías con diferentes tasas de descuento

13 Este número de simulaciones es necesario para eva-luar el comportamiento de los tres proyectos contasas de descuento desde 5% hasta el 30%, conaumentos del 0,001%. Para la determinación de lastasas piso y techo de la simulación se tomaroncomo base los puntos de corte de los proyectos. Elcambio del 0,001% es necesario para descartar quecon rangos de variación relativamente ‘grandes’ sepuedan esconder sectores pequeños donde las me-todologías no sean consistentes.

Metodología MIRR IRR* TIRP TIRP* Número de comprobaciones realizadas 2.500 2.500 2.500 2.500 Intervalo de tasas de descuento evaluadas 5%-30% 5%-30% 5%-30% 5%-30% Número de resultados coincidentes con el ordenamiento por medio de VPN

2.500 2.500 2.500 2.500


Con estos resultados se puede pensar que,al menos para estas alternativas, todas lasmetodologías son válidas para hacer el or-denamiento de proyectos.

Conclusiones

Si bien es cierto que los resultados arroja-dos son los mismos para las cuatro meto-

dologías evaluadas, se puede analizar la va-lidez conceptual de cada una, en términosde los dos supuestos que manejan. Éstosson, en primer lugar, la tasa usada para cal-cular el valor presente de las inversiones queestán en los períodos 1 hasta n y, dos, siéstas se pagan o no con los fondos libera-dos por el proyecto en períodos anteriores(véase Cuadro 21).

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.216



La tasa de descuento adecuada para des-contar los flujos de caja negativos deberíaser la misma rentabilidad del proyecto, dadoque estos fondos no los tiene el inversionis-ta; por el contrario, los fondos son entrega-dos por el inversionista al proyecto. Enconsecuencia, y dado que son los flujos decaja del proyecto los que determinarán lacapacidad de generación de valor, se pro-pone aquí que las metodologías con unamayor consistencia con respecto a este pri-mer supuesto es TIRP y TIRP*.

Shull (1992) usa un sencillo ejemplo paramostrar qué sucede con los fondos libera-dos por el proyecto con respecto a nuevasinversiones. El autor dice que si existe unafirma cuya capacidad de inversión es de $1,con una tasa de descuento del 10% y se leofrece una alternativa cuyos flujos de cajason (-1), 1.100, (1.210), 8, la empresa —sino supone que puede reinvertir los 1.100hasta el período 2, con lo cual cubriría latotalidad de la inversión requerida— tendríaque rechazar la alternativa, con lo cual esta-ría desechando a una con su tasa de renta-bilidad superior a la de descuento.

Cuadro 21

Resumen de los supuestos usados por cada una de las metodologías

Metodología Tasa usada para el cálculo del valor presente de las inversiones

Los fondos liberados en períodos anteriores sirven para financiar

nuevas inversiones MIRR Tasa de descuento Sí IRR* Tasa de descuento No TIRP TIRP Sí

TIRP* TIRP* No Fuente: elaboración propia.

Esto demuestra entonces que los métodosque no suponen que los fondos liberados enperíodos anteriores sirven para financiarnuevas inversiones no tendrían en principiouna argumentación sólida, por lo tanto, sepropone el uso de TIRP para solucionar losproblemas de inconsistencia de la TIR.

Referencias Bibliográficas

Beaves, R. G., 1988. “Net Present Value and Rateof Return: Implicit and Explicit Reinvestmentassumptions”, en: The Engineering Economist,summer, v. 33, p. 275-302.

Shull, D. M., 1992. “Efficient Capital ProjectSelection Through a Yield-Based CapitalBudgeting Technique”, en: The EngineeringEconomist, fall, v. 38, n. 1, p. 275-302.

Vélez-Pareja, Ignacio, 2000. “The WeightedInternal Rate of Return and ExpandedBenefit-Cost Benefit”, en: Social ScienceResearch Network, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=242867

________, 2002. Decisiones de inversión: enfocadoa la valoración de empresas, Bogotá, CEJA.

9. Sarmiento.p65 30/06/03, 01:13 p.m.217

Cuadernos de Administración

Documents

Transcript of Cuadernos de Administración