Curso de An´alisis Funcional - unizar.es · Este libro est´a pensado para una asignatura cua- ......

Pedro J. Miana

Curso de

Analisis Funcional

–Departamento de Matematicas

Universidad de Zaragoza–

Presentacion

Escribir un libro de texto de Analisis Funcional en el Departamento deMatematicas de la Universidad de Zaragoza es un gran reto. La fama deeste departamento tanto a nivel nacional como a nivel internacional nos haceser exigentes con nosotros mismos. Presentamos este texto con humildad eilusion.

El Analisis Funcional es una asignatura de sıntesis y de abstraccion, congran cantidad de aplicaciones dentro del Analisis Matematico, en otras ra-mas de las Matematicas e incluso en otras ciencias. Tiene una gran bellezaintrınseca, aplicaciones variadas, y es el origen de importantes teorıas matema-ticas.

Existen buenos libros, algunos verdaderas obras de arte y otros casi enci-clopedias, del Analisis Funcional. A menudo estan escritos para el profesor opara un alumno avanzado, tal vez estudiante de tercer ciclo. Nos proponemospresentar un texto base adecuado para el alumnado de segundo ciclo de losactuales planes de estudio. Este libro esta pensado para una asignatura cua-trimestral de 7’5 creditos. El ultimo capıtulo sobre teorıa espectral puedeser suprimido en asignaturas de menor duracion. Cada capıtulo incluye unaseccion de ejercicios y otra de notas historicas que permiten al lector com-prender los resultados del Analisis Funcional de una forma mas coherente.

Quiero terminar esta presentacion mostrando mi agradecimiento a todaslas personas que me han ayudado a elaborar y mejorar este texto. Graciasa Raquel, Jose Luis, Bienve y a todos mis companeros del area de AnalisisMatematico de la Universidad de Zaragoza por su ayuda y apoyo.

Deseo que la lectura de este libro sea interesante y satisfactoria.

Zaragoza, 13 de enero de 2006 P.J.M.

A Natalia

Breves apuntes historicos

El origen del Analisis Funcional es multiple. Hay quien lo situa en el pro-blema de la cuerda y membrana vibrantes y los problemas de contorno de lasecuaciones diferenciales. Cercana se encuentra la Fısica newtoniana con susnumerosos problemas, a menudo inconexos en su formulacion y que dieronorigen, entre otras, a las teorıas del calculo de variaciones y de las ecuacionesintegrales. Volterra al estudiar la variacion del area encerrada por una curvacuando la curva varıa, trabaja con aplicaciones que tienen por dominio dedefinicion un conjunto de funciones. Hadamard les da el nombre de “fun-cionales” por lo que Levy propone el nombre de la teorıa que la estudia como“Analisis Funcional”.

Literalmente el termino “Analisis Funcional” hace referencia a la idea deanalizar espacios de funciones a traves de funcionales actuando en estos es-pacios. Eligiendo habilmente el espacio de funciones y los funcionales sobreel, se podrıan resolver ecuaciones funcionales. En las primeras decadas delsiglo XX, esta tecnica fue empleada satisfactoriamente en diversas areas comoecuaciones integrales, superficies minimales, ecuaciones en derivadas parciales,analisis armonico y problema de los momentos.

Durante los anos veinte la teorıa espectral de operadores tuvo sorpren-dentes aplicaciones a problemas unicamente planteados en espacios de Hilbert.La aparicion en 1932 del libro de John von Neumann “ Mathematische Grund-lagen der Quantenmechanik ” y de “ Linear Transformations in Hilbert Spacesand Applications in Analysis ” de Marshall Stone mostraron la aparicion dela teorıa de operadores (en espacios de Hilbert) como una parte propia peroıntimamente relacionado con lo que se conoce ahora por Analisis FuncionalLineal.

Por aquellos anos el Analisis Funcional Lineal experimento su primer grandesarrollo. Muchas de las ideas empleadas cristalizaron en principios gene-rales que se formularon y demostraron. Varias tecnicas evolucionaron paraaplicarlas a problemas lineales mas generales que los planteados en espaciosde Hilbert. Tres principios basicos fueron pronto reconocidos.

12 Breves apuntes historicos

El teorema de extension de Hahn-Banach. Un funcional lineal y continuo enun subespacio vectorial de un espacio normado admite una extension continuay lineal a todo espacio.

El teorema de Banach-Steinhaus. Toda familia de operadores lineales y con-tinuos entre espacios de Banach que este puntualmente acotada en la bolaunidad esta uniformemente acotada.

El teorema de la aplicacion abierta. Un operador lineal, continuo y sobreyec-tivo entre dos espacios de Banach es abierto.

En 1932 la traduccion francesa “Operations Lineaires” del libro de Ste-fan Banach aparecio. En el, estos tres teoremas fueron presentados como lospilares fundamentales del Analisis Funcional. Despues de formular cada prin-cipio en su forma mas general, Banach proporcionaba una gran variedad deaplicaciones de cada principio. Habıa asegurado el papel central de estos re-sultados en el estudio de problemas lineales.

En los anos treinta y principios de los cuarenta las fronteras del AnalisisFuncional fueron continuamente extendidas (con el resultado logico de ciertaperdida en la definicion del Analisis Funcional). Cada resultado probado eraobtenido mediante una rapida incursion en un territorio inexplorado. Las in-vestigaciones de Gelfand en la estructura de algebras de Banach conmutativasreunificaron la teorıa general del Analisis Funcional Lineal con la teorıa de ope-radores para dar lugar, entre otras cosas, a una demostracion sorprendente delteorema espectral para operadores acotados normales. La teorıa de Gelfandtambien fue usada para estudiar los grupos abelianos localmente compactos,una nueva prueba del resultado de dualidad de Pontryagin fue obtenida. Elanalisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos llegaba a ser unrealidad factible y el Analisis Armonico habıa nacido.

Despues de la Segunda Guerra Mundial la escuela francesa de Analisis Fun-cional continuo la labor que la escuela polaca habıa iniciado y desarrollo unaserie de investigaciones intensivas sobre la estructuras de los espacios vecto-riales topologicos, especialmente sobre los espacios de funciones differenciablesy sus duales. Laurent Schwartz fijo la teorıa de distribuciones (una teorıa an-ticipada por otros pero incuestionable a partir de la labor fructıfera realizadapor Schwartz). El escenario estaba montado para uno de los hitos alcanzadospor el Analisis Funcional: el descubrimiento de Bernard Malgrange y LeonEhrenpreis que toda ecuacion en derivadas parciales homogenea con coefi-cientes constantes tiene solucion distribucional fundamental. Su demostraciones una vuelta de tuerca del teorema de Hahn-Banach.

A principios de los sesenta las herramientas que un joven analista fun-cional necesitaba eran diversas como eran sus posibles aplicaciones. La teorıade Choquet unio el Analisis Funcional Lineal con la teorıa de operadores; estohizo que la teorıa de la medida fue una valiosa aliada del Analisis Funcional.Tecnicas y motivaciones probabilısticas invadieron el Analisis Funcional y la

Breves apuntes historicos 13

teorıa de operadores; el analisis complejo proporciono interesantes proble-mas que podıan ser reformulados y solucionados en el contexto del AnalisisFuncional. Practicamente todas las areas del Analisis trasladaron sus propiosproblemas, tecnicas e intuiciones al Analisis Funcional para obtener nuevosresultados.

Estos desarrollos dieron sus frutos. Largamente pero inapropiadamenteconsiderados, problemas clasicos en espacios de Banach fueron atacados conespıritu renovado. Solo unos pocos de los problemas planteados por Banachen su monografıa permanecen sin resolver. Es mas, aplicaciones de la teorıade estructura de espacios de Banach se han encontrado en Analisis Armonico,teorıa de la probabilidad, teorıa de interpolacion, teorıa de la aproximacion yen la distribucion de los valores propios de operadores en espacios de Hilbert.

El estudio de operadores en un espacio de Hilbert ha experimentadotambien profundos desarrollos. El ultimo de ellos ha unido la teorıa de ope-radores con la K-teorıa y ha resuelto diversas asuntos entre la geometrıadiferencial y la topologıa algebraica.

Actualmente el termino “Analisis Funcional” incluye una gran variedad decampos matematicos. Como descripcion general, suele decirse que el AnalisisFuncional es el estudio de ciertas estructuras algebraico-topologicas y de losmetodos por los que el conocimiento de estas estructuras puede ser aplicadoa problemas de Analisis (Epstein).

Parte I

Espacios de Banach

En esta primera parte del curso nos centramos en el estudio de los es-pacios normados, que en el caso de ser completos se denominan espacios deBanach. Aunque dentro del Analisis Funcional existen ejemplos importantesde espacios vectorial topologicos que no son normados, el espacio normado esla estructura principal sobre la que se asienta esta memoria. Pretendemos daruna vision rica en ejemplos, resultados y aplicaciones de la teorıa de AnalisisFuncional en estos espacios.

En el primer capıtulo repasaremos algunos conocimientos que el alumno yadebe poseer, recordandole especialmente algebra lineal y topologıa elemental.Tambien probaremos resultados nuevos para ellos que sirven para centrar ideassobre los objetos a los que vamos a dedicar nuestro estudio, hablamos de losespacios vectoriales finito-dimensionales o del algebra C([a, b]).

En el segundo capıtulo trabajaremos en los espacios Lp. Estos espacios sonimportantes tanto en el Analisis Matematico como en la Matematica Aplicada.Damos una presentacion detallada que ayudara al estudiante a entenderlos yaplicar estos conocimientos en otras materias como por ejemplo, Analisis deFourier, Ecuaciones en Derivadas Parciales, o Analisis Espectral. Senalamosademas que es necesario poseer conocimientos previos de la asignatura de laTeorıa de la Medida. Si este no es el caso, es posible desarrollar esta capıtuloen el contexto de la medida de Lebesgue y de los espacios de Lebesgue Lp(Ω)con Ω ⊂ Rn.

En el tercer y ultimo capıtulo nos centraremos en tres teoremas fundamen-tales sobre aplicaciones lineales y acotadas entre espacios normados. La impor-

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tancia de estos resultados en el Analisis Funcional es sobradamente conociday es ilustrada con varias aplicaciones.

1

Introduccion a los espacios normados

En este capıtulo recordamos conceptos ya conocidos por el estudiante en cursosanteriores y fijamos la notacion que usaremos a lo largo del curso. Partiendode un contenido mınimo, es un capıtulo que permite variar sus contenidosy el tiempo de dedicacion a el dependiendo del nivel de los estudiantes, lasperspectivas del curso y su orientacion definitiva.

Los espacios vectoriales normados son espacios intermedios entre los es-pacios vectoriales topologicos y los espacios pre-Hilbert y un contexto ade-cuado para el Analisis Funcional. La union coherente del espacio vectorialy la topologıa (proveniente de una norma) dota al espacio de un estructurarica y que permite un estudio en detalle. La dimension del espacio vectoriales crucial en diversos resultados, por ejemplo, la estructura de los espaciosvectoriales de dimension finita esta perfectamente determinada, vease seccion1.3. Las aplicaciones lineales y continuas pueden ser usadas para comparar unespacio normado con otro e identificarlos (seccion 1.2). Si anadimos una se-gunda operacion al espacio vectorial de forma adecuada se obtiene un algebranormada. El teorema de Weierstrass es un resultado notable en el algebraC([a, b]). Tanto ejemplos de espacios normados como de algebras normadasson comentados en detalle en este capıtulo, algunos conocidos para el estu-diante y otros nuevos.

Daremos como referencias basicas los libros [Co] y [MV] y con un nivelsuperior [BN], [R] y [RN].

1.1 Espacios normados

Comenzamos recuperando el concepto de espacio vectorial, estudiado en laasignatura de Algebra Lineal.

Sea K el cuerpo de los numeros reales R o complejos C y cuyos elementosllamamos escalares. Sobre un conjunto de elementos X (que denominaremosvectores) se definen dos operaciones: la suma de vectores , +, operacion in-terna en X y el producto de un vector por un escalar ·K, λ · x , λ ∈ K,

18 Introduccion a los espacios normados

x ∈ X. Un espacio vectorial (X, +, ·,K) esta formado por el conjunto X, lasdos operaciones anteriores, + , · y el cuerpo de escalares K cumpliendo unaserie de propiedades conocidas. Por ejemplo, la buena coexistencia de las dosoperaciones se expresa a traves de las propiedades distributivas.

Definicion 1.1 Sea (X, +, ·K) un espacio vectorial. Se llama norma a unaplicacion ‖ · ‖ : X → R tal que

(i) ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0 si y solamente si x = 0 con x ∈ X.(ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para λ ∈ K y x ∈ X.(iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para x, y ∈ X.

Al par (X, ‖ · ‖) se le llama espacio normado. Una aplicacion p : X → [0,∞)que cumpla solo las condiciones (ii) y (iii) se llama seminorma.

Nota. Es posible definir normas distintas sobre el mismo espacio vectorial X,como el alumno puede conocer en Rn y que recordaremos mas adelante en elEjemplo 1.

Una norma en un espacio vectorial induce una metrica d : X × X → R,(invariante por traslaciones) definida mediante,

d(x, y) := ‖x− y‖, x, y ∈ X.

El espacio (X, d) es un espacio metrico. La metrica d induce una topologıa τd

en X siendo una base local (B(x, ε))ε>0 el conjunto de las bolas centradas enel vector x ∈ X:

B(x, ε) := y ∈ X | ‖x− y‖ < ε = x + B(0, ε), ε > 0.

Escribiremos BX(x, ε) si queremos hacer explıcito el espacio de Banach X. Labola unidad cerrada se denota por D(0, 1),

DX = D(0, 1) = B(0, 1) = x ∈ X ; ‖x‖ ≤ 1.

Analogamente se utilizan las bolas cerradas D(x, ε) con x ∈ X y ε > 0.Aunque esta no es la notacion estandar en el Analisis Funcional, preferimos

seguirla para beneficio del alumnado. En asignaturas anteriores, en especialen Topologıa y Geometrıa Elemental, la bola unidad abierta centrada en elorigen se denota por B(0, 1). Mantendremos esta notacion y escribiremos parala bola unidad cerrada D(0, 1), senalando a nuestro alumnado que en textosde Analisis Funcional el concepto importante son las bolas cerradas y que sepueden encontrar la escritura BX para denotar la bola unidad cerrada delespacio X.

El espacio (X, τd) es un espacio topologico y permite hablar de clausura deun conjunto, A, o del interior, Int(A), con A ⊂ X; de propiedades topologicascomo densidad, separabilidad, compacidad; al ser espacio metricos, son espa-cios T2 o de Hausdorff, es decir, para todo x 6= y ∈ X, existen un entorno de

Espacios normados 19

x y un entorno de y disjuntos entre sı. Tambien recordaremos las definicionesde funciones continuas y de funciones abiertas. Un espacio topologico se dicelocalmente compacto si cada punto admite una base de entornos compactos.Todos estos conceptos se suponen conocidos por el estudiante y se comentaranbrevemente cuando vayan a ser utilizados.

Volviendo a espacios normados, las operaciones algebraicas y la norma deun espacio normado

(x, y) 7→ x + y, (λ, x) 7→ λx, x 7→ ‖x‖,

son aplicaciones continuas. En espacios normados (como en cualquier espaciometrico) la continuidad de aplicaciones se puede probar a traves de sucesiones.

Definicion 1.2 Sean (X, ‖ · ‖) un espacio normado y (xn)n∈N ⊂ X.

(i) La sucesion (xn)n∈N se dice convergente a x ∈ X si para todo ε > 0 existen0 ∈ N tal que ‖xn − x‖ < ε para todo n > n0.

(ii) La sucesion (xn)n∈N se dice de Cauchy si para todo ε > 0 existe n0 ∈ Ntal que ‖xm − xn‖ < ε para todo m,n > n0.

Si (xn)n∈N converge a x se escribe limn xn = x, xn → x o limn ‖xn − x‖ = 0.Toda sucesion convergente es de Cauchy, pero en algunos espacios no toda

sucesion de Cauchy es convergente.

Definicion 1.3 Un espacio de Banach X es un espacio normado tal que todasucesion de Cauchy es convergente (es decir, X es un espacio completo).

En espacios normados es posible definir series de vectores. Sean X unespacio normado y (xn)n∈N ⊂ X. La serie

∑∞n=1 xn se dice convergente a

x ∈ X si

limN

N∑n=1

xn = x,

y se escribe x =∑∞

n=1 xn. La serie∑∞

n=1 xn es de Cauchy si la sucesion(∑N

n=1 xn)N∈N es de Cauchy. La serie∑∞

n=1 xn se dice que converge absolu-tamente si la serie

∑∞n=1 ‖xn‖ converge.

La convergencia de las series absolutamente convergentes caracterizan alos espacios de Banach como probamos en la siguiente proposicion y usaremosen varios resultados de este texto.

Proposicion 1.4 Sea X un espacio normado. Entonces X es un espacio deBanach si y solamente si toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostracion. Sea X un espacio de Banach y∑∞

n=1 xn una serie absoluta-mente convergente. Notemos que toda serie absolutamente convergente es unaserie de Cauchy, y como X es un espacio de Banach, la serie es convergente.

Recıprocamente, sea ahora una sucesion de Cauchy (xn)n∈N ⊂ X. Noteseque la sucesion (xn)n∈N ⊂ X es convergente si y solo si la serie


∞∑n=0

(xn+1 − xn)

es convergente, y ambos lımites coinciden si x0 = 0. Por ser la sucesion(xn)n∈N ⊂ X de Cauchy, existen n1 < n2 < n3.... < nk... de modo que

‖xm − xn‖ <12k

, m, n ≥ nk.

Se definen yk = xnk+1 − xnky la serie

∑∞k=1 yk es absolutamente convergente

y por hipotesis convergente a x ∈ X. Por tanto la sucesion (xnk)k converge a

x+xn1 . Al ser (xn) una sucesion de Cauchy con una subsucesion convergenteentonces (xn)n∈N es convergente. ut

Sean X un espacio normado y ‖ · ‖, ‖ · ‖′ dos normas en X. Las normas‖ · ‖ y ‖ · ‖′ se dicen comparables si existe una constante a > 0 tal que

‖x‖′ ≤ a‖x‖;y se dicen equivalentes si existen constantes 0 < a < b tales que

a‖x‖ ≤ ‖x‖′ ≤ b‖x‖,para todo x ∈ X. En este caso se indica que ‖ · ‖ ∼ ‖ · ‖′ (es una relacionde equivalencia). Notese que dos normas son equivalentes si y solo si inducenen X la misma topologıa. El Teorema de los isomorfismos de Banach permiteidentificar normas equivalentes y normas comparables en espacios de Banach(ejercicio 3.4).

Sea (X, ‖·‖) un espacio normado e Y ⊂ X un subespacio de X (recordamosque los subconjuntos Y ⊂ X que heredan la estructura de espacio vectorialde X son los subespacios vectoriales de X). Entonces (Y, ‖ · ‖) es un espacionormado. Ademas si X es Banach entonces Y es un espacio de Banach si ysolo si Y es cerrado en X.

Sea Y un subespacio cerrado en un espacio vectorial normado X. El espaciovectorial cociente X/Y es un espacio normado con la norma cociente ‖ · ‖X/Y

dada por‖x + Y ‖X/Y := inf‖x + y‖ ; y ∈ Y .

La norma cociente genera la topologıa cociente, y si X es de Banach, entoncestambien lo es X/Y .

Para terminar esta seccion comentamos en detalle algunos ejemplos deespacios normados.

Ejemplos (1) Espacios Kn. Sea X = Kn con n ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞ y se definela norma ‖ · ‖p : Rn → R como

‖(x1, x2, . . . xn)‖p =

(n∑

k=1

|xk|p) 1

p

, 1 ≤ p < ∞,

Espacios normados 21

y ‖(x1, x2, . . . xn)‖∞ = max1≤k≤n |xk|. Se cumple que ‖ · ‖p es una norma y(Kn, ‖ · ‖p) es un espacio normado.

La desigualdad triangular de la norma ‖·‖p se llama a menudo desigualdadde Minkowski,

(n∑

k=1

|xk + yk|p) 1

p

≤(

n∑

k=1

|xk|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|yk|p) 1

p

,

y se prueba a partir de la desigualdad de Holder: si 1 < p < ∞ y 1p + 1

q = 1,entonces

n∑

k=1

|xkyk| ≤(

n∑

k=1

|xk|p) 1

p(

n∑

k=1

|yk|q) 1

q

,

vease una prueba en ejercicio 1.1.Notese que

‖(x1, x2, . . . xn)‖∞ ≤(

n∑

k=1

|xk|p) 1

p

≤ n1p ‖(x1, x2, . . . xn)‖∞

y por tanto ‖ · ‖p ∼ ‖ · ‖q con 1 ≤ p, q ≤ ∞. A partir de ahora consideraremosel espacio vectorial Kn dotado de la topologıa usual, generada por cualquierade las normas equivalentes ‖ · ‖p con 1 ≤ p ≤ ∞.

(2) Espacios de sucesiones KN. Sea 1 ≤ p < ∞ y el espacio vectorial

`p := (xn)∞n=1 ⊂ K ;∞∑

n=1

|xn|p < ∞.

Se define la norma

‖(xn)‖p :=

( ∞∑n=1

|xn|p) 1

p

,

y (`p, ‖ · ‖p) es un espacio de Banach.El espacio `∞ es definido como

`∞ := (xn)∞n=1 ⊂ K ; supn|xn| < ∞,

y la norma ‖(xn)‖∞ := supn |xn| < ∞. El par (`∞, ‖ · ‖∞) es un espacio deBanach. Los subespacios c, c0 y c00 se definen como

c : = (xn)∞n=1 ⊂ K ; (xn) es convergente ,c0 : = (xn)∞n=1 ⊂ K ; lim

nxn = 0,

c00 : = (xn)∞n=1 ⊂ K ; existe n0 ∈ N tal que xn = 0 para todo n > n0.Notese que c00 ⊂ c0 ⊂ c ⊂ `∞ y que c0, y c son subespacios cerrados de `∞ ypor tanto (c0, ‖ · ‖∞) y (c, ‖ · ‖∞) son espacios de Banach.


El espacio (c00, ‖ · ‖∞) es normado, pero no es completo. La clausura dec00 en (`∞, ‖ · ‖∞) es el subespacio (c0, ‖ · ‖∞), mientras que la clausura dec00 en (`p, ‖ · ‖p) es el propio espacio (`p, ‖ · ‖p) con 1 ≤ p < ∞.

(3) Espacios de funciones continuas. Sea K un conjunto compacto de unespacio topologico de Hausdorff. Sea el espacio vectorial C(K) definido por

C(K) := f : K → K ; f continua,

y la norma ‖f‖∞ := maxs∈K |f(s)|. El par (C(K), ‖ · ‖∞) es un espacio deBanach y la convergencia en ‖ · ‖∞ se llama convergencia uniforme.

El espacio C0(Rn) definido por

C0(Rn) := f : Rn → K ; f continua, limx→∞

f(x) = 0,

con la norma ‖f‖∞ := sups∈Rn |f(s)| es un espacio de Banach.Por ultimo sean n ∈ N y a, b ∈ R con a < b y los espacios C(n)([a, b])

definidos mediante

C(n)([a, b]) := f : [a, b] → K ; f continua, derivable n veces y f (n) continua.

Los espacios (C(n)([a, b]), ‖ · ‖n,∞) son espacios de Banach con la norma

‖f‖n,∞ =n∑

j=0

1j!‖f (j)‖∞.

1.2 Aplicaciones entre espacios normados

Las aplicaciones lineales son las aplicaciones que conservan la estructura deespacio vectorial. Sean X e Y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpoK, una aplicacion T : X → Y se dice lineal si

T (αx + βy) = αT (x) + βT (y), α, β ∈ K, x, y ∈ X.

Si T es biyectiva, T se dice isomorfismo algebraico. Se llaman funcionaleslineales o formas a las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre sucuerpo de escalares, f : X → K.

La continuidad en el origen de una aplicacion lineal se transmite a todoslos vectores y equivale a su continuidad uniforme.

Proposicion 1.5 Sean X e Y dos espacios normados, y T : X → Y unaaplicacion lineal. Son equivalentes las siguientes afirmaciones.

(i) T es continua.(ii) T es continua en 0.(iii)Existe C > 0 tal que ‖T (x)‖ ≤ C‖x‖ para x ∈ X.

Aplicaciones entre espacios normados 23

Demostracion. Es claro que (i) ⇒ (ii). Probemos que (ii) ⇒ (iii). Por con-tinuidad en 0 existe δ > 0 tal que ‖T (x)‖ < 1 si ‖x‖ < δ. Sea 0 < δ′ < δ yx 6= 0, entonces

‖T (x)‖ =‖x‖δ′‖T (δ′

x

‖x‖ )‖ ≤ ‖x‖δ′

.

(iii) ⇒ (i) Sean x ∈ X y ε > 0. Si tomamos y ∈ X con ‖x − y‖ < δ donde0 < δ < ε/C entonces notese que

‖T (x)− T (y)‖ = ‖T (x− y)‖ < C‖x− y‖ < Cδ < ε.

Con ello concluimos la demostracion. utSea T un operador lineal y continuo entre espacios normados X e Y .

Recordemos que la norma de T , ‖T‖, se define mediante

‖T‖ := sup‖x‖≤1

‖T (x)‖.

Es facil probar que si X 6= 0 entonces

‖T‖ = sup‖x‖=1

‖T (x)‖ = supx 6=0

‖T (x)‖‖x‖ = infC > 0 ; ‖T (x)‖ ≤ C‖x‖, x ∈ X.

Denotaremos por L(X,Y ) el conjunto de aplicaciones lineales y continuasentre los espacios X e Y . La aplicacion T 7→ ‖T‖ es una norma en L(X, Y ),y por tanto (L(X,Y ), ‖ · ‖) es un espacio normado.

Teorema 1.6 Sean X e Y espacios normados. Si Y es un espacio de Banachentonces L(X, Y ) es tambien espacio de Banach.

Demostracion. Sea (Tn) ⊂ L(X, Y ) una sucesion de Cauchy. Fijado x ∈ X,es claro que (Tn(x)) ⊂ Y es de Cauchy en Y y por tanto convergente. Sedefine T (x) := limn Tn(x). Es claro que T : X → Y es lineal. Para probar lacontinuidad de T se tiene que

‖T (x)‖ = ‖ limn

Tn(x)‖ = limn‖Tn(x)‖ ≤ sup

n‖Tn(x)‖ ≤ sup

n(‖Tn‖)‖x‖.

Al ser (Tn) una sucesion de Cauchy entonces supn(‖Tn‖) < ∞ y T ∈ L(X, Y ).Basta comprobar que Tn → T en L(X,Y ). Sea ε > 0; por ser (Tn) una sucesionde Cauchy entonces existe n0 ∈ N tal que ‖Tn−Tm‖ < ε para todo n,m ≥ n0.Sean x ∈ X y n > n0, entonces ‖Tm(x) − Tn(x)‖ ≤ ε‖x‖ para todo m > n0.Como T (x) = limm Tm(x) entonces ‖T (x)− Tn(x)‖ = ‖(T − Tn)(x)‖ ≤ ε‖x‖y ‖Tn − T‖ ≤ ε para n > n0. utNota. En el capıtulo tercero probaremos (como consecuencia del teorema deHahn-Banach) que la completitud de Y es una condicion necesaria si L(X,Y )es espacio de Banach (Teorema 3.5 (ii)).


Dos espacios normados X e Y son isomorfos si existe T : X → Y biyectiva,lineal, continua y de inversa continua. En este caso se escribe X ' Y y esequivalente a que existan m, M > 0 tales que

m‖x‖ ≤ ‖T (x)‖ ≤ M‖x‖, x ∈ X.

En el caso en que X e Y sean espacios de Banach toda aplicacion biyectiva,lineal y continua entre ellos es un isomorfismo, (Corolario 3.25). Notese queun mismo espacio vectorial X dotado con dos normas equivalentes puede serconsiderado como dos espacios vectoriales isomorfos.

Un isomorfismo isometrico es un isomorfismo T : X → Y tal que ‖T (x)‖ =‖x‖ para x ∈ X. En este caso desde el punto de vista del Analisis Funcionales posible identificar los espacios.

Definicion 1.7 Sea X un espacio normado sobre K. Se llama espacio dual,X ′, al espacio X ′ := L(X,K).

Por el teorema anterior, si X es un espacio normado entonces X ′ es deBanach.

Ejemplos. Podemos identificar los siguientes espacios duales

(c0)′ = `1; (`p)′ = `q,1p

+1q

= 1, 1 < p < ∞; (`1)′ = `∞,

como sigue. Sea x ≡ (xn)n ∈ E = c0, `p, con 1 ≤ p < ∞ e y ≡ (yn)n ∈ E′.Entonces

y(x) =∞∑

n=1

xnyn.

En la seccion 2.5 probaremos versiones mas generales de estos resultados.

1.3 Espacios de dimension finita

La condicion de dimension finita en los espacios vectoriales normados esmuy exigente y provoca falta de variedad. Todos los espacios vectoriales n-dimensional normados son isomorfos, las normas en un espacio vectorial finitodimensional son equivalentes y los conjuntos cerrados y acotados son com-pactos.

Teorema 1.8 Toda aplicacion lineal de Kn en cualquier espacio normado Xes continua.

Demostracion. Sea T : Kn → X una aplicacion lineal. Si ejnj=1 es la base

canonica de Kn, y (λ1, · · · , λn) ∈ Kn, tenemos que

‖T (λ1, · · · , λn)‖ = ‖n∑

j=1

λjT (ej)‖ ≤n∑

j=1

|λj |‖T (ej)‖

Espacios de dimension finita 25

≤ ‖(λ1, · · · , λn)‖2n∑

j=1

‖T (ej)‖ ≤ C‖(λ1, · · · , λn)‖2

donde C =∑n

j=1 ‖T (ej)‖. Entonces T es continua por la Proposicion 1.5. ut

El siguiente teorema prueba que Kn es, salvo isomorfismos, el unico espacionormado n-dimensional sobre K.

Teorema 1.9 (Teorema de Tichonov) Sea X un espacio normado de di-mension n sobre K. Entonces toda biyeccion lineal de Kn en X es un iso-morfismo.

Demostracion. Sea T : Kn → X una biyeccion lineal. Por la proposicionanterior existe C > 0 tal que

‖T (x)‖ ≤ C‖x‖, x ∈ Kn.

Sea ahora Sn = x ∈ Kn ; ‖x‖2 = 1 que al ser un compacto de Kn,entonces T (Sn) es un compacto de X; al ser T inyectiva, entonces 0 6∈ T (Sn).En particular T (Sn) es un subconjunto cerrado de X que no contiene al cero.Por tanto existe ε > 0 tal que D(0, ε) ∩ T (Sn) = ∅. Ademas probaremos queD(0, ε) ⊂ T (DKn(0, 1)). En caso contrario, sea z ∈ D(0, ε) \ T (DKn(0, 1)). Alser T sobreyectiva existe x ∈ Kn tal que z = T (x) y ‖x‖2 > 1. Por tantoT (‖x‖−1

2 x) ∈ D(0, ε) ∩ T (Sn) llegando a contradiccion. En conclusion,

T−1(D(0, ε)) ⊂ DKn(0, 1),

y por tanto ε‖x‖2 ≤ ‖T (x)‖ para x ∈ Kn, concluyendo que T es un isomor-fismo. ut

Corolario 1.10 Las siguientes afirmaciones son ciertas.

(i) Si X es un espacio normado de dimension finita, toda aplicacion lineal deX en otro espacio normado Y es continua.

(ii)Toda biyeccion lineal entre dos espacios normados de dimension finita esun isomorfismo. En consecuencia, dos espacios normados de dimensionfinita son isomorfos si, y solo si, tienen la misma dimension.

(iii) Todas las normas sobre un mismo espacio vectorial de dimension finitason equivalentes.

(iv)Todo espacio normado de dimension finita es un espacio de Banach.(v) Todo subespacio finito dimensional de un espacio normado es cerrado.(vi) Un subconjunto de un espacio normado de dimension finita es compacto

si y solo si es cerrado y acotado (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Demostracion. (i) Sean X un espacio normado n-dimensional y T : X → Yuna aplicacion lineal. Siempre se puede definir una biyeccion lineal T1 : Kn →X. Por el teorema anterior T1 es un isomorfismo, y como T T1 : Kn → Y


es lineal, por el Teorema 1.8 es continua. Por tanto T = (T T1) T−1 escontinua.(ii) Sean X e Y espacios normados. Si X e Y son isomorfos, entonces son alge-braicamente isomorfos y por tanto tienen la misma dimension. Recıprocamente,si X e Y tienen la misma dimension finita, entonces existe una biyeccion linealy por (i) es continua.(iii) Sean X un espacio de dimension finita sobre K y ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 dos normassobre X. Consideremos la aplicacion identidad de IX : (X, ‖ ·‖1) → (X, ‖ ·‖2),la cual es un isomorfismo y por tanto las normas son equivalentes.(iv) Sea X un espacio de dimension finita n sobre K. Por el teorema anteriorX es isomorfo a Kn, y como este es completo, X es completo.(v) Sean X un espacio normado y M un subespacio-finito dimensional de X.Por el apartado (iv) M es completo y por tanto es cerrado.(vi) Sean X un espacio normado de dimension finita n sobre K y A un sub-conjunto de X. Si A es compacto entonces es cerrado y acotado (esto es ciertoen cualquier espacio metrico). Recıprocamente, sea A cerrado y acotado ysea T : X → Kn un isomorfismo. Es claro que T (A) es cerrado y acotadoen Kn, luego T (A) es compacto, y por la continuidad de T−1 se sigue queA = T−1(T (A)) es compacto en X. ut

Las afirmaciones analogas a las anteriores en el caso de espacios vectorialesinfinito dimensionales son falsas. Es mas, el teorema de Bolzano-Weierstrasscaracteriza los espacios de dimension finita.

Teorema 1.11 (Teorema de Riesz) Sea X un espacio normado. Las siguien-tes afirmaciones son equivalentes.

(i) X es de dimension finita.(ii)Todo conjunto cerrado y acotado de X es compacto.(iii) La bola unidad cerrada D(0, 1) es compacta (X es localmente compacto).

Demostracion. La implicacion (i) ⇒ (ii) es el teorema de Bolzano-Weierstrass.Es claro que (ii) implica (iii). Solo falta concluir que (iii) implica (i). Por serD(0, 1) compacto, existen x1, x2 . . . xn tal que

D(0, 1) ⊂n⋃

i=1

D(xi,12).

Sean Y = spanx1, . . . , xn y Q : X → X/Y la aplicacion cociente. Al ser Qsobreyectiva, abierta, lineal y cumplir que ‖Q‖ ≤ 1, se tiene que

DX/Y (0, 1) = Q(DX(0, 1)) ⊂n⋃

i=1

Q(xi + D(0,12))

=12Q(DX(0, 1)) =

12DX/Y (0, 1),

donde aplicamos que Q(xi) = 0 ya que xi ∈ Y . De forma reiterada se obtieneque DX/Y (0, 1) ⊂ 1

2n DX/Y (0, 1) para todo n ∈ N. Si z ∈ DX/Y (0, 1) entonces

Algebras normadas 27

z ∈ 12n DX/Y (0, 1) y ‖z‖X/Y ≤ 1

2n para todo n ∈ N. Por tanto DX/Y (0, 1) =0, ası X/Y = 0 y X = Y . utNota. Esta demostracion del teorema de Riesz es debida a Choquet. Existenotras que involucran el “lema sobre la existencia de elementos casi ortogo-nales” o lema de Riesz [CM, p.18].

1.4 Algebras normadas

Definition 1.12. Un algebra normada A es un espacio normado sobre K conuna segunda operacion interna, producto, A×A → A, (x, y) 7→ xy tal que

(i) x(yz) = (xy)z,(ii) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z) = xz + yz,(iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy)

y ‖xy‖ ≤ K‖x‖‖y‖ con K > 0, x, y, z ∈ A, y λ ∈ K. Un algebra de Banaches un algebra normada completa.

Se dice que el algebra de Banach es conmutativa si xy = yx con x, y ∈ A;con unidad si existe e ∈ A tal que ex = xe = x para todo x ∈ A; con unidadaproximada si existe (en)n ⊂ A tal que enx → x y xen → x con x ∈ A. Launidad aproximada (en)n se dice acotada si existe K > 0 tal que ‖en‖ < Kpara todo n ∈ N.

A continuacion se muestran algunos espacios normados que admiten unproducto con el cual son algebras normadas.

Ejemplos. (1) Sea L(X) := L(X, X) y consideremos la composicion de ope-radores (T S)(x) := T (S(x)) con x ∈ X y T, S ∈ L(X). Notese que

‖T S‖ ≤ ‖T‖‖S‖

y L(X) es un algebra con unidad, a menudo no conmutativa.

(2) Sea K un conjunto compacto en un espacio de Hausdorff. En el espaciode Banach C(K) se considera el producto puntual

(fg)(t) = f(t)g(t), t ∈ K.

El algebra C(K) es un algebra de Banach, conmutativa con unidad.

(3) El espacio C0(Rn) con el producto de funciones puntual anterior es unalgebra normada con unidad aproximada acotada, por ejemplo

en(x) :=

1, si ‖x‖2 ≤ n,n + 1− ‖x‖, si n < ‖x‖2 ≤ n + 1,0, si n + 1 < ‖x‖2.


(4) Los espacios de sucesiones normados c00, c0, c, `∞ son algebras con el pro-

ducto de sucesiones coordenada a coordenada, x ≡ (xn)n, y ≡ (yn)n,

xy ≡ (xnyn)n.

(5) El espacio `1 es un algebra de Banach con el producto de Cauchy, x ≡(xn)n, y ≡ (yn)n ∈ `1,

x ∗ y ≡ (n∑

j=1

xn−jyj)n.

(6) El algebra del disco A(D) definida mediante

A(D) := f : D→ C, ; holomorfas y continuas en D,

donde D = z ∈ C ; |z| < 1 es un algebra de Banach con el producto puntualy la norma del supremo.

1.5 El teorema de Weierstrass

En esta ultima seccion probamos el teorema clasico de Weierstrass sobreaproximacion uniforme de funciones continuas mediante polinomios en unintervalo compacto de R (Corolario 1.14). Presentamos un planteamientogeneral probando un teorema debido a Korovkin. Como consecuencia delteorema de Weierstrass, demostraremos que los polinomios trigonometricosaproximan a las funciones continuas sobre la circunferencia unidad, vease porejemplo [CM, Teorema 1.9.29] y [Li, Theorem 3.18].

Teorema 1.13 (Teorema de Korovkin) Sean f0, f1 y f2 las funciones definidasen [a, b] por

f0(t) = 1, f1(t) = t, f2(t) = t2,

para cada t ∈ [a, b]. Para cada n ∈ N, sean Pn : C([a, b]) → C([a, b]) aplica-ciones lineales. Supongamos que:

(i) Cada operador Pn es positivo, es decir, si f ∈ C([a, b]) y f ≥ 0 entonces

Pn(f) ≥ 0.

(ii)Para cada m = 0, 1, 2 se cumple que limn ‖Pn(fm)− fm‖∞ = 0.

Entonces para cada f ∈ C([a, b]) se cumple que

limn‖Pn(f)− f‖∞ = 0.

El teorema de Weierstrass 29

Demostracion. Sea f ∈ C([a, b]) y f : [a, b] → R. Como f esta acotada existeα > 0 tal que |f(t)| ≤ α con t ∈ [a, b]. Si t, s ∈ [a, b] entonces

−2α ≤ f(t)− f(s) ≤ 2α.

Tomamos ε > 0. Al ser f uniformemente continua en [a, b] existe δ > 0 talque si |t− s| < δ entonces |f(t)− f(s)| < ε, es decir,

−ε < f(t)− f(s) < ε.

Dado s ∈ [a, b] definimos la funcion gs(t) = (t− s)2. Notese que si |t− s| ≥ δ,entonces |gs(t)| ≥ δ2. Combinando ambas desigualdades se tiene que paratodo t ∈ [a, b],

−ε− 2αgs(t)δ2

≤ f(t)− f(s) ≤ ε +2αgs(t)

δ2.

Como cada Pn es positivo y lineal se cumple que

−εPn(f0)− 2αPn(gs)δ2

≤ Pn(f)− f(s)Pn(f0) ≤ εPn(f0) +2αPn(gs)

δ2. (1.1)

Por hipotesis se tiene que Pn(f0) converge a 1 uniformemente en [a, b] mientrasPn(gs)(s) converge a 0 uniformemente para todo s ∈ [a, b], ya que gs = f2 −2sf1 + s2f0, y por tanto

Pn(gs)(s) = Pn(f2)(s)− 2sPn(f1)(s) + s2Pn(f0)(s) → s2 − 2s2 + s2 = 0.

Debido a las desigualdades de (1.1) se concluye que Pn(f) converge uniforme-mente a f en [a, b].

Si f ∈ C([a, b]), f : [a, b] → C entonces f = <f + i=f con <f,=f ∈C([a, b]) y <f,=f : [a, b] → R. Basta aplicar el caso ya demostrado paraconcluir el resultado. ut

Por el teorema anterior, considerando unos operadores adecuados Pn po-dremos demostrar la convergencia uniforme. Ası, el teorema de Weierstrass sedemuestra como consecuencia del Teorema 1.13.

Corolario 1.14 (Teorema de Weierstrass) El conjunto de los polinomios enuna variable es uniformemente denso en C([a, b]).

Demostracion. Haciendo el cambio de variable t 7→ a + t(b − a) podemossuponer sin perdida de generalidad que [a, b] = [0, 1]. Consideramos los opera-dores Bn : C([0, 1]) → C([0, 1]) con n = 1, 2, . . . definidos por

Bn(f)(t) =n∑

k=0

f

(k

n

)(n

k

)tk(1− t)n−k, t ∈ [0, 1].

(El polinomio Bn(f) de grado n a lo sumo se denomina polinomio de Bernsteinasociado a f). Para probar que Bn(f) → f uniformemente basta probar que


los operadores Bn cumplen las hipotesis del teorema 1.13. Claramente cadaBn es lineal, positivo y

Bn(f0)(t) =n∑

k=0

(n

k

)tk(1− t)n−k = 1,

Bn(f1)(t) =n∑

k=1

k

n

(n

k

)tk(1− t)n−k = t

n−1∑

j=0

(n− 1

j

)tj(1− t)(n−1)−j = t,

Bn(f2)(t) =n∑

k=1

(k

n

)(n− 1k − 1

)tk(1− t)n−k

=n∑

k=1

((n− 1)(k − 1)

n(n− 1)+

1n

)(n− 1k − 1

)tk(1− t)n−k = (1− 1

n)t2 +

1n

t,

para n = 1, 2, . . . . Lo que implica que limn ‖Bn(fm) − fm‖∞ = 0 para todom = 0, 1, 2. . Por el teorema 1.13 se tiene que limn ‖Bn(f) − f‖∞ = 0 paratodo f ∈ C([0, 1]). utNotas. Existen extensiones del teorema de Weierstrass. El teorema de Stone-Weierstrass complejo afirma que si A es una subalgebra autoconjugada deC(K), donde K es un compacto de Hausdorff, A separa puntos de K y contienea las funciones constantes, entonces A es densa en C(K), [Yo, p.10].

Sea el espacio de Banach (Cp([−π, π]), ‖ · ‖∞) donde

Cp([−π, π]) = f ∈ C([−π, π]) ; f(−π) = f(π).

Sean las funciones (en)n∈Z ⊂ Cp([−π, π]) donde en(t) = eint con t ∈ [−π, π).Las combinaciones lineales de las funciones (en)n∈Z,

Pn(t) =n∑

j=−n

λjeijt, t ∈ [−π, π), λj ∈ C,

se llaman polinomios trigonometricos. Si f ∈ Cp([−π, π]) los coeficiente deFourier de f ∈ X se definen mediante

f(k) =∫ π

−π

f(t)e−ikt dt

2π, k ∈ Z.

La sumas parciales de la serie de Fourier son las sumas

Sn(f)(t) =n∑

k=−n

f(k)eikt, t ∈ R, n ∈ N,

mientras que la serie de Fourier de f es formalmente la expresion

El teorema de Weierstrass 31

S(f)(t) ≡∞∑

k=−∞f(k)eikt.

Es logico esperar que la serie parcial de Fourier, Sn(f)(t), de una funcionf ∈ Cp([−π, π]) converja al valor de la funcion f(t) en cada t ∈ [−π, π). Sinembargo no es ası, vease la seccion 3.5.2. El siguiente teorema completa estainformacion.

Corolario 1.15 (Teorema de Weierstrass trigonometrico) El conjunto de lospolinomios trigonometricos es denso en (Cp([−π, π]), ‖ · ‖∞).

Demostracion. Sea f ∈ Cp([−π, π]). Entonces f = f1 + f2, con f1 la parte pary f2 la parte impar de f ,

f1(x) =f(x) + f(−x)

2, f2(x) =

f(x)− f(−x)2

, x ∈ [−π, π],

con f2(π) = f2(0) = 0. Al ser el conjunto de los polinomios trigonometricosun espacio vectorial basta probar el resultado para funciones f1 y f2 con laspropiedades anteriores.

Sea f una funcion par en [−π, π]. Como φ : [−1, 1] → [0, π] definida me-diante φ(t) = arccos(t) es una biyeccion, estrictamente decreciente y continua,la funcion f φ : [−1, 1] → C es continua, y por el Corolario 1.14, existe unpolinomio p de modo que

‖f φ− p‖∞ = supt∈[−1,1]

|f φ(t)− p(t)| < ε,

es decir, que

‖f − p cos ‖∞ = supx∈[0,π]

|f(x)− p(cos(x))| < ε.

Al ser f y cos funciones pares se deduce que tambien

supx∈[−π,π]

|f(x)− p(cos(x))| < ε.

Como p cos es un polinomio trigonometrico (recordemos que cos(t) =(eit + e−it)/2) queda probado el resultado para funciones pares.

Sea f una funcion impar en [−π, π] con f(π) = f(0) = 0. Por la con-tinuidad uniforme de f en [0, π], fijado ε > 0 existe η > 0 tal que si |x−x′| < ηentonces

|f(x)− f(x′)| < ε.

Al ser f una funcion continua que se anula en 0 y en π, existe 0 < δ0 <minη, π tal que si x 6∈ [δ, π − δ] con 0 < δ < δ0, entonces se tiene que|f(x)| < ε. Tomemos 0 < δ < δ0 y definimos la funcion gδ : [0, π] → R dadapor


gδ(x) =

f

(π(x− δ)π − 2δ

)si δ ≤ x ≤ π − δ,

0, en otro caso.

Es claro que gδ ∈ C([0, π]) y gδ(0) = 0. Si llamamos x′ = π(x−δ)π−2δ , entonces

x′ − x =2δx− δπ

π − 2δ.

Si se toma x ∈ [δ, π − δ], entonces |x− x′| < η, y por tanto

|f(x)− gδ(x)| < ε, x ∈ [0, π].

Definimos gδ en el intervalo [−π, 0] mediante gδ(x) = −gδ(−x), x ∈ [−π, 0].Al ser f y gδ impares se cumple que

|f(x)− gδ(x)| < ε, x ∈ [−π, π].

Sea G : [−π, π] → C definida mediante

G(x) =

gδ(x)sen(x)

si 0 6= x ∈ (−π, π),

0, si x = 0,±π.

La funcion G es continua y par. Por el caso anterior existe un polinomiotrigonometrico p que cumple que |G(x)− p(x)| < ε. Por tanto

|gδ(x)− sen(x)p(x)| ≤ ε, x ∈ [−π, π].

Utilizando que sen(x) = (eix − e−ix)/2i, entonces sen(x)p(x) es un polinomiotrigonometrico y se concluye la demostracion. utNota. En otros textos se presenta una demostracion alternativa utilizandoel teorema de Korovkin trigonometrico (vease ejercicio 1.10) y los nucleos deFejer, [Li, Theorem 1.4.12].

Ejercicios 33

Ejercicios

(1.1) Demuestrese que

(i) inf0<t<1t1−pup + (1− t)1−pvp = (u + v)p con u, v ≥ 0 y 1 ≤ p < ∞.(ii) la desigualdad de Minkowski,

(n∑

k=1

|uk + vk|p) 1

p

≤(

n∑

k=1

|uk|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|vk|p) 1

p

,

con (u1, · · · , un), (v1, · · · , vn) ∈ Rn.(iii) inf0<t<1 1

p t1p−1a + (1− 1

p )t1p b = a

1p b1− 1

p con a, b ≥ 0 y 1 ≤ p < ∞.(iv) la desigualdad de Holder con 1 < p < ∞, y 1

p + 1q = 1,

n∑

k=1

|ukvk| ≤(

n∑

k=1

|uk|p) 1

p(

n∑

k=1

|vk|p) 1

p

,

con (u1, · · · , un), (v1, · · · , vn) ∈ Rn.

(1.2) Para f ∈ C([0, 1];R) definimos

‖f‖1 =∫ 1

0

|f(t)|dt, ‖f‖2 =(∫ 1

0

|f(t)|2dt

) 12

, ‖f‖∞ = maxt∈[0,1]

|f(t)|.

Pruebese que

(i) Las expresiones anteriores son normas en C([0, 1];R) y dos cualesquierano son equivalentes entre sı.

(ii) Las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 no son completas en C([0, 1];R).

(1.3) Sea T : L1([0, 1]) → C([0, 1]) definido por Tf(x) =∫ x

0f(t)dt. Demuestrese

que T es un operador lineal y continuo. Calculese ‖T‖.(1.4) Sea L: (C([0, 1]), ‖ · ‖i) → (C([0, 1]), ‖ · ‖j) definida por Tf(x) = xf(x),con i, j ∈ 1,∞. Estudiese su continuidad y calculese su norma cuando seaacotado.

(1.5) Sean T1 : `1 → `∞ definido por (T1(zn))m =∑m

k=1 zk y T2 : `1 → c0

definido por (T2(zn))m =∑∞

k=m zk. Demuestrese que T1 y T2 son operadoreslineales y continuos y calculese sus normas.

(1.6) Pruebese los siguientes resultados:

(a) Sea X un espacio de Banach, y ∈ X y T ∈ L(X) con∑∞

n=1 ‖Tn‖ < ∞.Entonces S(x) = y +T (x) tiene un unico punto fijo x0 = y +

∑∞n=1 Tn(y).


(b) Sean g ∈ C([0, 1]) y K ∈ C([0, 1]× [0, 1]). Entonces la ecuacion

f(t) = g(t) +∫ t

0

K(t, s)f(s)ds,

tiene una unica solucion.

(1.7) Sea X un espacio normado real de dimension infinita. Construyase unaaplicacion lineal de X en R que no sea continua. Pruebese que en X haynormas no equivalentes.

(1.8) Sea A un algebra de Banach con unidad e y sea G el conjunto deelementos inversibles. Pruebese que

(a) si x ∈ A y |x| < 1 entonces x + e ∈ G.(b) G es un abierto de A.

(1.9) Demuestrese que el espacio de las medidas complejas sobre un espaciode medida X, definiendo la norma de una medida como su variacion total, esun espacio de Banach.

(1.10)(Teorema de Korovkin trigonometrico)Sean el espacio de Banach (Cp([−π, π]), ‖ · ‖∞) y las funciones f0, f1, f2 ∈

Cp([−π, π]) definidas por

f0(t) = 1, f1(t) = cos(t), f2(t) = sen(t), t ∈ [−π, π].

Para cada n = 1, 2, . . . ,, sean Tn : Cp([−π, π]) → Cp([−π, π]) lineales. Supon-gamos que:

(i) cada operador Tn es positivo,(ii) para cada m = 0, 1, 2 se cumple que limn ‖Tn(fm)− fm‖∞ = 0.

Pruebese que para cada f ∈ Cp([−π, π]), se cumple que

limn‖Tn(f)− f‖∞ = 0.

(Ayuda: Considerese la demostracion del teorema 1.13 y la funcion

hs(t) :=12sen2

(t− s

2

),

en vez de gs. )

Notas historicas 35

1.6 Notas historicas

Stephan Banach nacio el 30 de marzo de 1892 en Cracovia, ciudad pertenecienteal Imperio Austro-Hungaro, actualmente Polonia y murio el 31 de agosto de1945 en Lwow, actualmente Ucraina. A pesar de sus precoces habilidadesmatematicas decidio estudiar Ingenerıa en Lwow ya que sentıa que nada nuevopodıa aportar en Matematicas. En la primavera de 1916, un encuentro casualcon Hugo Steinhaus cambia su futuro.

Steinhaus propone al joven Banach un problema en el que estaba tra-bajando sin exito. A los pocos dıas Banach ya tenıa la idea principal parala construccion del requerido contra-ejemplo y la publicacion de su primertrabajo conjunto.

En 1920 defiende en Lwow su tesis doctoral “Sobre operaciones en conjun-tos abstractos y sus aplicaciones a las ecuaciones integrales” que para muchosmarca el nacimiento del Analisis Funcional moderno. En la Introduccion, Ba-nach afirma:

“El objetivo de este trabajo es demostrar algunos teorema que son cier-tos para diferentes espacios funcionales (champs fonctionneles). En lugar deprobar los resultados para cada espacio funcional particular, he optado por unenfoque diferente: considero en general un conjunto de elementos abstractos,para los que postulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas de esosconjuntos. Entonces pruebo que los distintos espacios funcionales particularesen los que estoy interesado, satisfacen los axiomas postulados...”

El marco general en cuestion es precisamente lo que hoy conocemos comoespacio normado completo, es decir, espacio de Banach, nombre dado por M.Frechet.

Los numerosos trabajos realizados por Banach, las monografıas escritasy la fundacion de la revista Studia Mathematica con H. Steinhaus en 1929,hicieron de Lwow el centro de referencia en el desarrollo del Analisis Funcional.

A modo de curiosidad senalamos su particular estilo de trabajo. Pasabahoras y horas en los cafes de Lwow tanto en la companıa de sus colaboradorescomo en solitario. El ruido y la musica no perturbaban su concentracion, unode ellos era el famoso Cafe Escoces. Cuando los cafes cerraban, marchaba a laestacion de tren donde la cafeterıa permanecıa abierta. Allı, con un vaso decerveza, continuaba pensando en sus problemas.

El concepto de compacidad fue introducido en 1906 por M. Frechet en sufamosa tesis doctoral “Sur quelques points du calcul fonctionel”. Esta tesistuvo una tremenda influencia tanto en el desarrollo del Analisis Funcionalcomo en el de la Topologıa. El teorema 1.11 de F. Riesz aparecio en el artıculo“Uber lineare Funktionalgleichungen”, Acta Math. 41 (1918), 71-98. Sobreeste artıculo, J Dieudonne afirma:

“In my opinion, F. Riesz’s 1918 paper is one of the most beautiful everwritten; it is entirely geometric in language and spirit, and so perfectly adaptedto its goal that it has never been superseded and that Riesz’s proof can still betranscribed almost verbatim”.


([D, p.145-146]).

El teorema de aproximacion de Weierstrass es de 1885. La lista dematematicos que han aportado demostraciones diferentes de este resultadomuestra lo fascinante del resultado: Picard (1890), Volterra (1897), Lebesgue(1898), Mittag-Leffler (1900), Landau (1908), S. Bernstein (1912), P. Montel(1918), Marchand (1927) y Meinardus (1964).

2

Los espacios Lp

En este capıtulo daremos los resultados principales para una familia de espa-cios normados de funciones particularmente importante en las Matematicas yen las Ciencias en general, los espacios Lp(X).

Suponemos conocido por el estudiante un curso elemental de teorıa dela medida, que incluye conceptos y resultados basicos como identidades encasi todo punto (escribiremos µ-a.e.), funciones simples, el Lema de Fatou, laconvergencia dominada y algunos de mas nivel, como el Teorema de Radon-Nikodym. Al usar estas ideas de la teorıa de la medida, recordaremos susenunciados y sus propiedades mas elementales. Tambien daremos referenciasdonde aparecen, como por ejemplo [Ce],[R2], [Li] y [V].

Si ese no fuera el caso, es posible leer este capıtulo considerando la medidade Lebesgue en Ω ⊂ Rn, y los espacios de Lebesgue Lp(Ω).

2.1 Definiciones y primeras propiedades

Sea (X,A, µ) un espacio de medida donde X es un conjunto, A una σ-algebrasobre X y µ una medida positiva en A. Recordemos que una propiedad P sedice cierta en casi todo punto y se escribe µ-a.e., si el conjunto

x ∈ X ; x no cumple P ⊂ N

con µ(N) = 0, [Ce, p. 54].

Definicion 2.1 Sean (X,A, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞. El espacioLp(µ) se define mediante

Lp(µ) := f : X → C medibles ;∫

X

|f |pdµ < ∞.

Nota. Se cumple que si f : X → C es medible y∫

X|f |pdµ = 0 entonces f = 0

µ-a.e.; vease por ejemplo [R2, Theorem 1.39]. Ademas es claro que

38 Los espacios Lp

∫

X

|λf |pdµ = |λ|p∫

X

|f |pdµ, λ ∈ C.

Proposicion 2.2 El espacio Lp(µ) es un espacio vectorial complejo.

Demostracion. Por la observacion anterior basta ver que si f, g ∈ Lp(µ) en-tonces f + g ∈ Lp(µ). Como la funcion φ(t) = tp es convexa, se tiene que

(a + b

2

)p

≤ 12ap +

12bp, a, b ≥ 0,

y por tanto(a + b)p ≤ 2p−1ap + 2p−1bp, a, b ≥ 0.

Ası |f +g|p ≤ (|f |+ |g|)p ≤ 2p−1|f |p +2p−1|g|q, luego si f, g ∈ Lp(µ) entoncesf + g ∈ Lp(µ). ut

Sea el subespacio vectorial N ⊂ Lp(µ) definido mediante

N := f ∈ Lp(µ) ;∫

X

|f |pdµ = 0 = f ∈ Lp(µ) ; f = 0 µ− a.e .

Notese que f = g µ− a.e. si y solamente si f − g ∈ N .

Definicion 2.3 Sea 1 ≤ p < ∞. El espacio vectorial Lp(X) se define me-diante el cociente,

Lp(X) := Lp(µ)/N,

y la aplicacion ‖ · ‖p : Lp(X) → [0,∞) mediante la expresion

‖f‖p :=(∫

X

|f |pdµ

) 1p

,

con f ∈ Lp(X).

Por definicion, los elementos de Lp(X) son clases de equivalencia. De mo-mento para cada f : X → C con

∫X|f |pdµ < ∞, denotaremos su clase por

[f ] ∈ Lp(X). Las siguientes afirmaciones se cumplen.

(i) Una funcion g ∈ [f ] si y solamente si f = g µ-a.e.(ii) Si g ∈ [f ] entonces

∫X|f |pdµ =

∫X|g|pdµ.

A partir de ahora llamaremos a los elementos de Lp(X) funciones, las mane-jaremos teniendo en cuenta estas identificaciones y denotaremos las clases porun elemento que pertenezca a ellas.

Si 1 < p < ∞, y q ∈ (1, +∞) tales que

1p

+1q

= 1,

los numeros p, q se dicen exponentes conjugados.

Definiciones y primeras propiedades 39

Teorema 2.4 Sean 1 < p < ∞, y q ∈ (1, +∞) su exponente conjugado,(X,A, µ) un espacio de medida y f, g : X → [0,∞] funciones µ-medibles.Entonces se cumple

(i)∫

X

fgdµ ≤(∫

X

fpdµ

) 1p

(∫

X

gqdµ

) 1q

(desigualdad de Holder).

(ii)(∫

X

(f + g)pdµ

) 1p

≤(∫

X

fpdµ

) 1p

+(∫

X

gpdµ

) 1p

(desigualdad de Minkowski).

Demostracion.(i) Sean A =(∫

Xfpdµ

) 1p y B =

(∫X

gqdµ) 1

q . En el caso en queA = 0 o B = 0 la desigualdad es trivial, al igual que si A = ∞ o B = ∞. Portanto supongamos que 0 < A < ∞ y 0 < B < ∞.

Sean las funciones F (x) := 1Af(x) y G(x) := 1

B g(x). Si x ∈ X es tal que0 < F (x) < ∞ y 0 < G(x) < ∞ entonces existen s, t ∈ R tales que

F (x) = esp , G(x) = e

tq .

Al ser la funcion exponencial una funcion convexa y los exponentes p y qconjugados, se tiene que

F (x)G(x) = esp + t

q ≤ 1pes +

1qet =

1pF (x)p +

1qG(x)q.

Eliminando conjuntos de medida nula, se tiene integrando que∫

X

FGdµ =∫

0<F<∞,0<G<∞FGdµ ≤

∫

0<F<∞,0<G<∞

1pF p +

1qGqdµ

≤ 1p

∫

X

F pdµ +1q

∫

X

Gqdµ =1p

1Ap

∫

X

fpdµ +1q

1Bq

∫

X

gqdµ = 1,

es decir,∫

Xfgdµ ≤ AB, como querıamos probar.

(ii) Eliminando los casos triviales (∫

X(f + g)pdµ = 0,

∫X

fpdµ = ∞ o∫X

gpdµ = ∞), supongamos que∫

Xfpdµ,

∫X

gpdµ < ∞. Al ser Lp(X) unespacio vectorial, entonces

∫X

(f + g)pdµ < ∞.Notese que (f + g)p = f(f + g)p−1 + g(f + g)p−1, y por la desigualdad

anterior se cumple que∫

X

(f + g)pdµ ≤(∫

X

fpdµ

) 1p

(∫

X

(f + g)(p−1)qdµ

) 1q

+(∫

X

gqdµ

) 1q

(∫

X

(f + g)(p−1)qdµ

) 1q

.

Como (p− 1)q = p, entonces se tiene que

∫

X

(f + g)pdµ ≤(∫

X

(f + g)pdµ

) 1q

((∫

X

fpdµ

) 1p

+(∫

X

gqdµ

) 1q

)

40 Los espacios Lp

de donde obtenemos la desigualdad de Minkowski

(∫

X

(f + g)pdµ

) 1p

≤(∫

X

fpdµ

) 1p

+(∫

X

gpdµ

) 1p

,

concluyendo la demostracion. ut

Corolario 2.5 Para todo 1 ≤ p < ∞ el espacio (Lp(X), ‖ · ‖p) es un espacionormado.

Demostracion. Basta comprobar que ‖ · ‖p es una norma. Las condiciones(i) y (ii) de la definicion 1.1 se comprueban de forma directa, mientras quela condicion (iii) para el caso p > 1 es la desigualdad de Minkowski y esinmediata para el caso p = 1. ut

A continuacion probaremos que el espacio (Lp(X), ‖ · ‖p) con 1 ≤ p < ∞es un espacio normado completo.

Teorema 2.6 Para todo 1 ≤ p < ∞ el espacio (Lp(X), ‖ · ‖p) es un espaciode Banach.

Demostracion. Para probar la completitud del espacio (Lp(X), ‖ · ‖p) em-pleamos la Proposicion 1.4. Sea (fj)j ⊂ Lp(X) tal que cumple que

∑j ‖fj‖p <

∞. Debemos probar que la serie∑

j fj es convergente, es decir, existeh ∈ Lp(X) tal que

‖h−n∑

j=1

fj‖p → 0 si n →∞.

Para cada n ≥ 1 se definen las funciones gn : X → [0,∞] y la funciong : X → [0,∞] medibles mediante

gn(x) :=n∑

j=1

|fj(x)|, g(x) =∞∑

j=1

|fj(x)|, x ∈ X.

Por la desigualdad de Minkowski, se tiene que

(∫

X

gpndµ

) 1p

= ‖n∑

j=1

|fj | ‖p ≤n∑

j=1

‖fj‖p ≤∞∑

j=1

‖fj‖p < ∞,

y como g(x) = limn g(x) para cada x ∈ X, por el Lema de Fatou [R2, Lema1.28], se cumple que

∫

X

gpdµ =∫

X

lim infn

gpndµ ≤

∞∑

j=1

‖fj‖p

< ∞.

Definiciones y primeras propiedades 41

Por tanto g(x) < ∞ µ-a.e. . Definimos a continuacion la funcion h : X → C,mediante

h(x) =∞∑

k=1

fk(x).

La funcion h esta bien definida µ-a.e., cumple que limn

∑nj=1 fj(x) = h(x),

µ-a.e., y

|h(x)−n∑

j=1

fj(x)|p ≤( ∞∑

n+1

|fk(x)|)p

≤ g(x)p,

µ-a.e. . Como∫

Xgpdµ < ∞, por el teorema de la convergencia dominada [R2,

Teorema 1.34],

‖h−n∑

j=1

fj‖p =

∫

X

|h(x)−n∑

j=1

fj(x)|pdµ

1p

→ 01p = 0,

si n →∞ y la serie∑

j fj es convergente en Lp(X). utNota. En el caso en el 0 < p < 1 tambien es posible definir los espaciosvectoriales Lp(X), aunque en general no son espacios normados. Es posibledar una metrica, d : Lp(X)× Lp(X) → [0,∞), invariante por traslaciones,

d(f, g) :=∫

X

|f − g|dµ,

y (Lp(X), d) es un espacio metrico completo. Sin embargo, Lp(X) no con-tiene conjuntos convexos propios, vease por ejemplo [R, section 1.47] y [Ce,Observacion V.1.2].

Para terminar esta seccion daremos algunos ejemplos conocidos de espaciosLp(X).

Ejemplos. (1) Si X = N, A = P(N) y µ es la medida de contar, entoncesLp(N) = `p con 1 ≤ p < ∞, definidos en la seccion 1.1, Ejemplo (2). Noteseque tambien coinciden las normas definidas: sea f : N→ C, y

‖f‖p =(∫

N|f(n)|pdµ

) 1p

=

(∑n

|f(n)|p) 1

p

.

(2) Si X = Ω ⊂ Rn, A = B(Ω), el conjuntos de los borelianos de Ω y µes la medida de Lebesgue en Ω entonces los espacios Lp(Ω) son los espaciosestandar de Lebesgue con la norma

‖f‖p =(∫

Ω

|f(t)|pdt

) 1p

.

42 Los espacios Lp

Un caso concreto de este ejemplo es el siguiente.

(3) Sean X = [−π, π],A = B([−π, π]) y µ la medida de Lebesgue normalizada.Los espacios Lp([−π, π]) son los espacios estandar de Lebesgue con la norma

‖f‖p =(∫ π

−π

|f(t)|p dt

2π

) 1p

.

A menudo se identifican los puntos −π y π en el intervalo [−π, π], se escribeentonces [−π, π) = z ∈ C ; |z| = 1 = T y se consideran los espacios Lp(T).Notese que si Cp([−π, π]) es el espacio de Banach introducido en la seccion1.5,

Cp([−π, π]) = f ∈ C([−π, π]) ; f(−π) = f(π),entonces Cp([−π, π]) ⊂ Lp(T) con 1 ≤ p < ∞.

(4) Si (X,A, µ) es un espacio de medida, el espacio L2(X) ademas de ser unespacio de Banach es un espacio de Hilbert (vease el capıtulo 4) cuyo productoescalar 〈 , 〉 : L2(X)× L2(X) → C se define mediante

〈f, g〉 :=∫

X

fgdµ, f, g ∈ L2(X).

2.2 El espacio L∞

Sean (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → C una funcion continua.Notemos que la norma ‖ · ‖∞ definida mediante

‖f‖∞ = supx∈X

|f(x)|,

puede modificarse al variar f en un conjunto de µ-medida nula. Para evitareste hecho, se introduce la siguiente definicion.

Definicion 2.7 Sean f : X → C medible y K ≥ 0. Se dice que K es una cotaesencial de f si

|f(x)| ≤ K µ-a.e .

Se llama supremo esencial de f al ınfimo de las cotas esenciales de f y seescribe ‖f‖∞.

Notese que K es cota esencial de f si y solo si

µ(x ∈ X ; |f(x)| > K) = 0.

A continuacion probamos algunas propiedades sobre el supremo esencial.

Proposicion 2.8 Sean f, g : X → [0,∞] medibles y K ∈ [0,∞). Se tiene que

El espacio L∞ 43

(i) |f(x)| ≤ ‖f‖∞ µ-a.e.;(ii) |f(x)| ≤ K µ-a.e. si y solo si ‖f‖∞ ≤ K;(iii) si f = g µ-a.e. entonces ‖f‖∞ = ‖g‖∞;(iv) si N ⊂ X y µ(N) = 0 entonces ‖f‖∞ ≤ supx6∈N |f(x)|;(v) existe N ⊂ X tal que µ(N) = 0 y

‖f‖∞ = supx 6∈N

|f(x)|.

Demostracion. (i) Para cada n ≥ 1 se cumple que ‖f‖∞ + 1n es una cota

esencial de f y por la observacion anterior

µ(x ∈ X ; |f(x)| > ‖f‖∞ +1n) = 0.

Como se cumple que

x ∈ X ; |f(x)| > ‖f‖∞ =⋃n=1

x ∈ X ; |f(x)| > ‖f‖∞ +1n

entonces µ(x ∈ X ; |f(x)| > ‖f‖∞) = 0, es decir, |f(x)| ≤ ‖f‖∞ µ-a.e. .La parte (ii) se demuestra usando la definicion de cota esencial y de

supremo esencial. La prueba de (iii) es inmediata. Para demostrar (iv) pode-mos aplicar (ii) con K = supx 6∈N |f(x)|. Por ultimo, sea el conjunto

N = x ∈ X ; |f(x)| > ‖f‖∞.

Por el apartado (i) se cumple que µ(N) = 0 y por (iv) ‖f‖∞ ≤ supx 6∈N |f(x)|.Por la definicion de N se obtiene que

supx6∈N

|f(x)| ≤ ‖f‖∞,

y se concluye la igualdad. utLos conceptos de cota esencial y de supremo esencial extienden a conceptos

ya conocidos para funciones continuas.

Lema 2.9 Sean f : [a, b] → C continua y K ≥ 0. Entonces

(i) K es cota esencial de f si y solo si |f(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b];(ii)el supremo esencial de f es el supremo de f en [a, b],

‖f‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)| = maxx∈[a,b]

|f(x)|.

Demostracion. Para probar (i) sea x0 ∈ [a, b] tal que |f(x0)| > K. Por con-tinuidad existe ε > 0 tal que

|f(x)| > K, x ∈ [x0 − ε, x0 + ε].

44 Los espacios Lp

Por tanto

µ(x ∈ X ; |f(x)| > K) ≥ µ([x0 − ε, x0 + ε]) > 0,

llegando a contradiccion. La afirmacion recıproca es trivial.La parte (ii) se deduce de (i) trivialmente. ut

Definicion 2.10 Sea (X,A, µ) un espacio de medida. El espacio L∞(µ) sedefine mediante

L∞(µ) := f : X → C medible ; ‖f‖∞ < ∞.

Al ser L∞(µ) un espacio vectorial y el conjunto

N = f : X → C medible ; f = 0 µ− a.e.

un subespacio, el espacio cociente se define mediante L∞(X) := L∞(µ)/N.

A continuacion probamos que (L∞(X), ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

Teorema 2.11 El espacio (L∞(X), ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

Demostracion. Comprobemos primero que ‖ · ‖∞ es una norma. Es claro que‖f‖∞ ≥ 0 y si ‖f‖∞ = 0 entonces f(x) = 0 µ-a.e. y por tanto f = 0 enL∞(X).

Sean f, g ∈ L∞(X). Entonces se tiene que |f(x)| ≤ ‖f‖∞ y |g(x)| ≤ ‖g‖∞µ-a.e. por la Proposicion 2.8 (i). Por tanto

|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞, µ− a.e.,

y ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞ (Proposicion 2.8 (ii)).Sean 0 6= λ ∈ C y f ∈ L∞(X). Se tiene que

|(λf)(x)| = |λ||f(x)| ≤ |λ|‖f‖∞, µ− a.e.,

y por tanto ‖λf‖∞ ≤ |λ|‖f‖∞ (Proposicion 2.8 (ii)). Aplicando esta desigual-dad se tiene que

‖f‖∞ = ‖ 1λ

(λf)‖∞ ≤ 1|λ| ‖λf‖∞,

obteniendo la igualdad ‖λf‖∞ = |λ|‖f‖∞. Si λ = 0 es inmediata la igualdad.Para terminar veamos que (L∞(X), ‖ · ‖∞) es completo. Sea (fn)n una

sucesion de Cauchy en L∞(X). Para cada n,m ≥ 1 existe Nn,m ⊂ X tal queµ(Nn,m) = 0 y ademas

‖fn − fm‖∞ = supx6∈Nn,m

|fn(x)− fm(x)|.

Sea N = ∪n,mNn,m que cumple que µ(N) = 0 y

Los espacios Lp de medida finita y las funciones de distribucion 45

|fn(x)− fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞, x /∈ N.

Entonces la sucesion (fn)n es uniformemente de Cauchy en X\N y por lotanto (fn)n es uniformemente convergente en X\N . Sea f(x) := limn fn(x) six /∈ N y f(x) = 0 si x ∈ N . Se tiene que

‖fn − f‖∞ ≤ supx 6∈N

|fn(x)− fm(x)| → 0, n →∞,

concluyendo la demostracion. utPara terminar, senalamos algunos ejemplos conocidos de espacios L∞(X).

Ejemplos. (1) Si X = N, A = P(N) y µ es la medida de contar entoncesL∞(N) = `∞ definido en la seccion 1.1. (el espacio de la sucesiones acotadas).Notese que tambien coinciden las normas definidas: dada f : N→ C,

‖f‖∞ = supn|f(n)|.

(2) Sean X = Ω ⊂ Rn, A = B(Ω) y µ la medida de Lebesgue. El espacioL∞(Ω) es el espacio estandar de Lebesgue con la norma

‖f‖∞ = supessx∈Ω |f(x)|.

2.3 Los espacios Lp de medida finita y las funciones dedistribucion

Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Se dice que X es de medida finita siµ(X) < ∞ y σ-finito si existe (Xn)n≥1 tal que X = ∪nXn y µ(Xn) < ∞para todo n ≥ 1 [Ce, p.52]. Un ejemplo de espacio de medida finita es [−π, π]y de medida σ-finita R, ambos con la medida de Lebesgue.

Proposicion 2.12 Sean (X,A, µ) un espacio de medida finita y 1 ≤ p ≤ q ≤∞. Entonces

L∞(X) → Lq(X) → Lp(X) → L1(X).

Demostracion. La primera inclusion L∞(X) ⊂ Lq(X) es directa ya que sif ∈ L∞(X) entonces |f(x)| ≤ ‖f‖∞ µ-a.e., y

∫

X

|f(x)|qdµ(x) ≤ ‖f‖q∞

∫

X

dµ(x) = ‖f‖q∞µ(X),

es decir, ‖f‖q ≤ µ(X)1q ‖f‖∞ y f ∈ Lq(X).

46 Los espacios Lp

Si f ∈ Lq(X) con q < ∞ y 1 ≤ p < q entonces, aplicando Holder con elpar ( q

p , qq−p ), se tiene que

∫

X

|f(x)|pdµ(x) ≤(∫

X

|f(x)|qdµ(x)) p

q(∫

X

1dµ(x)) q−p

q

≤ ‖f‖pqµ(X)

q−pq .

Por tanto ‖f‖p ≤ µ(X)1p− 1

q ‖f‖q y f ∈ Lp(X). utNota. En la proposicion anterior hemos probado que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞,entonces

‖f‖p ≤ µ(X)1p− 1

q ‖f‖q.

entendiendo por 1∞ = 0. En general la Proposicion 2.12 es falsa si µ(X) = ∞,

como se muestra en el siguiente ejemplo (2).

Ejemplos. (1) Sea X = (0, 1) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = 1xs

con s > 0. Se cumple que fs ∈ Lp((0, 1)) si y solo si 1p > s. Este ejemplo

muestra que los contenidos de la Proposicion 2.12 son estrictos.

(2) Sea X = (1,∞) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = 1xs con s > 0.

Se cumple que fs ∈ Lp((1,∞)) si y solo si 1p < s. Si p < q basta tomar s con

1p

> s >1q

para que fs ∈ Lq((1,∞) y fs 6∈ Lp((1,∞).

Sin embargo se cumple el siguiente resultado.

Proposicion 2.13 Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces

`1 → `p → `q → `∞.

Demostracion. Sea x ≡ (xn) ∈ `p con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces se cumple que

|xn| ≤ ‖x‖p, para todo n ≥ 1.

Por tanto si q ≥ p, se tiene que

‖x‖qq =

∑

n≥1

|xn|q =∑

n≥1

|xn|p|xn|q−p ≤ ‖x‖q−pp

∑

n≥1

|xn|p = ‖x‖qp

y por tanto ‖x‖q ≤ ‖x‖p. utPara terminar esta seccion introducimos las funciones de distribucion de

funciones medibles. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → C unafuncion medible. Entonces el conjunto

x ∈ X ; |f(x)| > t ∈ A,

para todo t ≥ 0 y la siguiente definicion tiene sentido.

Los espacios Lp de medida finita y las funciones de distribucion 47

Definicion 2.14 Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → C unafuncion medible. Se llama funcion de distribucion de f , λf : [0,∞) → [0,∞)a la funcion definida mediante

λf (t) = µ(x ∈ X ; |f(x)| > t), t ∈ [0,∞).

Nota. La funcion de distribucion es una funcion real de variable real paratoda funcion medible.

Para funciones que pertenecen a Lp(X) se cumplen las siguientes propie-dades.

Teorema 2.15 Sea (X,A, µ) un espacio de medida σ-finito. Sean 1 ≤ p < ∞,f : X → C medible con f ∈ Lp(X) y λf su funcion de distribucion. Se cumpleque

(i) λf (t) ≤ 1tp‖f‖p

p para todo t > 0;

(ii) limt→∞

tpλf (t) = 0;

(iii)‖f‖pp =

∫ ∞

0

ptp−1λf (t)dt.

Demostracion. Para probar (i) consideramos el conjunto

Et = x ∈ X ; |f(x)| > t,

para t ≥ 0. Se tiene que

λf (t) = µ(Et) =∫

Et

dµ(x) =∫

x∈X ; |f(x)|>tdµ(x)

=∫

x∈X ; 1<|f(x)|

t dµ(x) ≤

∫

X

|f(x)|ptp

dµ(x) =‖f‖p

p

tp,

para todo t ≥ 0. Por otra parte se cumple que

tpχEt(x) ≤ |f(x)|pχEt(x), x ∈ X,

y por tanto se obtiene que

tpλf (t) =∫

X

χEt(x)tpdµ(x) ≤∫

X

|f(x)|pχEt(x)dµ(x).

Fijado x ∈ X, se tiene que

|f(x)|pχEt(x) = |f(x)|pχ(x,t) ; |f(x)|>t(x, t) → 0

si t → ∞. Como |f(x)|pχEt(x) ≤ |f(x)|p, por el teorema de la convergenciaacotada, se demuestra que

48 Los espacios Lp

limt→∞

∫

X

|f(x)|pχEt(x)dµ(x) = 0,

y por lo tanto limt tpλf (t) = 0, es decir la parte (ii).Por ultimo para probar (iii), sea E el conjunto definido por

E := (x, t) ∈ X × [0,∞) ; |f(x)| > t.

El conjunto E es A ⊗ B([0,∞))-medible, y la funcion t → µ(Et) = λf (t) esmedible. Por el teorema de Fubini y por la igualdad χE(x, t) = χ[0,|f(x)|)(t)se tiene que

∫

[0,∞)

p tp−1λf (t)dt =∫

[0,∞)

ptp−1

∫

X

χE(x, t)dµ(x)dt

=∫

X

∫

[0,∞)

ptp−1χ[0,|f(x)|)(x, t)dtdµ(x) =∫

X

|f(x)|pdµ(x) = ‖f‖pp,

con lo que se concluye la prueba. ut

2.4 Densidad en Lp

En esta seccion demostramos los dos resultados siguientes. Sea (X,A, µ) unespacio de medida. Las siguientes afirmaciones se cumplen.

(i) El conjunto de las funciones simples que pertenecen a Lp(X) es denso enLp(X) con 1 ≤ p ≤ ∞, (Teorema 2.16 y Teorema 2.17).

(ii) El conjunto de las funciones continuas de soporte compacto es denso enLp(X) con 1 ≤ p < ∞, (Teorema 2.19).

Recordemos que una funcion simple, s : X → C, es una combinacion linealde funciones caracterısticas de conjuntos medibles, ([Ce, p. 50]). Toda funcionsimple s se puede escribir de la forma

s =n∑

j=1

αjχEj ,

donde Ej ∩ Ek = ∅ si j 6= k, αj 6= 0, Ej ∈ A, para todo 1 ≤ j ≤ n. Debido ala anterior igualdad es facil probar que

|s|p =n∑

j=1

|αj |pχEj ,

y por tanto s ∈ Lp(X) con 1 ≤ p < ∞ si y solo si µ(Ej) < ∞ para todo1 ≤ j ≤ ∞, esto es, la funcion s es integrable, s ∈ L1(X). Por otra parte todafuncion simple y medible s pertenece a L∞(X).

Densidad en Lp 49

Teorema 2.16 El conjunto de las funciones simples y medibles es denso enL∞(X).

Demostracion. Sea f ∈ L∞(X). Tenemos que probar que existe (sn)n unasucesion de funciones simples y medibles tal que ‖f − sn‖∞ → 0 si n →∞.

Para toda funcion positiva y medible, f : X → [0,∞], existe una sucesionde funciones simples y medibles (sn)n≥1 tal que

(i) 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . sn ≤ . . . ≤ f ;(ii) se cumple que f(x) = limn sn(x) para todo x ∈ X;(iii) el lımite anterior es uniforme en x ∈ X ; f(x) 6= ∞.Vease por ejemplo [Ce, Teorema II.2.1].

En el caso en que f ∈ L∞(X) y f ≥ 0 la sucesion (sn)n dada en el resultadoanterior cumple que ‖f − sn‖∞ → 0. Si f ∈ L∞(X) y f : X → C, entoncesf se puede escribir de la forma f = f1 − f2 + i(f3 − f4) con fj : X → [0,∞),fj ∈ L∞(X), 1 ≤ j ≤ 4. Aplicando el caso anterior, existen cuatro sucesionesde funciones simples (s(j)

n )n, 1 ≤ j ≤ 4, tales que

‖f −(s(1)

n − s(2)n − i(s(3)

n − s(4)n )

)‖∞ → 0

si n →∞, terminando ası la demostracion. utUsando ideas similares se demuestra el siguiente resultado

Teorema 2.17 El conjunto de las funciones simples, medibles e integrableses denso en Lp(X) con 1 ≤ p < ∞.

Demostracion. Sea f ∈ Lp(X) con 1 ≤ p < ∞ y f ≥ 0. Por la demostracion delTeorema 2.16, existe una sucesion de funciones simples (sn)n ((sn)n ⊂ Lp(X)con 1 ≤ p) tal que sn(x) ≤ f(x) para todo n ≥ 1 y

limn

sn(x) = f(x),

para todo x ∈ X. Como |f(x) − sn(x)|p ≤ 2|f(x)|p, por el teorema de laconvergencia dominada se tiene que

‖f − sn‖pp ≤

∫

X

|f(x)− sn(x)|pdµ(x) → 0,

si n → ∞. En el caso f : X → C procedemos de igual forma que en lademostracion del Teorema 2.16. ut

Sea (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y localmente compacto,(vease definiciones en la seccion 1.1). Denotamos por B(X) a la σ-algebraengendrada por los abiertos de X y los elementos de B(X) se llaman borelianosde X ([Ce, p.49]). Una medida µ : B(X) → [0,∞] se dice regular si

(i) para todo compacto K ⊂ X, se tiene µ(K) < ∞;

50 Los espacios Lp

(ii) para todo E ∈ B(X) con µ(E) < ∞ y ε > 0, existe V un abierto y K uncompacto tales que K ⊂ E ⊂ V , y µ(V \K) < ε.

Si f : X → C es una funcion definida en el espacio topologico X, se llamasoporte de f , sop(f), al conjunto definido mediante

sop(f) := x ∈ X ; f(x) 6= 0.Por el ultimo se denota por Cc(X) el conjunto

Cc(X) := f : X → C ; f continua y de soporte compacto.El siguiente resultado topologico se enuncia sin demostracion, vease [R2,

Teorema 2.12].

Lema 2.18 (Lema de Urysohn) Sean (X, τ) un espacio de Hausdorff topologicolocalmente compacto, V un abierto y K un compacto con K ⊂ V . Entoncesexiste f ∈ Cc(X) tal que

χK ≤ f ≤ χV .

Teorema 2.19 Sean X un espacio topologico de Hausdorff localmente com-pacto y (X,B(X), µ) un espacio de medida con µ una medida regular. Entoncesse cumple que Cc(X) es denso en Lp(X) si 1 ≤ p < ∞.

Demostracion. Supongamos primero que f = χE ∈ Lp(X) con 1 ≤ p < ∞ yE ∈ B(X). Sea ε > 0. Como µ(E) < ∞ y µ es regular existen un K compactoy un V abierto tales que K ⊂ E ⊂ V y

µ(V \K) <(ε

2

)p

.

Por el lema de Urysohn, existe φ ∈ Cc(X) tal que χK ≤ φ ≤ χV . Por tanto

‖f − φ‖p ≤ ‖f − χK‖p + ‖χK − φ‖p =

(∫

E\Kdµ

) 1p

+

(∫

V \K|φ|pdµ

) 1p

≤ µ(E\K)1p + µ(V \K)

1p ≤ 2µ(V \K)

1p < ε.

Sea ahora f una funcion simple e integrable,

f =n∑

i=1

αiχEi

con Ei ∈ B(X), µ(Ei) < ∞, 0 6= αi ∈ C para 1 ≤ i ≤ n. Tomemos ε > 0. Porel parrafo anterior para cada i = 1, . . . n, existen φi ∈ Cc(X) tales que

‖χEi − φi‖p <ε

n|αi| .

Sea ahora φ =∑n

i=1 αiφi ∈ Cc(X) y

Densidad en Lp 51

‖f − φ‖p = ‖n∑

i=1

αi(χEi − φi)‖p ≤n∑

i=1

|αi|‖χEi − φi‖p < ε.

Por ultimo sea f ∈ Lp(X) y ε > 0. Por el Teorema 2.17 existe s, funcionsimple e integrable, tal que

‖f − s‖p <ε

2.

Por el parrafo anterior, existe φ ∈ Cc(X) tal que ‖s − φ‖p < ε2 . Por la desi-

gualdad triangular se tiene que ‖f − φ‖p < ε. utPara terminar esta seccion, nos interesamos sobre la clausura de Cc(X) en

L∞(X), donde X es un espacio topologico de Hausdorff localmente compacto.Recordemos que un espacio topologico de Hausdorff localmente compacto ad-mite una compactificacion al anadir un punto (que a menudo se denota ∞)denominada compactificacion de Alexandroff, [ADQ, Corolario 13.10]. Se de-fine el espacio vectorial C0(X) mediante

C0(X) := f ∈ C(X);∀ε > 0 ∃ K ⊂ X compacto tal que |f(x)| < ε si x 6∈ K.

A menudo la condicion de la definicion se escribe como limx→∞ f(x) = 0. Esclaro que C0(X) ⊂ L∞(X) y ademas

‖f‖∞ = maxx∈X

|f(x)|, f ∈ C0(X).

Teorema 2.20 El espacio (C0(X), ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

Demostracion. Ya hemos comentado que C0(X) es un subespacio vectorial deL∞(X) y por tanto es un espacio normado. Basta ver que es completo.

Sea (fn)n ⊂ C0(X) una sucesion de Cauchy. Entonces (fn)n es uniforme-mente de Cauchy en X y, por ser C completo, la sucesion es uniformementeconvergente a f ∈ C(X). Falta comprobar que f ∈ C0(X). Sea ε > 0. Comofn → f uniformemente en X, existe n ∈ N tal que

|fn(x)− f(x)| < ε

2, para todo x ∈ X.

Fijado n, existe K ⊂ X tal que |fn(x)| < ε2 para todo x 6∈ K. Por lo tanto

|f(x)| < ε para todo x 6∈ K. utNota. Al ser L∞(X) un espacio de Banach, C0(X) ⊂ L∞(X) y por el Teorema2.20 el espacio C0(X) es completo entonces C0(X) es cerrado.

Teorema 2.21 La clausura de Cc(X) en ‖ · ‖∞ es igual a C0(X).

Demostracion. Es claro que

Cc(X)‖·‖∞ ⊂ C0(X).

52 Los espacios Lp

Sean ahora f ∈ C0(X) y ε > 0. Entonces existe K ⊂ X compacto tal que|f(x)| < ε si x 6∈ K. Por el lema de Urysohn existe φ ∈ Cc(X) tal queχK ≤ φ ≤ χV con V un abierto cualquiera tal que K ⊂ V . Definimos h := φf ,h ∈ Cc(X) y cumple

|f(x)− h(x)| = |f(x)− f(x)φ(x)| = |f(x)||1− φ(x)| =

0 si x ∈ K,ε si x 6∈ K.

Por tanto ‖f − h‖∞ < ε. Notese ademas que sop(h) ⊂ sop(φ). ut

2.5 Dualidad en Lp

Nos proponemos en esta ultima seccion probar que (Lp(X))′ ' Lq(X) con1 ≤ p < ∞ , donde (p, q) es un par de exponentes conjugados. Se sigue elconvenio que si p = 1, entonces q = ∞. Recuerdese la definicion de espaciodual que se dio en Definicion 1.7:

(Lp(X))′ = T : Lp(X) → C ; T es continua y lineal .Enunciamos el teorema para el caso σ-finito, dejando como ejercicio (Ejercicio2.8) suprimir la condicion σ-finito, (vease por ejemplo [Ce, p. 190]). Aunqueexisten otras demostraciones que no utilizan el Teorema de Radon-Nikodym([V, section 8.9]) seguimos la demostracion presentada en [R2, Theorem 6.16].

Teorema 2.22 Sea (X,A, µ) un espacio σ-finito. Sean 1 ≤ p < ∞ y 1 < q ≤∞ con

1p

+1q

= 1

si 1 < p < ∞ y q = ∞ si p = 1. Entonces (Lp(X))′ ' Lq(X).

Demostracion. Definimos la aplicacion Φ : Lq(X) → (Lp(X))′, f 7→ Φf , me-diante

Φf (g) =∫

X

fgdµ, f ∈ Lq(X), g ∈ Lp(X).

Probaremos que Φ esta bien definida, es lineal, ‖Φ‖ = 1, (por lo tanto escontinua e inyectiva), y es sobreyectiva. Al ser Lq(X) y (Lp(X))′ espacios deBanach, se concluye que Φ es un isomorfismo isometrico, (Corolario 3.25).

Sea f ∈ Lq(X) y g ∈ Lp(X) con 1 ≤ p < ∞ y 1p + 1

q = 1. Por ladesigualdad de Holder, (Teorema 2.4) en el caso 1 < p < ∞ (y si p = 1, esdirecto), fg ∈ L1(X) y por tanto Φf (g) ∈ C. Es mas

|Φf (g)| = |∫

X

fgdµ| ≤∫

X

|f | |g|dµ ≤ ‖f‖q‖g‖p.

Al ser claramente Φf lineal, entonces Φf es continua, Φf ∈ (Lp(X))′ y ‖Φf‖ ≤‖f‖q.

Dualidad en Lp 53

Es directo comprobar que Φ es lineal. Comprobamos que ‖Φf‖ ≥ ‖f‖q

para todo f ∈ Lq(X) y concluimos que ‖Φ‖ = 1.Sea 0 6= f ∈ Lq(X). Para cada α ∈ C, existe β ∈ C con |β| = 1 tal que

αβ = |α| (basta tomar β = |α|α si α 6= 0 y β = 1 si α = 0). Usando esta idea

se define h : X → C tal que |h(x)| = 1 y f(x)h(x) = |f(x)| para todo x ∈ X.Entonces h es medible ya que

h = χx ; f(x)=0 +|f |f

χx ; f(x) 6=0

y h ∈ L∞(X). Si q = ∞, Φf (h) =∫

X|f |dµ = ‖f‖1 y por tanto ‖Φf‖ ≥ ‖f‖

para todo f ∈ L∞(X).Si 1 < q < ∞, definimos g = |f |q−1h, (notese que fg = |f |q). Como

p(q − 1) = q, entonces |g|p = |f |q y por tanto ‖g‖pp = ‖f‖q

q. Como

Φf (g) =∫

X

gfµ =∫

X

|f |q = ‖f‖qq

se tiene que|Φf (g)|‖g‖p

=‖f‖q

q

‖f‖qpq

= ‖f‖q,

de donde se deduce que ‖Φf‖ ≥ ‖f‖ para todo f ∈ Lq(X).A continuacion probamos la sobreyectividad de Φ. Para ello consideramos

primero el caso en que µ sea finito y despues el caso en que µ sea σ-finito.Sean µ(X) < ∞ y 0 6= T : Lp(X) → C lineal y continuo con 1 ≤ p < ∞.

Definimos ϑ : A → C mediante la igualdad

ϑ(E) = T (χE), E ∈ A.

La aplicacion ϑ esta bien definida ya que

|ϑ(E)| = |T (χE)| ≤ C‖χE‖p = Cµ(E)1p < ∞.

Probemos que ϑ es una medida compleja, es decir, si (En)n ⊂ A siendodisjuntos dos a dos y E =

⋃n En, entonces se cumple que

ϑ(E) =∑

n

ϑ(En)

([Ce, p.144]). Al ser (En)n disjuntos dos a dos se tiene que χE =∑

n χEn enLp(X), ya que por el teorema de la convergencia dominada

∑n

χEn = limN

N∑n=1

χEn en Lp(X).

Por lo tanto se tiene que

54 Los espacios Lp

ϑ(E) = T (χE) = limN

N∑n=1

T (χEn) = lim

N

N∑n=1

ϑ(En) =∞∑

n=1

ϑ(En).

Ademas ϑ es absolutamente continua respecto de µ, ϑ << µ: sea E ∈ A conµ(E) = 0, entonces χE = 0 µ-a.e. y por lo tanto χE = 0 en Lp(X) y

ϑ(E) = T (χE) = T (0) = 0.

Por el teorema de Radon-Nikodym (vease [Ce, Teorema IV.2.2]) existe 0 6=f ∈ L1(X) tal que

T (χE) = ϑ(E) =∫

E

fdµ =∫

X

χEfdµ.

Por linealidad se tiene que para toda funcion s simple y medible,

T (s) =∫

X

sfdµ.

Al ser µ(X) < ∞, se tiene la relacion de contenidos

L∞(X) → Lp(X) → L1(X)

(Proposicion 2.12). Si consideramos las dos aplicaciones T|L∞(X): L∞(X) → C

y Φf : L∞(X) → C, al ser lineales y continuas y coincidir en el conjunto de lasfunciones simples y medibles (un subconjunto denso de L∞(X) por el Teorema2.16) se tiene que

T|L∞(X)(g) =

∫

X

fgdµ, g ∈ L∞(X).

Si p = 1 y q = ∞, veamos que f ∈ L∞(X) y

T (g) =∫

X

fgdµ, g ∈ L1(X).

Sea E ∈ A. Entonces se cumple que

|∫

E

fdµ| = |T (χE)| ≤ ‖T‖ ‖χE‖1 = ‖T‖µ(E).

Si E = x ∈ X ; <f ≥ 2‖T‖ ∈ A entonces

‖T‖µ(E) ≥ |∫

E

fdµ| ≥ <(∫

E

fdµ

)=

∫

E

<fdµ ≥ 2‖T‖µ(E),

y por tanto <f ≤ 2‖T‖ µ-a.e. . Analogamente se prueba que =f ≤ 2‖T‖ µ-a.e.y por tanto |f | ≤ K µ-a.e., es decir f ∈ L∞(X). La aplicacion Φf : L1(X) → Ces lineal, continua y cumple

Dualidad en Lp 55

T (s) =∫

X

sfdµ

para toda funcion s simple y medible. Por densidad (Teorema 2.17) se concluyeque

T (g) =∫

X

gfdµ, g ∈ L1(X).

Si 1 < p < ∞ y q es su exponente conjugado, veamos que f ∈ Lq(X) y

T (g) =∫

X

fgdµ, g ∈ Lp(X).

Para cada n ∈ N, tomamos En = x ∈ X ; |f(x)| ≤ n. Notese quelimn χEn

(x) = 1 para todo x ∈ X y por el teorema de la convergenciamonotona se cumple que

∫

X

|f |qdµ = limn

∫

X

χEn|f |qdµ = lim

n

∫

En

|f |qdµ.

Sea h : X → C tal que |h(x)| = 1 para todo x ∈ X y que cumple fh = |f |.Definimos las funciones hn = χEn |f |q−1h. Es claro que hn ∈ L∞(X) → Lp(X)y que ademas hnf = χEn |f |q. Por tanto

∫

En

|f |qdµ = T (hn) ≤ ‖T‖(∫

X

χEn |f |p(q−1)dµ

) 1p

= ‖T‖(∫

En

|f |qdµ

) 1p

,

de donde se deduce que

(∫

En

|f |qdµ

)1− 1p

≤ ‖T‖,

es decir, que f ∈ Lq(X) y ‖f‖q ≤ ‖T‖. Entonces la aplicacion Φf : Lp(X) → Ces lineal, continua y cumple

T (s) =∫

X

sfdµ,

para toda funcion s simple y medible. Por densidad (Teorema 2.17) se concluyeque

T (g) =∫

X

gfdµ, g ∈ Lp(X).

Concluimos la demostracion con el caso σ-finito. Sean X = ∪n≥1An conµ(An) < ∞, An ⊂ An+1 para todo n ≥ 1 y 0 6= T : Lp(X) → C lineal ycontinuo con 1 ≤ p < ∞. Para cada n, definimos Tn : Lp(An) → C mediante

Tn(g) := T (gχAn).

56 Los espacios Lp

La aplicacion Tn esta bien definida (ya que gχAn ∈ Lp(X)), es lineal y cumpleque

|Tn(g)| ≤ ‖T‖ ‖gχAn‖Lp(X) = ‖T‖ ‖g‖Lp(An).

Luego Tn es continua y ‖Tn‖ ≤ ‖T‖ para todo n ∈ N. Por el caso anteriorexiste fn ∈ Lq(An) tal que

T (gχAn) = Tn(g) =∫

An

fngdµ, g ∈ Lp(An),

y ‖fn‖q ≤ ‖Tn‖. Veamos que fn = fn+1 µ-a.e. en An. Para ello basta de-mostrar que ∫

E

fndµ =∫

E

fn+1dµ

para todo E ⊂ An medible. Entonces∫

E

fndµ =∫

An

fnχEdµ = T (χEχAn) = T (χEχAn+1) =∫

E

fn+1dµ.

Definimos f(x) := fn(x) si x ∈ An. Por lo anterior esta bien definido y si1 < p < ∞,

∫

X

|f |qdµ = limn

∫

An

|f |qdµ = limn

∫

X

χAn |f |qdµ ≤ ‖T‖q.

Luego f ∈ Lq(X); el caso p = 1 es directo. Sea g ∈ Lp(X). Como g =limn gχAn en Lp(X), se tiene que

T (g) = limn

T (gχAn) = limn

∫

An

fngdµ = limn

∫

An

fgdµ =∫

X

fgdµ,

donde hemos aplicado el teorema de la convergencia dominada. utNotas. Notese que para p = 2 entonces q = 2 y el dual de L2(X) es isomorfoa L2(X). El espacio L2(X) es un ejemplo particularmente importante de es-pacios de Hilbert. A ellos dedicaremos la segunda parte de esta asignatura.

Usando las mismas ideas que en la demostracion del teorema anterior seprueba que L1(X) ⊂ (L∞(X))′ y ademas el contenido es estricto. El dualde L∞(X) se puede identificar con el conjunto de las medidas finitamenteaditivas (vease por ejemplo [Ce, Ejercicio 5.2.8]).

Ejercicios 57

Ejercicios

(2.1) Sean (X,A, µ) un espacio de medida y 1 < p < ∞. Si f ∈ Lp(X)pruebese que existe una unica g ∈ Lq tal que

‖f‖p =∫

X

fgdµ,

donde 1p + 1

q = 1.

(2.2) Sean (X,A, µ) un espacio de medida, 1 ≤ p ≤ ∞ y q su exponenteconjugado. Sea g una funcion medible tal que

fg ∈ L1(X), f ∈ Lp(X).

Pruebese que g ∈ Lq(X).

(2.3) Sean (X,A, µ) un espacio de medida finita y 0 6= f ∈ L∞(X). Pruebeseque:

(i) limp→∞ ‖f‖p = ‖f‖∞;

(ii)

∫X|f |n+1dµ∫

X|f |ndµ

≤ ‖f‖∞ para todo n ∈ N;

(iii)limn→∞

∫X|f |n+1dµ∫

X|f |ndµ

= ‖f‖∞.

(2.4) Sea µ(X) = 1. Pruebese que si f es una funcion medible tal que ‖f‖∞ =‖f‖1 < ∞, entonces |f | es constante µ-a.e. .

(2.5) Sean r, p, q ∈ [1,∞) tales que 1r = 1

p + 1q . Pruebese que si f ∈ Lp(X) y

g ∈ Lq(X) entonces fg ∈ Lr(X) y

‖fg‖r ≤ ‖f‖p‖g‖q.

(2.6) Sean 1 ≤ r < s ≤ ∞, p ∈ [r, s] y (X,A, µ) un espacio de medida.

(i) Pruebese que Lr(X) ∩ Ls(X) ⊂ Lp(X) y si f ∈ Lr(X) ∩ Ls(X) entonces

‖f‖p ≤ ‖f‖αr ‖f‖1−α

s ,

donde 1p = α 1

r + (1− α)1s . Deduzcase que ‖f‖p ≤ max‖f‖r, ‖f‖s.

(ii) Demuestrese que Lp(X) ⊂ Lr(X) + Ls(X).(iii) Encuentrese algun ejemplo que demuestre que los contenidos

Lr(X) ∩ Ls(X) ⊂ Lp(X) ⊂ Lr(X) + Ls(X)

pueden ser estrictos.

58 Los espacios Lp

(2.7) Sea µ(X) = 1. Demuestrese que para todo par de funciones f y gmedibles y positivas sobre X y tales que fg ≥ 1 se tiene que

(∫

X

fdµ

)(∫

X

gdµ

)≥ 1.

(2.8) Sean (X,A, µ) un espacio de medida, 1 < p < ∞ y q su exponenteconjugado. Pruebese que (Lp(X))′ ' Lq(X).

(2.9) Sea ((0,+∞),B((0, +∞)),m) donde m es la medida de Lebesgue en(0, +∞) y 1 < r < s < +∞. Averiguese para que valores de p ∈ [1, +∞] lafuncion

1x

1r

χ((0,1)) +1

x1s

χ([1,+∞))

esta en Lp((0, +∞)).

(2.10) Pruebese que la funcion Gamma de Euler, Γ : (0, +∞) → (0, +∞),

Γ (t) =∫ ∞

0

e−xxt−1dx, t > 0,

es logarıtmicamente convexa, es decir, log Γ (t) es convexa:

log Γ ((1− α)t + αs) ≤ (1− α) log Γ (t) + α log Γ (s), α ∈ [0, 1], s, t > 0.

Notas historicas 59


Existen varios precedentes de la medida de Lebesgue de un subconjunto de larecta real. Uno de los mas cercanos es el llamado contenido de un conjunto,introducido por C. Jordan en su libro “Cours d’analyse” en la decada 1880-1890. Los contenidos exterior e interior de un conjunto acotado A ⊂ R son,respectivamente,

ce(A) = infN∑

k=1

l(Ik) ; A ⊂N⋃

k=1

Ik, Ik intervalos disjuntos

y

ci(A) = supN∑

k=1

l(Ik) ; A ⊃N⋃

k=1

Ik, Ik intervalos disjuntos .

Se dice que A es un conjunto medible Jordan si se cumple ce(A) = ci(A), yeste valor comum es el contenido c(A).

A partir de 1900 Henri Lebesgue elaboro su teorıa de la medida en sutesis que publico en el artıculo “Integrale, longueuer, aire” de 1902. En elladefine una funcion de conjuntos |A| ≥ 0 sobre conjuntos acotados de la recta,numerablemente aditiva e invariante por traslaciones. Siguio el concepto delcontenido de Jordan pero admitiendo uniones numerables de intervalos en lasdefiniciones de su medida exterior y de su medida interior.

El propio H. Lebesgue (1910), J Radon (1913), M. Frechet (1913) y C.Caratheodory (1914) fueron extendiendo las ideas iniciales hasta construir lateorıa general de la medida conocida actualmente.

En 1910 F. Riesz introduce y estudia las propiedades de los espacios Lp,entre ellas la desigualdad de Holder, la completitud y la dualidad. Las de-sigualdades de Holder y de Schwarz (Holder para p = 2) tienen una larga einteresante historia. La desigualdad de Schwarz para R3 puede ser atribuidaa Lagrange, para sumas arbitrarias a Cauchy (1821),

(n∑

k=1

akbk

)2

≤(

n∑

k=1

a2k

)(n∑

k=1

b2k

),

y para integrales a V. Buniakowsky (1859) y H.A. Schwarz (1885).E. Holder, trabajando con desigualdades de convexidad, probo en 1888 la

desigualdadn∑

k=1

akbk ≤(

n∑

k=1

|ak|p) 1

p(

n∑

k=1

|bk|q) 1

q

,

para numeros reales, aunque de hecho, ya habıa sido encontrada por L.J. Ro-jers en el ano anterior. En 1896, tambien para sumas finitas, H. Minkowskiprobo su desigualdad con normas distintas de la euclıdea en sus famosos tra-bajos sobre la Geometrıa de los Numeros.

60 Los espacios Lp

De los espacios Lp han dicho:

Las clases Lk ocupan la posicion central de mucho trabajo moderno, enteorıa de funciones reales o complejas, en la teorıa de las series de Fourier, oen la teorıa general de desarrollos ortogonales. Este trabajo exige un conside-rable dominio de la tecnica de desigualdades; en todo momento se requieren lasdesigualdades de Holder y de Minkowski, y otras desigualdades mas modernasy sofisticadas del mismo caracter general.

G.H. Hardy, J.E. Littlewood y G. Polya

3

Principales resultados en Analisis Funcional

Este capıtulo esta articulado en torno a los tres principales resultados sobreaplicaciones lineales entre espacios de Banach, que son el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Steinhauss (o de la acotacion uniforme) y elteorema de la aplicacion abierta. Aunque estos resultados admiten formula-ciones en espacios mas generales (vease por ejemplo [R]), hemos preferidopor coherencia y con vistas a las aplicaciones y ejemplos que presentamos,limitarnos al caso de espacios normados y de Banach.

Despues de cada una de las tres secciones centrales, nos dedicamos a lasaplicaciones. Desarrollamos ejemplos variados del Analisis Matematico y de laMatematica Aplicada donde se emplean de forma fundamental los resultadosde la seccion precedente.

El teorema de Banach-Steinhauss parte de conceptos topologicos. Estosseran recordamos brevemente y daremos referencias donde se explican de for-ma mas detallada.

Los textos [CM], [La] y [MV] en teorıa y en problemas [TM] se han usadopara la exposicion siguiente.

3.1 El lema de Zorn

El lema de Zorn es una de las herramientas importantes en Analisis Funcionaly en Matematicas en general. En este texto es utilizado en la demostracion delTeorema de Hahn-Banach (Teorema 3.2) y en el teorema sobre la existenciade bases ortonormales en un espacio de Hilbert (Teorema 4.27). Comenzamosrecordando algunas ideas sobre conjuntos ordenados.

Sea A un conjunto cualquiera. Se dice que A esta ordenado si existe unarelacion binaria “≤” que verifica las tres condiciones siguientes:

(i) Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ A.(ii)Antisimetrica: Sean x, y ∈ A tales que x ≤ y e y ≤ x. Entonces x = y.(iii) Transitiva: Sean x, y, z ∈ A tales que x ≤ y e y ≤ z. Entonces x ≤ z.

62 Principales resultados en Analisis Funcional

Si ademas se verifica que dados x, y ∈ A entonces x ≤ y o y ≤ x, el par (A,≤)se dice totalmente ordenado.

Sea (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊂ A. Se dice que c ∈ A es una cotasuperior de B si b ≤ c para todo b ∈ B. Un elemento m ∈ A se dice maximalde A si m ≤ a con a ∈ A entonces m = a.

Lema 3.1 (Lema de Zorn) Sea (A,≤) un conjunto (no vacıo) y ordenado. Sicualquier subconjunto de A totalmente ordenado tiene una cota superior enA, entonces hay al menos un elemento maximal.

El lema de Zorn es equivalente a otros resultados fundamentales en lateorıa de conjuntos: al axioma de eleccion de Zermello, al principio de buenaordenacion de Cantor o al principio de maximalidad de Hausdorff (vease porejemplo [P, Theorem 1.1.6]).

3.2 Los teoremas de Hahn-Banach

Dado un espacio normado X, un subespacio normado Y y una aplicacionlineal y continua f : Y 7→ K, es logico preguntarse si existe la posibilidad deprolongar f de forma continua a todo el espacio vectorial X, es decir, existef : X → K continua y lineal tal que

f(y) = f(y), y ∈ Y.

El primer teorema de Hahn-Banach resuelve positivamente esta cuestion.Damos una version general (denominada version analıtica) que incluye a losespacios normados y que aparece en [R, Theorem 3.2]. Reformulaciones yconsecuencias geometricas de este primer resultado tambien se denominan amenudo teoremas de Hahn-Banach, version geometrica. Los presentamos alfinal de la seccion, vease el Teorema 3.9.

Teorema 3.2 (Teorema de Hahn-Banach, version analıtica) Sea X un espa-cio vectorial real, y sean M , p y f tales que

(i) M es un subespacio de X,(ii) p : X → R cumple

p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(tx) = tp(x),

para x, y ∈ X, t ≥ 0,(iii)f : M → R lineal y f(x) ≤ p(x) para todo x ∈ M .

Entonces existe Λ : X → R tal que

Λ(x) = f(x), x ∈ M,

y cumple que −p(−x) ≤ Λ(x) ≤ p(x), para x ∈ X.

Los teoremas de Hahn-Banach 63

Demostracion. Si M 6= X existe x1 ∈ X\M, y definimos el subespacio vecto-rial

M1 : x + tx1 ; x ∈ M, t ∈ R.Notese que

f(x) + f(y) = f(x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x− x1) + p(x1 + y),

y por tanto

f(x)− p(x− x1) ≤ p(y + x1)− f(y), x, y ∈ M.

Sea α := supf(x)− p(x− x1) ; x ∈ M. Entonces

f(x)− α ≤ p(x− x1), x ∈ M ; f(y) + α ≤ p(y + x1), y ∈ M.

Definimos f1 : M1 → R mediante

f1(x + tx1) := f(x) + tα, x ∈ M, t ∈ R.

Es claro que f1 = f en M y f1 es lineal en M1. Falta probar que f1 ≤ p enM1. Para ello, si t > 0 entonces

f(t−1x)−α ≤ p(t−1x−x1), x ∈ M ; f(t−1y)+α ≤ p(t−1y+x1), y ∈ M,

y por tanto

f(x)− tα ≤ p(x− tx1), x ∈ M ; f(y) + tα ≤ p(y + tx1), y ∈ M,

obteniendo que f1 ≤ p en M1. Para terminar la demostracion usaremos el lemade Zorn. Sea P la coleccion de pares (M ′, f ′) donde M ′ es un subespacio de Xque contiene a M y f ′ es un funcional en M ′ que extiende a f y que cumpleque f ′ ≤ p en M ′. Notar que (P,≤) es una familia parcialmente ordenada,donde el orden ≤ significa que si (M ′, f ′) ≤ (M ′′, f ′′) entonces M ′⊂M ′′ yf ′′ = f ′ en M ′.

Sea Φ una familia de elementos de P, Φ ⊂ P, totalmente ordenada. Con-sideremos M la union de todos los subespacios que son parte de los elementosde Φ. Si x ∈ M entonces x ∈ M ′ donde (M ′, f ′) ∈ Φ. Definimos f(x) := f ′(x).Es evidente que el par (M, f) es una cota de Φ y (M, f) ∈ P. Por el lema deZorn, el conjunto P tiene un elemento maximal, que denotamos por (M, Λ) yΛ ≤ p en M . Si M 6= X por la primera parte del resultado podrıamos construirun subespacio que contuviera propiamente a M , obteniendo contradiccion conel hecho que M es un elemento maximal.

Por ultimo si Λ ≤ p entonces

−p(−x) ≤ −Λ(−x) = Λ(x)

para x ∈ X. utEn el caso en que X es un espacio vectorial sobre C, se prueba la siguiente

version del teorema de Hahn-Banach.


Teorema 3.3 Sean M un subespacio vectorial de un espacio vectorial X, puna seminorma en X y f un funcional lineal en M tal que

|f(x)| ≤ p(x), x ∈ M.

Entonces f se extiende a un funcional lineal Λ en X que cumple

|Λ(x)| ≤ p(x), x ∈ X.

Demostracion. Si K = R, este resultado esta contenido en el teorema anteriorya que al ser p seminorma se cumple p(−x) = p(x) con x ∈ M .

Si K = C y consideramos el funcional u = <f , por el Teorema 3.2 existeun funcional real U : X → R tal que U = u en M y U ≤ p en X. Se define elfuncional complejo asociado Λ : X → C mediante

Λ(x) = U(x)− iU(ix).

Debido a que f y Λ son funcionales complejos y coinciden en su parte real enM , concluimos que Λ = f en M .

Sea x ∈ X y α ∈ C con |α| = 1 tal que αΛ(x) = |Λ(x)|. Entonces

|Λ(x)| = Λ(αx) = U(αx) ≤ p(αx) = p(x),

terminando ası la demostracion. utLos resultados anteriores se aplican a espacios vectoriales normados, obte-

niendo interesantes consecuencias.

Corolario 3.4 Sea X es un espacio normado, x0 ∈ X, e Y un subespacionormado de X. Se cumple que:

(i) Existe f ∈ X ′ tal que f(x0) = ‖x0‖ y

|f(x)| ≤ ‖x‖, x ∈ X.

(ii)Si g ∈ Y ′ entonces existe f ∈ X ′ que extiende a g y que cumple

‖f‖X′ = ‖g‖Y ′ .

(iii) Existe f ∈ X ′ tal que ‖f‖ = ‖x0‖ y tal que f(x0) = ‖x0‖2.(iv)‖x0‖ = sup|f(x0)| ; f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1 = max|f(x0)| ; f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1.Demostracion. Para (i) si x0 = 0, basta tomar f = 0. Si x0 6= 0, por elTeorema 3.3 con p(x) = ‖x‖, M = K(x0) y g(αx0) = α‖x0‖ en M y seobtiene el resultado enunciado.

Basta aplicar el Teorema 3.3 con p(x) = ‖g‖Y ‖x‖ para obtener (ii).Aplicamos el apartado (ii) con Y = K(x0) y g(αx0) = α‖x0‖2, y se cumple

‖g‖Y = ‖x0‖ lo que demuestra (iii).Para (iv) observamos que claramente se cumple que


sup|f(x0)| ; f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1 ≤ ‖x0‖.Ası por el apartado (iii) si existe f0 tal que ‖f0‖ = ‖x0‖ y f0(x0) = ‖x0‖2.Ahora consideramos f1 := ‖x0‖−1f0, que cumple ‖f1‖ = 1 y f1(x0) = ‖x0‖.ut

Teorema 3.5 Sean X, Y espacios normados.

(i) El espacio L(X, Y ) es trivial si y solo si uno de los dos espacios X, Y loes.

(ii)Sea X 6= 0. Si el espacio L(X, Y ) es de Banach entonces Y es de Ba-nach.

Demostracion. Probemos el apartado (i). Es claro que si X o Y son trivialesentonces L(X, Y ) es trivial. Recıprocamente, sean f ∈ X ′ e y ∈ Y . La apli-cacion f ⊗ y : X → Y definida mediante

(f ⊗ y)(x) = f(x)y, x ∈ X,

es lineal y cumple que

‖(f ⊗ y)(x)‖ = ‖f(x)y‖ = |f(x)| ‖y‖ ≤ ‖f‖ ‖x‖| ‖y‖,para todo x ∈ X. Por tanto f ⊗ y ∈ L(X,Y ) y ‖f ⊗ y‖ ≤ ‖y‖ ‖f‖. De hecho

‖f ⊗ y‖ = sup‖f(x)y‖ ; ‖x‖ ≤ 1 = ‖y‖ sup|f(x)| ; ‖x‖ ≤ 1 = ‖y‖ ‖f‖.Si L(X, Y ) = 0 entonces f ⊗ y = 0 y por tanto f o y es nulo. En el casoque Y 6= 0 entonces X ′ = 0 y por el Corolario 3.4, se concluye X = 0.

Sea ahora X 6= 0 y el espacio L(X, Y ) completo. Tomemos (yn) ⊂ Yuna sucesion de Cauchy y f ∈ X ′ con ‖f‖ = 1. Puesto que f(X) = K, existeun vector x ∈ X tal que f(x) = 1. Para cualesquiera m,n ∈ N, se verifica que

‖f ⊗ yn − f ⊗ ym‖ = ‖f ⊗ (yn − ym)‖ = ‖f‖ ‖yn − ym‖ = ‖yn − ym‖.De donde se deduce que la sucesion (f ⊗ yn) es de Cauchy en L(X, Y ). Portanto existe T ∈ L(X,Y ) tal que la sucesion (f ⊗ yn) converge a T . Noteseque

yn = f(x)yn = (f ⊗ yn)(x) 7→ T (x),

y por tanto Y es completo. La parte (ii) esta probada. ut

En lo que nos queda de seccion presentaremos las versiones geometricasdel teorema de Hahn-Banach. Para ello, necesitamos recordar o introduciralgunos conceptos geometricos.

Sea X un espacio vectorial y A ⊂ X. El subconjunto A se dice convexo si

tx + (1− t)y ∈ A,

para todo x, y ∈ A.


Definicion 3.6 Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado y A ⊂ X un conjuntoconvexo y abierto tal que 0 ∈ A. Se define el funcional de Minkowski pA :X → [0,∞) mediante

pA(x) := infα > 0 ; α−1x ∈ A.

Notese que pA(x) < ∞ para todo x ∈ X.Aunque el funcional de Minkowsky es posible definirlo en espacios mas

generales que los espacios normados (en espacios vectoriales topologicos, [R,p.25]) para nuestros objetivos basta con trabajar en espacios normados.

Proposicion 3.7 Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado, A ⊂ X un conjuntoconvexo y abierto tal que 0 ∈ A y pA : X → [0,∞) el funcional de Minkowski.Entonces se cumple que

(i) pA(x + y) ≤ pA(x) + pA(y) para todo x, y ∈ X;(ii) pA(tx) = tpA(x) para x ∈ X y t ≥ 0;(iii) existe M > 0 tal que p(x) ≤ M‖x‖ para todo x ∈ X;(iv) A = x ∈ X ; pA(x) < 1.Demostracion. Sean ε > 0 y t = pA(x)+ε y s = pA(y)+ε. Entonces x/t, y/s ∈A y por tanto su combinacion convexa

x + y

s + t=

t

s + t

x

t+

s

s + t

y

s∈ A.

Por tanto se tiene que pA(x + y) ≤ s + t = pA(x) + pA(y) + 2ε y el apartado(i) esta probado.

(ii) es directo. Para el apartado (iii) consideramos r > 0 tal que BX(0, r) ⊂A. Es claro que

p(x) ≤ 1r‖x‖, x ∈ X.

Por ultimo si x ∈ A, al ser A abierto, existe ε > 0 tal que (1 + ε)x ∈ A.Ası,

pA(x) ≤ 11 + ε

< 1.

Recıprocamente, si pA(x) < 1 existe 0 < α < 1 tal que α−1x ∈ A. Al ser Aconvexo, se tiene que

x = α(α−1x) + (1− α)0 ∈ A.

Con ello concluye la prueba. utEn los proximos resultados consideraremos espacios vectoriales reales,

K = R. Aunque los resultados pueden ser planteados para espacios vecto-riales complejos (vease por ejemplo [R, Theorem 3.4]), por sencillez en elplanteamiento asumimos esta restriccion. Bastara utilizar la descomposicionΛ : X → C,


Λ(x) = (<Λ)(x)− i(<Λ)(ix),

para obtener resultados analogos para funcionales lineales y continuos en es-pacios vectoriales complejos.

Recordemos que un hiperplano en un espacio normado real X es un con-junto de la forma

Hf,α := x ∈ X ; f(x) = α,donde α ∈ R y f es un funcional lineal no necesariamente continuo. Se pruebaque Hf,α es cerrado si y solo si f es continuo.

Sean A,B ⊂ X. Se dice que el hiperplano Hf,α separa A y B en sentidoamplio si

f(x) ≤ α, x ∈ A, y f(x) ≥ α, x ∈ B.

Se dice que Hf,α separa A y B en sentido estricto si existe ε > 0 tal que

f(x) ≤ α− ε, x ∈ A, y f(x) ≥ α + ε, x ∈ B.

Lema 3.8 Sea A ⊂ X un subconjunto convexo abierto no vacıo de un espacionormado real X con x0 ∈ X y x0 6∈ A. Entonces existe f ∈ X ′ tal quef(x) < f(x0) para todo x ∈ A. En particular el hiperplano Hf,f(x0) separa x0

de A en sentido amplio.

Demostracion. Por traslacion se puede suponer que 0 ∈ A, y consideramos elfuncional de Minkowski de A, pA. Sean ahora el subespacio Y = R(x0) y laaplicacion lineal g : Y → R definida mediante

g(tx0) = t, t ∈ R.

Es claro que g(x) ≤ pA(x) para x ∈ Y . Por el Teorema 3.2 existe f : X → Rque extiende a g, tal que

f(x) ≤ pA(x), x ∈ X.

Directamente se tiene que f(x0) = 1, f es funcional continuo ya que por laProposicion 3.7 (iii)

|f(x)| ≤ pA(x) ≤ M‖x‖, x ∈ X,

y por la Proposicion 3.7 (iv) f(x) < 1 para x ∈ A. ut

Teorema 3.9 (Teorema de Hahn-Banach, version geometrica) Sean X unespacio vectorial real, A,B ⊂ X dos conjuntos convexos, no vacıos y disjuntos.

(i) Si A es abierto entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y Ben sentido amplio.

(ii)Si A es cerrado y B es compacto entonces existe un hiperplano cerradoque separa A y B en sentido estricto.


Demostracion. Para el apartado (i) sea el conjunto C = A − B. Es facilcomprobar que C es convexo, abierto ya que

C =⋃

y∈B

(A− y),

y ademas 0 6∈ C. Por el Lema 3.8, existe f ∈ X ′ tal que

f(z) < 0, z ∈ C,

es decir, f(x) < f(y), para todo x ∈ A e y ∈ B. Basta tomar α ∈ R tal que

supx∈A

f(x) ≤ α ≤ infy∈B

f(y)

y el hiperplano Hf,α separara A y B en sentido amplio.Para (ii) tomamos ε > 0 y ponemos Aε = A+B(0, ε) y Bε = B+B(0, ε) de

forma que los conjuntos Aε y Bε son convexos, abiertos y no vacıos. Ademasexiste ε suficientemente pequeno tal que Aε ∩ Bε = ∅. En caso contrarioexistirıan una sucesion εn → 0, xn ∈ A, yn ∈ B tales que ‖xn − yn‖ <2εn pero la distancia entre un cerrado y un compacto es positiva, llegandoa contradiccion. Por el apartado (i) existe un hiperplano cerrado Hf,α quesepara Aε y Bε en sentido amplio:

f(x + εz) ≤ α ≤ f(y + εz), x ∈ A, y ∈ B, z ∈ B(0, 1),

de donde se obtiene que

f(x) + ε‖f‖ ≤ α ≤ f(y)− ε‖f‖, x ∈ A, y ∈ B.

Al ser ‖f‖ 6= 0 se concluye que A y B se separan en sentido estricto por elhiperplano Hf,α. ut

Se pueden dar ejemplos de conjuntos convexos, no vacıos y disjuntos queno se pueden separar por ningun hiperplano. Para terminar, enunciamos uncorolario (a menudo llamado tambien Teorema de Hahn-Banach) muy utilcuando se trata de probar que un subespacio vectorial es denso. En este ultimoresultado consideramos espacios vectoriales reales o complejos.

Corolario 3.10 Sea X un espacio normado e Y ⊂ X un subespacio vectorialtal que Y 6= X. Entonces existe f ∈ X ′ tal que f 6= 0 y

f(x) = 0, x ∈ Y.

Demostracion. Supongamos que K = R, x0 ∈ X pero x0 6∈ Y . Por el Teorema3.9 (ii), con B = x0 y A = Y , existe un hiperplano Hf,α separa en sentidoestricto A y B, en particular

f(x) < α < f(x0), x ∈ Y .

Por tanto f(x) = 0 para todo x ∈ Y ya que se cumple λf(x) < α para todoλ ∈ R. Si K = C, basta definir Λ(x) = f(x)− if(ix), donde f es un funcionalreal con la propiedad dada. ut

Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach 69

3.3 Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach

A continuacion presentamos dos aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach.Hay que senalar que el teorema de Hahn-Banach es uno de los mas empleadosen Analisis Funcional.

3.3.1 El espacio dual de C([0, 1])

Nos proponemos caracterizar al espacio dual de C([0, 1]). Para ello recordemosque una funcion g : [0, 1] → C es de variacion acotada si

V (g) := supn∑

k=1

|g(tk)− g(tk−1)| < ∞,

donde el supremo se toma sobre las particiones 0 = t0 < t1 < t2 < . . . tn = 1y cualquier n ∈ N. Ademas se cumple que

∣∣∣∣∫ 1

0

f(t)dg(t)∣∣∣∣ ≤ ‖f‖∞V (g), f ∈ L∞([0, 1]),

donde la integral es la integral de Riemann-Stieltjes.

Teorema 3.11 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) x′ ∈ (C([0, 1]))′;(ii) existe g : [0, 1] → C de variacion acotada tal que

x′(f) =∫ 1

0

f(t)dg(t), f ∈ C[0, 1],

donde la integral es la integral de Riemann-Stieltjes.

Ademas ‖x′‖ = V (g).

Demostracion. La implicacion (ii) ⇒ (i) es de comprobacion directa. Para elrecıproco sea x′ ∈ (C([0, 1]))′. Notese que C([0, 1]) es un subespacio normadodel espacio vectorial (L∞([0, 1]), ‖ · ‖∞) y por el Corolario 3.4 (ii) existe z′ ∈L∞([0, 1]) tal que z′(f) = x′(f) para todo f ∈ C([0, 1]) y ademas ‖x′‖ = ‖z′‖.

Para cada s ∈ (0, 1], consideramos la funcion caracterıstica χs ≡ χ[0,s] ∈L∞([0, 1]) con χ0 = 0 y definimos la funcion g : [0, 1] → C,

g(s) = z′(χs), 0 ≤ s ≤ 1.

Probemos que la funcion g es de variacion acotada. Sea 0 = t0 < t1 < . . . <tn = 1 una particion de [0, 1]. Para cada k = 1, 2, . . . , n definimos los numeros

ak =

exp (−i (arg (g(tk)− g(tk−1)))) , si g(tk) 6= g(tk−1),0, si g(tk) = g(tk−1);


y la funcion

h(t) = a1χ[t0,t1](t) +n∑

k=2

akχ(tk−1,tk](t).

La funcion h ∈ L∞([0, 1]), ‖h‖∞ ≤ 1 y se puede escribir

h =n∑

k=1

ak

(χtk

− χtk−1

).

Por tanto

z′(h) =n∑

k=1

ak

(z′(χtk

)− z′(χtk−1))

=n∑

k=1

ak (g(tk)− g(tk−1))

=n∑

k=1

| (g(tk)− g(tk−1)) |.

De esta igualdad se obtiene la desigualdad

n∑

k=1

| (g(tk)− g(tk−1)) | ≤ ‖z′‖ ‖h‖∞ ≤ ‖x′‖.

Por tanto g es de variacion acotada y V (g) ≤ ‖x‖.Sea f ∈ C([0, 1]) y sea 0 = t0 < t1 < . . . tn = 1 una particion de [0, 1]. La

funcion

h1 =n∑

k=1

f(tk−1)(χtk

− χtk−1

)

cumple que h1 ∈ L∞([0, 1]) y ademas

z′(h1) =n∑

k=1

f(tk−1) (g(tk)− g(tk−1)) .

Dado ε > 0 existe una particion 0 = t0 < t1 < . . . tn = 1 tal que

sup|tk − tk−1| | k = 1, . . . , n

es suficientemente pequeno para que ‖h1 − f‖∞ <ε

2‖z′‖ y por lo tanto

|n∑

k=1

f(tk−1) (g(tk)− g(tk−1))−∫ 1

0

f(t)dg(t)| < ε

2.

Notese que la integral de Riemann-Stieltjes existe ya que f ∈ C([0, 1]) y g esde variacion acotada. Concluimos que

z′(f) =∫ 1

0

f(t)dg(t).

Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach 71

Como z′(f) = x′(f), la parte (ii) esta probada. La igualdad V (g) = ‖x′‖ esconsecuencia de la estimacion de la integral de Riemann-Stieltjes

|∫ 1

0

f(t)dg(t)| ≤ V (g)‖f‖∞, f ∈ C([0, 1]).

Con ello se termina la demostracion utNotese que si dos funciones g1 y g2 cumplen que dg1 = dg2 entonces

determinan el mismo elemento x′ del espacio dual. Es posible introducir unarelacion de equivalencia en el conjunto de las funciones de variacion acotada yprobar una isometrıa entre (C([0, 1]))′ y el conjunto de funciones de variacionacotada normalizadas [T, p.195-201].

Aunque no lo demostraremos, es interesante para el estudiante enunciaraquı el teorema de representacion de Riesz. Sean C0(X) el conjunto de las fun-ciones continuas tales que limx→∞ f(x) = 0, donde X es un espacio topologicode Hausdorff localmente compacto y M(X) el conjunto de todas las medidascomplejas, acotadas y regulares de Borel en X [MV, Theorem 13.10], [R2,Theorem 6.19].

Teorema 3.12 (Teorema de representacion de Riesz) Sea X un espaciotopologico de Hausdorff localmente compacto. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) x′ ∈ (C0(X))′,(ii) existe una unica medida de Borel, regular, compleja y acotada, µ ∈ M(X),

tal que

x′(f) =∫

X

f(t)dµ(t) (f ∈ C0(X)).

Ademas ‖x′‖ = |µ|(X), donde |µ|(X) es la variacion total de µ en X.

3.3.2 El problema de los momentos

Una version general del llamado problema de los momentos plantea que, dadauna sucesion c0, c1, c2, . . . ∈ K, se encuentre una funcion g de variacion acotadaen [0, 1] tal que ∫ 1

0

tndg(t) = cn, n = 0, 1, 2, . . .

Este problema aparece en diversos planteamientos tanto matematicos comofısicos, en particular esta muy relacionado con la teorıa de polinomios orto-gonales (vease el ejercicio 4.9).

Despues del teorema 3.11 el problema de los momentos se puede plantearen otros terminos: encontrar x′ ∈ (C[0, 1])′ tal que x′(tn) = cn para n =0, 1, 2, . . . En general, si X es un espacio vectorial topologico, (xα)α∈Ω ⊂ X y(cα)α∈Ω ⊂ K, ¿ existe x′ ∈ X ′ tal que x′(xα) = cα para todo α ∈ Ω ?.


El problema general de momentos no tiene solucion, pero el teorema deHahn-Banach permite dar la siguiente caracterizacion.

Teorema 3.13 Sean (X, ‖ ‖) un espacio normado sobre K, (cα)α∈Ω ⊂ K,y (xα)α∈Ω ⊂ X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) existe x′ ∈ X ′ tal que x′(xα) = cα para todo α ∈ Ω;(ii) existe una constante M > 0 tal que

|∑α

aαcα| ≤ M‖∑α

aαxα‖,

donde la suma se realiza sobre los subconjuntos finitos no vacıos de Ω.

Demostracion. Si x′ ∈ X ′ es tal que x′(xα) = cα para α ∈ Ω, entonces paratoda combinacion (aα)α∈Ω ⊂ K con un numero finito de elementos no nulos

∣∣∣∣∣∑α

aαcα

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∑α

aαx′(xα)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣x′(∑

α

aαxα

)∣∣∣∣∣ ≤ ‖x′‖ ‖∑α

aαxα‖,

obteniendo el apartado (ii).Supongamos que (ii) se cumple; sea Y definido mediante

Y := spanxα ; α ∈ Ω ⊂ X.

Para cada elemento∑

α aαxα ∈ Y definimos

y′(∑α

aαxα) :=∑α

aαcα.

Probemos que y′ esta bien definido. Sea∑

α aαxα =∑

β bβxβ ∈ Y . Introduci-mos un mismo subconjunto de ındices para las dos expresiones anteriores. Asıconsideramos los escalares (a′γ), (b′γ) ⊂ K con γ ∈ Ω mediante

a′γ = aγ , si aγ 6= 0; a′γ = 0, si aγ = 0,b′γ = bγ , si bγ 6= 0; b′γ = 0, si bγ = 0.

Excepto un numero finito de (a′γ) y (b′γ) son todos nulos y por (ii), tenemosque

|∑α

aαcα −∑

β

bβcβ | = |∑

γ

(a′γ − b′γ)cγ |

≤ M‖∑

γ

(a′γ − b′γ)xγ‖ = M‖∑α

aαxα −∑

β

bβxβx‖ = 0,

por lo que y′(∑

α aαxα) = y′(∑

β bβxβ). A partir de la definicion de y′ es claroque es lineal; por el apartado (ii) es continuo e y′ ∈ Y ′ con ‖y′‖ ≤ M . Porel Corolario 3.4 (ii) existe x′ ∈ X ′ tal que ‖x′‖ = ‖y′‖ ≤ M y que ademasy′(y) = x′(y) para y ∈ Y . En particular x′(xα) = cα para todo α ∈ Ω y seobtiene (i). ut

Teorema de Banach-Steinhaus 73

3.4 Teorema de Banach-Steinhaus

Es claro que, si (Tn)n ⊂ L(X, Y ) es una sucesion de operadores entre losespacios de Banach y T ∈ L(X,Y ) tal que Tn → T en L(X, Y ), entoncesTn(x) → T (x) para todo x ∈ X. El resultado recıproco no es cierto en gen-eral, veremos un ejemplo en esta seccion. Sin embargo el teorema de Banach-Steinhaus da cierta informacion al respecto (vease el Corolario 3.17).

La demostracion del teorema de Banach-Steinhaus se apoya en el cono-cido Teorema de Baire que damos a continuacion. Existen detras de este re-sultado varios conceptos topologicos (conjuntos no densos en ninguna parte,de primera categorıa o segunda categorıa) relacionados directamente con el.Evitamos darlos explıcitamente, aunque citaremos las referencias [R], [BN]para un lectura mas detallada.

Teorema 3.14 (Teorema de Baire) Sean X un espacio metrico completo y(Xn)n≥1 una sucesion de cerrados en X. Supongamos que

Int(Xn) = ∅

para todo n ≥ 1. Entonces

Int

(⋃n

Xn

)= ∅.

Demostracion. Sean On = Xcn, de forma que On es un abierto y denso. Basta

probar queG =

⋂n=1

On

es denso en X. Dado Ω ⊂ X un abierto no vacıo de X, comprobemos queΩ ∩G 6= ∅.

Sean B(x, r) = y ∈ X ; d(x, y) < r, D(x, r) = B(x, r), x0 ∈ Ω y r0 > 0tales que

D(x0, r0) ⊂ Ω.

Tomamos x1 ∈ B(x0, r0) ∩O1 y r1 > 0 tales que

D(x1, r1) ⊂ B(x0, r0) ∩O1

con 0 < r1 < r02 , lo cual es posible ya que O1 es denso y abierto. Por induccion

construimos dos sucesiones (xn)n≥0 y (rn)n≥0 tales que

D(xn+1, rn+1) ⊂ B(xn, rn) ∩On+1,

con 0 < rn+1 < rn

2 . Es facil probar que la sucesion (xn)n≥0 es de Cauchyy, por ser X completo, es convergente. Sea l := limn xn. Notese ademas quexn+p ∈ B(xn, rn) para todo n, p ≥ 0. Por tanto


l ∈ D(xn, rn)

para todo n ≥ 0. En particular l ∈ Ω ∩G. utNotas. La completitud de X es una condicion necesaria. Algunas veces, elTeorema de Baire se suele enunciar de la siguiente forma (vease [MV, Propo-sition 3.2]).

Corolario 3.15 Sean X un espacio metrico completo no vacıo y (Xn)n≥1

una sucesion de cerrados tales que

X =⋃n=1

Xn.

Entonces existe un n0 tal que Int(Xn0) 6= ∅.Teorema 3.16 (Teorema de Banach-Steinhaus) Sean X e Y dos espacios deBanach y (Ti)i∈I una familia de operadores lineales y continuos, (Ti)i∈I ⊂L(X, Y ), tales que

supi∈I

‖Ti(x)‖ < ∞

para todo x ∈ X. Entonces

supi∈I

‖Ti‖ < ∞.

Demostracion. Para cada n ≥ 1, se definen los conjuntos

Xn = x ∈ X, ‖Ti(x)‖ ≤ n para todo i ∈ I.Los conjuntos (Xn)n≥1 son cerrados y por hipotesis

X =⋃

n≥1

Xn.

Por el teorema de Baire existe algun n0 ≥ 1 tal que IntXn0 6= ∅. Sea entoncesx0 ∈ X y r > 0 tal que

B(x0, r) ⊂ Xn0 .

Por tanto‖Ti(x0 + rz)‖ ≤ n0,

para todo i ∈ I y ‖z‖ < 1. Por tanto

r‖Ti‖ ≤ n0 + ‖Ti(x0)‖para todo i ∈ I. ut

Una demostracion alternativa de este resultado sin utilizar el Teoremade Baire puede encontrarse en [L], donde se aplica el teorema de la graficacerrada (vease la seccion 3.5). Un corolario inmediato del Teorema de Banach-Steinhaus es el siguiente.

Teorema de Banach-Steinhaus 75

Corolario 3.17 Sean X e Y espacios de Banach y (Tn) una sucesion deoperadores lineales y continuos, (Tn) ⊂ L(X, Y ), tales que Tn(x) convergepara cada x ∈ X a un lımite que escribimos por T (x). Entonces se tiene que:

(i) supn ‖Tn‖ < ∞;(ii)el operador T ası definido es lineal y continuo, T ∈ L(X, Y );(iii) ‖T‖ ≤ lim infn ‖Tn‖.Demostracion. (i) es consecuencia del Teorema 3.16 y por tanto existe C > 0tal que

‖Tn(x)‖ ≤ C‖x‖, x ∈ X

para todo n ∈ N. Tomando el lımite, se tiene que ‖T (x)‖ ≤ C‖x‖ para todox ∈ X. Al ser T lineal, se obtiene (ii). Por ultimo, al ser

‖Tn(x)‖ ≤ ‖Tn‖ ‖x‖ (x ∈ X)

se deduce la parte (iii). utNotas. La completitud del espacio X es una condicion necesaria (vease elejercicio 3.1). Notese que en el resultado anterior no se obtiene que T = lim Tn

en L(X, Y ), como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Para cada n ∈ N sea fn : c0 → K definido por

fn(x) = x(n), x ∈ c0.

Claramente fn es lineal, y para todo x ∈ c0 se tiene que

|fn(x)| = |x(n)| ≤ ‖x‖∞.

Luego fn ∈ c′0. Como fn(en) = 1 = ‖en‖∞, entonces ‖fn‖ = 1. Por tanto esclaro que fn 6→ 0 en c′0.

Sin embargo, es claro que fn(x) → 0 para todo x ∈ c0.

Para terminar esta seccion, probamos el siguiente corolario.

Corolario 3.18 Sean E un espacio de Banach y A ⊂ E. Son equivalentes:

(i) A es un conjunto acotado;(ii) para cada f ∈ E′ el conjunto f(a) ; a ∈ A esta acotado.

Demostracion. La implicacion (i) ⇒ (ii) es clara. Para probar que (ii) ⇒ (i)aplicamos el Teorema 3.16, con X = E′, Y = K e I = A. Si se definen losoperadores

Ta(f) = f(a), f ∈ E′,

por hipotesis se tiene que supa∈A |Ta(f)| < ∞ para cada f ∈ E′ y por tantose tiene que existe c > 0 tal que


|f(a)| ≤ c‖f‖, f ∈ E′, a ∈ A.

Por el Corolario 3.4 (iv) se cumple que ‖a‖ ≤ c para todo a ∈ A, y por tantoA es acotado. ut

Un resultado similar se cumple sobre subconjuntos de X ′ (vease el ejercicio3.2).

3.5 Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss

Las dos aplicaciones siguientes del Teorema de Banach-Steinhauss aparecenen [L]. No obstante, para la primera de ellas seguimos la presentacion de [CM].

3.5.1 Metodos de sumabilidad

Es bien conocido que si una sucesion x ≡ (xn)n converge entonces la sucesionde sus medias de Cesaro, (Cn(x))n, con

Cn(x) =1n

n∑

j=1

xj ,

converge al mismo lımite. Sin embargo el recıproco no es cierto en general, lasucesion de las medias de Cesaro puede converger sin que la sucesion converja.No obstante las medias de Cesaro son una herramienta util para obteneralgunos resultados relevantes.

Notese que la sucesion (Cn(x))n de las medias de Cesaro, de una sucesiondada x ≡ (xn)n se puede obtener como el resultado de la multiplicacion dematrices infinitas,

C1(x)C2(x)

...Cn(x)

...

=

1 0 0 . . . 0 . . .12

12 0 . . . 0 . . .

......

......

......

1n

1n

1n . . . 1

n . . ....

......

......

...

x1

x2

...xn

...

.

Es natural estudiar transformaciones en el espacio de sucesiones a traves dematrices infinitas.

Definicion 3.19 Sea M = (kn,m)n,m≥1 una matriz infinita con kn,m ∈ K.Una sucesion (xm)m ⊂ K se dice M -convergente a x ∈ K si la serie

∞∑m=1

kn,mxm

Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss 77

converge a un elemento yn ∈ K para todo n ≥ 1 y la sucesion (yn)n converge ax. La matriz M se dice que es un metodo de sumabilidad permanente cuandotransforma cada sucesion convergente (xm)m ⊂ K en una sucesion convergente(yn)n,

yn =∞∑

m=1

kn,mxm,

y que cumple que lim xm = lim yn.

Notese que la matriz de Cesaro es un metodo de sumabilidad permanente.A las matrices de sumabilidad permanente se les llama a menudo matrices deToeplitz [L, p.161].

Teorema 3.20 Una matriz infinita M = (kn,m)∞n,m=1 es un metodo de suma-bilidad permanente si, y solo si, se cumplen las siguientes condiciones:

(i) s = sup∑∞m=1 |kn,m| ; n = 1, 2, . . . < ∞;

(ii)limn kn,m = 0 para todo m ≥ 1;

(iii) limn

∞∑m=1

kn,m = 1.

Demostracion. Sea M un metodo de sumabilidad permanente. Sea el espaciode Banach (c, ‖ · ‖∞), definido en el Ejemplo 1.1.2, de las sucesiones conver-gentes. Para cada x ≡ (xn)n ∈ c consideramos las sumas

fnk (x) =

k∑m=1

kn,mxm, fn(x) =∞∑

m=1

kn,mxm,

con n, k ≥ 1. Notese que la serie converge por hipotesis. Claramente fnk , fn :

c → K son aplicaciones lineales y se comprueba facilmente que fnk ∈ c′ y

‖fnk ‖ =

k∑m=1

|kn,m|.

Para cada x ∈ c se tiene que fnk (x) → fn(x), y por el Corolario 3.17, se tiene

que fn ∈ c′ con

‖fn‖ =∞∑

m=1

|kn,m|.

Al ser M un metodo de sumabilidad permanente entonces (fn(x))n es con-vergente y aplicando de nuevo el Corolario 3.17 se obtiene que

sup‖fn‖ ; n ∈ N = sup∞∑

m=1

|kn,m| ; n ∈ N = s < ∞,

probando la parte (i). Para la parte (ii) aplicamos M a los elementos canonicosej ≡ ((ej)m) = (δj,m) para obtener que


0 = limn

∑m

kn,m(ej)m = limn

kn,j

para todo j ≥ 1. Para la parte (iii) consideramos la sucesion 1= (1)n, quecumple que

1 = limn

∑m

kn,m.

Recıprocamente, sea x = (xm)m ∈ c. Para cada n ≥ 1, se tiene que

∞∑m=1

|kn,mxm| ≤( ∞∑

m=1

|kn,m|)‖x‖∞ ≤ s‖x‖∞ < ∞.

Por tanto concluimos que∑∞

m=1 kn,mxm converge a un valor yn ∈ K paratodo n ≥ 1. Consideramos la sucesion y = (yn); debemos probar que y ∈ c yque limn yn = limm xm.

Sea λ = limm xm y ε > 0. Existe m0 ∈ N, tal que

supm≥m0

|xm − λ| < ε.

Por las condiciones (ii) y (iii) existe n0 ∈ N tal que

m0∑m=1

|kn,m| < ε y |∞∑

m=1

kn,m − 1| < ε,

si n ≥ n0. Entonces se tiene que

|yn − λ| = |∞∑

m=1

kn,mxm − λ| ≤ |∞∑

m=1

kn,m(xm − λ)|+ |λ| |∞∑

m=1

kn,m − 1|

≤ |m0∑

m=1

kn,m(xm − λ)|+ |∞∑

m=m0+1

kn,m(xm − λ)|+ |λ|ε ≤ (c1 + s + |λ|)ε,

donde c1 es una constante adecuada, n ≥ n0 y la prueba queda terminada.ut

3.5.2 Divergencia de la serie de Fourier

Nuestra intencion en esta seccion es probar que existe una funcion continuaf en [−π, π] cuya serie de Fourier diverge en el origen. Recordemos que loscoeficientes de Fourier de una funcion f ∈ L1([−π, π], dt

2π ) se definen mediante

f(k) =∫ π

−π

f(t)e−ikt dt

2π, k ∈ Z.

La sumas parciales de la serie de Fourier son las sumas

Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss 79

Sn(f)(t) =n∑

k=−n

f(k)eikt, t ∈ R, n ∈ N

mientras que serie de Fourier de f es formalmente la expresion

S(f)(t) ≡∞∑

k=−∞f(k)eikt.

Es interesante saber si para toda f ∈ C([π, π]) se cumple que Snf(t) → f(t)para cada t ∈ [−π, π], es decir, si

f(t) =∞∑

k=−∞f(k)eikt, t ∈ [−π, π].

El teorema 3.21 da un respuesta negativa a esta afirmacion.Los nucleos de Dirichlet (Dn)n∈N definidos mediante

Dn(t) =n∑

k=−n

eikt =sen((n + 1

2 )t)sen( t

2 ), t ∈ [−π, π], t 6= 0,

y Dn(0) = 2n+1 permiten expresar las sumas parciales de la serie de Fouriermediante una representacion integral,

Sn(f)(t) =12π

∫ π

−π

f(t)Dn(s− t)dt, f ∈ L1([−π, π],dt

2π),

n ∈ N.

Teorema 3.21 Existe f ∈ C([−π, π]) tal que la serie de Fourier de f divergeen t = 0.

Demostracion. Basta probar que las sumas parciales de la serie de Fourier noestan acotadas en el origen para concluir que la serie de Fourier no convergeen el origen. Ası pues, nuestro objetivo es probar que

supn|

n∑

k=−n

f(k)| = supn| 12π

∫ π

−π

f(t)Dn(−t)dt| = ∞

para alguna f ∈ C([−π, π]).Claramente Dn ∈ C([−π, π]) y Dn(t) = Dn(−t) para t ∈ [−π, π] y n ∈ N.

Definimos los funcionales lineales x′n ∈ (C([−π, π]))′ mediante

x′n(f) =12π

∫ π

−π

f(t)Dn(t)dt, f ∈ C([−π, π]),

que cumplen que


|x′n(f)| ≤ ‖f‖∞ 12π

∫ π

−π

|Dn(t)|dt.

Por tanto ‖x′n‖ ≤ 12π

∫ π

−π|Dn(t)|dt = ‖Dn‖1 para cada n ∈ N; es mas ‖x′n‖ =

‖Dn‖1 (Teorema 3.11).Si la serie de Fourier de cada f ∈ C([−π, π]) convergiera en t = 0, se

tendrıa quesup

n|x′n(f)| < ∞.

Por el Teorema de la acotacion uniforme, o de Banach-Steinhauss (Teorema3.16), se tendrıa que

supn‖Dn‖1 = sup

n|x′n| < ∞.

Sin embargo, se cumple que

‖Dn‖1 =12π

∫ π

−π

∣∣∣∣sen((n + 1

2 )t)sen( t

2 )

∣∣∣∣ dt =2π

∫ π2

0

∣∣∣∣sen((2n + 1)t)

sen(t)

∣∣∣∣ dt

≥ 2π

∫ π2

0

∣∣∣∣sen((2n + 1)t)

t

∣∣∣∣ dt,

ya que 0 ≤ sen(t) ≤ t para 0 ≤ t ≤ π2 . Pero

∫ π2

0

∣∣∣∣sen((2n + 1)t)

t

∣∣∣∣ dt =2n∑

k=0

∫ (k+1)π2(2n+1)

kπ2(2n+1)

∣∣∣∣sen((2n + 1)t)

t

∣∣∣∣ dt

≥2n∑

k=0

2(2n + 1)(k + 1)π

∫ (k+1)π2(2n+1)

kπ2(2n+1)

|sen((2n + 1)t)| dt =2n∑

k=0

2(k + 1)π

∫ (k+1)π2

kπ2

|sen(t)| dt

=2π

2n∑

k=0

1(k + 1)

∫ π2

0

sen(t)dt =2π

2n∑

k=0

1(k + 1)

.

Por tanto se tiene que

‖Dn‖1 ≥ 4π2

2n∑

k=0

1(k + 1)

,

de donde se sigue que supn ‖Dn‖1 = ∞, llegando a contradiccion. utNotas. Una de estas funciones se puede encontrar en [E, p. 154-155]. Enrealidad se puede probar que el conjunto de funciones para las que la serie deFourier converge en t = 0 es un conjunto relativamente pequeno, y “para casitodas” las funciones continuas su serie de Fourier diverge en el origen (vease[L, Corollary 6.6.1]).

Identicos resultados se obtienen en el espacio (Cp([−π, π]), ‖ · ‖∞), donde

Cp([−π, π]) = f ∈ C([−π, π]) ; f(−π) = f(π).

Teoremas de la aplicacion abierta y de la grafica cerrada 81

3.6 Teoremas de la aplicacion abierta y de la grafica cerrada

En esta seccion presentamos el Teorema de la aplicacion abierta. Este resul-tado, debido a Banach, fue probado en 1929. Un ano mas tarde Schauderobtuvo una version mas general. Ası el Teorema de la aplicacion abierta sedenomina a veces Teorema de Banach-Schauder. Tambien presentamos otrasdos reformulaciones equivalentes de este resultado, el Teorema de los isomor-fismos de Banach y el Teorema de la grafica cerrada (veanse los ejercicios 3.3y 3.5).

Estos resultados son de gran importancia en el Analisis Funcional. En laseccion siguiente presentamos algunas aplicaciones.

Lema 3.22 Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y T ∈L(X, Y ). Supongamos que T (DX) es un entorno de cero en Y . Entonces T esabierta.

Demostracion. Probemos primero que T (DX) es un entorno de cero en Y . Alser T (DX) un entorno de cero en Y , existe δ > 0 tal que δDY ⊂ T (DX) y,para cada n ∈ N, se tiene que

δ

2nDY ⊂ T

(12n

DX

).

Dado y ∈ T(

12DX

)existe x1 ∈ 1

2DX tal que ‖y − T (x1)‖ < δ22 . Por tanto

y − T (x1) ∈ δ

22DY ⊂ T

(122

DX

).

En consecuencia, existe x2 ∈ 122 DX tal que ‖y − T (x1) − T (x2)‖ < δ

23 . Pro-cediendo por recurrencia, encontramos una sucesion (xn)n≥1 ⊂ X tal que‖xn‖ ≤ 1

2n y

‖y −n∑

k=1

T (xk)‖ <δ

2n+1. (3.1)

Al ser la serie∑

xn absolutamente convergente y X completo, por la Proposicion1.4, la serie

∑xn es convergente. Sea x =

∑xn. Se cumple que

‖x‖ ≤∞∑

n=1

‖xn‖ ≤ 1.

Como T ∈ L(X, Y ), la serie∑

T (xn) es convergente y su suma es T (x)y por la desigualdad (3.1) se cumple que y = T (x) ∈ T (DX). Por tantoT

(12DX

) ⊂ T (DX) y ademas como

δ

2DY ⊂ T

(12DX

)⊂ T (DX),


se deduce que T (DX) es un entorno de cero en Y .Dado U un abierto de X, probemos que T (U) es abierto en Y . Sea y ∈ T (U)

y x ∈ U tal que T (x) = y. Existe r > 0 tal que x+rDX ⊂ U . Por la linealidadde T se sigue que y + rT (DX) ⊂ T (U), y por la primera parte de la pruebaexiste δ > 0 tal que

y + rδ

2DY ⊂ T (U).

Por tanto T (U) es entorno de y, y T (U) es abierto de Y . utAplicando el resultado anterior y el Teorema de Baire (Teorema 3.15)

probamos el principal resultado de esta seccion.

Teorema 3.23 (Teorema de la aplicacion abierta) Toda aplicacion lineal,continua y sobreyectiva entre dos espacios de Banach es abierta.

Demostracion. Sea T una aplicacion lineal, continua y sobreyectiva entre dosespacios de Banach X e Y . Es claro que

Y = T (X) = T

(⋃n

(nDX)

)=

⋃n

T (nDX) =⋃n

nT (DX),

y por tanto Y = ∪nnT (DX). Al ser Y union contable de subconjuntos cer-rados de Y , por el Corolario 3.15 existe m ∈ N tal que Int(mT (DX)) 6= ∅.Como las homotecias de un espacio normado son homeomorfismos se tieneque Int(T (DX)) 6= ∅. Para terminar la demostracion falta probar que T (DX)es un entorno del origen en Y .

Sean y0 ∈ Int(T (DX)) y δ > 0 tal que y0 + δDY ⊂ T (DX). Probemos que

δ

2DY ⊂ T (DX).

Sea y ∈ δ2DY ; los vectores y0, y0 + 2y ∈ T (DX)) y existen (xn)n≥1, (zn)n≥1 ⊂

DX tales que T (xn) → y0 y T (zn) → y0 + 2y. Como 12 (zn − xn) ∈ DX para

cada n ≥ 1 y

limn

T

(12(zn − xn)

)= y,

se sigue que y ∈ T (DX). Ası pues T (DX) es un entorno de cero en Y , y porel lema anterior T es abierta. ut

El Teorema de la aplicacion abierta permite caracterizar los espacios deBanach separables en terminos de cocientes del espacio `1. Aunque esta carac-terizacion no es util, permite darnos una idea de la riqueza de cocientes quepodemos encontrar en `1.

Corolario 3.24 Todo espacio de Banach separable es isomorfo a un cocientedel espacio `1.

Teoremas de la aplicacion abierta y de la grafica cerrada 83

Demostracion. Sean X un espacio de Banach separable y xn ; n ∈ N unconjunto numerable y denso en la bola unidad DX . Dado y ∈ `1 la serie∑

n y(n)xn es absolutamente convergente y por la Proposicion 1.4 es conver-gente. Ası pues se define la aplicacion T : `1 → X,

T (y) :=∑

j

y(j)xj , y ≡ (y(j))j∈N ∈ `1.

Es claro que T es lineal y continua.Sea (en) ⊂ `1 tal que en(j) = δnj para todo n, k ∈ N (δnk es la funcion

delta de Kronecker). Como en ∈ D`1 y T (en) = xn entonces se tiene quexn ; n ∈ N ⊂ T (D`1), y por tanto

DX = xn ; n ∈ N ⊂ T (D`1).

En consecuencia T (D`1) es un entorno de 0 en X, y por el Lema 3.22 T esabierta.

Para probar que T es sobreyectiva procedemos de forma similar a la de-mostracion del Lema 3.22. Sea x ∈ DX . Existe xn1 tal que ‖x− xn1‖ < 1

2 , esdecir, ‖2(x− xn1)‖ < 1 y por tanto existe n2 > n1 tal que

‖2(x− xn1)− xn2‖ <12,

es decir,

‖x− xn1 −12xn2‖ <

122

.

Reiterando este proceso, construimos una subsucesion (xnk) ⊂ DX tal que

‖x−m∑

k=1

12k−1

xnk‖ ≤ 1

2m,

con m ∈ N. Como X es un espacio de Banach, la serie∑

k1

2k−1 xnkes conver-

gente y se tiene que x = T (yx) donde

yx(j) =

12k−1

, si j = nk para algun nk,

0, en otro caso.

Si ‖x‖ > 1 basta considerar que x = ‖x‖ x‖x‖ .

Entonces la aplicacion T : `1/ ker(T ) → X definida por

T (y + ker(T )) = T (y), y + ker(T ) ∈ `1/ ker(T ),

es biyectiva, lineal, continua y abierta, ya que T es abierta. Por tanto T es unisomorfismo entre `1/ ker(T ) y X. ut


Corolario 3.25 (Teorema de los isomorfismos de Banach) Toda biyeccionlineal y continua entre dos espacios de Banach es un isomorfismo.

Demostracion. Sea T : X → Y una biyeccion lineal y continua entre dosespacios de Banach X e Y . Por el teorema de la aplicacion abierta T esabierta y por tanto existe δ > 0 tal que δDY ⊂ T (DX). Como T es lineal ybiyectiva, δT−1(DY ) ⊂ DX , y por tanto

‖T−1(y)‖ ≤ 1δ‖y‖, y ∈ Y.

Al ser T−1 lineal se obtiene la continuidad de T−1 y por tanto T es un iso-morfismo. ut

Para terminar la seccion probamos el Teorema de la grafica cerrada.Recordemos que si X es un espacio topologico, Y un espacio topologico deHaussdorff y F : X → Y una aplicacion continua, entonces la grafica de F , esdecir,

G(F ) := (x, y) ∈ X × Y ; y = F (x),es un subconjunto cerrado de X × Y . No obstante no toda aplicacion cuyagrafica es cerrada es continua. Por ejemplo sea F : R→ R, tal que F (x) = x−1

si x 6= 0 y F (0) = 0. Entonces G(F ) es cerrada pero no es continua.

Corolario 3.26 (Teorema de la grafica cerrada) Sean X e Y espacios deBanach y T : X → Y una aplicacion lineal. Entonces T es continua si y solosi G(T ) es un subconjunto cerrado.

Demostracion. Si G(T ) es un subconjunto cerrado del espacio de Banach X×Y , entonces G(T ) es un espacio de Banach. La proyeccion sobre la primeracoordenada π1 : G(T ) → X definida mediante

π1(x, T (x)) = x (x, T (x)) ∈ G(T ),

es claramente una biyeccion, lineal y continua entre espacios de Banach. Porel Corolario 3.25 tenemos la continuidad de π−1

1 : X → G(T ), π−11 (x) =

(x, T (x)), y al componer con la proyeccion en la segunda coordenada, obte-nemos la continuidad de T . La afirmacion recıproca se cumple en condicionesmas generales como hemos comentado. ut

Es interesante observar que el Teorema de la aplicacion abierta, el Teoremade los isomorfismos de Banach y el Teorema de la grafica cerrada son diferentesformulaciones de un mismo principio.

3.7 Aplicaciones del Teorema de la aplicacion abierta

Para terminar este capıtulo presentamos un aplicacion del teorema de la apli-cacion abierta y otra del teorema de la grafica cerrada. Recomendamos lasmonografıas [Cn] y [Li] para consultar mas aplicaciones de estos resultados.

Aplicaciones del Teorema de la aplicacion abierta 85

3.7.1 Dependencia continua de la solucion de ecuaciones diferenciales

Sean A = (aij) una matriz n×n de funciones continuas sobre el intervalo [a, b],f ∈ C([a, b],Kn), x0 ∈ Kn y fijemos t0 ∈ [a, b]. Consideremos el problema devalores iniciales

x′(t) = A(t)x(t) + f(t), t ∈ [a, b],x(t0) = x0.

(3.2)

Las soluciones del problema anterior son funciones x ∈ C(1)([a, b],Kn) quecumplen las igualdades de (3.2).

Teorema 3.27 La solucion x del problema (3.2) depende de manera continuadel valor inicial x0 ∈ Kn y del dato f .

Demostracion. Sea T : C(1)([a, b],Kn) → C([a, b],Kn) × Kn la aplicaciondefinida por

T (x) = (x′ −Ax, x(t0)), x ∈ C(1)([a, b],Kn).

Claramente T es lineal y continua. Como el problema (3.2) tiene solucionunica, T es biyectiva. Por el Teorema de los isomorfismos de Banach, Corolario3.25, la solucion x depende de manera continua del valor inicial x0 ∈ Kn y deldato f . utNotas. Esta dependencia continua garantiza que los metodos de perturbacionpara aproximar la solucion se pueden aplicar. El mismo resultado es validopara ecuaciones diferenciales de orden superior (vease [CM, Ejemplo 3.4.15]).

3.7.2 Continuidad de aplicaciones entre espacios de sucesiones

Sea X = `p, c0, c, con 1 ≤ p ≤ ∞, con sus apropiadas normas. Consideramosen estos espacios el operador traslacion derecha Sr : X → X tal que

Sr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .).

Teorema 3.28 Sea T : X → X lineal. Si TSr = SrT entonces T es unaaplicacion continua, es decir, T ∈ B(X).

Demostracion. Sea x ≡ (x(n))n ∈ X. Para cada n,m ≥ 1 se define el funcionalfn,m : X → K mediante

fn,m(x) = x(n)(T (en))(m), x ∈ X,

donde en = (δn,m)m. Es claro que fn,m es un funcional lineal y continuo yaque

|fn,m(x)| = |x(n)|‖T (en)‖ ≤ ‖T (en)‖‖x‖.Probemos que G(T ) es cerrado. Para ello utilizamos el ejercicio 3.6. Sea xn →0 tal que T (xn) → y en X. Tenemos que concluir que y = 0. Fijemos m; paracada n ≥ 1


xn =m∑

j=1

xn(j)ej + Smr (zn,m),

donde zn,m ∈ X esta definido por zn,m(j) = xn(m + j) para j ≥ 1. Como secumple que TSr = SrT , entonces TSm

r = Smr T, y por tanto

T (xn)(m) =

m∑

j=1

xn(j)T (ej)

(m) + Sm

r (T (zn,m))(m) =m∑

j=1

fj,m(xn) + 0.

Como fj,m es continua y xn → 0 se cumple que

limn

T (xn)(m) = limn

m∑

j=1

fj,m(xn) = 0.

Por otro lado como T (xn) → y en X, se tiene que T (xn)(m) → y(m), y porlo tanto y(m) = 0 para todo m, y = 0.

Ası G(T ) es cerrado y por el teorema de la grafica cerrada, Corolario 3.26,se concluye que T es continua. ut

Ejercicios 87

Ejercicios

(3.1) Para cada numero natural n sea fn el funcional sobre c00 definido me-diante

fn(x) =n∑

k=1

x(k), x ∈ c00.

(i) Pruebese que fn es lineal y ‖fn‖ = n.(ii) Pruebese que fn(x) → f(x), donde

f(x) =∞∑

n=1

x(n), x ∈ c00.

(iii) Pruebese que f no es continua (Ayuda: Pruebese que no esta acotada enla bola unidad cerrada de c00).

(Este ejercicio muestra que la completitud del espacio es una condicion nece-saria en el Corolario 3.17).

(3.2) Sea E un espacio de Banach y B ⊂ E′. Pruebese que las siguientesafirmaciones son equivalentes.

(i) B es un conjunto acotado,(ii) para cada x ∈ E el conjunto f(x) ; f ∈ B es acotado.

(3.3) Demuestrese el Teorema de la aplicacion abierta a partir del Teoremade los isomorfismos de Banach (ambos resultados son equivalentes).

(3.4) Sea X un espacio vectorial. Supongamos que ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son dosnormas completas en X. Pruebese que dichas normas son equivalentes si ysolo si existe una constante α > 0 tal que ‖x‖1 ≤ α‖x‖2 para todo x ∈ X.

(3.5) Demuestrese el Teorema de los isomorfismos de Banach a partir delTeorema de la grafica cerrada. (Ambos resultados son equivalentes).

(3.6) Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicacion lineal.Pruebese que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) la grafica de T es cerrada,(ii) si (xn) ⊂ X es una sucesion que tiende a cero, y (T (xn))n es una sucesion

convergente, entonces T (xn) → 0.

(3.7) Sean 1 ≤ p, q ≤ ∞ y (aij) una matriz doblemente infinita de numeroscomplejos tal que si x ∈ `p entonces la serie yi =

∑j aijx(j) converge para

cada i, y ademas la sucesion y = (yi) ∈ `q. Pruebese que la aplicacion T :`p → `q dada por T (x) = y para cada x ∈ `p es continua.

(3.8) Sea ‖·‖ una norma completa en C([a, b]). Supongamos que la convergen-cia en la norma ‖ · ‖ implica la convergencia puntual. Pruebese que la norma‖ · ‖ es equivalente a la norma del maximo en C([a, b]).


(3.9) Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y (ai,j)ij una matriz tal que

(Af)(i) :=∞∑

j=1

ai,jf(j)

define un elemento Af ∈ `p para todo f ∈ `p. Pruebese que A ∈ L(`p).

(3.10) Pruebese que la aplicacion ˆ : L1([−π, π], dt2π ) → c0,

f(n) =∫ π

−π

f(t)e−intdt, n ∈ Z,

es lineal, continua e inyectiva, pero no suprayectiva.

Notas historicas 89


Probablemente, uno de los principales creadores del Analisis Funcional es elmatematico hungaro Frederic Riesz (1880-1956). Como ya comentamos en elcapıtulo anterior introdujo en 1910 los espacios Lp, 1 < p < ∞ como genera-lizacion natural del espacio L2 ya estudiado. F. Riesz plantea la resolucion deun sistema de infinitas ecuaciones del tipo

∫ b

a

fi(x)g(x)ds = ci (i ∈ I),

donde las fi y los escalares ci son los datos y la funcion g la solucion, genera-lizacion del problema de los momentos estudiado en la seccion 3.2.2. Para queel problema tenga sentido, Riesz muestra que la solucion g debe buscarse enel espacio Lq siendo

1p

+1q

= 1.

A la vista de la dualidad entre Lp y Lq el problema anterior puede in-terpretarse tambien ası: Encontrar una forma lineal T que tome los valoresprefijados ci en los elementos dados fi. Este punto de vista fue tomado por elmatematico austriaco E. Helly en 1912. Helly participo en la Primera GuerraMundial y fue hecho prisionero, no volviendo a la investigacion hasta 1921.En su importante trabajo trabaja con subespacios vectorial de CN dotadoscon una cierta nocion de norma. Planteo por primera vez el problema de laextension de una forma lineal continua definida sobre un espacio, a todo elespacio, conservando su norma.

En 1927 en un artıculo publicado en el Journal fur reine und ang. Math.H. Hahn retomo el trabajo y las tecnicas de Helly en el contexto de la espaciosde Banach y prueba que toda forma lineal continua sobre un subespacio deun espacio de Banach real, se puede extender al total conservando su norma.Ademas introduce la nocion de espacio dual E′ (“polare Raum”) de un espa-cio de Banach E. Dos anos mas tarde, S. Banach redescubre el teorema deextension de Hahn con una demostracion similar, reconociendo mas tarde laprioridad de Hahn.

Los antecedentes del Teorema de Banach-Steinhaus aparecen en una tra-bajo de Helliger y Toeplitz publicado en Matematische Ann. en 1910. Allıdesarrollan una teorıa de matrices infinitas (formas bilineales) acotadas en`2. Prueban que si (Kn) es una sucesion de formas bilineales acotadas so-bre `2 tal que para cada par de elementos x e y de la bola unidad de `2, lasucesion (Kn(x, y)) esta acotada por una constante Mx,y entonces la sucesionesta uniformemente acotada, esto es, existe M > 0 tal que

|Kn(x, y)| ≤ M,

para todo n ∈ N, e x, y ∈ `2.


En su Tesis, Banach prueba el Principio de Acotacion Uniforme parauna sucesion de operadores lineales entre espacios de Banach. Casi al mismotiempo, H. Hahn probo el mismo resultado para una sucesion de funcionalessobre un espacio de Banach. Finalmente, en 1927 Banach y Steinhaus pro-baron el resultado para una familia arbitraria de operadores entre espacios deBanach, extendiendo el teorema de R. Baire a espacios de Banach. El resul-tado inicial de Baire de 1899 habıa sido probado para funciones sobre abiertosde Rn.

El teorema de la aplicacion abierta es una contribucion original de Banach.Una primera version aparece en 1929 en el artıculo Sur les fonctionnelleslineaires II (Studia Mathematica). La version general aparece en el libro deBanach Theorie des operations lineaires de 1932. Segun J. Dieudonne es dehecho el resultado mas destacado incluido en el libro de Banach.

Estas ideas han sido obtenidas del artıculo escrito por F. Bombal [Bo],vease tambien [D].

Parte II

Espacios de Hilbert

En esta segunda parte del curso nos centraremos en los espacios de Hilbert.Los espacios de Hilbert son espacios normados cuya norma proviene de un pro-ducto escalar o producto interno. Esto hace que su estructura interna sea masrica que la de los espacios de Banach y permite descomponer cada vectoren terminos de una base (al igual que los espacios vectoriales finito dimen-sionales), el espacio en suma de subespacios cerrados e incluso operadoresdefinidos en el espacio de Hilbert admiten cierta descomposicion en elementosmas sencillos.

En el cuarto capıtulo introduciremos, definiremos, daremos propiedadesy probaremos las resultados fundamentales de los espacios de Hilbert. Nosproponemos dar una formacion solida que permita desarrollar aplicaciones dela teorıa en problemas de aproximacion, ecuaciones diferenciales ordinarias oparciales, o en mecanica cuantica.

En el quinto capıtulo nos ocuparemos de los operadores compactos y nor-males, una familia particular de operadores sobre espacios de Hilbert. Estosoperadores se pueden descomponer en el espacio de Hilbert (Teorema espec-tral). Este resultado tiene importantes consecuencias.

Este planteamiento puede encontrarse en varias libros de Analisis Fun-cional, en particular [B], [BN], [Br], [CM], [Re], [RN] y [Y]. Sin embargosenalamos que hemos buscado exponer solo los conocimientos necesarios paraconseguir una exposicion auto-contenida.

4

Introduccion a los espacios de Hilbert

En la primera seccion definimos, comentamos y damos las primeras propiedadesy ejemplos de los espacios pre-Hilbert y de Hilbert. El espacio `2(I) es el ejem-plo canonico de espacio de Hilbert y es estudiado en detalle en la segundaseccion. En la tercera consideramos aquellas normas que provienen de unproducto escalar, las normas hilbertianas. El teorema del vector minimizantedefine la proyeccion de un vector sobre un subespacio cerrado. La ortogo-nalidad es tratada en la cuarta seccion y es una herramienta basica en losespacios de Hilbert. Permite definir las bases hilbertianas que descomponenal espacio. En la ultima seccion probamos el Teorema de Riesz-Frechet: todoespacio de Hilbert es isomorfo a su dual. Este tiene aplicaciones en problemasde minimizacion.

Los textos [B], [CM] y [Y] y en problemas [TM] se han seguido en laexposicion siguiente.

4.1 Definiciones, primeras propiedades y ejemplos

Definicion 4.1 Sea H un espacio vectorial sobre K = R,C. Un productoescalar o producto interno sobre H es una aplicacion 〈 , 〉 : H × H → Ktal que

(i) 〈x, x〉 ≥ 0 para x ∈ H y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0.(ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 para todos x, y ∈ H .(iii)〈λx + µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉 para todos x, y ∈ H y λ, µ ∈ K.

El par (H, 〈 , 〉) se llama espacio pre-Hilbert

Notas. Si K = R el producto escalar es un forma bilineal definida positiva,mientras que si K = C la forma es anti-lineal en la segunda variable.

Definimos ‖x‖ :=√〈x, x〉 para x ∈ X. Para probar que ‖ · ‖ es una norma

necesitamos el siguiente resultado.

94 Introduccion a los espacios de Hilbert

Proposicion 4.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean x, y ∈ H donde Hes un espacio pre-Hilbert. Entonces

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖.

Demostracion. Sean x, y ∈ H y λ ∈ K entonces

0 ≤ 〈x + λy, x + λy〉 = 〈x, x〉+ 2<(λ〈x, y〉) + |λ|2〈y, y〉.

Si y = 0 la desigualdad es trivialmente cierta; si y 6= 0 tomamos λ = −〈x, y〉‖y‖2

y obtenemos que

0 ≤ ‖x‖ − |〈x, y〉|2‖y‖2 .

Por tanto |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖. ut

Teorema 4.3 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert. Entonces (H, ‖ · ‖) esun espacio vectorial normado donde la aplicacion ‖ · ‖ : H → K esta definidamediante

‖x‖ :=√〈x, x〉, x ∈ X.

Demostracion. Basta probar la desigualdad triangular de la norma, pues lasdemas condiciones son inmediatas. Sean x, y ∈ H. Entonces

‖x + y‖2 = 〈x + y, x + y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ ‖y‖2≤ ‖x‖2 + 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2 ≤ (‖x‖+ ‖y‖)2,

donde aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. utDefinicion 4.4 Un espacio pre-Hilbert (H, 〈 , 〉) se dice de Hilbert si escompleto con la topologıa asociada al producto escalar, es decir, a la normadefinida por este.

Desarrollamos las primeras secciones de este capıtulo en espacios pre-Hilbert senalando los resultados que se cumplen para espacios de Hilbert.En las ultimas secciones la completitud del espacio es necesaria y se trabajaen espacios de Hilbert.

A continuacion damos algunos ejemplos de espacios pre-Hilbert. Las de-mostraciones de algunas afirmaciones se dejan al estudiante.

Ejemplos. (1) El espacio Kn. Sean x ≡ (x1, . . . xn), y ≡ (y1, . . . yn) ∈ Kn; laexpresion

〈x, y〉 :=n∑

i=1

xiyi

es un producto escalar en Kn cuya norma asociada ‖ · ‖ es la norma ‖ · ‖2definida en la seccion 1.1, Ejemplo (1):

Definiciones, primeras propiedades y ejemplos 95

‖x‖ =

(n∑

i=1

|xi|2) 1

2

= ‖x‖2.

El espacio (Kn, 〈 , 〉) es un espacio de Hilbert.

(2) El espacio `2. Recordemos que el espacio `2 esta definido como

`2 := (xn)∞n=1 ⊂ K :∞∑

n=1

|xi|2 < ∞,

(vease seccion 1.1, Ejemplo (2)). Como |xiyi| ≤ 12

(|xi|2 + |yi|2), entonces

dados x ≡ (xi), y ≡ (yi) ∈ `2, la serie

〈x, y〉 :=∞∑

i=1

xiyi,

es convergente, (en realidad es absolutamente convergente) y es directo probarque 〈 , 〉 es un producto escalar en `2 cuya norma asociada es ‖ · ‖2. Elespacio (`2, 〈 , 〉) es un espacio de Hilbert.

(3) El espacio de las funciones continuas. Sea el espacio C([0, 1]) (seccion 1.1,Ejemplo (3)) y consideremos la expresion

〈f, g〉 :=∫ 1

0

f(t)g(t)dt, f, g ∈ C([0, 1]).

Es facil probar que 〈 , 〉 es un producto escalar y (C([0, 1]), 〈 , 〉) es unespacio pre-Hilbert cuya norma asociada es

‖f‖2 =(∫ 1

0

|f(t)|2) 1

2

, f ∈ C([0, 1]).

La complecion de C([0, 1]) en la norma ‖ ‖2 es el conjunto de las funcionesde cuadrado integrable, L2([0, 1]).

(4)El espacio de las funciones holomorfas. Sean D := z ∈ C ; |z| < 1 y

H2(D) := f : D→ C ; f es holomorfa,∞∑

n=0

∣∣∣∣f (n)(0)

n!

∣∣∣∣2

< ∞.

Dadas f, g ∈ H2(D), la serie

〈f, g〉 :=∞∑

n=0

f (n)(0)n!

g(n)(0)n!

define un producto escalar en H2(D) cuya norma asociada es

‖f‖ =

( ∞∑n=0

∣∣∣∣f (n)(0)

n!

∣∣∣∣2) 1

2

.

El espacio (H2(D), 〈 , 〉) es de Hilbert.


4.2 El espacio `2(I)

En esta seccion estudiamos el espacio de Hilbert `2(I) donde I es un conjuntode ındices. Estos espacios son canonicos entre los espacios de Hilbert ya queprobaremos en la seccion quinta que todo espacio de Hilbert es isomorfo aun espacio `2(I) para un determinado conjunto de ındices I (Teorema 4.36,Teorema de Riesz-Fischer).

Introducimos la sumabilidad para ındices no numerables. Esta definicionextiende a la sumabilidad conocida (en el caso finito) y a la sumabilidad paraseries absolutamente convergente de ındices contables (Proposicion 4.9, [S]).

Definicion 4.5 Sea I un conjunto de ındices cualquiera. Se dice (ai)i∈I ⊂ Kes sumable a s ∈ K si, para todo ε > 0, existe J0 ⊂ I finito tal que, si J esfinito y J0 ⊂ J ⊂ I, se cumple que

|s−∑

i∈J

ai| < ε.

Entonces se escribe que s =∑

i∈I ai.

Se tiene unicidad de la suma de la serie, y se conserva la sumabilidad atraves de las operaciones de la suma y del producto por escalares.

Definicion 4.6 El espacio `2(I) se define mediante

`2(I) := (ai)i∈I ⊂ K : (|ai|2)i∈I sumable .La siguiente proposicion caracteriza a las sucesiones de ındice I que son

sumables y permite un manejo mas sencillo de las mismas.

Proposicion 4.7 Sea (ai)i∈I ⊂ K. Entonces (ai)i∈I es sumable si y solo si

sup∑

i∈J

|ai| ; J ⊂ I, J finito < ∞.

En este caso, ademas

|∑

i∈I

ai| ≤∑

i∈I

|ai| = sup∑

i∈J

|ai| ; J ⊂ I, J finito < ∞.

Demostracion. Sea (ai)i∈I ⊂ K sumable con s =∑

i ai, y definimos P :=i ∈ I ; <ai ≥ 0. Para ε = 1 existe J0 finito tal que si J finito cumple queJ0 ⊂ J ⊂ I entonces

|s−∑

i∈J

ai| < 1.

Sea A ⊂ P con A finito, entonces se tiene que∑

i∈A

|<ai| = |<∑

i∈A

ai| ≤ |∑

i∈A

ai +∑

i∈J0\Aai − s−

∑

i∈J0\Aai + s|

El espacio `2(I) 97

≤ |∑

i∈A∪J0

ai − s|+∑

i∈J0

|ai|+ |s| ≤ 1 +∑

i∈J0

|ai|+ |s|.

Por tanto existe C > 0 (independiente de A) tal que∑

i∈A |<ai| ≤ C paratodo A finito con A ⊂ P . Analogamente se hace con I\P , luego existe C1 > 0tal que para todo J finito se cumple

∑

i∈J

|<ai| ≤ C

para todo J finito con J ⊂ I. Actuando de identica forma con =ai concluimosque existe K > 0 tal que

∑

i∈J

|ai| ≤∑

i∈J

(|<ai|+ |=ai|) ≤ K

para todo J ⊂ I finito.Recıprocamente, consideremos el caso particular en que ai ≥ 0 para todo

i ∈ I y sea s = sup∑i∈J ai J ⊂ I, J finito ∈ K. Tomemos ε > 0; sabemosque existe J0 ⊂ I finito tal que

s <∑

i∈J0

ai + ε.

Si ahora J finito cumple que J0 ⊂ J ⊂ I, entonces∑

i∈J

ai ≤ s <∑

i∈J0

ai + ε ≤∑

i∈J

ai + ε.

Por tanto |s−∑i∈J ai| < ε para J finito con J0 ⊂ J ⊂ I, y s =

∑i∈I ai. En

el caso general ai = bi − ci + i(di − ei) con bi, ci, di, ei ≥ 0, podemos separaren cuatro sumandos y, debido a que bi, ci, di, ei ≤ |ai|, concluimos de formaanaloga el resultado.

Para la demostracion de la segunda parte del resultado, aplicamos laprimera parte ya probada a (|ai|)i∈I ut.

Definicion 4.8 Sea I un conjunto de ındices cualquiera y consideremos x ≡(xi)i∈I , y ≡ (yi)i∈I ∈ `2(I). Se define el producto 〈x, y〉 mediante

〈x, y〉 =∑

i∈I

xiyi.

Este producto esta bien definido. Para probarlo basta usar que |xiyi| ≤12 (|xi|2 + |yi|2) y aplicar la proposicion anterior. Es mas, es sencillo comprobarque 〈 , 〉 es un producto escalar en `2(I) y ademas (`2(I), 〈 , 〉) es unespacio pre-Hilbert, cuya norma asociada es

‖(xi)i∈I‖ =

(∑

i∈I

|xi|2) 1

2

, (xi)i∈I ∈ `2(I).


Es mas, (`2(I), 〈 , 〉) es un espacio de Hilbert (Teorema 4.10) pero antesde demostrarlo, consideremos la sumabilidad en el caso I = N.

Proposicion 4.9 Sean (ai)i∈N ⊂ K. Son equivalentes:

(i) (ai)i∈N es sumable en el sentido de la Definicion 4.5,

(ii)∞∑

i=1

|ai| < ∞.

En tal caso∑

i∈Nai =

∞∑

i=1

ai.

Demostracion. Para probar que (i)⇔ (ii) basta aplicar que (ai)i∈N es sumablesi y solo si

sup∑

i∈J

|ai| ; J ⊂ N, J finito < ∞,

que es la Proposicion 4.7.Sean s =

∑i∈N ai y ε > 0. Existe J0 finito con J0 ⊂ N tal que para todo

J finito con J0 ⊂ J ⊂ N se cumple que

|s−∑

i∈J

ai| < ε.

Sea n0 = maxi ; i ∈ J0. Para cada n ≥ n0, se tiene que J0 ⊂ 1, . . . , n ypor tanto

|s−n∑

i=1

ai| < ε,

es decir,∞∑

i=1

ai converge y∑

i∈Nai = s =

∞∑

i=1

ai. ut

Notese que en particular `2(N) = `2 (vease seccion 1.1, Ejemplo (2)).

Teorema 4.10 Para todo I conjunto de ındice cualesquiera, `2(I) es un es-pacio de Hilbert.

Demostracion. Basta con probar que `2(I) es completo con la topologıa aso-ciada al producto escalar. Sea (an) ⊂ `2(I) una sucesion de Cauchy conan = (an

i )i∈I . Notese que para cada b ≡ (bi)i∈I ∈ `2(I), se cumple que

‖b‖2 =∑

i∈I

|bi|2 = sup∑

i∈J

|bi|2 ; J ⊂ I, J finito < ∞,

y por tanto |bi| ≤ ‖b‖ para todo i ∈ I. De aquı se obtiene que las sucesiones(an

i )n ⊂ K son de Cauchy para cada i ∈ I, por tanto convergentes para cadai ∈ I. Sean ai = limn an

i para cada i ∈ I. Falta probar que a ∈ `2(I) y(an)n∈N → a en `2(I).

Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante 99

Por ser (an)n∈N de Cauchy, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ‖an−am‖ ≤ εpara todo m, n > n0, y por la Proposicion 4.7

sup∑

i∈J

|ani − am

i |2 ; J ⊂ I finito ≤ ε2.

Tomamos J ⊂ I finito cualquiera y se tiene que∑

i∈J

|ani − am

i |2 ≤ ε2.

Notese que si tomando n ≥ n0, hacemos m →∞ se tiene que∑

i∈J

|ani − ai|2 ≤ ε2,

y por tantosup

∑

i∈J

|ani − ai|2 ; J ⊂ I finito ≤ ε2.

Luego an − a ∈ `2(I) y al ser un espacio vectorial a ∈ `2(I). Ası se tiene quean → a en `2(I) ya que ‖an − a‖ ≤ ε2 para todo n ≥ n0. ut

4.3 Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante

Dado (X, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado, resulta natural preguntarse siexiste un producto escalar 〈 , 〉 : X ×X → K tal que

‖x‖2 = 〈x, x〉, x ∈ X.

Estos espacios normados se dicen hilbertizables y las normas hilbertianas. ElTeorema 4.12 caracterizara los espacios hilbertizables. Antes probamos el sigu-iente resultado para espacios pre-Hilbert.

Proposition 4.11. (Identidades de polarizacion) Sea (H, 〈 , 〉) un espaciopre-Hilbert.

(i) Si K = R entonces 〈x, y〉 = 14

(‖x + y‖2 − ‖x− y‖2) para x, y ∈ H.(ii)Si K = C entonces 〈x, y〉 = 1

4

(‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x + iy‖2 − i‖x− iy‖2)para x, y ∈ H.

Demostracion. Sean x, y ∈ H. En el caso real,

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2〈x, y〉+ ‖y‖2‖x− y‖2 = ‖x‖2 − 2〈x, y〉+ ‖y‖2,

de donde se obtiene la igualdad (i). El caso (ii) se prueba de forma similar yse deja como ejercicio. ut


Teorema 4.12 (Ley del paralelogramo) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado.El espacio (X, ‖ · ‖) es hilbertizable si y solo si

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), x, y ∈ X.

Demostracion. Sea (X, ‖ · ‖) hilbertizable, entonces

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 〈y, x〉+ 〈x, y〉+ ‖y‖2,‖x− y‖2 = ‖x‖2 + 〈−y, x〉+ 〈x,−y〉+ ‖y‖2,

y se obtiene la igualdad sumando ambas identidades.Recıprocamente, sea K = R o C. Definimos 〈 , 〉 mediante las identi-

dades de polarizacion (Proposicion 4.11), comprobamos que es un productoescalar y

‖x‖2 = 〈x, x〉, x ∈ X.

Con ello terminamos la demostracion. utLa ley del paralelogramo se usa en la demostracion del teorema del vector

minimizante para conjuntos convexos y completos en espacios pre-Hilbert.Recordemos que A ⊂ E es convexo, donde E es un espacio vectorial, si cumpleque

[x, y] := λx + (1− λ)y ; 0 ≤ λ ≤ 1 ⊂ A,

para todo x, y ∈ A.

Teorema 4.13 (Teorema del vector minimizante) Sean (H, 〈 , 〉) un es-pacio pre-Hilbert, ∅ 6= S ⊂ H con S un subconjunto convexo y completo yx ∈ H. Entonces existe un unico yx ∈ S tal que

‖x− yx‖ = d(x, S) := inf‖x− z‖ ; z ∈ S.

El vector yx se dice vector minimizante.

Demostracion. Sea δ = d(x, S) e (yn)n ⊂ S una sucesion tal que ‖x−yn‖ → δ.Probemos que (yn)n es una sucesion de Cauchy. Si n,m ∈ N entonces por laley del paralelogramo

‖yn − ym‖2 = 2‖x− ym‖2 + 2‖x− yn‖2 − 4‖x− 12(yn + ym)‖2.

Por ser S convexo 12 (yn + ym) ∈ S y ‖x− 1

2 (yn + ym)‖ ≥ δ y por tanto

‖yn − ym‖2 ≤ 2(‖x− ym‖2 − δ2) + 2(‖x− yn‖2 − δ2).

Como ‖x−ym‖2−δ2 → 0 concluimos que (yn)n es una sucesion de Cauchy. Porser completo S, (yn)n es una sucesion convergente y existe y := limn yn ∈ Stal que

‖x− y‖ = ‖x− limn

yn‖ = limn‖x− yn‖ = d(x, S).

Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante 101

Falta probar la unicidad del vector minimizante. Sea z ∈ S que cumpla que‖x− z‖ = d(x, S), entonces por la ley del paralelogramo

‖y − z‖2 = 2(‖x− z‖2 + ‖x− y‖2)− 4‖x− 12(y + z)‖2 ≤ 4δ2 − 4δ2 = 0,

por tanto y = z y el teorema esta probado. ut

Corolario 4.14 Sea H un espacio de Hilbert y S un subconjunto no vacıo,convexo y cerrado. Si x ∈ H entonces existe un unico yx ∈ S tal que

‖x− yx‖ = d(x, S).

Demostracion. Notar que al ser S un subconjunto cerrado en un espacio Hcompleto entonces S es completo y podemos aplicar el teorema anterior. ut

El teorema anterior permite definir la proyeccion de un vector x sobre unsubconjunto convexo y completo de un espacio pre-Hilbert.

Definicion 4.15 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert, S un subconjuntoconvexo, completo y no vacıo de H. Se define la aplicacion proyeccion pS :H → S, x 7→ pS(x), tal que

‖x− pS(x)‖ = d(x, S), x ∈ H.

A continuacion probamos algunas propiedades de pS .

Proposicion 4.16 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert, S un subcon-junto convexo, completo y no vacıo de H y pS : H → S definida anterior-mente.

(i) Se cumple que x ∈ S si y solo si pS(x) = x.(ii)La aplicacion pS es sobreyectiva y p2

S = pS.(iii) La aplicacion pS no es lineal en general.(iv) La aplicacion pS es continua.

Demostracion. (i) Si x ∈ S entonces d(x, S) = 0 = ‖x − pS(x)‖ y por tantopS(x) = x. Recıprocamente, si x = pS(x) y como pS(x) ∈ S entonces x ∈ S.

(ii) Por la parte (i) es claro que es sobreyectiva y p2S(x) = pS(pS(x)) =

pS(x) para x ∈ H.(iii) Si pS fuera lineal entonces se tendrıa

pS(λx + µy) = λx + µy,

y por tanto λx + µy ∈ S para todo λ, µ ∈ K y x, y ∈ S. Por tanto S serıa unsubespacio y no todo conjunto convexo y completo de un espacio pre-Hilbertes un subespacio.

(iv) Al no ser pS lineal, la continuidad hay que probarla directamente.Sean x, y ∈ H. Para todo z ∈ S se tiene que ‖y − z‖ ≤ ‖y − x‖ + ‖x − z‖, ytomando el ınfimo en z, vemos que


d(y, S) ≤ ‖y − x‖+ d(x, S).

Aplicando de nuevo la ley del paralelogramo obtenemos que

‖pS(x)− pS(y)‖ ≤ 2‖pS(x)− x‖2 + 2‖pS(y)− x‖2 − 4‖x− 12(pS(x) + pS(y))‖2

≤ 2d(x, S)2 + 2(‖pS(y)− y‖+ ‖y − x‖)2 − 4d(x, S)2

≤ 2(d(x, S) + 2‖x− y‖)2 − 2d(x, S)2.

Por tanto si y → x entonces pS(y) → pS(x). utA continuacion caracterizamos a los vectores que son proyecciones sobre

un subconjunto convexo y completo de vectores fijados.

Teorema 4.17 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio de pre-Hilbert, S un subcon-junto convexo, completo y no vacıo de H y x, y ∈ H. Entonces y = pS(x) siy solo si y ∈ S con <〈x− y, z − y〉 ≤ 0 para todo z ∈ S.

Demostracion. Sean x, y ∈ H, z ∈ S y 0 < λ < 1. Si y = pS(x) entoncesy + λ(z − y) = λz + (1− λ)y ∈ S y

‖x− y‖ = d(x, S) ≤ ‖x− y − λ(z − y)‖.

Usando ‖a− b‖2 = ‖a‖2 − 2<〈a, b〉+ ‖b‖2 se tiene que

‖x− y‖2 ≤ ‖x− y‖2 − 2<〈x− y, λ(z − y)〉+ λ2‖z − y‖2.

Por tanto2λ<〈x− y, z − y〉 ≤ λ2‖z − y‖2,

de donde se obtiene la desigualdad.Recıprocamente, si y ∈ S y <〈x− y, z − y〉 ≤ 0 para todo z ∈ S entonces

‖x− z‖2 = ‖x− y‖2 − 2<〈x− y, z − y〉+ ‖z − y‖2 ≥ ‖x− y‖2,

para todo z ∈ S; de donde concluimos que y = pS(x). utEn el caso que S sea un subespacio (entonces es convexo) el teorema an-

terior admite la siguiente mejora.

Teorema 4.18 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert, M un subespaciocompleto y no vacıo de H y x, y ∈ H. Entonces y = pM (x) si y solo si y ∈ Mcon 〈x− y, z〉 = 0 para todo z ∈ M .

Demostracion. Sean x ∈ H, y = pM (x), z ∈ M y λ ∈ K. Es claro quey + λz ∈ M y por tanto

‖x− y‖2 ≤ ‖x− (y + λz)‖2 = ‖x− y‖2 − 2<〈x− y, λz〉+ |λ|2‖z‖2.

Ası2<(λ〈x− y, z〉) ≤ |λ|2‖z‖2

Ortogonalidad 103

y, si tomamos λ = t〈x− y, z〉 con 0 < t, se tiene que

2|〈x− y, z〉|2 ≤ t|〈x− y, z〉|‖z‖2.

Haciendo tender t → 0 se obtiene el resultado.Recıprocamente, dado v ∈ M

‖x− v‖2 = ‖x− y‖2 − 2<〈x− y, v − y〉+ ‖v − y‖2 ≥ ‖x− y‖2,

terminando la demostracion. utNota. En el caso en que H sea espacio de Hilbert, basta exigir que el sub-espacio M sea cerrado.

Como consecuencia del teorema anterior probamos que la proyeccion pM

(con M subespacio) es lineal.

Corolario 4.19 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert y M un subespaciocompleto no vacıo de H. Entonces la aplicacion pM es lineal.

Demostracion. Sean u, v ∈ H y λ, µ ∈ M . Debemos probar que pM (λu+µv) =λpM (u) + µpM (v). Sean y = λpM (u) + µpM (v) y z ∈ M . Entonces, por elTeorema 4.18, se tiene que

〈λu + µv − y, z〉 = λ〈u− pM (u), z〉+ µ〈v − pM (v), z〉 = 0,

y como y ∈ M , se concluye que y = pM (λu + µv). utNota. La condicion de completitud del subconjunto S o del subespacio Mes una condicion necesaria para los resultados anteriores. Es facil encontrarcontraejemplos de subconjuntos donde no existen vectores minimizantes o queestos no sean unicos, Ejercicios 4.3 y 4.4.

4.4 Ortogonalidad

La ortogonalidad es un concepto basico en espacios de Hilbert.

Definicion 4.20 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert. Se dice que un vec-tor x ∈ H es ortogonal al vector y ∈ H, y escribiremos x ⊥ y, si 〈x, y〉 = 0.Sean F, G ⊂ H y x ∈ X.

(i) Se dice que x es ortogonal a F , x ⊥ F , si x ⊥ y para todo y ∈ F .(ii) Diremos que el conjunto F es ortogonal a G, F ⊥ G, si x ⊥ y para todo

x ∈ F e y ∈ G.(iii) Se define el complemento ortogonal de F , F⊥, mediante

F⊥ := x ∈ H ; x ⊥ F.

(iv) El conjunto F se dice total si F⊥ = 0.


Por convenio se tiene que ∅⊥ = H. A continuacion demostraremos algunaspropiedades de los subconjuntos ortogonales.

Proposicion 4.21 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert y ∅ 6= S, T ⊂ H.

(i) EL conjunto S⊥ es un subespacio vectorial cerrado de H.(ii) S ⊂ S⊥⊥ = (S⊥)⊥.(iii) Si S ⊂ T entonces T⊥ ⊂ S⊥.(iv) S⊥ = S⊥⊥⊥

(v) S ∩ S⊥ = 0 ∩ S.

Demostracion. Es claro que si x, y ∈ S⊥ entonces λx + µy ∈ S⊥ para todoλ, µ ∈ S. Ademas si (xn) ⊂ S⊥ y xn → x en H entonces es facil probar quex ∈ S⊥, ya que

〈x, z〉 = 〈limn

xn, z〉 = limn〈xn, z〉 = 0, z ∈ S,

(por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la aplicacion 〈·, z〉 : H → K es con-tinua y lineal); en otras palabras

S⊥ =⋂

z∈S

(〈·, z〉)−1(0);

al ser (〈·, z〉)−1(0) cerrado entonces S⊥ es cerrado, con lo que tenemos laparte (i).

Para (ii), tomamos x ∈ S. Entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ S⊥, luego esclaro que x ∈ (S⊥)⊥.

Para (iii), sea x ∈ T⊥; entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ T , en particular〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ S y x ∈ S⊥.

Para probar (iv) observamos que por (ii) se tiene que S⊥ ⊂ (S⊥)⊥⊥ =S⊥⊥⊥ y por el apartado (iii) se tiene que S⊥⊥⊥ = (S⊥⊥)⊥ ⊂ S⊥. Por tantoS⊥ = S⊥⊥⊥.

Por ultimo, para (v), si x ∈ S ∩ S⊥ entonces 〈x, x〉 = 0 y x = 0. Noteseque 0 ∈ S⊥. ut

Una consecuencia de las propiedades anteriores es el siguiente teorema dedescomposicion de un espacio pre-Hilbert.

Teorema 4.22 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert y M un subespaciovectorial completo de H. Entonces

H = M ⊕M⊥,

es decir, M ∩M⊥ = 0 y H = M + M⊥. Por tanto M⊥⊥ = M .

Demostracion. Por la Proposicion 4.21 (v) se tiene que M ∩M⊥ = 0. Seaahora x ∈ H, claramente

x = pM (x) + (x− pM (x)),

Bases hilbertianas 105

donde obviamente pM (x) ∈ M . Falta comprobar que x − pM (x) ∈ M⊥. Seaz ∈ M , entonces por el Teorema 4.18

〈x− pm(x), z〉 = 0,

por tanto x− pM (x) ∈ M⊥.Para terminar falta probar que M⊥⊥ ⊂ M, ya que por la Proposicion 4.21

(ii) M ⊂ M⊥⊥. Sea x ∈ M⊥⊥ entonces x = y + z con y ∈ M y z ∈ M⊥, peronotese que

0 = 〈x, z〉 = 〈y, z〉+ 〈z, z〉 = 〈z, z〉.Por tanto z = 0 y se cumple que x = y ∈ M. utNota. Si x ∈ H la descomposicion de x correspondiente a H = M ⊕M⊥ es

x = pM (x) + pM⊥(x).

Notese que, por la Proposicion 4.21 (i), M⊥ es un subespacio vectorial com-pleto, (M⊥)⊥ = M y la proyeccion ortogonal sobre un subespacio vectorialcompleto es unica.

Para terminar la seccion damos dos corolarios del teorema anterior enespacios de Hilbert.

Corolario 4.23 Sean H un espacio Hilbert y S ⊂ H. Entonces S⊥⊥ es elsubespacio vectorial cerrado mınimo que contiene a S.

Demostracion. Basta probar que si N es un subespacio vectorial cerrado talque S ⊂ N entonces S⊥⊥ ⊂ N . Si S ⊂ N entonces N⊥ ⊂ S⊥ y S⊥⊥ ⊂N⊥⊥ = N (N es completo y se puede aplicar el Teorema 4.22). ut

Corolario 4.24 Sean H un espacio Hilbert y M un subespacio vectorial ce-rrado de H. Entonces ‖pM‖ ≤ 1; es mas, si M = 0 entonces ‖pM‖ = 0, ysi M 6= 0 entonces ‖pM‖ = 1.

Demostracion. El caso M = 0 es directo. Supongamos que M 6= 0.Tomemos x ∈ H y tenemos x = pM (x) + pM⊥(x), y

‖x‖2 = ‖pM (x)‖2+2<〈pM (x), pM⊥(x)〉+‖pM⊥(x)‖2 = ‖pM (x)‖2+‖pM⊥(x)‖2

y por tanto ‖x‖ ≥ ‖pM‖ y ‖pM (x)‖ ≤ 1. Si 0 6= x ∈ M entonces pM (x) = x,de donde 1 ≤ ‖pM‖ y se concluye que ‖pM‖ = 1. ut

4.5 Bases hilbertianas

Las bases en espacios de Hilbert tienen sus precedentes en las bases de espaciosvectoriales de dimension finita. Mientras que en espacios de Hilbert se entiendepor base ortonormal (o base hilbertiana) a un sistema ortonormal maximal deelementos senalamos que existen diferentes definiciones de bases en espaciosde Banach.


Definition 4.25. Sean I un conjunto de ındices y H un espacio pre-Hilbert.

(i) Una familia (ai)i∈I ⊂ H se dice ortogonal si 〈ai, aj〉 = 0 para todo i 6= jcon i, j ∈ I.

(ii) Se dice ortonormal si es ortogonal y ‖ai‖ = 1 para todo i ∈ I.(iii) Una familia ortonormal (ai)i∈I ⊂ H se dice maximal si no esta contenida

estrictamente en ninguna otra familia ortonormal.(iv) Se dice que (ai)i∈I ⊂ H es una base ortonormal de H si es una familia

ortonormal maximal.

Los dos resultados siguientes tratan sobre familias ortonormales en espa-cios pre-Hilbert. El primero permite “ortonormalizar” una sucesion de vectoreslinealmente independientes. El segundo afirma la existencia de bases.

Teorema 4.26 (Metodo de Gram-Schmidt) Sea (xn)n∈N una coleccion con-table (finito o numerable) de vectores linealmente independientes en un espa-cio pre-Hilbert (H, 〈 , 〉). Si se define por induccion la sucesion de vectores(un)n mediante las formulas

y1 := x1, u1 :=y1

‖y1‖ ,

yn := xn −n−1∑

j=1

〈xn, uj〉uj , un :=yn

‖yn‖ ,

para n ≥ 2, entonces (un)n es una sucesion ortonormal en H, y para cada nse tiene que

spanu1, . . . , un = spanx1, . . . , xn.Demostracion. Daremos una demostracion constructiva por induccion. Elenunciado para n = 1 es directo ya que x1 6= 0. Por hipotesis de induccionsean u1, u2, . . . un−1 ortonormales tales que

spanu1, . . . , un−1 = spanx1, . . . , xn−1.

Nos proponemos construir y ∈ spanx1, . . . , xn = spanu1, . . . un−1, xn talque y sea ortogonal a spanu1, . . . , un−1. Dicho vector es de la forma

y = a1u1 + . . . an−1un−1 + anxn.

Como y debe ser ortogonal a u1, . . . un−1 entonces an 6= 0 y podemos tomaran = 1. Debido a la ortogonalidad de y con uj con j ≤ n− 1 se tiene que

0 = 〈y, uj〉aj + 〈xn, uj〉, 1 ≤ j ≤ n− 1,

y por tanto

yn = xn −n−1∑

j=1

〈xn, uj〉uj .


Como el vector yn es no nulo, (notese que xn es linealmente independientede u1, . . . un−1), se define un :=

yn

‖yn‖ . El conjunto ortonormal u1, . . . , uncumple que

spanu1, . . . , un = spanx1, . . . , xny el teorema queda probado ut

El siguiente resultado prueba la existencia de bases en espacios de Hilbert.

Teorema 4.27 Sea H un espacio pre-Hilbert. Toda familia ortonormal estacontenida en una base. En particular, cualquier espacio pre-Hilbert tiene unabase.

Demostracion. Sea A el conjunto de las familias ortonormales que contienea una familia dada. Notese que tal conjunto esta parcialmente ordenado porla inclusion. Ademas si (Fi)i∈I ⊂ A es un subconjunto totalmente ordenadoentonces ∪i∈IFi es una familia ortonormal que contiene a la familia dada yes una cota del conjunto (Fi)i∈I . Por el lema de Zorn, existe un elementomaximal que contiene a la familia dada. Este elemento maximal es una baseortonormal. utProposicion 4.28 Sea H un espacio pre-Hilbert y (ei)i∈I una base. Entonces(ei)i∈I es total.

Demostracion. Sea F = (ei)i∈I y supongamos que existe 0 6= x ∈ F⊥. En-tonces 〈x, ei〉 = 0 para todo i ∈ I, el conjunto F ′ := (ei)i∈I ∪ x

‖x‖ serıaortonormal con F ⊂ F ′. Al ser F maximal, se concluye que el elemento x noexiste y F⊥ = 0. ut

Nota. En el caso de que H sea un espacio de Hilbert y F ⊂ H, F es totalsi y solo si span(F ) = H. Notese que span(F ) es el menor subespacio cerradoque contiene a F , es decir, F⊥⊥ (Corolario 4.23).

Es logico pensar que (al igual que en el caso finito-dimensional) las basesen espacios de Hilbert permiten describir a los elementos del espacio. Ası, unoespera encontrar expresiones del tipo

x =∑

i∈I

λiei, x ∈ H,

donde (λi)i∈I ⊂ K y (ei)i∈I es una base. Veremos que se dan estas descom-posiciones, pero para ello deberemos introducir el concepto de sumabilidad enel espacio de Hilbert (comparese con la Definicion 4.5 en la seccion 4.2). Apartir de ahora consideraremos solo espacios de Hilbert, ya que necesitamosla condicion de completitud.

Definicion 4.29 Sean I un conjunto de ındices y H un espacio de Hilbert.Se dice que (xi)i∈I es sumable a x ∈ H, y se escribe


x =∑

i∈I

xi,

si para todo ε > 0 existe J0 ⊂ I finito tal que para todo J finito con J0 ⊂ J ⊂ Ise tiene que

‖∑

i∈J

xi − x‖ < ε.

Esta definicion coincide con la usual en el caso de que I sea finito o nu-merable. Ademas se tiene la siguiente propiedad.

Proposition 4.30. Sean H un espacio de Hilbert y (xi)i∈I ⊂ H sumable ax ∈ H. Entonces (〈xi, y〉)i∈I ⊂ K es sumable a 〈x, y〉, es decir

〈∑

i∈I

xi, y〉 =∑

i∈I

〈xi, y〉.

Demostracion. Basta observar que si J ⊂ I es finito entonces

|∑

i∈J

〈xi, y〉 − 〈x, y〉| = |〈∑

i∈J

xi − x, y〉| ≤ ‖∑

i∈J

xi − x‖ ‖y‖

por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obteniendo el resultado. utEste resultado permite identificar los coeficientes en las expresiones de un

vector en terminos de los elementos de una familia ortonormal.

Corolario 4.31 Sean H un espacio de Hilbert, (ai)i∈I una familia ortonor-mal y x =

∑i∈I λiai ∈ H con (λi)i∈I ⊂ K. Entonces

λi = 〈x, ai〉, i ∈ I.

Demostracion. Inmediata a partir de la proposicion anterior. utDefinicion 4.32 Sean (ai)i∈I una familia ortonormal en un espacio de HilbertH y x ∈ H. Los numeros (〈x, ai〉)i∈I se llaman coeficientes de Fourier y laexpresion

∑i∈I〈x, ai〉ai se llama serie de Fourier de x respecto a (ai)i∈I .

Proposicion 4.33 (Desigualdad de Bessel) Sean H un espacio de Hilberty (ai)i∈I una familia ortonormal. Entonces para cada x ∈ H se tiene que(|〈x, ai〉|2)i∈I es sumable y ademas

∑

i∈I

|〈x, ai〉|2 ≤ ‖x‖2.

Demostracion. En realidad solo hace falta probar que∑

i∈J

|〈x, ai〉|2 ≤ ‖x‖2,


con J finito por la Proposicion 4.7. Llamamos λi = 〈x, ai〉 con i ∈ I y entonces

0 ≤ ‖x−∑

i∈J

λiai‖2 = ‖x‖2 −∑

i∈J

λi〈x, ai〉 −∑

i∈J

λi〈ai, x〉+∑

i∈J

|λi|2

= ‖x‖2 −∑

i∈J

|λi|2,

concluyendo la demostracion. utPara series de Fourier se prueban las siguientes propiedades.

Proposicion 4.34 Sean H un espacio de Hilbert y (ai)i∈I una familia ortonor-mal.

(i) Para cada x ∈ X el conjunto i ∈ I ; 〈x, ai〉 6= 0 es un conjunto numerableo finito. Ademas (〈x, ai〉ai)i∈I es sumable en H.

(ii)Sea (λi)i∈I ⊂ K. Entonces (λiai)i∈I es sumable en H si y solo si (|λi|2)i∈I

es sumable en K.

Demostracion. Por la desigualdad de Bessel se tiene que para cada J ⊂ Ifinito ∑

i∈J

|〈x, ai〉|2 ≤ C‖x‖2.

Sea k ∈ N y consideramos el conjunto Ik := i ∈ I ; |〈x, ai〉| ≥ 1k. Notese que

el cardinal de Ik es finito y ademas

i ∈ I ; 〈x, ai〉 6= 0 =⋃

k∈NIk.

Por tanto i ∈ I ; 〈x, ai〉 6= 0 es numerable o finito. Sean (bi)i∈N obtenidos de(ai)i∈I tales que i ∈ I ; 〈x, ai〉 6= 0. Veamos que

∑i∈N〈x, bi〉bi es una serie

de Cauchy. En efecto sean m ≥ n ∈ N. Entonces

‖m∑

i=1

〈x, bi〉bi −n∑

i=1

〈x, bi〉bi‖2 = ‖m∑

i=n+1

〈x, bi〉bi‖2 =m∑

i=n+1

|〈x, bi〉|2,

y como∑

i∈N |〈x, bi〉2| < ∞, se obtiene que∑

i∈N〈x, bi〉bi es una serie deCauchy, por tanto convergente y

∑

i∈N〈x, bi〉bi =

∑

i∈I

〈x, ai〉ai,

con lo que se tiene (i). Para probar (ii) tomamos x =∑

i λixi ∈ H. Por ladesigualdad de Bessel

‖x‖2 ≥∑

i,j∈I

|〈λiai, aj〉|2 =∑

i∈I

|λi|2.


Recıprocamente la segunda implicacion se demuestra de igual forma que elapartado (i). ut

La bases ortonormales estan caracterizadas por la representacion en seriede Fourier de todo elemento del espacio de Hilbert.

Teorema 4.35 Sean H un espacio de Hilbert y (ei)i∈I una familia ortonor-mal en H. Son equivalentes:

(i) la familia (ei)i∈I es una base ortonormal,(ii)para todo x ∈ H se tiene que x =

∑i∈I〈x, ei〉ei,

(iii) para todo x, y ∈ H se tiene que 〈x, y〉 =∑

i∈I〈x, ei〉〈y, ei〉,(iv) para todo x ∈ H se cumple que ‖x‖2 =

∑i∈I |〈x, ei〉|2.

Demostracion. Presentamos una demostracion cırcular. Comenzamos por (i)⇒ (ii). Sea x ∈ H. Por la Proposicion 4.34 (i) se tiene que y =

∑i∈I〈x, ei〉ei ∈

H. Dado j ∈ I,

〈x− y, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈∑

i∈I

〈x, ei〉ei, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈x, ej〉 = 0,

por el Corolario 4.31. Por tanto (x− y) ⊥ (ej)j∈I y, por la Proposicion 4.28,x− y = 0, luego x =

∑i∈I〈x, ei〉ei.

Veamos ahora (ii) ⇒ (iii). Sean x, y ∈ H. Por la Proposicion 4.30

〈x, y〉 = 〈∑

i∈I

〈x, ei〉ei, y〉 =∑

i∈I

〈x, ei〉〈ei, y〉 =∑

i∈I

〈x, ei〉〈y, ei〉.

Simplemente tomando y = x en (iii) se obtiene (iv) .Por ultimo, sea x ∈ H tal que x ⊥ ei para todo i ∈ I. Entonces por (iv)

‖x‖2 =∑

i∈I |〈x, ei〉|2 = 0 y x = 0. Luego (ei)i∈I es maximal, y por tanto esbase ortonormal y se tiene (i). ut

Para terminar esta seccion probaremos que todo espacio de Hilbert esisomorfo a un espacio `2(I) de los estudiados en la seccion 4.2. Un isomorfismoentre dos espacios de Hilbert (H1,H2) es una aplicacion biyectiva, lineal ycontinua que conserva el producto escalar, y se escribe H1 ∼ H2.

Teorema 4.36 (Teorema de Riesz-Fischer) Sea H un espacio de Hilbert ysea (ei)i∈I una base ortonormal en H. Entonces

H ∼ `2(I).

Demostracion. Sea T : H → `2(I) definida mediante

x 7→ (〈x, ei〉)i∈I .

La aplicacion T esta bien definida ya que (〈x, ei〉)i∈I ∈ `2(I) por el Teorema4.35. Es claro que es lineal y conserva productos escalares ya que

Duales de los espacios de Hilbert 111

〈Tx, Ty〉 =∑

i∈I

〈x, ei〉〈y, ei〉,

tambien por el Teorema 4.35. Ademas es continua, ya que por la igualdadanterior ‖T (x)‖ = ‖x‖. Falta por comprobar que es biyectiva. Si T (x) = 0entonces 〈x, ei〉 = 0 para todo i ∈ I y x = 0. Sean (λi)i∈I con (|λi|)i∈I

sumable. Entonces, por la Proposicion 4.34, x =∑

i∈I λiei esta bien definidoy T (x) = (〈x, ei〉)i∈I = (λi)i∈I . ut

4.6 Duales de los espacios de Hilbert

En el siguiente teorema probamos que los elementos del espacio de Hilbertdefinen elementos del dual del espacio de Hilbert, Teorema de Riesz-Frechet,(vease Definicion 1.7). Es mas, ambos espacios, el espacio de Hilbert y sudual, son isomorfos como espacios de Hilbert. El Teorema de Lax-Milgram, elteorema principal de los problemas variacionales cuadraticos y la existenciade soluciones clasicas para el problema de Sturm-Liouville son consecuenciasdel Teorema de Riesz-Frechet.

Teorema 4.37 (Teorema de Riesz-Frechet) Sea H un espacio de Hilbert.

(i) Dado x ∈ H, la aplicacion ux : H → K, ux(y) := 〈y, x〉 es lineal ycontinua, es decir, ux ∈ H ′.

(ii)La aplicacion u : H → H ′, x 7→ ux es antilineal, biyectiva e isometrica.

Demostracion. Para (i) es claro que la aplicacion ux es lineal y continua yaque por la Desigualdad de Cauchy-Schwarz,

|ux(y)| = 〈y, x〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖,y por tanto ‖ux‖ ≤ ‖x‖. Es mas

|ux(x)| = |〈x, x〉| = ‖x‖2,de donde ‖x‖ ≤ ‖ux‖ y por consiguiente ‖x‖ = ‖ux‖ y se tiene (i).

Por otra parte es directo probar que la aplicacion x 7→ ux es antilineal ypor la demostracion del apartado (i) es una isometrıa.

Veamos que es biyectiva. Al ser lineal, la inyectividad equivale a probarque ux = 0 si y solo si x = 0, lo cual es cierto ya que ‖x‖ = ‖ux‖. Sea ahoraF ∈ H ′, es decir, F : H → K. Nos proponemos encontrar x ∈ H tal que

F (y) = 〈y, x〉, y ∈ H.

Si F = 0 basta tomar x = 0. Si F 6= 0 sea N = ker F. Al ser N un subespaciocerrado, N⊥⊥ = N 6= H y por tanto N⊥ 6= 0. Sea 0 6= z ∈ N⊥. ComoN ∩N⊥ = 0 entonces z 6∈ N y F (z) 6= 0. Sea v =

z

F (z)con lo que F (v) = 1.

Notese que y − F (y)v ∈ N para todo y ∈ H, entonces


0 = 〈y − F (y)v, v〉 = 〈y, v〉 − F (y)‖v‖2,

y F (y) = 〈y,v

‖v‖2 〉. Basta tomar x =v

‖v‖2 para ver que F = ux. ut

Corolario 4.38 Si H es un espacio de Hilbert entones H ′ es tambien espaciode Hilbert. Ademas H ′ es isomorfo a H.

Demostracion. En H ′ se define el producto escalar 〈ux, uy〉 := 〈y, x〉 parax, y ∈ H. Es facil probar que es un producto escalar y que ademas

〈ux, ux〉 = ‖ux‖2 = ‖x‖2,

terminando la demostracion. ut

Un corolario importante del Teorema de Riesz-Frechet es el conocido porTeorema de Lax-Milgram, util para probar la existencia de soluciones deecuaciones lineales diferenciales en derivadas ordinarias y derivadas parciales(vease ejemplo al final de la seccion). Recordemos algunos conceptos basicossobre formas bilineales.

Sea X un espacio normado sobre K. Una aplicacion B : X × X → Kse dice forma bilineal si fijados x, y ∈ X, las aplicaciones B(x, ·) : X →K, B(·, y) : X → K son lineales y se dice forma sesquilineal si la aplicacionB(·, y) : X → K es lineal y la aplicacion B(x, ·) : X → K, es lineal conjugada,es decir,

B(x, λy + µz) = λB(x, y + z) + µB(x, z), λ, µ ∈ K, x, y, z ∈ X.

Una forma bilineal se dice simetrica si B(x, y) = B(y, x) para x, y ∈ X;acotada si existe M ≥ 0 tal que

|B(x, y)| ≤ M‖x‖ ‖y‖, x, y ∈ X;

y coerciva si existe K > 0 tal que B(x, x) ≥ K‖x‖2 para todo x ∈ X.

Corolario 4.39 (Teorema de Lax-Milgram) Sean H un espacio de Hilbertsobre K y B una forma sesquilineal en H acotada y coerciva. Entonces existeun isomorfismo de espacios de Hilbert T : H → H unıvocamente determinadotal que

B(x, y) = 〈x, T (y)〉, x, y ∈ H.

Demostracion. Sea el conjunto Y ⊂ H definido por

Y := y ∈ H : existe y∗ ∈ H tal que 〈x, y〉 = B(x, y∗) para todo x ∈ H.

Notese que 0 ∈ Y , (0∗ = 0) y que el elemento y∗ esta unıvocamente determi-nado por y ya que B es coerciva. Por la sesquilinealidad de B, el conjunto Yes un subespacio vectorial y la aplicacion S : Y → H tal que S(y) = y∗ eslineal. Como


K‖S(y)‖2 ≤ B(S(y), S(y)) = 〈S(y), y〉 ≤ ‖S(y)‖ ‖y‖,

se obtiene la continuidad de S y ademas ‖S‖ ≤ K−1. Probemos que Y escerrado. Sea (yn) ⊂ Y con y = limn yn. Entonces

〈x, y〉 = limn〈x, yn〉 = lim

n(x, S(yn)) = B(x, S(y)),

es decir, y ∈ Y . Sea z ∈ Y ⊥. Se define el funcional f : H → K mediantef(x) := B(x, z), con x ∈ H. Por el Teorema 4.37 existe w ∈ H tal que

〈x,w〉 = f(x) = B(x, z), x ∈ H.

Por tanto w ∈ Y . Si tomamos x = z se tiene que B(z, z) = 0 y por tantoz = 0, de donde concluimos que Y = H.

Probemos que S es sobreyectiva. Si z ∈ H entonces repitiendo el razo-namiento anterior existe w ∈ H tal que z = S(w). Tambien S es inyectiva, yaque si S(y) = 0 entonces 〈x, y〉 = B(x, S(y)) = 0 para todo x ∈ X y por tantoy = 0. Si consideramos T := S−1 entonces 〈x, T (y)〉 = B(x, y), y si tomamosx = T (y) se obtiene, si M es una cota para B, que

‖T (y)‖2 = B(T (y), y) ≤ M‖T (y)‖ ‖y‖,

de donde ‖T‖ ≤ M y ‖T−1‖ = ‖S‖ ≤ K−1, como habıamos dicho antes. ut

Consideramos un segundo problema de mınimos, esta vez para formasbilineales.

Teorema 4.40 (Teorema principal de los problemas variacionales cuadraticos)Sean H un espacio de Hilbert real y B una forma bilineal simetrica, acotaday coerciva en H. Sean b ∈ H ′ y F : H → R definida mediante

F (x) :=12B(x, x)− b(x), x ∈ H.

Entonces:

(i) es condicion necesaria y suficiente para que F alcance su mınimo en w ∈ Hque se verifique la ecuacion

B(w, y) = b(y), y ∈ H.

(ii)la funcion real F alcanza un mınimo absoluto en H que ademas es unico.

Demostracion. Comenzamos con la prueba de (i). Debido a la simetrıa de Bse tiene la igualdad

F (w + ty) =12t2B(y, y) + t(B(w, y)− b(y)) + F (w), t ∈ R, w, y ∈ H.


Si la funcion tiene un mınimo en w entonces F (w + ty) ≥ F (w) para todot ∈ R e y ∈ H. Si la funcion ϕ(t) := F (w + ty) tiene un mınimo en t = 0entonces ϕ′(0) = 0, obteniendo la igualdad buscada. Recıprocamente, si paraalgun w ∈ H se cumple la condicion, entonces

F (w + ty) =12t2B(y, y) + F (w), t ∈ R, y ∈ H,

es decir, F (w + ty) ≥ F (w) para todo y ∈ H y t ∈ R. Entonces F (z) ≥ F (w)para todo z ∈ H, concluyendo la demostracion de (i).

Para (ii) probemos la existencia y unicidad del mınimo para F . Como Bes bilineal, simetrica y coerciva, define un producto escalar en H. Ademas lanorma asociada a tal producto escalar es una norma equivalente a la normade H ya que existen constantes M, K > 0 tales que

K‖x‖2 ≤ B(x, x) ≤ M‖x‖2, x ∈ H.

El funcional b es continuo para el producto escalar que define B y por elTeorema 4.37 existe un unico w ∈ H tal que

B(y, w) = B(w, y) = b(y), y ∈ H.

Aplicando el apartado (i) concluimos la demostracion de (ii). utNota. El teorema anterior se aplica en el principio de Dirichlet: dada unafuncion continua g definida en la frontera del disco unidad del plano complejo,estudiar la existencia de una funcion u continua y armonica en el interior deldisco que coincida con g en la frontera (ver [CM]).

El problema de Sturm-Liouville

Sea H1(I) el espacio de Sobolev definido por

H1(I) := u ∈ L2(I) ; ∃g ∈ L2(I) tal que∫

I

uϕ′ = −∫

I

gϕ ∀ ϕ ∈ C(1)c (I),

donde C(1)c (I) = ϕ ∈ C(1)(I) ; ϕ con soporte compacto y se denota u′ = g.

El espacio H1(I) es un espacio de Hilbert con producto escalar

〈u, v〉H1(I) = 〈u, v〉L2(I) + 〈u′, v′〉L2(I),

y la norma asociada ‖u‖H1(I) = ‖u‖L2(I) + ‖u′‖L2(I). La inyeccion H1(I) →L2(I) es continua y compacta ([Br, Teorema VIII.7]). Se dice que u ∈ H2(I)si u′ ∈ H1(I). El subespacio de Hilbert H1

0 (I) se define como la clausura deC

(1)c (I) en H1(I). El espacio H1

0 (I) es un espacio de Hilbert separable, (veanseestas definiciones en [Br]).

Sea I = (0, 1). Consideramos el problema de Sturm-Liouville,


−(pu′)′(x) + qu(x) = f(x), x ∈ I,u(0) = u(1) = 0,

(4.1)

donde p ∈ C(1)(I), q ∈ C(I) y f ∈ L2(I). Una solucion clasica u es unafuncion u ∈ H2(I) que cumple la ecuacion (4.1). Nos proponemos demostrarla existencia de soluciones clasicas del problema de Sturm-Liouville.

Si u es una solucion clasica de (4.1) entonces se tiene que∫

I

pu′v′ +∫

I

quv =∫

I

fv, v ∈ H10 (I).

Consideremos el espacio de Hilbert H10 (I) y la forma bilineal continua y

simetricaB(u, v) =

∫

I

pu′v′ +∫

I

quv.

Si p(x) ≥ α > 0 y q(x) ≥ 0 entonces esta forma es coerciva, ya que

B(u, u) =∫

I

p(u′)2 +∫

I

qu2 ≥ α‖u′‖2L2(I) ≥ C‖u‖2H1(I),

donde hemos empleado la desigualdad de Poincare: si I es un intervalo acotadoentonces ‖u‖H1(I) ≤ M‖u′‖2L2(I). Notese que esta desigualdad se cumple, yaque al ser I finito y u ∈ H1

0 (I),

|u(x)| = |u(x)− u(0)| = |∫ x

0

u′(t)dt| ≤ ‖u′‖L1(I),

y por tanto‖u‖2L2(I) ≤ ‖u′‖2L1(I) ≤ ‖u′‖2L2(I),

donde aplicamos la desigualdad de Holder.Notese que por el Teorema principal de los problemas variacionales cuadraticos,

Teorema 4.40, existe u ∈ H10 unica tal que

B(u, v) =∫

I

fv, v ∈ H10 (I),

y ademas

u = minv∈H1

0 (I)

(12

∫

I

(pv2 + qv2)−∫

I

fv

).

Es claro que pu′ ∈ H1(I), y por tanto u′ = 1ppu′ ∈ H1(I), con lo que u ∈ H2(I)

y es una solucion clasica.


Ejercicios

(4.1) Sea (xn)mn=1 una familia ortonormal en un espacio de Hilbert H.

Pruebese que para cada x ∈ H

minλ1,...λm∈K

‖x−m∑

n=1

λnxn‖

se alcanza si λn = 〈x, xn〉, n = 1, . . . m.

(4.2) Sean H un espacio de Hilbert, x0 ∈ H y M un subespacio vectorialcerrado en H. Pruebese que

min‖x− x0‖ ; x ∈ M = max|〈x0, y〉| ; y ∈ M⊥, ‖y‖ = 1.

(4.3) Dado el espacio (C([0, 1]), ‖ ‖∞) y

M := f ∈ C([0, 1]);∫ 1

2

0

f −∫ 1

12

f = 1.

Pruebese que M es convexo y cerrado en C([0, 1]) pero no tiene elementos denorma mınima.

(4.4) Pruebese que si M = f ∈ L1([0, 1]);∫ 1

0f = 1 entonces M es convexo

y cerrado en L1([0, 1]) con infinitos elementos de norma mınima.

(4.5) Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que (xn)∞n=1 converge debilmentea x, xn →w x si para cada y ∈ H se tiene que

〈xn, y〉 → 〈x, y〉.

Pruebese que

(i) si xn → x entonces xn →w x;(ii) xn → x si y solo si xn →w x y ‖xn‖ → ‖x‖.

(4.6) Sea A convexo, cerrado y no vacıo en un espacio de Hilbert, y sea(xn)∞n=1 ⊂ A tal que xn →w x. Pruebese que x ∈ A.

(4.7) Sea (un)∞n=1 un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert. Demuestreseque un ;n = 1, 2, · · · es cerrado y acotado pero no compacto en H.

(4.8) Pruebese que∫ π

−π

f(t) cos(nt)dt → 0 si f ∈ L2(T) (lema de Riemann-

Lebesgue).

(4.9) Sean H = L2([−1, 1]) y un(t) = tn para n = 0, 1, . . . . Aplicandoel proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt se construye una sucesion(en)n ortonormal.

Ejercicios 117

(i) Calcule explıcitamente los tres primeros terminos de dicha sucesion.(ii)Pruebese que (en)n es una sucesion de polinomios, llamada sucesion de

polinomios de Legendre, que constituyen una base hilbertiana de H.(iii) Pruebese que

ek(t) =k∑

j=0

akjtj , con akk > 0 y tk =

k∑

j=0

bkjej(t), con bkk > 0.

(iv) Pruebese que si Pn es un polinomio de grado n, y 〈Pn(t), tj〉 = 0 para0 ≤ j < n, entonces Pn(t) = cnen(t) para cierto cn ∈ K.

(v) Sea Pn(t) =dn

dtn(t2 − 1)n. Utilizando integracion por partes reiterada-

mente pruebese que 〈Pn(t), tj〉 = 0 con 0 ≤ j < n y Pn(t) = cnen(t)con cn > 0.

(vi) Integrando por partes repetidas veces pruebese que

‖Pn‖22 =(n!)222n+1

2n + 1

y obtengase la formula de Rodrigues:

en(t) =

√n +

12

12nn!

dn

dtn(t2 − 1)n.

(4.10) Pruebese que entre todas las curvas cerradas y simples en el plano delongitud L la circunferencia es la que encierra un area maxima.

Para ello:

(i) Demuestrese que si f es una funcion definida en un intervalo [0, 2π] deri-vable, con derivada continua, entonces el desarrollo de Fourier de f ′ seobtiene derivando termino a termino el desarrollo de Fourier de f .

(ii)Si s es el parametro arco entonces la curva admite una parametrizacion enfuncion de t := s/L, con t ∈ [0, 1], dada por

x(t) = a0

√2

∑

n≥1

an cos(2πnt) +∑

n≥1

bnsen(2πnt)

,

y(t) = c0 +√

2

∑

n≥1

cn cos(2πnt) +∑

n≥1

dnsen(2πnt)

.

Deduzcase que

L2 =∫ 1

0

(x′)2(t) + (y′)2(t)dt =∑

n≥1

4π2n2(a2n + b2

n + c2n + d2

n).


(iii) Muestrese que el area A que encierra la curva cumple que

A =∫ 1

0

x(t)dy(t)dt

dt =∑

n≥1

2πn(andn − bncn).

(iv) Muestrese que L2 − 4πA ≥ 0, (desigualdad isoperimetrica), y que se dala igualdad si y solo si a1 = d1, b1 = −c1 y an = bn = cn = dn = 0 paratodo n ≥ 2.

Notas historicas 119


David Hilbert nacio en 1862 en Konisberg (Prusia y actualmente KaliningradoRusia) y murio en 1943 en Gottingen (Alemania). Estudio en la Universidadde Konigsberg bajo la direccion de Lindemann consiguiendo su doctoradoen 1885. Uno de sus grandes amigos fue Minkowski existiendo una fuerteinfluencia mutua en sus respectivos progresos matematicos.

Abandono Konisberg en 1895 al conseguir un puesto en la Universidad deGottingen donde continuo ensenando ya el resto de su carrera. El puestodominante que ocupaba Hilbert en el mundo de las matematicas despuesde 1900 hizo que varias universidades intentaran conseguir sin exito al bri-llante profesor. Gottingen se convirtio en uno de los centros principales de lasMatematicas durante mas de treinta anos.

La capacidad matematica de David Hilbert asombra tanto por la diversi-dad de temas que trato como por la profundidad que alcanzo en ellos. Trabajoen teorıa invariante y probo su famoso teorema de Bases; en teorıa algebraicade numeros; en geometrıa axiomatica donde se le considera que ha sido elautor mas influyente despues de Euclides.

En el Segundo Congreso Internacional de Matematicas en Paris en 1902plantea en su conferencia The Problems of Mathematics una lista de 23 proble-mas (algunos de los cuales todavıa hoy sin resolver). Es un discurso lleno deoptimismo en las matematicas:

Every mathematician certainly shares... the conviction that every math-ematical problem is necessarily capable of strict resolution... we hear withinourselves the constant cry: There is the problem, seek the solution. You canfind it through pure thought...

Muchos han proclamado que en 1915 Hilbert descubrio las ecuaciones co-rrectas de la teorıa general de la relatividad antes que Einstein pero sin em-bargo nunca lo reclamo. En realidad el artıculo de Hilbert publicado el 6 dediciembre de 1915 no contiene tales ecuaciones mientras que aparecen en elde Einstein de 2 Diciembre 1915.

Hilbert recibio muchos reconocimientos. En 1930 fue nombrado ciudadanode honor de Konisberg y termino su discurso de agradecimiento con sus seisfamosas palabras que muestran su entusiasmo por las matematicas y por suvida resolviendo problemas matematicos:

Wir mussen wissen, wir werden wissen.D. Hilbert se intereso por los sensacionales resultados de F. Fredholm

sobre resoluciones de ecuaciones integrales en el invierno de 1900-1901. Entre1904 y 1910 Hilbert publico seis artıculos sobre las Ecuaciones Integrales en elGottingen Nachrichten, que fueron posteriormente reunidos en forma de libroen 1912. En el aparecen nociones y directrices novedosas que posteriormente,en manos de matematicos como E. Schmidt y F. Riesz, van a convertirse enlos fundamentos del Analisis Funcional. Hilbert introduce los conceptos de“sistema ortogonal completo de funciones”, prueba su famoso “principio de


eleccion” ( compacidad debil de la bola unidad de `2), estudia el problema deSturm-Liouville y considera formas cuadraticas generales.

Las ideas topologicas introducidas en la tesis de M. Frechet (vease no-tas historicas del capıtulo 1) se difundieron rapidamente. Uno de los mejoresalumnos de Hilbert, E. Schmidt, definio en 1908 el “espacio de dimensioninfinita” `2 con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonali-dad, etc. Introdujo el lenguaje geometrico moderno, probando el teorema dela proyeccion ortogonal y el proceso de ortogonalizacion que lleva su nombre.

Otros dos jovenes matematicos E. Fischer y F. Riesz tambien adoptaronesta vision geometrica y topologica del espacio de Hilbert, lo que les llevo adescubrir (independientemente) el llamado “teorema de Fischer-Riesz” (1906-1907). Este teorema establece una inesperada relacion de estos teoremas conotro gran descubrimiento de la epoca, la Teorıa de integracion de Lebesgue:el espacio de Lebesgue de funciones de cuadrado integrable sobre [a, b] es iso-morfo al espacio de Hilbert `2. Las consecuencias de este resultado estructuralhicieron ver la importancia del nuevo Analisis y abrieron el camino hacia laintroduccion de los espacios Lp y `p por Riesz y, en definitiva, la aparicion delespacio normado de Banach.

5

Teorıa espectral de operadores compactos normales

Aunque los principales resultados de las proximas secciones y los ejemplos quetrataremos al final de esta seccion se enuncian en espacios de Hilbert, en laprimera seccion trabajaremos en espacios normados y en espacios de Banach.

5.1 Inversion de operadores. Espectro

Sean X e Y espacios normados, y sea T ∈ L(X, Y ). Recordemos que se diceque T es invertible si existe un operador S ∈ L(Y,X) tal que TS = IY yST = IX . En este caso se escribe S = T−1. Notese que la inversion deloperador T resuelve el siguiente problema: dado y ∈ Y encontrar x ∈ X talque

T (x) = y.

Definicion 5.1 Sea X un espacio normado sobre K, T ∈ L(X) e I la identi-dad sobre X.

(i) Se dice que λ ∈ K es un valor regular de T si T − λI es un operadorinvertible. El conjunto de los valores regulares de T se denomina el conjuntoresolvente de T , ρ(T ).

(ii) Los valores no regulares de T se llaman valores espectrales de T . El con-junto de los valores espectrales de T se denomina espectro de T , σ(T ).Un numero λ ∈ K se dice que es un valor propio de T si ker(T − λI) 6= 0.El conjunto de los valores propios de T se llama espectro puntual de T yse denota σp(T ). Notese que σp(T ) ⊂ σ(T ).Si λ ∈ σp(T ) y T (x) = λx con x 6= 0, entonces x se llama vector propio deT correspondiente al valor propio λ. Al subespacio ker(T −λI) se le llamasubespacio propio correspondiente al valor propio λ.

En el caso que X sea un espacio finito dimensional, dim(X) = n y T ∈L(X), es bien conocido que se cumple la igualdad

122 Teorıa espectral de operadores compactos normales

n = dim(X) = dim(ker(T )) + dim(T (X)).

Notemos que T−λI es no invertible si y solo si T−λI es no inyectivo. Por tantoel espectro de T coincide con el espectro puntual de T y esta formado a lo sumopor n elementos, las raıces del polinomio caracterıstico P (λ) = det(T − λI)(vease por ejemplo [Hu]).

En espacios de dimension infinita la situacion es distinta. Sea el espacio deHilbert `2 y consideremos el operador desplazamiento a derecha, Sr : `2 → `2

definido porSr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .).

Notese que 0 ∈ σ(Sr), ya que Sr no es sobreyectivo, pero 0 6∈ σp(Sr), ya quede hecho σp(Sr) = ∅.

A menudo, en teorıa de operadores, expresiones formales validas en elcampo escalar se cumplen tambien para operadores. Ası la suma de la seriegeometrica

11− a

= 1 + a + a2 + . . .

con |a| < 1 en el caso escalar inspira el siguiente teorema en el caso vectorial.

Teorema 5.2 Sean X un espacio de Banach y T ∈ L(X) tal que ‖T‖ < 1.Entonces I − T es invertible y se tiene

(I − T )−1 =∞∑

n=0

Tn

en L(X) siendo ‖(I − T )−1‖ ≤ 11− ‖T‖ , T 0 = I y Tn = T . . .n T .

Demostracion. Como X es espacio de Banach, L(X) es de Banach (Teorema1.6) y por la Proposicion 1.4 basta comprobar que

∞∑n=0

‖Tn‖ < ∞,

para concluir que S =∑∞

n=0 Tn es convergente en L(X). Notese que

S(I − T ) = S − ST = T 0 = I, (I − T )S = S − TS = I,

es decir que (I − T )−1 = S. Por ultimo

‖(I − T )−1‖ ≤∞∑

n=0

‖Tn‖ ≤∞∑

n=0

‖T‖n =1

1− ‖T‖

con lo que se concluye la prueba. utEl operador (λI − T )−1, con λ ∈ ρ(T ), se llama operador resolvente, y es

facil comprobar la identidad de la resolvente,

Inversion de operadores. Espectro 123

(λI − T )−1 − (µI − T )−1 = (µ− λ)(λI − T )−1(µI − T )−1, λ, µ ∈ ρ(T )

(vease por ejemplo [Re, Theorem V.5]).

Teorema 5.3 Sean X un espacio de Banach complejo y T ∈ L(X). Entoncesel espectro σ(T ) es un subconjunto compacto no vacıo de C contenido enD(0, ‖T‖).Demostracion. Sea λ ∈ C\D(0, ‖T‖). Entonces ‖T‖ |λ−1| < 1 y por tantoλI − T = λ(I − T/λ) es invertible por el Teorema 5.2, luego λ 6∈ σ(T ) yσ(T ) ⊂ B(0, ‖T‖).

Consideremos la aplicacion ϕ : C → L(X) tal que ϕ(λ) = λI − T . Clara-mente es continua y ϕ−1(Isom(X)) = C\σ(T ), donde Isom(X) es el conjuntoabierto de los operadores invertibles de L(X) (vease el ejercicio 5.1). Por tantoσ(T ) es cerrado y compacto en C.

Falta comprobar que σ(T ) es no vacıo. Para ello, procedemos por reduccional absurdo. Supongamos que σ(T ) = ∅, y consideramos la aplicacion φ : C→L(X), φ(λ) = (λI −T )−1; es continua por el ejercicio 5.1. Por la identidad dela resolvente se tiene que

φ(λ + h)− φ(λ)h

= −φ(λ + h)φ(λ), λ, h ∈ C.

De aquı se deduce la existencia del lımite,

φ′(λ) = limh→0

φ(λ + h)− φ(λ)h

= −φ(λ)2, λ ∈ C.

La funcion φ es una funcion holomorfa vectorial, (vease la definicion en [R, p.82]), y cumple que limλ→∞ ‖φ(λ)‖ = 0, ya que si |λ| > ‖T‖ entonces

‖φ(λ)‖ = ‖ 1λ

(I − T

λ)−1‖ = ‖ 1

λ

∑

n≥0

Tn

λn‖ ≤ 1

|λ|1

1− ‖T‖/|λ| =1

|λ| − ‖T‖ .

Por el teorema de Liouville vectorial [R, Theorem 3.32], esto implicarıa que φes constante y φ(λ) = 0, imposible por la definicion de φ. utNota. Otra demostracion de este resultado, basico en teorıa de operadores ymas generalmente en algebras de Banach, puede encontrarse en [Br] y [R].

A continuacion consideramos algunos ejemplos de operadores acotados enespacios de Hilbert. El teorema 5.2 es utilizado para resolver problemas deinversion.

Ejemplos (1) Sea (aij)∞i,j=1 una matriz infinita con aij ∈ K y tal que∑∞i,j=1 |aij |2 < ∞. Sean H1,H2 dos espacios de Hilbert separables de di-

mension infinita con bases ortonormales (un)n y (vn)n respectivamente. En-tonces la formula


T (x) = T

( ∞∑

i=1

〈x, ui〉ui

):=

∞∑

j=1

( ∞∑

i=1

aij〈x, ui〉vj

)

define un operador de H1 en H2 con

‖T‖ ≤

∞∑

i,j=1

|aij |2

12

.

En efecto, para ver que T esta bien definido hay que probar que la serie

∞∑

i=1

aij〈x, ui〉

es convergente, y si definimos bj :=∑∞

i=1 aij〈x, ui〉 entonces∑∞

j=1 |bj |2 < ∞.Basta aplicar la desigualdad de Holder (ejercicio 1.1) para obtener que

∞∑

i=1

|aij | |〈x, ui〉| ≤( ∞∑

i=1

|aij |2) 1

2( ∞∑

i=1

|〈x, ui〉2) 1

2

.

Tambien obtenemos que

‖T (x)‖2 =∞∑

j=1

|bj |2 ≤∑

i,j=1

|aij |2‖x‖2,

terminando la prueba.Si

∑i,j=1 |aij |2 < 1, el sistema

xi −∞∑

j=1

aijxj = yi, i = 1, 2, . . . ,

tiene una unica solucion z = (z1, z2, . . .) para cada y = (y1, y2, . . .) ∈ `2.Ademas los sistemas truncados

xi −n∑

j=1

aijxj = yi, i = 1, 2, . . . , n,

tienen una unica solucion z(n) = (z(n)1 , z

(n)2 , . . . z

(n)n ) y la sucesion Jn(z(n))

tiene por lımite z en `2, donde Jn es la inclusion de Kn en las primeras ncoordenadas de `2.

Para demostrar la primera parte basta aplicar el Teorema 5.2 al operadorT : `2 → `2. Sea Tn : `2 → `2 el operador definido a partir de la matriztruncada, es decir, aij = aij si 1 ≤ i, j ≤ n y aij = 0 en otro caso. El sistematruncado de nuevo tiene solucion por el Teorema 5.2, y debido a la unicidadde la solucion es Jn(z(n)). Falta comprobar que Jn(z(n)) → z en `2. Para ello

Inversion de operadores. Espectro 125

‖z − Jnz(n)‖ = ‖∞∑

k=0

T k(y)− T kn (y(n))‖ = ‖

∞∑

k=0

T k(y(n) + y − y(n))− T kny(n)‖

≤ ‖∞∑

k=0

T k(y − y(n))‖+ ‖∞∑

k=0

(T k − T kn )(y(n))‖

≤ ‖∞∑

k=0

T k(y − y(n))‖+ ‖T − Tn‖ ‖∞∑

k=0

k−1∑

j=0

T k−1−jT jn

(y(n))‖

≤ 11− ‖T‖‖y − y(n)‖+ ‖T − Tn‖ ‖y(n)‖

( ∞∑

k=0

αk−1

)

≤ 11− ‖T‖‖y − y(n)‖+ ‖T − Tn‖ ‖y‖C

donde α =∑∞

i,j=1 |aij |2. Como limn ‖y − y(n)‖ = 0 y limn ‖T − Tn‖ = 0 seconcluye que z = limn Jn(z(n)).

(2) Sea k ∈ L2([a, b]× [a, b]). Entonces la formula

Kf(t) :=∫ b

a

k(t, s)f(s)ds

define un operador acotado K : L2([a, b]) → L2([a, b]) (llamado operadorintegral con nucleo k) que cumple

‖K‖2 ≤∫ b

a

∫ b

a

|k(t, s)|2dtds.

La demostracion es analoga al ejemplo anterior utilizando la desigualdad deHolder integral.

Si∫ b

a

∫ b

a|k(t, s)|2dtds < 1, entonces para cada g ∈ L2([a, b]) la ecuacion

integral

f(t)−∫ b

a

k(t, s)f(s)ds = g(t) (5.1)

tiene una unica solucion, que es de la forma

g(t) +∫ b

a

k(t, s)g(s)ds,

donde k ∈ L2([a, b]× [a, b]). En efecto, aplicando el Teorema 5.2 tenemos queel operador I −K es invertible y la solucion de la ecuacion (5.1) viene dadapor

f = (I −K)−1g = g +∞∑

n=1

Kng.

Falta por comprobar que∑∞

n=1 Kn define un operador integral de nucleo k.Para ello comprobemos que, por el teorema de Fubini,


K2g(t) =∫ b

a

k2(t, u)g(u)du,

donde k2(t, u) =∫ b

ak(t, s)k(s, u)ds, con k2 ∈ L2([a, b]× [a, b]) y ‖k2‖ ≤ ‖k‖2.

Recursivamente se construye una sucesion (kn)n ⊂ L2([a, b]× [a, b]) tal que

(i) kn(t, u) =∫ b

ak(t, s)kn−1(s, u)ds, para n = 2, 3, . . ., con k1 = k.

(ii) ‖kn‖ ≤ ‖k‖n para n ∈ N.(iii) Kng(t) =

∫ b

akn(t, s)g(s)ds, para n = 1, 2, . . ..

Como∑∞

n=1 ‖kn‖ < ∞ entonces k :=∑∞

n=1 kn converge en L2([a, b]× [a, b]).Llamamos K al operador definido por el nucleo k. Para cada m ∈ N, se tieneque

‖m∑

n=1

Kn − K‖ ≤ ‖m∑

n=1

kn − k‖.

Tomando lımite cuando m → ∞ se tiene que la solucion a la ecuacion 5.1viene dada por la formula

f(t) = (I −K)−1g(t) = g(t) +∞∑

n=1

Kng(t) = g(t) +∫ b

a

k(t, s)g(s)ds.

5.2 Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert

En esta seccion definimos la nocion de adjunto de un operador. Aunque eladjunto de un operador se puede definir para espacios de Banach ([R, p.97]),en esta seccion nos basta trabajar en espacios de Hilbert con vistas al objetivoprincipal del capitulo, la seccion 5.4.

Proposicion 5.4 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert, y T ∈ L(H1,H2). En-tonces

‖T‖ = sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖, ‖y‖ ≤ 1 = sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖ = ‖y‖ = 1.Demostracion. Notese que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se tiene que

|〈T (x), y〉| ≤ ‖T (x)‖ ‖y‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖ ‖y‖.Por tanto sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖, ‖y‖ ≤ 1 ≤ ‖T‖. Por el teorema de Riesz,Teorema 4.37, se tiene que

‖T (x)‖ = sup|〈y, T (x)〉| ; ‖y‖ ≤ 1.Para cada ε > 0 existe x ∈ X con ‖x‖ ≤ 1 tal que

‖T‖ − ε ≤ ‖T (x)‖ ≤ sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖, ‖y‖ ≤ 1,y por tanto ‖T‖ = sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖, ‖y‖ ≤ 1. De forma similar se pruebaque ‖T‖ = sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖, ‖y‖ = 1. ut

Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert 127

Teorema 5.5 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y T : H1 → H2 un operadorlineal y continuo. Entonces existe un unico operador lineal y continuo T ∗ :H2 → H1 tal que

〈T (x), y〉 = 〈x, T (y)〉,para todo x ∈ H1 y para todo y ∈ H2. Ademas ‖T‖ = ‖T ∗‖.Demostracion. Para cada y ∈ H2 se define la aplicacion lineal fy : H2 → Kmediante

fy(w) := 〈w, y〉, w ∈ H2.

Si consideramos la aplicacion fy T : H1 → K es lineal y continua, y por elTeorema 4.37, existe z ∈ H1 tal que

〈T (x), y〉 = fy(T (x)) = 〈x, z〉.

Si definimos T ∗(y) := z entonces T ∗ : H2 → H1 es lineal y ademas

sup|〈T (x), y〉| ; ‖x‖, ‖y‖ ≤ 1 = sup|〈x, T ∗(y)〉| ; ‖x‖, ‖y‖ ≤ 1,

y por la Proposicion 5.4, se tiene ‖T ∗‖ = ‖T‖. ut

Definicion 5.6 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y T ∈ L(H1,H2). Al ope-rador T ∗ ∈ L(H2,H1) definido en el Teorema 5.5 se llama operador adjuntode T .

Algunas propiedades inmediatas de los operadores adjuntos son las siguien-tes.

Proposicion 5.7 Sean H1,H2 y H3 espacios de Hilbert, T, S ∈ L(H1,H2) yR ∈ L(H2,H3). Entonces

(i) (λT + µS)∗ = λT ∗ + µS∗ con λ, µ ∈ K.(ii)(T ∗)∗ = T .(iii)(TR)∗ = R∗T ∗.(iv) Si T es invertible entonces T ∗ tambien, y (T ∗)−1 = (T−1)∗.(v) ‖TT ∗‖ = ‖T ∗T‖ = ‖T‖2.(vi) ker(T ) = (Im(T ∗))⊥, ker(T ∗) = (Im(T ))⊥, (ker(T ))⊥ = Im(T ∗),

(ker(T ∗))⊥ = Im(T ).(vii)λ ∈ σ(T ) si y solo si λ ∈ σ(T ∗).

Demostracion. Las cuatro primeras propiedades son de comprobacion inme-diata. Para la propiedad (v) usamos que ‖T ∗‖ = ‖T‖, por lo que

‖T ∗T‖ ≤ ‖T‖2.

Ademas se tiene por la desigualdad de Cauchy-Schwarz que

‖T (x)‖2 = |〈T (x), T (x)〉| = |〈T ∗T (x), x〉| ≤ ‖T ∗T‖ ‖x‖2,


de donde ‖T‖2 ≤ ‖T ∗T‖ y obtenemos la igualdad ‖T‖2 = ‖T ∗T‖. Cambiandolos papeles de T y T ∗ obtenemos ‖T ∗T‖ = ‖TT ∗‖.

Para probar (vi) tomamos x ∈ ker(T ). Entonces T (x) = 0 y equivalente-mente 0 = 〈T (x), y〉 = 〈x, T ∗(y)〉 para todo y ∈ H2, es decir x ∈ (Im(T ∗))⊥.Ası pues, ker(T ) = (Im(T ∗))⊥ y por tanto ker(T ∗) = (Im(T ))⊥. Por otro lado(ker(T ))⊥ = (Im(T ∗))⊥⊥ = Im(T ∗) y en consecuencia (ker(T ∗))⊥ = Im(T ).

Por ultimo si λ ∈ C\σ(T ) entonces (T − λI) es invertible y por (iv) suadjunto (T ∗ − λI) tambien, es decir λ ∈ C\σ(T ∗). Recıprocamente si λ ∈C\σ(T ∗), entonces λ ∈ C\σ(T ∗∗) = C\σ(T ). Ası, λ ∈ σ(T ) si y solo siλ ∈ σ(T ∗) y el apartado (vii) esta probado. ut

Notese que si H1 = H2 entonces T, T ∗ ∈ L(H1). En este caso se considerandiversas clases de operadores:

Definicion 5.8 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H).

(i) El operador T se dice autoadjunto o hermitiano si T = T ∗.(ii) El operador T se dice normal si TT ∗ = T ∗T .(iii) El operador T se dice unitario si TT ∗ = I = T ∗T .(iv) El operador T se dice proyeccion si T 2 = T .

Notese que todo operador autoadjunto es normal. Los operadores autoad-juntos cumplen las siguientes propiedades.

Proposicion 5.9 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(X) un operador au-toadjunto. Se cumple que

(i) 〈T (x), x〉 ∈ R para todo x ∈ H y

‖T‖ = sup|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ ≤ 1 = sup|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ = 1.

(ii) σp(T ) ⊂ R.(iii) Si 〈T (x), x〉 = 0 para todo x ∈ H entonces T = 0.(iv) H = ker(T )⊕ Im(T ).(v) si S es autoadjunto entonces T + S es autoadjunto. El operador TS es

autoadjunto si y solo si TS = ST .

Demostracion. Comenzamos con (i). Notemos que

〈T (x), x〉 = 〈x, T ∗(x)〉 = 〈x, T (x)〉 = 〈T (x), x〉,

y por tanto 〈T (x), x〉 ∈ R. Por la Proposicion 5.4 se cumple que

sup|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ = 1 ≤ sup|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ ≤ 1 ≤ ‖T‖.

Sean s = sup|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ = 1, a ∈ R\0 y los vectores

u = ax +1aT (x), v = ax− 1

aT (x).

Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert 129

Como se cumple que |〈T 2(x), x〉| = ‖T (x)‖2 y 〈T (u), u〉 − 〈T (v), v〉 =4‖T (x)‖2, entonces

‖T (x)‖2 ≤ 14

(〈T (u), u〉 − 〈T (v), v〉) ≤ s

4(‖u‖2 + ‖v‖2)

≤ s

4(a2‖x‖2 +

1a2‖T (x)‖2).

Sea ahora x ∈ H con ‖x‖ ≤ 1 y tal que T (x) 6= 0, y tomamos a2 = ‖T (x)‖.Entonces se cumple que ‖T (x)‖2 ≤ s‖T (x)‖ y por tanto ‖T (x)‖ ≤ s, con loque tenemos la primera parte.

Los apartados (ii) y (iii) son consecuencias de (i) .Para probar (iv) notamos que H = ker(T )⊕ (ker(T ))⊥ = ker(T )⊕ Im(T )

por la Proposicion 5.7 (vi).Para (v) Basta aplicar la Proposicion 5.7 (i) y (iii). ut

Notas. En el caso de que K = C y T ∈ L(H), se puede probar que T esautoadjunto si y solo si 〈T (x), x〉 ∈ R para todo x ∈ H (vease por ejemplo [R]).Ademas T se puede descomponer de la forma, T = A + iB con A,B ∈ L(X)operadores autoadjuntos, donde

A =T + T ∗

2, B =

T − T ∗

2i.

A menudo los operadores A y B se llaman la parte real y la parte imaginariade T , A = <T y B = =T .

La siguiente proposicion caracteriza a los operadores normales.

Proposicion 5.10 Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(X). Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) el operador T es normal,(ii) 〈T (x), T (y)〉 = 〈T ∗(x), T ∗(y)〉 para todos x, y ∈ H,(iii) ‖T (x)‖ = ‖T ∗(x)‖ para todo x ∈ H.

Ademas, en el caso en que K = C cada una de las afirmaciones anterioresequivale a que

<(T )=(T ) = =(T )<(T ).

Demostracion. Haremos una demostracion cıclica. La implicacion (i) ⇒ (ii)es directa ya que al ser T normal

〈T (x), T (y)〉 = 〈x, T ∗T (y)〉 = 〈x, TT ∗(y)〉 = 〈T ∗(x), T ∗(y)〉,

para x, y ∈ H. (ii) ⇒ (iii) es directo. Veamos que (iii) ⇒ (i): como〈T (x), T (x)〉 = 〈T ∗(x), T ∗(x)〉, entonces 〈T ∗T (x), x〉 = 〈TT ∗(x), x〉, y portanto

〈(T ∗T − TT ∗)(x), x〉 = 0.


Como el operador T ∗T − TT ∗ es autoadjunto, por la Proposicion 5.9 (ii) setiene que T es normal.

En el caso que K = C se tiene que

TT ∗ = (<(T ))2 + (=(T ))2 − i<(T )=(T ) + i=(T )<(T )T ∗T = (<(T ))2 + (=(T ))2 + i<(T )=(T )− i=(T )<(T ),

y por tantoTT ∗ − T ∗T = 2i(=(T )<(T )−<(T )=(T )),

con lo que se concluye la prueba. utVamos a ver algunas propiedades de los operadores normales (y por tanto

de los operadores autoadjuntos). Estas propiedades se utilizaran en la seccion5.4.

Proposicion 5.11 Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal. Entonces se cumple que:

(i) para todo λ ∈ C, ker(T − λI) = ker(T ∗ − λI).(ii)si λ 6= µ entonces ker(T − λI) ⊥ ker(T − µI).(iii) los subespacios ker(T − λI) y (ker(T − λI))⊥ son invariantes por T .

Demostracion. Como T es normal entonces T − λI tambien lo es ya que

(T − λI)(T ∗ − λI) = T ∗T − λT − λT ∗ + |λ|2I = (T ∗ − λI)(T − λI).

Por la Proposicion 5.10, se cumple que

‖(T − λI)x‖ = ‖(T ∗ − λI)x‖,para todo x ∈ X, lo que prueba (i).

Sean λ 6= µ y sean x ∈ ker(T − λI), e y ∈ ker(T − µI). Entonces

λ〈x, y〉 = 〈T (x), y〉 = 〈x, T ∗(y)〉 = µ〈x, y〉,de donde se obtiene que 〈x, y〉 = 0 lo que da (ii).

Por ultimo, si x ∈ ker(T − λI) entonces T (x) = λx ∈ ker(T − λI), y portanto ker(T −λI) es invariante por T . Sea ahora y ∈ (ker(T −λI))⊥. Entonces〈y, x〉 = 0 para todo x ∈ ker(T − λI). Ademas por (i)

〈T (y), x〉 = 〈y, T ∗(x)〉 = 〈y, λx〉 = λ〈y, x〉 = 0,

y por tanto (ker(T − λI))⊥ es invariante por T concluyendo (iii). utPara terminar esta seccion consideramos los ejemplos de la seccion 4.1

Ejemplos (1) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana(en)n, y el operador T definido en L(H) mediante la matriz (aij)i,j con∑∞

i,j=1 |aij |2 < ∞. Entonces el operador adjunto T ∗ se representa por lamatriz (bij)i,j con bij = aji. El operador T es autoadjunto si y solo si

Operadores compactos 131

aij = aji, i, j ∈ N.

(2) Si K : L2([a, b]) → L2([a, b]) es un operador integral con nucleo k ∈L2([a, b]× [a, b]), entonces K∗ es un operador integral con nucleo

k∗(t, s) = k(s, t), t, s ∈ [a, b].

El operador K es autoadjunto si y solo si k(t, s) = k(s, t) para todo t, s ∈ [a, b].En general K es normal si y solo si

∫ b

a

k(s, t)k(s, x)ds =∫ b

a

k(t, s)k(x, t)ds

para casi todo (t, x) ∈ [a, b]× [a, b].

5.3 Operadores compactos

En esta seccion introducimos los operadores compactos. La compacidad deun operador y las propiedades basicas de los operadores compactos puedenestudiarse en espacios normados. Anadir la estructura de espacios de Hilbertpermite probar que todo operador compacto es lımite de una sucesion deoperadores acotados de rango finito.

Definicion 5.12 Sean X e Y espacios normados y T ∈ L(X, Y ). El operadorT se dice compacto si T (DX(0, 1)) es un conjunto compacto en Y (es decir,si T (DX(0, 1)) es un conjunto relativamente compacto). El conjunto de losoperadores compactos se denota por K(X, Y ).

Notese que por el Teorema 1.11 los operadores acotados de rango finitoson compactos, y el operador identidad de un espacio vectorial normado dedimension infinita nunca es compacto.

Si Y es un espacio de Banach (es decir, se exige la completitud) y T ∈L(X, Y ), entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) T es compacto,(ii) para cada sucesion (xn) ⊂ X acotada en norma, la sucesion (T (xn))n

posee una subsucesion convergente.

Vease una demostracion en [MV, Corollary 4.10].Si X e Y son espacios normados, entonces el conjunto K(X, Y ) es un

subespacio vectorial de L(X, Y ), y en el caso de que Y sea de Banach, K(X, Y )es un subespacio cerrado [MV, Proposition 15.1]. Se prueba directamente quesi T ∈ L(X, Y ), S ∈ K(Y, Z) y R ∈ L(Z,W ) entonces R S T ∈ K(X,W ),en particular K(X) es un ideal bilatero de L(X).

Teorema 5.13 Sean X e Y espacios normados y T ∈ K(X, Y ). Entonces secumple lo siguiente:


(i) M = Im(T ) es un subespacio separable de Y .(ii)si Y es un espacio de Hilbert, (en)n es una base hilbertiana de M y Pn

es la proyeccion ortogonal de Y en el subespacio spanei ; 1 ≤ i ≤ n,entonces se tiene que T = limn PnT en L(X,Y ).

Demostracion. Comenzamos con (i). Como el conjunto T (DX(0, 1)) es relati-vamente compacto, entonces es precompacto, y en cualquier espacio metricoes separable (vease por ejemplo, [MV, chapter 4]). Por tanto nT (DX(0, 1)) esseparable y

Im(T ) =⋃n

nT (DX(0, 1))

tambien es separable.Para ver (ii) notese que M es de dimension infinita. Como Y es un espa-

cio de Hilbert, M es un espacio de Hilbert separable y podemos tomar unabase de Hilbert ortonormal numerable (en)n∈N de M . Sea Pn la proyeccionortonormal sobre spanei ; 1 ≤ i ≤ n. Para cada x ∈ X se tiene queT (x) = limn PnT (x). Por la compacidad de T vamos a probar que la con-vergencia es uniforme en la bola unidad, es decir, T = limn PnT en L(X, Y ).Sea ε > 0. Existe un conjunto finito (xj)j∈J en DX(0, 1) tal que

‖T (x)− T (xj)‖ ≤ ε

3,

para cierto j0 ∈ J, dado cualquiera x ∈ DX(0, 1). Existe n0 tal que para todon ≥ n0 se tiene que ‖T (xj0)− PT (xj0)‖ ≤ ε

3 y por tanto

‖T (x)− PnT (x)‖≤ ‖T (x)− T (xj0)‖+ ‖T (xj0)− PnT (xj0)‖+ ‖PnT (xj0)− PnT (x)‖ ≤ ε,

ya que ‖Pn‖ = 1, de donde se deduce que para todo n ≥ n0 se cumple que‖T − PnT‖ < ε y se concluye la demostracion. ut

Corolario 5.14 El conjunto de los operadores compactos en un espacioHilbert es la clausura, en la topologıa de la norma de los operadores, del con-junto de los operadores acotados de rango finito.

Corolario 5.15 Sean H1,H2 dos espacios de Hilbert y T ∈ L(H1, H2). Eloperador T es compacto si y solo si T ∗ es compacto.

Demostracion. Por el corolario anterior existen (Tn) de rango finito tal queT = lim Tn. Notese que (Tn)∗ tambien es de rango finito y como

‖Tn − T‖ = ‖(Tn)∗ − T ∗‖entonces T ∗ = lim(Tn)∗. De nuevo por el teorema anterior se tiene que T ∗

es compacto. Recıprocamente, aplicando esta propiedad a T ∗ se obtiene que(T ∗)∗ = T es compacto. ut

El espectro de un operador compacto esta bien descrito (vease la seccion5.4). En el proximo resultado probamos algunos resultados en esta direccion.

Operadores compactos 133

Proposicion 5.16 Sean X un espacio de Banach sobre K y T ∈ K(X).

(i) Si λ 6= 0 entonces ker(T − λI) es de dimension finita.(ii)Si X es infinito dimensional entonces 0 ∈ σ(T ).

Demostracion. El apartado (i) basta probarlo para λ = 1. Sea U la bolaunidad cerrada del espacio normado ker(T − I). Notese que T (U) = U y alser T compacto entonces U es relativamente compacto y por tanto compacto.Por el Teorema de Riesz, Teorema 1.11, ker(T − I) es finito dimensional.

Veamos el apartado (ii). Si 0 6∈ σ(T ) entonces IX = T T−1 y por com-posicion IX es compacto, y de nuevo por el Teorema 1.11, llegamos a con-tradiccion. ut

Para terminar la seccion consideramos los ejemplos ya estudiados en lasecciones anteriores.

Ejemplos (1) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilber-tiana (en)n y el operador T definido en L(H) mediante la matriz (aij)i,j

con∑∞

i,j=1 |aij |2 < ∞. Entonces el operador T es compacto. En efecto, sise definen los operadores Tn mediante las matrices (an

ij)ij donde anij = aij si

1 ≤ i, j ≤ n y anij = 0 en otro caso , se cumple que

‖T − Tn‖2 ≤∞∑

i,j=1

|aij |2 −n∑

i,j=1

|aij |2.

Como Tn es de rango finito entonces T es compacto.

(2) Sean H1 y H2 espacios de Hilbert. Un operador lineal y acotado T ∈L(H1,H2) se dice de Hilbert-Schmidt si existe una sucesion ortonormal (en)n∈N⊂ H1 tal que

∞∑n=1

‖T (en)‖2 < ∞.

Es directo probar que los operadores de Hilbert-Schmidt son compactos (sonlımite de truncaturas finito-dimensionales), vease [Y, Theorem 8.7].

Sin embargo no todos los operadores compactos son de Hilbert-Schimidt.Por ejemplo, el operador diagonal (vease el ejercicio 5.3) T : `2 → `2 definidopor la matriz

diag(1,1√2,

1√3

. . .),

es compacto pero no es de Hilbert-Schmidt.

(3) Sea K : L2([a, b]) → L2([a, b]) un operador integral con nucleo k ∈L2([a, b] × [a, b]). Entonces el operador K es de Hilbert-Schimdt y por tantoes compacto (vease, por ejemplo, [Y, Theorem 8.8]).


5.4 Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos

En el caso finito dimensional, es bien conocido el teorema de Jordan o de di-agonalizacion de matrices (vease por ejemplo [St, p.250]). Si T es un operadorautoadjunto sobre un espacio de Hilbert H de dimension n entonces:

(i) si λ1, λ2, . . . λm son los valores propios de T , distintos entre sı, se tiene que

H = ker(T − λ1I)⊕ ker(T − λ2I)⊕ . . .⊕ ker(T − λmI).

La suma anterior es una suma directa ortogonal.(ii) el operador T se puede expresar en la forma

T (x) =n∑

k=1

µk〈x, ek〉ek,

donde cada µk es un valor propio de T y cada λ ∈ σp(T ) = σ(T ) apareceun numero finito de veces igual a la dimension del subespacio vectorialker(T − λI) en la coleccion µk | 1 ≤ k ≤ n.

(iii) existe una base ortonormal (ej)nj=1 de H de vectores propios de T .

La generalizacion del teorema de Jordan en espacios vectoriales de di-mension infinita se conoce como el teorema espectral. Daremos la demostracionpara operadores compactos autoadjuntos.

Teorema 5.17 Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ K(H).

(i) Si T es autoadjunto, entonces o bien ‖T‖ o bien −‖T‖ es un valor propiode T .

(ii)Si T es normal entonces σp(T ) 6= ∅.Demostracion. Veamos (i). Si T = 0 el resultado es trivial. Supongamos queT 6= 0. Por la Proposicion 5.9

‖T‖ = sup|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ = 1,por tanto existe (xn)n en H tal que ‖xn‖ = 1 y 〈T (xn), xn〉 → λ ∈ R con‖T‖ = |λ|. Probemos que λ ∈ σp(T ). Notese que

‖(T − λI)xn‖2 = ‖T (xn)‖2 − 2λ〈T (xn), xn〉+ λ2

= 〈T (xn), T (xn)− λxn + λxn〉 − 2λ〈T (xn), xn〉+ λ2,

por tanto lim(T −λI)(xn) = 0. Al ser T compacto, la sucesion (T (xn))n poseeuna subsucesion convergente (que denotamos igual) a y ∈ H. Entonces,

(T − λI)(y) = limn

(T − λI)(T (xn)) = limn

T (T − λI)(xn)

= T (limn

(T − λI)(xn)) = 0,

y como

Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos 135

‖y‖ = ‖ lim T (xn)‖ = limn‖T (xn)‖ = |λ| = ‖T‖ > 0

entonces λ es valor propio.Podemos probar ahora (ii). Como T ∈ L(H) es normal, T = B + iC en

L(H) con B, C operadores autoadjuntos en L(H) tales que BC = CB, (veasela Proposicion 5.10). Por la parte (i), B tiene un valor propio λ con ker(B −λI) 6= 0. Como C conmuta con B se tiene que C(ker(B−λI)) ⊂ ker(B−λI),y aplicando el apartado (i) a este subespacio, se concluye que existe x ∈ker(B − λI), x 6= 0, y un escalar µ tales que C(x) = µx. ConsecuentementeT (x) = (λ + iµ)x y queda acabada la prueba. ut

A continuacion describimos el espectro de los operadores compactos nor-males en espacios de Hilbert. Aunque el resultado siguiente es valido paraoperadores compactos en espacios de Banach (vease [MV, Proposition 15.12]),para la demostracion del teorema espectral basta esta version.

Teorema 5.18 Sean H un espacio de Hilbert sobre K y T ∈ K(H) un oper-ador normal. Entonces se cumple lo siguiente.

(i) σ(T )\0 = σp(T )\0.(ii)El espectro de T es finito o numerable. En el caso numerable, es una

sucesion acotada que tiene al 0 como unico punto de acumulacion.

Demostracion. Para (i) consideramos 0 6= λ ∈ σ(T )\σp(T ). Notese que, porla Proposicion 5.11, ker(T − λI) = ker(T ∗ − λI), de donde obtenemos que

0 = ker(T − λI) = (Im(T − λI))⊥,

aplicando la Proposicion 5.7 (vi). Por consiguiente, H = (T − λI)(H). Al serT compacto, (T − λI)(H) es cerrado (vease por ejemplo [MV, Lemma 15.7 yCorollary 8.7]) y por tanto H = (T − λI)(H), llegando a contradiccion.

Para (ii) basta probar que para cada ε > 0 el conjunto

Aε := λ ∈ σp(T ) ; |λ| > εes finito. Supongamos que para algun ε > 0 el conjunto Aε fuese infinito. Sea(λn)n en σp(T ) con terminos distintos dos a dos. Si en es un vector propio denorma 1 asociado a λn para cada n ∈ N, entonces se tiene que para n 6= m

‖T (en)−T (em)‖2 = ‖λnen−λmem‖2 = ‖λn−λmem‖2 = |λn|2 + |λm|2 > 2ε2

aplicando la Proposicion 5.11. Por tanto la sucesion (T (en))n no puede tenerninguna subsucesion convergente, lo que contradice el hecho de que T seacompacto. ut

El siguiente teorema es el principal de este capıtulo.

Teorema 5.19 (Teorema espectral para operadores compactos autoadjun-tos) Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador compacto autoad-junto.


(i) El conjunto de los vectores propios no nulos de T σp(T )\0 es finito onumerable, y el espacio puede expresarse como suma directa hilbertiana deker(T ) y de los subespacios propios correspondientes a los valores propiosno nulos de T , es decir,

H = ker(T )⊕

λ∈σp(T )\0(ker(T − λI)) .

(ii)Si Pλ es la proyeccion ortogonal sobre el subespacio ker(T − λI), entonces

T =∑

λ∈σ(T )

λPλ

en el espacio L(H), donde la igualdad anterior debe entenderse en el sen-tido de que la familia (λPλ)λ∈σ(T ) es sumable con suma T .

(iii) Im(T ) =⊕

λ∈σp(T )\0ker(T − λI).

(iv)Existen un conjunto contable (finito o numerable) J , una coleccion (en)n∈J

de vectores ortonormales que constituyen una base de Im(T ), y unacoleccion de escalares (µn)n∈J , (µn ∈ λ ; λ ∈ σp(T )\0) tales quepara cada x ∈ H se tiene que

T (x) =∑

n∈J

µn〈x, en〉en.

Para cada n ∈ J , el valor λ ∈ σp(T )\0 aparece en la coleccionµn ; n ∈ J un numero finito de veces cuyo valor es la dimensionker(T − λI).

(v) Cada x ∈ H admite una representacion de la forma

x = P0(x) +∑

n∈J

〈x, en〉en,

donde P0 es la proyeccion ortogonal de H sobre ker(T ).

Demostracion. Supongamos que H es infinito dimensional. La clave de lademostracion es el apartado (i). Por la Proposicion 5.16, 0 ∈ σ(T ); por elTeorema 5.17, σp(T ) 6= ∅ y por el Teorema 5.18, σ(T ) = σp(T ) ∪ 0 es unconjunto contable y con el cero como unico posible punto de acumulacion.Pongamos λ0 = 0 y sean λn ; n = 1, 2, . . . los valores propios no nulos,diferentes entre sı, de T . Llamamos D al subconjunto de N∪0 que describea σp(T ) = λn ; n ∈ D. Probemos (i), es decir

H =⊕

λ∈σ(T )

(ker(T − λI)) .

Por la Proposicion 5.11, se tiene que ker(T −λnI) ⊥ ker(T −λmI) si n, m ∈ Dy n 6= m. Sea F el subespacio definido mediante


F = spanker(T − λnI) : n ∈ D,

y probemos que F = H. Para ello basta ver que F es denso en H, es decirque F⊥ = 0. El subespacio F es invariante por T , ya que cada subespacioker(T−λnI) es invariante por T (Proposicion 5.11). Tambien F⊥ es invariantepor T , ya que al ser autoadjunto si x ∈ F⊥ e y ∈ F

〈T (x), y〉 = 〈x, T ∗(y)〉 = 〈x, T (y)〉 = 0,

porque T (F ) ⊂ F . Veamos que F⊥ = 0. En caso contrario, existirıan dosposibilidades.

(a) Si T |F⊥ = 0 entonces F⊥ ⊂ ker(T ) ⊂ F y por tanto F⊥ = 0.(b) Si T |F⊥ 6= 0, al ser T |F⊥ autoadjunto, por el Teorema 5.17 el operador

T |F⊥ tiene un valor propio µ y un vector propio y ∈ F⊥. Como µ ∈σp(T ) se tiene que y ∈ F, de donde obtenemos que y = 0, llegando acontradiccion.

Por tanto H se descompone como suma directa ortogonal de subespacioscerrados tales que la restriccion de T a ellos es un multiplo de la identidad.Sea Pλn la proyeccion ortogonal de H al subespacio ker(T − λnI) con n ∈ D.Se cumple que

x = Pλ0(x) + Pλ1(x) + Pλ2(x) + . . . =∑

n∈D

Pλn(x), x ∈ H.

Por la Proposicion 5.16 se tiene que la dimension de ker(T − λnI) es finitacon n 6= 0, mientras que la de ker(T − λ0I) puede ser nula, finita o infinita.Tomando una base ortonormal de cada subespacio ker(T − λnI) con n 6= 0 yconstruyendo con los vectores una sucesion (en)n∈J , entonces se tiene que

x = Pλ0(x) +∑

n∈J

〈x, en〉en,

probando de esta forma (iv).Como (ker(T ))⊥ = Im(T ) (Proposicion 5.11) podemos probar el apartado

(iii) a partir del apartado (i). Ademas la familia (en)n∈J es una base ortonor-mal de Im(T ).

Al ser T lineal, continua y su restriccion a ker(T −λnI) coincidir con λnI,se verifica que

T (x) =∑

n∈D0λnPλn(x),

para cada x ∈ H, y utilizando una base ortonormal (en)n∈J de Im(T ) se tieneque

T (x) =∑

n∈J

µn〈x, en〉en,


donde cada µn es uno de los λm, m ∈ D\0, y que aparece tanta veces comola dimension de ker(T − λnI), obteniendo (iv).

Probemos (ii): si D es finito es inmediata la igualdad. Sean D0 ⊂ D\0finito y el operador

RD0(x) := T −∑

D0

λnPλn .

Notese que el operador RD0 cumple que

RD0(x) =∑

n∈D\D0

λnPλn(x),

y por tanto es un operador diagonal. Por el ejercicio 5.3, se tiene que

‖T −∑

n∈D0

λnPλn‖ = ‖RD0‖ = sup|λn| : n ∈ D\D0.

Al ser 0 el unico punto de acumulacion se concluye que

T =∑

λ∈σ(T )

λPλ

en L(H), concluyendo la prueba. utNota. Es posible dar un enunciado identico para operadores T normales com-pactos en espacios de Hilbert. La demostracion en este caso utiliza la descom-posicion de T = <T + =T, donde <T e =T, son operadores autoadjuntos ycompactos, y el teorema anterior (vease por ejemplo [BN]). Otros teoremasespectrales para operadores no acotados se enuncian y se demuestran en [R].

El teorema espectral permite obtener la siguiente representacion de opera-dores compactos entre espacios de Hilbert cualesquiera.

Corolario 5.20 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert sobre K y T ∈ L(H1,H2)un operador. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) el operador T es compacto,(ii)existe un conjunto contable (νn)n∈J de escalares positivos, con 0 como

unico punto de acumulacion, y conjuntos ortonormales (en)n∈J en H1 y(fn)n∈J en H2 tales que

T (x) =∑

n∈J

νn〈x, en〉fn.

Demostracion. Veamos en primer lugar que (i) ⇒ (ii): notese que el operadorS := T ∗T es compacto y autoadjunto y ademas

〈T ∗T (x), x〉 = 〈T (x), T (x)〉, x ∈ H1,

por lo que σ(S) ⊂ [0, ‖S‖]. Por el Teorema Espectral existe un conjuntoortonormal contable (en)n∈J que es base de Im(S) y un conjunto contable


(µn)n∈J de numeros reales positivos tales que para cada x ∈ H1 se cumpleque

S(x) =∑

n∈J

µn〈x, en〉en, x = P0(x) +∑

n∈J

〈x, en〉en,

siendo P0 la proyeccion ortogonal de H1 sobre el ker(T ∗T ). Notese queker(T ∗T ) = ker(T ) gracias a que

〈T ∗T (x), x〉 = 〈T (x), T (x)〉, x ∈ H1.

Entonces

T (x) =∑

n∈J

〈x, en〉T (en) =∑

n∈J

√µn〈x, en〉T (en)√

µn=

∑

n∈J

√µn〈x, en〉fn,

donde fn =T (en)√

µnpara cada n ∈ J . Basta comprobar que (fn)n∈J es una

familia ortonormal:

〈fk, fj〉 =1√

µk√

µj〈T (ek), T (ej)〉 =

1√µk√

µj〈S(ek), ej〉 =

µk√µk√

µjδkj = δkj .

Veamos ahora el recıproco (ii) ⇒ (i). Sean T el operador definido por

T (x) =∑

n∈J

νn〈x, en〉fn,

donde (νn)n∈J es un conjunto de escalares positivos, con 0 como unico puntode acumulacion y conjuntos ortonormales (en)n∈J en H1 y (fn)n∈J en H2.Queremos ver que T es compacto. Si J es finito entonces T es de rango finitoy por tanto compacto. Si por el contrario J es infinito, la sucesion (νn)n∈Nesta acotada ya que

|νn| = ‖νnfn‖ ≤ ‖T‖‖en‖ = ‖T‖,

para todo n ∈ J . Por lo tanto para cada ε > 0 el conjunto n ∈ N ; |νn| ≥ εes finito, y por tanto limn νn = 0. Sea x ∈ BH(0, 1). Entonces para cadan ∈ N, se tiene que

‖T (x)−n∑

k=1

νk〈x, ek〉fk‖ =

( ∞∑

k=n+1

|νk|2〈x, ek〉2) 1

2

≤ sup|νk| ; k > n,

donde usamos el ejercicio 5.3, y por tanto T es compacto al ser lımite en L(H)de una sucesion de operadores de rango finito. utNotas. En el corolario anterior, si H1 = H2 se prueba de identica manera queun operador T es compacto autoadjunto si y solo si los coeficientes (νn)n∈J


son reales, con 0 como unico punto de acumulacion, y existe un conjuntoortonormal contable (en)n∈N tal que

T (x) =∑

n∈J

νn〈x, en〉en,

para todo x ∈ H1 = H2. Tambien se cumple que un operador T ∈ L(H) escompacto normal si y solo si existen un conjunto de escalares (νn)n∈J con0 como el unico punto de acumulacion, y un conjunto ortonormal contable(en)n∈N tales que

T (x) =∑

n∈J

νn〈x, en〉en,

para todo x ∈ H.

5.5 Aplicaciones del teorema espectral

Para terminar este capıtulo damos dos aplicaciones del teorema espectralen la prueba de existencia de soluciones de ecuaciones funcionales (alterna-tiva de Fredholm) y de algunas ecuaciones diferenciales (problema de Sturm-Liouville).

5.5.1 Alternativa de Fredholm

Dados λ ∈ K, H un espacio de Hilbert, T ∈ L(H) e y ∈ H, estamos interesadosen encontrar solucion a la ecuacion funcional

(λI − T )(x) = y

(comparese con el Teorema 5.2 y ejemplos de la seccion 5.1).

Teorema 5.21 (Alternativa de Fredholm) Sea H un espacio de Hilbert sobreK y T ∈ L(H) un operador compacto autoadjunto. Sea (en)n∈J una base deIm(T ) tal que T se expresa en la forma

T (x) =∑

n∈J

µn〈x, en〉en.

(i) Si λ 6∈ σp(T )∪ 0 entonces para cada y ∈ H la ecuacion (λI − T )(x) = ytiene una unica solucion que viene dada por la formula

x =1λ

(y +

∑

n∈J

µn

λ− µn〈y, en〉en

).

Aplicaciones del teorema espectral 141

(ii)Si λ ∈ σp(T )\0 entonces la ecuacion (λI − T )(x) = y tiene solucion siy solo si y ∈ ker(λI − T ))⊥, siendo la solucion general, en este caso,

x =1λ

(y +

∑

n∈Jλ

µn


)+ z,

donde z ∈ ker(λI − T ) es arbitrario y Jλ = n ∈ J : µn 6= λ.(iii) La ecuacion T (x) = y tiene solucion si y solo si,

y ∈ (ker(T ))⊥, e∑

n∈J

|〈y, en〉|2 1|µn|2 < ∞.

En este caso las soluciones vienen dadas por

x = z +∑

n∈Jλ

1µn〈y, en〉en,

donde z ∈ ker(T ) es arbitrario.

Demostracion. Notese que si existe solucion a la ecuacion (λI − T )(x) = y,con y ∈ H y 0 6= λ, entonces esta cumplirıa

x =1λ

(T (x) + y) =1λ

(∑

n∈J

µn〈x, en〉en + y

).

Por tanto 〈x, en〉 = λ−1 (µn〈x, en〉+ 〈y, en〉), o sea

(λ− µn)〈x, en〉 = 〈y, en〉.Para probar (i), sea λ 6∈ σp(T )∪0. Entonces λ−µn 6= 0 para todo n ∈ J

y consideramos la serie

x =1λ

(∑

n∈J

µn

λ− µn〈y, en〉en + y

).

La serie anterior converge ya que si σp(T ) es infinito entonces limn µn = 0 ysupn|µn/(λ− µn| < ∞, con lo que

∑

n∈J

∣∣∣∣µn

λ− µn

∣∣∣∣2

|〈y, en〉|2 < ∞,

(Proposicion 4.33). Es claro que x expresada por la serie anterior es la unicasolucion de la ecuacion (λI − T )(x) = y.

Para (ii), sea ahora λ ∈ σp(T )\0. Si la ecuacion (λI − T )(x) = y tienesolucion entonces y ∈ Im(λI − T ) ⊂ (ker(λI − T ))⊥ (usamos que T es au-toadjunto y la Proposicion 5.7 (vi)). Recıprocamente, si y ∈ (ker(λI − T ))⊥

se comprueba que el vector


x =1λ

(y +

∑

n∈Jλ

µn


)+ z,

donde z ∈ ker(λI − T ) es arbitrario y Jλ = n ∈ J ; µn 6= λ, satisface laecuacion (λI − T )(x) = y.

Por ultimo, para (iii), si la ecuacion T (x) = y tiene solucion, entoncesy ∈ Im(T ) ⊂ (ker(T ))⊥. Por otro lado se tiene que

∑

n∈J

µn〈x, en〉en = T (x) = y =∑

n∈J

〈y, en〉en,

de donde 〈x, en〉 = µ−1n 〈y, en〉 y

∑

n∈J

|〈y, en〉|2 1|µn|2 < ∞.

Recıprocamente, si se cumple que

y ∈ (ker(T ))⊥,∑

n∈J

|〈y, en〉|2 1|µn|2 < ∞,

se comprueba directamente que el vector definido por

x = z +∑

n∈Jλ

1µn〈y, en〉en,

donde z ∈ ker(T ) es arbitrario, es solucion de la ecuacion T (x) = y. utNota. Se pueden encontrar algunas formulaciones particulares de la alterna-tiva de Fredholm para operadores diferenciales en los problemas de Dirichlety Neumann, por ejemplo en [C, Teorema 13.9].

5.5.2 Funciones propias del problema de Sturm-Liouville

Sea I = (0, 1) y consideramos ( problema de Sturm-Liouville)−(pu′)′(x) + qu(x) = f(x), x ∈ I,

u(0) = u(1) = 0,(5.2)

donde p ∈ C(1)(I), q ∈ C(I) y f ∈ L2(I), estudiado en la seccion 3.6 (al-gunos casos particulares se ven en los ejercicios de este capıtulo). Probamosel siguiente resultado.

Teorema 5.22 Sea p ∈ C(1)(I) con p ≥ α > 0 en I y q ∈ C (I). Entoncesexisten una sucesion (λn)n≥1 de numeros reales positivos y una base hilber-tiana (en)n≥1 de L2(I) tales que en ∈ C(2)(I) y

−(pe′n)′(x) + qen(x) = λnen(x), x ∈ I,en(0) = en(1) = 0.

Ademas λn →∞ si n →∞.

Aplicaciones del teorema espectral 143

Demostracion. Siempre se puede suponer que q ≥ 0, en caso contrario elegire-mos C constante tal que q + C ≥ 0, lo cual implica sustituir λn por λn + C.

Por la seccion 4.6 sabemos que para cada f ∈ L2(I) existe u ∈ H10 (I) ∩

H2(I) unica solucion del problema (5.2). Sea T : L2(I) → L2(I) tal queT (f) = u. Comprobemos que T es un operador continuo, autoadjunto y com-pacto. Probemos primero que T : L2(I) → H1(I) es continuo. Integrando elproblema (5.2) se obtiene que

∫

I

p(u′)2 +∫

I

qu2 =∫

I

fu.

Por la desigualdad de Holder obtenemos que α‖u′‖2L2(I) ≤ ‖f‖2L2(I)‖u‖2L2(I).De esto y de la desigualdad de Poincare (vease la seccion 4.6) resulta que‖u‖H1(I) ≤ C‖f‖L2(I), donde C es una constante independiente de f y de u,y por tanto

‖T (f)‖H1(I) ≤ C‖f‖L2(I).

Como la inyeccion de H1(I) en L2(I) es compacta, (vease seccion 5.3, eloperador T : L2(I) → L2(I) es compacto.

Demostremos ahora que∫

I

T (f)g =∫

I

fT (g), f, g ∈ L2(I).

Si u = T (f) y v = T (g) se tiene que

−(pu′)′ + qu = f,−(pv′)′ + qv = g.

Multiplicando la primera ecuacion por v y la segunda por u, e integrado porpartes, se tiene que

∫

I

pu′v′ +∫

I

quv =∫

I

fv =∫

I

gu.

Notese que ker(T ) = 0 ya que si T (f) = u = 0 entonces f = 0 y ademas∫

I

T (f)f =∫

I

uf =∫

I

(p(u′)2 + qu2) ≥ 0, f ∈ L2(I). (5.3)

Por el teorema espectral, Teorema 5.19, L2(I) posee un base hilbertiana(en))n≥1 formada por vectores propios de T asociada a valores propios(µn)n≥1. Se cumple que µn > 0 (ya que µn ≥ 0 por la desigualdad 5.3 yµ 6= 0 porque ker(T ) = 0) y µn → 0.

Como T (en) = µnen, entonces

−(pe′n)′ + qen = λnen, λn =1µn

.

Por ultimo se tiene que en ∈ C(2)(I) ya que f = λnen ∈ C(I). ut


Ejercicios

(5.1) Sea X un espacio de Banach.

(i) Si T ∈ L(X) es invertible y S ∈ L(X) es tal que ‖T − S‖ <1

‖T−1‖ en-

tonces pruebese que S tambien es invertible y se tiene que

S−1 =∞∑

n=0

(T−1(T − S))nT−1, ‖T−1 − S−1‖ ≤ ‖T−1‖2‖T − S‖1− ‖T−1‖ ‖T − S‖ .

(ii) Pruebese que el subgrupo de los operadores invertibles, que se denota porIsom(X), es un abierto de L(X) y la aplicacion de Isom(X) en L(X) quea cada T asigna T−1 es continua para la norma en L(X).

(5.2) Sea P : H → H una proyeccion continua no nula en un espacio deHilbert. Pruebese que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(i) ker(P ) = (Im(P ))⊥,(ii) P es la proyeccion ortogonal,(iii)‖P‖ = 1,(iv)Im(P ) = (ker(P ))⊥,(v) P es autoadjunto,(vi)P es normal,(vii)〈P (x), x〉 = ‖P (x)‖2 para todo x ∈ H,(viii) 〈P (x), x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H.

(5.3) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana (en)n y(an)n ⊂ K una sucesion acotada.

(i) Pruebese que la serie

T (x) :=∑n=1

an〈x, en〉en, x ∈ H,

define un operador lineal y acotado (operador diagonal), T ∈ L(H) con

‖T‖ = supn|an|.

(ii) Pruebese que el operador T ∗ es un operador diagonal definido por lasucesion (λn)n.

(iii) Pruebese que el operador diagonal T es normal.(iv) Pruebese que el operador T es autoadjunto si y solo si (an)n ⊂ R.(v) Pruebese que el operador T es compacto si y solo si (an) → 0.

(5.4) Sean el espacio L2([a, b]) y g ∈ L∞([a, b]).

Ejercicios 145

(i) Pruebese que la formula

T (f) := fg, f ∈ L2([a, b]),

define un operador lineal y acotado en L2([a, b]) con ‖T‖ = ‖g‖∞,(ii) Pruebese que el operador T ∗ esta definido mediante la expresion T ∗(f) =

gf,(iii) Pruebese que el operador diagonal T es normal,(iv)Pruebese que el operador T es autoadjunto si y solo si g(t) ∈ R para casi

todo t ∈ [a, b],(v) Pruebese que el operador T es compacto si y solo si g(t) = 0 para casi

todo t ∈ [a, b].

(5.5) Pruebese que toda proyeccion ortogonal sobre un subespacio cerrado deun espacio de Hilbert H, P : H → H, es autoadjunta.

(5.6) Sean el espacio `2 y los operadores desplazamiento Sr, Sl : `2 → `2,definidos mediante

Sr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .), Sl(x1, x2, x3 . . .) := (x2, x3, . . .).

Pruebese que S∗r = Sl y S∗l = Sr.

(5.7) Pruebese que el operador de Volterra, V : L2([0, 1]) → L2([0, 1]),definido por,

V (f)(t) :=∫ t

0

f(s)ds, f ∈ L2([0, 1]),

es un operador de Hilbert-Schimidt y por tanto compacto.

(5.8) Sea I = (0, 1). Pruebese que el operador f 7→ u que a f ∈ L2(I) leasocia la unica solucion del problema de Sturm-Liouville

−(pu′)′(x) + qu(x) = f(x), x ∈ I,u(0) = u(1) = 0,

con p ≥ α > 0 y q ≥ 0 es un operador de Hilbert-Schmidt de L2(I) en L2(I).

(5.9) Consideremos el problema de Sturm-Liouville−u′′ = f,

u(0) = u(1) = 0.

Pruebese que en(x) = sen(nπx) es una base hilbertiana de vectores propiosdel operador asociado a este problema de Sturm-Liouville y de valores propiosµn = 1/n2π2. Resuelvase el problema de Sturm-Liouville

−u′′ − µu = f,u(0) = u(1) = 0,


que describe la ecuacion que rige el movimiento de una cuerda vibrante deextremos fijos.

(5.10)Resuelvase el problema de Sturm-Liouville−u′′ − µu = f,

u′(0) = u′(1) = 0,

que describe la ecuacion que rige el movimiento de una cuerda vibrante deextremos libres.

Notas historicas 147


La teorıa espectral de operadores tiene sus raıces en la teorıa de matrices y enla teorıa de ecuaciones integrales. En los primeros anos de la teorıa de matri-ces los terminos “valor caracterıtico”, “valor secular” o “raız latente” fueronusados para denominar lo que hoy se conoce como valor propio. Laguerreconstruyo la funcion exponencial de una matriz, y Frobenius obtuvo los de-sarrollos para el operador resolvente en las proximidades de un polo. Sylvesterdefinio funciones arbitrarias de una matriz con valores propios distintos. Estofue generalizado por Buchheim al caso de valores propios multiples.

En el siglo XX, F. Riesz extendio estos conceptos al espacio `2. Manejandooperadores compactos en este espacio, demostro que el conjunto resolventees abierto, el operador resolvente es analıtico y que el teorema integral deCauchy puede ser usado en el caso de un polo para obtener una proyeccionque conmuta con el operador dado.

Wiener probo que el teorema integral de Cauchy y el teorema de Tay-lor son ciertos para funciones analıticas con valores en un espacio de Banachcomplejo. Nagumo extendio algunos de los resultados de F. Riesz a algebrasde Banach. Hille aplico ideas similares en el estudio de semigrupos. Gelfanddesarrollo la teorıa de ideales de algebras de Banach. Ademas uso la integralsobre contornos para obtener elementos idempotentes. El teorema de la apli-cacion espectral es debido a Dunford que introdujo tambien otros conceptoscomo el de espectro continuo y espectro residual.

Fredholm estudio las ecuaciones integrales. Dio una detallada representacionde la resolvente como cociente de dos funciones enteras en terminos de de-sarrollos de determinantes. Schmidt uso el metodo de aproximacion de unoperador compacto por operadores de rango finito en espacios de Hilbert.Considerables trabajos han sido realizados desde entonces para calcular losvalores propios de un operador y su distribucion.

Ch. Sturm (1836) y J. Liouville (1837) desarrollaron un teorıa general paraabordar el estudio de las ecuaciones en el intervalo [a, b]

y′′ − q(x)y + λy = 0,

que satisfacen las condiciones de contorno α1y(a) + β1y′(a) = 0, α2y(b) +

β2y′(b) = 0, conocidos desde entonces como problemas de Sturm-Liouville.

La contribucion principal de Sturm fue la demostracion de que el problemaplanteado solo tiene solucion para una sucesion estrictamente creciente (λn)de valores reales del parametro (los autovalores del problema), con lo quesiente las bases de la moderna teorıa espectral.

Las propiedades de ortogonalidad de las correspondientes autofunciones(un) llevaron a Liouville a tratar de generalizar el desarrollo en serie de Fourier,y expresar cualquier funcion continua u como una serie

∑anun donde

an =∫

uun∫u2

n

.


Liouville logra demostrar la convergencia de la serie, siempre que la serie deFourier de u sea convergente.

Gran parte de los esfuerzos de los analistas del XIX, se dirigieron a tratarde extender la teorıa de Sturm-Liouville para distintos tipos de ecuaciones enderivadas parciales con 3 o mas incognitas.

Bibliografıa

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Contenidos

Presentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Breves apuntes historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Parte I Espacios de Banach

1 Introduccion a los espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Aplicaciones entre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 Espacios de dimension finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Algebras normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Notas historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1 Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 El espacio L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Los espacios Lp de medida finita y las funciones de distribucion 452.4 Densidad en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Dualidad en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


3 Principales resultados en Analisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1 El lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Los teoremas de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 El espacio dual de C([0, 1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.2 El problema de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

152

3.4 Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5 Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss . . . . . . . . . . . . . 76

3.5.1 Metodos de sumabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5.2 Divergencia de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Teoremas de la aplicacion abierta y de la grafica cerrada . . . . . . 813.7 Aplicaciones del Teorema de la aplicacion abierta . . . . . . . . . . . . 84

3.7.1 Dependencia continua de la solucion de ecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7.2 Continuidad de aplicaciones entre espacios de sucesiones 85Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.8 Notas historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Parte II Espacios de Hilbert

4 Introduccion a los espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1 Definiciones, primeras propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 El espacio `2(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante . . . . . 994.4 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5 Bases hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6 Duales de los espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


5 Teorıa espectral de operadores compactos normales . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1 Inversion de operadores. Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2 Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert . . . 1265.3 Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4 Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos . . . 1345.5 Aplicaciones del teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.5.1 Alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.5.2 Funciones propias del problema de Sturm-Liouville . . . . 142Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.6 Notas historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Curso de An´alisis Funcional - unizar.es · Este libro est´a pensado para una asignatura cua- ......

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