CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICAexactas.unca.edu.ar/ingres/matematica/2011/ingreso_mat_2011.pdf ·...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADISTICA

CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA

CARRERAS:

MATEMÁTICA – ESTADÍSTICA

INGRESANTES 2011 DOCENTES: OLMEDO, NORA QUIROGA HAHN, AYELEN CICLO ACADÉMICO: 2011

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES – UNCa INGRESO – MATEMATICA 2011 PROFESORADO Y LICENCIATURA EN MATEMÁTICA –LICENCIATURA EN ESTADÍSTICA

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FUNDAMENTOS: Partimos de la base de que los comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación hasta que consiguen integrarse plenamente en el entorno Universitario. Si a esta situación además le añadimos que, en particular, las asignaturas de matemáticas dependen en su gran medida de lo que anteriormente haya aprendido el alumno, enseguida nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes conocimientos matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En esto consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que dicho curso está centrado en aportar a los alumnos de primer año de estudios universitarios algunos complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la resolución de problemas básicos de matemáticas. Se pretende además que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El enfoque será fundamentalmente práctico, centrado en la resolución de problemas y en la participación activa del alumno para que tenga un buen rendimiento a lo largo de la cursada OBJETIVOS:

Adquirir hábitos de estudio acordes al nivel universitario. Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus

propiedades. Traducir problemas básicos a lenguaje algebraico y resolverlos. Relacionar las funciones elementales con sus graficas. Realizar el grafico de funciones mediante la confección de una tabla de

valores. METODOLOGIA: Debido al carácter práctico de este curso, se expondrán brevemente en el pizarrón las herramientas teóricas. Los esfuerzos centraran en presentarles a los alumnos distintas técnicas y formas de trabajo para la resolución de la guía práctica.

CONTENIDOS MINIMOS: Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas. Ecuaciones e inecuaciones. Funciones elementales: Recta, función de proporcionalidad inversa, parábola, función cubica, función modulo. Trigonometría. EVALUACION: Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los resultados del curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso 2011.


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Esta evaluación no es vinculante con ninguna de las asignaturas del diseño curricular.

TEMAS A DESARROLLAR POR SEMANA Semana 1: Propiedades de las operaciones básicas. Simplificación de expresiones algebraicas. Ecuaciones, problemas de aplicación. Semana 2: Ecuación y grafico de la recta. Ecuación y grafico de la parábola. Función de proporcionalidad inversa. Semana 3: Función modulo. Inecuaciones con modulo. Función cubica. Semana 4: Trigonometría. Factoreo.


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El manejo fluido de las operaciones y propiedades es fundamental para el estudio de prácticamente todas las ramas de la matemática. CALCULE

1) 2

32

2) 035 3) 38.2 4) 25.3 5) 24

6) 31 7) 61 8) 21

9 9) 23

4 10) 233

11) 30 27 12) 25 13) 34 14) 8

32

15)

2

95

16) 31

27

17) 253 18)

103

512

19) 6

132

17 20)

25

116

21) 873 22)

512 23)

226 24)

535 25)

73.7

26) 3

5.32

27) 256

54 28)

53.

81 29)

49.

112 30)

215

85

31) 32.2 32) 15 33) 20 34) 3 0 35) 0

423

36) 2

120 37) 218.2 38) 2

1324.3 39) 325

40) 23.72 41) 23.72 42) 23.72 43) 9 44) 9 45) 4 60 46) 4 60 47) 3 8 48) 3 8 49) 6 1 50) 6 1 51) 5 1

52) 6 0 53) 7 0 54) 4 55) 02

56) 05 57)

30 58)

70

59) 00

60) ¿Se puede simplificar el 2 del numerador con el 2 del denominador del ejercicio 23? 61) ¿Se puede simplificar el 7 del numerador con el 7 del denominador del ejercicio 25?


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62) ¿Es posible distribuir el exponente ½ respecto al producto del ejercicio 37? 63) ¿Es posible distribuir el exponente – ½ respecto a la suma del ejercicio 38? 64) ¿Es posible distribuir el exponente 0 respecto al cociente en el ejercicio 35? 65) Observe los resultados desde el ejercicio 43 hasta el 54 ¿Qué puede concluir? 66) Observe los resultados desde el ejercicio 55 hasta el 59 ¿Qué puede concluir? 67) Resuelva el ejercicio 42 de una manera diferente a la que lo hizo. 68) Resuelva el ejercicio 23 de una manera diferente a la que lo hizo. REDUZCA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

69) 52 .xx 70) 72 .xx 71) 3

6

xx 72) 9

2

yy

73) x

xx 33 32 74) 62y 75) 54z 76) xx 5.6

77) xxx 2. 3 78) 3

225x

xx 79) 73 .xx 80) 9 1125 .. yyy

81) 232. xxx 82) 527

yyy 83)

xx 2

3

84) zz 32

85) y

yy 33 86) xx

2 87)

x50 88) 113.yy

89) 253 zz 90) y

y 42 2 91) 3

52

xx 92) 43 .yy

93) 42 . zz 94) 3 564 .. xxx 95) 2

53xx

96) xx 2

97) 4

32

42

xx 98)

xxx5

45. 25 99) xxxx 10752 22

100) 352 2. yyy 101) 3222 2. xxx 102) 43

.2 xx


6

103) 63

2 xx

104)

210 x 105) 32 .. xxx x

106) 1)1( 5

xx 107) 5

412 .yy

108) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x en el ejercicio 102? 109) ¿Qué valor o valores no puede tomar la y del ejercicio 85? 110) ¿Qué valor o valores no puede tomar la z del ejercicio 93? 111) ¿Qué valor o valores no puede tomar l a x del ejercicio 83? 112) ¿Qué valor o valores no puede tomar la z del ejercicio 89? 113) ¿Qué valor o valores no puede tomar la y del ejercicio 106? 114) ¿Qué valor o valores no puede tomar la y del ejercicio 92? RESUELVA LAS ECUACIONES 115) 81 x 116) 35 x 117) 21 x 118) 62 x 119) 45 x 120) 84 x 121) 106 x 122) 124 x 123) 52 x 124) 1043 x 125) 17311 x 126) 8823 x

127) 1225 x 128) 1497 x 129) 64

12

x

130) 521

353 x 131) 122

730

x 132)

471

32

y

133) 92 x 134) 2273 x 135) 794

23

x

136) 26

x 137) 327

x

138) 1132

x

139) 9)2.(5 x 140) 17

4

x 141) 46

13

x

142) 186. x 143) 64 x 144) 2510.3 x


7

145) 123.1 x 146) 15

2 3

x 147) 9

23

x

148) 73

20

x 149) 42

16

x 150) 105.273

x

151) 10.257 3 x 152) 813 x 153)

8273 x

154) 155 3 x 155) 15.5 3 x 156) 16)4.(3 x

157) 62

x 158) 4

112

x

159) 932

5

x

160) 152

2

x 161) 1

24

x

162) 5.21

6

x

163) 9183

x 164) 2

12

3 x

165) 4572 xx

166) 236 yy 167) 4273 xx 168) 24912 yy

169) 1822

3

xx 170) 3561715 yy 171)

712xx

172) 6

28

xx 173) 2

2213

yy

174) 5324

1 yy

175) Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora? 176) Hace 7 años Juan tenia 16 ¿Cuál es su edad? 177) Si Maria tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un automóvil de $35000 y le quedarían $7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado? 178) Si se suma 4 con la raíz cuadrada de un número y al resultado de esa suma se divide en 2 se obtiene 8 ¿Cuál es ese número? 179) Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad, continuó con la dieta y bajo 14 kg llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes de comenzar la dieta? 180) La moto de Juan llega a los 96 k/h si la moto de Marcelo anduviera 28 k/h más rápido andaría el doble de rápido que la de Juan ¿A cuanto llega la moto de Marcelo?


8

181) Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo multiplica por 6 se obtiene 64 ¿Cuál es ese número? 182) Dentro de 2 años tendré el triple de la edad que tenia hace 10 ¿Qué edad tengo ahora? 183) Para ir a la escuela, Federico recorre una cierta distancia solo, luego recorre el doble de esa distancia con su amigo Gonzalo. Si de la casa de Federico a la escuela hay 18 cuadras ¿Cuántas cuadras camina solo? 184) El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de la edad que tenía hace 5 ¿Qué edad tiene Guillermo? 185) Redacte un problema cuya ecuación sea la del ejercicio 115 186) Redacte un problema cuya ecuación sea la del ejercicio 118 187) Redacte un problema cuya ecuación sea la del ejercicio 124 188) Redacte un problema cuya ecuación sea la del ejercicio 139 189) Si Manolo aumentara 30 kg , pesaría 2 / 7 más de lo que pesa ahora ¿Cuánto pesa Manolo? ECUACIONES DE LA RECTA En los siguientes ejercicios y problemas se aplican ecuaciones de rectas con las siguientes formas posibles: x=a recta vertical y=b recta horizontal y=mx+b recta con pendiente m y ordenada al origen b

190) En un sistema de ejes x y, grafique las rectas: a) 52 xy b) 5y c) x= 0,55 d) Realice preguntas sobre las ecuaciones o sobre los gráficos. Responda las preguntas que hizo. 191) Escriba dos ejemplos de cada ecuación dada: x=a recta vertical y=b recta horizontal y=mx+b recta con pendiente m y ordenada al origen b Haga una tabla de valores y el gráfico correspondiente para cada una. Responda las siguientes preguntas:

x y 3 8 5 10


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a) Que valor corresponde a la variable dependiente ( y ), cuando la variable independiente ( x ) toma el valor 2,41 en cada una de las ecuaciones que usted propuso. Muestre su respuesta en el gráfico. b) Que valor corresponde a la variable independiente ( x ), cuando la variable dependiente ( y ) toma el valor -7,002 en cada una de las ecuaciones que usted propuso. c) Explique cómo encontró los valores pedidos. 192) Las tablas siguientes corresponden a rectas. Se le pide graficar la recta en un sistema de ejes xy y completar los valores que corresponden en la tabla. a) b)

x y -2 4 2 0 -3 -1

Luego de realizado el gráfico, indique las coordenadas de los puntos donde la recta corta a los ejes x e y. Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta dada. Explique en cada caso porqué si o porque no. Ecuaciones propuestas para la recta de la tabla a): 2 xy ; 2 xy ; 24 xy ; 2 xy Ecuaciones propuestas para la recta de la tabla b): y = – ¾ x + 9/2 ; y = ¾ x + 9/2 ; y = – ¾ x + 3 ; y = ¾ x + 3 Explique porqué ninguna de las rectas dadas puede tener la forma x = a ó y = b 193) Las siguientes rectas están todas en el mismo plano. Se le pide que coloque un sistema de ejes xy . Luego, las coordenadas de los puntos de corte de las rectas con los ejes. Finalmente, intente escribir las ecuaciones de dichas rectas. Si no las puede escribir, discuta con sus compañeros que datos le hacen falta.

x y -2 6 2 3 -1 8


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194) Se traza un segmento entre el origen de coordenadas y el punto (1; 1). Se toma la longitud de ese segmento sobre el eje x y se traza por allí la recta vertical. Se pide la ecuación de dicha recta.

Las rectas están relacionadas con las magnitudes directamente proporcionales, consideremos los dos ejercicios siguientes. 195) Si el kilogramo de pan vale $ 2,4 ¿Cuánto vale 2 kg? ¿Cuánto vale medio kg? ¿Cuanto vale 5 kg? a) Conteste las preguntas anteriores usando regla de tres simple. b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona el peso con el precio. c) Realice el grafico. 196) Si la bajada de bandera del taxi vale $ 2 y el Kilómetro de recorrido $ 0,9 a) Responda: ¿Cuanto cuesta un viaje de 4 km? ¿Cuánto cuesta un viaje de 2 km? ¿Cuánto cuesta un viaje de 7 km? b) Encuentre la ecuación que relaciona los kilómetros con el costo del viaje. c) Realice el grafico. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una es igual a la otra multiplicada por un número. Teniendo esto en cuenta ¿cual de los dos ejercicios anteriores corresponde a una relación directamente proporcional? ¿Por qué punto del plano coordenado debe pasar siempre una recta que represente una relación directamente proporcional?


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LA PARABOLA Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. Durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas. Las secciones cónicas se llaman así porque se obtienen mediante el corte de dos conos con un plano como se ve en la figura. La cónica que se obtiene depende de la inclinación del plano de corte.

Aquí trabajaremos con una de las secciones cónicas llamada parábola. La parábola tiene muchas aplicaciones en otras ciencias, veamos algunas. Tiro oblicuo: Si se lanza una piedra como se ve en el dibujo, esta describe una parábola.


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Si se conoce la velocidad inicial de la piedra y el ángulo en que fue lanzada es posible determinar mediante el uso de la ecuación de la parábola, la altura máxima que alcanzara la piedra, la distancia a la que cae, como también muchos otros detalles de este suceso. Antenas parabólicas: Las antenas parabólicas se llaman así por la relación de su forma con las parábolas, porque se obtienen parábolas si se corta una antena con planos como se ve en la figura.

Los rayos que llegan a la antena rebotan y, gracias a una propiedad que tienen las parábolas, todos van a parar a un punto importante de la parábola llamado foco y es ahí donde se coloca el receptor para captar mejor la señal. ECUACIONES DE PARABOLAS DE EJE VERTICAL: Son funciones de segundo grado, tienen la forma cbxaxy 2 x es la variable independiente, y la dependiente; a, b, c son constantes que se llaman parámetros y producen cambios en las parábolas. Ejemplos de parábolas:

y = x2 +2

y = –x2+4x+1 y = –1/3x2 – 2x+2


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197) Encuentre puntos de cada una de las parábolas anteriores. Halle los puntos de corte de cada parábola con los ejes coordenados. 198) Indique la ecuación que corresponde a cada gráfica. y = x2 + 2 y = x2 – 3 y = 2 x2 + 2 y = – 2 x2 + 2 Encuentre los puntos donde la recta y = 4 corta a cada parábola. Señálelos en el gráfico. Encuentre los puntos donde la recta x – 2 = 0 corta a cada parábola. Señálelos en el gráfico.

199) Representa sobre papel cuadriculado: a) y = – x2 b) y = (x – 3)2 c) y = – (x – 3)2 d) y = (x – 3)2 +5 e) Encuentre la coordenada y de cada función cuando la variable independiente toma el valor ¾. f) Encuentre la coordenada x de cada función cuando la variable dependiente toma el valor 6. g) Grafique las rectas x = 3/4 e y = 6. Ubique los puntos de corte entre las parábolas graficadas y las rectas, compare las coordenadas halladas con las de los ítems e y f. 200) Haz preguntas sobre los ejercicios 197 y 198 para que contesten tus compañeros. 201) Qué valor de las constantes (a, b, c) cambiarías para que las parábolas del ejercicio 198 pasen por el origen de coordenadas. Explica lo que pensaste.


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202) En la parábola y = ax2 ¿Qué valor hay que darle al coeficiente cuadrático para que la parábola pase por el punto (3, 7)? ¿Y para que pase por el (0, 0)? Comprueba gráficamente. 203) Coloca valores a a y a b para que la parábola 22 bxaxy pase por el punto (–2,1). Comprueba en un gráfico que tu conclusión es correcta. 204) Las funciones cuadráticas explican los comportamientos: a) del espacio recorrido por un móvil en un movimiento uniformemente acelerado en función del tiempo. b) la superficie de un cuadrado en función de su lado o de un círculo en función de su radio. c) la cantidad de agua que sale de un depósito con un orificio en el fondo en función del tiempo. Inventa un problema que corresponda a alguno de los modelos enunciados. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Se llama función de proporcionalidad inversa a x

kxky 1.

Su gráfica es una hipérbola

205) Las siguientes son las gráficas de las hipérbolas x

y 1 e

xy 4

Confecciona las tablas que corresponden a cada una de ellas. Ubica puntos de las mismas y señálalos en el gráfico. 206) Súmale a cada ecuación del ejercicio anterior un número y explica la modificación que se produce en el gráfico. 207) La función de proporcionalidad inversa se aplica a muchos problemas, entre ellos a hallar la base y la altura de rectángulos de área constante. Por ejemplo,


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queremos encontrar la base y la altura de rectángulos de área 100 cm2. Llamemos x a la longitud de la base e y a la longitud de la altura.

a) Escribe una ecuación que explique que el área se mantiene constante e igual a 100.

b) Confecciona una tabla de valores para encontrar los posibles valores de la altura en función de la variación de la base. Realiza el gráfico.

c) Qué altura corresponde cuando la base mide 7,5cm d) Cuál es la base para la altura y = 1cm e) Escribe preguntas sobre el gráfico que se obtiene.

208) Representa gráficamente:

a) x

y 4 b)

xy 4 c) 3

4

x

y d) 23

4

xy

e) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de las hipérbolas anteriores con las rectas: 5y , 2x , 32 xy f) Señala en el gráfico los puntos de corte.

209) Encuentra los puntos comunes a las curvas: 2xy e x

y 1 Señala en el

gráfico las coordenadas de dichos puntos.

210) Se dan las curvas x

y 3 ,

215,0 2 xy , 2x .

Se pide encontrar la intersección entre cada dos de ellas.

x

y


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Encuentre los puntos donde las gráficas cortan a los ejes coordenados. 211) También son hipérbolas las gráficas de las funciones y= (ax+b) / (cx+d)

Reemplaza a, b, c y d por números, haz una tabla de valores y representa gráficamente la hipérbola. Encuentra los puntos donde la gráfica de la ecuación que realizaste corta a los ejes coordenados, a la recta y= –5, a la recta x = 0.

212) Hay muchos fenómenos que ligan variables cuya relación es de proporcionalidad inversa:

La presión y el volumen de una masa de gas, a temperatura constante El aumento producido por una lupa y la distancia al foco a que se

coloca el objeto. La altura alcanzada por un líquido en un tubo capilar y el diámetro de

éste. Busca en libros de física o química según corresponda y enuncia ejemplos numéricos de los fenómenos expuestos. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 213) f(x) = │x │

Confecciona una tabla de valores para la función graficada.


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Busca la definición de la función en textos de matemática, compara la definición de la función con la definición de valor absoluto de un número real. 214) Las funciones dibujadas corresponden a: y = │x +3│ , y = │x -2│ , y = –│x – 5│ , y = –│x – 1│ e y = │x │. Indica cual ecuación corresponde a qué gráfica. Explica porqué. Encuentra dos puntos de cada función.

215) a) Halla las intersecciones de las funciones del ejercicio anterior con las rectas

y = –2 ; x = – 4 b) Señala en el gráfico un punto común a dos de las funciones. El que quieras. Encuentra su valor aproximado mirando el gráfico. Explica cómo harías para hallarlo utilizando las ecuaciones de las funciones y tus conocimientos de álgebra. 216) Encuentra los puntos de intersección de las funciones en el gráfico siguiente.

Las funciones son 231

xy e y =│x │. Si es necesario confecciona una

tabla.


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Es muy importante para algunas materias del plan de estudios el manejo de las inecuaciones donde interviene la función modulo. Para despejar una incógnita de una inecuación se trabaja de la misma forma que con las ecuaciones pero hay que tener en cuenta que cuando se pasa al otro miembro un número negativo multiplicando o dividiendo, cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo: – 2X +1 < 15 – 2X < 15 –1 – 2X < 14

X > 2

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aquí se cambia el sentido de la desigualdad porque

se paso un numero negativo dividiendo X > – 7 Veamos el caso cuando el modulo debe ser menor que cierto numero. |X+2| < 5 Esto se descompone así X + 2 < 5 y además X+2 > – 5 X < 5 – 2 y además X > – 5 – 2 X < 3 y además X > – 7 El grafico de esta situación es

Los valores de X que satisfacen la inecuación son los que se encuentran en la zona de doble rayado. Entones la solución de la inecuación es ( – 7 , 3 ). El uso de paréntesis indica que los extremos del intervalo no son solución, compruebe que 3 no es solución. Compruebe que 2,9 es solución. Escriba tres valores de x que sean solución, y tres valores de x que no lo sean. Ahora veamos el caso cuando el modulo debe ser mayor o igual que cierto numero.

| 2X – 3 | ≥ 9 Esto se descompone así 2X – 3 ≥ 9 o 2X – 3 ≤ – 9 2X ≥ 9 + 3 o 2X ≤ – 9 + 3 2X ≥ 12 o 2X ≤ – 6

X ≥ 2

12 o X ≤ 26

X ≥ 6 o X ≤ – 3 El grafico de la situación es


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Los valores de X que satisfacen la inecuación son los que se encuentran en la zona rayada. Entonces la solución de la inecuación es (– , – 3 ] U [ 6 , + ). El uso de corchetes indica que los extremos del intervalo son solución. Compruebe que 6 es solución. Compruebe que – 2 no es solución. Compruebe que – 3 es solución. Compruebe que 7 es solución. Escriba tres valores de x que sean solución, y tres valores de x que no lo sean. Es importante que tenga en cuenta estos detalles: Si el modulo debe ser “menor” o “menor o igual” que un número, la solución esta en el doble rayado. Si el modulo debe ser “mayor” o “mayor o igual” que un número, la solución esta en las partes rayadas. Si la desigualdad es estricta, o sea “menor” o” mayor”, se usan paréntesis para indicar que los extremos no son solución de la inecuación. Si la desigualdad no es estricta, o sea “menor o igual” o “mayor o igual”, se usan corchetes para indicar que los extremos son solución de la inecuación. 217) Resuelva las siguientes inecuaciones. a) | X – 4 | < 7 b) | X + 2 | ≤ 3 c) | 3X – 1 | < 17 d) | X + 5 | ≥ 5 e) | 2X + 2 | > 18 f) |–5x +3 | > 38 g) | 2 – 3X | < – 10 h) | 7X – 8 | ≤ 20 i) | 6 – X | ≤ 2 j) | 2X – 11| ≥ 5 k) | 7X + 30 | ≥ – 2 l) | 4 – X | > – 3 FUNCIÓN CÚBICA Es una función que tiene la forma f(x) = x3 en su expresión más sencilla. Su gráfica es la siguiente

218) Encuentra puntos de la función, exprésalos como par ordenado o en una tabla de valores. Encuentra f (– 3), f (1/2). ¿Cuál es el valor de x para el cual f(x)= – 0,027?; y cual para f (x) = 3,4

y=x3


20

219) Expresa cuánto varía y por cada unidad de aumento o disminución de x. Puedes comenzar poniendo ejemplos. Haz preguntas sobre variación. 220) Las siguientes son gráficas de la función y= x3 + k. Encuentra k en cada caso y expresa con tus palabras que le produce a la función sumarle un número.

Encuentra los puntos donde la función interseca a los ejes coordenados. Escríbelos en la tabla siguiente

Función Intersección con el eje y Intersección con el eje x

La intersección con el eje x se llama cero de la función, por qué será? Cómo se llama la intersección con el eje y? 221) La siguiente es la gráfica de una función cúbica que tiene la forma y= ax3. Encuentra el valor de a con los datos del gráfico.


21

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 222) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = sen x 223) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = cos x 224) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = tan x 225) Teniendo en cuenta que un ángulo de 180º sexagesimales equivale a un ángulo de π radianes. a) Pase los siguientes ángulos de grados sexagesimales a radianes. 90º , 270º , 45º , 30º , 360º , 10º , 60º , 120º , 0º , 25º b) Pase los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales.

1 , 5 , 3 , 2 , 0,34 ,

53 π ,

92 , 1,36

226) Realice el grafico de la función f (x) = sen x tomando el ángulo en radianes RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

227) Dado el triángulo CBA

calcular los datos que faltan: a) mBCC 100;º60ˆ b) cmBCB 7;º50ˆ c) mACmAB 8;11 d) mABC 15;'40º30ˆ

228) Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo de visión desde la punta de la sombra al punto más alto del edificio es de 69º, ¿Cuál es la altura del edificio? (el ángulo de visión se mide respecto de la horizontal) b) Desde un acantilado de 50 m de altura se ve un barco, si el ángulo de la visual es de 70º. ¿A qué distancia del acantilado se encuentra el barco? c) Para conocer la altura de la torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto, obteniendo un resultado de 43º. Al acercarnos 15 m hacia la torre obtenemos un nuevo ángulo de 57º, ¿cuánto mide la torre? d) Para calcular la altura de un edificio un hombre que estaba ubicado a 150 m de él calcula que el ángulo de elevación es de 20º; si la altura del hombre es 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada del edificio? e) La parte superior de una escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de una casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál es la altura de la casa? f) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 m, a la orilla de un río de 40 m de ancho. Un observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 3º entre su línea de observación a la punta de la bandera, y su línea de observación a la cima del precipicio. Encuentra la altura del asta de la bandera.


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g) Dos lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales 25º. Resuelve el triángulo. h) Determina la altura de un árbol si desde el punto situado a 20 m de su base se observa su copa con un ángulo de 65º 23’. i) La sombra que proyecta Luis al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo que forman los rayos solares con el suelo es 37º. ¿Cuánto mide Luis? j) Un globo se encuentra a 150 m de altura. Desde un punto, la línea visual forma un ángulo de 37º 4’. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra el globo del observador?

229) Resuelve los siguientes triángulos CBA

: a) º45ˆ;º70ˆ;5,47 CBma b) º37ˆ;3,22;4,16 Bmamb c) '10º55ˆ;480;628 Cmbmc d) mcmbma 4,43;8,37;2,25 e) º28ˆ;76,21;42,15 Bmamb f) '40º28ˆ;224;132 Cmbma g) º35ˆ;º68ˆ;25 ABmc

230) Resuelve los siguientes problemas: a) Se quiere cubrir con césped un cantero de forma triangular. Uno de los lados mide 8 m. Los otros dos lados forman con éste ángulos de 46º y 60º. Calcula la cantidad de césped que se necesita para cubrirlo. b) Un topógrafo situado en B observa dos puntos A y C, en los extremos de un lago. Si mBCmBA 2,242;7,331 y el ángulo º120ˆ CBA , calcula la distancia de A a C. c) Sobre un peñasco situado en la rivera de un río se levanta una torre de 125 m de altura. Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta, es de 28º 40’ y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º 20’. Encuentra el ancho del río y la altura del peñasco. d) Calcula las diagonales del paralelogramo cuyos lados tienen por medida 6 dm y 15 dm, sabiendo que el ángulo que forman los mismos es de 58º. e) La longitud de la sombra de una persona de 1,80 m de altura producida por un foco de alumbrado es inicialmente 3,60 m. Después la persona se para justo en el lugar donde terminaba la sombra y comprueba que ahora aquella mide 4 m. ¿A que altura está el foco? f) Un bote patrulla recorre 37,8 km con derrotero de 120º y después 28,30 km con derrotero de 45º. Halle el derrotero y la distancia que debe recorrer para regresar por la ruta más corta. g) Un piloto sale de A y vuela 125 km en dirección NO 38º. Trata, entonces, de regresar al punto de partida, pero, por error, vuela 125 km en dirección SE 51º. Calcula a qué distancia se encuentra de A y cuál ha de ser la dirección que debe tomar ahora para llegar a A.


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231) FACTOREO a) 394 473 xxx b) 810116 121468 xxxx c) 42 x d) 1357 1536 xxx e) 362 x f) 94 x g) 256 x h) 1272 xx i) 682 2 xx j) 962 xx k) 12 x l) 33 23 xxx m) 442 xx n) 1215810 23 xxx o) 673 xx p) 3093 2 xx

q) 21

212 xx r) 216 x

s) 10143042 23 xxx t) 432 xx u) 5153 23 xxx

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