DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS · “ La derivada de una variable respecto a sí misma es uno...
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DERIVADASDEFUNCIONESALGEBRAICASLareglageneralparaderivación(regladeloscuatropasos)esfundamental,puestoquesecalcula directamente de la definición de derivada como límite. El procedimiento paraaplicar esta regla es laborioso y tedioso, por consiguiente, se han deducido de la reglageneral formasespecialesquesimplifican laderivación, lascuales llamaremos fórmulasfundamentalesdederivación.“Laderivadadeunaconstanteescero”
Fórmula1!(!)!"
= 0
Recordemosqueunaconstante esunvalor fijoydeterminadoquenocambia, esdecir,número y sólo número. Estos números pueden ser racionales o irracionales, enteros ofraccionarios,positivosonegativos.Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝟖SoluciónComotenemosunafuncióndondesoloaparece8(solamentenúmero),seaplicalafórmula1,porlotanto:
𝑓′ 𝑥 = 02.𝑓 𝑥 = − 𝟐
𝟑
SoluciónComo tenemos una función donde solo aparece− !
!(solamente número), se aplica la
fórmula1,porlotanto:
𝑓′ 𝑥 = 0
3.𝑓 𝑥 = 𝟑SoluciónComo tenemos una función donde solo aparece 3(solamente número), se aplica lafórmula1,porlotanto:
𝑓′ 𝑥 = 0“Laderivadadeunavariablerespectoasímismaesuno(1)”
Fórmula2!(!)!"
= 1
Recordemos que una variable son literales que se utiliza para definir toda cantidadsusceptibledetomardistintosvaloresnuméricos.Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝒙SoluciónComo tenemosuna función donde solo aparecex (solamente una variable), se aplica lafórmula2,porlotanto:
𝑓′ 𝑥 = 12.𝑓 𝑟 = 𝒓SoluciónComo tenemos una función donde solo aparece r (solamente una variable), se aplica lafórmula2,porlotanto:
𝑓′ 𝑟 = 13.𝑓 𝑧 = 𝒛SoluciónComo tenemosuna función donde solo aparecez (solamente una variable), se aplica lafórmula2,porlotanto:
𝑓′ 𝑧 = 1
“Laderivadadel productodeuna constante por una variable es igual a lamismaconstante”
Fórmula3!(!")!"
= 𝑐
Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparece4x(unaconstante,el4yunavariable,lax),seaplicalafórmula3,porlotanto,laderivadaeslamismaconstante(el4)
𝑓′ 𝑥 = 42.𝑓 𝑥 = −𝟔𝒙SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparece-6x(unaconstante,el-6yunavariable,lax),seaplicalafórmula3,porlotanto,laderivadaeslamismaconstante(el-6)
𝑓!(𝑥) = −63.𝑓 𝑥 = − 𝟐
𝟑𝒙
SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparece− 𝟐
𝟑𝒙(unaconstante,el− 𝟐
𝟑yunavariable,lax),
seaplicalafórmula3,porlotanto,laderivadaeslamismaconstante(el− 𝟐𝟑)
𝑓!(𝑥) = −𝟐𝟑
“Laderivadadeunavariableelevadaaunexponentees igualalexponentepor lavariableelevadaalexponentedisminuidoenunaunidad”
Fórmula5!(!!)
!"= 𝑛𝑥!!!
Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝒙𝟒SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia4,seaplicalafórmula 5, por lo tanto, la derivada es el exponente 4 multiplicado por la variable xelevadaalexponente4menos1.
𝑓!(𝑥) = 4𝑥!!! = 4𝑥!
𝑓!(𝑥) = 4𝑥! 2.𝑓 𝑥 = 𝒙𝟐SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia2,seaplicalafórmula 5, por lo tanto, la derivada es el exponente 2 multiplicado por la variable xelevadaalexponente2menos1.
𝑓!(𝑥) = 2𝑥!!! = 2𝑥!Recordemosqueelexponente1noseescribe
𝑓!(𝑥) = 2𝑥
3.𝑓 𝑥 = 𝒙!𝟑SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia-3,seaplicala fórmula5, por lo tanto, la derivada es el exponente -3multiplicadopor la variablexelevadaalexponente-3menos1.
𝑓! 𝑥 = −3𝑥!!!! = −3𝑥!!Altenerenelexponentedosnúmerosnegativos,estossesumanyseconservaelsigno
𝑓! 𝑥 = −3𝑥!!
4.𝑓 𝑥 = 𝟓𝒙𝟑SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia3,seaplicalafórmula5,por lotanto, laderivadaeselexponente3multiplicadoporelcoeficiente5yporlavariablexelevadaalexponente3menos1.
𝑓!(𝑥) = (3)(5)𝑥!!! = 15𝑥!
𝑓!(𝑥) = 15𝑥! 5.𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙!𝟐SoluciónComotenemosunafuncióndondeaparecelavariablexelevadaalapotencia-2,seaplicalafórmula5,porlotanto,laderivadaeselexponente-2multiplicadoporelcoeficiente3yporlavariablexelevadaalexponente-2menos1.
𝑓! 𝑥 = −2 3 𝑥!!!! = −6𝑥!!
𝑓! 𝑥 = −6𝑥!! “Laderivadadelasumaalgebraicadeunnúmerofinitodefunciones,es iguala lasumaalgebraicadeladerivadadelasfunciones”
Fórmula4!(!!!!!)!"
= !(!)!"
+ !(!)!"
− !(!)!"
Ejemplos:Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1.𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙 + 𝟑SoluciónComo nuestra función está formada con 2 términos: 4x y 3, tenemos que aplicar lafórmula4yderivartérminoportérmino:Para𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙Seaplicalafórmula3𝑓′ 𝑥 = 𝟒
Para𝑓 𝑥 = 𝟑Seaplicalafórmula1𝑓′ 𝑥 = 𝟎Porlotantoladerivadade𝑓 𝑥 = 𝟒𝒙 + 𝟑es𝑓′ 𝑥 = 𝟒 + 𝟎obien
𝑓′ 𝑥 = 𝟒2.𝑓 𝑥 = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐SoluciónComonuestrafunciónestáformadacon3términos:𝟕𝒙𝟐, 3xy-2,tenemosqueaplicarlafórmula4yderivartérminoportérmino:Para𝑓 𝑥 = 𝟕𝒙𝟐Seaplicalafórmula5𝑓!(𝑥) = 𝟐 𝟕 𝒙𝟐!𝟏 = 𝟏𝟒𝒙𝟏 = 𝟏𝟒𝒙𝑓!(𝑥) = 𝟏𝟒𝒙Para𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙Seaplicalafórmula3𝑓′ 𝑥 = 𝟑Para𝑓 𝑥 = −𝟐Seaplicalafórmula1𝑓′ 𝑥 = 𝟎Porlotantoladerivadade𝑓 𝑥 = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐es𝑓! ! = 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑 − 𝟎obien
𝑓!(𝑥) = 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑
3.𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟐𝟕𝒙SoluciónComonuestra funciónestá formadacon2 términos:𝟑𝒙𝟓y−𝟐𝟕𝒙, tenemosqueaplicar lafórmula4yderivartérminoportérmino:Para𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙𝟓Seaplicalafórmula5𝑓′ 𝑥 = (𝟓)(𝟑)𝒙𝟓!𝟏 = 𝟏𝟓𝒙𝟒Para𝑓 𝑥 = −𝟐𝟕𝒙Seaplicalafórmula3𝑓! ! = −𝟐𝟕Porlotantoladerivadade𝑓 𝑥 = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟐𝟕𝒙es𝑓!(𝑥) = 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟕
𝑓′ 𝑥 = 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟕
ACTIVIDAD4
Determinaladerivadadelassiguientesfunciones:1. 𝑓 𝑥 = 5
2. 𝑓 𝑥 = −
14
3. 𝑓 𝑥 = 𝜋
4. 𝑓 𝑥 = −15𝑥
5. 𝑓 𝑥 =
35 𝑥
6. 𝑓 𝑥 = 𝜋𝑥
7. 𝑓 𝑥 = 𝑥!
8. 𝑓 𝑥 = 𝑥!!
9. 𝑓 𝑥 = 2𝑥!"
10. 𝑓 𝑥 = 3𝑥!!
11. 𝑓 𝑥 = 8 − 6𝑥
12.
𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥!
13.
𝑓 𝑥 = 4𝑥! − 6𝑥 + 1
14.
𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥
15.
𝑓 𝑥 = 𝑥! − 8𝑥 + 16
16. 𝑓 𝑥 = 5 − 9𝑥
17. 𝑓 𝑥 = 4 − 4𝑥
18. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 6𝑥
19. 𝑓 𝑥 = 6𝑥! − 4𝑥 + 10
20. 𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 4𝑥 − 7