Acapulco, Gro A 18/05/14

Investigación unidad 4: CÁLCULO DIFERENCIALM.C Barbosa Baza Alfredo

ÍNDICE

DERIVADAS 3

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio La derivada de una función

5

4.2 La interpretación geométrica de la derivada 10

4.3 Concepto de diferencial Interpretación geométrica de las diferenciales

16

4.4 Propiedades de la derivada 17

4.5 Regla de la cadena 20

4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación

27

4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital 30

4.8 Derivada de funciones implícitas 38

Linkografía 39

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DerivadasEs un hecho bien conocido que la salida de una función varía a medida que la entrada de la función varía. Un término de las matemáticas, utilizado para medir esta variación se llama derivada, la cual es estudiada bajo el cálculo.

Una derivada representa la variación infinitesimal causada a una función cuando una o más de sus variables son variadas. La noción de derivada se encuentra en el corazón de las matemáticas modernas y el cálculo.

Hablando en términos precisos, la variación en la salida dependiente de una función con respecto a la variación en la entrada independiente de una función se llama diferenciación y la derivada de la función es la tasa de variación de la salida de la función con respecto a la tasa de variación de la entrada de la función.

Aquí se puede llamar a la salida de la función como una función de la función de entrada.

Sin embargo, la noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como el gradiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de cambio explicada anteriormente, que es la representación física.

Una definición general de una derivación sería la siguiente “la medida de la variación en una de las cantidades determinada por el cambio en otra cantidad”. La derivación de una función en un punto representa la mejor estimación lineal de esa función cerca del punto de entrada elegido.

Si una función valorada real tiene una sola variable como su entrada, la derivada de la función en algún punto representará la pendiente de la tangente para la gráfica de la función en ese punto. La derivada de una función también se denomina transformación lineal de esa función o linealización de las dimensiones superiores.

La diferenciación de la función extraerá la derivada de esa función, el proceso inverso que es, la anti diferenciación / integración extraerá de nuevo la función.

La notación convencional para denotar una derivada es la siguiente,

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Esta es una derivada de la función y con respecto a x. También se puede representar como, 

Sin embargo, las derivadas son en su mayoría definidas en el plano real, pero pueden ser mejor definidas en un plano complejo.

Tales derivadas se denominan derivadas complejas.

Es esencial que obtengamos un único resultado para todas las derivadas a lo largo del plano complejo, por la existencia de un derivado complejo. Y es un hecho notable que la mayoría de las funciones matemáticas satisfacen esta propiedad.

El cálculo de la derivada de una función requiere seguir algunos pasos.

Vamos a empezar con el entendimiento de la pendiente. La pendiente de una recta con los puntos (x1, y1) y (x2, y2) se puede definir como,

Ahora sustituye y = f (x), que es la ecuación de la recta, en lugar de y para obtener,

Ahora redefina el punto de la función para obtener la derivada de la función en un punto x0. Coloca x0 = x1 y x = x2

Ahora, para determinar la derivada de la recta, tome el límite, o en otras palabras permita que x avance a x0.

Después de calcular la derivada de primer orden, también es posible calcular la segunda derivada o la tercera derivada de una función. La derivada de segundo orden de una función es representada como,

f’‘(x)

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4.1. Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

INCREMENTOS:

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se leee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

RAZON DE CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

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La cantidad de dinero en una cuenta en un banco El volumen de un globo mientras se infla La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

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)()( tfttfQ

ttfttf

tQ

)()(

ttfttf

tQ

tt

)()(limlim

00

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

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)´(tfdtdQ

0dtdQ

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente

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0dtdQ

xxfxxf

xy

)()(

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

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)´(lim0

xfdxdy

xy

x

4.2 La interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

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La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

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Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f'(1) = f'(2)

f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3

f'(1) = 3b2 + 2b + 3

f'(2) = 12b2 + 4b + 3

3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3

9b2 + 2b = 0

b = 0 b = −2/9

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Interpretación física de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

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Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

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¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

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4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta

y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento   que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por   y  .

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4.4 Propiedades de la derivada

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) =k

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a k, si a es un punto cualquieradel campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = k - k = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Si f(x) = k → f ’(x) = 0

Ejemplo: f(x) = 6 → f ’(x) = 0

Derivada de una función identidad

La derivada de una función identidad es igual a 1

Se suele escribir:

Explicación:

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Derivada de una función potencial

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = xk f'(x)= k · xk−1

Ejemplos:

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Ejemplo:

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por una función:La derivada del producto de unaconstante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplo:

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una función:

Ejemplos:

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4.5 Regla de la cadena Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, 

                                             

 y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f, 

                                            entonces la función compuesta 

                                      definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene 

                                       Ejemplo: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------� Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. Resolución: 

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· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x. 

                                        

 · Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2

 

               · Por la regla de la cadena, h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2

 

 Resolución: 

 

                                    

                                  

                           · De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,

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 · Por la regla de la cadena, 

                                 Regla de la cadena para la función potencial Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm -

1.Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

 

                                    aplicando la regla de la cadena, será:                                  [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así,

                              Ejercicio: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------� Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.

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 Resolución: · Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 · f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que 

                                             

 Ejercicio: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Resolución: 

 · Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente: 

                            

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· Se aplica la regla de la cadena: 

 ‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución: · u = sen x; u' = cos x 

 Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,                                    f'(x) = (au )' = u' · au · ln a                                          g'(x) = (eu )' = u' · eu

  Ejercicio: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------� Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

 Resolución: · Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x 

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                        f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4 

 Resolución: 

 Regla de la cadena para las funciones trigonométricas 

       

         

            

         

    

        

 Ejemplos� Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolución: · Si u = sen x, u' = cos x f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x) ‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1) Resolución: · u = x2 - 1; u' = 2x 

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· g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1) ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen3x2

 Resolución: · Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3. · Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u' Llamando v = x2; u = sen v. u' = v' · cos v = 2x · cos x2

 · Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 == 6x · sen2x2 · cos x2

 Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

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4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación

Para funciones más simples, el trabajo de calcular la derivada de una función se puede realizar simplemente usando la definición de derivada. Pero si se da una función compleja, ahora es que vale la pena utilizar la definición de la derivada para el cálculo de las derivadas de la función, dado que si no lo hacemos requeriría muchos cálculos. Con el fin de reducir los cálculos involucrados en el proceso se han introducido una serie de fórmulas de diferenciación.

Junto con las fórmulas se han introducido una serie de propiedades que pueden ser usadas directamente. Algunas fórmulas de diferenciación importantes son,

1 Fórmula de Diferenciación General

, en esta fórmula, c es un valor constante.

, esta es la regla de la potencia de la diferenciación. En esta fórmula, n debe ser exclusivamente un número real.

, lo que significa que cuando un número es diferenciado con respecto a sí mismo producirá uno como resultado.

2 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Logarítmicas

, lo que significa que la diferenciación del logaritmo natural de un número con el mismo número producirá la inversa del número como resultado.

, esta ecuación explica que la diferenciación de un logaritmo natural de la función con respecto a la variable de entrada producirá el inverso de la multiplicación de la función con la derivada de la función como salida.

, esta ecuación explica que la diferenciación del logaritmo de una variable con respecto a su variable de entrada dará el inverso de la multiplicación del número con el logaritmo natural del número.

3 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

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, esta fórmula de diferenciación es interesante dado que establece; la diferenciación del exponente de una variable producirá el exponente de la variable como salida.

, esta regla establece que la diferenciación del exponente de una función producirá la multiplicación del exponente de la función con la derivada de la función como salida.

, esta regla establece que la diferenciación de una constante elevada a la potencia de una variable producirá la multiplicación de la constante elevada a la potencia de la misma variable con el logaritmo natural de la constante.

4 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

Las fórmulas mostradas anteriormente se explican por sí mismas y no necesitan ninguna otra explicación.

Todas estas fórmulas de diferenciación también derivan de la definición básica de diferenciación para facilitar el trabajo y reducir la parte de cálculo. Para tener una mejor comprensión del tema, observe el ejemplo que se ilustra a continuación,

Probar que d(arctan x)/ dx = 1/ (1 + x2) es verdadera.

En la ecuación anterior y = arctan x. esto implica que y = tan x. Ahora sustituyendo en la ecuación dada.

d (tan y)/ dx = (1/ cos2x) dy/ dx

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(1/ cos2x) dy/ dx = 1

dy/ dx = cos2 x

dy/dx = 1/ (1 + x2)

Vamos ahora a despejar la regla lineal de la diferenciación de la fórmula de diferenciación,

(f(x) + g(x))’ = limh0 (f(x + h) + g(x + h) – (f(x) + g(x)))/ h

= limh0 (f(x + h) – f(x) + g(x + h) – g(x))/ h

= limh0 (f(x + h) – f(x))/ h + limh0 (g(x + h) – g(x))/ h

= f’(x) + g’(x)

De una manera similar todas las fórmulas diferenciales se pueden despejar de la fórmula básica para la diferenciación.

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4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital

 

Si  , en donde f y g son derivables en un entorno de a y

existe  , este límite coincide con  .

La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:

Ejemplos

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Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

Indeterminación infinito menos infinito

En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.

Indeterminación cero por infinito

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

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Indeterminaciones 

En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

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Ejercicios

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Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

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4.8 Derivada de funciones implícitas

Frecuentemente se presentan funciones en las cuales no es posible despejar a y o resulta difícil hacerlo. En esta situación, debe derivarse la función tal como está dada, (recordando que y es función de x y aplicando la regla de la cadena

para derivar los términos donde aparece y) y resolverse para

dydx

Ejemplo: Obtener

dydx para las expresiones indicadas:

1.- x5+x2 y3− y6+7=0

ddx

(x5)+ ddx

(x2 y3 )− ddx

( y6 )+ ddx

(7 )= ddx

(0 ),

ddy

( y6 )⋅dydx

5 x4+ x2 ddx

( y3 )+ y3 ddx

(x2)−6 y5 dydx

+0=0

5 x4+ x2 (3 y2 ) dydx

+2 xy3−6 y5 dydx

=0

dydx

(3 x2 y2−6 y5)=−5 x4−2xy 3

dydx

=−5 x4−2xy 3

3 x2 y2−6 y5

2.- x y = 4

3.- x2− y2=16

4.- x cos y + y cos x=1

5.- x cos ( y−x ) + y cos ( x− y ) = 1

6.- y4−xy 3+x2−7=0

7.- y5+3x2 y3=7 x6−8 8.- cos (x+ y )= y sen x

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9.- y2−xy=6 10.- 4 x2+x2 y2=xy 3+4

LINKOGRAFIA

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm

http://www.dervor.com/derivadas/interpretacion_derivada.html

https://sites.google.com/site/aprenderjojo/inicio/calculo-diferencia/unidad-4/43-concepto-de-diferencial-interpretacin-geomtrica-de-las-diferenciales

http://derivadasonceb.blogspot.mx/2009/11/casos-de-derivadas.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cadena.htm

http://mitecnologico.com/igestion/Main/FormulasDeDerivacionYFormulasDeDiferenciacion

http://www.dervor.com/teoremas/regla_lopital.html

https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&uact=8&ved=0CEEQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.itescam.edu.mx%2Fprincipal%2Fsylabus%2Ffpdb%2Frecursos%2Fr39317.DOC&ei=JXp5U7XfC4eiqAaImYKwBw&usg=AFQjCNHf8i3n8xfLimbltpBkJfqXdSM5SA&sig2=sCFqtOfP5gZySTIwCk1UKg&bvm=bv.66917471,d.b2k

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