desarrollo de expansiones de ángulos múltiples completo

7/30/2019 desarrollo de expansiones de ngulos mltiples completo

1/17

Desarrollo de expansiones de angulos multiples

Diego Abril, [email protected]

January 5, 2013

Abstract

En este documento nosotros vamos a ver como se obtiene una igualdad

de ngulos mediante el remplazo de ciertas formulas ya dadas, en este

trabajo se tendra que mostrar la igualdad mediante el metodo analtico,

demostracin grfica en la ultima podemos observar la igualdad de las

imagenes, se utilizara el programa derive, este programa se grafica en

ondeas 2d y 3d y utilizaremos la comprobacin numerica que consiste en

reemplazar ngulos en la forula y asi podremos observar que salgan igual

los resultados, caso contrario seria desigualdad

1 OBJETIVO

1.1 En este documento nosotros vamos a poder manejar

las igualdades trigonometricas, aprender a manejar el

programa Lyx en el cual se va a redactar este deber

2 DESARROLLO

2.1 Expansion 1: cosa = 12

+ 12cos (2a)

2.1.1 Demostracion analitica

cos2a = cos (a + a) (1)

cos (a) cos (a) + sin (a) sin (a) (2)

cos2 (a) = sin2 (a) (3)

cos2 (a) = (1 cos2 (a)) (4)

cos (2a) = 2cos2 (a) 1 (5)

2cos2 (a) = 1 + cos (2a) (6)

1


2/17

cos2 (a) =1

2+

1

2cos (2a) (7)

2.1.2 Demostracion grafica

Figure 1: imagen 1

Figure 2: imagen 2

2.1.3 Comprobacin

a=2pi3

cos2 (a) =1

2+

1

2cos (2a) (8)

(12

)2 =1

2+

1

2(1

2) (9)

1

4=

1

2 1

4(10)

1

4=

1

4(11)

2


3/17

2.2 sin(2a) = 12 1

2 cos (2a)

2.2.1 Demostracin Analitica

cos (2a) = cos2 (a) (12)

= (1 sin2 (a)) sin2 (a) (13)

= 1 sin2 (a) (14)

2sin2 (a) = 1 cos (2a) (15)

sin2 (a) =1

2 1

2cos (2a) (16)

2.2.2 Demostracion Grafica

Figure 3: imagen 2

Figure 4: imagen 2

2.2.3 Comprobacion

5/6

3


4/17

sin2 (a) =1

2 1

2cos (2a) (17)

(1

2)2 =

1

2 1

2cos(

5pi

3) (18)

1

4=

1

2 1

2 1

2(19)

1

4=

1

2 1

4(20)

1

4=

1

4(21)

2.3 cos (a) = 34 cos(A) + 1

4cos (3a)

2.3.1 Demostracion analtica

cos (3a) = cos (a + 2a) (22)

= cos (a) cos2 (a) sin2 (a) sin (a) (23)

= cos (a) (2cos (a) 1) sin (a) (2sin (a) cos (a)) (24)

= 2cos (a) cos (a) 2sin2 (a) cos (a) (25)

= 2cos2 (a) cos (a) 2sin2 (a) cos (a) (26)

2cos2 (a) cos (a) = 2(1 cos (a)) cos (a) (27)

cos (3a) = 2cos2 (a) cos (a) = 2cos (a) + 2cos2 (a) (28)

4cos3 (a) = 3cos (a) + cos (3a) (29)

(cos3 (a)) =3

4cos (a) +

1

4cos (3a) (30)

4


5/17

2.3.2 Demostracin grfica

Figure 5: imagen 3

Figure 6: imagen 3

2.3.3 Comprobacin

a=/2

cos (a) =3

4 cos(A) + 1

4cos (3a) (31)

(0) 2 =3

4 0 + 1

4cos(0) (32)

0 = 0 (33)

2.4 sin3 (a) = 34sin (a) 1

4sin (3a)

2.4.1 Demostracion analticasin (3a) = sin (a + 2a) (34)

= sin (a) cos2 (a) + cos (a) sin2 (a) (35)

5


6/17

= sin (a) (1

2sin2 (a)) + cos (a) (2sin (a)cos (a)) (36)

= sin (a) 2sin2 (a) + 2sin (a) cos2 (a) (37)

= sin (a) 3sin2 (a) + 2sin (a) (1 sin2 (a)) (38)

= sin (a) 2sin2 (a) 2sin (a) 2sin2 (a) (39)

sin (3a) = 3sin (a) 2sin2 (a) (40)

sin (3a) =3

4

sin (a)

1

4

sin (3a) (41)

sin3 (a) =3

4sin (a) 1

4sin (3a) (42)

2.4.2 Demostracion grafica

Figure 7: imagen 4

Figure 8: imagen 4

6


7/17

2.4.3 Comprobacina

a=/4

sin3 (a) =3

4sin (a) 1

4sin (3a) (43)

(

2

2)3 =

3

4

2

2 1

4

2

2(44)

1 =3

4 1

4(45)

1 = 1 (46)

2.5cos

4 (a

) =

3

8 +

1

2cos

(2a

) +

1

8cos

(4a

)2.5.1 Demostracin analtica

cos (2a) cos (2a) sin (2a) sin (2a) (47)

= (2cos2 (a) + 1) cos2 (a) (2sin (a) cos (a)) (2sin (a) cos (a)) (48)

= 2cos2 (a) cos2 (a) cos2 (a) 4sin2 (a) cos (a) (49)

= 2cos2 (a) (2cos (a)

1)cos2 (a)

4 (1

cos2 (a)) cos2 (a) (50)

= 4cos4 (a) 2cos2 (a) cos (2a) + 4 cos4 (a) (51)

cos (4a) = cos (2a) cos (2a) + 8cos4 (a) (52)

cos (4a) = cos (2a) 6

1

2+

1

2cos (2a)

+ 8cos4 (a) (53)

= cos2 (a) 3 + 3cos (2a) + 8cos4 (a) (54)

8cos4 (a) = 3 + 1cos (2a) + cos (4a) (55)

cos4a =3

8+

1

2cos (2a) +

1

8cos (4a) (56)

7


8/17

2.5.2 Demostracin grafica

Algorithm 1 imagen 5

Figure 9: imagen 5

2.5.3 Comprobacin

a=pi/6

cos4a =3

8+

1

2cos (2a) +

1

8cos (4a) (57)

2

2

4 =

3

8+

1

2 1

2+

1

8 1

2(58)

4

16=

3

8+

1

4 3

8(59)

1

4=

1

4(60)

2.6 sin4(a) = 38 12cos (2a) + 18cos (4a)

2.6.1 Demostracin analtica

cos (4a) = cos (2a + a) (61)

8


9/17

= cos (2a)cos (2a)

sin (2a)

sin (2a) (62)

= (2cos2 (a) 1) (cos2 (a)) (2sin (a) cos (a))(2sin (a) cos (a)) (63)

= 2cos2 (a) cos (2a) cos (2a) 4sin2 (a) cos2 (a) (64)

= 2cos2 (a) (2cos2 (a) 1) cos (2a) 4sin2 (a) cos2 (a) (65)

= 2 (1sin2 (a))(1

2sin2 (a))

cos (2a)

4sin2 (a)

cos2 (a) (66)

= 2(1 2sin2 (a) sin2a + 2sin4 (a)) cos (2a) (67)

= 4sin2 (a) (1 sin2 (a)) (68)

= 2 4sin2 (a) 2sin2 (a) + 4sin4 (a) cos2 (a) (69)

4sin2 (a) + 4sin4 (a) (70)

= 2

10sin2 (a) + 8sin4 (a)cos (2a) (71)

= 2 10

1

2 1

2cos (2a)

+ 8sin4 (a) cos (2a) (72)

= 2 5 + 5cos (2a) + 8sin4 (a) cos (2a) (73)

cos (4a) = 3 + 4cos2 (a) + 8sin4 (a) (74)

3 4cos (2a) + cos (4a) = 8sin4 (a) (75)

8sin4 (a) = 3

4cos (2a) + cos (4a) (76)

sin4 (a) =3

8 4

8cos (2a) +

1

8cos (4a) (77)

sin4 (a) =3

8 1

2cos (2a) +

1

8cos (4a) (78)

9


10/17

Figure 10: imagen 6

Figure 11: imagen 6


2.6.3 Comprobacin

a = pi6

sin4 (a) =3

8 1

2cos (2a) +

1

8cos (4a) (79)

1

2

4 =

3

8 1

2

1

2

+

1

8

1

2

(80)

1

16=

3

8 1

4 1

16(81)

1

16=

1

16(82)

2.7 cos5 (a) = 5

8

cos (a) + 5

16

cos (3a) + 1

16

cos (5a)

2.7.1 Demostacin analitica

cos (5a) = cos(3a + 2a = (83)

cos (5a) = cos (2a) cos (3a) sin (2a) sin (3a) (84)

10


11/17

Figure 12: imagen7

Figure 13: imagen 7

cos (5a) = 4cos3 (a)3cos (a)cos2 (a)sin2 (a)3sin (a)4sin3 (a)2sin (a)cos (a)(85)

cos (5a) = 4cos3 (a)3cos (a)cos2 (a)(1 cos2 (a))6sin2 (a)cos (a)8sin4 (a)cos (a)(86)

cos (5a) = 4cos3 (a)3cos (a)cos2 (a)1cos2 (a)6 (1 cos1 (a))cos (a)8 (1 cos2 (a))(1 (87)

cos (5a) = 16cos5 (a) + 12cos3 (a) + 9cos (a) (88)

cos5 (a) =5

8cos (a) +

5

16cos (3a) +

1

16cos (5a) (89)

2.7.2 Demostracin Grafica

2.7.3 Comprobacin

a = pi4

11


12/17

cos5 (a) =5

8cos (a) +

5

16cos (3a) +

1

16cos (5a) (90)

2

2

5 =

5

8

2

2+

5

16 +

2

2

+

1

16

2

2(91)

1 =5

8+

5

16+

1

16(92)

1 = 1 (93)

2.8 sin5 (a) = 58sin (a) 516sin (3a) + 116sin (5a)

2.8.1 Demostacin analtica

sin (5a) = sin (3a + 2a) (94)

= sin (3a) cos (2a) + cos (3a) sim (2a) (95)

= sin (3a) (1 2sin2 (a)) + (4cos3 (a))(2sin (a) cos (a)) (96)

sin (3a) 2sin2 (a) sin (3a) + 8sin (a) cos4 (a) 6sin (a) cos2 (a) (97)

= sin (3a)

2sin2 (a)

(3sin (a)

4sin3 (a))+8sin (a)cos4 (a)

6sin (a)

cos2 (a)

(98)

= sin (3a) 6sin3 (a) + 8sin5 (a) + 8sin (a) cos4 (a) 6sin (a) cos2 (a)(99)

= sin (3a)6sin3 (a)+ 8sin5 (a)+ 8sin (a) (cos2 (a)) 26sin (a)cos2 (a)(100)

= sin (3a)6sin3 (a)+8sin5 (a)+8sin (1 sin2 (a))6sin (a)(1 sin2 (a))(101)

= sin (3a)6sin3 (a)+8sin5 (a)+8sin (a)(1 2sin2 (a) + sin4 (a))sin (a)+6sin3 (a)(102)

= sin (3a)6sin3 (a)+8sin5 (a)+8sin (a)(1 2sin2 (a) + sin4 (a))6sin (a)+6sin3 (a)(103)

12


13/17

= sin (3a) + 2sin (a)

16sin3 (a) + 16sin5 (a) (104)

= sin (3a) + 2sin (a) 16

3

4sin (a) 1

4sin (3a)

+ 16sin5 (a) (105)

= sin (3a) + 2sin (a) 12sin (a) + 4sin3 (a) + 16sin5 (a) (106)

= 5sin (3a) 10sin (a) + 16sin5 (a) (107)

sin (5a) = 5sin3 (a)

6sin (a) + 16sin5 (a) (108)

16sin5 (a) = 5sin (3a) 10sin (a) + sin (5a) (109)

sin5 (a) = 516

sin3 (a) 1016

sin (a) +1

16sin (5a) (110)

sin5 (a) = 516

sin (3a) 58sin (a) +

1

16sin (5a) (111)

2.8.2 Demostracin grafica

Figure 14: imagen 8

13


14/17

Figure 15: imagen 8

2.8.3 Comprobacin

a = pi6

sin5 (a) = 516

sin (3a) + 58sin (a) + 1

16sin (5a) (112)

a 1

2

5 = 5

16(1) +

5

8

1

2

+

1

16

1

2

(113)

1

32= 5

16+

5

16+

1

32(114)

1

32=

1

32(115)

2.9 cos6 (a) = 516 +1532cos (2a) + 316cos (4a) +

132cos (6a)


cos (6a) = cos (3 (a) + (3a)) (116)


cos (6a) = (4cos3 (a) 3cos (a))(4cos3 (a) 3cos (a))(3sin (a) 4sin3 (a))(3sin (a) 4sin3 ((118)

cos (6a) = 32cos6 (a) + 24cos4 (a) 30cos2 (a) + 19 (119)

32cos6 (a) = cos (6a) + 24cos4 (a)

30cos2 (a) + 19 (120)

cos6 (a) =cos (6a) + 24cos4 (a) 30cos2 (a) + 19

32(121)

cos6 (a) =5

16+

15

32cos (2a) +

3

16cos (4a) 1

32cos (6a) (122)

14


15/17


Figure 16: figura 9

Figure 17: imagen 9

2.9.3 Comprobacin

a = pi4

cos6 (a) =5

16+

15

32cos (2a) +

3

16cos (4a) +

1

32cos (6a) (123)

2

2

6 =

5

16+

15

32(0) +

3

16 1 + 1

32 0 (124)

1 = 1 (125)

2.10 sin6 (a) = 516 1532cos (2a) + 316cos (4a)

13cos (6a)


cos (6a) = cos (3a + 3a) (126)


15


16/17

cos (6a) = (4cos3 (a) 3cos (a))(4cos3 (a) 3cos (a))(3sin (a) 4sin3 (a))(3sin (a) 4sin3 ((128)

cos (6a) = 16cos5 (a)12cos4 (a)12cos4 (a)+9cos2 (a)9 (1 cos2 (a))+12 (1 cos2 (a))(1 (129)

cos (6a) = 32cos (a) + 24cos4 (a) 30cos2 (a) + 19 (130)

32cos (6a) = cos (6a) + 24cos (4a) 30cos (2a) + 19 (131)

sin6 (a) =5

16 15

32

cos (2a) +3

16

cos (4a)

1

32

cos (6a) (132)


Figure 18: figura 10

2.10.3 Comprobacin

a = pi4

sin5 (a) =5

16 15

32cos (2a) +

3

16cos (4a) 1

32cos (6a) (133)

2

2

5 =

5

16 15

32(1) +

3

16(0) 1

32(1) (134)

1 =5

16 15

32 +1

32 (135)

1 = 1 (136)

16


17/17

3 Conclusiones

3.1 En este documento aprendimos mas sobre la utilizaciny funcionamiento de derive, lyx

3.2 Conocimos la importancia de las igualdades trigono-

metricas, sus aplicaciones en diferentes formulas

3.3 Aprendimos a como comprobar si es una igualdad,

en este documento utilizamos 3 diferentes formas de

comprobacin

3.4 Con la practica de igualdades podemos ir mejorando

y veremos que la aplicacin de este nos va a volver

faciles3.5 we know more about the writing of an essay, its struc-

ture and draws our conclusions

17

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