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Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería

2020

Desarrollo de un controlador para un motor asíncrono con Desarrollo de un controlador para un motor asíncrono con

aplicación en automóviles eléctricos de tracción de carga en aplicación en automóviles eléctricos de tracción de carga en

entornos semiestructurados entornos semiestructurados

Daniel Esteban Cruz López Universidad de La Salle, Bogotá

Juan José Gómez Fierro Universidad de La Salle, Bogotá

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DESARROLLO DE UN CONTROLADOR PARA UN MOTOR ASÍNCRONO

CON APLICACIÓN EN AUTOMÓVILES ELÉCTRICOS DE TRACCIÓN

DE CARGA EN ENTORNOS SEMIESTRUCTURADOS

Daniel Esteban Cruz López

Juan José Gómez Fierro

UNIVERSIDAD DE LA SALLE

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

BOGOTÁ D.C.

2020

DESARROLLO DE UN CONTROLADOR PARA UN MOTOR ASÍNCRONO

CON APLICACIÓN EN AUTOMÓVILES ELÉCTRICOS DE TRACCIÓN

DE CARGA EN ENTORNOS SEMIESTRUCTURADOS

Daniel Esteban Cruz López

Juan José Gómez Fierro

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al

título de Ingeniero Electricista

Director

Maximiliano Bueno López

UNIVERSIDAD DE LA SALLE

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

BOGOTÁ D.C.

2020

Nota de Aceptación:

Firma del presidente del jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

Bogotá D.C., marzo de 2020

Dedicatoria…

A Bertica, a sus oraciones y a Dios por siempre escucharlas.

Juan José Gómez Fierro

A mi abuela Débora López, mi madre Blanca Esther López quienes siempre estuvieron aquí

en el proceso.

Daniel Esteban Cruz López

AGRADECIMIENTOS

El listado de personas a las cuales quisiera agradecer, sería seguramente más extenso que todo

este documento, sin embargo, quiero agradecer de manera especial, a algunos de ellos: A mi

abuelita, que como una madre y mentora me ha acompañado en todos los retos que he asumido

en la vida; A mi madre Sol, quien me dio la vida y estuvo siempre conmigo, dándome fuerza

cuando esta meta parecía inalcanzable; A Óscar quien con su ejemplo y enseñanza, me ayudó

a elegir este camino para mi vida por el cual hoy en día estoy a un paso de ser ingeniero; A

Michelle, mi amada que por largas jornadas acompañó mi rostro trasnochado por las horas de

estudio nocturno y que también supo compartir su felicidad conmigo en cada una de las

victorias alcanzadas en el proceso; Al profesor Alfredo Caicedo, quien en el colegio me mostró

que unos cables, un cautín y algo de curiosidad, eran suficientes para construir un radio; Al

ingeniero Maximiliano, a quien sin importarle que su agenda no tenía más espacio, decidió

creer en nosotros y disponer del tiempo necesario, incluso desde la distancia, para asistirnos y

acompañarnos en este proceso; A ser pilo paga quiero también hacerle una mención, a veces

los sueños parecen imposibles y de pronto una decisión administrativa te cambia la vida; A ti,

que estas leyendo esto, si encuentras la información que necesitas, o es de tu agrado este

documento, entonces habrás logrado junto a nosotros que este esfuerzo rinda frutos.

Finalmente quiero dejar esta frase que durante el proceso me sirvió de guía, y que en todo caso

es aplicable a cualquier otra situación de la vida.

“Si la única herramienta disponible es un martillo, haz que todos los problemas parezcan

clavos”

Juan José Gómez Fierro

Este triunfo es gracias a mi madre y abuela por su apoyo incondicional, a todo el equipo de

profesores que me acompaño a lo largo de mi formación siendo aquellos los que me brindaron

herramientas no solo para desenvolverme en el entorno académico sino en la vida diaria, para

aquellos compañeros que compartieron conmigo el proceso de ser un ingeniero electricista

estando hay en diferentes momentos de mi carrera, a las casualidades misteriosas de la vida

que me han traído hasta aquí y también este triunfo es para mí como un acto de superación

personal.

Daniel Esteban Cruz López

ÍNDICE GENERAL

RESUMEN ................................................................................................................................. 12

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 13

1. MARCO TEÓRICO ............................................................................................................. 16

1.1. Modelo estacionario del motor de inducción ............................................................. 16

1.2. Modelo dinámico del motor de inducción .................................................................. 17

1.3. Control de la máquina de inducción con enfoque dinámico ...................................... 19

1.4. Teoría básica control PID ........................................................................................... 21

1.5. Control por retroalimentación de estados ................................................................... 22

2. AJUSTE DEL MODELO MATEMÁTICO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN ....................... 25

2.1. Ecuaciones diferenciales en referencia abc. ............................................................... 25

2.1.1. Ecuaciones de tensión ...................................................................................................... 25

2.1.2. Ecuación de torque. ......................................................................................................... 26

2.2. Ecuaciones diferenciales en referencia DQ0. ............................................................. 27

2.2.1. Transformada de Clarke-Park. .................................................................................... 27

2.2.2. Ecuaciones de tensión obtenidas de la Transformada de Clarke-Park: ........................... 31

2.2.3. Ecuaciones de corriente obtenidas de la Transformada de Clarke-Park: ......................... 32

2.2.4. Ecuaciones de tensión en variables de estado: ................................................................. 33

2.2.5. Ecuaciones de velocidad y torque en variables de estado:............................................... 34

2.3. Simulación .................................................................................................................. 35

3. DISEÑO DEL CONTROLADOR CON BASE EN EL MODELO MATEMÁTICO .............. 38

3.1. Obtención de parámetros de control. .......................................................................... 39

3.1.1. Linealización de las ecuaciones en espacio de estados. ................................................... 40

3.1.2. Definición de los lazos y constantes de control (diseño del control) ............................... 46

3.2. Simulación del controlador ......................................................................................... 52

3.3. Verificación del diseño ............................................................................................... 54

3.4. Definición del perfil de torque ................................................................................... 56

3.4.1. Aplicación del perfil de torque ........................................................................................ 57

3.4.2. Simulación del perfil de torque ........................................................................................ 57

4. PRUEBAS DE DESEMPEÑO Y ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................... 58

4.1. Comparativo sistema lineal a no lineal ....................................................................... 58

4.2. Arranque y operación del motor con torque nominal en la carga y variaciones en la

referencia tensión / frecuencia del usuario ................................................................. 59

4.3. Arranque y operación con máxima referencia y torque en la carga variable ............. 60

5. CONCLUSIONES ................................................................................................................. 61

6. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................... 63

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Modelo estacionario del motor de inducción. (elaboración propia) ............................................ 16

Figura 2. Modelo estacionario del motor de inducción referido al primario. (elaboración propia) ............ 16

Figura 3. Transformada de Park de las coordenadas abc a dq0. (tomado de Krause, p. 2003) ................... 19

Figura 4. Esquemático del circuito de potencia utilizado para reconstruir la señal senoidal. (elaboración

propia) ......................................................................................................................................................... 20

Figura 5. SPWM reconstrucción de senoidal. (elaboración propia) ........................................................... 21

Figura 6. Sistema en espacio de estados controlada por retroalimentación de variables de estado. ........... 23

Figura 7. Representación del modelo de motor de inducción en la herramienta SIMULINK de MATLAB.

.................................................................................................................................................................... 35

Figura 8. Representación de la interacción de los flujos. ............................................................................ 36

Figura 9. Diagrama de bloques para la obtención del flujo de cuadratura en el estator ............................. 36

Figura 10. Torque eléctrico Vs Velocidad (a) elaboración propia obtenida con el modelo desarrollado (b)

(Krause et al., 2013). ................................................................................................................................... 37

Figura 11. Diagrama de bloques sistema linealizado. ................................................................................. 44

Figura 12. Diagrama de bloques sistema linealizado con TL=400, error calculado con TL=0. ................. 45

Figura 13. Uso del bloque space-state para la representación del sistema. ................................................. 45

Figura 14. Gráfico de polos del sistema. ..................................................................................................... 47

Figura 15. Sintonización de entradas Ziegler Nichols. ............................................................................... 50

Figura 16. Desempeño del control de las entradas con las constantes obtenidas por Ziegler-Nichols. ...... 51

Figura 17. Sintonización manual de la constante de integración del control de las entradas. .................... 51

Figura 18. Diagramas de bloques del controlador, de las entradas y de la planta en SNL y linealizada del

sistema. ....................................................................................................................................................... 52

Figura 19. Bloque ENTRADAS DEL SISTEMA. ..................................................................................... 53

Figura 20. Respuesta del sistema con TL = 400 torque de carga y referencia del usuario = 1 considerando

1 como los valores nominales del motor. .................................................................................................... 55

Figura 21. Acercamiento error de estado estacionario a 1 segundo. ........................................................... 55

Figura 22. Diferencia entre la referencia del usuario y el modelo no linealizado 0.5507 rpm ................... 56

Figura 23. Perfil de torque variable entre -100 y 780 Newton. ................................................................... 57

Figura 24. comparativa de resultados modelo lineal y no lineal en el punto de linealización de torque 400

Nm y referencia de velocidad variable. ...................................................................................................... 58

Figura 25. comparativa de resultados modelo lineal y no lineal en el punto de torque máximo 780 Nm y

referencia de velocidad variable. ................................................................................................................ 59

Figura 26. Respuesta del motor ante variaciones en la referencia del usuario y torque máximo 780 Nm. 60

Figura 27. Respuesta del motor con la referencia del usuario en máxima velocidad con torque variable. 60

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Comparativa entre las diferentes técnicas de control para un motor de inducción en AC en estado

estacionario. (Rincón & Serna, 2005). ........................................................................................................ 23

Tabla 2. Parámetros de simulación. ............................................................................................................ 35

Tabla 3. Polos del sistema original. ............................................................................................................ 46

Tabla 4. Reubicación de polos. ................................................................................................................... 47

Tabla 5. Polos utilizados para calcular el observador de estados. .............................................................. 49

RESUMEN

Cruz D.C. & Gómez J.J.

DESARROLLO DE UN CONTROLADOR PARA UN MOTOR ASÍNCRONO CON

APLICACIÓN EN AUTOMÓVILES ELÉCTRICOS DE TRACCIÓN DE CARGA EN

ENTORNOS SEMIESTRUCTURADOS

Tutor: Maximiliano Bueno L.

Facultad de Ingeniería. Programa de Ingeniería Eléctrica. Año 2020.

Palabras Claves: Control, Entornos semiestructurados, Motor de inducción, Modelo dinámico,

Automóvil eléctrico.

Resumen. – Como alternativa para el problema de transporte y tracción de carga surgen los

vehículos eléctricos. Estos requieren de controles particulares, específicamente diseñados para

su aplicación. En este sentido se plantean las características de diseño de controladores que,

según el tipo de motor, deben garantizar el funcionamiento a partir de parámetros dependientes

de la máquina de inducción y su entorno.

Se plantea el diseño de un controlador para un motor de inducción asíncrono, adaptable a un

vehículo eléctrico que desempeñe sus funciones en un entorno semiestructurado, determinado

por las características del sector rural colombiano. Por esta razón, se aborda el proyecto desde

el modelo dinámico de la máquina de inducción, dado que para este tipo de aplicación se

trabaja en toda la región de funcionamiento y de esta manera se cumplen los requerimientos

establecidos.

Existen variedad de técnicas de control enfocadas en este campo, sin embargo, actualmente,

resaltan aquellas que permiten controlar el par y la velocidad disminuyendo el tiempo de

respuesta. En este sentido, se presenta la información de los distintos controladores,

determinando de acuerdo con la planta, el más adecuado para el desarrollo del proyecto.

INTRODUCCIÓN

En materia de controladores para vehículos eléctricos, el origen se encuentra ligado a la invención

del motor eléctrico y las baterías de Volta (Westbrook & Westbrook, 2001). A pesar de esto, se

tiene la concepción de que el auto eléctrico es parte de la modernidad, no obstante, su origen data

de 1828 con el prototipo diseñado por Ányos István Jedlik quien construyó el primer motor

eléctrico y posteriormente lo adaptó en un modelo de vehículo con ruedas (Ruíz, 2015). Uno de

los principales inconvenientes de estos autos se presentó a la hora de diseñar controladores para

los motores y bancos de baterías. En este sentido el primer automóvil regulado por transistores fue

el Henney Kilowatt en 1959, caracterizado por estar equipado con un motor de corriente continua,

de las que se vendieron 40 unidades donde diez de ellas aún se mantienen en funcionamiento y

dos se exponen en un museo de Francia (Ruíz, 2015).

A principios del milenio se dieron importantes desarrollos que en general, se basaron en el modelo

dinámico del motor de inducción. Se presentaron algunos estudios donde se estimaban variables

mediante controles sin sensores, teniendo en cuenta la velocidad y el flujo de la máquina de

inducción (Zhang Yan et al., 2000). En esta misma línea, (Maes & Melkebeek, 2000) establecen

un control directo de torque por estimación sin sensores, haciendo uso de un observador adaptativo

de flujo. Esto permite su funcionamiento en bajas y altas velocidades, contrario a (Kuo-Kai Shyu

et al., 2004) donde se realiza control directo de torque para compensar el flujo en el motor, esta

técnica es aplicada únicamente a bajas velocidades porque allí se evidencia dificultad debido a la

caída de tensión en la resistencia del estator, la cual es proporcional con la tensión propia del

estator.

Con el avance y posicionamiento de la electrónica de potencia se marca un nuevo comienzo para

los automóviles eléctricos, las aplicaciones de controladores de distintas características surgen y

se adaptan al modelo de motor de inducción. Para el año 2005 los vehículos híbridos (eléctrico-

combustión) se posicionan sobre los eléctricos, bajo características de control particulares donde

el motor de inducción se analizaba como generador, basándose en el modelo circuital estacionario,

donde el sistema mecánico eléctrico se toma como un complemento del sistema principal del

automóvil (Baoquan Kou et al., 2005).

En el año 2006, se lanzó al mercado el tesla Roadster, un automóvil completamente eléctrico capaz

de recorrer una distancia alrededor de 400 km por carga. Estos automóviles fueron pioneros en

equipar motores de inducción controlados, además de sistemas de baterías de Ion-Litio más

pequeños y de mayor potencia, capaces de entregar energía y estabilidad mecánica al vehículo.

(Ruíz, 2015).

A partir de estos desarrollos, el control vectorial se ha consolidado como el más utilizado para

aplicación en vehículos eléctricos. En la última década se han definido algunos criterios a la hora

de diseñar este tipo de controladores. Son factores determinantes aquellos relacionados con la

eficiencia del sistema, obteniendo el máximo torque por amperio, compensando la variación de

flujo magnético, temperatura y tensión (Sung et al., 2012). En este punto el modelo definitivo que

se toma para el desarrollo es el dinámico, dadas las reglas para la aplicación del control, y su

representación precisa de los fenómenos físicos del motor respecto al estacionario.

En la actualidad, las necesidades de transporte y tracción en el sector rural de Colombia están

satisfechas a través de vehículos de combustión, que pueden brindar el par necesario para transitar

por las condiciones particulares de este entorno. Una alternativa para estas condiciones, son los

automóviles eléctricos. En este entorno semiestructurado surge uno de los principales problemas

dado por las características específicas que deben tener los controladores aplicados al motor

asíncrono que se desempeñaría en un área donde las condiciones del terreno exigen altos

requerimientos de par, a lo cual surge la pregunta:

¿Cuáles deben ser las características de un sistema de control para motores asíncronos con

aplicación en transporte y tracción de carga en entornos semiestructurados? En este sentido se

planteó la solución de esta problemática bajo tres enfoques fundamentales los cuales están basados

en el objetivo general: desarrollar un controlador para un motor asíncrono con aplicación en

transporte y tracción de carga caracterizado en entornos semiestructurados y se presentan a

continuación:

• Ajustar el modelo dinámico del motor asíncrono para el desarrollo del controlador, dado que

la representación del comportamiento del motor de inducción puede simplificarse de acuerdo

con la aplicación, realizando simplificaciones en las variables de interés.

• Diseñar el controlador con base en el modelo matemático de la planta y sus parámetros, de

esta manera se obtuvieron las características, propias de la estrategia aplicada que para este

caso fue el control vectorial.

• Verificar el diseño mediante simulación comprobando su funcionamiento, analizando su

comportamiento bajo circunstancias controladas, donde se aplicó un torque de prueba al

diseño final simulado.

Para finalizar se presenta en este documento, todo lo relacionado a metodología planteada junto

con su desarrollo, y los resultados finales obtenidos del proceso.

1. MARCO TEÓRICO

1.1. Modelo estacionario del motor de inducción

El modelo permite la representación del estator como primario de un transformador y del rotor

como el secundario. El análisis además presenta una rama de magnetización que puede referirse a

la alimentación en el circuito debido a su magnitud, imponiendo un error porcentualmente

aceptable para la obtención de los valores deseados y las constantes de diseño de controladores

donde el motor trabaja en un punto determinado dentro de su región de funcionamiento (Jimmie,

2002).

Figura 1. Modelo estacionario del motor de inducción. (elaboración propia)

Figura 2. Modelo estacionario del motor de inducción referido al primario. (elaboración propia)

Se enfatiza su comportamiento de acuerdo con la ecuación (1) donde se expresa el torque

desarrollado por el motor sin tener en cuenta las pérdidas mecánicas, tomando así, solo las pérdidas

en el estator, núcleo y rotor. Como punto de partida se toma de la ecuación (1), la potencia

desarrollada 𝑃𝑑 y se divide con la velocidad mecánica 𝜔𝑚 obteniendo el torque desarrollado 𝑇𝑑.

(Jimmie, 2002).

𝑇𝑑 =𝑃𝑑

𝜔𝑚

( 1)

1.2. Modelo dinámico del motor de inducción

Este modelo establece las relaciones entre los enlaces de flujo y el flujo auto inducido de los

diferentes arrollamientos del estator y rotor los cuales son importantes a la hora de controlar las

variables de velocidad y torque en el motor ya que estas se relacionan de manera directa con la

fuerza magnetomotriz presente en el motor. (Krause et al., 2013).

Para simplificar el desarrollo matemático propuesto del modelo dinámico se presentan las

ecuaciones vectoriales en el sistema de condenadas d-q. Se debe entender que la ecuación aplica

por separado para el eje de cuadratura y para el eje directo, según la convención propuesta en

(Krause et al., 2013). Las ecuaciones (2) y (3) presentan los enlaces d flujo del rotor y del estator

y describen el comportamiento dinámico del motor.

�̅�𝒅𝒒𝒔 = 𝐿𝑠 . 𝒊�̅�𝒒𝒔 + 𝐿𝑚 . 𝒊�̅�𝒒𝒓 ( 2)

�̅�𝒅𝒒𝒓 = 𝐿𝑟 . 𝒊�̅�𝒒𝒓 + 𝐿𝑚 . 𝒊�̅�𝒒𝒔 ( 3)

Donde:

- �̅�𝒅𝒒 es el vector de los enlaces de flujo en los ejes directo y de cuadratura, “r” para el rotor

y “s” para el estator.

- 𝐿𝑠 es la inductancia propia del estator.

- 𝐿𝑟 es la inductancia propia del rotor

- 𝐿𝑚 es la inductancia de magnetización

- 𝒊�̅�𝒒 es el vector de las corrientes en los ejes directo y de cuadratura, “r” para el rotor y “s”

para el estator.

Para el desarrollo del torque eléctrico en el motor es necesario definir las corrientes que dependen

tanto de inductancias como los enlaces de flujo en el motor como se presenta en las ecuaciones (4)

y (5).

𝒊�̅�𝒒𝒔 =𝐿𝑟

𝐿𝑟𝐿𝑠 − 𝐿𝑚2

�̅�𝒅𝒒𝒔 −𝐿𝑚

𝐿𝑟𝐿𝑠 − 𝐿𝑚2

�̅�𝒅𝒒𝒓 ( 4)

𝒊�̅�𝒒𝒓 =𝐿𝑠

𝐿𝑟𝐿𝑠 − 𝐿𝑚2

�̅�𝒅𝒒𝒓 −𝐿𝑚

𝐿𝑟𝐿𝑠 − 𝐿𝑚2

�̅�𝒅𝒒𝒔 ( 5)

Finalmente, el torque se constituye a partir de una relación del número de polos multiplicada por

la inductancia de magnetización y las corrientes en los ejes directo y de cuadratura como se muestra

en la ecuación (6).

𝑇𝑒 =3

2

𝑃

2 𝐿𝑚[𝑖𝑞𝑠𝑖𝑑𝑟 − 𝑖𝑑𝑠𝑖𝑞𝑟] ( 6)

Figura 3. Transformada de Park de las coordenadas abc a dq0. (tomado de Krause, p. 2003)

Donde:

- 𝑓´𝑟 se refiere a las funciones de tensión del rotor referidas al primario, los subíndices abc

se refieren al sistema de coordenadas trifásicas y los subíndices q y d se refieren a los ejes

de cuadratura y directo respectivamente estos presentan una diferencia de 90° en

comparación con los 120° del sistema abc.

1.3. Control de la máquina de inducción con enfoque dinámico

La electrónica de potencia implicada con la alimentación del motor es fundamental para el

desarrollo de controladores para la máquina de inducción. Dentro de distintas técnicas destaca,

entre otras: el control de velocidad-torque, donde con inversores DC/AC se puede lograr

reconstruir una señal senoidal a partir de una señal de corriente directa teniendo dominio sobre la

frecuencia y tensión de la señal a reconstruir.

Figura 4. Esquemático del circuito de potencia utilizado para reconstruir la señal senoidal. (elaboración propia)

Para aplicar lo presentado en la figura 4 se debe implementar una señal PWM o SPWM en la

configuración de MOSFET (elemento de conmutación) mencionados en la figura 4. Al poder

manipular la frecuencia de la señal referencia en el PWM y SPWM se puede controlar también la

frecuencia de la senoidal a producir (Rashid, 2004).

Para esta aplicación se prefiere el uso de modulación por SPWM debido al alto índice de

armónicos que se producen al hacer uso de modulación PWM. En concreto se utiliza una señal

que puede ser triangular, sierra de rampa positiva o sierra de rampa negativa. La señal

presentada en la figura 5 está construida con una portadora triangular denominada Double Edge

PWM. Se realiza la comparación de la señal triangular y una señal senoidal, donde si la

diferencia de las dos señales es mayor a la magnitud en ese punto de la señal senoidal, se

produce un pulso de PWM, en el caso contrario la señal de salida es cero. De esta manera se

reconstruye una señal seno modulada en la cual el aporte de armónicos está definido por la

frecuencia de la señal triangular (Jimena et al., 2007)

Figura 5. SPWM reconstrucción de senoidal. (elaboración propia)

Para realizar un control sobre el motor de inducción, necesario entender los fenómenos asociados

tales como el arranque, el cual comúnmente se da bajo la construcción de una Jaula sencilla o

doble Jaula (Jaramillo-Matta et al., 2011). El encendido se realiza desde la mínima frecuencia

nominal (20 Hz), hasta la máxima (60 Hz). Elegido este rango de frecuencia se va aumentando la

amplitud de la señal sinusoidal hasta conseguir el valor deseado (Serra & Falco, 2008)

Con controladores difusos se consigue gran precisión en el manejo de las variables del motor, pero

este exige gran conocimiento de todo el funcionamiento de la máquina de inducción (Medina

Caicedo, 2007). Eventualmente, para aplicaciones prácticas, se utiliza con frecuencia el control

PID, que se basa en obtener la suma tres errores: El primero consiste hallar el valor de la diferencia

proporcional entre la entrada y la salida del sistema; el segundo es la integral del error hallado de

la diferencia proporcional y finalmente el tercero es la derivada del valor total obtenido (Franklin

et al., 1998).

1.4. Teoría básica control PID

Los controladores de tipo Proporcional, Integral y Derivativo, por sus siglas PID son una solución

actualmente usada en la mayoría de los problemas de control que se tienen a nivel industrial

manteniéndose aun después de los cambios de tecnología, este se basa en obtener el error que hay

entre la referencia seleccionada y la salida a controlar, continuamente se le aplica una acción que

puede ser PID, PI o PD. (Franklin et al., 1998).

La acción proporcional multiplica el error con el fin de hacer que este llegue rápidamente a valores

cercanos disminuyendo el error en régimen permanente y aumentando la velocidad de respuesta

de la señal y de igual manera, puede aumentar el sobre pico dependiendo la magnitud de la acción

proporcional. La acción integral es la encargada de minimizar el error en régimen permanente, sin

embargo, afecta la estabilidad generando oscilaciones y aumentando el sobre paso. La acción

derivativa es la encargada de mejorar la estabilidad disminuyendo el sobre paso y las oscilaciones.

(Wang, 2020).

1.5. Control por retroalimentación de estados

Este control evalúa las propiedades de la planta desde el análisis de sus autovalores y sus variables

de estado, ya que estas, son consideradas memorias de almacenamiento de información, en donde

se desarrolla un estado futuro y un estado pasado, para de esta manera, posibilitar la asignación de

autovalores de manera arbitraria. (Åström & Murray, 2010). Al tener la estabilidad de la planta se

debe analizar si todas las variables del sistema son observables. Para aquellos casos en los cuales

este requisito no se cumple es recomendable desarrollar un observador de estados, el cual puede

predecir el estado de las variables que no se puedan observar, todo esto creando un lazo de

realimentación multiplicado por un arreglo de valores constantes, sumando esto a su entrada y

obteniendo así el valor deseado en el sistema. (Zak, 2003).

La figura 6 representa un sistema al cual se le aplica retroalimentación de estados. Cabe destacar

que esta realimentación se realiza desde los estados del sistema (x) debido a eso es importante

tener acceso a estos. En caso de no ser posible la medición de todos los estados, es necesario

diseñar un observador de estados L el cual proporcione los valores de los estados en los que se

encuentra el sistema, esta retroalimentación se caracteriza por tener una ganancia de

realimentación K la cual se le aplica a los estados y de esta forma genera un desplazamiento en los

polos al restarse a la referencia teniendo como entrada u(t) y como salida y(t).

Figura 6. Sistema en espacio de estados controlada por retroalimentación de variables de estado.

Con el fin de sintetizar la información de controladores para motores de inducción con jaula de

ardilla, se presenta una investigación en la cual se concreta lo relacionado a esta temática en la

Tabla 1. Comparativa entre las diferentes técnicas de control para un motor de inducción en AC

en estado estacionario. (Rincón & Serna, 2005).

Tabla 1.

Comparativa entre las diferentes técnicas de control para un motor de inducción en AC en

estado estacionario. (Rincón & Serna, 2005).

TÉCNICA DE

CONTROL

DEFINICIÓN CARACTERÍSTICAS

VENTAJAS DESVENTAJAS

CONTROL

TRADICIONAL

DEL VOLTAJE DE

ENTRADA.

Variando la tensión de entrada en el

estator, se alcanza una salida de

torque máximo con el deslizamiento

asociado a este.

Aplicable a todo tipo de

motores asíncronos (salvo

los cambiadores de

configuración de bobinas).

Técnica en desuso

B

A

- K

C 1/S + +

Z(t)

r(t) u(t) 𝑥ሶ y(t)

𝑥

Control manual, o

electromecánico

relativamente simple.

Rango de control de

velocidad reducido,

dependiente del tipo de carga.

Aplicables principalmente

como “arrancadores

suaves”, si la carga lo

permite.

Baja respuesta dinámica del

motor.

CONTROL DEL

VOLTAJE DE

ENTRADA Y DE LA

POTENCIA EN EL

ROTOR.

Combina dos técnicas, ejerciendo un

mejor control sobre el torque del

motor, con dos variables de

ejecución.

El contenido armónico

inyectado a la línea de

alimentación AC es menor

que el inyectado en el caso

del control electrónico del

voltaje de entrada.

La configuración del circuito

es más compleja. Velocidad

de respuesta media, adecuada

para operaciones en estado

cuasi estacionario, con

cambios de velocidad

relativamente lentos.

CONTROL DIFUSO

Para sistemas con cierta ambigüedad

de información en sus características

naturales, genera una conclusión

adecuada de control, para cada

variable.

Es un control de alta

precisión. Al establecer

sus parámetros de

funcionamiento este

brinda capacidad de

adaptación y flexibilidad

en la selección de

variables.

Su desarrollo es complejo y

requiere un alto conocimiento

del funcionamiento de la

planta, para este caso el

motor de inducción.

CONTROL

(ESCALAR) DE

VOLTAJE/

FRECUENCIA (V/F)

Con fuentes independientes del

sistema, es variada la velocidad en

proporción con la frecuencia con el

fin de mantener el par del motor y

minimizar las pérdidas de energía.

Diseñado para el modelo

estático.

Baja regulación del flujo de

campo magnético en bajas

velocidades bajas.

Es simple de implementar

y económico.

No regula el par

electromagnético del motor.

CONTROL

VECTORIAL

Se realiza una reconfiguración de los

diagramas vectoriales en los campos

activos dentro del motor, mediante la

manipulación de la corriente del

rotor y el campo magnético del

entrehierro, lo que permite

desvincular las variables de par y

velocidad, con el fin de ejercer un

control independiente sobre las

mismas.

Permite tratar el motor de

inducción de la misma

manera que el motor de

corriente continua de

excitación independiente

Complejo análisis del modelo

dinámico.

Referencia el sistema

trifásico alterno del estator

y el equivalente del rotor a

un sistema de coordenadas

ortogonales no

estacionario, el cual gira.

Complejo análisis

matemático

(Transformaciones de Clarke

y Park.)

CONTROL

DIRECTO DEL

PAR

Se ejerce el control sobre el par

electromagnético y la corriente de

flujo en el estator, de lo cual

dependerá la posición de los

interruptores del inversor DC-AC.

Se fundamenta en el

control del par

electromagnético de la

máquina de inducción y

del flujo enlazado en el

estator

La posición de los

interruptores del convertidor

de potencia se determina

directamente por el estado

electromagnético del motor

2. AJUSTE DEL MODELO MATEMÁTICO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

Las aplicaciones donde se requiere mayor control sobre las variables propias del motor de

inducción (torque y velocidad) están directamente relacionadas con el modelo dinámico del

motor, el cual representanta de manera precisa los fenómenos físicos asociados con la máquina

de inducción. El modelo tiene diferentes versiones entre las cuales, la más apropiada para

desarrollo de controladores se encuentra en la referencia dq0 la cual es resultado de la aplicación

de la transformada de Park al modelo en referencia abc.

2.1. Ecuaciones diferenciales en referencia abc.

La referencia abc, desarrolla el modelo matemático directamente a partir de las variables físicas

del motor de inducción. Este se basa principalmente en las componentes magnéticas, donde los

enlaces de flujo “λ”, la velocidad del rotor y las inductancias de magnetización y dispersión,

determinan las corrientes y tensiones abc con las que posteriormente se calcula el torque de la

máquina de inducción. Las ecuaciones que se tienen en cuenta se presentan en los ítems 2.1.1. y

2.1.2.

2.1.1. Ecuaciones de tensión

Las ecuaciones (7) y (8) presentan las tensiones trifásicas a, b y c para el estator “s” y el rotor “r”.

En este sentido, se relacionan de manera simplificada así:

𝑽𝒂𝒃𝒄𝒔 = 𝑟𝑠𝒊𝒂𝒃𝒄𝒔 + 𝑝𝝀𝒂𝒃𝒄𝒔 ( 7)

𝑽𝒂𝒃𝒄𝒓 = 𝑟′𝑟𝒊𝒂𝒃𝒄𝒓 + 𝑝𝝀′𝒂𝒃𝒄𝒓 ( 8)

Donde:

- 𝑽𝒂𝒃𝒄 representa las tensiones en referencia “abc”. “r” para el rotor y “s” para el estator.

- 𝒊𝒂𝒃𝒄 representa las corrientes en referencia “abc”. “r” para el rotor y “s” para el estator.

- 𝝀𝒂𝒃𝒄 representa los enlaces de flujo en referencia “abc”. “r” con apostrofe para el rotor

referido al estator y “s” para el estator.

- 𝑟𝑠 resistencia propia del estator.

- 𝑟′𝑟 resistencia propia del rotor referida al estator.

Estas ecuaciones dependen principalmente de los enlaces de flujo “λ”, bajo la acción del operador

“p” el cual es la derivada de la función sobre “dt”. Por otro lado, las ecuaciones (7) y (8) dependen

de la resistencia propia del estator y del rotor respectivamente, además de, la corriente a través de

cada fase. Es importante notar la relación entre los enlaces de flujo sobre tiempo, dado que de

esta manera se representa el voltaje que a su vez tiene una relación con las diferentes inductancias.

2.1.2. Ecuación de torque.

En este caso se tiene un sistema de ecuaciones no lineales, el cual representa alta complejidad

computacional para su simulación, dado que el estator y el rotor, presentan comportamientos

independientes. El torque eléctrico está relacionado con el número de polos, a la inercia en el eje

del rotor, junto con la velocidad del rotor, además de tener dependencia del torque en la carga

ecuación (9).

𝑇𝑒 = 𝐽2

𝑃𝑝𝜔𝑟 + 𝑇𝐿 ( 9)

Donde.

- 𝑇𝑒 es el torque eléctrico del motor.

- J es la inercia del rotor,

- P es el número de polos

- TL es el torque en la carga de la máquina de inducción.

- 𝜔𝑟 es la velocidad del rotor.

2.2. Ecuaciones diferenciales en referencia DQ0.

Para reducir la complejidad del sistema presentado en la sección 2.1.1. se debe realizar la

transición del eje de referencia abc a dq0. Para ello se aplica la transformada de Clarke-Park al

sistema como se presenta en la sección 2.2.1 y 2.2.2.

2.2.1. Transformada de Clarke-Park.

Las ecuaciones (10) y (11) representan la definición de la transformada de Clarke-Park. Este

procedimiento es aplicado a las tensiones que se muestran en las ecuaciones de la (12) a la (17).

𝒇𝒂𝒃𝒄 = 𝒇𝒅𝒒𝟎(𝑘−1)

( 10)

𝑘 =2

3

[ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 −

2𝜋

3) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 +

2𝜋

3)

𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑠𝑖𝑛(𝛽 −2𝜋

3) 𝑠𝑖𝑛(𝛽 +

2𝜋

3)

1

2

1

2

1

2 ]

( 11)

Donde 𝑘 es una constante propia de la transformada de “abc” a “dq0”.

Para el desarrollo de la referencia abc a dq0, el subíndice “r” está asociado a las variables del

rotor y el subíndice “s” a las variables asociadas al estator. En este caso el factor “k” se debe toma

como: para “Ks” el “β” es igual a “θ” mientras que para “Kr” el “β” es igual a “θ” menos “θr”.

Donde 𝛽𝑟 = θ − θ𝑟 y 𝛽𝑠 = θ

𝑽𝒒𝒅𝟎𝒔. (𝑘𝑠−1) = 𝑟𝑠𝒊𝒒𝒅𝟎𝒔. (𝑘𝑠

−1) + 𝑝[𝝀𝒒𝒅𝟎𝒔. (𝑘𝑠−1)]

( 12)

𝑽′𝒒𝒅𝟎𝒓. (𝑘𝑟−1) = 𝑟′𝑟𝒊′𝒒𝒅𝟎𝒓. (𝑘𝑟

−1) + 𝑝[𝝀′𝒒𝒅𝟎𝒓. (𝑘𝑟−1)]

( 13)

Donde:

- 𝑽𝒒𝒅𝟎 representa la tensión en el eje directo, de cuadratura y cero. “r” con apostrofe para el

rotor referido al estator y “s” para el estator.

- 𝒊𝒒𝒅𝟎 representa la corriente en el eje directo, de cuadratura y cero. “r” con apostrofe para

el rotor referido al estator y “s” para el estator.

Dividiendo, ambos lados de la igualdad entre el factor 𝑘−1 se obtienen las expresiones que se

muestran en las ecuaciones (14) y (15).

𝑽𝒒𝒅𝟎𝒔 = 𝑘𝑠𝑟𝑠𝒊𝒒𝒅𝟎𝒔. (𝑘𝑠−1) + 𝑘𝑠𝑝[𝝀𝒒𝒅𝟎𝒔. (𝑘𝑠

−1)] ( 14)

𝑽′𝒒𝒅𝟎𝒓 = 𝑘𝑟𝑟′𝑟𝒊′𝒒𝒅𝟎𝒓. (𝑘𝑟−1) + 𝑘𝑟𝑝[𝝀′𝒒𝒅𝟎𝒓. (𝑘𝑟

−1)] ( 15)

Aplicando las propiedades de la derivada de un producto de funciones, se deriva respecto al

tiempo el segundo termino de cada una de las ecuaciones obteniendo las ecuaciones (16) y (17):

𝑽𝒒𝒅𝟎𝒔 = 𝑟𝑠𝒊𝒒𝒅𝟎𝒔 + 𝑘𝑠𝑝[(𝑘𝑠−1)]𝝀𝒒𝒅𝟎𝒔 + 𝑘𝑠(𝑘𝑠

−1)𝑝[𝝀𝒒𝒅𝟎𝒔] ( 16)

𝑽′𝒒𝒅𝟎𝒓 = 𝑟′𝑟𝒊′𝒒𝒅𝟎𝒓 + 𝑘𝑟𝑝[(𝑘𝑟−1)]𝝀′𝒒𝒅𝟎𝒓 + 𝑘𝑟(𝑘𝑟

−1)𝑝[𝝀′𝒒𝒅𝟎𝒓] ( 17)

Para continuar con el procedimiento es necesario tener en cuenta que 𝑝[(𝑘−1)] se puede

representar como una matriz cuadrada de orden 3, como se muestra en la ecuación (18).

𝑝[(𝑘−1)] = 𝑝β

[

−𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 0

−𝑠𝑖𝑛(𝛽 −2𝜋

3) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 −

2𝜋

3) 0

−𝑠𝑖𝑛(𝛽 +2𝜋

3) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 +

2𝜋

3) 0]

( 18)

Considerando la ecuación (18), además de que k(𝑘−1) = 1 , las ecuaciones se simplifican, dados

estas acotaciones de la transformada de Park. Los resultados matemáticos pueden validarse con

el desarrollo analítico de las operaciones. En adelante la velocidad angular eléctrica del estator

será representada con la letra “ω”.

Donde:

- 𝑝𝛽𝑟 = 𝜔 − 𝜔𝑟

- 𝑝𝛽𝑠 = 𝜔

Para simplificar las ecuaciones, se toma el resultado de la ecuación (18) y se opera con el factor

k. El resultado de esta operación se presenta en la ecuación (19), obteniendo una matriz cuadrada

de orden 3.

[

−𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 0

−𝑠𝑖𝑛(𝛽 −2𝜋

3) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 −

2𝜋

3) 0

−𝑠𝑖𝑛(𝛽 +2𝜋

3) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 +

2𝜋

3) 0]

k = [0 1 0

−1 0 00 0 0

] ( 19)

Considerando el β de la ecuación (18), se tiene como resultado lo presentado en la ecuación (20),

donde 𝑘𝑝[(𝑘−1)] es un termino de las ecuaciones (17) y (18).

𝑘𝑝[(𝑘−1)] = 𝜔 [0 1 0

−1 0 00 0 0

] ( 20)

Remplazando la ecuación (20) en las ecuaciones (17) y (18) se obtienen las ecuaciones (21) y

(22):

𝑽𝒒𝒅𝟎𝒔 = 𝑟𝑠𝒊𝒒𝒅𝟎𝒔 + 𝜔 [0 1 0

−1 0 00 0 0

] 𝝀𝒒𝒅𝟎𝒔 + 𝑝[𝝀𝒒𝒅𝟎𝒔] ( 21)

𝑽′𝒒𝒅𝟎𝒓 = 𝑟′𝑟𝒊′𝒒𝒅𝟎𝒓 + (𝜔 − 𝜔𝑟) [

0 1 0−1 0 00 0 0

]𝝀′𝒒𝒅𝟎𝒓 + 𝑝[𝝀′

𝒒𝒅𝟎𝒓] ( 22)

Donde:

(𝝀𝒅𝒒)𝑇 = [𝜆𝑑 −𝜆𝑞 0]

( 23)

Finalmente se obtienen las ecuaciones (24) y (25) para las tensiones en la referencia dq0 del

sistema original en referencia abc.

𝑽𝒒𝒅𝒔 = 𝑟𝑠𝒊𝒒𝒅𝟎𝒔 + 𝜔𝝀𝒅𝒒𝒔 + 𝑝[𝝀𝒒𝒅𝒔] ( 24)

𝑽′𝒒𝒅𝒓 = 𝑟′𝑟𝒊′𝒒𝒅𝟎𝒓 + (𝜔 − 𝜔𝑟)𝝀′𝒅𝒒𝒓 + 𝑝𝝀′𝒒𝒅𝒓 ( 25)

2.2.2. Ecuaciones de tensión obtenidas de la Transformada de Clarke-Park:

Las tensiones en el eje de cuadratura y en el eje directo, pueden expresarse en términos de la

velocidad angular, los enlaces de flujo por segundo “ψ”, y el producto entre la corriente y

resistencia del estator y el rotor respectivamente como se muestra en las ecuaciones (26) y (27),

se desprecian los efectos de la secuencia homopolar o cero puesto que esta no tiene influencia en

los comportamientos físicos de estudio en el sistema a controlar.

𝑉𝑞𝑠 = 𝑟𝑠𝑖𝑞𝑠 +𝜔

𝜔𝑏𝜓𝑑𝑠 +

𝑝

𝜔𝑏𝜓𝑞𝑠

( 26)

𝑉𝑑𝑠 = 𝑟𝑠𝑖𝑑𝑠 +𝜔

𝜔𝑏𝜓𝑞𝑠 +

𝑝

𝜔𝑏𝜓𝑑𝑠

( 27)

Donde:

- 𝜓𝑑𝑠 representa los enlaces de flujo por segundo en el eje de directo en el estator.

- 𝜓𝑞𝑠 representa los enlaces de flujo por segundo en el eje de cuadratura en el estator.

Las ecuaciones (28) y (29) corresponden a las tensiones del rotor en la referencia dq, con un

apostrofe en las variables de estado para representar que se encuentran referidas al estator.

𝑉′𝑞𝑟 = 𝑟′𝑟𝑖′𝑞𝑟 +𝜔 − 𝜔𝑟

𝜔𝑏𝜓′𝑑𝑟 +

𝑝

𝜔𝑏𝜓′𝑞𝑟

( 28)

𝑉′𝑑𝑟 = 𝑟′𝑟𝑖′𝑑𝑟 +𝜔 − 𝜔𝑟

𝜔𝑏𝜓′𝑞𝑟 +

𝑝

𝜔𝑏𝜓′𝑑𝑟

( 29)

Donde:

- 𝜓𝑑𝑟 representa los enlaces de flujo por segundo, en el eje directo del rotor referidos al

estator.

- 𝜓𝑞𝑟 representa los enlaces de flujo por segundo en el eje de cuadratura en el rotor referidos

al estator.

- 𝜔𝑏 es la velocidad de referencia donde se realiza la parametrización del modelo.

2.2.3. Ecuaciones de corriente obtenidas de la Transformada de Clarke-Park:

Las ecuaciones que representan las corrientes del motor dependen de los enlaces de flujo por

segundo “ψ” y de las reactancias mutuas que tienen asociadas tanto del estator como del rotor.

Simplificando la cantidad de bloques y variables de simulación, se deben tener las ecuaciones

(28) y (29) en términos de flujos por segundo, y las consideraciones de las ecuaciones (30) y (31).

𝜓𝑚𝑞 = 𝑋𝑚𝑙(𝜓𝑞𝑠

𝑋𝑙𝑠+

𝜓𝑞𝑟

𝑋𝑙𝑟)

( 30)

𝜓𝑚𝑑 = 𝑋𝑚𝑙(𝜓𝑑𝑠

𝑋𝑙𝑠+

𝜓𝑑𝑟

𝑋𝑙𝑟)

( 31)

Donde:

- 𝜓𝑚 representa la relación entre las reactancias mutuas con los flujos por segundo de

cuadratura o del eje directo del estator y del rotor.

- 𝑋𝑙𝑠 es la reactancia mutua del estator.

- 𝑋𝑙𝑟 es la reactancia mutua del rotor.

- 𝑋𝑚𝑙 representa el paralelo entre las reactancias mutuas del estator, el rotor y la reactancia

de magnetización.

A partir de las ecuaciones (24), (25), (30) y (31) se escriben las ecuaciones de corriente para la

obtención de las ecuaciones (32) y (33) en términos de flujos por segundo.

𝑖𝑞𝑠 =1

𝑋𝑙𝑠(ψ𝑞𝑠 − ψ𝑚𝑞)

( 32)

𝑖𝑑𝑠 =1

𝑋𝑙𝑠

(ψ𝑑𝑠 − ψ𝑚𝑑) ( 33)

𝑖′𝑞𝑟 =1

𝑋′𝑙𝑟(ψ′𝑞𝑟 − ψ𝑚𝑞)

( 34)

𝑖′𝑑𝑟 =1

𝑋′𝑙𝑟(ψ′𝑑𝑟 − ψ𝑚𝑑)

( 35)

Donde:

- 𝑖 es la corriente con subíndice “q” para el eje de cuadratura, subíndice “d” para el eje

directo, subíndice “s” para el estator y subíndice “r” para el rotor con apostrofe, referido al

estator.

2.2.4. Ecuaciones de tensión en variables de estado:

Las ecuaciones en variables de estado se obtienen reemplazando las ecuaciones de corriente en

las ecuaciones de tensión y posterior a esto, despejando las derivadas de los enlaces de flujo como

se muestra en las ecuaciones de la (37) a la (40) teniendo en cuenta la ecuación (36).

𝑋𝑚𝑙 =1

1𝑋𝑚

+1𝑋𝑙𝑠

+1

𝑋𝑙𝑟

( 36)

𝑑𝜓𝑞𝑠

𝑑𝑡= 𝜔𝑏[𝑉𝑞𝑠 −

𝜔

𝜔𝑏𝜓𝑑𝑠 +

𝑅𝑠

𝑋𝑙𝑠(𝜓𝑚𝑞 − 𝜓𝑞𝑠) ( 37)

𝑑𝜓𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝜔𝑏[𝑉𝑑𝑠 +

𝜔

𝜔𝑏𝜓𝑞𝑠 +

𝑅𝑠

𝑋𝑙𝑠(𝜓𝑚𝑑 − 𝜓𝑑𝑠)] ( 38)

𝑑𝜓′𝑞𝑟

𝑑𝑡= 𝜔𝑏[𝑉𝑞𝑟 −

𝜔 − 𝜔𝑟

𝜔𝑏𝜓𝑑𝑟 +

𝑅𝑟

𝑋𝑙𝑟(𝜓𝑚𝑞 − 𝜓𝑞𝑟)] ( 39)

𝑑𝜓′𝑑𝑟

𝑑𝑡= 𝜔𝑏[𝑉𝑑𝑟 +

𝜔 − 𝜔𝑟

𝜔𝑏𝜓𝑞𝑟 +

𝑅𝑟

𝑋𝑙𝑟(𝜓𝑚𝑑 − 𝜓𝑑𝑟)] ( 40)

2.2.5. Ecuaciones de velocidad y torque en variables de estado:

La velocidad presentada en la ecuación (41) depende de la inercia del motor “J”, la cantidad de

polos “P” y los torques tanto de carga como eléctrico “𝑇𝐿” y “𝑇𝑒” respectivamente.

𝑑ω

𝑑𝑡=

𝑃

2𝐽⋅ (𝑇𝑒 − 𝑇𝐿) ( 41)

La ecuación del torque depende de los parámetros definidos previamente tales como, el inverso

de la frecuencia base, el número de polos de la máquina de inducción y los enlaces de flujo por

segundo en cada uno de los ejes de referencia dq. La ecuación (42) presenta un factor que

simplifica la ecuación (43), la cual representa el torque eléctrico dependiente de los flujos por

segundo de cuadratura y eje directo, en el rotor y estator.

𝐷 = (𝑋𝑙𝑠 + 𝑋𝑚)(𝑋′𝑙𝑟 + 𝑋𝑚) − 𝑋𝑚2 ( 42)

𝑇𝑒 = 3𝑃

4

𝑋𝑚

𝐷𝜔𝑏(𝜓𝑞𝑠𝜓′𝑑𝑟 − 𝜓′𝑞𝑟𝜓𝑑𝑠)

(43)

Donde:

- 𝐷 es un factor dependiente de las reactancias, para simplificar la ecuación (43).

2.3. Simulación

Para validar el modelo presentado, la simulación se realiza en Matlab/Simulink a partir de las

ecuaciones en variables de estado que se muestran en la sección 2.2.3 y 2.2.4 Los parámetros

utilizados para la simulación se presentan en la tabla 2.

Tabla 2. Parámetros de simulación.

PARÁMETROS DE SIMULACIÓN

Parámetro Valor

Tensión 460 [V]

Potencia 50 [Hp]

Número de polos 4 polos

Frecuencia 60 [Hz]

Inercia 1.662 kg. m2

Xlr 0.302 Ω

Xls 0.302 Ω

Xm 13.08 Ω

Rr 0.228 Ω

Rs 0.087 Ω

Los bloques presentados en la figura 7 representan el sistema de potencia y el modelo del motor

de inducción obtenido, alimentado por una fuente trifásica a la cual se le aplica la transformada

de Park aplicando el bloque nativo de simulink “abc to dq”.

Figura 7. Representación del modelo de motor de inducción en la herramienta SIMULINK de MATLAB.

Al expandir el bloque central (Modelo dinámico del motor de inducción), se obtiene lo presentado

en la figura 8, donde a partir de 5 bloques fundamentales, se realiza la simulación del modelo

para obtener el torque eléctrico “Te” y la velocidad en rpm del rotor “Vr”.

Figura 8. Representación de la interacción de los flujos.

Para ejemplificar lo presentado en cada uno de los 5 bloques se presenta en la figura 9 el diagrama

de bloques donde se calcula el flujo de cuadratura en el estator que se encuentra dentro del bloque

flujos DQ. La construcción de todos los bloques de la figura 8 se realizó de la misma manera,

transcribiendo cada una de las componentes de la ecuación que define la salida del bloque como

se muestra en la figura 9, donde se toma como ejemplo de la ecuación (37).

Figura 9. Diagrama de bloques para la obtención del flujo de cuadratura en el estator .

La competencia del modelo se determinó comparando los resultados obtenidos de Torque Vs

Velocidad, de la técnica descrita como se muestra figura 10(a) y lo presentado con los mismos

parámetros descritos por Krause (Krause et al., 2013) figura 10(b.).

Figura 10. Torque eléctrico Vs Velocidad (a) elaboración propia obtenida con el modelo desarrollado (b) (Krause et al., 2013).

Los resultados de la figura 10 representan de manera detallada el comportamiento de la máquina

de inducción bajo las condiciones descritas, y corroboran el funcionamiento de las ecuaciones

para el desarrollo de controladores con aplicaciones de la máquina de inducción de inducción, no

obstante, evidencian la no linealidad del sistema y por tanto se requiere realizar un tratamiento

específico sobre las mismas, lo cual será presentado en secciones posteriores.

3. DISEÑO DEL CONTROLADOR CON BASE EN EL MODELO MATEMÁTICO

Para diseñar el controlador, es necesario reescribir las ecuaciones de la (37) a la (41) debido a que

se puede simplificar su uso en la herramienta de simulación al asignar las constantes C𝑛

presentadas en la ecuación (44) y variables de estado Ẋ𝑛 en la ecuación (55). Esto Aplicado como

se muestra en las ecuaciones de la (46) a la (50).

𝐶1 =𝜔𝑏𝑅𝑠𝑋𝑚𝑙

𝑋𝑙𝑠2 −

𝜔𝑏𝑅𝑠

𝑋𝑙𝑠

𝐶2 =𝜔𝑏𝑅𝑠𝑋𝑚𝑙

𝑋𝑙𝑠𝑋𝑙𝑟

𝐶3 =𝜔𝑏𝑅𝑟𝑋𝑚𝑙

𝑋𝑙𝑟2 −

𝜔𝑏𝑅𝑠

𝑋𝑙𝑟

𝐶4 =𝜔𝑏𝑅𝑟𝑋𝑚𝑙

𝑋𝑙𝑟𝑠

𝐶5 = 𝜔𝑒 − 𝜔𝑟

𝐶6 =𝑃

2𝐽(3𝑃

4

𝑋𝑚

𝐷.𝜔𝑏)

( 44)

𝑑𝜓𝑞𝑠

𝑑𝑡= Ẋ1

𝑑𝜓𝑑𝑠

𝑑𝑡= Ẋ2

𝑑𝜓′𝑞𝑟

𝑑𝑡= Ẋ3

𝑑𝜓′𝑑𝑟

𝑑𝑡= Ẋ4

𝑑ω

𝑑𝑡= Ẋ5

( 45)

Donde: 𝑋𝑚𝑙 se describe en la ecuación (36).

Dados los valores constantes que se encuentran en el producto con cada variable de estado, se

reescribe el sistema obteniendo las ecuaciones de la (46) a la (50). Debido a la multiplicación de

las variables de estado en la ecuación (50), se cataloga el sistema como no lineal (en adelante

SNL) para el cual el diseño de controladores está ligado a técnicas complejas y dispendiosas en

su desarrollo. No obstante, para la aplicación objeto de este proyecto, se diseñó una técnica de

control para un sistema de ecuaciones equivalente linealizado, el cual, no representa el sistema

con la misma exactitud que el SNL, sin embargo, permite aplicar toda la teoría de control

relacionada con los sistemas lineales sin perder por completo la fidelidad en el comportamiento

de las variables respecto al sistema original.

Ẋ1 = C1X1 − 𝜔𝑒X2 + C2X3 + 𝜔𝑏𝑉𝑞𝑠 ( 46)

Ẋ2 = 𝜔𝑒X1 + 𝐶1X2 + C2X4 + 𝜔𝑏𝑉𝑑𝑠 ( 47)

Ẋ3 = 𝐶4X1 + 𝐶3X3 − C5X4 + 𝜔𝑏𝑉𝑞𝑟 ( 48)

Ẋ4 = 𝐶4X2 + 𝐶5X3 + C3X4 + 𝜔𝑏𝑉𝑑𝑟 ( 49)

Ẋ5 =𝑃

2𝐽 (𝐶7(X1X4 − X3X2) − 𝑇𝐿)

( 50)

3.1. Obtención de parámetros de control.

Para la obtención de los lazos y constantes de control, es necesario realizar un proceso de

linealización, el cual permite aplicar las técnicas de control propias de los modelos lineales en

sistemas no lineales a partir de un sistema equivalente en un punto de operación. El proceso

describe con detalle en la sección 3.1.1.

3.1.1. Linealización de las ecuaciones en espacio de estados.

La primera etapa del proceso de linealización consiste en la obtención de los puntos de equilibrio

denominados puntos de operación para el caso de la máquina de inducción asíncrona. En un

punto de operación, la máquina de inducción describe comportamientos lineales por lo que las

variables de estado donde el sistema se hace cero representan el sistema con este comportamiento.

Para la solución del sistema, se utilizó el método de Newton Raphson para SNL el cual será

detallado en secciones posteriores.

• Aplicación del método de Newton-Raphson para obtención de puntos de operación:

Por definición los puntos de operación se encuentran cuando se iguala el SNL de ecuaciones

algebraicas a cero. Del sistema se puede tomar un vector para las derivadas de las funciones y

otro para las variables de estado con un valor inicial como se muestra en la ecuación (51).

Ẋ =

[ Ẋ1

Ẋ2

Ẋ3

Ẋ4

Ẋ5]

= 0 𝑋 =

[ X1

X2

X3

X4

X5]

( 51)

Las variables de estado deben inicializarse en un valor, para poder desarrollar el procedimiento.

En este caso dado que el sistema es mayormente inestable en el instante cero, se sugiere iniciar

en un punto distante del origen que para este caso se tomó el vector de la ecuación (52) y se debe

ingresar los valores de las entradas en los cuales se va a realizar el proceso de hallar los puntos

de equilibrio se pueden observar en la ecuación (53).

X0 =

[ 375.57262.4417

367.09682.3866

𝜔𝑏 ]

( 52)

𝑈0 = [

𝑉𝑞𝑠𝑉𝑑𝑠𝜔𝑒

𝑇𝑙

] = [

0300.4707226.1947

0

] ( 53)

El vector Ẋ debe ser evaluado con estos puntos iniciales. Seguidamente se escribe la matriz

gradiente del sistema, conocida como jacobiano, que corresponde a las derivadas parciales de las

ecuaciones respecto a cada una de las variables de estado presentado en la ecuación (54).

𝐽𝑎 =

[

C1 −𝜔𝑒 C2 0 0𝜔𝑒 C1 0 C2 0C4 0 C3 −C5 X4

0 C4 C5 C3 −X3

C6X4 −C6X3 −C6X2 C6X1 0 ]

( 54)

Posteriormente, se evalúa la ecuación (55) donde se efectúa la corrección de la iteración.

𝑉𝐸 = X0 − 𝐽𝑎−1Ẋ ( 55)

Los nuevos valores de X0 están definidos entonces por la ecuación (56).

X0 = 𝑉𝐸 ( 56)

El proceso debe repetirse de manera iterativa hasta el punto de tolerancia del error. El error

depende entonces de la diferencia entre las variables de estado X0 y el vector de corrección 𝑉𝐸

como se muestra en la ecuación (57).

E𝑟 = X0 − 𝑉𝐸 ( 57)

Se debe definir una tolerancia para el E𝑟 con el fin de establecer un criterio de parada al proceso

iterativo. Se sugiere una tolerancia de 1e-10, la cual fue utilizada en este caso. De esta manera se

obtiene el punto de operación para las variables de estado donde el sistema se encuentra en

equilibrio ecuación (58). Este punto de operación dependerá de cada una de las entradas que se

definan para el cálculo descrito en el procedimiento desarrollado. El punto de operación obtenido

contiene las variables de estado iniciales de la linealización siendo estas el sustraendo en el

diferencial de cambio de las variables de estado presentes en la ecuación (59) y el valor de las

variables de estado para la matriz Ja y B.

En adelante el subíndice “L” representará los valores de las variables después de aplicar la

solución con el método de Newton Raphson.

XL =

[ −500.7258

5.4256 −489.4256

5.3031226.1947 ]

( 58)

• Obtención del modelo linealizado a partir de los puntos de operación:

Con el resultado del procedimiento descrito, es posible obtener una representación lineal del

sistema la cual está definida por la ecuación (59).

ΔẊ = Ja.ΔX + B. ΔU ( 59)

Donde ΔẊ ecuación (60) es el diferencial del cambio en las variables de estado; ΔX es la diferencia

entre el nuevo estado y el valor de linealización ecuación (58) y ΔU ecuación (61) es la diferencia

entre la entrada del sistema y la entrada de linealización del procedimiento de Newton Raphson

ecuación (53).

ΔX =

[ X1 − X1L

X2 − X2L

X3 − X3L

X4 − X4L

X5 − X5L]

( 60)

ΔU =

[ U1 − U0(1)

U2 − U0(2)

U3 − U0(3)

U4 − U0(4)]

( 61)

Realizando el arreglo y solución de las ecuaciones Ja. ΔX + B. ΔU se obtiene un resultado el cual

se expresaría como: Ja. X − Ja. XL + B. U − B. U0, separando los valores iniciales del sistema de

las variables de estado del sistema linealizado, obteniendo la ecuación (62).

ΔẊ = Ja.X + B.U − K ( 62)

De acuerdo con lo presentado en la ecuación (62), se presenta la matriz “K” la cual contiene los

valores constantes dentro de los deltas "Δ" de la ecuación (59).

𝐾 =

[ 𝐾1

𝐾2

𝐾3

𝐾4

𝐾5]

= −𝐽𝑎

[ X1𝐿

X2𝐿

X3𝐿

X4𝐿

X5𝐿]

−

[ 0 0 −𝑋2𝐿 𝜔𝑏

𝜔𝑏 0 𝑋1𝐿 00 0 −𝑋4𝐿 00 0 𝑋3𝐿 0

0 −𝑃

2𝐽0 0

]

[

𝑉𝑑𝑠𝐿

𝑇𝐿𝐿

𝜔𝑒𝐿

𝑉𝑞𝑠𝐿

] ( 63)

De esta manera es posible expresar cada una de las posiciones de la matriz K como valor constante

que puede sumarse como entrada a las demás ecuaciones del sistema, obteniendo así el sistema

linealizado como se muestra en la ecuación (64).

ΔẊ = Ja.X + B.U ( 64)

Remplazando en la ecuación se obtiene la ecuación (65).

[ ΔẊ1

ΔẊ2

ΔẊ3

ΔẊ4

ΔẊ5]

= Ja

[ X1

X2

X3

X4

X5]

+

[ 0 0 −𝑋2𝐿 𝜔𝑏 1 0 0 0 0𝜔𝑏 0 𝑋1𝐿 0 0 1 0 0 00 0 −𝑋4𝐿 0 0 0 1 0 00 0 𝑋3𝐿 0 0 0 0 1 0

0 −𝑃

2𝐽0 0 0 0 0 0 1

]

.

[ 𝑉𝑑𝑠

𝑇𝐿

𝜔𝑒

𝑉𝑞𝑠

𝐾1

𝐾2

𝐾3

𝐾4

𝐾5 ]

( 65)

Donde la matriz Ja, es la obtenida al evaluar el Newton-Raphson en la iteración final. La matriz

U corresponde a las entradas del sistema y la matriz B es la matriz de control o entradas. Es

posible visualizar el modelo en diagrama de bloques como se muestra en la figura 11.

Figura 11. Diagrama de bloques sistema linealizado.

El diagrama de bloques corresponde a la implementación del modelo linealizado, obteniendo los

valores de las variables de estado para cada uno de los puntos seleccionados. Las entradas del

sistema corresponden a las nueve variables presentadas en la ecuación (58) posteriormente se

realiza el producto con la matriz B que se obtiene de las derivadas de las funciones respecto a las

entradas.

Figura 12. Diagrama de bloques sistema linealizado con TL=400, error calculado con TL=0.

Para comprobar la competencia del modelo linealizado, se repitió el procedimiento con un torque

de carga TL igual a 400 Nm, los demás parámetros se establecieron en sus valores nominales. En

la figura 12, el bloque “cálculos de desviación” realiza el cálculo del error que se tiene al someter

el sistema a un torque de carga TL=0. El error se calcula con referencia a la variable X5 que

corresponde a la velocidad del rotor. El modelo evidencia un comportamiento adecuado. Con una

variación de 400 Nm en el torque de carga, se tiene un error inferior al 2.1%.

Figura 13. Uso del bloque space-state para la representación del sistema.

Aplicando el bloque de simulink “space-state” se pude simplificar el número de bloques del

sistema como se muestra en la figura 13. La salida del bloque corresponde al valor de las variables

de estado en la matriz de salida C.

3.1.2. Definición de los lazos y constantes de control (diseño del control)

El control se diseñó mediante la técnica retroalimentación por espacio de estados con observador

de variables de estado. Este proceso se ejecuta a partir de la linealización realizada con los valores

de la ecuación (58). En este punto de operación se calculan las ecuaciones hasta obtener un

sistema de la forma que se muestra en la ecuación (64), posteriormente se evaluaron las funciones

nativas de MatLab “rank” y “ctrb” así: 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑐𝑡𝑟𝑏 (𝐴, 𝐵)). El resultado de este proceso es 5, el

mismo número de ecuaciones y variables de estado, lo cual representa que la matriz es de rango

completo, garantizando la controlabilidad del sistema a partir de la matriz de controlabilidad y su

rango.

Sabiendo que el sistema es controlable se procede a evaluar su estabilidad. Haciendo uso de la

función nativa de MatLab “eig” se obtienen los valores propios que corresponden a los polos del

sistema de ecuaciones linealizado haciendo uso de la línea de código: 𝑒𝑖𝑔(𝐴), dando como

resultado:

Tabla 3. Polos del sistema original.

Polos

-50.088 + 356.995i

-50.088 - 356.995i

-140.262 + 18.103i

-140.262 - 18.103i

-17.008 + 0.000i

De la tabla 3 se observa que el sistema original tiene el polo dominante en -17.008, y los demás

polos se encuentran a una distancia suficiente para afirmar que el comportamiento del sistema es

similar a uno de primer orden. En la figura 14 se graficaron los 5 polos del sistema:

Figura 14. Gráfico de polos del sistema.

Dado que la parte real de todos polos es negativa, se puede afirmar que el sistema es estable.

Adicionalmente, se observa que se tiene un par de polos conjugados y un polo ubicado sobre el eje

real. Una vez se validó controlabilidad y estabilidad, fue posible reubicar los polos, para obtener

la matriz de retroalimentación 𝐾𝑝, esto se hizo aplicando la función nativa de MatLab “place” de

así: Kp = place (A, B, [P1 P2 P3 P4 P5]). Los polos se reubicaron en la posición que se muestra

en la tabla 4.

Tabla 4. Reubicación de polos.

Polos

P1= -0.494 + 0.101i

P2= -0.494 – 0.101i

P3= -10 + 0.6i

P4= -10 – 0.6i

P5= -0.494

La matriz de retroalimentación 𝐾𝑝 que muestra en la ecuación (66), fue calculada únicamente para

las entradas 𝑉𝑑𝑠, 𝑇𝐿 y 𝜔𝑒, los valores de 𝐾 mostrados en la ecuación (63) no son tenidos en cuenta

dado que son entradas constantes propias de la linealización. Para el caso de la tensión de

cuadratura en el estator 𝑉𝑞𝑠, esta mantiene un valor constante igual a 0 (cero) siempre y cuando el

desfase entre las dos señales obtenido de la transformada de Clarke sea cercano a 0 (cero). Esto

depende de la calidad y tipo de inversor utilizado que para efectos de diseño fue considerado como

ideal, es decir, sin tener en cuenta la presencia de armónicos ni desfases entre las señales de tensión

en la salida del inversor. Por tal razón es posible despreciar el valor de 𝑉𝑞𝑠 como entrada para la

matriz de retroalimentación 𝐾𝑝.

Kp =[ −0.2851 −0.4945 0.8403 0.4999 −1.3259−0.5048 −0.6001 0.5095 0.0001 −0.0144−0.3437 −0.2742 0.3265 0.2818 −0.9991

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 ]

10

( 66)

Cabe aclarar que para ubicar la matriz 𝐾𝑝 en el lazo de retroalimentación, su orden debe ser 9x5,

esto dado que se tienen 9 entradas y 5 variables de estado. Teniendo en cuenta esta consideración,

desde la fila 4 a la fila 9, se completó el orden de la matriz con ceros para que no tengan efecto

sobre el control del sistema. Adicionalmente, para reducir el tiempo de establecimiento y mejorar

la respuesta del sistema, se ajustó manualmente el valor de 𝐾𝑝 dividiéndolo por un factor de 10

como se expresa en la ecuación (66).

Para obtener una mejor respuesta y convergencia, se diseñó además un observador, que permitiera

estimar los estados del sistema. Para esto es necesario calcular la matriz L, lo cual es posible con

la función place de MatLab, esta vez teniendo como argumento, la matriz A y C transpuestas, con

los polos reubicados como se muestran en la tabla 5.

Tabla 5. Polos utilizados para calcular el observador de estados.

Polos

Op1=1.1

Op2=1.1

Op3=1.2

Op4=1.3

Op5=1.4

El resultado obtenido para la matriz L se representa en la ecuación (67) calculada de la con la

expresión: 𝐿 = 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒(𝐴′, 𝐶′, [𝑜𝑝1, 𝑜𝑝2, 𝑜𝑝3, 𝑜𝑝4, 𝑜𝑝5]) la cual es de orden 5x5 y cierra el lazo

de retroalimentación en un sistema paralelo, que se conecta a la matriz 𝐾𝑝 del sistema original.

𝐿 =

[ −53.9214 226.1947 140.6838 0 0.0831−226.1947 −53.8214 0 140.6838 7.671053.6820 0 −142.7320 0 −0.0850

0 53.6820 0 −142.6320 −7.84810 0 5.3031 489.4256 1.4 ]

( 67)

Hasta este punto se completa el diseño del controlador para el motor. No obstante, para tener

definida una referencia que permita de manera sencilla la modulación por parte del usuario, fue

necesario desarrollar una estrategia de control específica para las entradas del sistema. Esto se

realizó además con el fin de garantizar que tensión y frecuencia variasen en la misma proporción,

evitando así: saturación, perdidas y sobrecalentamiento en los bobinados del motor. Se definió

para esta aplicación un control tipo PID, el cual fue sintonizado haciendo uso del método de

Ziegler-Nichols, con un posterior ajuste basado en la respuesta de la simulación, buscando

mantener las características del diseño obtenido previamente.

El Sistema se sintonizó a partir del método de respuesta al escalón en el cual la entrada del sistema

se debe configurar como una función escalón observando su respuesta como se representa en la

figura 15:

Figura 15. Sintonización de entradas Ziegler Nichols.

A través de la gráfica de una recta tangente se obtienen los valores de las constantes τ = 0.45, L =

0.05 y K = 377 se obtienen los valores del control PI, donde la constante de proporcionalidad es

de Kp = 0.9 ∗ 0.45/(377 ∗ 0.05) = 0.0215 y la constante de integración es de Ki = 0.05/0.3

= 3.333. Se aplica entonces un perfil de prueba con torque en la carga constante de 400 Nm, y la

referencia del usuario variando en los rangos de operación. Esto con el fin de ajustar el

comportamiento del control, para un valor de operación usual en la aplicación, reflejando así el

comportamiento de la figura 16.

Figura 16. Desempeño del control de las entradas con las constantes obtenidas por Ziegler-Nichols.

Posteriormente se sintonizó manualmente la constante de integración multiplicando por 20

su valor original, para poder obtener una respuesta un menor tiempo de establecimiento de

la señal. Con el ajuste definitivo se obtuvo la respuesta presentada en la figura 17.

Figura 17. Sintonización manual de la constante de integración del control de las entradas.

3.2. Simulación del controlador

Figura 18. Diagramas de bloques del controlador, de las entradas y de la planta en SNL y linealizada del sistema.

Desarrollando las ecuaciones de la matriz A, B, C, D, Kp y L, junto con las entradas del sistema,

en diagramas de bloques, fue posible representar el comportamiento del modelo completo,

obteniendo un esquemático como el que se muestra en la figura 18.

En la figura 18, el bloque MOTOR DE INDUCCIÓN MODELO DINÁMICO EN DQ0, representa

el modelo dinámico del motor de inducción con las ecuaciones del SNL, el cual se alimenta con

las mismas entradas que el modelo linealizado, que se muestra en la misma figura en el bloque

MOTOR DE INDUCCIÓN MODELO LINEALIZADO. Esto con el fin de comparar el desempeño

de los dos modelos, aplicando las mismas constantes y lazos de control.

La matriz de retroalimentación Kp se ubica en el bloque RETROALIMENTACIÓN DE

ESTADOS, junto con las entradas del sistema, que se configuran como se describe en la sección

3.1, obteniendo el sistema en diagramas de bloque de la figura 19.

Figura 19. Bloque ENTRADAS DEL SISTEMA.

La alimentación del sistema global se establece a partir de tres entradas que se representan como:

TL_RefVehiculo, que es el torque en la carga con variaciones dinámicas para representar el

vehículo en movimiento; Ref Frec_Tensión, el cual es un valor entre 0 y 1, que es ajustado

manualmente por el usuario para modular la velocidad del vehículo; Wr_SNL, que es el valor de

la velocidad angular del rotor, este puede ser tomado del modelo linealizado o del SNL para efectos

de simulación. En este caso, se tomó el valor del SNL, dado que este sistema arroja valores con

mayor cercanía a la planta real, sin embargo, es necesario tener en cuenta que esta decisión

provocara mayores tiempos de establecimiento y errores de estado estacionario para el sistema

linealizado. Para el caso de implementar este controlador, se sugiere tomar el valor de la velocidad

del rotor con una medida directa sobre la máquina de inducción.

A partir de estas entradas, partiendo desde la entrada dos, se ingresa la señal de referencia

Frec_Tensión a un swicht que permite el encendido del motor hasta 0.88 en casos de máximos

requerimientos de torque y de máxima velocidad la referencia del usuario será tomada en el canal

del bloque L1, para cargas menores a nivel de torque, el control tomará la referencia por el canal

L2 cuando las condiciones del sistema son estables para ofrecer mayor velocidad. A la salida del

controlador PID el cual se describe en la sección 3.1, se obtiene un valor entre 0 y 1, del cual se

obtiene el producto con la frecuencia y tensión nominales del motor. Posteriormente estos valores

de operación son ingresados en la electrónica de potencia, obteniendo así las nueve señales

referencia del controlador que se muestran en la matriz U de las ecuaciones (64) y (65).

El observador comprende un sistema espejo del modelo linealizado retroalimentado por la matriz

L, el cual se representa en el bloque OBSERVADOR DE ESTADOS. Con este bloque se finalizan

los componentes necesarios para la simulación del sistema, obteniendo como respuesta las curvas

que se detallan en la sección 3.3.

3.3. Verificación del diseño

Se valida el correcto comportamiento del control mediante la comparación de la velocidad angular

referencia del usuario, con la velocidad del sistema no linealizado, el cual para efectos de

simulación corresponde con mayor exactitud al comportamiento real de la planta. Ajustando el

valor de TL = 400 N.m y la referencia del usuario igual a 1 se observó la respuesta del sistema

como se muestra en la figura 20.

Figura 20. Respuesta del sistema con TL = 400 torque de carga y referencia del usuario = 1 considerando 1 como los valores

nominales del motor.

Como resultado de la simulación hasta este punto, se evidencia que no se tiene sobrepaso alguno

en la respuesta del sistema. Para evaluar con mejor detalle las características del controlador, se

muestra en la figura 21, con una temporalidad desde 0.5 s hasta 1.5 s.

Figura 21. Acercamiento error de estado estacionario a 1 segundo.

De la ampliación de la imagen 21, se realiza entonces la medida de la diferencia entre la referencia

del usuario y el modelo no lineal, y se calcula el error de estado estacionario como se muestra en

la figura 22. Se evidencia entonces para estas condiciones un error inferior al 0.16%.

Figura 22. Diferencia entre la referencia del usuario y el modelo no linealizado 0.5507 rpm

3.4. Definición del perfil de torque

La definición del perfil de torque está ligada a la aplicación del diseño. Para el caso de un vehículo

con los requerimientos presentados, se calcularon los valores de tal manera que fuese posible

aplicar la estrategia para cualquier motor de jaula de ardilla trifásico, del cual se conozcan sus

parámetros dinámicos. Dado que se utilizó un motor de estas características como base para el

desarrollo del diseño, se prevé que, para la implementación, se tendrían que ajustar las ganancias

y valores para garantizar el funcionamiento del sistema con la máquina de inducción seleccionada

en sus puntos de operación.

Teniendo en cuenta esta condición, para la simulación se estableció un perfil de torque con

valores aleatorios en un rango desde el -13% hasta el 100% del torque nominal del motor

empleado. De esta manera, es posible evaluar el comportamiento del sistema bajo distintas

condiciones como se presenta en la sección 4.

3.4.1. Aplicación del perfil de torque

El torque se aplicó como carga sobre el rotor del motor, teniendo un efecto directo sobre la

ecuación (50) la cual corresponde a la velocidad y las variaciones en los esfuerzos que se tienen

sobre el rotor, ejemplificando condiciones con pendientes de gran inclinación o baches e

irregularidades de la vía que requieren distintos valores del torque entregados por el motor.

3.4.2. Simulación del perfil de torque

La curva de torque que se presenta en la figura 23, fue obtenida a partir del bloque de

Simulink/MatLab denominado “Randon Number” configurado de acuerdo con el rango

establecido. Esta señal presenta variaciones aleatorias que permiten representar desde una carga

máxima para los casos en los cuales el torque es 780 Nm, hasta una pendiente con el vehículo en

bajada para los casos donde el torque es inferior a 0 y de igual manera, pequeñas variaciones

representan la topología de la vía al afectar los esfuerzos mecánicos sobre el rotor.

Figura 23. Perfil de torque variable entre -100 y 780 Newton.

4. PRUEBAS DE DESEMPEÑO Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

Finalmente se presentan algunas pruebas realizadas al diseño, las cuales se realizaron con el fin de

evaluar y medir el desempeño del diseño bajo circunstancias particulares y sus posibles

limitaciones, al igual que prever posibles fallos en su operación, abriendo las puertas a futuras

investigaciones.

4.1. Comparativo sistema lineal a no lineal

El desarrollo del controlador se basó principalmente en el modelo linealizado de la máquina de

inducción, no obstante, en la figura 18 se describe que la retroalimentación del sistema se hizo

desde el sistema no linealizado. En este sentido se propone la evaluación comparativa del

comportamiento de ambos sistemas, bajo estas condiciones. En la figura 24 se representa el

comportamiento velocidad del rotor, con una referencia del usuario variable y torque en la carga

constante de 400 Nm. Dado que los valores de operación en este caso son cercanos a los valores

de linealización, la diferencia entre el modelo lineal y no linealizado es casi imperceptible,

mostrando consistencia con los resultados obtenidos en de error previamente.

Figura 24. comparativa de resultados modelo lineal y no lineal en el punto de linealización de torque 400 Nm y referencia de

velocidad variable.

En la figura 25, se presentan los resultados de la misma prueba, sin cambios en la referencia del

usuario, pero con un valor de torque en la carga de 780 Nm, el cual es el máximo valor al que

puede operar la máquina de inducción. Se puede evidenciar, que el SNL no presenta mayor

inconveniente en alcanzar los valores de referencia del usuario. Sin embargo, dado que este valor,

se aleja sustancialmente de los puntos de linealización, el modelo linealizado refleja una afectación

en los sobrepasos y tiempo de establecimiento.

Figura 25. comparativa de resultados modelo lineal y no lineal en el punto de torque máximo 780 Nm y referencia de velocidad

variable.

4.2. Arranque y operación del motor con torque nominal en la carga y variaciones en la

referencia tensión / frecuencia del usuario

Uno de los momentos críticos en la operación del motor de inducción se da cuando el torque en la

carga es máximo y la referencia del usuario es variable, dado que, se pueden presentar averías en

los bobinados del motor. En la figura 26 se presenta el comportamiento de la velocidad del sistema

en esta condición crítica. Se evidencia que los sobrepasos y tiempos de establecimiento satisfacen

los criterios de diseño. Sin embargo, para esta condición no es posible alcanzar la velocidad

máxima. para estos casos se limita la referencia del usuario al 88%.

Figura 26. Respuesta del motor ante variaciones en la referencia del usuario y torque máximo 780 Nm.

4.3. Arranque y operación con máxima referencia y torque en la carga variable

Por último, se evaluó un estado casi normal en la operación del sistema, en la cual la referencia

del usuario es constante y el torque en la carga tiene variaciones. Esto representa una situación en

la que el vehículo debe atravesar por zonas donde la inclinación de la vía y la topología cambian

y afectan los esfuerzos mecánicos sobre el rotor. Las variaciones en el torque provocan entonces

cambios en la velocidad del rotor, sin embargo, se evidencia una correcta reacción del controlador

logrando para todo el rango de operación, llevar al sistema a las condiciones deseadas Figura 27.

Figura 27. Respuesta del motor con la referencia del usuario en máxima velocidad con torque variable.

5. CONCLUSIONES

Se ajustó el modelo dinámico del motor asíncrono para el desarrollo del controlador, simplificando

de manera efectiva el modelo, considerando las variables necesarias para la ejecución del control

y obteniendo una respuesta acertada, que fue comparada con la literatura y permitió evidenciar el

correcto funcionamiento del modelo. Esta etapa abre paso a investigaciones en torno a la obtención

de los parámetros dinámicos de un motor de inducción con jaula de ardilla. Esto dado que los

fabricantes no en todos los casos entregan dicha información.

Se diseñó el controlador con base en el modelo matemático de la planta y sus parámetros,

obteniendo sus componentes y características, con errores de estado estacionario de 0.16% en 1 s,

con todas las ganancias de control calculadas y verificadas con pruebas y ensayos que permitieron

medir y garantizar la competencia del diseño. Además, se realizó el acople de dos técnicas de

control, una para el motor de inducción aplicando retroalimentación de estados, y otra para las

entradas del sistema aplicando la teoría de control PID sintonizada con el método de Ziegler-

Nichols. No obstante, para futuros desarrollos, se puede optimizar el controlador, incluyendo con

mayor detalle la teoría de control vectorial o realizando simplificaciones en el número de bloques

y ecuaciones del sistema final.

Se verificó el diseño comprobando su funcionamiento, con la aplicación de un perfil de torque en

la carga que representó de manera suficiente el comportamiento del sistema en distintas

condiciones de operación. Fue posible evidenciar las limitaciones del sistema, donde se establece

que para las máximas cargas la velocidad no puede superar el 88 % de su valor máximo debido a

que la máquina de inducción no va a poder igualar esta referencia por el deslizamiento

característicos que presenta este motor al aplicarle carga. Adicionalmente el comportamiento del

sistema es estable para todo el rango de operación del motor de inducción asíncrono con jaula de

ardilla.

Se desarrolló un controlador para un motor asíncrono con aplicación en transporte y tracción de

carga caracterizado en entornos semiestructurados. Las características de diseño y las pruebas

realizadas dan garantía del desempeño del controlador. Si bien es importante tener en cuenta que

todo se realizó con un motor de referencia, el proceso aplicado permite ajustar de manera sencilla

el diseño a otra máquina de inducción con jaula de ardilla. Esto abre campos de investigación

entorno a: el acoplamiento y desarrollo del sistema de almacenamiento de energía (baterías), la

coordinación de las protecciones necesarias para proteger tanto a la máquina como al usuario, la

inclusión de los elementos mecánicos propios de un sistema vehicular y la realización de ajustes y

consideraciones para la aplicación en sistemas como motocicletas, máquinas de la agroindustria

como tractores, o recolectores.

6. BIBLIOGRAFÍA

Åström, K. J., & Murray, R. M. (2010). Feedback systems: an introduction for scientists and

engineers. Princeton university press.

Baoquan Kou, Liyi Li, Shukang Cheng, & Fanrong Meng. (2005). Operating control of

efficiently generating induction motor for driving hybrid electric vehicle. IEEE

Transactions on Magnetics, 41(1), 488–491. https://doi.org/10.1109/TMAG.2004.838980

Franklin, G. F., Powell, J. D., Workman, M. L., & others. (1998). Digital control of dynamic

systems (Vol. 3). Addison-wesley Reading, MA.

Jaramillo-Matta, A. A., FRANCO-MEJÍA, E., & Guasch-Pesquer, L. (2011). Estimación de

parámetros invariantes para un motor de inducción. Dyna, 78(169), 88–94.

Jimena, L. M. D., Alberto, C. M. G., Chávez, D., Oscar, J., & Alberto, G. L. C. (2007).

MODULACIÓN PWM APLICADA A INVERSORES TRIFÁSICOS DENTRO DEL

ESQUEMA DE ACCIONAMIENTOS ELÉCTRICOS AC. Universidad Del Cauca,

Facultad de Ingenier{\’\i}a Electrónica y Telecomunicaciones (FIET).

Jimmie, C. J. (2002). Máquinas Eléctricas Análisis y Diseño aplicando MatLab. México, DF: Mc

Graw Hill.

Krause, P., Wasynczuk, O., Sudhoff, S. D., & Pekarek, S. (2013). Symmetrical Induction

Machines. In Analysis of Electric Machinery and Drive Systems (pp. 215–270). IEEE.

https://doi.org/10.1002/9781118524336.ch6

Kuo-Kai Shyu, Li-Jen Shang, Hwang-Zhi Chen, & Ko-Wen Jwo. (2004). Flux compensated

direct torque control of induction motor drives for low speed operation. IEEE Transactions

on Power Electronics, 19(6), 1608–1613. https://doi.org/10.1109/TPEL.2004.836618

Maes, J., & Melkebeek, J. A. (2000). Speed-sensorless direct torque control of induction motors

using an adaptive flux observer. IEEE Transactions on Industry Applications, 36(3), 778–

785. https://doi.org/10.1109/28.845053

Medina Caicedo, P. V. (2007). Estudio del desempeño del motor de inducción usando un

controlador difuso. QUITO/EPN/2007.

Rashid, M. H. (2004). Electrónica de potencia: circuitos, dispositivos y aplicaciones. Pearson

Educación.

Rincón, D. F. M., & Serna, J. O. V. (2005). Diseño de un Controlador de Velocidad para un

Motor de Inducción utilizando Control Vectorial. Trabajo de Grado, Departamento de

Ingenier{\’\i}a Electrónica, Instrumentación y Control, Universidad Del Cauca, Popayán.

Ruíz, M. G. (2015). Pasado, presente y futuro de vehículos eléctricos. Universidad Tecnológica

de Pereira. Facultad de Tecnologías. Tecnología~….

Serra, F. M., & Falco, C. A. (2008). Control de velocidad V/Hz a lazo cerrado de un motor de

inducción usando DSC56F8323. XXIoCongreso Argentino de Control Automático,

AADECA 2008, Sección Estudiantil.

Sung, W., Shin, J., & Jeong, Y. (2012). Energy-Efficient and Robust Control for High-

Performance Induction Motor Drive With an Application in Electric Vehicles. IEEE

Transactions on Vehicular Technology, 61(8), 3394–3405.

https://doi.org/10.1109/TVT.2012.2213283

Wang, L. (2020). PID Control System Design and Automatic Tuning Using MATLAB/Simulink.

John Wiley & Sons.

Westbrook, M. H., & Westbrook, M. (2001). The Electric Car: Development and future of

battery, hybrid and fuel-cell cars (Issue 38). Iet.

Zak, S. H. (2003). Systems and control (Vol. 198). Oxford University Press New York.

Zhang Yan, Changxi Jin, & Utkin, V. (2000). Sensorless sliding-mode control of induction

motors. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 47(6), 1286–1297.

https://doi.org/10.1109/41.887957