DISEO DE BLOQUES COMPLETO AL AZAR

1.- En qu situaciones se aplica el diseo en bloques completos al azar? En que difieren los factores de tratamiento y de bloque?

Cuando se quieren comparar ciertos tratamientos o estudiar el efecto de un factor, es deseable que las posibles diferencias se deban principalmente al factor de inters y a no a otros factores que no se consideran en el estudio. Cuando esto no ocurre y existen otros factores que no se controlan o nulifican a la hora de hacer la comparacin, las conclusiones podran ser afectadas sensiblemente. El diseo en bloques completos al azar se aplica cuando el efecto de un tratamiento a comparar depende de otros factores que pueden influir en el resultado de experimento y que deben de tomarse en cuenta para anular su posible efecto y evitar sesgo al comparar los factores de inters. Para evitar este sesgo se deben incluir estos factores adicionales en la experimentacin y probarlos con cada uno de los factores de inters de manera tal que puedan presentarse todas las combinaciones posible entre ambos para obtener resultados en la comparacin que sean validos, esta forma de nulificar su efecto se llama bloqueo.

La diferencia entre los factores de tratamiento y los de bloque radica en que estos

ltimos no se incluyen en el experimento de manera explcita por que interese analizar su efecto, sino como un medio para estudiar de manera adecuada y eficaz al factor de inters para no sesgar la comparacin. Estos entran al estudio con un nivel de importancia secundaria con respecto al factor de inters y la inclusin de estos es un medio no un fin para lograr la comparacin.

2.- Qu diferencia hay entre un DBCA y los diseos en cuadro latino?

El diseo de bloque completo al azar se controla un factor de bloque y uno de tratamiento ms el error aleatorio y cuadro latino dos factores de bloque y uno de tratamiento por lo que se tienen cuatro fuentes de variabilidad, incluyendo el termino error, que pueden afectar la respuesta observada.

3.-De acuerdo con el modelo estadstico para un diseo en bloques, Por qu a travs de este diseo se reduce el error aleatorio?

Porque en el diseo en bloques se analiza bloque a bloque y se toman en cuenta todos los factores posibles que puedan afectar de manera significativa a nuestro experimento.

4. A continuacin se muestra parte del ANOVA para un diseo en bloques que tiene tres

tratamientos y cinco bloques con una sola repeticin por tratamiento-bloque.

Fuente de variacin

S. De cuadrados

G. De libertad

C. Medio Razn F Valor-p

TRATAMIENTO BLOQUE ERROR TOTAL

600 850 500

1950

2 4 8

14

300 212.5 62.5

4.8 3.4

a) Agregar en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razn F para

cada uno de las fuentes de variacin.

b) Interprete en forma prctica, para cada caso, lo que est estimando el cuadrado

medio:

- El cuadrado medio interpreta una divisin de cada suma de cuadrados

entre sus respectivos grados de libertad.

c) Escriba el modelo estadstico y las hiptesis pertinentes.

Modelo Estadstico:

Yij= + i + j + ij ; {i = 1,2, k U j=1,2,,b}

Hiptesis

H0: 1 = 2 = 3 = = b = 0

HA: 0 para algn bloque j

d) Apyese en las tablas de la distribucin f para aceptar o rechazar las hiptesis.

Para efecto tratamiento se rechaza la hiptesis nula (4.8 > 4.459)

Para efecto del bloque se acepta la hiptesis nula (3.4 < 3.838)

Esto quiere decir que el factor tratamiento tiene efecto significativo en la

respuesta del experimento y el efecto del bloque no es significativo.

e) Con apoyo de un software obtenga el valor-P para cada caso. Interprete sus

resultados.

Valor- P para tratamiento: 0.003 < 0.05 (Se rechaza H0)

Valor- P para bloque: 0.1014 > 0.05 (No se rechaza H0)

5. Realice el problema anterior, pero ahora suponga que no se bloque se hubiesen

obtenido las mismas conclusiones? Argumente.

- Las conclusiones serian idnticas, ya que el resultado del bloque no tiene un efecto

significativo en la respuesta y sin bloque, toda la variacin se ira al trmino error.

6. Aunque en el anlisis de varianza para un diseo en bloques completos al azar tambin se puede probar la hiptesis sobre si hay diferencia entre los bloques, se dice que esta hiptesis se debe ver con ciertas reservas. Explique por qu.

La hiptesis que se plantea: H0: 1 = 2 = 3 = = b = 0 HA: 0 para algn bloque j

Esta no es una prueba F exacta, sino aproximada, debido a la restriccin de aleatorizacin (slo se aleatoriza dentro del bloque). En la prctica se recomienda su interpretacin porque es evidencia a favor o en contra de que vali la pena el esfuerzo de controlar el factor de bloque. Si resulta significativa implica que el factor de bloques tiene influencia sobre la variable de respuesta, y debe ser tomado en cuenta para mejorar la calidad de sta. Pero, si no se rechaza y se acepta que los bloques son iguales en respuesta media, entonces se tiene el argumento a favor de no controlar este factor en futuros experimentos sobre esta misma respuesta, adems de que su influencia en la calidad de la respuesta no es significativa.

La restriccin de aleatorizacin se debe al hecho de que no se aleatoriza el orden

de las corridas experimentales en relacin a los bloques. El experimento supone que slo se aleatoriza el orden de las corridas dentro de cada bloque, lo cual evita sesgos en la comparacin de los tratamientos, pero no los impide en la comparacin de los bloques.

7. Explique por qu se utiliza el adjetivo azar en el nombre del diseo en bloques completos al azar.

Primeramente la palabra completo en el nombre del diseo se debe a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos, o sea, los bloques estn completos. La aleatorizacin se hace dentro de cada bloque; por lo tanto, no se realiza de manera total como en el diseo completamente al azar. El hecho de que existan bloques hace que no sea prctico o que incluso sea imposible aleatorizar en su totalidad. 8.- Una compaa farmacutica realizo un experimento para estudiar los tiempos promedios (en das) necesarios para que una persona se recupere de los efectos y complicaciones que siguen a un resfriado comn. En este experimento se hizo una comparacin de distintas dosis diarias de vitamina C. para hacer el experimento se contacto a un nmero determinado de personas, que en cuanto les daba el resfriado empezaban a recibir algn tipo de dosis. Si la edad de las personas es una posible fuente de variabilidad, explique con detalle como aplicara la idea de bloqueo para controlar tal fuente de variabilidad.

Si fuera un nmero grande de personas se podran acomodar en subgrupos o en rangos para distribuir las diferentes edades se probaran las distintas dosis en las diferentes edades.

9.-A continuacin se muestran los datos para un diseo en bloques al azar.

Bloques total por tratamiento Tratamiento 1 2 3 4

A 3 4 2 6 Y1=15

B 7 9 3 10 Y2=29

C 4 6 3 7 Y3=20

Total por bloque= Y1=14 Y2=19 Y3=8 Y1=23 Total global=64

a) Completes las sumas totales que se piden en la tabla anterior

b) Calcule las sumas de cuadrados correspondientes SCTRAT, SCB, SC T Y SCE.

SCTRAT=

-

SCB=

-

= 42

SC T =

-

=72.66

SCE=72.66 - 42 = 5.5

c) Obtenga la tabla de anlisis de varianza y anote las principales conclusiones.

Fuente de variacin

GL SC MC F P

Tratamientos 2 25.1667 12.5833 13.73 0.006

Bloques 3 42.0000 14 15.27 0.003

Error 6 5.50 0.9167

total 11 72.6667

De acuerdo al ANOVA anterior se observa que para los tratamientos se obtuvo un valor-p =0.006 < 0.05, por lo que se rechaza la hiptesis nula de que las media de los tratamientos son iguales entre si, en cuanto al factor de bloques se puede concluir que su valor-p =0.003 < 0.05, lo que nos dice que existen diferencias entre estos.

d) Obtenga la diferencia mnima significativa (LSD) para comparar tratamientos en

este diseo en bloques.

LSD= ( )( )

LSD= ( )

LSD=2.44 ( )

= 1.65

Diferencia poblacional Diferencia muestral Decision

|-3.5|>1.65 significativa

|-1.25|1.65 significativa

Por lo que se concluye que el tratamiento A es diferente del B y el B del C.

11.- En una empresa lechera se tienen varios silos para almacenar leche (cisternas de

60,000 L). Un aspecto crtico para que se conserve la leche es la temperatura de

almacenamiento. Se sospecha que en algunos silos hay problemas, por ello, durante

cinco das se decide registrar la temperatura a cierta hora critica. Obviamente la

temperatura de un da a otro es una fuente de variabilidad que podra impactar la

variabilidad total.

Da

Silo Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes

A 4.0 4.0 5.0 0.5 3.0

B 5.0 6.0 2.0 4.0 4.0

C 4.5 4.0 3.5 2.0 3.0

D 2.5 4.0 6.5 4.5 4.0

E 4.0 4.0 3.5 2.0 4.0

a) En este problema, Cul es el factor de tratamiento y cual el factor de bloque? El factor de tratamiento son los silos y el factor de bloque los das.

b) Suponga un DBCA, formule las hiptesis adecuadas y el modelo estadstico Modelo estadstico:

Yij = + 1 + j + ij; {

}

Donde Yij en la medicin que corresponde al tratamiento i y al bloque de j, es la

media global poblacional, 1 es el efecto debido al tratamiento i, es el efecto debido

al bloque j y ij en el error aleatorio.

Hiptesis: H0: 1 = 2 = 3 = = k = HA: 1 j para algn i j Que tambin se puede expresar como: H0: 1 = 2 = 3 == k = 0 HA: 1 0 para algn i En cualquiera de estas hiptesis la afirmacin a probar es que la respuesta

media poblacional lograda con cada tratamiento es la misma para los k tratamientos y que, por lo tanto, cada respuesta media 1 es igual a la media global poblacional, .

c) Hay diferencia entre los silos?

Fuente de variabilidad

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado Medio

F0 Valor-P

Tratamientos 4.46 4 1.115 0.69 0.246

Bloques 9.76 4 2.44 1.51 0.609

Error 25.84 16 1.615

Total 40.06 24

Aqu podemos observar que el valor-p de los silos es mayor que el valor de

significancia, es decir, que el valor-p de los silos es 0.246 y el nivel de significancia es 0.05 y por lo tanto es mayor, lo que significa que estadsticamente son iguales.

d) La temperatura de un da a otro es diferente?

Por medio del problema anterior podemos observar que la temperatura es igual porque el valor-p de los bloques es 0.609 y el nivel de significancia es 0.05 as que se muestra que el valor-p del bloque es mayor que la significancia y por lo tanto las temperaturas son iguales.

e) Revise residuos, hay algn problema evidente?

En el recuadro de la grafica de probabilidad normal nos muestra que el supuesto de normalidad se cumple porque los residuos o puntos estas ms o menos cerca de la lnea recta.

Por mientras que en el recuadro vs ajuste tambin se cumple el supuesto de varianza porque los residuos se ubican aleatoriamente dentro de una banda horizontal.

12.- Se diseo un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las

siguientes lecturas de blancura se obtuvieron con un equipo especial diseado para 12

cargas de lavado, distribuidas en tres modelos de lavadoras:

Detergente Lavadora 1 Lavadora2 Lavadora3

A 45 43 51

B 47 44 52

C 50 49 57

D 42 37 49

a) Seale el nombre del diseo experimental utilizado.

Diseo por bloques

b) Formule la hiptesis que se quiere probar en este problema.

c) Realice el anlisis estadstico ms apropiado para estos datos y obtenga

conclusiones.

k =4 b= 3 N= 12

Fuente de variabilidad

Suma de cuadrados

Grado de libertad Cuadro medio F0

Mtodo 133.67 3 44.55 34.26

lavadora 170.17 2 85.08 65.45

Error 7.82 6 1.36

Total 311.66 11

SCT=452 + 472 + 492 = 27008-5662 / 12 = 311.66

SCTrat = 1392 + 1432 + 1562 + 1282 / 3 -5662 / 12 = 133.67

SCB = 1842 + 1732 + 2092 / 4 - 5662 / 12 = 170.17

SCE = 311.66 133.67 170.17 = 7.82

El valor-p que arroja minitab nos dice que se rechazan ambas H0, por lo tanto las medias de los diferentes tratamientos son significativamente diferentes de la media poblacional y, para el factor de bloqueo quiere decir que influye en la respuesta del experimento.

13.- Con respecto al problema anterior:

a) Conteste los tres incisos del problema anterior sin tomar en cuenta el efecto de las

lavadoras y obtenga conclusiones.

1. Completamente al azar.

3.

A B C D

45 47 50 42

43 44 49 37

51 52 57 49

139 143 156 128

Detergente Lavadora 1 Lavadora2 Lavadora3

A 45 43 51

B 47 44 52

C 50 49 57

D 42 37 49

Y1:139

Y2:143

Y3:156

Y4:128

566 Y1:184 Y2:173 Y3:209

T =566

Fuente de

variabilidad

Suma de cuadrados

Grado de libertad Cuadro medio F0

mtodo 133.66 3 44.5 0.75

lavadora 311.66 8 38.95

error 178 11

SCTrat = 1392 + 1432 + 1562 + 1282 /3 - 5662 /12 = 133.66

SCT = 452 + 472 + 502 + 492 - 5662 / 12 = 311.66

SCE = 133.66 311.66 = 178

b) Hay diferencias en las conclusiones anteriores y las del problema anterior?

Explique su respuesta.

Si hay diferencias, debido a que en las conclusiones anteriores las medias de los diferentes tratamientos son diferentes de la media poblacional, y en este caso del diseo completamente al azar, se acepta la H0 que las medias de los tratamientos son iguales a la media poblacional.

c) Con cuales conclusiones se queda? Explique su respuesta.

Con las primeras que se obtuvieron en el diseo de bloques completo al azar porque el factor de bloqueo que consideramos tiene influencia en la respuesta.

14. Una de las variables crticas en el proceso de ensamble del brazo lector de un disco

duro es el ngulo que este forma con el cuerpo principal de la cabeza lectora. Se corre

un experimento con el objetivo de comparar dos equipos que miden dicho ngulo en

dichos radianes. Se decide utilizar como factor de bloque a los operadores de los

equipos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

operador

Equipo

1 2

1 1.328, 0.985, 1.316, 1.553, 1.310 1.113, 1.057, 1.144, 1,144, 1.386

1.273, 0.985, 1.134, 1.412, 0.917 0.789, 0.671, 0.554, 1.386, 1.289

2 1.269, 1.268, 1.091, 1.195, 1.380 1.093, 0.984, 1.087, 1.482, 1.442

1.036, 0.783, 1.108, 1.129, 1.132 0.201, 0.900, 0.916, 1.434, 1.223

3 1.440, 1.079, 1.389, 1,611, 1.445 1.150, 1.190, 1.247, 1.617, 1.574

1.454, 1.063, 1.219, 1.602, 1.583 1.018, 1.050, 0.997, 1.538, 1.478

Equipo Operador

1 2 3

1 2

1.2677 1.0410

1.2291 0.9862

1.3742 1.3002

Total 2.3087 2.2153 2.6744

Y1 = 3.871; Y2= 3.3274; Y.. = 7.1984

SC = (1.26772 + 1.0412 + 1.22912 + 0.98622 + 1.37422 + 1.30022) = 8.75296722

SCT= 8.75296722 ( )

= 0.116807

SCTRAT = ( ) ( )

-

( )

= 0.04925

SCB = ( )

-( )

= 0.058872

SCE = 0.116807 - 0.04925 - 0.058872 = 0.008684

F. V. S. C. G. L. C. M. F. P

EQUIPO 0.04925 1 0.04925 11.34 0.078

OPERADOR 0.058872 2 0.029436 6.78 0.129

ERROR 0.008684 2 0.004342

TOTAL 0.116807 5 Congruente con valores MINITAB:

Modelo lineal general: Respuesta vs. Equipo, Operador Factor Tipo Niveles Valores

Equipo fijo 2 1, 2

Operador fijo 3 1, 2, 3

Anlisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P

Equipo 1 0.049250 0.049250 0.049250 11.34 0.078

Operador 2 0.058872 0.058872 0.029436 6.78 0.129

Error 2 0.008684 0.008684 0.004342

Total 5 0.116807

a) Plantee el modelo y las hiptesis ms adecuadas al problema.

Modelo Estadstico:

Yij= + i + j + ij ; {i = 1,2, k U j=1,2,,b}

Hiptesis

Para tratamiento

H0: = =

HA: ij

Para bloque

H0: 1 = 2 = 3 = b = 0

HA: 0 para algn bloque j

b) Existen diferencias entre los equipos? Argumente estadsticamente.

No existen diferencias ya que el valor p en tratamiento equipo es de 0.078 (mayor que

0.05 de ) por lo tanto se acepta la Ho, los dos equipos son estadsticamente iguales.

c) Existen diferencias entre los operadores?

No existen diferencias entre el factor de bloque operadores, valor-p 0.129 > 0.05, son

estadsticamente iguales.

d) Dibuje los diagramas de cajas simultneos y las grficas de medias para ambos factores,

despus interprtelas.

Otra prueba para comprobar la hiptesis nula es con estas grficas, se puede apreciar el

traslape en ambas, lo cual induce a decir que, en efecto, no hay diferencia significativa.

e) Verifique los supuestos de normalidad e igualdad de varianza entre tratamientos, as como

la posible presencia de puntos aberrantes.

La normalidad en los datos es uniforme y la varianza es constante, la calidad del ajuste es

satisfactorio porque no hay puntos aberrantes, adems los coeficientes de determinacin:

R-cuad. = 92.57% R-cuad.(ajustado) = 81.41%

10. Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de atomizador para matar moscas.

Para ello, cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el nmero de moscas

muertas expresado en porcentajes. Se hicieron seis replicas, pero en das diferentes; por ello, se

sospecha que puede haber algn efecto importante debido a esta fuente de variacin. Los datos

obtenidos se muestran a continuacin:

Nmero de replica (da)

Marca de atomizador

1 2 3 4 5 6

1 2 3

72 55 64

65 59 74

67 68 61

75 70 58

62 53 51

73 50 69

SCT= 722+552+642+652+592+742+672+682+612+752+702+582+622+532+512+732+502+692 -11462/18=

= 74054 72962= 1092

SCTRAT= 4142+3552+3772/6 - 72962=

= 296.333

SCB = 1912+1982+1962+2032+1662+1922 / 3 - 72962=

= 281.333

SCE= SCT SCTRAT SCB=

1092- 296.333 281.333=

= 514.3337

FUENTE DE VARIABILIDAD

SUMA DE CUADRADOS

GRADOS DE LIBERTAD

CUADRADO MEDIO

F0 VALOR-P

METODOS 296.33 2 148.1665 2.880

OPERADORES 281.33 5 56.266 1.0939

ERROR 514.3337 10 51.433337

TOTAL 1092 17

a) Suponiendo un DBCA, formule las hiptesis adecuadas y el modelo estadstico.

1. H0: 1 = 2 = t

HA: Al menos el efecto de un bloque es diferente de los dems.

2. H0:1 =2= t

HA: Al menos el efecto de un tratamiento es diferente de los dems.

b) Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores?

No

c) Hay algn atomizador mejor? Argumente su respuesta.

Por muy poca significancia es mejor el numero 1, pero este no varia en la efectividad para con

los otros 2 atomizadores.

d) Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes das en que se realizo el

experimento? Argumente su respuesta.

No, ya que cada atomizador tuvo un porcentaje de moscas muertas muy parecido entre los

seis das q se utilizaron las replicas.

20.-cuando se comparan varios fertilizantes o diferentes variedades de cierto cultivo, es

tpico que se deba considerar el gradiente de fertilidad del suelo (factor columna) o los

efectos residuales de cultivos previos (factor rengln). Considerando estos factores de

bloque, Gmez y Gmez (1984) plantean un experimento en cuadro latino para

comparar, en cuanto al rendimiento en toneladas por hectrea, tres variedades de maz

hbrido (A, B, C) y una variedad control (C). Para ello se utiliza, un campo agrcola

cuadrado de 16 hectreas, dividido en parcelas de una hectrea. Los datos de

rendimiento obtenido se muestran en una tabla a continuacin:

Ren/ Col 1 2 3 4

1 1.640 (B) 1.210 (D) 1.425 (C) 1.345 (A)

2 1.475 (C) 1.185 (A) 1.400 (D) 1.290 (B)

3 1.670 (A) 0.710 (C) 1.665 (B) 1.180 (D)

4 1.565 (D) 1.290 (B) 1.655 (A) 0.660 (C)

Tabla ANOVA

a) Existen diferencias entre los rendimientos de las diferentes variedades de maz?

Debido a que le Valor-p es menos que la significancia observada para el modelo

0.025< 0.05 se afirma que si existen diferencias entre los tratamientos.

b) Cul de los factores de bloque tuvo efecto?

El gradiente de fertilidad del suelo.

c) Se habran detectado las mismas diferencias entre los tratamientos con un diseo

completamente al azar?

No, porque en este tipo de diseo en cuadro latino se controlan dos factores de

bloqueo y se tienen cuatro fuentes de variabilidad para el modelo que pueden afectar la

respuesta observada.

d) Y con un diseo en bloque completos al azar?

No, ya que no contempla la posibilidad de comparar ms de 1 factor.

Fuente de variacin

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

F0 Valor -p

Tratamientos 0.82734 3 0.27578 12.77 0.005

Rengln 0.03015 3 0.01005 0.47 0.717

Columna 0.042684 3 0.14228 6.59 0.025

Error 0.12958 6 0.02160

Total 1.41392 15