Ecuacin lineal de primer ordenTal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuacin de este tipo.Definicin[Ecuacin lineal]

Una ecuacin diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

dondeyson funciones reales, se llama ecuacin diferencial lineal.

Observacin:una ecuacin diferencial lineal de ordentiene la forma

donde los coeficientesson funciones reales y. Note que cuandotenemos que

y al dividir por

La cual tiene la forma

dondey.Teorema

La solucin general de la ecuacin diferencial de primer orden

(1.10)

est dada por

DemostracinReescribiendo la ecuacin1.10como

podemos comprobar quees un factor integrante. Multiplicando la ecuacin1.10por este factor tenemos que

de donde

e integrando respecto con

como se quera.Ejemplo:Resolver la ecuacin

Reescribiendo la ecuacin tenemos

El factor integrante est dado por

Con lo cual la solucin est dada por

Es decir,Ejemplo:Considere la ecuacin diferencial

(1.11)

Encuentre una funcinde forma tal que la ecuacin diferencial(1.11)sea exacta y resuelva dicha ecuacin diferencial.Para que la ecuacin(1.11)sea exacta debe cumplir

De aqu obtenemos la ecuacin diferencial lineas eny

cuya solucin es

De donde tomandoobtenemos que.Ejemplo:Compruebe que la ecuacin diferencial

dondeyson funcuiones reales, se transforma en una ecuacin diferencial lineal al hacer.Como

Sustituyendo

la cual es una ecuacin diferencial lineal.