Ecuacin lineal de primer ordenTal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuacin de este tipo.Definicin[Ecuacin lineal]
Una ecuacin diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
dondeyson funciones reales, se llama ecuacin diferencial lineal.
Observacin:una ecuacin diferencial lineal de ordentiene la forma
donde los coeficientesson funciones reales y. Note que cuandotenemos que
y al dividir por
La cual tiene la forma
dondey.Teorema
La solucin general de la ecuacin diferencial de primer orden
(1.10)
est dada por
DemostracinReescribiendo la ecuacin1.10como
podemos comprobar quees un factor integrante. Multiplicando la ecuacin1.10por este factor tenemos que
de donde
e integrando respecto con
como se quera.Ejemplo:Resolver la ecuacin
Reescribiendo la ecuacin tenemos
El factor integrante est dado por
Con lo cual la solucin est dada por
Es decir,Ejemplo:Considere la ecuacin diferencial
(1.11)
Encuentre una funcinde forma tal que la ecuacin diferencial(1.11)sea exacta y resuelva dicha ecuacin diferencial.Para que la ecuacin(1.11)sea exacta debe cumplir
De aqu obtenemos la ecuacin diferencial lineas eny
cuya solucin es
De donde tomandoobtenemos que.Ejemplo:Compruebe que la ecuacin diferencial
dondeyson funcuiones reales, se transforma en una ecuacin diferencial lineal al hacer.Como
Sustituyendo
la cual es una ecuacin diferencial lineal.