Ejemplos simplex
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INGENIERIA EN SISTEMAS
Unidad: Modelamiento Matemático
Tema: "Plantear, Interpretar y convertir diferentes problemas reales en modelos
matemáticos; y resolverlos aplicando el método simplex”
Estudiante: Catalina Malacatus
LOJA -ECUADOR
2010 - 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA AREA DE LA ENERGÍA LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
Por: Catalina Malacatus Página 1
Ejemplo 1:
Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación
de equipos fundamentales del proceso productivo. Estas piezas requieren un
cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres máquinas que las procesan.
Este tiempo, así como la capacidad disponible (h) y la ganancia por cada
pieza se muestran en el cuadro siguiente:
Máquina Tiempo por Pieza Fondo de
Tiempo(h)
A B
I 2 2 160
II 1 2 120
III 4 2 280
Ganancia
($/Pieza)
6 4
Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de
piezas a fabricar que optimice la ganancia.
VARIABLES DE DECISIÓN
x1: Número de piezas del tipo A.
x2: Número de piezas del tipo B.
FUNCIÓN OBJETIVO
Max Z = 6X1 + 4X2
RESTRICCIONES
2X1 + 2X2 <= 160
X1 + 2X2 <= 120
4X1 + 2X2 <= 280
X1, X2 >= 0
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NATURALES NO RENOVABLES
Por: Catalina Malacatus Página 2
Convertir las desigualdades en igualdades:
2X1 + 2X2 + h1 + 0h2 + 0h3 =160
X1 + 2X2 + 0h1 + h2 + 0h3 = 120
4X1 + 2X2 + 0h1 + 0h2 + h3 = 280
Igualar la función objetivo a cero:
Z - 6X1 - 4X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 0
Tablas simplex:
Iteración #1 (tabla inicial)
Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
h1
h2
h3
Z
2 2 1 0 0
1 2 0 1 0
4 2 0 0 1
-6 -4 0 0 0
160
120
280
0
80
120
70
Iteración # 2
Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
h1
h2
x1
Z
0 1 1 0 -0.5
0 1.5 0 1 -0.25
1 0.5 0 0 0.25
0 -1 0 0 1.5
20
50
70
420
20
33.33
140
Iteración # 3
Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
X2
h2
x1
Z
0 1 1 0 -0.5
0 0 -1.5 1 0.5
1 0 -0.5 0 0.5
0 0 1 0 1
20
20
60
440
Z = 440; x1 = 60, x2 = 20.
Solución:
La cantidad de piezas a fabricar es 60 piezas del tipo A y 20 piezas del tipo
B, y se obtendrá una ganancia de $440.
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Ejemplo 2:
Una compañía de Pintura produce pinturas tanto para interiores como para
exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. Por cada tonelada de
pintura para interiores se requiere 4 toneladas de M1 y 2 toneladas de M2 y
para cada tonelada de pintura para exteriores se requiere de 6 toneladas de
M1 y una de M2. Se dispone de 24 toneladas de M1 y 6 de M2 diariamente. La
utilidad que arroja una tonelada de pintura para exteriores es de 5000
dólares y de una tonelada de pintura para interiores es de 4000 dólares.
La demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.
Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a
la de pintura para exteriores por más de una tonelada. La compañía quiere
determinar la mezcla de producción óptima de pinturas para interiores y
exteriores que maximice las utilidades diarias y satisfaga las limitaciones.
VARIABLES DE DECISIÓN:
x1: Número de toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.
x2: Número de toneladas diarias producidas de pintura para interiores.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Max Z = 5000x1+ 4000x2
RESTRICCIONES:
6x1 + 4x2 <=24
x1+ 2x2 <= 6
x2 - x1<= 1
x2 <=2
x1, x2 >= 0
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NATURALES NO RENOVABLES
Por: Catalina Malacatus Página 4
Convertir las desigualdades en igualdades:
6x1+ 4x2 + h1+ 0h2+0h3 + 0h4 =24
x1+ 2x2 + 0h1 + h2 + 0h3 + 0h4 = 6
- x1 + x2 + 0h1 + 0h2 + h3 + 0h4 = 1
0x1 + x2+ 0h1 + 0h2 + 0h3 + h4 =2
Igualar la función objetivo a cero:
Z - 5000x1 - 4000x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 + 0h4 = 0
Tablas simplex:
Iteración #1 (tabla inicial)
Base X1 X2 h1 h2 h3 h4 V. S.
h1
h2
h3
h4
Z
6 4 1 0 0 0
1 2 0 1 0 0
-1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
-5000 -4000 0 0 0 0
24
6
1
2
0
Iteración # 2
Base X1 X2 h1 h2 h3 h4 V. S.
x1
h2
h3
h4
Z
1 0.67 0.167 0 0 0
0 1.33 -0.167 1 0 0
0 1.67 0.167 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 -666.67 833.33 0 0 0
4
2
5
2
20000
Iteración # 3
Base X1 X2 h1 h2 h3 h4 V. S.
x1
x2
h3
h4
Z
1 0 0.25 -0.5 0 0
0 1 -0.125 0.75 0 0
0 0 0.375 -1.25 1 0
0 0 0.125 -0.75 0 1
0 0 750 500 0 0
3
1.5
2.5
0.5
21000
Z = 21000; x1 = 3, x2 = 1.5
Solución:
Se debe producir 3 toneladas diarias de pintura para exteriores y 1.5
toneladas diarias de pintura para interiores; para obtener una utilidad de
21 000 dólares
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Ejemplo 3:
HiDec produce dos modelos de artículos electrónicos, donde se usan resistores,
capacitores y chips. La tabla siguiente es un resumen de los datos en este
caso:
Recurso
Requerimientos del recurso por
unidad
Disponibilidad máxima
(unidades)
Modelo 1
(unidades)
Modelo 2
(unidades)
Resistor 2 3 1200
Capacitor 2 1 1000
Chips 0 4 800
Utilidad ($) 3 4
La empresa pretende decidir qué cantidad de cada modelo debe producir
para maximizar el beneficio.
VARIABLES DE DECISIONES:
x1: cantidad de unidades a producir del modelo 1
x2: cantidad de unidades a producir del modelo 2.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Max Z = 3x1+ 4x2
RESTRICCIONES:
2 x1 + 3 x2 <= 1200
2 x1 + 1 x2 <= 1000
0 x1 + 4 x2 <= 800
x1, x2 >= 0
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Convertir las desigualdades en igualdades:
2 x1 + 3 x2 + 0h1 + h2 + 0h3 = 1200
2 x1 + 1 x2 + 0h1 + 0h2 + h3 = 1000
0 x1 + 4 x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 800
Igualar la función objetivo a cero:
Z - 3x1 - 4x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 0
Tablas simplex:
Iteración #1 (tabla inicial)
Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
h1
h2
h3
Z
2 3 1 0 0
2 1 0 1 0
0 4 0 0 1
-3 -4 0 0 0
1200
1000
800
0
Iteración #2 Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
h1
h2
x2
Z
2 0 1 0 -0.75
2 0 0 1 -0.25
0 1 0 0 0.25
-3 0 0 0 1
600
800
200
800
Iteración #3 Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
x1
h2
x2
Z
1 0 0.5 0 -0.375
0 0 -1 1 0.5
0 1 0 0 0.25
0 0 1.5 0 -0.125
300
200
200
1700
Iteración #4 Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.
x1
h3
x2
Z
1 0 -0.25 0.75 0
0 0 -2 2 1
0 1 0.5 -0.5 0
0 0 1.25 0.25 0
450
400
100
1750
Z = 1750; x1 = 450, x2 = 100
Solución:
La empresa debe producir 450 unidades del modelo 1 y 100 unidades del
modelo 2; para obtener un beneficio de $ 1750
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Ejemplo 4:
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en
el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir
al menos 30.000 yogures.
Cada yogurt de limón cuesta 0.15 dolares y se necesita para su elaboración
0,5 gr. de un producto de fermentación; cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr.
de ese mismo producto. Se dispone de 9 Kg. de ese producto para
fermentación.
El coste de producción de un yogurt de fresa es doble que el de un yogurt de
limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de
la campaña sea mínimo?
VARIABLES DE DECISIÓN:
x1: número de yogures de limón producidos.
x2: número de yogures de fresa producidos.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Z = 0.15x1 + 2(0.15) x2
Min Z = 0.15x1 + 0.30 x2
RESTRICCIONES:
0.5x1 + 0.2x2 <= 9000
x1 + x2 >= 30000
x1, x2 >= 0
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Convertir las desigualdades en igualdades:
0.5x1 + 0.2x2 + h2- 0e1 = 9000
x1 + x2 + 0h2- e1 = 30000
Igualar la función objetivo a cero:
0.15x1 + 0.30 x2 + 0h2- 0e1 - Z = 0
Tablas simplex:
Iteración #1 (tabla inicial)
Base X1 X2 h1 e1 V. S.
h1
e1
Z
0.5 0.2 1 0
1 1 0 -1
0.15 0.3 0 0
9000
30000
0
Iteración # 2
Iteración # 3
Base X1 X2 h1 e1 V. S.
x1
x2
Z
1 0 3.33 0.67
0 1 -3.33 -1.67
0 0 0.5 0.4
10000
20000
-7500
(-1)
Base X1 X2 h1 e1 V. S.
x1
x2
Z
1 0 3.33 0.67
0 1 -3.33 -1.67
0 0 -0.5 -0.4
10000
20000
7500
Z = 7500; x1 = 10000, x2 = 20000
Solución:
Se deben producir 10000 yogures de limón y 20000 yogures de fresa, para que
el costo de la campaña sea de 7500 dólares mínimo.
Base X1 X2 h1 e1 V. S.
x1
e1
Z
1 0.4 2 0
0 0.6 -2 -1
0 0.24 -0.3 0
18000
12000
-2700
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Ejemplo 5:
Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero,
que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril.
Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de
gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles
de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo
pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T.
La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000
barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y
pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
VARIABLES DE DECISIÓN:
x1: número de barriles comprados de crudo ligero.
x2: número de barriles comprados de crudo pesado.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Min Z = 35x1 + 30x2
RESTRICCIONES:
0.3x1 + 0.3x2 >= 900000
0.2x1 + 0.4x2 >= 800000
0.3x1 + 0.2x2 >= 500000
x1, x2 >= 0
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Convertir las desigualdades en igualdades:
0.3x1 + 0.3x2 – e1 - 0e2 – 0e3= 900000
0.2x1 + 0.4x2 – 0e1 - e2 – 0e3>= 800000
0.3x1 + 0.2x2 – 0e1 - 0e2 – e3>= 500000
Igualar la función objetivo a cero:
35x1 + 30x2 – 0e1 - 0e2 – 0e3 – Z = 0
Tablas simplex:
Iteración #1 (tabla inicial)
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e1
e2
e3
Z
0.3 0.3 -1 0 0
0.2 0.4 0 -1 0
0.3 0.2 0 0 -1
35 30 0 0 0
900000
800000
500000
0
Iteración # 2
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e1
e2
x1
Z
0 0.1 -1 0 1
0 0.267 0 -1 0.67
1 0.67 0 0 -3.33
0 6.67 0 0 116.67
400000
466667
1666670 -58333300
Iteración # 3
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e3
e2
x1
Z
0 0.1 -1 0 1
0 0.2 0.67 -1 0
1 1 -3.33 0 0
0 -5 116.67 0 0
400000
200000
3000000
-105000000
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NATURALES NO RENOVABLES
Por: Catalina Malacatus Página 11
Iteración # 4
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e3
e1
x1
Z
0 0.4 0 -1.5 1
0 0.3 1 -1.5 0
1 2 0 -5 0
0 -40 0 175 0
700000
300000
4000000
-140000000
Iteración # 5
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e3
x2
x1
Z
0 0 -1.33 0.5 1
0 1 3.33 -5 0
1 0 -6.67 5 0
0 0 133.33 -25 0
300000
1000000
2000000
-100000000
Iteración # 6
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e3
x2
e2
Z
-0.1 0 -0.67 0 1
1 1 -3.33 0 0
0.2 0 -1.33 1 0
5 0 100 0 0
100000
3000000
400000
-90000000
(-1)
Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.
e3
x2
e2
Z
-0.1 0 -0.67 0 1
1 1 -3.33 0 0
0.2 0 -1.33 1 0
5 0 100 0 0
100000
3000000
400000
90000000
Z = 90000000; x1 = 0, x2 = 3000000
Solución:
Se debe comprar 3 000 000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo
pesado para obtener un coste de 90 000 000 dólares.
NOTA: EN LOS TRES PRIMEROS EJEMPLOS SE APLICA LA MAXIMIZACIÓN DE
RECURSOS Y EN LOS DOS ÚLTIMOS EJEMPLOS LA MINIMIZACIÓN .