ElasticidadProfesor: Matas Morales A.

Comportamiento de Huesos y TejidosLa elasticidad de un cuerpo es su capacidad de elongarse o comprimirse sin sufrir dao o alteracin. Un ejemplo clsico son los resortes, que en la medida que no los estiramos demasiado tienden a mostrar este comportamiento. En una escala microscpica la interaccin entre tomos, molculas o iones muestran comportamiento similar. Bajo pequeas deformaciones todos estos materiales reaccionan en forma elstica. Se deforman sin sufrir alteraciones permanentes.Si aumentamos la fuerza que aplicamos comenzaremos a daar el material y crearemos deformaciones que son permanentes. Se habla aqu de rupturas o deformacin plstica

Introduccin

En clases anteriores, hemos aprendido las condiciones necesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma sencilla, podemos citarlas de la siguiente forma:

Donde el trmino F representa las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en las direcciones x, y, z de un sistema coordenado ortogonal. Anlogamente, el trmino M est referido a los momentos que se ejercen en el cuerpo, en las direcciones x, y, z.

Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en equilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le hacemos un corte transversal imaginario dividindolo en dos partes, observaremos que deben generarse fuerzas internas en su seccin transversal para que pueda mantenerse en equilibrio.

Las fuerzas internas que se generan en la seccin transversal se denominan esfuerzos. Para determinar stos, se hace necesario definir las cargas que estn ejercidas sobre dicha seccin; esto se logra aplicando las condiciones de esttica que recordamos lneas atrs. Tendremos entonces que, en la seccin de inters, estn aplicados una fuerza y un momento resultante (FR y MR respectivamente).

Realicemos ahora una descomposicin de la fuerza resultante sobre la seccin de inters. Obtendremos una fuerza que es normal al plano de la seccin; sta es la carga axial (P). El resto de fuerzas estn contenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerza cortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en el plano de la seccin.

Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momento resultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la seccin; sta representa el momento torsor (T). Las componentes restantes de momento estn contenidas en el plano, y se denominan momentos flectores (M). La la sumatoria vectorial de todos los momentos contenidos en el plano resulta en el momento flector total en la seccin.

En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre una seccin transversal:

- Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerza resultante sobre el mismo.

- Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultante contenida en el plano de la seccin transversal.

- Momento Torsor. Es la componente normal al plano del momento resultante sobre el mismo.

- Momento Flector. Es la componente del momento resultante contenida en el plano de la seccin transversal.

Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de cuerpos sometidos a cargas. Concepto de EsfuerzoPara brindar una definicin matemtica a este concepto, tomaremos un cuerpo cargado representando las fuerzas internas que en l aparecen. Elegiremos un diferencial de rea de la seccin transversal, en la que acta una fuerza interna finita como se muestra.

Definiremos entonces como Esfuerzo Normal () a la cantidad de fuerza por unidad de rea actuando en direccin normal a A. Matemticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

Si Fn sale de la seccin transversal, el esfuerzo normal es de traccin y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es de compresin y se escribe con signo negativo.

Como el esfuerzo est integrado en unidades de fuerza sobre rea, se expresa en Pa (N/m2) segn el Sistema Internacional y en psi (Lbf/in2) segn el Sistema Ingls.El Esfuerzo Tangencial Cortante (t) es la cantidad de fuerza por unidad de rea actuando en direccin tangencial a A. Matemticamente, puede expresarse de la siguiente forma:A diferencia de Fn , cuya direccin puede ser una sola, Ft puede tener cualquier direccin en el plano. El esfuerzo cortante tendr la misma direccin y sentido de Ft.

Esfuerzo normal promedio en barras cargadas axialmenteLa distribucin de esfuerzos normales en una seccin transversal de una barra cargada axialmente no es completamente uniforme. Sin embargo, para este caso especfico, podemos definir un esfuerzo normal promedio en toda la seccin transversal, sin temor a cometer un gran error con esta aproximacin. Dicho esfuerzo viene dado por la siguiente expresin:

Donde P es la carga axial y A el rea de seccin transversal de la barra. Si la carga P es de traccin, el esfuerzo normal es positivo y viceversa. Es importante recordar que, como el esfuerzo es normal, el rea es perpendicular a la fuerza aplicada.Fuerza de traccin/compresinSeccin antes de la deformacin

Esfuerzo (): Fuerza aplicada a un rea A conocida.

Tipos de EsfuerzoTraccinCompresinFlexinCorteTorsin

Fuerzas de CompresinDos fuerzas iguales y opuestas se aplican sobre el hueso.El mximo estrs se produce en un plano perpendicular a la lnea de carga.Como consecuencia el hueso tiende a acortarse y ensancharse.P.e. Aplastamiento cuerpos vertebrales.Los extremos del material son empujados para contraer al mismo.

COMPRESIN

Fuerzas de TraccinDos fuerzas iguales se aplican en sentido contrario sobre el hueso.El mximo estrs se produce en un plano perpendicular a la lnea de carga.Como consecuencia el hueso tiende a alargarse y hacerse ms estrecho.P.e Arrancamiento de la apfisis estiloides del 5 metatarsiano, por traccin del tendn del peroneo lateral corto, o calcneo cerca de la insercin del tendn de Aquiles. (h esponjoso). Los extremos del material son estirados hacia afuera para alargar al objeto.

TRACCIN

Fuerzas de CizallamientoLa fuerza se aplica perpendicular a la superficie del hueso.El mximo estrs se produce en un plano paralelo a la lnea de carga.La estructura se deformar internamente de forma irregular.El hueso cortical soporta mejor la compresin que la traccin y la traccin mejor que el cizallamiento.P.e. Fractura intercondlea de fmur. Esfuerzo de Corte: Ocurre cuando sobre el cuerpo actan fuerzas que tienden a cortarlo o desgarrarlo. En este caso, la superficie de corte es perpendicular a la fuerza aplicada.

CORTE

Fuerzas de FlexinLas fuerzas aplicadas sobre el hueso hacen que ste se doble sobre su eje mayor y aparecen fuerzas de compresin en el lado de la aplicacin de la fuerza y de traccin en el lado opuesto.P.e. Fractura en el antebrazo al caer y poner la mano en el suelo.Esfuerzo de Flexin: Ocurre cuando sobre el cuerpo actan fuerzas que tienden a doblarlo. En este caso, una parte del cuerpo se comprime y la otra se tracciona.

FLEXIN

Fuerzas de TorsinLa fuerza aplicada tiende hacer rotar alrededor de su ejeAparecen fuerzas de cizallamiento que se distribuyen a lo largo de toda estructura.P.e. Fractura espiroidea de tibia, que se produce cuando se esqua al caer rotando sobre un pie fije anclado en el esqu.Esfuerzo de Torsin: Ocurre cuando sobre el cuerpo actan fuerzas que tienden a retorcerlo. Un caso es cuando se usa una llave para abrir una puerta.

Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector, momento torsor.SolicitacinEsfuerzo Normal Esfuerzo CortanteMomento FlectorMomento TorsorEfecto Alargamiento Deslizamiento Giro de Flexin Giro de Torsin

NVMfMtdgFq

Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos

Deformaciones

Los cuerpos completamente rgidos no existen. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre l, aunque sea en una proporcin muy pequea.

Si aplicamos una carga axial de traccin a un cuerpo, observaremos que ste tender a alargarse en el sentido de dicha carga.

Si la carga fuese de compresin, el cuerpo se acortara en la direccin de la carga.

Se llama Alargamiento, al cambio de longitud que experimenta un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Segn la figura presentada anteriormente, se puede plantear as:

A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos ser muy til en el estudio de los materiales: la Deformacin Unitaria Normal (). Esta se establece de la siguiente forma:

Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la Deformacin Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos estn ntimamente relacionados con los esfuerzos normales.

Diagrama Tensin-Deformacin

Ensayamos a traccin una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga medimos la tensin () y la deformacin unitaria () producidas. Representando grficamente, se obtiene el siguiente diagrama.

Conceptos Tensin-Deformacin

Zona Elstica: Es la parte donde al retirar la carga el material regresa a su forma y tamao inicial.Zona de Fluencia: Regin en donde el material se comporta plsticamente; es decir, en la que contina deformndose bajo una tensin constante.Zona de Endurecimiento: Zona en donde el material retoma tensin para seguir deformndose; va hasta el punto de tensin mxima.Zona de Estriccin: En ste ltimo tramo el material se va poniendo menos tenso hasta el momento de la fractura.Lmite proporcional: Tensin mxima para la cual la deformacin es proporcional a la tensin.Mdulo de Elasticidad (E): Relacin entre la tensin y la deformacin del acero. Vlida hasta el lmite proporcional.Tensin de Fluencia: Tensin para la cual el material se comporta plsticamente, el cual fluye a un valor constante de tensin.Lmite Elstico: Tensin mxima para la cual la deformacin es completamente recuperable. Pasado ese valor, queda una deformacin permanente.

Deformacin (Unitaria) ElsticaDeformacin restaurable, debido a un esfuerzo aplicado. Se presenta tan pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica el esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza.

Deformacin PlsticaDeformacin permanente de un material, cuando se quita el esfuerzo, el material no regresa a su forma original.

Histresis Elstica

Ley de Hooke

Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente bajos niveles, el esfuerzo y la deformacin son proporcionales

La constante E es conocida como el Mdulo de Elasticidad, o Mdulo de Young. Es una medida de la rigidez de un material.

Es medida en MPa y puede valer de ~4.5 x 104 a 4 x 107 Mpa

Si la deformacin es elstica, la relacin esfuerzo-deformacin es llamadaLey de Hooke

= E

= Esfuerzo Sus unidades son [N/m2] [Pa]E = Mdulo de Young o de Rigidez o de Elasticidad Sus unidades son [N/m2] [Pa] = Deformacin Es adimensional [m/m]

Rigidez.- Medida cualitativa de la deformacin elstica producida en un material. Un material rgido tiene un valor de mdulo de elasticidad alto.

Comprimir y Tensionar

Las dos formas simples de deformar un cuerpo es la compresin y la tensin. Cada vez que nos ponemos de pie todo nuestro esqueleto es comprimido por efecto de nuestro propio peso. En forma similar si nos colgamos de una barra, son nuestros huesos y las articulaciones que los unen las que son tensionadas.Si calculamos una fuerza tendremos que la ley de Hook implica que la fuerza ser igual a

en donde dx es la elongacin. La ecuacin no solo depende de la elongacin, depende de la proporcin entre elongacin y largo del cuerpo L. Eso significa que tendremos la misma fuerza (para igual modulo de elasticidad E y seccin A) si mantenemos constante la proporcin de elongacin y largo. La deformacin en que el material tiene un comportamiento elstico depende del material. En el caso de hueso es del orden de 0.008 o sea un 0.8%.

Esfuerzo Cortante ()

El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos donde se aplican fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el smbolo .

La frmula de clculo y las unidades permanecen iguales como en el caso de esfuerzo de tensin.

Se diferencia del esfuerzo de tensin slo en la direccin de la fuerza aplicada (paralela para cortante y perpendicular para tensin).

Esfuerzo Cortante y Deformacin

Deformacin de Corte o Cizalle () es definida como la tangente del ngulo y, en esencia, determina qu extensin del plano fue desplazado.

Esfuerzo Cortante y Deformacin

El Esfuerzo Cortante y la Deformacin se relacionan de manera similar, pero con una constante de proporcionalidad diferente.

La constante G es conocida como el Mdulo de Corte y relaciona el Esfuerzo Cortante con la deformacin en la regin elstica.

Coeficiente de Poisson ()

Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea una deformacin acompaante en la misma direccin.

Como resultado de esta elongacin, habr constricciones en las otras dos direcciones.

El Coeficiente de Poisson () es la relacin entre las deformaciones lateral y axial.

Algunos ConceptosDuctilidad: Es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse. Es una caracterstica muy importante en el diseo, puesto que un material dctil es usualmente muy resistente a cargas por impacto. Tiene adems la ventaja de avisar cuando va a ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran deformacin.Materiales Dctiles: Todo material que pueda estar sometido a deformaciones unitarias grandes antes de su rotura. Tiene cuatro comportamientos distintos al ser cargado. Ellos son el comportamiento elstico, la fluencia o cedencia, el endurecimiento por deformacin y la estriccin.

Algunos ConceptosElasticidad: Es la habilidad que tiene un material que ha sido deformado de alguna manera para regresar a su estado y tamao original, cuando cesa la accin que ha producido la deformacin. Cuando el material se deforma permanentemente, de tal manera que no pueda regresar a su estado original, se dice que ha pasado su lmite elstico.3. Fragilidad: Es lo opuesto de ductilidad. Un material frgil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura an en cargas esttica sin previo aviso. Tanto la fragilidad como la ductilidad de un material son mediadas arbitrarias, pero puede decirse que un material con un alargamiento mayor de 5% es dctil y menor de 5% es frgil. Materiales Frgiles: Exhiben poca o ninguna fluencia antes de su rotura y se fracturan repentinamente.4. Plasticidad: Es la habilidad de un material para adoptar nuevas formas bajo la presin y retener esa nueva forma.

Concepto de Fatiga seaUn hueso se fractura cuando la carga aplicada excede a su resistencia.Tambin se puede fracturar con cargas menores pero REPETIDAS.A esta fractura se le conoce como Fractura por fatiga.El hueso se fatiga rpidamente cuando la carga cuando la carga se acerca al punto de rotura.Es muy importante la frecuencia de la aplicacin de las fuerzas.