EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS. DIBUJO TÉCNICO II

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

POLÍGONOS.EQUIVALENCIAS

1

34

5 2

b

aa

/2

a/2

M A

L4

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

DOS POLÍGONOS SON EQUIVALENTES CUANDO

MANTIENEN LA MISMA ÁREA

A base

altu

ra (

h)

C

B

El área de un cuadrilátero es base x altura


TRIÁNGULOS EQUIVALENTES ENTRE SÍ


h

Todos los triángulos que tienen la base común y el tercer vértice sobre una recta paralelaa esa base son equivalentes, ya que tienen la misma base y la misma altura, y por tanto,

la misma área.

TRIÁNGULOS EQUIVALENTES ENTRE SÍ


EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO

A A basebase

altu

ra (

h)

altu

ra (

h)

E D

C

B B

El área de un cuadrilátero es base x altura, mientrasque la del triángulo es base x altura / 2.



A

M

C

B

Si tomamos una de lasbases del triángulo y hallamos la mediatrizde su altura



A

ME D

C

B

Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo



A

E D

C

B




A

ME D

C

B



CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO

A B



b a/2

A B C



b a/2

A CBMEDIATRIZ AC



b a/2

A CBMEDIATRIZ AC

L4


CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

A

F

E

D

C

B


A

F

E

D

C

B



A

E

D

C

B



A

D

C

B



A

C

B



CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1

34

5 2


Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-Amediante las paralelas 5-M y 2-A

a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono

1

34

5 2






1

34

5 2





1

34M A

5 2



Teniendo el triángulo, a partir del mismo se obtiene el cuadrado equivalente:

L = b · a/2

Basta construir la MEDIA PROPORCIONALentre la base (b) y la mitad

de la altura del triángulo (a/2)

1

34

5 2

2

b

aa

/2

M A



Para construir la MEDIA PROPORCIONAL entre la base (b) y la mitadde la altura del triángulo (a/2), 1º: sumamos en un segmento b + a/2

1

34

5 2

b

aa

/2

a/2

M A



2º: Trazamos la semicircunferencia de centro O y diámetro b+a/2

1

34

5 2

b

aa

/2

a/2

M A



2º: Levantamos una perpendicular en A (la unión de b+a/2), que cortaráa la semicircunferencia trazada en el punto B

AB = L4, lado del cuadrado resultante

1

34

5 2

b

aa

/2

a/2

M A

B

L4



3º. Una vez tenemos L4, podemos construir el cuadrado completo

1

34

5 2

b

aa

/2

a/2

M A

L4

B


CUADRATURA DEL CÍRCULO

Este problema no es exacto, porque interviene en el área el número

inconmesurable . Sin embargo, se puede obtener graficamentecon bastante aproximación.

El área del círculo es r y la del cuadrado buscado es L .

Igualando las dos superficies tenemos que r = L , o lo que es

igual: L =r · r.

Por tanto el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos r y r

Construir el cuadrado equivalente al círculo dado

O

2 2

2

22

1er PROCEDIMIENTO



Primero, calculamos r, que es la rectificación de lasemicircunferencia (suma de PR y PQ)


O

P

Rr

Q

r

A N

1er PROCEDIMIENTO



A r le sumamos r para hallar la media proporcional de ambos segmentos. Luego trazamos la semicircunferencia

de diámetro r +r (tenemos que trazar la mediatriz de MNpara calcular el centro).


O

P

R

Q

rr

AM N

r

1er PROCEDIMIENTO



La media proporcional de r y r (calculada en este caso por el teorema de la altura),

es L, lado del cuadrado equivalente a la circunferencia dada.


O

P

R

Q

rr

AM N

rL

1er PROCEDIMIENTO



Teniendo L4, podemos trazar el cuadrado ABCD,solución del problema

1er PROCEDIMIENTO


O

P

RL

Q

rr

A

C D

B M N

r



2º PROCEDIMIENTO


O



2º PROCEDIMIENTO


A

B

Determinamos el diámetro AB y trazamos una perpendicular en B

O



2º PROCEDIMIENTO


O

A

1

B

Dividimos el radio OA en 6 partes iguales



2º PROCEDIMIENTO


O

A

N

A

1

B

Con centro en la división 1 y radio igual al doble del diámetro de la circunferencia,describimos un arco que corta a la perpendicular por B en el punto N

2 AB



2º PROCEDIMIENTO


O

A

C

N

A

1

B

Unimos N y A con una recta que corta a la circunferencia en el punto C

2 AB



2º PROCEDIMIENTO


O

A

C

N

A

1

B

El segmento CB es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado

2 AB

1A B P

HCr 2 3 4 5 6 7

1.Dividimos eldiámetro en 7 partes iguales,

sacamos tres partes hacia afuera(arco A3 = C).

Haciendo centro en la 4ª división,trazamos una semicircunferencia

radio 4C que corta a r en P



Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 3r PROCEDIMIENTO

2. Si trazamos una perpendicular a r en B, al cortar la semicircunferencia

obtenemos el punto D.La distancia BD es el lado del

cuadrado equivalente.

1A B

D

C 2 3 4 5 6 7r P



Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 3r PROCEDIMIENTO

1A B

D E

F

M

C 2 3 4 5 6 7r P

3. Trazamos el cuadradoequivalente DBFE



3r PROCEDIMIENTOConstruir el cuadrado equivalente al círculo dado


Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado

A B

C



A B

C

1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado



h

A D B

C

2. El primer paso es calcularel CUADRADO equivalente

al triángulo dado.Para ello, calcularemos primero

el rectángulo equivalente.Primero, empezamos por

hallar la alturadel triángulo



M

h

A

C

D B

3. Hallamos la mediatriz dela altura



M

h

A

E

C

D

F

B

4. Trazamos el rectángulo equivalente ABFE,

que tendrá de base ABy de altura la mediatriz

de la altura del triángulo



h

GA

C

D

E

F

B

5. Trazamos un arco BF sobre la prolongación de AB

y obtenemos el punto G



h

GA

C

D M

E

F

B

6. Hallamos la mediatriz de AGy trazamos una semicircunferencia cuyo centro sea dicha mediatriz,

y su radio MA o MG



h

GA

C

D M

E

F

H

B

7. Prolongamos el lado BF del rectángulo hasta tocar la

semicircunferencia en el punto H.BH será el lado del cuadrado

que buscamos



GA B

C

D

E

F

H

J

K

8. Trazamos el cuadrado JBHK,equivalente al triángulo dado



GA B

C

D 2

1

E

F

M

L

N

H

J

K

9. Trazamos, coincidiendo con uno de los vértices inferiores del

cuadrado, un rectángulo cualquieraque tenga sus lados en relación 1:2



GA B P

C

D

E

F

H

J

K

M

L

N

10. A continuación, hallamos el cuadrado equivalente a dicho rectángulo.Para ello, empezamos por abatir

el lado BM sobre la prolongaciónde LB. Así obtenemos el punto P



GA B

C

D O

E

F

H

J

K

M

L

N

P

11. Hallamos la mediatriz de LP y trazamos una semicircunferencia con centro en O

y radio OL o OP



GA B

C

D

E

F

H

J

K

M

Q

R

S

L

N

PO

12. Trazamos el cuadrado RBQS, equivalente

al rectángulo LBMN

T



GA B

C

D

E

F

H

J

K

M

Q

R

S

L

N T

U

PO

13. Ahora, mediante una semejanza, vamosa determinar un rectángulo semejante a LBMN

que será la solución.Empezamos por trazar la recta BT (T es la

intersección del cuadrado con el rectángulo)que cortará al cuadrado JBHK en el punto U


GA B

C

D

E

F

H

J

K

M

Q

R

S

L

N

PO

T

U

14. Trazamos una paralela a la recta ABpor el punto U, que cortará al lado BH

del cuadrado en el punto V

V




GA B

C

D

E

F

H

J

K

M

Q

R

S

L

N

PO

T

UX

15. Trazamos la recta BN que cortará a la recta anteriormente trazada en el punto X

V



GA B

C

D

E

F

H

J

K

M

Q

R

S

L

N

PO

T

U

16. Teniendo los puntos BVX, tres vértices delrectángulo, ya podemos completar el

rectángulo buscado BVXY

X

Y

V


Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

BAG H

F

E D

C

1. Se dibuja un triángulo GHE equivalenteal hexágono ABCDEF dado. Para ello,

primero bajamos el punto F en perpendiculara la prolongación del lado AB, y obtenemos

el punto G.. Trazamos un arco de centro B y radio BG,

con el que obtenemos el punto H



BAG H

F

E V D

C

2. BH será la base del triángulo. El vértice V lo podemos colocar en cualquier

punto de la recta que pasa por E y D



BAG H

F

E D

C

3. Se dibuja un triángulo GHV equivalenteal hexágono ABCDEF dado

V



BAG H

F

E D

Ch

M

4. Hallamos la mitad de la altura del triángulotrazado con anterioridad

V



BAG H

IF

E D

Ch

M

5. Si trazamos un rectángulo de igual base queel triángulo anterior y altura la media altura del

triángulo, obtendremos un rectángulo equivalenteal triángulo, y por tanto, equivalente al hexágono

ABCDEF

V



BAG H J

F

E D

Ch

M

I

6. Ahora comenzamos a trazar el cuadrado equivalente al rectángulo, que será la

solución del problema.Primero abatimos el lado menor del rectángulo

sobre la prolongación de la base GH, y obtenemos el punto J

V



BAG H J

F

E D

Ch

M

M

I

7. Ahora trazamos la mediatriz de GJ para hallar el centro de la semicircunferencia

que nos permitirá sacar la media proporcional entre GH y HJ

V



MBAG H J

F

E D

Ch

M

I

8. Trazamos la semicircunferenciade centro M y radio MG o MJ

V



MBAG H J

F

E D

Ch

M

I

K

9. Levantamos el segmento HK, que esla media proporcional entre GH y HJy a su vez, el lado del cuadrado que

buscamos

V



MBAG H

KL

N J

F

E D

Ch

M

I

10. Dibujamos el cuadrado HKLN,solución del problema

V


Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

1A B P

HCr 2 3 4 5 6 7

1. Comenzamos a calcular elcuadrado equivalente a la

circunferencia.Para ello dividimos el

diámetro en 7 partes iguales,sacamos tres partes hacia afuera

(arco A3 = C).Haciendo centro en la 4ª división,trazamos una semicircunferencia

radio 4C que corta a r en P



1A B

D

C 2 3 4 5 6 7

2. Si trazamos una perpendicular a r en B, al cortar la semicircunferencia

obtenemos el punto D.La distancia BD es el lado del

cuadrado equivalente.

r P



1A B

D E

F

M

C 2 3 4 5 6 7r P

3. Trazamos el cuadradoequivalente DBFE



1A B

D E

HGF

M

C 2 3 4 5 6 7r P

4. Para transformar el cuadrado entriángulo, hallamos la mitad del

lado del cuadrado y trazamos unasemicircunferencia con centro en la

mediatriz M y radio MD. Así obtenemoslos puntos G y H



1A B

D E

HGF

M

C 2 3 4 5 6 7

I

r P

5. Trazamos el arco FG, que corta al cuadrado en el punto I



1A B

D E

I

HG

J

F

M

C 2 3 4 5 6 7r P

6. Trazamos el arco IF, y obtenemos elpunto J en la prolongación del

lado FE



1A B

D E

I

HG

J

F

M

C 2 3 4 5 6 7r P

7. Trazamos por el punto J una paralela a r



1A B

D

K

E

I

HG

J

F

M

C 2 3 4 5 6 7r P

8. Cualquier triángulo que hagamos con base HF y altura FJ será equivalente

a la circunferencia dada


Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.

L 30

L 25



L 30

L 25

L 20



L 30

L 25

L 15

L 20



L 30

L 25

L 15L 46,6

L 20


A B

C

Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm

R 2

0 m

m

R 15 mm

POLÍGONOS. EQUIVALENCIASPOLÍGONOS. EQUIVALENCIAS


R 15 mm

A B

C

M



R 15 mm

R 10

A B

C

D

M



A

M

B

C

D

M


A

B

O

R 25 mm

Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm

1er PROCEDIMIENTO



A

B

C

O

1er PROCEDIMIENTO



A

B

C D

O

1er PROCEDIMIENTO



A

B

C M D E

O

1er PROCEDIMIENTO



A

B

C M D

F

E

O

O´

1er PROCEDIMIENTO



A B

B

O

2º PROCEDIMIENTO


Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado

A

B


Si igualamos las áreas delrectángulo que se buscay del cuadrado de lado

45 mm resulta:

De ahí deducimos que ellado desconocido del

rectángulo, el lado x, estercera proporcional entrelos segmentos AB y 45mm

AB · x = 45

AB 45

45x

=A

B

45 m

m4

5 m

m

2x



Teniendo la medida del ladomayor del rectángulo, ya

lo podemos trazar

A

B

45 m

m4

5 m

m

x

x



CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

Tenemos que igualar las áreas de las dos figuras

r = ab, por tanto r = a·b.

A

C

D

BO

2 2



Hay que hallar la media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse para obtener el radio r del círculo equivalente.

A

C

D

BO

ab



Para ello, podemos abatir b sobre el eje mayor 2a, haciendocentro en O. Así obtenemos el punto N

A

C

D

BO

ab

b

N



Trazamos la circunferencia de radio NB(Consultar tercer procedimiento para hacer la media proporcional)

A

C

D

BO

ab

b

N O1



Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1.La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente

al óvalo dado

A

C

D

BO

ab

br

N O1



Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1.La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente

a la elipse dada

A

C

D

BO

ab

br

N O1

EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS. DIBUJO TÉCNICO II

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