exp 1.3 propiedades de los numeros reales.pdf

Propiedades de las operaciones basicas

Propiedades de los Numeros Reales

ITESCAM

ITESCAM Propiedades de los Numeros Reales


Propiedades del las operaciones basicas

Listamos las propiedades fundamentales de los numeros reales:

Para todo a, b, c ∈ R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c ; a(bc) = (ab)c . (Propiedad Asociativa)

a + 0 = 0 + a = a; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a (existencia del neutro)

a + 0 = a; a ∗ 1 = a. (Existencia del neutro)



Propiedades del orden

Existen propiedades mas fundamentales con respecto a la definicionelemental del sımbolo ”>”, el cual ademas, puede ser interpretado dedistintas maneras:

Definicion

Diremos que a es mayor a b y lo simbolizamos por a > b si y solo sia− b es positivo. Diremos que b es menor que a y lo escribimos b < a sise cumple que a > b.




Tricotomıa. Dados a y b ∈ R se cumple exactamente una de lassiguientes afirmaciones:

a = b.

a > b.

a < b.




Tricotomıa. Dada a ∈ R se cumple una y solo una de las siguientesafirmaciones:

a = 0.

a > 0.

−a > 0.




Transitividad. Dados a, b, c ∈ R si

a > b

yb > c

entoncesa > c




Transitividad. Dados a, b, c ∈ R si

a < b

yb < c

entoncesa < c



Propiedades del Orden

Densidad Dados a, b ∈ R si a > b entonces existen un elemento x ∈ Rtal que a > x y x > b.




La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definicion deNUMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tenernumeros “suficientes” para explicar el mundo real.




Axioma del supremo Sea A ⊂ R tal que existe k ∈ R con la propiedadde que

k > a para toda a ∈ R.Entonces existe un elemento s ∈ R tal que cumple la propiedad anterior yademas si k ′ es otro numero que cumple la propiedad entonces s < k ′.



Si A ⊂ R tal que ∃k ∈ R con k > a∀a ∈ R entonces ∃s ∈ R tal que:

s > a ∀a ∈ RSi k > a ∀a ∈ R⇒ k > s.



Definicion

Dado A ⊂ R decimos que k ∈ R es una cota superior de A si cumple quek > a para toda a ∈ A.



Definicion

Dado A ⊂ R decimos que s ∈ R es un supremo del conjunto A si s es lamınima cota superior de A.



Axioma del supremo Dado A ⊂ R si A tiene al menos una cota superiorentonces el supremos de A existe.



Otras Propiedades

Existen mas propiedades que se pueden deducir facilmente con ayuda dela definicion y de las propiedades dadas hasta ahora:

Si a > b entonces a + z > b + z para toda z ∈ RSi a > b y z > 0 entonces az > bz .

Si a > b, entonces −a < −b.



En las siguientes parejas de reales suponga que a > b, determine elorden:

1 za, zb si z < 0

2 1a ,

1b

3 a, −b

4 −a, b

5 a, a+b2

6 b, a+b2



Si a > b > 0, entonces la(s) afirmacion(es) verdadera(s) es (son):

ab > b

a2 + b2 > 2ab

a− b < b

a + b > aab + b

a > 2

a2 − b2 > 0

(a + b)(a2 − ab + b2) > 0


exp 1.3 propiedades de los numeros reales.pdf

Documents

Transcript of exp 1.3 propiedades de los numeros reales.pdf