Expansiones de ángulos múltiples

7/30/2019 Expansiones de ngulos mltiples

1/22

Desarrollo de expansiones de Angulos Mltiples

Daniela Pulla Vsquez . [email protected]

January 15, 2013

Abstract

Este trabajo se realiza con la finalidad del desarrollo de expansiones

de angulos mltiples donde podremos observar diferentes igualdades mas

que todo que tipo corresponde en cada ejercicio.

Cada uno de los ejercicios esta resuelto en tres demostraciones que

son. Demostracin analtica,demostracin nmrica y demostracin gr-

fica, este tipo de trabajo es muy til por que en este tipo de ejercicios

recordamos todo lo aprendido en aos anteriores y nos servira para un

mejor entendimiento ya que cada ejercicio tiene un caso diferente y mas

que todo este trabajo nos hara entender muchisimo mejor como resolverlas

paso por paso.

1 Objetivo.

-Demostrar las expansiones de ngulos multiples.-Recordar cada una de las identidades dadas.

- Sacar los resultados correctamente con cada demostracin.

2 Desarrollo.

1 Ejercicio:

Cos2A =

1

2+1

2Cos2A (1)

1.1Demostracin analtica

Cos(A + A) = cosAcosA sinAsinA (2)

Cos(A + A) = cos2A sin2A (3)

1


2/22

Cos(A + A) = cos2A (1 cos2A) (4)

Cos(A + A) = cos2A 1 + cos2A (5)

Cos(2A) = 2cos2A 1 (6)

1 + Cos(2A) = 2cos2A (7)

2cos2A = 1 + cos(2A) (8)

cos2A =1 + cos(2A)

2

(9)

cos2A =1

2+

1

2cos2A (10)

1.2Demostracin grfica

Graficafuncion : y = cos2A (11)

Graficafuncion : y =1

2+

1

2cos2A (12)

2


3/22

1.3Demostracin numrica

A =

6(13)

cos2(

6) =

1

2+ cos

cos

6

2

(14)

3

4=

1

2+

1

4

(15)

3

4+

3

4(16)

2 Ejercicio:

sin2A =

1

2

1

2cos2A (17)

2.1 Demostracin analtica

cos(2A) = cos2A sin2A (18)

3


4/22

cos(2A) = 1 sin2 sin2 (19)2sin2 = 1 cos2A (20)

sin2A =1

2

1

2sin(2A) (21)

2.2Demostracin grfica

Graficafuncion : y = sin2A (22)

Graficafuncion : y =1

2

1

2sin2A (23)

4


5/22

2.3Demostracin numrica

A =

3(24)

sin2

3=

1

2

1

2sin

2

3

(25)

34

= 34

(26)

3 Ejercicio:

cos3A =

3

4cosA+

1

4cos3A (27)

3.1Demostracin analtica

cos (3A) = cos (A + 2A) (28)

cos (3A) = cos (A) cos (2A) sin (A) sin (2A) (29)

cos (3A) = 2cos3A cosA 2sin2AcosA (30)

5


6/22

cos (3A) = 2cos3A cosA 2 1 cos2A cosA (31)cos (3A) = 2cos3A cosA 2

cosA cos3A

(32)

cos (3A) = 2cos3A cosA 2cosA 2cos3A (33)

cos (3A) = 3cosA + 4cos3A (34)

4cos3A = 3cosA + cos(3A) (35)

cos3A =3

4

cosA +1

4

cos (3A) (36)

3.2 Demostracin grfica

Graficafuncion : y = cos3A (37)

Gr`aficafunci

`on

:y

=

3

4cosA

+

1

4cos

(3A

) (38)

6


7/22

3.3 Demostracin Numrcica

A =

2(39)

cos2

2

=

3

4cos

2

+

1

4cos

3

2

(40)

0 = 34

(0) + 14

(0) (41)

0 = 0 (42)

4 Ejercicio:

sin3A =

3

4sinA

1

4sin3A (43)

4.1 Demostracin analticasin (3A) = sin (A + 2A) (44)

sin (3A) = sin (A) cos (2A) + cos (A) sin (2A) (45)

7


8/22

sin (3A) = sin (A) 1 + sin2A + cos (A) 2sinAcosA (46)sin (3A) = sinA 2sin3A + 2sinA

1 sin2A

(47)

sin (3A) = sinA 2sin3A + 2sinA 2sin3A (48)

. . .sin (3A) = 3sinA 4sin3A (49)

4sin3A = 3sinA sin (3A) (50)

sin3A =3

4

sinAsin (3A)

4

(51)


Graficadelafuncion : y = sin3A (52)

Grafcadelafunsion : y =

3

4sinA

1

4sin (3A) (53)

8


9/22

4.3 Demostracion numrica

A =

6(54)

sin3

2

=

3

4sin

2

1

4sin

3

2

(55)

1 = 34

+ 14

(56)

1 = 1 (57)

5 Ejercicio:

cos4A =

3

8+1

2cos2A+

1

8cos4A (58)

5.1 Demostracin analticacos (4A) = (2A + 2A) (59)

cos (2A + 2A) = cos (2A) cos (2A) sin (2A) sin (2A) (60)

9


10/22

cos (2A + 2A) =

2cos2

A 1cos (2A) (2sinAcosA) (2sinAcosA) (61)

cos (2A + 2A) = 2cos2Acos (2A) cos (2A)

4sin2AcosA2

(62)

cos (2A + 2A) = 2cos2A

2cos2A 1 cos (2A) 4sin2Acos2A (63)

cos (2A + 2A) = 4cos4A 2cos2A cos (2A) 4

1 cos2Acos2A (64)

cos (2A + 2A) = 4cos4A 2cos2A cos (2A)

4 4cos2Acos2A (65)

cos (2A + 2A) = 4cos4A 2cos2A cos (2A) 4cos2A + 4cos4A (66)

cos (2A + 2A) = 8cos4A 6cos2A cos (2A) (67)

cos (2A + 2A) = 8cos4A 6

1

2+

1

2cos2A

cos (2A) (68)

cos (2A + 2A) = 8cos4

A6

2

6

2cos2A cos2A (69)

cos (2A + 2A) = 8cos4A 3 3cos2A cos2A (70)

cos (4A) = 8cos4A 4cos2A 3 (71)

8cos4A = 4cos2A 3 cos (4A) (72)

cos4A =1

2cos2A +

3

8+

cos (4A)

8= (73)

cos4 (A) = 38 + 12cos2A + 18cos4A (74)

10


11/22


Graficadelafuncion : y = cos4

(A) (75)

Graficadelafuncion : y =3

8+

1

2cos2A +

1

8cos4A (76)

11


12/22

5.3 Demostracin numrica

A = (77)

cos4 () =1

2cos (2) +

2

8+

cos (4)

8(78)

1 =1

2+

3

8+

1

8(79)

1 = 1 (80)

6 Ejercicio:

sin4A =

3

8

1

2cos2A+

1

8cos4A (81)

6.1Demostracin Analtica

cos4A = cos (2A + 2A) (82)

cos4A = cos2Acos2A sin2Asin2A (83)

cos4A = cos2A sin2A cos2A sin2A (2sinAcosA) (2sinAcosA) (84)cos4A =

1 sin2A sin2A

4sin2A

sin2A

(85)

cos4A =

1 sin2A sin2A

4sin2A sin4A

(86)

cos4A = 1 sin2A 4sin4A sin4A (87)

cos4A = 1 + cos2A

4sin4A sin4A (88)

8sin4A = 1 cos2A + cos4A + 2 (89)

8sin4A = 3 cos2A + cos4A (90)

sin4A =3

8

1

2cos2A +

1

8cos4A (91)

12


13/22


Graficadelafuncio : y = sin4

(A) (92)


8

1

2cos2A +

1

8cos4A (93)

13


14/22

6.3 Demostrcin numrica

A = 1 (94)

sin4A (1) =3

8

1

2cos2 (1) +

1

8cos4 (1) (95)

0 = 0 (96)

7 Ejercicio:

cos5A =

5

8cosA+

5

16cos3A+

1

16cos5A (97)

7.1 Demastracin Analtica

cos5A = cos (2A + 3A) (98)

cos5A = cos2Acos3A sinAsin3A (99)

cos5A = 4cos3A 3cosAcos2A sin2A 3sinA 4sin3A2sinAcosA (100)

cos5A = 4cos3A3cosAcos2A1 cos2A6sin2AcosA8sin4AcosA (101)

cos5A = 4cos3A3cosAcos2A1+cos2A6

1 cos2AcosA8

1 cos2A

1 cos2A

cosA

(102)

cos5A = 16cos5A + 12cos3A + 9cosA (103)

16cos5A = 123A + 9cosA cos5A (104)

cos5A =5

8cosA +

5

16cos3A +

1

16cos5A (105)

14


15/22



(A) (106)


8cosA +

5

16cos3A +

1

16cos5A (107)

15


16/22

7.3 Demostracin analtica

A = 0 (108)

cos5 (0) =5

8cos (0) +

5

16cos3 (0) +

1

16cos5(0) (109)

1 = 1 (110)

8 Ejercicio:

sin5A =

5

8

sinA5

16

sin3A+1

16

sin5A (111)

8.1 Demostracin Analica

sin5A = sin(2A + 2A) (112)

sin5A = sin2Acos3A + sin2Acos3A (113)

sin5A = 3sinA 4sin2Acos2A sin2A + 2sinACosA

4cos3A5cosA

(114)

sin5A = 3sinA4sin2A+4sin4Asin2A+2sin4A

1 sin2A

1 sin2A2sinA3cos2A

(115)

sin5A = 5sinA 5sin2A + 4sin4A 2sin3A + 8sin5A (116)

8sin5A = 5sinA 5sin2A + 4sin4A 2sin3A + sin5A (117)


Graficadelafuncion : y = sin5A (118)

16


17/22


8sinA

5

16sin3A +

1

16sin5A (119)

8.3 Demastracin numrica

A = 0 (120)

17


18/22

sin5 (0) =5

8sin (0) +

5

16sin3 (0) +

1

16sin5(0) (121)

0 = 0 (122)

9 Ejercicio:

cos6A =

5

16+15

32cos2A+

3

16cos

4A+

1

32cos6A (123)

9.1 Demastracin Analticacos6A = cos(3A + 3A) (124)


cos6A = (4cos3A 3cosA) (4cos3A 3cosA)(3sinA 4sin3A) (3sinA 4sin3A)(126)

cos6A = 16cos6A 12cos4A 12cos4A + 9cos2A 9

1 cos2A

(127)

+12

1 cos2A

1 cos2A 12

1 cos2A

1 cos2A

(128)

cos6A = 32cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19 (129)

32cos6A = cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19 (130)

cos6A =cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19

32(131)

cos6A = 516 + 1532cos2A + 316cos4A 132cos6A (132)

18


19/22

9.2 Demastracin grfica


(A) (133)


16+

15

32cos2A +

3

16cos4A +

1

32cos6A (134)

19


20/22


A = 0 (135)

cos6 (0) =5

16+

15

32cos2 (0) +

3

16cos4(0)

1

32cos6(0) (136)

1 = 1 (137)

10 Ejercicio

sin

6

A =

5

16

15

32cos2A+

3

16cos4A

1

32cos6A (138)

10.1 Demastracin Analtica

cos6A = cos (3A + 3A) (139)


cos6A =

4cos3A 3cosA

4cos3A 3cosA

3sinA4sin3A

3sinA 4sin3A

(141)

cos6A = 16cos6A12cos4A12cos4A9cos2A9

1 cos2A

+12

1 cos2A

(142)

1 cos2A

1 cos2A

+ 16

1 cos2A

1 cos2A

1 cos2A

(143)

cos6A = 32cosA + 24cos4A 30cos2A + 19 (144)

30cos6A = cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19 (145)

sin6A = 516

1532

cos2A + 316

cos4A 132

cos6A (146)

20


21/22

10.2 Demastracin grfica

Graficadelafuncion : y = sin6

A (147)


16

15

32cos2A +

3

16cos4A

1

32cos6A (148)

21


22/22


A = 0 (149)

sin6 (0) =5

16

15

32cos2 (0) +

3

16cos4(0)

1

32cos6(0) (150)

0 = 0 (151)

3 Conclusin:

-Utilizar correctamente las diferentes igualdades trigonomtricas y sus aplica-ciones en cada una de ellas.

-Con este tipo de ejercicios utilizamos correctamente las tres formas men-

cionadas para comprobar si es una igualdad, y sacasr correctamete su resultado.-Aprendimos mejor el manejo correcto de el programa LYX y la utilizacionde cada una de sus opciones que nos presenta

-En este tipo de ejercicios utilizamos mucho del programa Derive para saberque tipo de grafica tenia cada una de las expnasiones del ngulo y para saber siesta correctamente realizada la operacion.

-Implica muchisima la demostracin de cada una por que asi nos damoscuenta si el ejercicio que realizamos esta bien echo y necesitamos de muchisimaconcentracion.

-Expansion exercises double angles must apply the three types of demonstra-tion to understand them so much better, and also know how to use the programto branch to know their results show. In these exercises we will remembereverything seen in years Previous. and need a lot of patience.

22

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