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FACULTAD DE INGENIERIA - U.B.A.

Departamento de Electronica

66.74 Senales y Sistemas

Proyecto Especial

Fenomenos Acusticos: Reverberacion

3 de noviembre de 2008

Resumen

Este trabajo tiene como objetivo que el alumno integre y aplique los conocimientos adquiridosa un problema real. Como objetivo secundario, se pretende que el alumno adquiera nocionessobre un tema particular y puntual dentro del procesamiento de senales, con el objetivo delograr una aplicacion de las herramientas y conceptos aprendidos durante la cursada.

Requisitos para la aprobacion

Este trabajo practico sera evaluado exclusivamente en las fechas indicadas en el calendario y enel turno en el cual el alumno se halle inscripto. Se dispondra de dos fechas de evaluacion de las cualesel alumno debera optar por una de ellas. Bajo ningun concepto se podra rendir en ambas fechas.Es aconsejable rendir en la primera fecha y dejar la segunda solo para eventuales imponderables(problemas personales, fallas tecnicas en la impresion del tp, etc) ya que no habra posibilidad algunade rendir fuera de las mismas. La evaluacion del tp es individual y se hara en forma oral o escritapor los docentes auxiliares. Puede incluir preguntas sobre:

Items particulares sobre los ejercicios de esta guıa y su implementacion en Matlab.

Conceptos teoricos necesarios para realizar los ejercicios.

Puede requerirse tambien al alumno que implemente alguno de los ejercicios o similares en lacomputadora en el momento de la evaluacion. Por lo tanto el alumno debe presentarse el dıa de laevaluacion con:

Esta guıa.

Las soluciones a los problemas planteados: Cuando el problema requiera una implementacion, lamisma debe estar adecuadamente descripta y debidamente justificada. Es decir,si es necesariojustificacion teorica, esta debe estar desarrollada. Si se pide una implementacion practica lamisma debe estar adecuadamente documentada de modo que el docente pueda constatar que lasespecificaciones requeridas se cumplen. Esto incluye la presentacion del programa de MATLAButilizado, y los graficos necesarios para mostrar los resultados obtenidos. Los programas deMATLAB deben incluirse en la presentacion impresos y en version electronica. Todos los graficosdeberan tener tıtulo, comentarios en ambos ejes sobre la unidad a representar y el eje de abscisasdebe estar en unidades de tiempo o frecuencia segun corresponda.

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Nota del trabajo practico especial:

Las notas del tp especial solo podran tener los siguientes valores:

0: Tp no entregado, con errores conceptuales o errores en la evaluacion que evidencien la norealizacion personal del trabajo practico. Equivale a la no aprobacion de la cursada.

40: Tp en el que el alumno cumple con los mınimos requisitos de aprobacion.

70: Tp en el que el alumno realiza y demuestra conocimiento de todos los puntos solicitados.

100: Tp en el que el alumno demuestra una clara conceptualizacion del trabajo realizado yexcede las pautas solicitadas.

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Indice

I Introduccion al fenomeno Fısico 5

1. Consideraciones fısicas y acusticas 51.1. Tiempo de reverberacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Consideraciones concernientes a la transformacion del sonido 72.1. Respuesta impulsiva de un recinto reverberante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Principales caracterısticas de la respuesta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Primer sonido reflejado (Pre-delay) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2. Separacion temporal entre las reflexiones tempranas . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3. Densidad de ecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.4. Densidad de modos de vibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.5. Absorcion de las superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Generacion del efecto reverberante 9

3. Generacion de la reverberacion mediante filtros IIR 93.1. Filtros Peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Redes de Filtros Peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Representacion de los coeficientes de absorcion de las superficies en el modelo . . . . . 12

III Apendice 14

4. Temas de Extension 14

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66.74 Senales y Sistemas Fenomenos Acusticos: Reverberacion

Parte I

Introduccion al fenomeno Fısico

1. Consideraciones fısicas y acusticas

La reverberacion es un fenomeno acustico natural que se produce en recintos mas o menos cerradospor el cual la senal original se modifica por el agregado de diferentes senales reflejadas en las paredesdel recinto. Dichas reflexiones se producen con un retardo o “delay” causado basicamente por ladistancia fısica entre la fuente de sonido original y las paredes del recinto. Este fenomeno de reflexionde la senal original y su retorno tambien es el responsable del efecto de eco de una senal. En el caso deun eco percibimos la senal y sus reflexiones separadamente, mientras que en el caso de la reverberacionel efecto resultante se percibe como una modificacion de la senal original. La diferencia entre eco yreverberacion se basa en una cuestion de percepcion auditiva. Nuestro oıdo posee una caracterısticadenominada persistencia acustica por la cual es incapaz de distinguir un sonido de sus reflexionessiempre y cuando la diferencia de tiempo entre ambas sea menor a 1/15 de segundo. En este casonuestro oıdo es incapaz de integrar las distintas reflexiones de la senal como “ecos” consecutivos ylos asocia a la fuente original reforzandola. Esto se traduce en que nuestro oıdo no diferencia entreel sonido puro y su reverberacion, sino que lo percibe como un “todo”, un mismo sonido que ademaspresenta unas caracterısticas diferentes del sonido original. Esta propiedad es deseable en auditorios,ya que ayuda a subsanar el problema que presenta la atenuacion de la intensidad del sonido a medidaque se aleja de la fuente sonora:

Figura 1: La intensidad sonora disminuye con el cuadrado de la distancia

I2I1

=d2

d1

El efecto de reverberacion es deseable ademas en este tipo de recintos porque produce una sen-sacion de calidez del sonido, y de amplitud del recinto. Sin embargo, si la reverberacion es excesivahace que el sonido pierda claridad y se vuelva confuso (como suele suceder en recintos amplios notratados acusticamente como terminales de transporte publico o aeropuertos).

Las variables fısicas que gobiernan el tipo de reverberacion producida por un recinto son muyvariadas. Aparte de las variaciones atmosfericas (temperatura, humedad, viento, etc.) que afectan a lavelocidad de propagacion del sonido y por tanto influyen tambien en el fenomeno de la reverberacion,existen una serie de caracterısticas arquitectonicas basicas que definen en gran medida el tipo dereverberacion que se produce, como por ejemplo las dimensiones y la planta de la sala o los materialesque revisten las paredes.

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1.1. Tiempo de reverberacion

Para cuantificar las caracterısticas de la reverberacion, el parametro mas utilizado es el tiempode reverberacion. En un auditorio el sonido reverberado disminuye hasta desaparecer debido a que suenergıa es absorbida por las multiples interacciones con las superficies de la habitacion. Si esta es muyreflexiva, le tomara mas tiempo al sonido desaparecer y se dice que es una “habitacion viva”; si porel contrario es muy absorbente, el sonido decaera rapidamente y la habitacion sera “acusticamentemuerta”.

El tiempo de reverberacion se define como el tiempo para el cual la energıa del sonido reverberadocae 60dB por debajo de su nivel original, y se representa como RT60. El motivo por el cual se utilizaesta definicion es simple: se calcula que el maximo nivel sonoro producido por una orquesta es de100dB y que el sonido “de fondo” en un buen auditorio es de alrededor de 40dB; por lo tanto elsonido producido sera indistinguible luego de que su nivel caiga en 60dB.

Figura 2: Valores del tiempo de reverberacion

El tiempo de reverberacion es una caracterıstica de cada sala y depende de numerosos parametrosfısicos. Una ecuacion que modeliza dicha interaccion es conocida como formula de Sabine, [1]:

RT60 =0,161V

Se +mV

donde V es el volumen de la habitacion en m3; m es el coeficiente de absorcion del aire y Se es elarea efectiva de absorcion, la cual se calcula como una combinacion lineal de las areas efectivas deabsorcion de cada pared:

Se = α1S1 + α2S2 + . . .

De este modo queda en evidencia la relacion que hay entre este tiempo y las caracterısticas acusticasdel recinto. Este parametro por lo tanto puede ser modificado cambiando las propiedades fısicas delrecinto, basicamente los revestimientos de las paredes si el recinto ya esta disenado, o su forma yvolumen efectivo si se esta por construir.

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2. Consideraciones concernientes a la transformacion del so-

nido

Cuando estudiamos la reverberacion, el enfoque concerniente al procesamiento de senales consisteen considerar a la senal sonora como una entrada a un sistema, que es el recinto con sus propiedadesacusticas, sobre la que se realiza una transformacion convirtiendola en otra senal, que es la querealmente escuchamos. Por lo tanto podemos asimilar el efecto de reverberacion al de un sistema quetranforma la senal sonora. En este enfoque entonces, un primer objeto de estudio sera la determinacionde su respuesta impulsiva. Es decir, si en un recinto se genera un sonido de tipo impulsivo, el sonidoque resulta y puede escucharse correspondera a la respuesta al impulso del recinto.

2.1. Respuesta impulsiva de un recinto reverberante

La respuesta de un auditorio a un impulso sonoro puede dividirse en tres partes bien diferenciadas:el sonido directo, las reflexiones tempranas y la reverberacion tardıa; las caracterısticas principalesde cada parte son:

Pre-delay tc

0t

Figura 3: Respuesta impulsiva de un recinto reverberante

Los intervalos de tiempo entre las primeras reflexiones se van achicando en forma directamenteproporcional al cuadrado del tiempo.

A partir de un determinado tiempo crıtico tc, estas reflexiones son tan cercanas que no puededistinguirse entre una y otra (reverberacion tardıa).

La respuesta cae aproximadamente en forma exponencial.

2.2. Principales caracterısticas de la respuesta impulsiva

La descripcion cualitativa anterior de la respuesta impulsiva de un recinto reverberante debecuantificarse, y de los valores que tomen sus parametros dependeran valores acusticos importantes

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como el tiempo de reverberacion RT60, y el tipo de reverberacion del recinto en general. Estosparametros son:

2.2.1. Primer sonido reflejado (Pre-delay)

Es el tiempo que transcurre entre la llegada del sonido directo y la primer reflexion. Da la sensacionde presencia o intimidad, ademas de cambiar la percepcion sobre el tamano de la habitacion. Paraobtener buenos resultados debera encontrarse entre 30 y 50mseg (lo cual corresponde a distanciasentre 10m y 17m para vsonido = 345m/seg). Tiempos mas grandes daran sensacion de aislamiento.

2.2.2. Separacion temporal entre las reflexiones tempranas

A mayor separacion entre estas se obtendra la sensacion de tener una sala “mas grande”. El patronparticular dependera de la habitacion bajo estudio, pero puede obtenerse un modelo estadıstico parapredecir a partir de que instante las reflexiones comienzan a solaparse para dar lugar a la reverberaciontardıa, que se denomina tiempo crıtico, tc. Este parametro no es solo una funcion del recinto acustico,sino que debe notarse que el tiempo crıtico tambien dependera de la posicion de la persona en elauditorio: como regla, sera siempre mayor para un oyente en el fondo de la sala que para uno en elfrente.

2.2.3. Densidad de ecos

Es la cantidad de ecos escuchados por segundo, y se representa como Dt. La cantidad de ecosdebe incrementarse a lo largo del tiempo en una habitacion con reverberacion.

2.2.4. Densidad de modos de vibracion

Los recintos acusticos tambien tienen una respuesta en frecuencia. Es decir, si generamos unsonido sinusiodal puro de una cierta amplitud, de acuerdo a la frecuencia de dicho sonido y a igualamplitud de la senal generada, la amplitud resultante en la habitacion sera distinta. En generaltodos los recintos cerrados tienden a resaltar bandas angostas de frecuencias preferenciales, que en laterminologıa acustica se denominan modos de vibracion. De manera simplificada, se puede decir quehay modos de vibracion si la respuesta en frecuencia contiene “picos”. En el caso de la reverberacion,la cantidad de modos que aparecen en la respuesta en frecuencia van creciendo con la frecuencia, ypor lo tanto tambien podemos hablar de Densidad de modos de vibracion.

2.2.5. Absorcion de las superficies

Las superficies del recinto en las cuales se refleja el sonido presentan absorcion, es decir, atenuaciondel sonido. Esta atenuacion aumenta con la frecuencia y depende tambien del tipo de material de lasuperficie.

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Parte II

Generacion del efecto reverberanteEjercicios

1. Es equivalente contar con una respuesta impulsiva a tener un sistema LTI?

2. Cual es la relacion entre la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia en elcaso de un sistema LTI? Y si no es LTI?

Una posibilidad para generar un efecto de reverberacion artificial es considerar que el recientoque modifica el sonido que se genera en su interior es un sistema LTI. Por lo tanto, si tenemoscaracterizada adecuadamente la respuesta impulsiva de dicho sistema, seremos capaces de generar lareverberacion simplemente filtrando la entrada con dicha respuesta. Este es el enfoque que seguiremosen el presente proyecto.

De este modo el objetivo sera obtener una respuesta impulsiva acorde a dicho fenomeno, como sedescribio en las secciones anteriores, con la que posteriormente filtrar el sonido original generando deeste modo una reverberacion artificial. Una primera aproximacion para lograr obtener una respuestaimpulsiva, serıa simplemente medir respuestas impulsivas de recintos, y con ellas conseguir el efectodeseado filtrando el sonido a emitirse, por ejemplo incluyendolo dentro del equipo amplificador de lasala. Pero este modo de resolver el problema implica que para cambiar de efecto reberverante serıanecesario ir fısicamente a distintos recintos y medir en cada uno de ellos distintas respuestas impul-sivas, en lo posible con un equipo de alta calidad, y armar colecciones de respuestas impulsivas derecintos, uno para cada necesidad. Este metodo es, obviamente, muy costoso aunque probablementesea posible lograr muy buena calidad de la salida. La otra posibilidad es crear un sistema LTI que seacapaz de producir una respuesta impulsiva como la descripta en la introduccion teorica, con lo cual sepodra controlar artificialmente los parametros de la respuesta impulsiva. El resultado obtenido conesta segunda metodologıa sera mejor en la medida que podamos controlar adecuadamente factorescomo la densidad de ecos, la densidad en frecuencia, el tiempo de reverberacion, que la respuesta enfrecuencia no tenga muchas variaciones de amplitud que modifiquen a la de la senal original, y unadecuado efecto de amortiguamiento para altas frecuencias.

La primera parte del trabajo practico estara dedicada a simular la reverberacion producida porun recinto, mediante la utilizacion de filtros IIR 3. El tipo de filtro que utilizaremos en este proyectoseran los filtros peine (3.1). Para lograr un adecuado efecto sonoro, es necesario combinar variosfiltros de este tipo, como se plantea en la subseccion 3.2. Luego se implementara el fenomeno deabsorcion de las paredes del recinto, mediante una modificacion del sistema anterior (3.3).

3. Generacion de la reverberacion mediante filtros IIR

Los dos tipos de filtros IIR que se utilizan para simular estos fenomenos son los Filtros Peine(Comb filter) y los Filtros Pasa Todo (All Pass filter). En el desarrollo del Trabajo Practico, seanalizaran exclusivamente filtros tipo peine, dejando para el Apendice III la explicacion de los filtrospasatodo.

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3.1. Filtros Peine

La senal reverberante puede expresarse como:

y(n) = gx(n−m) + g2x(n− 2m) + g3x(n− 3m) + · · · (1)

Esta expresion corresponde a la de un filtro conocido como peine, y es el mas elemental pensadopara obtener la respuesta impulsiva de la figura 3.

Ejercicios

3. Encontrar la Transformada Z del sistema, con su diagrama de polos y ceros y regionde convergencia, y la ecuacion en diferencias recursiva que caracteriza el filtro peine.Encuentre tambien la respuesta impulsiva. Analizar como depende dicha respuestadel retardo m y la ganancia g. Para que valores de g el sistema es estable?.

4. Obtener el tiempo de reverberacion RT60 a partir de la ganancia g del filtro peine,del retardo del filtro m, y del perıodo de muestreo Ts.

5. El nombre del filtro se debe a la forma de su respuesta en frecuencia. Obtener larespuesta en frecuencia y justificar esta denominacion. Relacione la respuesta enfrecuencia con el diagrama de polos y ceros de la Transformada Z.

6. Analizar la relacion entre m y la densidad de ecos y de modos de frecuencia.

7. Procesar la senal limpia.wav con este filtro, con los siguiente parametros:

a) m = 10000, g = 0,8.

b) m = 400, g = 0,92.

c) Determinar cual de los dos casos produce reverberancia y cual eco.

En este ejercicio se evaluara ademas de la obtencion de los efectos pedidos, el cono-cimiento del alumno acerca de filtrado. Se pide que se implementen ambos filtros dedos maneras distintas:

Mediante la ecuacion en diferencias, utilizando la funcion de Matlab filter.

Limitando la respuesta impulsiva infinita a un tiempo suficientemente grandepero finito, y utilizando los metodos de filtrado para respuestas impulsivas fini-tas, esto es convolucion lineal mediante la funcion de Matlab conv e implemen-tacion de la convolucion lineal mediante convolucion circular, utilizando DFT.Que criterio utilizarıa para determinar cuanto es un “tiempo suficientementegrande”?

Comparar ambos tipos de filtrado para el filtro peine, indicando ventajas y desven-tajas.

8. Realice un espectrograma de un segmento de la senal limpia.wav, y explique (intui-tivamente) mediante la observacion del espectrograma de la misma porcion de senalpero obtenida en el filtrado del punto 7a como se observa el eco.

9. Repetir pero para el caso del filtro del punto 7b. Elija una ventana tal que le permitaexplicar por que la calidad del sonido es “metalico”.

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/materias/6607/adicional/limpia.wav



3.2. Redes de Filtros Peine

Como se habra podido escuchar de la implementacion simple obtenida en el punto anterior, senecesita agregar un poco mas de complejidad al sistema para obtener un efecto de reverberacionadecuado.

Con el fin de aumentar la densidad de ecos, se propone la interconexion de varias unidades defiltros peine en paralelo.

Figura 4: Red de Filtros Peine en paralelo

Como la respuesta impulsiva y en frecuencia de esta red de filtros es simplemente la suma de la delos filtros originales, es simple ver que este es un modo de aumentar la densidad de ecos y de modosen frecuencia, resultando una respuesta en frecuencia total muy similar a la de un auditorio. Laeleccion de los valores de los retardos mp, con p = 0, . . . , N − 1 para cada filtro debe ser cuidadosa:si los retardos son multiplos entre sı, apareceran tanto en tiempo como en frecuencias picos quese refuerzan, dando lugar a un sonido de tipo artificial nuevamente. Una solucion simple es tomarretardos que sean numeros primos.

Otro problema a considerar es cuantos filtros son necesarios para lograr un efecto realista dereverberacion. Como ya se analizo en los ejercicios 4 y 6, cada filtro peine aporta un eco cadaτp = mpTs, y m modos de resonancia para todo el rango de frecuencia Fs = 1/Ts. Consecuentemente,si los retardos de todos los filtros se encuentran dentro de un rango pequeno, las densidad de ecos yla densidad en frecuencia para toda la red de filtros peine, se puede aproximar como:

Densidad de Ecos:

Dt =N−1∑p=0

1

τp≈ N

τ

Densidad de modos en frecuencia:

Df =N−1∑p=0

τp =N∑

p=1

mp Ts ≈ Nτ

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De las expresiones anteriores resulta:

N =√Dt Df

A partir de estas ecuaciones podemos obtener la cantidad de filtros y el retardo medio necesariopara cumplir con un determinado requerimiento de Dt y Df de una manera sistematica, en lugarde ir tanteando hasta obtener un resultado. Por ejemplo, para una densidad en frecuencia de 0, 45modos de vibracion por Hz, y una densidad de ecos de 1,000 ecos por seg, las formulas anteriores nosdicen que necesitamos 21 filtros Peine con un retardo medio m de (21Fs)/1000.

El valor de g para todos los filtros se puede obtener en una primera aproximacion utilizando laexpresion obtenida en el ejercicio 4, con el retardo medio obtenido a partir de la Densidad de ecosy Densidad en frecuencia. Efectos mas realistas pueden ser obtenidos si modificamos la amplitud delos distintos gp ligeramente respecto del valor obtenido anteriormente.

Ejercicios

10. Implementar la red de filtros peine con la densidad de ecos y de modos en frecuenciaanterior, utilizando Fs = 44,100Hz y un RT60 de 1, 8seg. Grafique la respuesta enfrecuencia y la respuesta impulsiva, y comparelas con las obtenidas en el punto 5.Verificar que se cumple con las densidades de ecos y de modos en frecuencia, y conel RT60 pedidos.

11. Implementar una red de filtros peine y procesar la senal limpia.wav, para la redobtenida en el punto anterior.

12. Disenar una red de filtros peine que cumpla con RT60 = 1,5seg, Dt = 100 1/seg,Df = 0,16Hz−1 Fs = 44,100Hz. Procesar la senal indicada con esta red y analizarel resultado.

13. Para ambas implementaciones, verifique el tiempo de pre-delay. Cumplen lo especi-ficado en la seccion 2.2.1

3.3. Representacion de los coeficientes de absorcion de las superficies enel modelo

Dado que la absorcion de los materiales va a ser mayor cuanto mayor sea la frecuencia, esta sepuede modelar multiplicando la constante g de cada filtro por un filtro pasabajos (ver [2]). Por ejemploen la tabla siguiente, se muestra la absorcion de diversos materiales en funcion de la frecuencia.

Frecuencia 125 250 500 1 kHz 2 kHz 7 kHzCortina de Algodon 0.04 0.05 0.11 0.18 0.3 0.4Superficie Acolchada 0.15 0.32 0.4 0.45 0.4 0.45Puerta lisa de madera 0.1 0.11 0.1 0.09 0.08 1

Cuadro 1: Absorcion en funcion de la frecuencia

Ejercicios

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14. Encuentre un filtro IIR pasabajos de primer orden que modele la absorcion de losmateriales indicados. La respuesta en frecuencia del filtro es proporcional al inversode la absorcion (ver [2]).

15. Procesar la senal limpia.wav con el filtro peine que incluya el filtro pasabajos paracada uno de los materiales indicados.

Referencias

[1] S. W.C., Collected Papers on Acoustics. Hardvard University Press, 1992.

[2] F. A. Beltran, J. R. Beltran, N. Holzem, and A. Gogu, “Matlab implementation of reverberationalgorithms.” http://homepage.hik.se/staff/tkama/audio procME/papers/matlab reverb.pdf,1999.

[3] M. J., “About this reverberation business,” Computer Music Journal, vol. 3, no. 2, pp. 13–28,1979.

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Parte III

Apendice

4. Temas de Extension

El filtro peine es un modelo sencillo de un solo par de superficies reflectantes. Un modelo mascomplejo que se aproxime a la reverberacion real de una sala implica tener un gran numero de estos.El otro tipo de filtro propuesto es el filtro pasatodo, [3]. Este permite acentuar la dispersion temporalsin producir atenuacion en frecuencias. El diagrama en bloques se muestra a continuacion:

Figura 5: Filtro pasatodo

Con este tipo de filtros se pretende lograr una mayor densidad de ecos sin alterar la respuesta enfrecuencia. Combinaciones mas complejas para lograr reverberancia de mejor calidad se logran conredes que combinan filtros peine y pasatodo. La mayorıa de estas implementaciones no siguen unaregla practica y tienen mucho de intuicion. Un posible esquema se muestran en la figura siguiente:

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Figura 6: Red de filtros peine y pasa todo

Ejercicios

16. Obtener la transformada Z y el diagrama de polos y ceros del filtro pasatodo su-poniendo que el sistema es causal. Obtener tambien la respuesta en frecuencia yjustificar el nombre de filtro pasatodo.

17. Obtener la respuesta impulsiva del filtro pasa todo, y compararlas con la del filtropeine. Cambia la densidad de ecos y de modos en frecuencia?

18. Implementar una solucion con filtros peine y pasatodo. Procesar la senal limpia.wavy comparar con los procesamientos anteriores. Verificar nuevamente la densidad deecos en tiempo y de modos en frecuencia. Compararla con el caso anterior, sin filtropasatodo.

19. Agregar varios filtros pasatodo en cascada en lugar de solo uno y comparar con elresultado anterior.

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