Figuracion de Sucesiones NumericasNumerical succession figuration

Rodrigo Sancho PaezUniversidad de Valparaıso

rodrigo.sancho@alumnos.uv.cl

2015

Resumen

Se estipula como objetivo ejemplificar a traves de sucesiones defiguras la conducta de las sucesiones numericas. Las sucesiones queseran simuladas son del tipo convergente y divergente, las que seranrepresentadas por medio de MSWLogo. Se recurre a las herramientasy a un marco conceptual, propias al enfoque matematico deseado parael proposito. El fin es aportar en el proceso de ensenanza-aprendizajede las sucesiones numericas.

Palabras claves: Sucesiones, Convergencia, Divergencia,MSWLogo, Figuracion geometrica.

Abstract

Stipulated target sequences exemplified through figures thebehavior of numerical sequences. The sequences to be simulatedare the convergent and divergent type, which will be representedby MSWLogo. It uses the tools and an, own the desired purposemathematical approach to the conceptual framework. The aim is to

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contribute in the process of learning of numerical sequences.

Keywords: Successions, convergence, divergence, MSWLogo,geometric configuration.

Resumo

Sequencias alvo estipulados exemplificado atraves de figuras docomportamento de sequencias numericas. As sequencias a seremsimuladas sao convergentes e divergentes tipo, que sera representadopor MSWLogo. Ele usa as ferramentas e um, possui a abordagemmatematica finalidade desejada para o quadro conceptual. O objetivoe trazer o ensino e aprendizagem de sequencias numericas.

Palavras-chave: Sucessao, a convergencia, divergencia, MSWLogo,configuracao geometrica.

1 Introduccion

Este trabajo presenta el desarrollo de figuras en MSWLogo, que atraves de sucesiones de las mismas figuras geometricas euclidianas (lasque mide longitudes, superficies, angulos, etc.) simularan la naturaleza desucesiones numericas, que se veran limitadas en el caso de figurar unasucesion convergente, y en el caso de sucesiones divergentes representara unafigura que no lograra una imagen estable, o una figura la cual no podra serreconocida. El objetivo es generar estrategias que mejoren la comprensionde las sucesiones matematicas, empleando recursos didacticos en la cualpredomine la utilizacion de recursos tecnologicos que estan al alcance.

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2 Marco Conceptual

En palabras de Galileo Galilei, la matematica es el lenguaje del universoy cuyos caracteres son las figuras geometricas, sin las cuales seria improbableentender este lenguaje, y agrega que sin estas en palabras metaforicas,“uno vagara inutilmente por oscuros laberintos”. En este sentido, las formasgeometricas facultan una mejor comprension hacia el entorno, siendo posiblepor ejemplo, un mejor proceso de ensenanza-aprendizaje.

Como menciona Mejia, (2004) “la geometrıa estimula la creatividad,desarrolla el sentido de la observacion; promueve la comprension y captacionde lo espacial” (parr. 9) lo que concuerda con los estudios de Piaget enrelacion a lo pedagogico, quien considera que la adquisicion de un conceptose logra como un resultado de la interaccion con la realidad y que al entraren contacto con el objeto, se incorpora un conocimiento de tipo fısico queincorpora las propiedades de los objetos, que resulta de la accion directa conel.

Con las nuevas tecnologıas, la interaccion con los objetos hoy se realizade manera virtual, ya sea manipulando un software, generando comandosen algun programa, utilizando simuladores de realidad, etc... siendo unmedio con un gran potencial, un apoyo al proceso pedagogico, generadorde estimulacion creativa y una herramienta en el proceso de visualizacion ocomunicacion de informacion visual en el pensamiento.

La visualizacion es un proceso cognoscitivo, que esta vinculado conla cultura del sujeto; Lastra (2005) menciona que la visualizacion enmatematicas “es el proceso de formar imagenes mentales, con lapiz ypapel, o con el apoyo de herramientas tecnologicas. El aprender a usar lavisualizacion ayuda efectivamente a descubrir conceptos matematicos y acomprenderlos” (pag. 26). Alimentando este punto, los recursos informaticosgeneran que el estudiante responda de manera mas efectiva y desarrollediferentes habilidades, destrezas y aprendizajes por la variedad de estımulosque se le presentan.

Complementando lo expuesto en palabras de Sanchez (2002) “alemplear un programa computacional, dentro de un modelo de ensenanza,

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favorecera la integracion a un principio educativo y la didactica; esto esconformar al engranaje del aprender, o sea, integrar curricularmente lasnuevas tecnologıas”.

Como bien describe Cotic (2010) “los polıgonos son en sı mismas,figuras con enormes posibilidades de estudio, desde sus elementos basicos,son utilizados permanentemente para observar o verificar propiedades yrealizar conexiones con otras figuras” (pag. 1), por tal motivo la utilizaciondel lenguaje LOGO para la demostracion de sucesiones numericas es unaherramienta que no debe dejar de aprovecharse, para demostrar que loque puede ser intuitivo o no visible, puede consolidarse en figuracionesgeometricas.

En sıntesis, una sucesion es un conjunto de numeros o figuras con lapropiedad de que hay un patron que permite obtener todos los numeros o lasfiguras del conjunto, empezando por un primer lugar de la sucesion, luego laque ocupa el segundo, luego la que ocupa el tercero y ası sucesivamente. Detodo lo exhibido se genera la siguiente tesis, ¿En el proceso de ensenanza-aprendizaje sobre series numericas, basada en la Figuracion de estas pormedio de MSWLogo, se facilitara la construccion del concepto de sucesion?

3 Metodologıa de la Investigacion

En este punto, se vera como esta definida la sucesion matematicamente,para luego desarrollar el procedimiento necesario para representargeometricamente las sucesiones en estudio y generar soluciones a la hipotesisplanteada.

Una sucesion es una “lista ilimitada” de numeros

a1, a2, a3, . . . , an, . . .

donde los sub-ındices 1, 2, 3, . . . , n hace referencia al lugar que ocupa el

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correspondiente numero en la “lista”. Formalmente esa idea se formula enterminos de una aplicacion de N en el cuerpo. Observe que ai puede ser iguala aj , para i 6= j, de modo que la lista es ilimitada, pero el conjunto imagen{an : nεN} puede no ser infinita.

Otra forma de definir la sucesion es por medio de una funcionf : N −→ R representada usualmente por an el cual se llama elemento n-esimo de la sucesion.

Podemos encontrar varios tipos de sucesiones numericas, sin embargo,en este estudio nos referiremos especıficamente a las sucesiones divergentesy convergentes, y nos centraremos en el conjunto de los numeros Naturalesincluyendo al cero. Teniendo esto presente definimos:

1. Se dice que una sucesion numerica {xn} diverge positivamente, cuandopara cada KεR se puede encontrar mεN tal que, para n ≥ m, setenga xn > K. Decimos tambien que {xn} tiende a +∞ y escribimos{xn} −→ +∞. Simbolicamente:

{xn} −→ +∞⇐⇒ [∀KεR ∃mεN : n ≥ m =⇒ xn > K]

La metodologıa utilizada para el desarrollo geometrico de la sucesiondivergente, es mediante una sucesion de cuadrados, los que medianteuna funcion aumentaran de tamano sus lados y se establecera unatraslacion sobre su eje interior, generando una espiral cuadratica hastaun cierto numero n determinado, ya al superar tal valor n, en un m(m ≥ n + 1 > n), la imagen mostrara una figura totalmente difusa, ysin contenido visual conocida, la cual lograra representar la divergenciade esta funcion, que figura una serie de sucesiones geometricas.

Tambien como ejemplo, tomaremos la famosa sucesion de Fibonaccia partir del modelo que uso el matematico italiano Leonardo de Pisapara describir el comportamiento de la crıa de conejos. Donde paracualquier mes n, el numero de conejos Fn estara dado por la relacionde recurrencia Fn = Fn−1 + Fn−2 con F0 = 0 y F1 = 1. Que representauna sucesion monotona, creciente, no acotada y divergente. Donde losprimeros terminos son:

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1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.....

Para desplegar la sucesion de Fibonacci en representacion geometrica,se utilizo nuevamente el cuadrado, el aumento de sus lados y latraslacion del cuadrado. Para determinar el valor de la sucesion seutilizo la funcion Fn = Fn−1 + Fn−2, para n = 2, 3, 4, ... y conF0 = 1 y F1 = 1, la cual, como en el ejemplo anterior, superandoun lımite representado por n, esta diverge a una figura indeterminadavisualmente.

2. Las sucesiones se dicen convergente cuando tienen Lımite. Por mediode los cuantificadores la condicion lımn→∞ an = L se escribe:

∀ε > 0,∃n0εN, ∀nεN(n ≥ n0 =⇒ |an − L| < ε)

En definitiva, se dice que la sucesion {an} es convergente si existe Lperteneciente a R, tal que {an} converge a L; y se dice que es divergentesi no es convergente.

En este caso, se empleo una figura geometrica generada al girar sobreuno de sus vertices a un rombo, a la cual se le aplico una funcion, la quedisminuye el tamano de sus lados por cada nuevo giro sobre su verticeque esta funcion genere. Donde al ir disminuyendo hasta el infinito,a similitud de la sucesion matematica, esta converge en un punto ymuestra un figura estable.

4 Descripcion del Desarrollo

Ya en el detalle de las figuras que simulan las sucesiones numericas,veremos las funciones utilizadas para cada caso, los movimientos realizadospor la tortuga en MSWLogo debido a la programacion empleada, y una brevesıntesis del comportamiento generada por las construcciones de sucesionesgeometricas.

1. La primera figura que se describira es la Espiral Cuadratica, la quefue originada al construir una Funcion con dominio en los numeros

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Naturales, cual principal cualidad es generar un cuadrado de lado i,el que luego se traslada hacia la cara superior del cuadrado generadoy sobre la misma superficie vuelve a producir otro cuadrado con ladoigual a i + 10 (con un valor de i determinado por el programador), yası sucesivamente genera una traslacion y un aumento en el valor desus lados por cuantas veces sea pertinente por el usuario.

La variable dependiente de la funcion es t,y como ejemplos para i=1notaremos que:

• Si t1 = 10, el programa generara un cuadrado de lado i

• Si t2 = 20, el programa generara un nuevo cuadrado sobre la carasuperior del cuadrado ya existente, con lado igual a i+ 10

• Si t3 = 30, el programa generara un nuevo cuadrado sobre la caraizquierda del ultimo cuadrado generado, con lado igual a (i+ 10) + 10

• Si t4 = 40, el programa generara un nuevo cuadrado sobre la carainferior del ultimo cuadrado generado, con lado igual a ((i+10)+10)+10

• Si t5 = 50, el programa generara un nuevo cuadrado sobre la caraderecha del ultimo cuadrado generado, con lado igual a (((i + 10) +10) + 10) + 10

De esta forma se repite la sucesion con t6, la que generara la mismatraslacion que en t1, es decir que la sucesion es periodica en la traslacionde la figura, y esta dada por tn = ti+5 con i perteneciente a los naturales.

La sucesion del tamano de sus lados, equivale a la sucesion dellado del cuadrado generado anteriormente, mas la suma del terminodeterminado en la funcion, que en este caso es 10, y la que quedadefinida por la siguiente ecuacion:

tn = tn−1 + 10; con n perteneciente a los naturales, la que representauna sucesion divergente; Pues:

lımn→∞ tn = +∞

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Representacion de la Programacion realizada en MSWLogo para laconstruccion de la espiral cuadratica:

Para Espiral :thaz ’i 10repite :t[gi 20 repite 4[av :i gd 90 espera 10]av :i gd 90 av :i gi 160haz ’i :i+10]fin

La figura 1, representa la funcion descrita anteriormente, donde en lafigura a) se muestra a t1, un cuadrado, en b) t45 cual figura da el nombrea la programacion realizada, y mientras que c) no logra identificar unafigura reconocible, y demuestra que la funcion diverge geometricamente.

Figura 1: Espiral Cuadratica

2. La sucesion de Fibonacci, es una de las mas famosas la cual porsus multiples estudios cientıficos, podemos hallar en Internet bastantematerial al respecto de esta sucesion, por esto y debido a la extensiondel presente artıculo, se dejara esta sucesion como analisis para el lector,y solo se dejara expresada su programacion en MSWLogo y una brevedescripcion sobre la figura generada.

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Representacion de la Programacion realizada en MSWLogo para laconstruccion de la sucesion de Fibonacci:

Para Fibo :nhaz ”k 1repite 4[av :k*15 gd 90]sl gd 45 av RC 2*potencia :k*15 2 gd 45haz ’i 1 blrepite :n[bl repite 4[av :k*15 gd 90]sl gd 45 av RC 2*potencia :k*15 2 gd 45 haz ”j :ihaz ’i :k haz ”k :i+:j]fin

La figura 2, representa la funcion Fn = Fn−1 +Fn−2, para n = 2, 3, 4, ..., donde en la figura a) se muestra a F0 un cuadrado, en b) F9 la figuraaurea de fibonacci , y en c) al igual que en el caso anterior (Espiralcuadratica), no se logra identificar una figura reconocible, y demuestraque la funcion diverge geometricamente.

Figura 2: Fibonacci

3. Para la construccion de esta figura se utilizo un rombo, el cual se hizorotar sobre su vertice un numero de veces determinado (12 en esteejemplo) para conseguir una figura deseable para posibilitar la futurademostracion de una sucesion convergente. La funcion utilizada, fue lade disminuir el lado del rombo por medio del producto con una fraccion,

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la cual puede ser determinada generalmente por pq, con q > p > 0 y , en

el caso particular, se definio que la fraccion serıa 1112

, por convenienciade la sucesion geometrica generada.

La Sucesion geometrica esta determinada por lo tanto por una funcioncon dominio en los numeros naturales, cuyo valor dependiente lo generaj, el que determina cuantas veces debe generarse la figura formada alrotar 12 veces el rombo; las nuevas figuras seran producidas por romboscon lados mas pequenos, es decir, el primer rombo tiene lado i conel cual genera la primera figura, luego su valor disminuira a i ∗ 11

12y

ası sucesivamente, cada nueva figura sera mas pequena en relacion consu antecesora, convergiendo en un punto.Notemos que si :

• j = 1, el rombo generara una figura con lado i

• j = 2, el rombo genera una figura con lado i ∗ 1112

• j = 3, el rombo genera una figura con lado (i ∗ 1112

) ∗ 1112

• En consecuencia tenemos que si Jn con n −→ +∞, entonces tenemosque:

lımn→∞ jn = 0

lo que geometricamente, representamos mediante un punto.

Representacion de la Programacion realizada en MSWLogo para laconstruccion de la sucesion geometrica de una Flor Romboide:

Para Flor :jhaz ’i 150repite :j[repite 12[repite 3[gi 45/2repite 2[av :i gd 45 av :i gd 180-45]gd 45/2] gd 360/12]haz ’i :i*11/12]fin

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La figura 3, muestra una sucesion geometrica que converge en un punto,en donde, para la primera imagen en a) se presenta la primera figuragenerada por la sucesion j1, en b) mientras tanto se identifica como lasucesion se acerca a la convergencia de la figura, al acercarse al centrode esta cuya sucesion es j15 y en c) se logra apreciar como la sucesionde las figuras convergen en un punto. Cual figura es estable y fija.

Figura 3: Flor Romboide

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5 Discusion Final

El objetivo planteado sobre ejemplificar a traves de sucesiones de figuraslas sucesiones numericas, fue logrado, y por tanto, consigue ser un posibleaporte al proceso de ensenanza-aprendizaje en lo planteado como tesis,que es la construccion del concepto de sucesiones matematicas a traves dela programacion por MSWLogo de figuras geometricas, que en sı mismasgeneran sucesiones o convergentes o divergentes.

La tesis propuesta es ambiciosa y no logra encontrar una satisfactoriarespuesta en este artıculo, para lograrlo es necesaria una investigacionprofunda en las aulas, para analizar y estudiar si la propuesta facilita laconstruccion del concepto de sucesion en el proceso de ensenanza-aprendizaje.

La Geometrıa Euclidiana, y en particular la idea de paralelismo, laslıneas rectas y angulos, son bases para que el estudiante logre coordinardirecciones en el espacio y son las herramientas basicas con la que se trabajaen programacion de Logo, por lo tanto arriba-abajo, delante-detras. Derecha eizquierda son relaciones de orden intrınseco en el estudiante, y como mencionaLastra (2005), el nino al construir en forma espontanea estos esquemas,esta en condiciones de orientar figuras y dirigir movimientos en el espacio.”Y por ello la tesis planteada podrıa ser respondida positivamente, al asegurarque los estudiantes comprenden dichas figuras y los conceptos derivados deestas.

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Referencias

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[7] Roman, M. (2005). Fortalecimiendo la ensenanza de la geometrıa en NB2mediante el uso de TIC’s. CIDE, Santiago

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