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INTERACCIÓN GRAVITATORIA - RESUMEN

1. Leyes de Kepler.

Describen el movimiento de los planetas y son válidas también para cualquier cuerpo que gire en órbita alrededor de otro y obedezca a una fuerza que sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La segunda ley implica que los planetas no se mueven con la misma velocidad en todos los puntos de la órbita. Su velocidad es mayor en las proximidades del Sol (perihelio) y menor cuando están más alejados (afelio). La tercera ley implica que cuanto más alejado está un planeta del Sol mayor es su período de revolución. La constante K es la misma para todos los planetas del sistema solar y depende sólo de la masa del Sol:

S

2

GM4K π

=

Si aplicamos la tercera ley a los satélites de un planeta, la constante K es igual para todos los satélites y depende sólo de la masa del planeta, pero su valor es diferente al de los planetas alrededor del Sol:

P

2

GM4K π

=

2. Ley de la Gravitación Universal.

Nos indica que la interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Matemáticamente se expresa:

r2 ur

'mmGFrr

−=

donde el signo negativo nos indica que la fuerza es atractiva y, por lo tanto, de sentido contrario a . ru

r

Esta ley es estrictamente aplicable a masas puntuales o a cuerpos esféricos de densidad uniforme donde la distancia r se mide a partir de los centros de los cuerpos. En buena aproximación se puede aplicar al caso de planetas, satélites y cuerpos en las proximidades de los planetas.

3. Principio de superposición de fuerzas.

Indica que la fuerza que actúa sobre una

masa cualquiera debido a un conjunto de masas es la resultante de las fuerzas que las demás masas ejercen sobre ella, consideradas individualmente:

∑=

=n

1i1i1sobreTotal FFrr

4. Principio de equivalencia.

Establece que la masa inercial y la masa gravitacional son la misma magnitud.

5. Magnitudes que intervienen en el campo gravitatorio. a) Magnitudes características del campo: Son la intensidad del campo g

r en un

punto, desde una perspectiva dinámica y el potencial del campo en un punto, desde un enfoque energético de la interacción. b) Magnitudes correspondientes a la interacción del campo con una partícula: Son la fuerza que actúa sobre la partícula como medida de la interacción, desde una perspectiva dinámica y la energía potencial de la partícula asociada a su posición relativa en el campo, desde un enfoque energético de la interacción. 6. Intensidad del campo gravitatorio.

La intensidad del campo gravitatorio que crea una masa M en un punto, , se define como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa testigo colocada en dicho punto. Es decir:

2

'mFgr

r=

Se le suele llamar también simplemente campo gravitatorio. Representa asimismo la aceleración que adquiriría una partícula situada en el punto considerado. Su unidad en el S.I. es el N/kg que equivale a m/s2. La expresión del campo gravitatorio en función de la masa M que lo crea y de la distancia r al punto considerado es:

r2 ur

GMgrr

−=

por lo tanto, es una magnitud vectorial radial cuyo sentido apunta a la masa M creadora del campo, disminuyendo con el cuadrado de la distancia, anulándose en el infinito. 7. Principio de superposición de campos.

Nos indica que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es la suma vectorial de los campos gravitatorios creados por cada una de las masas en dicho punto:

∑=

=n

1iiTotal ggrr

8. Variación del campo gravitatorio con la altura.

El campo gravitatorio disminuye con la altura sobre la superficie terrestre de la forma:

( )2T

2T

0hhR

Rgg

+=

donde gh es el campo a una altura h sobre la superficie terrestre, go es el campo en la superficie y RT es el radio de la Tierra. 9. Energía Potencial Gravitatoria.

Al ser el campo gravitatorio conservativo se puede definir una energía potencial asociada a la posición. La expresión de la energía potencial gravitatoria de una partícula m’ (en realidad, la Ep asociada al sistema de dos partículas) dentro del campo gravitatorio creado por otra partícula m es:

r'mmG)r(Ep −=

considerando como nivel cero de energía potencial gravitatoria aquel en el que la fuerza gravitatoria es cero, es decir, en el infinito. La Ep es una magnitud escalar que aumenta al aumentar la distancia entre las partículas. Su valor es siempre negativo, derivado de la elección de nivel cero en el infinito. Esta Ep representa “el trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando la partícula se desplaza desde el punto considerado hasta el infinito”. Si consideramos el sistema formado por la Tierra y un cuerpo de masa m, si el cuerpo se acerca a la Tierra es porque el campo gravitatorio realiza un trabajo, y éste trabajo del campo se realiza a expensas de la energía potencial que tenía el sistema inicialmente y, por lo tanto, al acercarse va disminuyendo la Ep del sistema (disminuye r). Si, por el contrario, ejercemos una fuerza externa al campo, alejando el cuerpo de la Tierra, estamos realizando un trabajo sobre el sistema y éste trabajo queda almacenado en el sistema en forma de energía potencial ya que esta aumenta (al aumentar r). 10. Energía potencial como “mgh”.

El término “mgh” referido a la energía potencial gravitatoria presupone que el nivel cero de energía potencial es la superficie de la Tierra, y es una expresión aproximada ya que estamos considerando que “g” permanece constante al variar la altura. 11. Potencial gravitatorio en un punto.

Se define como la energía potencial que adquiriría la unidad de masa colocada en dicho punto.

rmG

'mEpV −==

Al ser una energía potencial por unidad de masa en la expresión del potencial sólo aparece la masa m creadora del campo y la distancia r al punto considerado; por lo tanto, será un magnitud característica del campo gravitatorio.

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Su unidad en el S.I. será J/kg. Al igual que la Ep, el potencial gravitatorio es una magnitud escalar, su nivel cero está en el infinito y será siempre negativo, aumenta al aumentar la distancia r. El potencial gravitatorio en un punto representa “el trabajo por unidad de masa que realiza el campo gravitatorio para trasladar la partícula desde el punto considerado hasta el infinito”.

El potencial en un punto creado por varias masas es la suma de los potenciales que crea cada una de las masas:

∑=

=n

1iiTotal VV

La diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa de A a B; matemáticamente:

∫ •=−B

ABA rdgVV

rr

Si la diferencia de potencial entre dos puntos es positiva será porque el primer punto tiene mayor potencial que el segundo y, en este caso, es el campo gravitatorio quien realiza el trabajo para trasladar la unidad de masa de un punto a otro a costa de una pérdida de Ep del sistema. En caso contrario, si la diferencia de potencial es negativa, el segundo punto estará a mayor potencial que el primero, y para trasladar el cuerpo se tendrá que ejercer una fuerza externa, que será la que realice el trabajo, incrementándose la Ep del sistema. 12. Velocidad orbital.

La velocidad con la que un cuerpo orbita alrededor de otro se obtiene considerando que la fuerza centrípeta necesaria es debida a la fuerza de atracción gravitatoria. El valor de la velocidad orbital es:

rGM

v p=

donde Mp es la masa del planeta alrededor del cual está orbitando el cuerpo y r es el radio de la órbita medida desde el centro del planeta.

13. Energía total de un objeto en órbita alrededor de otro.

Viene dada por la expresión:

r2mMG

rmMG

r2mMG

rmMGmv

21EpEcE

TTT

T2

−=−=

=−=+=

La energía mecánica (total) de un

cuerpo en órbita es siempre negativa. Este resultado es válido tanto para órbitas circulares como elípticas. En estos casos el cuerpo que orbita está ligado al campo gravitatorio del cuerpo sobre el que orbita y no podrá escapar de él. 14. Energía de amarre, ligadura o enlace. Un cuerpo en órbita y, por tanto, ligado al campo gravitatorio tiene una energía mecánica negativa. Si queremos que escape del campo gravitatorio habrá que comunicarle la energía necesaria para que el cuerpo alcance el infinito y deje de estar ligado al campo gravitatorio. La mínima energía que hay que comunicarle se le llama energía de amarre, ligadura o enlace ya que por debajo de este valor el cuerpo quedará amarrado o ligado al campo. Esta energía mínima será cuando el cuerpo alcanza el infinito con velocidad cero. En este caso, su Ep(∞)=0 y Ec(∞)=0, luego su Energía mecánica=0. Luego, la energía que tendremos que comunicarle para que escape debe ser tal que la E mecánica alcance el valor cero, luego:

TotalEnlaceEnlaceTotal EE0EE −=⇒=+ y como la energía total es negativa podemos escribir que:

TotalEnlace EE = luego, la energía de enlace es igual al valor absoluto de la energía total que el sistema cuerpo-planeta posee. Si el cuerpo está en reposo en la superficie de un planeta su energía de enlace es:

p

pEnlace r

mMGE =

Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria 4

Si el cuerpo está orbitando alrededor del planeta la energía de enlace es:

p

pescape r

GM2v =

p

pEnlace r

mMG

21E =

Esta velocidad de escape es independiente de la masa del cuerpo, siendo una característica del planeta de que se trate.

15. Velocidad de escape.

Es la velocidad que hay que comunicarle a un cuerpo para que abandone el campo gravitatorio y deje de estar ligado a él. Para obtenerla partimos de que la energía cinética que hay que comunicarle debe ser como mínimo igual a la energía de enlace, luego:

16. Energía y órbitas.

Si la energía mecánica (total) que un cuerpo posee es negativa el cuerpo estará ligado al campo gravitatorio y llevará una órbita circular o elíptica.

Si la energía total es cero o positiva el cuerpo no estará ligado al campo gravitatorio y llevará una órbita parabólica o hiperbólica.

0EEc Totalescape =+ Si el cuerpo está en la superficie del planeta, la velocidad de escape vale:

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INTERACCIÓN GRAVITATORIA - CUESTIONES Y EJERCICIOS

CUESTIONES 1º. Se desea colocar un satélite en una órbita circular, a una cierta altura sobre la Tierra. a) Explique las variaciones energéticas del satélite desde su lanzamiento hasta su situación orbital. b) ¿Influye la masa del satélite en su velocidad orbital?. PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000. a) El satélite se encuentra inicialmente en reposo en la superficie de la Tierra, situación A de la figura. En esta posición la energía total del satélite será solo energía potencial gravitatoria, ya que está en reposo antes del lanzamiento, cuya expresión será:

TRSMTMG

)A(pgE)A(TE −==

Una vez en órbita, posición B de la figura, el satélite poseerá energía potencial gravitatoria y energía cinética puesto que está orbitando con una velocidad v determinada. Las energías en esta posición orbital serán:

hRMMG)B(E

T

STpg +

−= ; 2Sc vM

21)B(E =

Ahora bien, la velocidad orbital del satélite viene dada por:

hRMG

vT

T

+=

luego la Ec en B se podrá expresar como:

hRMMG

21)B(E

T

STc +

=

Y la energía total en la posición B, suma de la potencial y la cinética será:

hRMGM

21

hRMMG

21

hRMMG

)B(E

T

ST

T

ST

T

STT

+−=

=+

++

−=

A

B v

h

Tierra

RT

Luego el satélite sufre variación de energía cinética y variación de energía potencial gravitatoria, de tal manera que la variación total de energía que experimentará será:

T

ST

T

STTT R

MGMhR

MGM21)A(E)B(EE −−

+−=−=Δ

Esta variación de energía es la que tendrá que suministrar el cohete lanzador del satélite para poder ponerlo en órbita. b) Como hemos visto antes la velocidad orbital del satélite a una altura h viene dada por la expresión:

hRMG

vT

T

+=

Donde se puede apreciar que esta velocidad no depende para nada de la masa del satélite sino de la masa de la Tierra y de la distancia al centro de la misma que queramos que orbite el satélite.

--------------- 000 --------------- 2º. Comente los siguientes enunciados, definiendo los conceptos físicos asociados y justificando su carácter de verdadero o falso:

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a) El campo gravitatorio es conservativo y por tanto existe un potencial asociado a él. b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si lo hace a través de la recta que une dichos puntos, ya que es el camino más corto.

a) El campo gravitatorio es efectivamente conservativo lo que significa que el trabajo que realizada cuando desplaza a una masa de un punto a otro sólo depende del punto inicial y final y es independiente de la trayectoria seguida. En el caso de campos conservativos se asocia a ellos una energía potencial de tal forma que el trabajo que realiza se puede expresar como W = - ΔEpg . El potencial gravitatorio en un punto de un campo gravitatorio se define como la energía potencial gravitatoria que adquiere la unidad de masa colocada en dicho punto, es decir:

mE

V pgg =

Luego: Epg = m Vg . Por lo tanto, al campo gravitatorio se le puede asociar un potencial gravitatorio de tal forma que el trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando desplaza una masa m desde un punto a otro se puede expresar como:

gpg VmEW Δ−=Δ−= Luego esta afirmación es cierta. b) Esta afirmación es falsa ya que como hemos visto antes el campo gravitatorio es conservativo y, por lo tanto, el trabajo que realiza al desplazar una masa depende sólo del punto inicial y final, siendo independiente del camino que se siga.

--------------- 000 --------------- 3º. Razone las respuestas a las siguientes preguntas: a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra?.

b) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?, ¿puede ser negativa la energía potencial gravitatoria?.

a) La energía potencial gravitatoria está relacionada con el trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando desplaza una partícula m de un punto a otro de tal forma que W(campo) = - ΔEpg. De tal forma que lo que importa realmente es la variación que sufre dicha energía. El valor de la Epg en un punto es arbitrario, de tal forma que podemos elegir como cero el punto que deseemos. Una vez elegido el nivel cero, la expresión de la Epg en otro punto vendrá dada en función del trabajo que realiza el campo gravitatorio.

Tierra RT

∞

m

Vamos a calcular el trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando desplaza una masa m desde la superficie de la Tierra hasta el infinito, ver figura.

T

TR 2T

R 2T

R 2T

Rg

RmGM

rdrmGMdr

rmGM

rdur

mGMrdF)F(W

TT

TT

−=−=−=

=•−=•=

∫∫

∫∫∞∞

∞∞ rrrr

Ahora bien, este trabajo es igual a la variación negativa de la energía potencial gravitatoria entre los dos puntos, luego:

[ ])(E(sup)E

(sup)E)(EER

mGM

pgpg

pgpgpgT

T

∞−=

=−∞−=Δ−=−

Si consideramos ahora como cero el valor de la Epg(sup) entonces el valor de la energía potencial gravitatoria a una distancia infinita será:

T

Tpg

pgpgpgT

T

RmGM

)(E

)(E0)(E(sup)ER

mGM

=∞⇒

∞−=∞−=−

b) Si la masa se desplaza alejándose del cuerpo que ejerce la atracción gravitatoria (por

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ejemplo, la Tierra), el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es negativo. Este es el caso, por ejemplo, de un cuerpo que asciende alejándose del centro de la Tierra. La energía potencial gravitatoria puede ser negativa, todo depende de dónde se sitúe el nivel cero de energía potencial gravitatoria. Por ejemplo, si el nivel cero se sitúa en el infinito, la expresión de la energía potencial gravitatoria en cualquier otro punto viene dada por:

rmGM

)r(E Tpg −=

Y, por lo tanto, su valor es negativo.

--------------- 000 --------------- 4º. Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme. a) ¿Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de la fuerza ejercida por el campo? ¿Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha fuerza?. Razone las respuestas. b) Escriba una expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para un desplazamiento “d”, en ambos casos. ¿En qué se invierte dicho trabajo?.

a) Si el campo gravitatorio es uniforme significa que su valor, en módulo, es igual en todos los puntos del espacio. Si una partícula se mueve en la dirección y sentido del campo significa que es el campo gravitatorio quien está realizando el trabajo para desplazarla, este trabajo lo realiza el campo a consta de la energía potencial gravitatoria almacenada, luego la energía potencial gravitatoria disminuye conforme se avanza en la dirección y sentido del campo. Como el campo gravitatorio es conservativo, entonces el trabajo que realiza se puede poner como

pgg E)F(W Δ−= Y al ser positivo este trabajo, la variación de energía potencial será negativa, es decir, la energía potencial disminuirá. Si la partícula se mueve en una dirección perpendicular a la fuerza gravitatoria, ésta no

realizaría trabajo alguno, ya que formaría un ángulo de 90º con el desplazamiento, por lo tanto si W(Fg)=0, entonces ΔEpg = 0 y la energía potencial gravitatoria no variaría. Esto es lógico ya que al movernos en una dirección perpendicular al campo gravitatorio estaríamos desplazándonos por una superficie equipotencial donde la energía potencial permanece constante. b) En el primer caso el trabajo que realizaría el campo gravitatorio, según la figura, sería:

m

g = cte

1 2

d

∫∫∫∫ ==•=•=2

1

2

1

2

1

2

1g drmgdrFidriFrdF)F(W

rrrr

Y como la masa y el campo son constantes tendremos que:

mgd)rr(mgdrmgdrmg)F(W 122

1

2

1g =−=== ∫∫

Este trabajo realizado se invierte en disminuir la energía potencial gravitatoria de la masa que se desplaza y, como el campo es conservativo, aumentará su energía cinética.

m g = cte 1

2

d

En el segundo caso el trabajo es nulo ya que, a partir de la figura tendremos que:

0º90cosdrFjdriFrdF)F(W2

1

2

1

2

1g ==•=•= ∫∫∫

rrrr

Por lo tanto, al ser nulo el trabajo, no variará ni la energía potencial ni la cinética.

--------------- 000 --------------- 5º. a) Enuncia la tercera ley de Kepler. b) Si el radio de la órbita circular de un planeta A es cuatro veces que la de otro B, ¿en qué relación están sus períodos?.

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a) La tercera ley de Kepler relaciona el periodo de revolución de un planeta con su distancia media al sol. Especifica que “el cuadrado del período de revolución de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al sol”. Matemáticamente se puede expresar de la forma:

32 krT = Donde k es la constante de Kepler, de igual valor para todos los planetas. b) Si aplicamos la tercera ley de Kepler a cada uno de los planetas tendremos que:

3B

2B

3A

2A rkT;rkT ==

Si dividimos miembro a miembro las dos ecuaciones tendremos que:

3B

3A

2B

2A

rr

TT

=

Y como rA = 4 rB tendremos que: B

864TT64

rr64

rr

TT

B

A3B

3B

3B

3A

2B

2A ==⇒===

Y por lo tanto, el período del planeta A será ocho veces más grande que el del planeta B.

--------------- 000 --------------- 6º. Si un cuerpo tiene un peso de 100 N sobre la superficie terrestre, calcula su peso en la superficie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio sea el triple que el de la Tierra.

El peso de un cuerpo de masa m en el planeta será:

2P

p

R

mGMP =

Y como Mp = 2 MT y Rp = 3 RT , tendremos que:

)Tierra(P92

RmGM

92

R9mM2G

RmGM

P 2T

T2T

T2P

p ====

Y como el peso en la Tierra es de 100 N, tendremos que el peso en el planeta será:

N22,22N10092)Tierra(P

92P ===

--------------- 000 --------------- 7º. Un lejano planeta posee un radio que es el doble de la Tierra, y su densidad media de masa es la misma que la de la Tierra. ¿Dónde será mayor el peso de un objeto, en el planeta o en la Tierra. Especifica cuánto.

El peso en la superficie del planeta y en la da la Tierra serán:

2T

TT2

P

pP R

mGMP;R

mGMP ==

Ahora bien: RP = 2 RT y si las densidades son las mismas podremos poner que:

TP

3T

T3T

P

3T

T

3P

P

M8M

RM

R8M

R34M

R34M

=

⇒=⇒π

=π

Y por lo tanto:

T2T

T2T

T2P

pP P2

RmGM2

R4mM8G

RmGM

P ====

Luego el peso en el planeta será el doble que en la Tierra.

--------------- 000 --------------- 8º. El cometa Halley se mueve en una órbita alrededor del Sol. En el perihelio (posición más próxima) el cometa está a 8'75.107 km del Sol, y en el afelio (posición más alejada) está a 5'26.109 km del Sol.

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a)¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad? ¿Y mayor aceleración?. b) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor energía mecánica?.

a) Si aplicamos la segunda ley de Kepler, la velocidad aereolar es constante, implica que el comete cuando está más cerca del Sol debe moverse a una velocidad mayor que cuando está más lejos. Luego tendrá más velocidad en el perihelio. La aceleración en cualquier punto depende de la fuerza que el Sol ejerce sobre él y de la masa del cometa y como en el perihelio está más cerca del Sol se verá sometido a mayor fuerza, según la ley de gravitación de Newton, por lo tanto se verá sometido también a mayor aceleración. b) La energía potencial gravitatoria aumenta con la distancia entre los cuerpos ya que viene dada por la expresión:

rmGME s

pg −=

Luego, al aumentar r aumenta la energía potencial gravitatoria. Por lo tanto, en el afelio tendrá mayor energía potencial gravitatoria. El campo gravitatorio es conservativo, lo cual implica que la energía mecánica permanece constante. Luego el cometa tendrá la misma energía mecánica en el perihelio y en el afelio. A partir del hecho de que la energía mecánica permanece constante, podemos deducir que al tener menor energía potencial gravitatoria en el perihelio, deberá tener mayor energía cinética, es decir, deberá moverse a mayor velocidad en el perihelio, lo cual ratifica la deducción del apartado a).

--------------- 000 --------------- 9º. Dibuja las líneas del campo gravitatorio producido por dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto donde la intensidad del campo gravitatorio sea nula? En caso afirmativo indica dónde. ¿Existe algún punto donde el potencial gravitatorio sea nulo?. En caso afirmativo, indica dónde.

Las líneas del campo gravitatorio producido por las dos masas serían las siguientes:

La intensidad del campo gravitatorio es una magnitud vectorial y, en un punto determinado, vendrá dada por la suma vectorial de las intensidades que genera cada una de las masas. Como las dos masas son iguales existe un punto donde se anula el campo gravitatorio total y este sería el punto medio del segmento que une las dos masas, ver figura. En este punto, el módulo de los dos campos es el mismo pero sus sentidos son contrarios, anulándose mutuamente.

g (1) g (2)

1 2 p.m.

El potencial gravitatorio creado por una masa en un punto determinado es una magnitud escalar y su valor viene dado por:

rGMV −=

Por lo tanto, el potencial que crea la masa 1 en cualquier punto es negativo, al igual que ocurrirá con las masa 2. Luego es imposible que exista un punto donde el potencial total, suma de los dos, se anule sino que seguirá siendo también negativo.

--------------- 000 ---------------

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PROBLEMAS

1º. Calcula el período de revolución de Marte alrededor del sol sabiendo que : la distancia media de Marte al Sol es de 228 millones de kilómetros , la distancia media de la Tierra al Sol es de 149,6 millones de kilómetros , y el período de revolución de la Tierra alrededor del Sol es de 365,26 días .

Si aplicamos la tercera ley de Kepler al planeta Marte tendremos que:

3M

2M rkT =

Ahora bien, no conocemos la constante de Kepler k, pero como esta constante es igual para todos los planetas podemos obtenerla con los datos relativos a la Tierra, es decir:

3219311

27

3T

2T ms1097,2

)m10496,1()s101558,3(

rTk −−⋅=

⋅⋅

==

Y, por lo tanto, el período de revolución de Marte será:

terrestresdias69,686s1093,5

)m1028,2(ms1097,2rkT7

31132193MM

=⋅=

=⋅⋅== −−

--------------- 000 ---------------

2º. Dos partículas de masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2) m y P2(1,0) m, respectivamente. a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O(0,0) m y en el punto P(1,2) m y calcule el campo gravitatorio total en el punto P. b) Calcule el trabajo necesario para trasladar una partícula de 0'1 kg desde el punto O al punto P. G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

a) Los campos gravitatorios en los dos puntos indicados serían los representados en la figura.

Para obtener el campo gravitatorio en el punto P vamos a calcular primero el módulo de cada uno de los campos gravitatorios creados por las masas.

110

2

2211

21

11

kgN10334,1

m1kg2kgNm1067,6

rGMg

−−

−−

⋅=

=⋅

==

111

2

2211

22

22

kgN10337,8

m4kg5kgNm1067,6

rGMg

−−

−−

⋅=

=⋅

==

La expresión vectorial de cada uno de estos campos sería:

1112

1101

kgNj10337,8g

kgNi10334,1g−−

−−

⋅−=

⋅−=rr

rr

El campo gravitatorio total en el punto P será la suma vectorial de ambos, es decir:

11110P kgNj10337,8i10334,1g −−− ⋅−⋅−=

rrr

Cuyo valor numérico será: gp = 1,57 · 10-10 N kg-1. b) El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar una partícula de masa m desde un punto a otro viene dado por:

Vm)F(W g Δ−= Luego vamos a calcular el potencial gravitatorio total que crean las masas en los puntos O y P.

1102

2

1

121

kgJ104

rGM

rGM

)O(V)O(V)O(V

−−⋅−=

=−−=+=

1102

2

1

121

kgJ103

rGM

rGM)P(V)P(V)P(V

−−⋅−=

=−−=+=

M1 (0,2)

M2

P

O

g1

g2

g1

g2

Y

X

Luego la variación de potencial cuando se traslada de O a P será:

110 kgJ101)O(V)P(VV −−⋅=−=Δ

11

Por lo tanto, el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa de 0,1 kg desde O hasta P será:

J101

kgJ101kg1,0Vm)F(W11

110g

−

−−

⋅−=

=⋅⋅−=Δ−=

El hecho de que este trabajo salga negativo significa que no es el campo gravitatorio el que desplaza libremente la partícula de O a P, sino que tiene que actuar una fuerza externa para desplazarla.

--------------- 000 --------------- 3º. Un cuerpo de 300 kg situado a 5000 km de altura sobre la superficie terrestre, cae hacia el planeta. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule con qué velocidad llega a la superficie, suponiendo que el cuerpo partió del reposo. b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre debe estar el cuerpo para que su peso se reduzca a la cuarta parte de su valor en la superficie?. G=6'67.10-11 N m2 kg-2 , RT=6400 km , MT= 6.1024 kg.

a) El cuerpo inicialmente, en la posición A de la figura, toda su energía mecánica es de tipo potencial gravitatoria ya que está en reposo. El valor de esta energía mecánica será:

hRmGM)A(E

T

Tm +

−=

Al caer, va perdiendo energía potencial gravitatoria y va ganando energía cinética, de forma que cuando llega al suelo su energía mecánica será de ambos tipos y su valor vendrá dado por:

2B

T

Tm vm

21

RmGM)B(E +−=

Como el campo gravitatorio es conservativo la energía mecánica permanecerá constante a lo largo de toda la caída, por lo tanto podremos poner que:

2B

T

T

T

Tmm

vm21

RmGM

hRmGM)B(E)A(E

+−=

=+

−⇒=

De donde despejando la velocidad al llegar al suelo tendremos que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=)hR(R

hGM2hR

GMR

GM2vTT

TT

T

T

TB

Y al sustituir los valores correspondientes nos da una velocidad de:

1B sm21,7406v −=

b) El peso en la superficie valdrá:

2T

T

RmGM(sup)P =

Y el peso a la altura h será:

2T

rmGM)h(P =

A

B

v h=5000 km

Tierra

RT

Donde r =RT+h. Como P(h) = P(sup) / 4 , tendremos que:

T2T

22T

T2T R2rR4r

R4mGM

rmGM

=⇒=⇒=

Por lo tanto, la altura a la que deberá estar será h = RT.

--------------- 000 --------------- 4º. Se eleva un cuerpo de 200 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura de 5.000 km.

12

a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule el trabajo mínimo necesario. b) Si, por error, hubiéramos supuesto que el campo gravitatorio es uniforme y de valor igual al que tiene en la superficie de la Tierra, razone si el valor del trabajo sería mayor. Igual o menor que el calculado en el apartado a). Justifique si es correcta dicha suposición. RT=6400 km , MT=6.1024 kg ,G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

Tanto en la posición A como en la B el cuerpo está en reposo, luego su energía cinética no sufre variación al ser nula en ambos casos.

La variación de energía que experimenta es de tipo potencial gravitatoria. Al alejarse de la Tierra el cuerpo gana energía potencial gravitatoria, luego el trabajo mínimo que habrá que realizar equivaldrá a la variación de energía potencial gravitatoria que experimenta el cuerpo. Es decir:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

=−−+

−=−=

hR1

R1mGM

RmGM

hRmGM)A(E)B(EW

TTT

T

T

T

Tpgpg

Al sustituir los datos numéricos nos queda un trabajo de:

J10485,5W 9⋅= b) En el supuesto de considerar que el campo gravitatorio, a lo largo de los 5000 km de trayectoria, es constante e igual al que tiene en la superficie de la Tierra, el trabajo ha realizar sería bastante más grande ya que en todo momento habría que realizar sobre el cuerpo para poder trasladarlo una fuerza igual a su peso en la superficie. En la realidad, como la fuerza de atracción debida a la Tierra va disminuyendo conforme nos alejamos, la fuerza

necesaria para levantarlo es cada vez menor a lo largo de los 5.000 km. En la suposición de que el campo gravitatorio es uniforme y de valor el de la superficie, el trabajo que habría que realizar sería:

J108,9m105sm8,9kg200mghW 962 ⋅=⋅⋅⋅== −

Donde podemos observar que se realizaría un trabajo casi doble que en el primer caso, por lo tanto, la suposición es totalmente incorrecta.

--------------- 000 --------------- 5º. El radio de la Tierra es, aproximadamente, 6370 km. Si elevamos un objeto de 20 kg de masa a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. A h=5000 km

Tierra

RTm = 200 kg

B

a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura?. b) ¿Cuál será el incremento de su energía potencial?. c) Si se le deja caer desde esa altura, ¿con qué velocidad llegaría a la superficie de la Tierra?. Datos: MT=5'98.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

.

A h=300 km

Tierra

RTm = 20 kg

B a) El peso del objeto a esa altura será:

( )N31,179

hRmGMP 2

T

T =+

=

b) La variación de energía potencial será:

J10632,5hR

1R1mGM

RmGM

hRmGM)A(E)B(EE

7

TTT

T

T

T

Tpgpgpg

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

=−−+

−=−=Δ

c) Al caer, pierde energía potencial y gana energía cinética. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía potencial gravitatoria

13

que pierde desde B a A (la calculada en el apartado anterior) se transformará en cinética en la posición A. Luego:

17

pgApg

2A

sm18,2373kg20

J10632,52

mE2

vEvm21

−=⋅⋅

=

=Δ

=⇒Δ=

--------------- 000 --------------- 6º. Conocidos los valores del radio de la Tierra, 6400 km, y de la aceleración de la gravedad en la superficie, g0=9'8 m/s2. Calcula la altura sobre la superficie de la Tierra a la cual el valor de “g” se reduce a la mitad. El valor de g en la superficie viene dado por:

2T

T0 R

GMg =

Y el v0alor a una altura h será:

( )2T

Th

hRGMg+

=

Dividiendo ambas ecuaciones m.a.m. y simplificando tendremos que:

( )2T

2T

h

0

RhR

gg +

=

Y como g0 = 2 gh tendremos que:

km96,2650

RR2hR

hR2 TTT

T

=

=−=⇒+

=

--------------- 000 --------------- 7º. Dadas las masas m1=100 kg, m2=50 kg y m3=200 kg situadas en los puntos A(-3,0) , B(3,0) y C(0,2) respectivamente, calcular: a) Intensidad del campo gravitatorio y potencial gravitatorio en el punto (0,0). b) Trabajo que debe de realizarse para formar dicha distribución.

c) Trabajo necesario para traer una masa de 10 kg desde el infinito hasta el punto (0,0). a) Los campos gravitatorios que generan cada una de las masas en el origen O están representados en la figura.

M1

C(0,2)

M2

Og1 g2

Y

B(3,0) A(-3,0)

M3

X

g3

Los módulos de cada uno de estos campos serán:

11021

11 Nkg1041,7

rGMg −−⋅==

110

22

22 Nkg1070,3

rGMg −−⋅==

19

23

33 Nkg1033,3

rGMg −−⋅==

Vectorialmente se podrán expresar de la forma:

11021

11 Nkgi1041,7

rGMg −−⋅−==

rr

110

22

22 Nkgi1070,3

rGMg −−⋅==

rr

19

23

33 Nkgj1033,3

rGMg −−⋅==

rr

El campo gravitatorio total en el punto O será la suma vectorial de estos tres, es decir:

1910 Nkgj1033,3i1071,3)O(g −−− ⋅+⋅−=rrr

Cuyo módulo valdrá g(O) = 3,35·10-9 N kg-1. El potencial gravitatorio es una magnitud escalar y su valor en el punto O será la suma de los potenciales que crea cada una de las masas, es decir:

14

18

3

3

2

2

1

1 Jkg101r

GMr

GMr

GM)O(V −−⋅−=−−−=

b) El trabajo para formar dicha distribución de masas equivale a la energía potencial gravitatoria del conjunto de masas, es decir:

J101,6

13kg200kg50

13kg200kg100

m6kg50kg100

kgNm1067,6

rMGM

rMGM

rMGME

7

221123

32

13

31

12

21pg

−

−−

⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+

⋅×

×⋅−=

=−−−=

c) El trabajo que realiza el campo gravitatorio para desplazar una masa desde el infinito hasta el punto O viene dado por:

[ ][ ] J1010Jkg101kg10

)(V)O(VmVm)campo(W718 −−− ⋅=−⋅−−=

=∞−−=Δ−=

El signo positivo indica que es el campo gravitatorio el que traslada las masas desde el infinito hasta el punto O. El trabajo que realizaría una fuerza externa sería el mismo pero con signo negativo.

--------------- 000 --------------- 8º. La intensidad de un campo gravitatorio uniforme es 8 N/kg. Una masa de 10 kg tiene una energía cinética de 200 J cuando pasa por un punto A del campo. Calcular la energía cinética de esa masa, que se mueve en la dirección del campo, cuando pasa por un punto B que dista 10 m de A. El trabajo que realizaría el campo gravitatorio para trasladar la masa m desde A hasta B, según la figura, sería:

∫∫∫∫

=

==•=•=

B

A

B

A

B

A

B

Ag

drmg

drFidriFrdF)F(Wrrrr

Y como la masa y el campo son constantes tendremos que:

J800m10Nkg8kg10

mgd)rr(mgdrmgdrmg)F(W

1

ABB

A

B

Ag

=⋅⋅=

==−===

−

∫∫

Este trabajo se invierte en variar la energía cinética de la masa, luego:

J1000J200J800)A(E)F(W)B(E

)F(W)A(E)B(EE

cgc

gccc

=+=+=

⇒=−=Δ

--------------- 000 ---------------

9º. Un planeta, de forma esférica y radio 1000 km, crea un campo gravitatorio de intensidad g=0'5 N/kg en un punto P situado a 5000 km de su centro. Calcular: a) la masa del planeta. b) El potencial a 2000 y 8000 km del centro si tomamos como origen de potencial el punto P y le asignamos el valor cero (VP=0). Dato: G=6'67.10-11 N m2 kg-2. a) El campo gravitatorio a una distancia determinada viene dado por:

( ) kg1087,1kgNm1067,6

m105Nkg5,0

GgrM

r

GMg

232211

261

2

P2p

⋅=⋅

⋅⋅=

==⇒=

−−

−

b) La diferencia de potencial entre dos puntos se puede expresar como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

=−=•−=•=− ∫∫∫

ABAB

B

A 2

B

Ar2

B

ABA

r1

r1GM

r1

r1GM

drr

GMrdur

GMrdgVVrrrr

m

g = cte

A B

d=10 m Si consideramos como A el punto situado a 2000 km del centro y como B el punto P, tendremos que:

15

1666

232211AP

AAPA

Jkg1074,3m102

1m105

1x

kgx1087,1kgNm1067,6

r1

r1GMV0VVV

−

−−

⋅−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅×⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==−=−

Realizando el mismo razonamiento pero tomando ahora como A el punto situado a 8000 km del centro y como B el punto P, tendremos que:

1566

232211AP

AAPA

Jkg1035,9m108

1m105

1x

kgx1087,1kgNm1067,6

r1

r1GMV0VVV

−

−−

⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅×⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==−=−

--------------- 000 ---------------

10º. Marte posee un satélite con un período de 460 min que describe una órbita con un radio orbital medio de 9'4.106 m. ¿Cuál es la masa de Marte?. Si aplicamos la tercera ley de Kepler al sistema Marte-satélite tendremos que:

32 krT = Donde la constante k vales:

m

2

GM4k π

=

Combinando las dos ecuaciones tendremos que:

kg1045,6TG

r4M 232

32

m ⋅=π

=

--------------- 000 --------------- 11º. Suponiendo que la órbita terrestre es circular de 1'495.108 km de radio y que la Tierra invierte 365'25 días en su revolución completa, determinar la intensidad del campo gravitatorio solar en un punto que diste del Sol la centésima parte que nuestro planeta.

Aplicando la tercera ley de Kepler podemos obtener la masa del Sol de la forma:

kg1098,1TG

r4MrGM4T 30

2

32

S3

S

22 ⋅=

π=⇒

π=

Y el campo gravitatorio solar en el punto considerado será:

( )1

29

302211

2S

Nkg08,59

m10495,1

kg1098,1kgNm1067,6r

GMg

−

−−

=

=⋅

⋅⋅⋅==

--------------- 000 --------------- 12º. Cuatro partículas iguales de 1 kg de masa están situadas en los vértices de un cuadrado de 2 m de lado. Determina: a) El campo gravitatorio en el centro del cuadrado. b) El módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido a la presencia de las otras tres. c) La energía potencial gravitatoria de una partícula debida a la presencia de las otras tres. a) Los campos gravitatorios que crean las cuatro masas son los representados en la figura. m=1 kg

L=2 m

Como se puede observar, por la simetría del problema, todos los campos son iguales en módulo y, por lo tanto, se anulan mutuamente, luego el campo total en el centro del cuadrado será nulo. b) La fuerza sobre cada partícula debido a las demás será igual en módulo para cada una de ellas, variando sólo la dirección y sentido en que actúa. Por lo tanto, calcularemos la que se ejerce sobre una solo. Si representamos las

16

fuerzas que se ejercen, por ejemplo, sobre la situada en la esquina superior izquierda tendremos que: Cuyos valores numéricos serán:

N1066,1m4

kg1kg1kgNm1067,6F

11

2

2211

1

−

−−

⋅=

=⋅⋅⋅

=

N1033,8m8

kg1kg1kgNm1067,6F

12

2

2211

2

−

−−

⋅=

=⋅⋅⋅

=

N1066,1m4

kg1kg1kgNm1067,6F

11

2

2211

3

−

−−

⋅=

=⋅⋅⋅

=

Vectorialmente se expresarán como:

Nj1066,1F;Ni1066,1F 113

111

rrrr−− ⋅−=⋅=

Para expresar vectorialmente F2 calcularemos primero sus componentes:

N1089,5º45cosFF 122x2

−⋅=⋅=

N1089,5º45senFF 122y2

−⋅=⋅= Por lo tanto:

Nj1089,5i1089,5F 12122

rrr−− ⋅−⋅=

Luego la fuerza total sobre la suma m será la suma vectorial de cada una de las fuerzas:

Nj1024,2i1024,2FFFF 1111321

rrrrr−− ⋅−⋅=++=

Cuyo módulo será:

( ) (

c) Para calcular la energía potencial de una de las partículas debido a las otras tres consideraremos que esta energía viene dada por:

F1

F2 F3

45º

totalpg VmE ⋅=

Donde m es la masa considerada y Vtotal es el potencial gravitatorio que crean las otras tres masas en el punto donde se encuentra la masa m. Por lo tanto:

J1002,9

m2kg1.kgNm1067,6

m8kg1.kgNm1067,6

m2kg1.kgNm1067,6

kg1E

11

2211

2211

2211

pg

−

−−

−−

−−

⋅−=

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−

−⋅

−

−⋅

−

⋅=

--------------- 000 --------------- 13º. Dos masas puntuales m=10 kg están separadas una distancia de 48 cm. Una tercera masa m’=100 g se deja en reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y situado a una distancia de 18 cm por encima del punto medio B del segmento que une las masas m. Determinar: a) La aceleración de la masa m’ en los puntos A y B. b) La velocidad de dicha masa en el punto B. a) La situación de las masas sería la de la figura.

A

B

m1=10 kg m2=10 kg

m’=0,1 kg

L=18 cm

D=48 cm

a) La aceleración de la masa m’ en el punto A vendrá dada por: )

N1016,3

1024,21024,2F11

211211

−

−−

⋅=

=⋅−+⋅=

17

'mFa =

Donde la fuerza F es el módulo de la fuerza resultante de las que ejercen las masas m1 y m2 sobre ella. Estas fuerzas serían las representadas en la figura:

Como las masas m1 y m2 son iguales y la distancia a m’ es igual, las dos fuerzas F1 y F2 serán iguales en módulo y de valor:

( )N1041,7

m3,0kg1,0kg10kgNm1067,6FF

10

2

2211

21

−

−−

⋅=

=⋅⋅⋅

==

La fuerza total vendrá dada como suma de las componentes y de cada una de estas fuerzas, ya que las componentes x se anulan mutuamente. Esta fuerza total irá dirigida verticalmente hacia abajo. Además, las componentes y de ambas fuerzas son iguales luego:

N1089,8

º13,53cosN1041,72F2F10

10y

−

−

⋅=

=⋅⋅⋅=⋅=

Y la aceleración en el punto A será:

2910

ms1089,8kg1,0

N1089,8'm

F)A(a −−−

⋅=⋅

==

Es evidente que en el punto B la aceleración de la masa m’ será nula ya que en ese punto las fuerzas que ejercen las otras dos son iguales y de sentido contrario y, por lo tanto, se anularán. b) Para calcular la velocidad en B de la masa m’ en su movimiento de caída no podremos utilizar las ecuaciones del movi. uniformemente acelerado ya que la fuerza que actúa sobre m’ es variable según va cayendo y, por lo tanto, su aceleración también será variable.

Pero, se podrá resolver fácilmente utilizando términos de energía. La masa m’ cae dentro del campo gravitatorio creado por las otros dos masas y como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica de la masa m’ se conservará en su caída. Luego:

)B(E)B(E)A(E)B(Em)A(Em cpgpg +=⇒=

A

m1=10 kg m2=10 kg

m’=0,1 kg

F1 F2

18 cm

24 cm

30 cm 30 cm

24 cm

53,13º

Luego:

)B(E)A(E)B(E pgpgc −= Para calcular la energía potencial gravitatoria de m’ en un punto tendremos en cuenta que esta viene dada por:

totalpg V'mE = Donde Vtotal es el potencial gravitatorio que crean las otros dos masas, m1 y m2, en el punto considerado. Luego:

J1044,4

rGm

rGm'mV'm)A(E

10A2

2

A1

1Apg

−⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−==

J1055,5

rGm

rGm'mV'm)B(E

10B2

2

B1

1Bpg

−⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−==

Por lo tanto:

J1011,1)B(E)A(E)B(E 10pgpgc

−⋅=−= Y, finalmente, la velocidad en B será:

15

10c

B

ms1071,4

kg1,0J1011,12

'm)B(E2

v

−−

−

⋅=

=⋅⋅

=⋅

=

--------------- 000 --------------- 14º. Calcula el trabajo necesario para trasladar un satélite terrestre artificial de 2500 kg desde una órbita circular de 8.000 km de radio hasta otra de 10.000 km de radio.. MT=6·1024 kg

18

El trabajo que realiza el campo gravitatorio será igual a la diferencia negativa de energías potenciales del satélite en la órbita B y A.

Es decir:

))A(E)B(E()F(W pgpgg −−= Por lo tanto:

J105,2)r

mGMr

mGM()F(W 10

A

T

B

Tg ⋅−=−−−−=

Como este trabajo es negativo significa que no lo realiza el campo sino que debe realizarlo una fuerza externa. Por lo tanto, el trabajo que debe realizar una fuerza externa para trasladar el satélite de la órbita A a la B será de 2,5·1010 J.

--------------- 000 --------------- 15º. Dadas tres masas puntuales de valor 1 kg situadas en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado, calcula el campo gravitatorio en el cuarto vértice. Los campos gravitatorios en el cuarto vértice P son los representados en la figura. Sus módulos serán:

111

2

2211

21

Nkg1067,6m1

kg1kgNm1067,6gg

−−

−−

⋅=

=⋅⋅

==

A

B

Tierra

rA

rB

111

2

2211

3

Nkg10335,3m2

kg1kgNm1067,6g

−−

−−

⋅=

=⋅⋅

=

Las componentes x e y de g3 serán:

1113x3 Nkg1035,2º45cosgg −−⋅=⋅=

111

3y3 Nkg1035,2º45sengg −−⋅=⋅= Luego, la expresión vectorial de cada uno de los campos será:

1112

1111

Nkgj1067,6g

Nkgi1067,6g−−

−−

⋅−=

⋅−=rr

rr

111113 Nkgj1035,2i1035,2g −−− ⋅−⋅−=

rrr

Y, por lo tanto, el campo total en el punto P será la suma vectorial de cada uno de estos, es decir:

11111P Nkgj1002,9i1002,9g −−− ⋅−⋅−=

rrr

Cuyo módulo valdrá:

110P Nkg1027,1g −−⋅=

--------------- 000 ---------------

16º. Dadas tres masas puntuales de valores m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, situadas en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado, calcula el potencial gravitatorio en el centro y en el cuarto vértice y la energía potencial de una masa de m = 10 kg en los citados puntos.. ¿Cuánto vale el trabajo realizado para llevar dicha masa del primer punto al segundo?.

M1=1 kg

L=1 m

P

M2=1 kg M3=1 kg

g1

g2

g3 M1=1 kg

L=1 m

P

M3=3 kg M2=2 kg

O

19

El potencial gravitatorio en un punto vendrá dado por la suma de los potenciales que crea cada una de las masas en ese punto. Por lo tanto:

3

3

2

2

1

1

rGM

rGM

rGM)O(V −−−=

Y como la distancia de las tres masas al centro

es igual y de valor 22 m tendremos que:

1102211

321

Jkg1066,5m

22

kg6kgNm1067,6

)MMM(rG)O(V

−−−−

⋅−=⋅⋅

−=

=++−=

110

2211

3

3

2

2

1

1

Jkg1061,3

m1kg3

m2kg2

m1kg1kgNm1067,6

rM

rM

rMG)P(V

−−

−−

⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

La energía potencial de una masa colocada en un punto viene dada por:

mVEpg = Donde V es el potencial gravitatorio en ese punto, por lo tanto:

J1066,5

Jkg1066,5kg10)O(mV)O(E9

110pg

−

−−

⋅−=

=⋅−⋅==

J1061,3

Jkg1061,3kg10)P(mV)P(E9

110pg

−

−−

⋅−=

=⋅−⋅==

El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa de 10 kg desde O hasta P viene dado por:

J1005,2

)J1066,5J1061,3(

))O(E)P(E()F(W

9

99

pgpgg

−

−−

⋅−=

=⋅−−⋅−−=

=−−=

Como este trabajo es negativo significa que no lo realiza el campo sino que debe realizarlo una fuerza externa. Por lo tanto, el trabajo que debe realizar una fuerza externa para trasladar la

masa de 10 kg desde O hasta P será de 2,5·10-

9 J.

--------------- 000 --------------- 17º. Se tienen tres masas iguales de 100 kg en los vértices de un triángulo equilátero de lado 1 m. Calcula, considerando sólo la acción de las masas mencionadas, la intensidad del campo y el potencial gravitatorio en el baricentro del triángulo. La situación de las masas sería la representada en la figura donde el baricentro B es el punto donde se cortan las medianas, las alturas y las bisectrices por ser un triángulo equilátero. Las tres masas distan del baricentro una distancia d igual.

M1=100 kg

M2=100 kg M3=100 kg

L=1 m

B d

x=0,5 m 30º

La distancia d se puede calcular fácilmente a partir de la figura de la forma:

m577,0º30cos

m5,0d ==

El potencial gravitatorio en B, teniendo en cuenta que las masas son iguales y que las distancias también lo son sería:

18

2211

Jkg1046,3m577,0

kg100kgNm1067,63)B(V

−−

−−

⋅−=

=⋅⋅

−⋅=

El campo gravitatorio total en el baricentro deberá ser nulo ya que al ser las masas iguales y sus distancias también, el módulo del campo creado por cada una de ellas será también igual y al ser las direcciones y sentido tal y como se muestran en la figura se anularán mutuamente por simetría.

20

--------------- 000 --------------- 18º. Un satélite artificial de 1000 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 12.800 km de radio. a) Explique las variaciones de energía cinética y potencial del satélite desde su lanzamiento en la superficie terrestre hasta que alcanzó su órbita y calcule el trabajo realizado. b) ¿Qué variación ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie terrestre?. RT=6400 km , MT=6.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

a) El satélite inicialmente está en la superficie de la Tierra en reposo, luego no tendrá energía cinética. Si posee energía potencial gravitatoria que vendrá dada por:

J1025,6R

mGM)A(E 10

T

Tpg ⋅−=−=

Una vez en órbita, posición B, el satélite tendrá energía potencial gravitatoria y energía cinética ya que tiene una velocidad orbital. La energía potencial gravitatoria valdrá:

J1012,3r

mGM)B(E 10Tpg ⋅−=−=

La energía cinética en la órbita teniendo en cuenta que la velocidad orbital a una distancia r deberá ser igual a:

M1=100 kg

M2=100 kg M3=100 kg

L=1 m

B

g1

g3

g2

J1056,1r

mGM21

mv21)B(E

rGMv

10T

2orbc

Torb

⋅==

==⇒=

Por lo tanto, la energía total del satélite en órbita será:

J1056,1

J1056,1J1012,3)B(E10

1010total

⋅−=

=⋅+⋅−=

Energía total que es negativa como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio terrestre. El trabajo que habrá que realizar para ponerlo en órbita será la diferencia de energía entre la situación B y A, es decir:

J1069,4

J1025,6J1056,1)A(E)B(EW10

1010

⋅=

=⋅−−⋅−=−=

Este es el trabajo que deberán realizar los cohetes propulsores para poder poner el satélite en órbita. b) El peso del satélite en la superficie terrestre será:

N5,9770R

mGM)A(P 2T

T ==

A

B v

r

Tierra

RT

Mientras que su peso en órbita será:

N6,2442r

mGM)B(P 2T ==

Luego el peso del satélite habrá disminuido en un porcentaje igual a:

%25100N5,9770N6,2442100

)A(P)B(P

=×=×

Luego el satélite en órbita pesa un 25 % de su peso en la superficie terrestre. Es decir, sufre una disminución del 75 % de su peso en la superficie.

--------------- 000 ---------------

21

19º. Un satélite artificial en órbita geoestacionaria es aquél que, al girar con la misma velocidad angular de rotación que la Tierra, se mantiene sobre la misma vertical. a) Explique las características de esa órbita y calcule su altura respecto a la superficie de la Tierra. b) Razone qué valores obtendría para la masa y el peso de un cuerpo situado en dicho satélite sabiendo que su masa en la Tierra es de 20 kg?. RT=6400 km , MT=6.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

a) La órbita geoestacionaria tiene que estar en el plano del Ecuador porque si no fuera así sería imposible que estuviese siempre sobre la misma vertical de la Tierra. Además, el centro de la órbita debe ser el centro de la Tierra ya que la fuerza de atracción gravitatoria sobre el satélite va dirigida hacia él. Al orbitar a la misma velocidad de rotación que la Tierra se mantendría sobre la misma vertical, punto B. Ver figura.

Si orbitase según la órbita C, sería imposible que estuviese siempre sobre la misma vertical debido al sentido de rotación de la Tierra. Si gira con la misma velocidad de rotación de la Tierra significa que su velocidad angular de rotación deberá ser igual a:

15rot srad1027,7

s360024rad2 −− ⋅⋅=

⋅π⋅

=ω

Su velocidad lineal (orbital) será:

rv ⋅ω= Donde r es el radio de la órbita que describe. Si tenemos en cuenta que la velocidad orbital de un satélite alrededor de la Tierra y a una distancia r viene dada por:

rGMv T=

Tendremos que:

32

T

22T222

GMr

rr

GMrv

ω=

⇒⋅ω=⇒⋅ω=

Si sustituimos los valores numéricos tendremos:

( )m1023,4

srad1027,7

kg106kgNm1067,6GMr

7

3 215

2422113

2T

⋅=

=⋅⋅

⋅⋅⋅=

ω=

−−

−−

Por lo tanto, la altura sobre la superficie terrestre a la que deberá colocarse será:

m1059,3m104,6m1023,4Rrh 767T ⋅=⋅−⋅=−=

b) Evidentemente la masa del cuerpo en el satélite sería la misma que en la Tierra, es decir, 20 kg. Ahora bien, su peso se vería reducido bastante. Su valor sería:

B

v Tierra

C

( )N47,4

m1023,4

kg20kg106kgNm1067,6r

mGMP

27

242211

2T

=⋅

⋅⋅⋅⋅=

==

−−

Mientras que su peso en la Tierra sería:

N196ms8,9kg20P 2o =⋅= −

--------------- 000 --------------- 20º. Un satélite se encuentra a una altura de 600 km sobre la superficie de la Tierra, describiendo una órbita circular. a) Calcule el tiempo que tardará en dar una vuelta completa, razonando la estrategia seguida para dicho cálculo. b) Si la velocidad orbital disminuyera, explique si el satélite se acercaría o se alejaría de la Tierra e indique qué variaciones experimentarían la energía potencial, la energía cinética y la energía mecánica del satélite.

22

RT=6400 km , MT=6.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

a) El radio de la órbita que describe sería:

m107m106m104,6hRr 656T ⋅=⋅+⋅=+=

La velocidad a la que órbita a esa distancia viene dada por:

13

6

242211

Torb

ms1056,7m107

kg106kgNm1067,6

rGMv

−

−−

⋅=

=⋅

⋅⋅⋅=

==

Por lo tanto el tiempo que tardará en dar una vuelta será:

s1081,5ms1056,7

m1072v

r2vet 3

13

6⋅=

⋅⋅⋅π

=π

== −

b) Como la velocidad orbital viene dada por

rGMv T

orb =

Para que disminuya tiene que aumentar r, por lo tanto, el satélite se alejaría de la Tierra pasando a estar en una órbita más alejada. La energía cinética disminuiría ya que disminuye su velocidad pero la energía potencial gravitatoria aumentaría al estar más alejado de la Tierra ya que la energía potencial gravitatoria viene dada por la expresión:

rmGME T

pg −=

Y al aumentar r aumenta la energía potencial gravitatoria ya que es negativa. La energía mecánica del satélite no sufrirá variación ya que el campo gravitatorio es conservativo y, por lo tanto, la energía mecánica de un cuerpo sometido sólo a la atracción gravitatoria se conserva. Es decir, la pérdida de energía cinética se convierte en ganancia de energía potencial gravitatoria.

--------------- 000 ---------------

21º. Un satélite de 250 kg de masa está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula: a) Su velocidad y su período de revolución. b) La energía necesaria para poner el satélite en órbita con esa velocidad. RT=6400 km , MT=6.1024 kg ,G=6'67.10-11 N m2 kg-2.

a) La velocidad orbital será:

13

6

242211

Torb

ms1061,7

m109,6kg106kgNm1067,6

rGMv

−

−−

⋅=

=⋅

⋅⋅⋅=

==

El periodo de revolución, tiempo que tarda en dar una vuelta, será:

s1069,5ms1061,7

m109,62v

r2vet 3

13

6⋅=

⋅⋅⋅π

=π

== −

b) La energía necesaria será la diferencia entre la energía que tiene en órbita y la que tiene en la superficie de la Tierra antes del lanzamiento. La energía en la superficie será solo potencial gravitatoria, ya que está en reposo. Luego será:

J1056,1R

mGM)suelo(E 10

T

Tpg ⋅−=−=

La energía en la órbita será la cinética más la potencial gravitatoria, es decir:

J1045,1r

mGM)órbita(E 10Tpg ⋅−=−=

La energía cinética en órbita teniendo en cuenta la expresión de la velocidad orbital es:

J1025,7r2mGM)órbita(E 9T

c ⋅==

Por lo tanto la energía total en órbita será:

J1025,7

J1045,1J1025,7)órbita(E9

109total

⋅−=

=⋅−⋅=

Por lo tanto, la energía necesaria para poner al satélite en órbita será:

23

J1035,8J1056,1J1025,7E 9109 ⋅=⋅−−⋅−=

--------------- 000 --------------- 22º. Un satélite artificial gira en torno a la Tierra describiendo una órbita situada a 5.105 m de altura sobre la superficie terrestre y tarda 1'57 horas en dar una vuelta. Calcula la masa de la Tierra. Datos: RT = 6'4.106 m G = 6'6.10-11 N m2 kg-2.

A partir de la tercera ley de Kepler aplicada al sistema Tierra-satélite tendremos que:

32 krT = Donde la constante k vale:

T

2

GM4k π

=

Combinando ambas ecuaciones tendremos que:

( )kg106

s360057.1kgNm1067,6)m105m104,6(4

GTr4M

24

22211

3562

2

32

T

⋅=

=⋅⋅⋅

⋅+⋅π

=π

=

−−

--------------- 000 --------------- 23º. Se desea poner en órbita un satélite artificial a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital que se ha de comunicar al satélite. b) El periodo de rotación. Datos: RT=6378 km , MT=5'98.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2

a) La velocidad orbital viene dada por:

13

56

242211

Torb

ms1074,7

m103m10378,6kg1098,5kgNm1067,6

rGMv

−

−−

⋅=

=⋅+⋅

⋅⋅⋅=

==

b) El periodo de rotación vendrá dado por:

s07,5421ms1074,7

)m103m10378,6(2v

r2T 13

56

orb

=

=⋅

⋅+⋅⋅π=

π=

−

--------------- 000 --------------- 24º. Se coloca un satélite metereológico de 1000 kg en órbita circular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Determina: a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el periodo en la órbita. b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite. Datos: gravedad en la superficie g=9'8 m.s-2, RT = 6370 km.

a) La velocidad lineal (velocidad orbital) será:

rGMv T

orb =

Como no conocemos como dato la masa de la Tierra tendremos que expresarla en función de r y RT, de la forma:

kg1096,5G

gRMR

GMg 242T

T2T

T ⋅==⇒=

Y de aquí la velocidad orbital será:

1ms31072,7

m5103m61037,6

kg241096,52kg2Nm111067,6

rTGM

orbv

−⋅=

=⋅+⋅

⋅⋅−−⋅=

==

La aceleración radial o centrípeta viene dada por:

24

( )( )

256

2132

c ms93,8m103m1037,6

ms1072,7r

va −−

=⋅+⋅

⋅==

El periodo de la órbita será:

s6,5428ms1072,7

)m103m1037,6(2v

r2T13

56

orb

=

=⋅

⋅+⋅⋅π=

π=

−

b) El trabajo necesario será la diferencia entre la energía que tiene en órbita y la que tiene en la superficie de la Tierra antes del lanzamiento. La energía en la superficie será solo potencial gravitatoria, ya que está en reposo. Luego será:

J1024,6R

mGM)suelo(E 10

T

Tpg ⋅−=−=

La energía en la órbita será la cinética más la potencial gravitatoria, es decir:

J1096,5r

mGM)órbita(E 10Tpg ⋅−=−=

La energía cinética en órbita teniendo en cuenta la expresión de la velocidad orbital es:

J1097,2mv21)órbita(E 102

orbc ⋅==

Por lo tanto la energía total en órbita será:

J1098,2

J1096,5J1097,2)órbita(E10

1010total

⋅−=

=⋅−⋅=

Por lo tanto, el trabajo necesario para poner al satélite en órbita será:

J1026,3J1024,6J1098,2W 101010 ⋅=⋅−−⋅−=

--------------- 000 --------------- 25º. Una estación espacial se encuentra en órbita geoestacionaria en el plano del Ecuador. Se lanza un cohete que llega a la altura de la estación con una velocidad de 4.000 m/s. ¿podrá escapar dicho cohete de la atracción gravitatoria terrestre?. En caso negativo, ¿qué velocidad debería tener el cohete al alcanzar la estación espacial para escapar de la atracción de la Tierra?. Datos: RT=6378 km , MT=5'98.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2

Como hemos visto en un problema anterior el radio de la órbita geoestacionaria viene dado por:

( )m1023,4

srad1027,7

kg106kgNm1067,6

GMr

7

3 215

242211

32

T

⋅=

=⋅⋅

⋅⋅⋅=

=ω

=

−−

−−

Para poder saber si el cohete escapará o no de la atracción terrestre deberemos calcular la velocidad de escape a la distancia que se encuentra la estación espacial. La velocidad de escape viene dada por:

1

7

242211

Tesc

ms68,4342

m1023,4kg1098,5kgNm1067,62

rGM2

v

−

−−

=

=⋅

⋅⋅⋅⋅=

==

Por lo tanto, como la velocidad con la que el cohete alcanza la estación es inferior a la de escape no podrá escapar de la atracción terrestre. Deberá llegar como mínimo con una velocidad igual a la de escape.

--------------- 000 --------------- 26º. Determinar la energía de enlace de un satélite de 3 Tm que se encuentra situado en la superficie del planeta Mercurio, cuya masa es M=3'31.1023 kg y cuyo radio es R=2.440 km. La energía de enlace corresponde con el valor absoluto de la energía total que tiene el satélite. Si está en la superficie no tendrá energía cinética y sólo poseerá potencial gravitatoria, luego:

J1071,2m1044,2

kg3000kg1031,3kgNm1067,6

RmGM

E

10

6

232211M

Menlace

⋅=

=⋅

⋅⋅⋅⋅=

==

−−

--------------- 000 ---------------

25

27º. Determinar con qué velocidad tiene que lanzarse un satélite artificial desde la superficie terrestre para que alcance una altura de 5.000 km. Suponer que el rozamiento con la atmósfera es nulo. Datos: RT=6378 km , MT=5'98.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2 kg-2

La energía cinética que habrá que comunicarle debe compensar la diferencia de energía potencial entre la superficie y la altura considerada ya que esta energía cinética se irá convirtiendo paulatinamente en energía potencial gravitatoria. Por lo tanto deberá cumplirse que:

T

T

T

T2

RmGM

hRmGMmv

21

−−+

−=

Despejando la velocidad tendremos que:

13

TTT ms1041,7

hR1

R1GM2v −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

--------------- 000 --------------- 28º. Dos satélites idénticos están recorriendo sendas órbitas del mismo radio, el primero alrededor de la Tierra y el segundo alrededor de la Luna. ¿Cuál de ellos se mueve a mayor velocidad? ¿Por qué? ¿Cuál es la relación entre sus velocidades si las masas de la Tierra y de la Luna son 6.1024 kg y 7'3.1022 kg, respectivamente?. Como la velocidad orbital viene dada por:

rGM

orbv =

Y al ser los radios de las órbitas iguales, la velocidad del que orbita la Tierra debe ser mayor ya que la masa de la Tierra es mayor que la de la Luna. La velocidades orbitales serían:

rGM)L(orbv;

rGM)T(orbv LT ==

Dividiendo m. a m. ambas ecuaciones tendremos que:

06,9kg103,7

kg106MM

)L(v)T(v

22

24

L

T

orb

orb =⋅⋅

==

Por lo tanto, la velocidad orbital del que orbita la Tierra es aproximadamente 9 veces mayor del que orbita la Luna.

--------------- 000 ---------------