5. Interacción gravitatoria

Tema 5

Interacción gravitatoria

5.1 Evolución de los modelos de movimiento planetario. 5.2 Leyes de Kepler. Ley de gravitación universal. 5.3 Campo gravitatorio. 5.4 Energía potencial gravitatoria. Potencial gravitatorio. 5.5 Distribución de masas puntuales. Principio de superposición. 5.6 Aplicaciones al estudio de la gravedad planetaria. Satélites.

5.1. Evolución de los modelos de movimiento planetario.

Desde el principio de los tiempos el hombre se ha interesado por el cielo nocturno y ha

observado que los objetos celestes (astros) varían de posición de forma cíclica. Las primeras

teorías acerca del movimiento y posición de los astros se deben a Aristóteles (s. IV a.C.) y

Tolomeo (s. II d.C.) y sitúan a la Tierra en el centro del Universo (geocentrismo) estando el

resto de los cuerpos celestes girando entorno suyo. Sorprendía el extraño movimiento de

algunos astros cuya trayectoria era extraña; avanzaban y retrocedían de forma alternativa. A

estos objetos se los llamaron planetas que en griego significaba errantes. Este fenómeno fue

explicado como si los planetas siguieran un movimiento combinado según dos trayectorias;

deferente y epiciclo.

Figura 5.1. Trayectorias planetarias (a). Explicación mediante los modelos

geocéntrico (b) y heliocéntrico (c) .

Tema 5: Interacción gravitatoria Física 2º Bachillerato

Esta concepción del Universo de mantuvo hasta el siglo XVI, cuando Nicolás Copérnico

situó al Sol en el centro del Universo, y la Tierra pasó a ser un planeta más, el tercero, que

describía una órbita perfectamente circular en torno al Sol. Esta teoría se conoce como

heliocentrismo y no fue aceptada hasta tiempo después. De este modo se puede explicar el

movimiento de los planetas visto desde la Tierra de un modo más sencillo, ya que se interpreta

como un adelantamiento planetario al viajar los planetas más internos a velocidad mayor.

5.2 Leyes de Kepler. Ley de gravitación universal.

5.2.1 Leyes de Kepler

Entre finales del siglo XVI y principios de XVII el alemán Johanes Kepler, tras

cuidadosas observaciones y mediciones y basándose en los datos experimentales de un gran

matemático de la época llamado Tycho Brahe, descubrió que las trayectorias que siguen los

planetas alrededor del Sol no son circulares, sino elípticas situándose el Sol en uno de sus

focos. Kepler sintetizó sus observaciones en tres leyes:

• Primera ley: los planetas siguen trayectorias elípticas alrededor del Sol estando éste

situado en uno de sus focos. El punto más cercano se denomina perihelio y el más

alejado afelio.

• Segunda ley: el área barrida por un planeta en su órbita (superficie areolar) en

intervalo de tiempo determinado es siempre la misma. La velocidad de traslación de

un planeta no es constante, sino que al estar más cerca del Sol viaja más rápido.

Estas variaciones son tales que en un intervalo de tiempo fijo el área barrida es la

misma sin importar el lugar de su órbita en el que se encuentre el planeta.

A

B Sol

D

C Figura 5.2. Trayectoria de los planetas y superficies areolares

• Tercera ley. El cuadrado del periodo de traslación es proporcional al cubo del semieje

mayor de la elipse. Éste se suele aproximar a la distancia media al Sol.

T2 = k · R3

Si se mide el tiempo en años y la distancia al Sol en unidades astronómicas (distancia

media entre la Tierra y el Sol, 1u.a. = 150 millones de Km.) la relación es de igualdad.

T2(años)= R3

(u.a.)

Tema 5-2

Colegio Sagrado Corazón

Por ejemplo, Júpiter se encuentra aproximadamente a cinco unidades

astronómicas del Sol (cinco veces más lejos que la Tierra) y su periodo de

traslación es de 11.2 años por lo que:

T = 11.2 años → T2 = 125.44 años2 R = 5 u.a. → R3 =125 u.a.2

Las tres leyes son válidas en general para cualquier masa en órbita alrededor de otra;

la Luna alrededor de la Tierra, una satélite artificial en torno a Marte, los cometas, etc.

5.2.2 Ley de Gravitación Universal

En la segunda mitad del siglo XVII Isaac Newton llegó a la conclusión que el hecho que

los cuerpos caigan al suelo implica que debe haber una fuerza que los atraiga hacia la Tierra;

al mismo tiempo y, basándose en el principio de inercia, interpretó que la Tierra debe ejercer

una fuerza sobre la Luna ya que, en caso contrario, ésta tendría una trayectoria rectilínea.

Newton consideró ambos hechos como resultados de un mismo fenómeno; la atracción que se

ejercen las masas. Así pues enunció la ley de gravitación universal de la siguiente manera:

"Dos masas siempre experimentan una fuerza de atracción que es directamente

proporcional al producto de sus masas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que los separa y actúa en la dirección de la línea que las une ".

rr

mGmF 221 ˆ−=

r

Figura 5.3 Fuerzas gravitatorias

En la expresión anterior hay que tener en cuenta lo siguiente:

a) G = 6.67·10−11 Nm2/Kg2 y recibe el nombre de constante de gravitación universal ya

que no depende del medio, ni de las posiciones, velocidades, aceleraciones, etc.

b) La dirección de F y rrr

es la misma pero su sentido es contrario, como indica el signo

negativo. El significado es que las fuerzas son siempre atractivas.

c) La validez de la expresión es absoluta; desde núcleos atómicos hasta galaxias, de ahí

el calificativo de universal.

d) Por el principio de acción y reacción las dos masas experimentan la misma fuerza en

módulo y dirección pero en sentido contrario.

Tema 5-3


Características de la interacción gravitatoria:

1. Siempre es atractiva.

2. Es de carácter central, las fuerzas están en la dirección de los centros de las masas.

3. La fuerza gravitatoria es conservativa y, por lo tanto, se pueden definir una energía

potencial y un potencial.

4. La intensidad de la fuerza es directamente proporcional al producto de las masas;

cuanto mayores sean las masas, mayor será la fuerza que las atrae.

5. La intensidad de la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia, es decir, al doble de distancia la fuerza disminuye la cuarta parte.

6. Largo alcance; la fuerza gravitatoria se ejerce a cualquier distancia si bien su

intensidad disminuye de la forma 1/r2.

7. Pequeña intensidad debido al pequeño valor de G. Para que las fuerzas gravitatorias

sean apreciables es necesaria una gran cantidad de masa.

5.3. Campo gravitatorio.

5.3.1 Campo gravitatorio de una masa puntual; líneas de campo

Cualquier masa, con cualquier forma, siempre atrae a otras masas. El caso más

sencillo es el de una masa puntual; toda la masa se supone concentrada en un único punto.

Es una buena aproximación para el caso de los planetas y las estrellas debido a las largas

distancias que los separan. Desde el Sol, la Tierra y los planetas se pueden tomar como puntos

de masa relativamente grande situados a grandes distancias.

Una masa ejerce la fuerza gravitatoria a distancia,

sin necesidad de que exista contacto físico; esto se explica

utilizando el concepto de campo. Un campo es una manera

de representar una magnitud física en el espacio. En este

caso se quiere representar la influencia gravitatoria de una

masa, por lo que se habla de campo gravitatorio. Dado

que la interacción gravitatoria es una fuerza, el campo

gravitatorio es vectorial. Una masa puntual atraerá hacia sí

cualquier otra masa que se encuentre en cualquier punto del

espacio circundante, por lo tanto el campo es radial y hacia dentro.

Figura 5.4. Campo gravitatorio creado por una masa puntual

La representación gráfica del campo se realiza mediante líneas de campo que son

líneas tangentes en cada punto al vector campo gravitatorio, tal como se muestra en la figura

5.4.

Se ha descrito la representación del campo en el espacio y se han definido las líneas

de campo, sin embargo, la intensidad de la interacción gravitatoria en un punto concreto

depende de la masa que se sitúe en ese punto, lo que no da una idea real de la intensidad de

Tema 5-4


un campo. Por ello se define una nueva magnitud; el vector intensidad de campo gravitatorio

creado por una masa ‘M’, como la fuerza por unidad de masa que ‘M’ es capaz de ejercer

sobre cualquier otra masa ‘m’ situada en el espacio circundante.:

rr

GMg mFg 2

ˆ−=⇒=r

rr

La unidad del campo gravitatorio en el S.I. es el m/s2, que corresponde a una

aceleración.

5.4. Energía potencial gravitatoria. Potencial gravitatorio.

5.4.1. Energía potencial gravitatoria.

En el tema anterior se han definido las fuerzas conservativas como aquellas en las que

el trabajo que realizan entre dos puntos no depende del camino seguido. En esas situaciones

se puede definir una energía potencial (magnitud escalar) asociada a la fuerza. Se va a calcular

ahora el trabajo necesario para desplazar una masa ‘m’ desde una posición inicial indicada por

el vector de posición ‘ 1rr

’ a otra posición final ‘ 2rr

’ bajo la influencia del campo gravitatorio

creado por otra masa ‘M’. Se sitúa el origen del sistema de referencia en ‘M’ por comodidad.

Fr

1rr

2rr

sdr

rdr

α

M

m

1

Figura 5.5. Movimiento de una masa puntual en un cam

2

po gravitatorio

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=−==

−

⋅⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅==

∫

∫∫∫∫

1212

r2

r1

r2

r12

r2

r12

r2

r12

r2

r1

r2

r1g

r1

r1GMm

rGMm

rGMm

r1GMm

rdrGMm

dscosαr1GMmdscosα

rmMGdscosαFsdFW

ro

r

Del resultado se puede extraer que la integral depende de constantes conocidas y de

las distancias ‘r1‘ y ‘r2‘ que separan la masa generadora del campo de las posiciones inicial y

final. La integral no depende del camino seguido y por lo tanto se demuestra que el campo

Tema 5-5


gravitatorio es conservativo. Se puede definir una energía potencial de forma que entre dos

puntos su variación será:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=−=

12g r

1r1GMmWΔEp

En un punto concreto la energía potencial vale:

cter

GMmEp +−=

Si se considera que en el infinito la masa ‘M’ no ejerce ninguna fuerza, tampoco habrá

campo ni energía potencial, por lo que es en el infinito donde se sitúa el origen de potenciales:

Ep(∞) = 0

ctecter

GMmlimEp(r)lim)Ep(rr

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==∞

∞→∞→

Por lo tanto la constante vale cero y se puede expresar la energía potencial que tiene

una masa ‘m’, como consecuencia de estar inmersa en el campo gravitatorio creado por una

masa puntual ‘M’ como:

rMmGEp −=

Al ser una energía su unidad es el Julio. Es muy importante tener siempre presente que

esta expresión asume que el origen de potenciales está en el infinito. Como se puede apreciar

la energía potencial sólo depende del valor de las masas y de la distancia que las separa.

Si representamos gráficamente la energía potencial de dos masas (eje y) frente a la

distancia que separa ambas masas obtenemos la curva siguiente.

Energía potencial

r

Ep

Figura 5.6. Representación de la Ep de dos masas frente a

la distancia que las separa.

Tema 5-6


Esta gráfica representa que a medida que las masas están más alejadas su energía

potencial va siendo mayor hasta el valor máximo, que es cero, en el infinito. Si las masas están

próximas su energía potencial es menor (más negativa). Si la distancia entre las masas tiende

a cero la energía tiende hacia –∞, que es el valor más pequeño posible. Este caso no se puede

dar nunca porque si la distancia que las separa es cero significaría que las dos masas están al

mismo tiempo en el mismo punto.

5.4.2. Potencial gravitatorio; superficies equipotenciales

Se define el potencial de campo gravitatorio como la energía por unidad de masa

que tendría cualquier cuerpo afectado por el campo gravitatorio creado por una masa M.

mEpU =

rMGU −=

Es una magnitud escalar y su unidad es el J/Kg. De la expresión anterior se puede

observar que el potencial sólo depende del valor de la masa que crea el campo y de la

distancia que se considere.

Se denominan superficies equipotenciales a los lugares del espacio que tienen el

mismo potencial. En el caso de una masa puntual las superficies de equipotenciales son

esferas concéntricas centradas en la masa generadora del campo. Si una masa se mueve por

una superficie equipotencial no cambia su energía. Las superficies equipotenciales se

relacionan con las líneas de campo de la siguiente manera:

1. las superficies equipotenciales son en siempre perpendiculares a las líneas de campo;

2. el sentido de las líneas de campo es siempre hacia potenciales decrecientes.

Figura 5.7. Relación entre el campo y el potencial

Tema 5-7


En general el potencial se puede relacionar con el módulo del campo mediante la

expresión:

drdUg =

que en todo caso se considerará de modo unidimensional, derivando directamente respecto ‘r’.

Esta expresión indica que el campo gravitatorio se puede calcular como la derivada del

potencial respecto de la distancia. En una región donde el potencial sea constante el campo

gravitatorio será cero, mientras que en una región donde el potencial cambie muy deprisa el

campo será muy intenso.

5.4.3. Trabajo realizado por la gravedad y trabajo realizado por fuerzas no conservativas.

La relación entre el trabajo realizado y las variaciones de la energía potencial puede

resultar confusa si no se tiene muy claro el trabajo de qué fuerza se va a calcular.

Por un lado está el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (Wg) que, al ser una

fuerza conservativa, tiene un valor, por definición, igual a la variación de energía potencial

cambiada de signo.

Wg= – ΔEp

Si el trabajo que se va a calcular es cualquier otro (grúas, motores, personas, ...) se

supone que el objeto se moverá a velocidad constante mientras no se indique lo contrario, en

ese caso:

WFNC= ΔEm

WFNC= ΔEc + ΔEp

WFNC= ΔEp

Por lo tanto, si un objeto cambia de altura y se quiere calcular el trabajo realizado sobre

dicho objeto es fundamental tener claro que:

a) el trabajo realizado por la gravedad es: Wg = – ΔEp

b) el trabajo realizado por cualquier otra fuerza es: W = ΔEp

5.5. Distribución de masas puntuales. Principio de superposición.

En el caso que existan ‘n’ masas puntuales se aplica el principio de superposición,

de uso muy frecuente en física;

“El efecto de varias interacciones simultáneas es igual a la suma de los efectos

cada interacción por separado.”

Tema 5-8


Aplicado al campo gravitatorio, la fuerza ejercida por varias masas puntuales se puede

calcular sumando la fuerza que ejerce cada masa por separado, y este principio se extiende

también al campo, energía potencial y potencial gravitatorios. De este modo se obtienen las

siguientes expresiones para n masas puntuales:

∑=

−=n

1ii2

i

i rr

mMGF ˆ

r ∑

=

−=n

1ii2

i

i rrM

Gg ˆr

∑=

−=n

1i i

iP r

mMGE ∑

=

−=n

1i i

i

rM

GU

En las expresiones anteriores ‘Mi‘ representa cada una de las masas que se sitúan en

el espacio, ‘ irr

’ son los vectores que van desde cada ‘Mi‘ hasta el punto en el que se van a

calcular cualquiera de las cuatro magnitudes, y ‘m’ es la masa que se sitúa en ese punto. La

figura muestra un ejemplo en el que se van a calcular cualquiera de las cuatro magnitudes

anteriores en el punto P.

Figura 5.8. Principio de superposición para tres masas.

5.6. Aplicaciones al estudio de la gravedad planetaria. Satélites.

Todo lo que se ha visto hasta ahora es completamente aplicable al caso de objetos en

las proximidades de un planeta. Los planetas se pueden aproximar a masas puntuales a

efectos de utilizar las expresiones anteriores. Se va a trabajar con el caso de la Tierra, pero los

resultados son completamente generalizables a cualesquiera otros cuerpos celestes. Los datos

propios de la Tierra son:

MT = 5.98·1024 kg RT = 6.37·106 m

Tema 5-9


5.6.1. Campo gravitatorio terrestre. Variación de g con la altura.

Normalmente se supone que el valor de la gravedad terrestre es constante (g=9.8m/s2),

de dirección vertical y sentido hacia abajo. Esta aproximación es correcta siempre que se esté

en la superficie terrestre y se suponga a esta plana. A medida que nos alejamos de la

superficie terrestre ocurren dos efectos:

a) La superficie deja de ser plana, por lo tanto las líneas de campo gravitatorio dejan

de ser paralelas (figura 5.9).

b) Al alejarnos del centro de la Tierra el valor de g disminuye.

Figura 2.9. Variación de la dirección de g con la altura

Como ya se ha visto el valor del campo gravitatorio es:

rrMGg 2

ˆ−=r

donde ‘r’ representa la distancia entre el centro de la Tierra y el objeto. En los experimentos

realizados en la superficie terrestre ‘r’ puede variar en varios kilómetros como mucho que

comparados al radio terrestre 6,370Km no suponen una variación importante en la distancia

que separa los centros. Sin embargo, al elevarnos cientos o miles de Km las variaciones si

pueden ser significativas. La siguiente gráfica muestra cómo varía ‘g’ con la altura

0

2

4

6

8

10

12

0 5000 10000 15000 20000

altura en Km

g

Figura 5.10. Variación de g con la distancia a la superficie terrestre.

Tema 5-10


La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo, el peso, se calcula mediante la

expresión:

gmPrr

=

pero en el caso de no estar en las proximidades de la superficie terrestre se debe calcular el

valor de ‘g’ mediante su expresión general. La dirección siempre es la línea que une los centros

de las masas y el sentido hacia el centro de la Tierra. De la expresión general se puede deducir

que, a medida que las posiciones estén más alejadas de la superficie terrestre, el valor de ‘g’

disminuye hasta anularse en infinito. En este tipo de cálculos es muy importante tener en

cuenta que las distancias que se emplean en las expresiones deben ser las distancias que

separan los centros de los objetos, y en ningún caso deben confundirse con la altura, que es la

distancia desde la superficie terrestre.

5.6.2 Energía potencial gravitatoria terrestre

La energía potencial en la superficie terrestre se puede calcular mediante la siguiente

expresión, en la que se ha considerado constante el valor de g:

Ep = mgh

donde h es la altura desde un punto de referencia que generalmente se toma el punto más bajo

de las posiciones que adquiere la masa m. Si se considera que g no es constante la energía

potencial se calcula mediante la expresión más general:

RGMmEp −=

en la que el origen se encuentra en el infinito. En ambos casos la energía no está bien definida

en un punto y lo que en realidad tiene sentido son las variaciones de energía potencial.

Ambas expresiones son válidas pero hay que usar cada una en su contexto. Se puede

demostrar que a partir de la expresión general se puede obtener la expresión válida sólo para

la superficie terrestre.

5.6.3. Satélites; velocidad, periodo y energía orbitales y velocidad de escape

Un satélite es un objeto que se mueve alrededor de otro objeto mucho más masivo,

sometido a la fuerza gravitatoria de éste, siguiendo una trayectoria que recibe el nombre de

órbita. Los satélites pueden ser naturales como la Luna o artificiales. En este segundo caso el

artificio humano se sitúa a una altura determinada y se le imprime una velocidad tal que el

satélite no se precipita sobre la Tierra, sino que da vueltas en torno a ella permaneciendo así

mientras se mantengan sus condiciones de movimiento. En lo que sigue se va a suponer que

las órbitas son trayectorias circulares.

Tema 5-11


Es conveniente volver a diferenciar dos magnitudes relativas a la posición del satélite:

• la altura a que se encuentra el satélite, h, se mide desde la superficie terrestre;

• la posición del satélite, R, se mide desde el centro de la tierra, y es igual al

radio de la órbita;

La relación entre ambas es: R = h + RT tal y como se muestra en la figura 5.11.

Figura 5.11. Relación entre h, R y RT.

5.6.3.1. Velocidad orbital

Todo satélite tiene una velocidad orbital que está determinada por el radio de la órbita

que describe. Un cambio en la velocidad afectará al radio de la órbita de manera que el satélite

se acercará o alejará de la Tierra. Para calcular la velocidad orbital se parte de la fuerza que

experimenta un satélite de masa ms a una distancia R del centro de la Tierra:

rmM

GF sT ˆ−=r

R2

la fuerza centrípeta que produce el movimiento circular es:

cSc amFr r

=

teniendo en cuenta que estas dos fuerzas son la misma e igualando los módulos:

Rv

mR

mMG

2o

s2sT =

despejando se obtiene el valor de la velocidad orbital:

RGM

v To =

De la expresión se deduce que la velocidad orbital depende solamente del radio de la

órbita y no de la masa del satélite. La masa del satélite tiene influencia durante el proceso de

elevar el satélite, pero una vez en órbita ésta no interviene.

Tema 5-12


5.6.3.2. Periodo orbital

Otro dato que resulta interesante es el periodo orbital, que es el tiempo que tarda el

satélite en completar una vuelta. Partiendo de la velocidad orbital y de las relaciones entre

velocidad lineal, velocidad angular y periodo:

Rv2πT

RT

2πv

Rωv

o

o

o

=

=

⋅=

T

3

GMR2πT =

El periodo orbital depende únicamente de la masa del planeta y del radio de la órbita

pero no de la masa del satélite.

5.6.3.3. Energía orbital

La energía que un satélite en órbita posee es la suma de las energías cinética y

potencial.

RmGM

RGM

m21

RmGM

vm21

EEE

STTS

ST2oS

pcm

−=

−=

+=

2RmGM

E STm −=

La energía necesaria para que un satélite cambie de órbita se puede calcular

fácilmente como la diferencia entre la energía final y la inicial. Un resultado positivo indica que

hay que aportar energía para que se produzca el cambio de órbita mientras que uno negativo

significa que el satélite debe perder energía.

Un problema diferente es el cálculo de la energía necesaria para poner en órbita al

satélite. En este caso la energía inicial es la que posee en la superficie de la Tierra que,

mientras no se indique lo contrario, se va a suponer que es sólo potencial. La energía final es la

energía orbital, que incluye la energía potencial y la cinética.

Tema 5-13


5.6.3.4. Velocidad de escape

Se define la velocidad de escape de un planeta como la velocidad inicial que habría

que comunicar a un objeto en su superficie para que dicho objeto abandone el campo

gravitatorio de dicho planeta y no vuelva a él. Es un caso teórico que sólo tiene sentido

suponiendo que el planeta o sistema está sólo en el Universo. Realmente, si se lanza un objeto

desde un planeta y el objeto cae en el campo gravitatorio de otro astro ya no volverá.

Para calcular la velocidad de escape se aplica el teorema de conservación de la

energía mecánica. Se consideran dos puntos:

• el inicial, que es la superficie terrestre. Aquí la energía del cuerpo es la

energía cinética que se le comunica más la energía potencial gravitatoria

que tiene:

ST

T2escS

PCm0

mRM

Gvm21

EEE

−=

=+=

• el final, que es el infinito. El cuerpo tiene que llegar como mínimo hasta

el infinito y detenerse allí porque, si se detuviese antes, sentiría la

atracción gravitatoria y acabaría volviendo a la Tierra, por lo tanto en el

punto final EC∞=0. Además, EP∞=0 ya que no actúa la interacción

gravitatoria. Por lo tanto:

Em∞ = 0

La energía mecánica se conserva puesto que solo actúa la fuerza gravitatoria,

que es conservativa, y no se tiene en cuenta el rozamiento:

Em0 = Em∞

0mRM

Gvm21

ST

T2escS =−

despejando la velocidad de escape se obtiene:

T

Tesc R

2GMv =

Como se puede comprobar la velocidad de escape solamente depende de las

características del planeta y no depende de la masa del satélite. Para el caso particular

de la Tierra dicha velocidad vale 11.2 km/s.

Tema 5-14


Datos del Sistema Solar

Nombre Distancia al Sol (106 km)

Radio (km)

Masa (kg)

V. Escape (km/s)

Sol 0 695000 1.989e+30 618.02 Mercurio 0.57910 2439.7 3.303e+23 4.2507

Venus 108.200 6051.8 4.869e+24 10.362 Tierra 149.600 6378.14 5.976e+24 11.182 Luna 0.3844* 1737.4 7.349e+22 2.3760 Marte 227.940 3397.2 6.421e+23 5.0225

Júpiter 778.330 71492 1.9e+27 59.556 Saturno 1429.400 60268 5.688e+26 35.490 Urano 2870.990 25559 8.686e+25 21.297

Neptuno 4504.300 24746 1.024e+26 23.500 Plutón 5913.520 1160 1.29e+22 1.2183

* A la Tierra

Tema 5-15


Relación de ejercicios. LEYES DE KEPLER 1. Enuncie las leyes de Kepler. Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo cambia la

velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la distancia al Sol. 2. Completa la siguiente tabla

Planeta Distancia media al Sol (km) Periodo de traslación (años terrestres) Mercurio 5.79e7 Marte 22.80e7 Saturno 143.00e7 Plutón 591.00e7

3. El cometa Halley completa una órbita cada 76 años. Sabiendo que su órbita es una elipse

muy alargada haz una estimación de su alejamiento máximo al Sol. Expresar en resultado en millones de Km y en años luz. Sol: D = 5382MKm = 5.7 · 10–4años-luz

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL 4. Enuncie la ley de gravitación universal y comente el significado físico de las magnitudes

que intervienen en ella. 5. Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es

proporcional a la masa de éste. ¿Por qué no caen más deprisa los cuerpos con mayor masa?

6.

a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84 · 108 m.

b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo?

G = 6,67 · 10–11Nm2kg–2; MT = 5,98 · 1024 kg; ML = 7,35 · 1022kg Sol: F=10.54N, D=3.45e8m.

CAMPO GRAVITATORIO 7. Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa.

a) ¿Aumentaría la intensidad del campo gravitatorio en su nueva superficie? b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?

8. Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra

y de la Luna. a) Explique por qué los tiempos de caída serían distintos y calcule su relación. b) Calcule la altura que alcanzará un cuerpo que es lanzado verticalmente en la superficie

lunar con una velocidad de 40 m s - 1. MT = 81 ML; RT = (11/3) RL; g = 10 ms-2 Sol: a) tLuna/tTierra = 27/11; b) h = 491.82m

9. Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de

la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie de la Tierra. b) El estado de “ingravidez” de los astronautas en el interior de las naves espaciales

orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.

10. Un bloque de 0,2kg está apoyado sobre el extremo superior de un resorte vertical, de

constante 500Nm-1, comprimido 20cm. Al liberar el resorte, el bloque sale lanzado hacia arriba.

Tema 5-16


a) Explique las transformaciones energéticas a lo largo de la trayectoria del bloque y calcule la altura máxima que alcanza.

b) ¿Qué altura alcanzaría el bloque si la experiencia se realizara en la superficie de la Luna?

gT = 10 ms-2; MT = 102ML; RT = 4RL Sol: a) hTierra = 5.10m; b) hLuna = 32.53m

11. a) Determine la densidad media de la Tierra. b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio

terrestre se reduce a la tercera parte? G = 6,67 · 10-11Nm2kg-2; R

T = 6370km; g = 10ms-2

Sol: a) d = 5620Kg/m3; b) h = (31/2 – 1)RTierra = 4660Km

12. En una región en la que existe un campo gravitatorio de intensidad g como el representado por la figura por sus líneas de campo. a) Razonar el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al B y desde el B al C. b) Analizar las analogías y diferencias entre este campo y el campo gravitatorio terrestre.

A

B C d

d

gr

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. POTENCIAL GRAVITATORIO 13. Describe cómo evolucionan la energía potencial y la fuerza gravitatoria de un planeta en órbita

alrededor de una estrella. 14. El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta tome

valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?

15. Discuta la siguiente afirmación: “Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la

distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre el suelo”.

16. La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre.

Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800N, cae desde una altura de 50 m sobre la superficie lunar. a) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que

el cuerpo llega a la superficie. b) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna. Sol: a) v = 12.52m/s b) m = 81.63Kg, PLuna = 128N

17. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si

la partícula se acerca o se aleja de M. b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento

indicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilínea?

18. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto

más cercano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía

potencial? ¿Por qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma

distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.

Tema 5-17


19. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre la superficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes:

hRmGM

- ó mghT

T

+

Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué corresponden a diferentes valores (y signo).

20. A medida que aumenta la distancia de un cuerpo a la superficie de la Tierra disminuye la

fuerza con que es atraído por ella. ¿Significa eso que también disminuye su energía potencial? Razone las respuestas.

21.

a) ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué? b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse

desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.

22. Venus es el segundo planeta del sistema solar. Su distancia al Sol varía desde el 0.728 veces la distancia media de la Tierra al Sol (150MKm) en el afelio hasta 0.718 veces esa misma distancia en el perihelio. Teniendo en cuenta que la velocidad en el afelio es de 3.48e4m/s calcula su velocidad en el perihelio. MSol = 1.99e30Kg Sol: a) vperihelio = 5821.76 m/s

23. Demostrar que la expresión de la energía potencial gravitatoria cerca de la superficie terrestre Ep=mgΔh es una buena aproximación de la expresión general Ep = –GMTm/R. ¿Bajo que condiciones es válida dicha expresión?

24. Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial

disminuye. ¿Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? Razone la respuesta.

25.

a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg. b) Calcule la altura que recorre en 3s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial,

en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento.

G = 6,67 · 10–11Nm2kg–2; ML = 7,2 · 1022kg; RL = 1,7·106 m Sol: a) m = 70Kg, P = 116.32N; b) Δh = 7.48m

DISTRIBUCIONES DE MASAS 26. En dos vértices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan las masas m1=100g

y m2 = 300g. a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el centro del

cuadrado y calcule la fuerza que actúa sobre una masa m=10g situada en dicho punto. b) Calcule el trabajo realizado al desplazar la masa de 10g desde el centro del cuadrado

hasta uno de los vértices no ocupados por las otras dos masas. G = 6,67 · 10-11Nm2kg-2 Sol: a) ( 211-11 m/s10,5.24105.24F −⋅⋅= )r

; b) W = 1.84 · 10-12J

27. Se tienen cuatro masas idénticas de valor m situadas en los vértices de un cuadrado de lado l y otra masa m’ en el centro del cuadrado. Calcula la fuerza gravitatoria que experimenta m’.

28. Dos masas, de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, respectivamente.

a) Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente b) Determine el trabajo necesario para trasladar una masa de 2 kg desde el punto (4, 3)

hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valor del trabajo obtenido depende del camino seguido.

G = 6,67 · 10 −11Nm 2kg−2

Sol: a) 2-11 m/s )10,-7.4110(-2.08g 11−⋅⋅=r

, W = 5.56 ·10–11J.

Tema 5-18


29. Se tiene la siguiente distribución de masas: mi (kg) 1000 3000 5000 8000 rr (m) (0,0) (5,0) (4,3) (0,8)

a) Calcular el vector intensidad de campo gravitatorio y el potencial en el punto P=(2,2). b) Calcular la fuerza que experimenta y la energía potencial de una masa de 500kg en P.

Sol: a) 28-8 m/s )10,2.8110(6.24g −⋅⋅=r

, U = –3.13·10–7J/Kg, b) N )10,1.4010(3.12F -5 5−⋅⋅=r

, Ep = –1.56·10-4J VARIACIÓN DE g CON LA ALTURA 30.

a) Explique cualitativamente la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura y haga una representación gráfica aproximada de dicha variación.

b) Calcule la velocidad mínima con la que habrá que lanzar un cuerpo desde la superficie de la Tierra para que ascienda hasta una altura de 4000 km.

RT = 6370km; g = 10ms- 2 Sol: b) v0 = 7.01Km/s

31. ¿A qué altura debe subir un cohete para pesar la mitad? Sol: a) h = 2638 Km

32. Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule: a) A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio

terrestre es de 2ms–2. b) Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una

altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra. G = 6,67 · 10-11Nm2kg-2; RT = 6370km; g = 10ms–2 Sol: a) h = 7873Km; b) v0 = 3045m/s

SATÉLITES 33. Haz un esquema de un satélite en órbita y dibuja las fuerzas que sobre él actúan. 34. Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria (o geosincrónica), es

decir, que su posición respecto de un punto de la superficie terrestre no varíe. ¿Con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo? (MT=5.9e24Kg) Sol: T = 86400s = 24h, h = 35691Km

35. Un satélite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una órbita circular situada a 120 km sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. a) Con los datos del problema, ¿se podría calcular la masa de la Luna? Explique cómo lo

haría. b) Determine la energía potencial del satélite cuando se encuentra en la órbita citada. G = 6,67 · 10–11Nm2kg–2; RL = 1740 km Sol: b) Ep = – 1.32e9J.

36. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca razonadamente su expresión. b) Conociendo el radio de la órbita y su período, ¿podemos determinar las masas de la

Tierra y del satélite? Razone la respuesta. 37. Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cómo

se modificarían: a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie. b) Su órbita alrededor del Sol.

38. Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones:

a) A una órbita de radio R de un satélite le corresponde una velocidad orbital v característica;

b) La masa M de un planeta puede calcularse a partir del periodo T y del radio orbital R de uno de sus satélites.

Tema 5-19


39. Haciendo uso de consideraciones energéticas, determine la velocidad mínima que habría

que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta.

40. Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto

radio. a) ¿Cuál de los dos se moverá a mayor velocidad? b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor energía mecánica?

41. El satélite de investigación europeo (ERS-2) sobrevuela la Tierra a 800 km de altura.

Suponga su trayectoria circular y su masa de 1000 kg. a) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satélite. b) Si suponemos que el satélite se encuentra sometido únicamente a la fuerza de

gravitación debida a la Tierra, ¿por qué no cae sobre la superficie terrestre? RT = 6370 km; g = 10 ms-2 Sol: a) vo = 7523m/s

42. Un satélite artificial de 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su

energía mecánica. b) Determine el período de la órbita. g = 10ms–2; RT = 6,4 · 10 6m Sol: a) Em = – 7.39 · 10–9J; b) T= 11500s= 3.18h

43. La nave espacial Apolo 11 orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 1,8 · 10 6 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme: a) determine la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave; b) ¿cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el

doble? Razone la respuesta. G = 6,67 · 10 - 11 N m 2 kg - 2

Sol: a) ML = 6.77e22Kg, vo = 1584m/s.

44. Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada de 300 km, siendo de todos conocidas las imágenes de astronautas flotando en su interior. a) Determine la intensidad del campo gravitatorio a 300 km de altura sobre la superficie

terrestre y comente la situación de ingravidez de los astronautas. b) Calcule el período orbital del transbordador. MT = 6 · 1024kg; G = 6,67 · 10-11Nm2kg– 2; R T = 6,4·10 6 m Sol: a) g = 8.92m/s2; b) T = 5450s = 1.51h

45. Un satélite de 200kg describe una órbita circular, de radio R = 4·10 6m, en torno a Marte. a) Calcule la velocidad orbital y el período de revolución del satélite. b) Explique cómo cambiarían las energías cinética y potencial del satélite si el radio de la

órbita fuera 2R. G = 6,67 · 10-11Nm2kg–2; MMarte = 6,4 · 10 23kg Sol: a) vo= 3267m/s, T = 7693s = 2.14h.

46. Razone las respuestas. a) Explique qué que es la velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Si consideramos la presencia de la atmósfera, ¿qué ocurriría si lanzásemos un cohete

desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la velocidad de escape? 47. Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le

imprime la velocidad necesaria. Se desprecia la fricción con el aire. a) Explique los cambios energéticos del objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza

una altura h y calcule su energía mecánica a una altura máxima de 100Km. b) ¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura? MT = 6 · 10 24kg; G = 6,67 · 10-11Nm2kg-2; RT = 6,4 · 10 6m Sol: a) Em = –3.08e10J; b) vinicial = 1394m/s

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Tema 5-21

48. Un satélite está en órbita circular alrededor de la Tierra. Razone si la energía potencial, la energía cinética y la energía total del satélite son mayor, menor o igual que las de otro satélite que sigue una órbita, también circular, pero de menor radio.

49. La velocidad de escape de un satélite, lanzado desde la superficie de la Luna, es de

2370ms-1. a) Explique el significado de la velocidad de escape y calcule el radio de la Luna. b) Determine la intensidad del campo gravitatorio lunar en un punto de su superficie. G = 6,67 · 10-11Nm2kg-2; ML = 7,4 · 1022kg Sol: a) RLuna = 1760Km; b) gLuna = 1.6m/s2.

50. a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse? ¿Por qué? b) Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta

de masa M. Determine la energía mecánica del satélite razonadamente. 51. La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde

Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor satélite de Saturno, más grande que nuestra Luna e incluso más que el planeta Mercurio. a) Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular

de 1,2·109 m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital. b) ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la

superficie de la Tierra? G = 6,67·10–11Nm2kg–2; MSaturno = 5,7 · 1026kg; MTitán = 1,3 · 1023kg; RTitán = 2,6 · 106m; g = 10m/s2 Sol: a) vo = 5628m/s T= 1.34 · 106s = 372h; b) PTitán/PTierra = 0.13.

52. Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de atracción hacia la Tierra a lo largo de media órbita? b) Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de una órbita

completa? 53. La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo de

traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. a) Determine razonadamente la masa de la Tierra. b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital? G = 6,67 · 10 -11 Nm2kg-2 Sol: a) MTierra = 6.05 · 1024Kg, b) T = 8.85 · 105s = 10 días 5 horas 49 minutos 30 segundos

54. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Si se redujera el radio de la órbita lunar en torno a la Tierra, ¿aumentaría su velocidad

orbital? b) ¿Dónde es mayor la velocidad de escape, en la Tierra o en la Luna? MT = 81 ML; RT = (11/3) RL

55. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10

veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol,

expresado en años terrestres. g = 10 m s -2 ; radio orbital terrestre = 1,5 · 10 11 m. Sol: a) PJúpiter = 9000N, b) T = 11.18 años terrestres.

56. Un satélite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre. a) Calcule su velocidad orbital. b) ¿Cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura fuera la mitad? G = 6,67 · 10-11 Nm2kg-2; RT = 6370 km; MT = 6 · 10 24 kg Sol: a) vo = 3896 m/s.

5. Interacción gravitatoria

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