UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH

“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y

METALURGIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

TEMA

(PLAN DE TRABAJO DE INVESTIGACION)

Presentado En La Asignatura Física II

HUANAY QUIÑONES, Edwin

NATIVIDAD LEON, Javier

RODRIGUEZ ROMERO, Yhony

PUCUTAY LEÓN, John Charles

Huaraz, Julio del 2015

۩

INTRODUCCIONEl agua, el aire, el mar, la sangre, algunos nutrientes, lubricantes, combustibles etc., son fluidos (líquidos y gases) que en nuestra vidas juegan un papel de gran importancia. Así se tiene que las propiedades de los fluidos, es decir de líquidos como gases se aplican tanto al flujo de aire a través de los tubos bronquiales como al flujo de sangre a través de los vasos sanguíneos

El aprovechamiento de los recursos hidráulicos y el estudio de ellos por parte de la ingeniería nos lleva al buen uso de la energía hidráulica. Las estructuras hidráulicas, la ingeniería naval son factibles de analizarlas debido al estudio del comportamiento del agua.

El control y transmisión neumática, la refrigeración, el aire acondicionado, la meteorología, el aire comprimido son factibles de analizarlos debido al estudio del comportamiento del aire.

El estudio de la mecánica de fluidos resuelve la problemática de la construcción de las redes de distribución de agua, de gas, de oleoductos, de gaseoductos.

La mecánica de fluidos moderna nace con Prandtl en las primera década de este siglo; es él el que realizó la síntesis entre la hidráulica práctica y la hidrodinámica. A lo largo de los siglos son muchas las personas que han contribuido con su aporte para llegar hasta el desarrollo actual de esta ciencia, entre ellas podemos citar a Arquímedes, Torricelli, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Lagrange, Venturi, Poiseulli, Weisbach, Reynold, Froude, Stoke y el más reciente Prandtl.

En el siguiente punto se darán algunas definiciones y propiedades básicas para entender el comportamiento de los fluidos.

1.-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Y DEFINICIONES

Los conceptos de densidad y de viscosidad desempeñan papeles importantes en el movimiento de los fluidos, tanto en conductos cerrados como abiertos; la tensión superficial influye en el movimiento de pequeños chorros y ondas, altera el movimiento en los conductos de pequeña sección. El cuerpo humano emplea los tensioactivos para reducir la tensión superficial en el revestimiento mucoso de los alvéolos pulmonares que son las pequeñas cavidades en las que terminan los tubos bronquiales de los pulmones.

¿QUE SE ENTIENDE POR FLUIDO?

Generalmente se acostumbra a decir que un fluido es una sustancia que se caracteriza por poseer un volumen definido, pero no una forma definida. Una definición adecuada de este concepto se basa en el concepto de fatiga o esfuerzo tangencial (t).

ESFUERZO TANGENCIAL (T). :

Tomando un elemento de área pequeño dA sobre el que actúa un

elemento de fuerza en general se define el esfuerzo por la expresión .

Los esfuerzos pueden ser normales o bien tangenciales

Para los esfuerzos tangenciales o de cortadura (t), la fuerza es paralela o tangente al área sobre la que actúa; se producen tanto en los sólidos como en los fluidos.

Para el caso de esfuerzos normales (τ n ), la fuerza es

normal ( perpendicular ) al área que resiste la deformación, pudiendo ser de compresión , es decir , la fuerza se aplica contra la superficie, o esfuerzo de tracción, es decir, la fuerza se aplica en la superficie pero “tirando” de ella hacia fuera.

ΔF

En la figura se muestran las dos fuerzas, una saliendo y la otra entrando a la superficie ∆A

A.-FLUIDOSe define como fluido a la sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un esfuerzo tangencial o cortante, no importando cuan pequeño sea este, o bien, sustancia que no acepta esfuerzo cortante cuando éste está en equilibrio o reposo.

Los fluidos están compuestos de moléculas que se encuentran en movimiento constante. El fluido está idealmente compuesto de una sustancia infinitesimal divisible, un continuo, no preocupándose por el comportamiento individual de las moléculas. La mecánica estadística y la teoría cinética de los gases contemplan el estudio a nivel molecular.

B.-PRESIÓN De acuerdo a lo expuesto en la definición de esfuerzo, se define presión media como la razón entre la fuerza normal que actúa sobre un área plana y dicha área:

La presión en un punto es el límite de la presión media, cuando el elemento de área tiende a cero (la presión no es una magnitud vectorial).

B.1.- UNIDADES DE PRESIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS:

La dimensión para medir presión es : (F) (L)-2

En el S.I. se llama Pascal ( Pa ) 1 Pa = 1 N/m2

En el C.C.S. se llama Baria1 Baria = 1 Dina/cm2

En el sistema técnico gravitacional no tiene nombre especial y es kgf-/m2

C.-DENSIDAD ABSOLUTA ( )

Los fluidos son agrupaciones de moléculas, separadas en los gases y más próximas en los líquidos, la distancia entre las moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular.

En forma macroscópica podemos decir que la densidad ρ es el cociente entre la masa y su volumen respectivo

ρ=m

V

Unidades de densidad absoluta: S.I. : Kg/ m3 ; C.G.S.: gr / cm3

D.-DENSIDAD RELATIVA (R )

En algunas oportunidades se da la densidad relativa la cual se define como la razón entre la densidad absoluta de una sustancia y la densidad absoluta de otra sustancia que se toma como patrón., la densidad relativa de una sustancia es un número abstracto

La densidad absoluta del agua, a la temperatura aproximada de 4°C y 1 atmósfera de presión es de:

1 gr/cm3 = 103 kg/m3

La densidad del aire a 0°C y una atmósfera de presión es de 1,293 kg/m3

ANOMALIA DEL AGUAPor su característica, los líquidos son prácticamente incompresibles y la mayoría de ellos, al aumentar la temperatura disminuye su densidad. Sin embargo, en

0 4 Tª

V(cm3

)

toda regla hay excepción y, en este caso, el agua presenta esta excepción.

Entre 0 y 4° C el agua presenta una anomalía.

El gráfico adjunto muestra la relación de volumen versus temperatura para una cierta cantidad de agua de volumen inicial Vo.. Del gráfico se deduce que a los 4ºC el volumen de agua, el cual no ha cambiado de masa, toma el menor volumen, en consecuencia su mayor densidad.

Una consecuencia es que el hielo tiene una menor densidad (0,92 gr/cm3) y flota en agua tal como usted lo ha observado más de alguna vez.

E.-PESO ESPECÍFICO ( )

Este concepto es similar al de densidad, pero en vez de considerar la masa, se toma en cuenta el peso. Se define como el peso de la unidad de volumen

γ= pesovolumen o bien

γ=mgV

γ=ρ⋅g

La dimensión es (F/L3 ) ; en los distintos sistemas se mide a N/m3 ; Dina/cm3 ; kgf-/m3 .

F.- VISCOSIDAD DINÁMICA O ABSOLUTA ( )

Al analizar cuerpos en movimiento que se desplazaban sobre una superficie, aparecía la fuerza de roce. En los fluidos en movimiento , el roce está asociado a otro concepto, este concepto es el de

Tº

ρ (gr/cm3)

viscosidad , fuerzas viscosas, el cual deberá de ser tomada en cuenta a la hora de realizar el balance energético.

Se entiende por viscosidad dinámica al rozamiento interno desarrollado, cuando una parte del fluido se mueve relativamente a una parte adyacente. El coeficiente de fricción interna del fluido se llama viscosidad y se designa por ( se lee muu).

En los fluidos, la deformación aumenta constantemente bajo la acción del esfuerzo cortante o tangencial , por pequeño que éste sea.

En la figura para poner en movimiento la superficie plana A1 con una velocidad constante v⃗ , se requiere aplicar una fuerza externa sobre la lámina A1 igual y contraria a la fuerza de rozamiento que ejerce el fluido sobre A1.

Suponiendo que el fluido contenido entre las placas está compuesto por una serie de capas, se observa que la capa de fluido en contacto con la superficie A1 se adhiere a esta superficie y se mueve con ella por lo que no hay movimiento de esta capa de fluido respecto a la superficie A1. Luego, esta capa de fluido adyacente a A1, que no desliza sino que se

mueve con la misma velocidad v⃗ con que se mueve A1, arrastra a la capa de fluido que se encuentra inmediatamente debajo de ella. La segunda capa se mueve por efecto del movimiento de la primera capa, con una velocidad menor y arrastra en su movimiento a la capa siguiente.

Este proceso se repite hasta que se llega a la capa de fluido que se encuentra en contacto con la superficie A2 la que está en reposo por lo que la capa que está en contacto con esa capa tendrá velocidad nula.

De acuerdo con este estudio se puede establecer la siguiente expresión

para la fuerza viscosa F⃗ de un fluido:

donde es una constante característica del fluido llamada viscosidad dinámica. Esta expresión muestra que la fuerza viscosa, es

V=0

v⃗

A1

yF⃗

proporcional a la velocidad v⃗ , al área de A1 e inversamente proporcional a la separación d entre las placas.

En general la viscosidad es una característica intrínseca del fluido, para los líquidos es directamente dependiente de la temperatura.

TABLA DE VISCOSIDADES

FLUIDO TEMPERATURA VISCOSIDAD (dina.s/cm2 = Poise)

PLASMA SANGUINEO 37ºC 1,5 X 10 -2

SANGRE 37ºC 4 x 10-2

GLICERINA 20ºC 14,9

AGUA 0ºC 1,79x10-2

MERCURIO 20ºC 1,55x10-2

- Para un fluido ideal = 0 . Para un fluido real 0

- Para un fluido en reposo, el fluido siendo real se comporta como ideal.

La viscosidad dinámica de los gases aumenta con la temperatura, en cambio en los líquidos disminuye y la viscosidad dinámica de los fluidos es prácticamente independiente de la presión.

UNIDAD PARA EN DISTINTOS SISTEMAS:

En el S.I. : N s/m2

En el C.G.S. : Dina s/cm2 , esta unidad recibe el nombre de Poise.

El centipoise ( cP ) es la centésima parte del Poise.

G.-VISCOSIDAD CINEMÁTICA ( )

Es la viscosidad dinámica referida a la densidad del fluido.

ν=μρ

Este concepto resulta de utilidad cuando se trabaja en hidrodinámica con algunos parámetros adimensionales, como lo es el número de Reynolds.

2.- DINÁMICA DE LOS FLUIDOS IDEALES

A. Descripción del movimiento de un fluido ideal. Líneas de corriente.

Las variables que se utilizan para describir el movimiento de un fluido son la densidad “ρ”, la presión “P” y la velocidad “v”.

Las líneas de corriente, son líneas tangentes al vector velocidad en cada punto del espacio ocupado por el fluido.

B. Régimen de flujo. El fluido ideal.

Un flujo o corriente de fluido es estacionario si la velocidad del fluido en cada punto del espacio no cambia con el tiempo.

Un flujo o corriente de fluido se considera laminar si el fluido se puede considerar dividido en “capas” o láminas que avanzan sin mezclar-se entre si.

Un flujo o corriente de fluido se considera ideal si las fueras de viscosidad entre porciones de fluido juegan un papel irrelevante.

C. Caudal

El caudal de una corriente de fluido se define como el volumen, V, de fluido que atraviesa por unidad de tiempo, una superficie predeterminada, S.

C = VolumenΔt

Para un flujo laminar y estacionario el caudal depende de la superficie, S, y de la velocidad del fluido, v (en el punto donde se encuentra S), según la expresión:

C = S·v

D. Ecuación de continuidad.

En el caso de un fluido incompresible (líquido) que circula en régimen laminar y estacionario, el caudal es el mismo en todos los puntos del fluido:

S1 · v1 = S2 · v 2 = .. .(ecuación de continuidad)

E. Teorema de Bernoulli. Interpretación energética.

El teorema de Bernoulli :

P1+ ρ gz1+12ρv1

2= P2+ ρ gz2+12ρv2

2

se aplica a un fluido ideal que circula en régimen estacionario y laminar. La expresión es valida para cualquier par de puntos (1) y (2) situados sobre una misma línea de corriente.

El teorema es una consecuencia del principio de conservación de la energía mecánica.

F. Aplicaciones del teorema de Bernoulli.

Para flujos horizontales (z1 = z2) se llega al importante resultado de que la presión disminuye cuando aumenta la velocidad del fluido. Este resultado se conoce con el nombre de “efecto” Venturi.

3.- Principio de BernoulliEl principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresarque en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.y desgastes

La ecuación de Bernoulli

La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido;

potencial o gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea;

energía de presión: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli" (trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde:

 = velocidad del fluido en la sección considerada.

 = densidad del fluido.

 = presión a lo largo de la línea de corriente.

 = aceleración gravitatoria

 = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

Caudal constante

Flujo incompresible, donde ρ es constante.

La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo laminar.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

También se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por  , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamarápresión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

o escrita de otra manera más sencilla:

donde

 es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la Cantidad de movimiento.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

4.-EFECTO VENTURIEl efecto Venturi consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presión cuando aumenta la velocidad al pasar por una zona de sección menor. En ciertas condiciones, cuando el aumento de velocidad es muy grande, se llegan a producir presiones negativas y entonces, si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una aspiración del fluido de este conducto, que se mezclará con el que circula por el primer conducto. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

Explicación

El efecto Venturi se explica por el Principio de Bernoulli y el principio de continuidad de masa. Si el caudal de un fluido es constante pero la sección disminuye, necesariamente la velocidad aumenta tras atravesar esta sección. Por el teorema de laconservación de la energía mecánica, si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de la presión disminuye forzosamente.

Efectivamente, según el principio de Bernoulli:

donde:

 = velocidad del fluido en la sección considerada.

 = aceleración gravitatoria, g = 9,81 m/s2.

 = presión en cada punto de la línea de corriente.

 es el peso específico ( ). Este valor se asume constante a lo largo del recorrido cuando se trata de un fluido incompresible.

 = altura, en vertical, sobre una cota de referencia.

Los subíndices   y   indican que los valores se toman en un punto 1 y en otro punto 2, a lo largo de la conducción.

Expresado de este modo, cada uno de los sumandos tiene como dimensión una longitud, por lo que se consideran todos

alturas:  , altura de velocidad,  , altura de presión y   altura geométrica.

A igualdad de los demás factores, y teniendo en cuenta el principio de continuidad, que expresa que al disminuir la sección en un conducto, aumenta la velocidad del fluido que lo recorre, puede deducirse que, en un estrechamiento del conducto, si   aumenta, necesariamente debe disminuir  .

Pero además, si el estrechamiento en el punto   es tal, que la velocidad sea

Suficientemente grande para que , para que se

cumpla Bernoulli, la altura   tendrá que ser negativa y por tanto la presión. Cuando por ésta o por otra circunstancia, la presión se hiciera negativa, en teoría traerá consigo la detención del movimiento del fluido o, si se introduce un tubo con otro fluido, este fluido sería aspirado por la corriente del primero.1

MEDIDORES DE CABEZA VARIABLE El principio básico de estos medidores es que cuando una corriente de fluido se restringe, su presión disminuye por una cantidad que depende de la velocidad de flujo a través de la restricción, por lo tanto la diferencia de presión entre los puntos antes y después de la restricción puede utilizarse para indicar la velocidad del flujo. Los tipos más comunes de medidores de cabeza variable son el tubo venturi, la placa orificio y el tubo de flujo.

TUBO DE VÉNTURI

El Tubo de Venturi fue creado por el físico e inventor italiano Giovanni Battista Venturi (1.746 – 1.822). Fue profesor en Módena y Pavía. En Paris y Berna, ciudades donde vivió mucho tiempo, estudió cuestiones teóricas relacionadas con el calor, óptica e hidráulica. En este último campo fue que descubrió el tubo que lleva su nombre. Según él este era un dispositivo para medir el gasto de un fluido, es decir, la cantidad de flujo por unidad de tiempo, a partir de una diferencia de presión entre el lugar por donde entra la corriente y el punto, calibrable, de mínima sección del tubo, en donde su parte ancha final actúa como difusor.

DEFINICIÓNEl Tubo de Venturi es un dispositivo que origina una pérdida de presión al pasar por él un fluido. En esencia, éste es una tubería corta recta, o garganta, entre dos tramos cónicos. La presión varía en la proximidad de la sección estrecha; así, al colocar un manómetro o instrumento registrador en la garganta se puede medir la caída de presión y calcular el caudal instantáneo, o bien, uniéndola a un depósito carburante, se puede introducir este combustible en la corriente principal.Las dimensiones del Tubo de Venturi para medición de caudales, tal como las estableció Clemens Herschel, son por lo general las que indica la figura 1. La entrada es una tubería corta recta del mismo diámetro que la tubería a la cual va unida. El cono de entrada, que forma el ángulo a1, conduce por una curva suave a la garganta de diámetro d1. Un largo cono divergente, que tiene un ángulo a2, restaura la presión y hace expansionar el fluido al

pleno diámetro de la tubería. El diámetro de la garganta varía desde un tercio a tres cuartos del diámetro de la tubería.

La presión que precede al cono de entrada se transmite a través de múltiples aberturas a una abertura anular llamada anillo piezométrico. De modo análogo, la presión en la garganta se transmite a otro anillo piezométrico. Una sola línea de presión sale de cada anillo y se conecta con un manómetro o registrador. En algunos diseños los anillos piezométricos se sustituyen por sencillas uniones de presión que conducen a la tubería de entrada y a la garganta.La principal ventaja del Vénturi estriba en que sólo pierde un 10 - 20% de la diferencia de presión entre la entrada y la garganta. Esto se consigue por el cono divergente que desacelera la corriente.Es importante conocer la relación que existe entre los distintos diámetros que tiene el tubo, ya que dependiendo de los mismos es que se va a obtener la presión deseada a la entrada y a la salida del mismo para que pueda cumplir la función para la cual está construido.Esta relación de diámetros y distancias es la base para realizar los cálculos para la construcción de un Tubo de Venturi y con los conocimientos del caudal que se desee pasar por él.Deduciendo se puede decir que un Tubo de Venturi típico consta, como ya se dijo anteriormente, de una admisión cilíndrica, un cono convergente, una garganta y un cono divergente. La entrada convergente tiene un ángulo incluido de alrededor de 21º, y el cono divergente de 7º a 8º. La finalidad del cono divergente es reducir la pérdida global de presión en el medidor; su eliminación no tendrá efecto sobre el coeficiente de descarga. La presión se detecta a través de una serie de agujeros en la admisión y la garganta; estos agujeros conducen a una cámara angular, y las dos cámaras están conectadas a un sensor de diferencial de presión.

FUNCIONAMIENTO DE UN TUBO DE VENTURI

En el Tubo de Venturi el flujo desde la tubería principal en la sección 1 se hace acelerar a través de la sección angosta llamada garganta, donde disminuye la presión del fluido. Después se expande el flujo a través de la porción divergente al mismo diámetro que la tubería principal. En la pared de la tubería en la sección 1 y en la pared de la garganta, a la cual llamaremos sección 2, se encuentran ubicados ramificadores de presión. Estos se encuentran unidos a los dos lados de un manómetro diferencial de tal forma que la deflexión h es una indicación de la diferencia de presión p1 – p2. Por supuesto, pueden utilizarse otros tipos de medidores de presión diferencial.

La ecuación de la energía y la ecuación de continuidad pueden utilizarse para derivar la relación a través de la cual podemos calcular la velocidad del flujo. Utilizando las secciones 1 y 2 en la formula 2 como puntos de referencia, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

Q = A1v1 = A2v2 (2)

Estas ecuaciones son válidas solamente para fluidos incomprensibles, en el caso de los líquidos. Para el flujo de gases, debemos dar especial atención a la variación del peso específico con la presión. La reducción algebraica de las ecuaciones 1 y 2 es como sigue:

Se pueden llevar a cabo dos simplificaciones en este momento. Primero, la diferencia de elevación (z1-z2) es muy pequeña, aun cuando el medidor se encuentre instalado en forma vertical. Por lo tanto, se desprecia este termino. Segundo, el termino hl es la perdida de la energía del fluido conforme este corre de la sección 1 a la sección 2. El valor hl debe determinarse en forma experimental. Pero es más conveniente modificar la ecuación (3) eliminando h1 e introduciendo un coeficiente de descarga C:

La ecuación (4) puede utilizarse para calcular la velocidad de flujo en la garganta del medidor. Sin embargo, usualmente se desea calcular la velocidad de flujo del volumen.Puesto que , tenemos:

EJEMPLOS

Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule:

a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo?

Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está representado por la ecuación de continuidad:

Q=A1 v1=A2 v2(1)

1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parte ancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de Bernoulli:

P1−P2=12ρ (v2

2−v12 ) (2 )

El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a la misma altura.Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P1 – P2 se calcula a partir de la diferencia de alturasH que es dato, entre los dos tubos manométricos instalados para tal propósito en el tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático, P1 – P2 = gH, como es el caso de los dos tubos manométricos midiendo la diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos:

21

Figura ejemplo1

v1=A2

A1

v2, por lo que v12=( A2

A1)

2

. v22 y la ecuación (2) queda:

ρg∆ H=12ρ v2

2(1−( A2

A1)

2

)Despejando v2 de la ecuación anterior:

v2=√ 2 g∆ H

(1−( A2

A1)

2

)=√ 2 g∆ H

(1−( d2

d1)

4

)=√ 2 x 9.8m/ s(0.3m)

(1−(3 /4 pulg1 pulg )

4)=2.93m /s

Entonces el gasto, ecuación (1), será:

Q=A2V 2=2.85x 10−4m2 x2.93m /s=8.35 x 10−4m3/s=0.835<¿ s

Ejemplo 2 : Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito, que se encuentra conectado al tramo más angosto de la bomba, a través de un tubo que tiene una altura, h =8 cm, como se muestra en la figura. El diámetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el líquido en el depósito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular:

a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta, P, mínima para elevar el líquido desde el depósito a una altura h.

b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba.

Solución a) La alturah que sube el líquido desde el depósito está directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.

∆ P=ρI g∆h (1)

Aire

Líquidoh

AAir

Figura ejemplo 2.Bomba manual para rociar.

Donde I es la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,

∆ P=750 Kg /m3 x 9.8m /s2 x0.08 m=588Pa=0.085 lb / pulg2

Como puede observarse la mínima diferencia de presiones es suficiente para subir el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno puede sacar el líquido de un refresco con un popote al hacer un poco de vacío con la boca.

Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli es:

∆ P=P1−P2=12ρ (v2

2−v12)(2)

Debido a que v1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las contenga y esta es la ecuación de continuidad

A1 v1=A2 v2(3)

Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:

v12=

A22

A12 v2

2(4)

Y ∆ P=12ρ(v2

2−A2

2

A12 v2

2)=12ρ v2

2(1−A2

2

A12 )

Despejando v2:

v2=√ 2∆ P

ρair(1−A2

2

A12 )

=√ 2 x588 Pa

1.3 Kg /m3(1−0.0034

0.0254 )=30m /s

Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):

v1=A2

A1

v2=0.32

2.52 30m / s=0.42m / s=42cm /s

Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha de la tubería, v2, es tal que la presión debe ser muy baja y

se presenta el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se pulvericen.