GUÍA UNIDAD 2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1

1. PRERREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son:

Funciones e Identidades Trigonométricas

Resolución de sistemas de ecuaciones

Transformación de Funciones racionales en fracciones parciales

2. MATERIAL DE APOYO

Libro texto guía: STEWART, J “Cálculo de una variable" (sexta edición). Cengage

Learning. 2008

Tabla de integrales y fórmulas extraídas del texto

Software matemático

Calculadora con CAS

GUÍA DE APRENDIZAJE

Nombre de la asignatura: CÁLCULO INTEGRAL Código: 5758

Unidad 2: Técnicas de Integración

Guía: 2/5 Tiempo estimado para desarrollo:

Autores de la Guía: ICFM Revisador por: ICFM

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aplicar el método de integración por partes para integrales definidas e indefinidas,

de tal manera poder transformar una integral en otra más sencilla, aplicando una

expresión deducida a partir de la diferenciación de un producto de funciones.

Aplicar el método de sustitución para integrales de funciones trigonométricas en

forma de potencia, producto o cociente.

Usar el método de sustitución trigonométrica sobre integrales definidas e indefinidas,

de la forma √𝑎2 − 𝑢2; √𝑎2 + 𝑢2; √𝑢2 − 𝑎2.

Obtener las fracciones parciales de una función racional, incluyendo casos donde el

denominador tiene un factor lineal repetido o un factor cuadrático irreducible.

Obtener integrales definidas e indefinidas de las funciones racionales de la forma 𝑅(𝑥)

𝑄(𝑥)

en fracciones simples lo que equivaldrá a sustituir la integral inicial por una suma de

integrales más elementales.

Resolver problemas prácticos los cuales requieren la evaluación de integrales

definidas. por ejemplo: momentos de inercia, centro de gravedad, centro de masa y

centroide de un cuerpo, presión de un fluido, áreas, volúmenes, etc.

2

3. ACTIVIDADES PREVIAS (EXTRACLASE)

3.1 Demostrar las siguientes identidades

𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑎𝑛𝑥

1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥

1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥= (

𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1

𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1)2

3.2 Dado el siguiente triángulo:

𝑠𝑒𝑎: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑡

√25 + 𝑡2; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡?

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑𝜃

𝑑𝑡=

5

√25 + 𝑡2


𝑆𝑒𝑎: 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑥

√16 − 𝑥2; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡


𝑑𝑡=

1

√16 − 𝑥2

θ

θ

3


𝑆𝑒𝑎: 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑥

√16 − 𝑥2; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡


𝑑𝑡=11 − 𝑥2

9√9 − 𝑥2

3.5 Dada la igualdad: 3

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)=

𝐴

(𝑥 + 1)+

𝐵

(𝑥 − 2) ; 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑦𝐵

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: {𝐴 = 1

𝐵 = −1

3.6 Dada la igualdad:

−2𝑥2 − 4

𝑥3 − 2𝑥2=𝐴

𝑥2+𝐵

𝑥+

𝐶

𝑥 − 2; 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴; 𝐵; 𝐶

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: {𝐴 = 2𝐵 = 1 𝐶 = −3

3.7 Dada la igualdad:

5𝑥2 − 16𝑥 + 26

(𝑥 + 2)(𝑥 − 32)=

𝐴

𝑥 + 2+

𝐵

(𝑥 − 3)2+

𝑐

𝑥 − 3;

𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴; 𝐵; 𝐶

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:

{

𝐴 =

78

25

𝐵 =23

5

𝐶 =47

25

θ

4

REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE

INTEGRACIÓN POR PARTES

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. Por ejemplo la regla

de la sustitución para integración corresponde a la regla de la cadena para derivación. La

regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla de integración

por partes

La regla del producto establece que si f y g son funciones derivables, entonces

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓ʹ(𝑥)

En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en

∫[𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓ʹ(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

O bien

∫𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑓ʹ(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

Esta ecuación se puede reordenar como:

∫𝑓(𝑥)𝑔ʹ(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫𝑔(𝑥)𝑓ʹ(𝑥)𝑑𝑥

La anterior ecuación se llama fórmula e integración por partes. Quizás es más fácil recordarla en la

siguiente notación. Sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥). Entonces las diferenciales son 𝑑𝑢 = 𝑓ʹ(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑣 =

𝑔ʹ(𝑥)𝑑𝑥 por lo tanto, por la regla de sustitución, la fórmula para la integración por partes se convierte

en.

∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢

Para aplicar esta fórmula a ∫𝑥𝑆𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 , se hace u=______________ y dv=______________

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:

1. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:∫𝒔𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙)𝒅𝒙

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑎 ∫𝑑𝑣 = ∫𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= cos(𝑙𝑛𝑥) .

1

𝑥 𝑣 = 𝑥 + 𝐶

𝑑𝑢 =1

𝑥. cos(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

5

∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − ∫𝑥 .1

𝑥cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) −∫cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥

𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠: ∫ cos(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎: 𝑢 = cos(𝑙𝑛𝑥)

𝑠𝑒𝑎 ∫𝑑𝑣 = ∫𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥).

1

𝑥 𝑣 = 𝑥 + 𝐶

𝑑𝑢 = −1

𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥

∫cos(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 =𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + ∫𝑥.1

𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 =𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + ∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎:

∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − [𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + ∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥]

∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) − ∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥

2∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) + 𝐶

∫𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 =𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥)

2+ 𝐶

2.∫𝒙𝟐𝒆𝒙𝒅𝒙

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2

∫𝑑𝑣 = ∫𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑥2𝑒𝑥 −∫𝑒𝑥 . 2𝑥𝑑𝑥

𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠:∫ 𝑒𝑥. 2𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥

∫𝑑𝑣 = ∫𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2 𝑣 = 𝑒𝑥 + 𝐶

6

𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎: ∫ 𝑒𝑥 . 2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒𝑥 −∫2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝐶

𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: ∫𝒙𝟐𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒙𝟐𝒆𝒙 − [𝟐𝒙𝒆𝒙 − 𝟐𝒆𝒙] + 𝑪 = 𝒙𝟐𝒆𝒙 − 𝟐𝒙𝒆𝒙 − 𝟐𝒆𝒙 + 𝑪

RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES

ACTIVIDAD EJERCICIO RESPUESTA

AC1 ∫𝑥2𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 1

5𝑥𝑠𝑒𝑛(5𝑥) +

1

25𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝐶

AC2 ∫𝑡𝑠𝑒𝑐2(2𝑡)𝑑𝑡 1

2𝑡 ∗ tan(2𝑡) +

1

4𝑙𝑛|sec(2𝑡)| + 𝐶

AC3 ∫𝑒2𝜃𝑠𝑒𝑛(3𝜃)𝑑𝜃 1

13𝑒2𝜃[2𝑠𝑒𝑛(3𝜃) − 3𝑐𝑜𝑠(3𝜃)] + 𝐶

AC4 ∫𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥[𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥) + 1] + 𝐶

INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

TIPO 1: Integrales de la forma

∫𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙𝒅𝒙

Para estos casos se sugiere, realizar lo siguiente:

a) Si “n” es IMPAR usar:

b) Si “n” es PAR usar :

𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 =1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2

𝑐𝑜𝑠2𝑥 =1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2

7


∫𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙

Caso 1: Si m y n son impares

i. Si la potencia de coseno es impar (n=2k+1), ahorre un factor coseno y use

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥

para expresar los demás factores en términos de seno:

∫𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒌+𝟏𝒙 𝒅𝒙 = ∫𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙

Después sustituya 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.

ii. Si la potencia de seno es impar (n=2k+1), ahorre un factor seno y use

𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

para expresar los demás factores en términos de coseno:

∫𝒔𝒆𝒏𝟐𝒌+𝟏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙

Después sustituya 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.

Caso 2: Si m y n son pares

Si m y n son pares, use las identidades de la mitad de un ángulo:

Algunas veces es útil usar la identidad: 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥

Ejemplo3:

∫𝒔𝒆𝒏𝟑(𝟐𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟕(𝟐𝒙)𝒅𝒙

= ∫𝑠𝑒𝑛2(2𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠7(2𝑥)𝑑𝑥

= ∫[1 − 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)]𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠7(2𝑥)𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 =1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2

8

= ∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠7(2𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠9(2𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = cos (2𝑥)

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

−𝑑𝑢

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)= 𝑑𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑢7 (−𝑑𝑢

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) − ∫𝑢9𝑠𝑒𝑛(2𝑥) (−

𝑑𝑢

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥))

= −1

2∫𝑢7𝑑𝑢 −

1

2∫𝑢9𝑑𝑢

= −1

2

𝑢8

8−1

2

𝑢10

10+ 𝐶

= −1

16𝑐𝑜𝑠8(2𝑥) −

1

20𝑐𝑜𝑠10(2𝑥) + 𝐶

Ejemplo4:

∫𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙√𝒔𝒆𝒏𝒙

= ∫𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑠𝑒𝑛12𝑥𝑑𝑥

= ∫𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛12𝑥𝑑𝑥

= ∫[(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛12𝑥]𝑑𝑥

= ∫[(1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛12𝑥]𝑑𝑥

= ∫[𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛12𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛

52𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛

72] 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝑥

9

𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑑𝑥

= ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑢12𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠𝑥− 2∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑢

52𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠𝑥+ ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑢

72𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠𝑥

= ∫𝑢12𝑑𝑢 − 2∫𝑢

52𝑑𝑢 + ∫𝑢

72𝑑𝑢

=𝑢32

32

− 2𝑢72

72

+𝑢92

92

+ 𝐶

=2

3𝑠𝑒𝑛

32𝑥 −

4

7𝑠𝑒𝑛

72𝑥 +

2

9𝑠𝑒𝑛

92𝑥 + 𝐶

RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES ACTIVIDAD EJERCICIO RESPUESTA

AC5 ∫𝑐𝑜𝑠4(2𝑥)𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)𝑑𝑥 −1

10𝑐𝑜𝑠5(2𝑥) +

1

14𝑐𝑜𝑠7(2𝑥) + 𝐶

AC6 ∫𝑠𝑒𝑛3(3𝑥)𝑐𝑜𝑠5(3𝑥)𝑑𝑥 −1

18𝑐𝑜𝑠6(3𝑥) +

1

24𝑐𝑜𝑠8(3𝑥) + 𝐶

AC7 ∫𝑐𝑜𝑠3 (𝑥

3) 𝑑𝑥 3𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

3) − 𝑠𝑒𝑛3 (

𝑥

3) + 𝐶

AC8 ∫𝑐𝑜𝑠2𝑥

√𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

2

45√𝑠𝑒𝑛𝑥(45 − 18𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 15𝑠𝑒𝑛4𝑥) + 𝐶

AC9 ∫𝑐𝑜𝑠5(𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 −2

8𝑠𝑒𝑛3(𝑥) +

1

5𝑠𝑒𝑛5(𝑥) + 𝐶

TIPO 3: Integrales de la forma:

∫𝒔𝒆𝒏 (𝒎𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙)𝒅𝒙, ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝒎𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙)𝒅𝒙 𝒐 ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒎𝒙)𝒄𝒐𝒔 (𝒏𝒙)𝒅𝒙

Al tener una integral de este tipo se recomienda usar, las siguientes identidades trigonométricas

como sea conveniente:

10

Ejemplo 5:

∫[𝑐𝑜𝑠 (3𝜋

2𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (

2𝜋

3𝑥)] 𝑑𝑥

= ∫[𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

3𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (

3𝜋

2𝑥)] 𝑑𝑥

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)cos (𝑛𝑥) =1

2[𝑠𝑒𝑛(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑚 − 𝑛)𝑥]

= ∫1

2[𝑠𝑒𝑛 (

2𝜋

3−3𝜋

2)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (

2𝜋

3+3𝜋

2)𝑥]𝑑𝑥

= ∫1

2[𝑠𝑒𝑛 (−

5𝜋

6𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (

13𝜋

6)]𝑑𝑥

=1

2∫[𝑠𝑒𝑛 (−

5𝜋

6𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (

13𝜋

6)]𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = −5𝜋

6𝑥 𝑠𝑒𝑎 𝑚 =

13𝜋

6𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −

5𝜋

6

𝑑𝑚

𝑑𝑥=13𝜋

6

−6

5𝜋𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

6

13𝜋𝑑𝑚 = 𝑑𝑥

=1

2[∫𝑠𝑒𝑛𝑢 (−

6

5𝜋𝑑𝑢) + ∫𝑠𝑒𝑛𝑚(

6

13𝜋𝑑𝑚)]

=1

2[−

6

5𝜋∫𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 +

6

13𝜋∫𝑠𝑒𝑛𝑚𝑑𝑚]

=1

2[−

6

5𝜋(−𝑐𝑜𝑠𝑢) −

6

13𝜋𝑐𝑜𝑠𝑚] + 𝐶

=3

5𝜋𝑐𝑜𝑠 (−

5𝜋

6𝑥) −

3

13𝜋𝑐𝑜𝑠 (

13𝜋

6𝑥) + 𝐶

𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)cos (𝑛𝑥) =1

2[𝑠𝑒𝑛(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑚 − 𝑛)𝑥]

𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) = −1

2[𝑐𝑜𝑠(𝑚 + 𝑛)𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑚 − 𝑛)𝑥]

𝑐𝑜𝑠(𝑚𝑥)cos (𝑛𝑥) =1

2[𝑐𝑜𝑠(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝑚 − 𝑛)𝑥]

11

=3

5𝜋𝑐𝑜𝑠 (

5𝜋

6𝑥) −

3

13𝜋𝑐𝑜𝑠 (

13𝜋

6𝑥) + 𝐶


AC10 ∫𝑠𝑒𝑛(3𝑥) cos(5𝑥) 𝑑𝑥 1

4cos(2𝑥) −

1

16cos(8𝑥) + 𝐶

AC11 ∫cos(4𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥 1

4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +

1

12𝑠𝑒𝑛(6𝑥) + 𝐶

AC12 ∫[1 + cos (3𝑥)]32𝑑𝑥 2√2 [

2

8𝑠𝑒𝑛 (

3

2) 𝑥 −

2

9𝑠𝑒𝑛2 (

3

2) 𝑥] + 𝐶

AC13 ∫𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥) −

1

10𝑠𝑒𝑛(5𝑥) + 𝐶


∫𝒕𝒈𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒚 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒏𝒙𝒅𝒙

Se recomienda usar las identidades:


∫𝒕𝒈𝒎𝒙𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒚 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒎𝒙𝒄𝒔𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙

a) Si la potencia de la secante es par (n=2k, k≥2), ahorre un factor de 𝑠𝑒𝑐2𝑥 y use 𝑠𝑒𝑐2𝑥 =

1 + 𝑡𝑔2𝑥 para expresar los demás factores en términos de tanx:

∫𝒕𝒂𝒏𝒎𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐𝒌𝒙 𝒅𝒙 = ∫𝒕𝒂𝒏𝒎𝒙(𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙)𝒌−𝟏𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒎𝒙(𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙)𝒌−𝟏𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙

Luego sustituya 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥.

b) Si la potencia de la tangente es impar (𝑚 = 2𝑘 + 1), guarde un factor de 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑡𝑎𝑛(𝑥)

y use 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 para expresar los demás factores en términos de 𝑠𝑒𝑐 𝑥:

∫𝒕𝒂𝒏𝟐𝒌+𝟏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙)𝒌𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟏)𝒌𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙

𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1

𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1

12

Después sustituye 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

Ejemplo 6:

∫(𝒄𝒔𝒄−𝟏𝟒𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙)𝒅𝒙

= ∫(𝑐𝑠𝑐𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥) ∗ (𝑐𝑠𝑐− 54𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑡4𝑥)𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑐𝑠𝑐𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −𝑐𝑠𝑐𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑑𝑢

−𝑐𝑠𝑐𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥= 𝑑𝑥

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

= ∫(𝑐𝑠𝑐𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥) ∗ (𝑢− 54 ∗ 𝑐𝑜𝑡4𝑥)

𝑑𝑢

(−𝑐𝑠𝑐𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥-1

= −∫ [𝑢− 54 ∗ (𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1)2] 𝑑𝑢

= −∫ [𝑢− 54 ∗ (𝑢2 − 1)2] 𝑑𝑢

= −∫[𝑢− 54 ∗ (𝑢4 − 2𝑢2 + 1)] 𝑑𝑥

= −∫[𝑢114 − 2𝑢

34 + 𝑢−

54] 𝑑𝑥

= −[𝑢154

154

−2𝑢

74

74

+𝑢−

14

−14

] + 𝐶

=4

15𝑠𝑒𝑐

154 𝑥 −

8

7𝑠𝑒𝑐

74𝑥 − 4𝑠𝑒𝑐−

1 4𝑥 + 𝐶

13


AC14 ∫cot (3𝑥)𝑐𝑠𝑐4(3𝑥)𝑑𝑥 −1

6𝑐𝑜𝑡2(3𝑥) −

1

12𝑐𝑜𝑡4(3𝑥) + 𝐶

AC15 ∫𝑐𝑜𝑡3𝑥𝑐𝑠𝑐5𝑥 𝑑𝑥 −1

7𝑐𝑠𝑐7𝑥 +

1

5𝑐𝑠𝑐5𝑥+C

AC16 ∫𝑡𝑎𝑛32(𝑥)𝑠𝑒𝑐4(𝑥)𝑑𝑥

2

5𝑡𝑎𝑛

32(𝑥) +

2

9𝑡𝑎𝑛

92(𝑥) + 𝐶

AC17 ∫𝑐𝑜𝑠3𝑥

𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥 −

1

3𝑐𝑠𝑐3𝑥 + 𝐶

INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA

Se trata ahora de convertir integrales dadas en directas mediante una sustitución trigonométrica.

Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados en tal caso se

recomienda:

Ejemplo7:

∫𝒙𝟓

√𝒙𝟐 + 𝟔𝒅𝒙

𝑠𝑒𝑎: 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑥

√6

𝑥 = √6𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑑𝑥 = √6𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎: 𝑥5 = (√6𝑡𝑎𝑛𝜃)5

𝑥5 = 652𝑡𝑎𝑛5𝜃

Si tenemos √𝑎2 − 𝑥2 sustituir x=asent 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥

Si tenemos √𝑎2 + 𝑥2 sustituir x=atgt 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Si tenemos √𝑥2 − 𝑎2 sustituir x=asect 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛2𝑥

θ

14

√𝑥2 + 6 = √(√6𝑡𝑎𝑛𝜃)2+ 6

√𝑥2 + 6 = √6𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 6

√𝑥2 + 6 = √6(𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1)

√𝑥2 + 6 = √6𝑠𝑒𝑐2𝜃

√𝑥2 + 6 = √6𝑠𝑒𝑐𝜃

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

∫𝑥5

√𝑥2 + 6𝑑𝑥 = ∫

√65𝑡𝑎𝑛5𝜃

√6𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝑥

= ∫√65𝑡𝑎𝑛5𝜃

√6𝑠𝑒𝑐𝜃√6𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

= √65∫𝑡𝑎𝑛5𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃

= √65∫(𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃)𝑡𝑎𝑛4𝜃𝑑𝜃

= √65∫(𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃) ∗ (𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)2𝑑𝜃

= √65∫(𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃) ∗ (𝑠𝑒𝑐4𝜃 − 2𝑠𝑒𝑐2𝜃 + 1)𝑑𝜃

= √65∫(𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐5𝜃 − 2𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐3𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃)𝑑𝜃

= √65 [∫(𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃) 𝑠𝑒𝑐4𝜃𝑑𝜃 − 2∫(𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 + ∫(𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃)𝑑𝜃]

𝑠𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝜃

𝑑𝑢

𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃= 𝑑𝜃

= √65 [∫(𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃)𝑢4𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃− 2∫(𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃)𝑢2

𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃+ ∫

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃∗

1

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃]

= √65 [∫𝑢4𝑑𝑢 − 2∫𝑢2𝑑𝑢 + ∫𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃]

15

= √65 [𝑢5

5− 2

𝑢3

3] + ∫

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃

= √65 [𝑠𝑒𝑐5𝜃

5−2

3𝑠𝑒𝑐3𝜃] + ∫

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑎:𝑚 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝑚

𝑑𝜃= −𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑𝑚

−𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝑑𝜃

= √65 [𝑠𝑒𝑐5𝜃

5−2

3𝑠𝑒𝑐3𝜃] +∫

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑚2∗𝑑𝑚

−𝑠𝑒𝑛𝜃

= √65 [𝑠𝑒𝑐5𝜃

5−2

3𝑠𝑒𝑐3𝜃] − ∫

1

𝑚2𝑑𝑚

= √65 [𝑠𝑒𝑐5𝜃

5−2

3𝑠𝑒𝑐3𝜃] − ∫𝑚−2𝑑𝑚

= √65 [𝑠𝑒𝑐5𝜃

5−2

3𝑠𝑒𝑐3𝜃] −

𝑚−1

−1+ 𝐶

= √65 [𝑠𝑒𝑐5𝜃

5−2

3𝑠𝑒𝑐3𝜃] +

1

𝑚+ 𝐶

𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: ∫𝒙𝟓

√𝒙𝟐 + 𝟔 = √𝟔𝟓 [

𝒔𝒆𝒄𝟓𝜽

𝟓−𝟐

𝟑𝒔𝒆𝒄𝟑𝜽] +

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝜽+ 𝑪

Ejemplo 8:

∫[𝒍𝒏𝒙

𝒙√𝟏 − 𝟒𝒍𝒏𝒙 − 𝒍𝒏𝟐𝒙]𝒅𝒙

= ∫[𝑙𝑛𝑥

𝑥√1 − (𝑙𝑛2𝑥 + 4𝑙𝑛𝑥)]𝑑𝑥

= ∫[𝑙𝑛𝑥

𝑥√1 − [(𝑙𝑛𝑥 + 2)2 − 22]] 𝑑𝑥

= ∫[𝑙𝑛𝑥

𝑥√1 − [(𝑙𝑛𝑥 + 2)2 − 4]] 𝑑𝑥

= ∫[𝑙𝑛𝑥

𝑥√1 − (𝑙𝑛𝑥 + 2)2 + 4]𝑑𝑥

16

= ∫[𝑙𝑛𝑥

𝑥√5 − (𝑙𝑛𝑥 + 2)2] 𝑑𝑥

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑙𝑛𝑥 + 2

√5

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 =1

√5[1

𝑥+ 0] 𝑑𝑥

𝑥√5𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = 𝑑𝑥

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑙𝑛𝑥 + 2

√5

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: √5𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑙𝑛𝑥 + 2

√5𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2 = 𝑙𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜃 =√5 − (𝑙𝑛𝑥 + 2)2

√5

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: √5 − (𝑙𝑛𝑥 + 2)2 = √5𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

= ∫(√5𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2)

𝑥(√5𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑥√5𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃

= ∫(√5𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2)𝑑𝜃

= −√5𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝜃 + 𝐶

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜; 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

= −√5 [√5 − (𝑙𝑛𝑥 + 2)2

√5+ 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑙𝑛𝑥 + 2

√5)] + 𝐶

𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: ∫ [𝒍𝒏𝒙

𝒙√𝟏 − 𝟒𝒍𝒏𝒙 − 𝒍𝒏𝟐𝒙]𝒅𝒙 = −√𝟓 − (𝒍𝒏𝒙 + 𝟐)𝟐 − 𝟐√𝟓𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(

𝒍𝒏𝒙 + 𝟐

√𝟓) + 𝑪

θ

17


AC18 ∫√9 − 4𝑥2

𝑥𝑑𝑥 3𝑙𝑛 |

3 − √9 − 4𝑥2

𝑥| + √9 − 4𝑥2 + 𝐶

AC19 ∫𝑥2

√2𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥

3

2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) −

1

2(𝑥 + 3)√2𝑥 − 𝑥2 + 𝐶

AC20 ∫1

√𝑥2 − 4𝑥 + 13𝑑𝑥 𝑙𝑛 |𝑥 − 2 + √𝑥2 − 4𝑥 + 13| + 𝐶

AC21 ∫𝑥2

(𝑎2 − 𝑥2)32

𝑑𝑥 𝑥

√𝑎2 − 𝑥2− 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

𝑎) + 𝐶

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES POR MEDIO DE FRACCIONES

PARCIALES

Cuando la función racional 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) es una fracción propia, o sea que el grado del numerador es menor

que el grado del denominador, se recomienda usar el método de fracciones parciales. CASO I: El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.

q(x) = (a1x+b1) (a2x+b2)… (akx+bk)

𝒑(𝒙)

𝒒(𝒙)=

𝑨𝟏

𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏+

𝑨𝟐

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐+⋯+

𝑨𝒌

𝒂𝒌𝒙 + 𝒃𝒌

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟗: ∫𝟒𝒙 − 𝟐

𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒙

∫4𝑥 − 2

𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥 = ∫

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥2 − 𝑥 − 2)𝑑𝑥

∫4𝑥 − 2

𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥 = ∫

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)𝑑𝑥

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 − 2+

𝐶

𝑥 + 1

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝐴(𝑥2 − 𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥2 + 𝑥) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

18

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝐴𝑥2 − 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2 − 2𝐶

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

4𝑥 − 2

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) − 𝑥(𝐴 − 𝐵 + 2𝐶) − 2𝐴

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

−2 = −2𝐴

𝐴 = 1

4𝑥 = −𝑥(𝐴 − 𝐵 + 2𝐶)

4 = −𝐴 + 𝐵 − 2𝐶

4 = −1 + 𝐵 − 2𝐶

5 = 𝐵 − 2𝐶

𝐵 = 5 + 2𝐶 [1]

0𝑥2 = 𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0

1 + 𝐵 + 𝐶 = 0

𝐵 = −1− 𝐶 [2]

𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 1 𝑦 2; 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

5 + 2𝐶 = −1 − 𝐶

3𝐶 = −6

𝐶 = −2

𝐵 = 1

𝐴 = 1

∫4𝑥 − 2

𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥 =∫

𝐴

𝑥𝑑𝑥 + ∫

𝐵

𝑥 − 2𝑑𝑥 + ∫

𝐶

𝑥 + 1𝑑𝑥

∫4𝑥 − 2

𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥 =∫

1

𝑥𝑑𝑥 + ∫

1

𝑥 − 2𝑑𝑥 +∫

−2

𝑥 + 1𝑑𝑥

𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎: ∫1

𝑥 − 2𝑑𝑥

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑢 = 𝑥 − 2

19

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: ∫1

𝑥 − 2𝑑𝑥 = ∫

1

𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑥 − 2| + 𝐶

𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆:∫𝟒𝒙 − 𝟐

𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐| − 𝟐𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝑪

CASO II: q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten

Suponga que el primer factor lineal (a1x+b1) se repite r veces; es decir (a1x+b1)r aparece en la

factorización de q(x). Por lo tanto en lugar del término simple 𝐴1

𝑎1𝑥+𝑏1

𝑨𝟏

𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏+

𝑨𝟐

(𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏)𝟐+⋯+

𝑨𝒓

(𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏)𝒓

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏𝟎: ∫𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)𝟐𝒅𝒙

5𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2=

𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2=

𝐴

(𝑥 + 2)+

𝐵

(𝑥 + 3)2+

𝐶

(𝑥 + 3)

5𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2=𝐴(𝑥 + 3)2 + 𝐵(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2

5𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2=(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 𝐵(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥2 + 5𝑥 + 6)

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2

5𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2=𝐴𝑥2 + 6𝐴𝑥 + 9𝐴 + 𝐵𝑥 + 2𝐵 + 𝐶𝑥2 + 5𝐶𝑥 + 6𝐶

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2

𝑇𝑅𝐴𝐵𝐴𝐽𝐴𝑁𝐷𝑂 𝐸𝑁 𝐿𝑂𝑆 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁𝐸𝑆 𝑇𝐸𝑁𝐸𝑀𝑂𝑆:

5𝑥2 = 𝑥2(𝐴 + 𝐶) −2𝑥 = 𝑥(6𝐴 + 𝐵 + 5𝐶) 3 = 2𝐵 + 6𝐶 + 9𝐴

5 = 𝐴 + 𝐶 −2 = 6𝐴 + 𝐵 + 5𝐶 3 = 2𝐵 + 6𝐶 + 9(5 − 𝐶)

5 − 𝐶 = 𝐴 −2 = 6(5 − 𝐶) + 𝐵 + 𝐶 3 = 2𝐵 + 6𝐶 + 45 − 9𝐶

−2 = 30 − 6𝐶 + 𝐵 + 𝐶 −42 = 2𝐵 − 3𝐶 −32 = 𝐵 − 𝐶 3𝐶 = 2𝐵 + 42 𝐶 − 𝐵 = 32 −42 = 2𝐵 − 3𝐶

20

𝐶 = 32 + 𝐵 3𝐶 = 2𝐵 + 42

𝐶 =2𝐵 + 42

3

32 + 𝐵 =2𝐵 + 42

3

96 + 3𝐵 = 2𝐵 + 42

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {𝐵 = −54𝐶 = −22𝐴 = 27

𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:

∫5𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2𝑑𝑥 =

𝐴

(𝑥 + 2)+

𝐵

(𝑥 + 3)2+

𝐶

(𝑥 + 3)

∫5𝑥2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)2𝑑𝑥 = ∫

27

𝑥 + 2𝑑𝑥 + ∫−

54

(𝑥 + 3)2𝑑𝑥 + ∫−

22

𝑥 + 3𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥 + 3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

= 27𝑙𝑛|𝑥 + 2| − 54∫1

𝑢2𝑑𝑢 − 22𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶

= 27𝑙𝑛|𝑥 + 2| − 54∫𝑢−2𝑑𝑢 − 22𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶

= 27𝑙𝑛|𝑥 + 2| − 54𝑢−1

−1− 22𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶

= 27𝑙𝑛|𝑥 + 2| +54

𝑢− 22𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶

= 27𝑙𝑛|𝑥 + 2| +54

𝑥 + 3− 22𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶

∫𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)𝟐𝒅𝒙 = 𝟐𝟕𝒍𝒏|𝒙 + 𝟐| − 𝟐𝟐𝒍𝒏|𝒙 + 𝟑| +

𝟓𝟒

𝒙 + 𝟑+ 𝑪

CASO III: q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles ninguno de los cuales se repite.

Si q(x) tiene el factor ax2+bx+c, donde b2 - 4ac<0, entonces la expresión para p(x)/q(x) tendrá un término de la forma

21

𝑨𝒙 +𝑩

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏𝟏: ∫𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔

𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝒅𝒙

𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥=𝐴

𝑥+2𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 3

𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥=𝐴

𝑥+2𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 3

𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥=𝐴(𝑥2 + 3) + 𝑥(2𝐵𝑥 + 𝐶)

𝑥(𝑥2 + 3)

𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥=𝐴𝑥2 + 3𝐴 + 2𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥

𝑥(𝑥2 + 3)

𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥(𝑥2 + 3)=𝑥2(𝐴 + 2𝐵) + 𝐶𝑥 + 3𝐴

𝑥(𝑥2 + 3)

𝑥2 − 𝑥 + 6 = 𝑥2(𝐴 + 2𝐵) + 𝐶𝑥 + 3𝐴

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑥2 = 𝑥2(𝐴 + 2𝐵) −𝑥 = 𝐶𝑥 6 = 3𝐴

1 = 𝐴 + 2𝐵 𝑪 = −𝟏 𝑨 = 𝟐 1 − 𝐴

2= 𝐵

1 − 2

2= 𝐵

𝑩 = −𝟏

𝟐

∫𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥𝑑𝑥 = ∫

𝐴

𝑥𝑑𝑥 + ∫

2𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 3𝑑𝑥

∫𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥𝑑𝑥 = ∫

2

𝑥𝑑𝑥 + ∫

2(−12) 𝑥 − 1

𝑥2 + 3𝑑𝑥

∫𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥𝑑𝑥 = 2∫

1

𝑥𝑑𝑥 + ∫

−𝑥 − 1

𝑥2 + 3𝑑𝑥

∫𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥𝑑𝑥 = 2∫

1

𝑥𝑑𝑥 − ∫

𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 − ∫

1

𝑥2 + 3𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠:

∫𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 ∫

1

𝑥2 + 3𝑑𝑥

22

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 3 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎:

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 ∫

𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2=1

𝑎𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: {𝑎 = √3𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢

2𝑥= 𝑑𝑥 ∫

1

𝑥2 + 3𝑑𝑥 =

1

√3𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑥

√3) + 𝐶

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

∫𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 = ∫

𝑥

𝑢

𝑑𝑢

2𝑥

∫𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 = ∫

1

2𝑢𝑑𝑢

∫𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 =

1

2∫1

𝑢𝑑𝑢

∫𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 =

1

2𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶

∫𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 =

1

2𝑙𝑛|𝑥2 + 3| + 𝐶

𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:

∫𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑥3 + 3𝑥𝑑𝑥 = 2∫

1

𝑥𝑑𝑥 − ∫

𝑥

𝑥2 + 3𝑑𝑥 − ∫

1

𝑥2 + 3𝑑𝑥

∫𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔

𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝒅𝒙 = 𝟐𝒍𝒏|𝒙| −

𝟏

𝟐𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟑| −

𝟏

√𝟑𝒕𝒂𝒏−𝟏 (

𝒙

√𝟑) + 𝑪

𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏𝟐: ∫𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟒

𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒅𝒙

3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2=

3𝑥2 − 𝑥 + 4

(𝑥2 + 2)(𝑥2 + 1)=(2𝐴𝑥 + 𝐵)

𝑥2 + 2+(2𝐶𝑥 + 𝐷)

𝑥2 + 1

3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2=(2𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 1) + (2𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 + 2)

(𝑥2 + 2)(𝑥2 + 1)

3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2=2𝐴𝑥3 + 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 + 𝐵 + 2𝐶𝑥3 + 4𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 2𝐷

(𝑥2 + 2)(𝑥2 + 1)

23

3𝑥2 − 𝑥 + 4

(𝑥2 + 2)(𝑥2 + 1)=2𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(𝐵 + 𝐷) + 𝑥(2𝐴 + 4𝐶) + 𝐵 + 2𝐷

(𝑥2 + 2)(𝑥2 + 1)

3𝑥2 − 𝑥 + 4 = 2𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(𝐵 + 𝐷) + 𝑥(2𝐴 + 4𝐶) + 𝐵 + 2𝐷

𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

0𝑥3 = 2𝑥3(𝐴 + 𝐶) 3𝑥2 = 𝑥2(𝐵 + 𝐷) −𝑥 = 𝑥(2𝐴 + 4𝐶) 4 = 𝐵 + 2𝐷

𝐴 + 𝐶 = 0 3 = 𝐵 + 𝐷 2𝐴 + 4𝐶 = −1

𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒á𝑛𝑑𝑜𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

|

1 0 1 0 00 1 0 1 32 0 4 0 −10 1 0 2 4

| 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

{

𝐴 =

1

2

𝐵 = 2

𝐶 = −1

2

𝐷 = 1

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎:

∫3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2𝑑𝑥 = ∫

(2𝐴𝑥 + 𝐵)

𝑥2 + 2𝑑𝑥 + ∫

(2𝐶𝑥 + 𝐷)

𝑥2 + 1𝑑𝑥

∫3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2𝑑𝑥 = ∫

2(12)𝑥 + 2

𝑥2 + 2𝑑𝑥 + ∫

2(−12) 𝑥 + 1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

∫3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2𝑑𝑥 = ∫

𝑥 + 2

𝑥2 + 2𝑑𝑥 + ∫

−𝑥 + 1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

∫3𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥4 + 3𝑥2 + 2𝑑𝑥 = ∫

𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 + 2∫

1

𝑥2 + 2𝑑𝑥 − ∫

𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 + ∫

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠:

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 ∫

2

𝑥2 + 2𝑑𝑥 = 2∫

1

2 + 𝑥2𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 2 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎: ∫1

𝑎2 + 𝑢2𝑑𝑥 =

1


𝑢

𝑎) + 𝐶

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 𝑠𝑒𝑎: {𝑎 = √2

𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢

2𝑥= 𝑑𝑥 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 = ∫

𝑥

𝑢.𝑑𝑢

2𝑥 2∫

1

2 + 𝑥2𝑑𝑥 = 2 [

1

√2𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑥

√2)] + 𝐶

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 =

1

2∫1

𝑢𝑑𝑢

24

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 =

1


𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: ∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 =

1

2𝑙𝑛|𝑥2 + 2| + 𝐶

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠:

∫𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 ∫

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎: ∫1

𝑎2 + 𝑢2𝑑𝑥 =

1


𝑢

𝑎) + 𝐶

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑥2 + 1 𝑠𝑒𝑎: {

𝑎 = 1𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢

2𝑥= 𝑑𝑥 ∫

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑥) + 𝐶

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 = ∫

𝑥

𝑢.𝑑𝑢

2𝑥

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 =

1

2∫1

𝑢𝑑𝑢

∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 =

1


∫𝑥

𝑥2 + 2𝑑𝑥 =

1

2𝑙𝑛|𝑥2 + 1| + 𝐶

𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜

∫𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟒

𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒅𝒙 =

𝟏

𝟐𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟐| +

𝟐

√𝟐𝒕𝒂𝒏−𝟏 (

𝒙

√𝟐) −

𝟏

𝟐𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟏| + 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪

25


AC22 ∫𝑥 + 1

𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥𝑑𝑥 −

1

6𝑙𝑛|𝑥| +

3

10𝑙𝑛|𝑥 − 2| −

2

15𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝐶

AC23 ∫2𝑥2 + 3

(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥 5

2arctan 𝑥 +

𝑥2

𝑥2 + 1+ 𝐶

AC24 ∫1

𝑒2𝑥 − 3𝑒𝑥𝑑𝑥

1

3𝑒𝑥+1

9𝑙𝑛 |

𝑒𝑥 − 3

𝑒𝑥| + 𝐶

AC25 ∫𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥

1

2𝑥2 + 2𝑙𝑛|𝑥| −

1

𝑥− 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶

AC26 ∫𝑐𝑜𝑠𝑡

(𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16)𝑑𝑡 𝑙𝑛 (

2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2

)

32−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑠𝑒𝑛(𝑡)2

)

16+ 𝐶

7. EJERCICIOS PROPUESTOS

LIBRO GUIA: CALCULO DE UNA VARIABLE AUTOR: JAMES STEWART SEXTA EDICIÓN REVISADA Pagina Ejercicio Literales 457 7.1 5,9,15,23,27 465 7.2 3,7,13,15 466 7.2 21,39,47 472 7.3 1,5,19,23,28 481-482 7.4 6,10,13,19,27,35,50 493 7.6 2,6,17,25

8. REVISIÓN DE CONCEPTOS

LIBRO GUIA: CALCULO DE UNA VARIABLE AUTOR: JAMES STEWART SEXTA EDICIÓN REVISADA Pagina Ejercicio Literales 518 Revisión de Conceptos 1, 2, 3 518 Preguntas V / F 2, 3, 4, 5 LIBRO: CALCULO ; AUTOR: PURCELL; EDICIÓN : NOVENA Pagina Sección Literales 391 Revisión de Conceptos 3,4 398 Revisión de Conceptos 1, 2, 3,4

26

ANEXOS:

RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1 𝑠𝑒𝑛𝐴 =1

𝑐𝑠𝑐𝐴 6 𝑐𝑠𝑐𝐴 =

1

𝑠𝑒𝑛𝐴

2 𝑐𝑜𝑠𝐴 =1

𝑠𝑒𝑐𝐴 7 𝑠𝑒𝑐𝐴 =

1

𝑐𝑜𝑠𝐴

3 𝑡𝑎𝑛𝐴 =1

𝑐𝑜𝑡𝐴 8 𝑐𝑜𝑡𝐴 =

1

𝑡𝑎𝑛𝐴

4 𝑡𝑎𝑛𝐴 =𝑠𝑒𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴 9 𝑐𝑜𝑡𝐴 =

𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑠𝑒𝑛𝐴

5 𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐴 = 1 10 𝑠𝑒𝑐2𝐴 − 𝑡𝑎𝑛2𝐴 = 1

11 𝑐𝑠𝑐2𝐴 − 𝑐𝑜𝑡2𝐴 = 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

12 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛y 16 tan(𝑥 + 𝑦) =𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦

1 − 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑦

13 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 17 tan(𝑥 − 𝑦) =𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑦

1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑦

14 cos(𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 18 cot(𝑥 + 𝑦) =𝑐𝑜𝑡𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑦 − 1

𝑐𝑜𝑡𝑦 + 𝑐𝑜𝑡𝑥

15 cos(𝑥 − 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 19 cot(𝑥 − 𝑦) =𝑐𝑜𝑡𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑦 + 1

𝑐𝑜𝑡𝑦 − 𝑐𝑜𝑡𝑥

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

20 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 22 𝑡𝑎𝑛2𝑥 =

2𝑡𝑎𝑛𝑥

1 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥

21 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN TÉRMINOS DE LAS FUNCIONES DE UN ÁNGULO

MITAD

23 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝑐𝑜𝑠

𝑥

2

25 𝑡𝑎𝑛𝑥 =2𝑡𝑎𝑛

𝑥2

1 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥2

24 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2− 𝑠𝑒𝑛2

𝑥

2

27

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

26 𝑠𝑒𝑛𝑥

2= ±√

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

2 30 𝑐𝑜𝑠

𝑥

2= ±√

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

2

27 𝑡𝑎𝑛𝑥

2= ±√


1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 31 𝑡𝑎𝑛

𝑥

2=

𝑠𝑒𝑛𝑥


28 𝑡𝑎𝑛𝑥

2=1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 32 𝑐𝑜𝑡

𝑥

2= ±√



29 𝑐𝑜𝑡𝑥

2=1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 33 𝑐𝑜𝑡

𝑥

2=

𝑠𝑒𝑛𝑥


SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

34 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)

2. 𝑐𝑜𝑠

(𝐴 − 𝐵)

2 36 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2𝑐𝑜𝑠

(𝐴 + 𝐵)

2. 𝑐𝑜𝑠

(𝐴 − 𝐵)

2

35 𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)

2. 𝑠𝑒𝑛

(𝐴 − 𝐵)

2 37 𝑐𝑜𝑠𝐴 − 𝑐𝑜𝑠𝐵 = −2𝑠𝑒𝑛

(𝐴 + 𝐵)

2. 𝑐𝑜𝑠

(𝐴 − 𝐵)

2

Tabla de Integrales:

ALGUNAS FORMAS ELEMENTALES

1 ∫𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶 3 ∫𝑢𝑛𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

2 ∫𝑎𝑑𝑢 = 𝑎∫𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝐶 4 ∫𝑑𝑢

𝑢= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶

5 ∫[𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑢)]𝑑𝑢 = ∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢 + ∫𝑔(𝑢)𝑑𝑢

FORMAS RACIONALES QUE CONTIENEN (a+bu)

6 ∫𝑢

𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢 =

1

𝑏2[𝑎 + 𝑏𝑢 − 𝑎𝑙𝑛|𝑎 + 𝑏𝑢|] + 𝐶

7 ∫𝑢2

𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢 =

1

𝑏3[1

2(𝑎 + 𝑏𝑢)2 − 2𝑎(𝑎 + 𝑏𝑢) + 𝑎2𝑙𝑛|𝑎 + 𝑏𝑢|] + 𝐶

28

8 ∫𝑢

(𝑎 + 𝑏𝑢)2=1

𝑏2[

𝑎

𝑎 + 𝑏𝑢+ 𝑙𝑛|𝑎 + 𝑏𝑢|] + 𝐶

9 ∫𝑢2

(𝑎 + 𝑏𝑢)2𝑑𝑢 =

1

𝑏3[𝑎 + 𝑏𝑢 −

𝑎2

𝑎 + 𝑏𝑢− 2𝑎𝑙𝑛|𝑎 + 𝑏𝑢|] + 𝐶

10 ∫

𝑢

(𝑎 + 𝑏𝑢)3𝑑𝑢 =

1

𝑏2[

𝑎

2(𝑎 + 𝑏𝑢)2−

1

𝑎 + 𝑏𝑢] + 𝐶

11 ∫

1

𝑢(𝑎 + 𝑏𝑢)𝑑𝑢 =

1

𝑎𝑙𝑛 |

𝑢

𝑎 + 𝑏𝑢| + 𝐶

12 ∫

1

𝑢2(𝑎 + 𝑏𝑢)𝑑𝑢 = −

1

𝑎𝑢+𝑏

𝑎2𝑙𝑛 |

𝑎 + 𝑏𝑢

𝑢| + 𝐶

13 ∫

1

𝑢(𝑎 + 𝑏𝑢)2𝑑𝑢 =

1

𝑎(𝑎 + 𝑏𝑢)+1

𝑎2𝑙𝑛 |

𝑢

𝑎 + 𝑏𝑢| + 𝐶

FORMAS QUE CONTIENEN √𝒂 + 𝒃𝒖

14 ∫𝑢√𝑎 + 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =

2

15𝑏3(3𝑏𝑢 − 2𝑎)(𝑎 + 𝑏𝑢)

32 + 𝐶

15 ∫𝑢2√𝑎 + 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =

2

105𝑏3(15𝑏2𝑢2 − 12𝑎𝑏𝑢 + 8𝑎2)(𝑎 + 𝑏𝑢)

32 + 𝐶

16

∫𝑢𝑛√𝑎 + 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =2𝑢2(𝑎 + 𝑏𝑢)

32

𝑏(2𝑛 + 3)−

2𝑎𝑛

𝑏(2𝑛 + 3)∫𝑢𝑛−1√𝑎 + 𝑏𝑢 𝑑𝑢

17 ∫

𝑢

√𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢 =

2

3𝑏2(𝑏𝑢 − 2𝑎)√𝑎 + 𝑏𝑢 + 𝐶

18 ∫

𝑢2


2

15𝑏3(3𝑏2𝑢2 − 4𝑎𝑏𝑢 + 8𝑎2)√𝑎 + 𝑏𝑢 + 𝐶

19 ∫

𝑢𝑛


2𝑢𝑛√𝑎 + 𝑏𝑢

𝑏(2𝑛 + 1)−

2𝑎𝑛

𝑏(2𝑛 + 1)∫

𝑢𝑛−1

√𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢

20

∫1

𝑢√𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢 =

{

1

√𝑎𝑙𝑛 |

√𝑎 + 𝑏𝑢 − √𝑎

√𝑎 + 𝑏𝑢 + √𝑎| + 𝐶 𝑠𝑖 𝑎 > 0

2

√−𝑎𝑡𝑎𝑛−1√

𝑎 + 𝑏𝑢

−𝑎+ 𝐶 𝑠𝑖 𝑎 < 0

21 ∫

1

𝑢𝑛√𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢 = −

√𝑎 + 𝑏𝑢

𝑎(𝑛 − 1)𝑢𝑛−1−𝑏(2𝑛 − 3)

2𝑎(𝑛 − 1)∫

1

𝑢𝑛−1√𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢

29

22 ∫√𝑎 + 𝑏𝑢

𝑢𝑑𝑢 = 2√𝑎 + 𝑏𝑢 + 𝑎∫

1

𝑢√𝑎 + 𝑏𝑢𝑑𝑢

23

∫√𝑎 + 𝑏𝑢

𝑢𝑛𝑑𝑢 = −

(𝑎 + 𝑏𝑢)32

𝑎(𝑛 − 1)𝑢𝑛−1−𝑏(2𝑛 − 5)

2𝑎(𝑛 − 1)∫√𝑎 + 𝑏𝑢

𝑢𝑛−1𝑑𝑢

FORMAS QUE CONTIENEN 𝒂𝟐 ± 𝒖𝟐

24 ∫

𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2=1

𝑎𝑡𝑎𝑛−1

𝑢

𝑎+ 𝐶

26 ∫

𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑢2=1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑢 − 𝑎

𝑢 + 𝑎| + 𝐶

25 ∫

𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑢2=1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑢 + 𝑎

𝑢 − 𝑎| + 𝐶

FORMAS QUE CONTIENEN √𝒖𝟐 ± 𝒂𝟐

27 ∫

𝑑𝑢

√𝑢2 ± 𝑎2= 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

28 ∫√𝑢2 ± 𝑎2𝑑𝑢 =

𝑢

2√𝑢2 ± 𝑎2 ±

𝑎2

2𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

29 ∫𝑢2√𝑎2 ± 𝑎2 =

𝑢

8(2𝑢2 ± 𝑎2)√𝑢2 ± 𝑎2 −

𝑎4

8𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

30 ∫√𝑢2 + 𝑎2

𝑢𝑑𝑢 = √𝑢2 + 𝑎2 − 𝑎𝑙𝑛 |

𝑎 + √𝑢2 + 𝑎2

𝑢| + 𝐶

31 ∫√𝑢2 − 𝑎2

𝑢𝑑𝑢 = √𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎𝑠𝑒𝑐−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

32 ∫√𝑢2 ± 𝑎2

𝑢2𝑑𝑢 = −

√𝑢2 ± 𝑎2

𝑢+ 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

33 ∫

𝑢2

√𝑢2 ± 𝑎2𝑑𝑢 =

𝑢

2√𝑢2 ± 𝑎2 −

±𝑎2

2𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

34 ∫

1

𝑢√𝑢2 + 𝑎2𝑑𝑢 = −

1

𝑎𝑙𝑛 |

𝑎 + √𝑢2 + 𝑎2

𝑢| + 𝐶

35 ∫

1

𝑢√𝑢2 − 𝑎2𝑑𝑢 =

1

𝑎𝑠𝑒𝑐−1

𝑢

𝑎+ 𝐶

36 ∫

1

𝑢2√𝑢2 ± 𝑎2𝑑𝑢 = −

√𝑢2 ± 𝑎2

±𝑎2𝑢+ 𝐶

30

37 ∫(𝑢2 ± 𝑎2)3/2𝑑𝑢 =

𝑢

8(2𝑢2 ± 5𝑎2)√𝑢2 ± 𝑎2 +

3𝑎4

8𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

38 ∫

1

(𝑢2 ± 𝑎2)3/2𝑑𝑢 =

𝑢

±𝑎2√𝑢2 ± 𝑎2+ 𝐶

FORMAS QUE CONTIENEN √𝒂𝟐 − 𝒖𝟐

39 ∫1

√𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

40 ∫√𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 =𝑢

2√𝑎2 − 𝑢2 +

𝑎2

2𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

41 ∫𝑢2√𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 =𝑢

8(2𝑢2 − 𝑎2)√𝑎2 − 𝑢2 +

𝑎4

8𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

42 ∫√𝑎2 − 𝑢2

𝑢𝑑𝑢 =

{

√𝑎2 − 𝑢2 − 𝑎𝑙𝑛 |𝑎 + √𝑎2 − 𝑢2

𝑢| + 𝐶

√𝑎2 − 𝑢2 − 𝑎𝑐𝑜𝑠ℎ−1 (𝑎

𝑢) + 𝐶

43 ∫√𝑎2 − 𝑢2

𝑢2𝑑𝑢 = −

√𝑎2 − 𝑢2

𝑢− 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

44 ∫𝑢2

√𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 = −

𝑢

2√𝑎2 − 𝑢2 +

𝑎2

2𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

45 ∫1

𝑢√𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 =

{

−1

𝑎𝑙𝑛 |

𝑎 + √𝑎2 − 𝑢2

𝑢| + 𝐶

−1

𝑎𝑐𝑜𝑠ℎ−1 (

𝑎

𝑢) + 𝐶

46 ∫

1

𝑢2√𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 = −

√𝑎2 − 𝑢2

𝑎2𝑢+ 𝐶

47 ∫(𝑎2 − 𝑢2)3/2𝑑𝑢 = −

𝑢

8(2𝑢2 − 5𝑎2)√𝑎2 − 𝑢2 +

3𝑎4

8𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑢

𝑎) + 𝐶

48 ∫

1

(𝑎2 − 𝑢2)3/2𝑑𝑢 =

𝑢

𝑎2√𝑎2 − 𝑢2+ 𝐶

FORMAS QUE CONTIENEN 𝟐𝒂𝒖 − 𝒖𝟐

49 ∫√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 =

𝑢 − 𝑎

2√2𝑎𝑢 − 𝑢2 +

𝑎2

2𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

31

50 ∫𝑢√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 =

2𝑢2 − 𝑎𝑢 − 3𝑎2

6√2𝑎𝑢 − 𝑢2 +

𝑎3

2𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

51 ∫√2𝑎𝑢 − 𝑢2

𝑢𝑑𝑢 = √2𝑎𝑢 − 𝑢2 + 𝑎𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

52 ∫√2𝑎𝑢 − 𝑢2

𝑢2𝑑𝑢 = −

2√2𝑎𝑢 − 𝑢2

𝑢− 𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

53 ∫

1

√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

54 ∫

𝑢

√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 = −√2𝑎𝑢 − 𝑢2 + 𝑎𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

55 ∫

𝑢2

√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 = −

(𝑢 + 3𝑎)

2√2𝑎𝑢 − 𝑢2 +

3𝑎2

2𝑐𝑜𝑠−1 (1 −

𝑢

𝑎) + 𝐶

56 ∫

1

𝑢√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 = −

√2𝑎𝑢 − 𝑢2

𝑎𝑢+ 𝐶

57 ∫

1

(2𝑎𝑢 − 𝑢2)3/2𝑑𝑢 =

𝑢 − 𝑎

𝑎2√2𝑎𝑢 − 𝑢2𝑑𝑢 + 𝐶

58 ∫

𝑢

(2𝑎𝑢 − 𝑢2)3/2𝑑𝑢 =

𝑢

𝑎√2𝑎𝑢 − 𝑢2+ 𝐶

FORMAS QUE CONTIENEN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

27 ∫𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝐶 34 ∫𝑠𝑒𝑐2𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 + 𝐶

28 ∫𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶 35 ∫𝑐𝑠𝑐2𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑢 + 𝐶

29 ∫𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢| + 𝐶 36 ∫𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝐶

30 ∫𝑐𝑜𝑡𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛𝑢| + 𝐶 37 ∫𝑐𝑠𝑐𝑢𝑐𝑜𝑡𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐𝑢 + 𝐶

31 ∫𝑠𝑒𝑐𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝑡𝑎𝑛𝑢| + 𝐶 38 ∫𝑠𝑒𝑛2𝑢𝑑𝑢 =1

2𝑢 −

1

4𝑠𝑒𝑛(2𝑢) + 𝐶

32 ∫𝑐𝑠𝑐𝑢𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑢| + 𝐶 39 ∫𝑐𝑜𝑠2𝑢𝑑𝑢 =1

2𝑢 +

1

4𝑠𝑒𝑛(2𝑢) + 𝐶

32

33 ∫𝑡𝑎𝑛2𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 − 𝑢 + 𝐶 40 ∫𝑐𝑜𝑡2𝑢𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑢 − 𝑢 + 𝐶

FORMAS QUE CONTIENEN FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

∫𝑎𝑢𝑑𝑢 =

𝑎𝑢

𝑙𝑛𝑎+ 𝐶

∫𝑢𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢(𝑢 − 1) + 𝐶

∫𝑢𝑛𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑛𝑒𝑢 − 𝑛∫𝑢𝑛−1𝑒𝑢𝑑𝑢

∫𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑢)𝑑𝑢 = −

𝑠𝑒𝑛(𝑚 + 𝑛)𝑢

2(𝑚 + 𝑛)+𝑠𝑒𝑛(𝑚 − 𝑛)𝑢

2(𝑚 − 𝑛)+ 𝐶

∫𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑢) cos(𝑛𝑢) 𝑑𝑢 = −

cos(𝑚 + 𝑛)𝑢

2(𝑚 + 𝑛)−cos(𝑚 − 𝑛)𝑢

2(𝑚 − 𝑛)+ 𝐶

∫𝑢𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑢 − 𝑢𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝐶

∫𝑢𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑢𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶

∫𝑢2𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = 2𝑢𝑠𝑒𝑛𝑢 + (2 − 𝑢2)𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝐶

GUÍA UNIDAD 2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

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