Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación

FACULTAD DE INGIENERIA

DOCENTE:

ALUMNO(S):

BARRIENTOS LLACUA; Rubén

AULA:

HUANCAYO-2015

INFORME 01

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

FISICA II

PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 01.

I. OBJETIVO(S):

I.1. Objetivo General

Estudiaremos experimentalmente el comportamiento de los resorte Estudiaremos la dependencia del período de oscilación del resorte con la masa.

I.2. Objetivos específicos

Calcularemos la constante elástica de un resorte helicoidal por el método dinámico Verificaremos la existencia de fuerzas recuperadoras Calcularemos el módulo de rigidez del alambre del cual está hecho el resorte helicoidal

II. MATERIALES A UTILIZAR:

- Un resorte helicoidal

- Una regla graduada en milímetros.

Se conoce como resorte a un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido, en la mecánica es conocidos erróneamente como " muelle", varían así de la región o cultura. Se fabrican con materiales muy diversos, tales como carbono, acero, acero al cromo-silicio, cromo-vanadio, bronces, plástico, entre otros, que presentan elásticas y con una gran diversidad de formas y dimensiones.

La regla graduada es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud, por ejemplo centímetros o pulgadas; es un instrumento útil para trazar segmentos rectilíneos con la ayuda de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígido, semirrígido o muy flexible, construido de madera, metal, material plástico, etc.

- Un cronometro.

- Soporte universal

- Pesas

El cronómetro es un reloj cuya precisión ha sido comprobada y certificada por algún instituto o centro de control de precisión que, mediante algún mecanismo de complicación, permite la medición independiente de tiempos.

El soporte universal es una herramienta que se utiliza en laboratorios para realizar montajes con los materiales presentes en el laboratorio y obtener sistemas de mediciones o de diversas funciones.

 Las pesas de laboratorio son herramientas de precisión que sirven para pesar con exactitud diferentes sustancias, ya que, por ejemplo de la exactitud del pesaje de los reactivos dependerá la efectividad de una reacción química y la obtención del producto de reacción.

III. MARCO TEORICO Y CONCEPTUAL:

III.1. Vibraciones libres de partículas

Uno de los método que nos permite determinar la constante elástica k de un resorte es el método dinámico el que comprende a un movimiento armónico simple. Para mostrar esto, consideremos una partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura 1.1a. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son el peso, W = mg y la fuerza

elásticaFe=kδst . Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene

∑ F x=0 mg−kδ st=0

(1.1)

Figura 1.1. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en movimiento

Si se desplaza el cuerpo una distancia xm a partir de la posición de equilibrio estático y luego se le suelta sin velocidad inicial, el cuerpo se moverá hacia arriba y hacia abajo realizando un movimiento armónico simple de amplitud xm. Para determinar el periodo de oscilación del cuerpo m, se aplica la segunda ley de newton en una posición arbitraria x, esto es:

(1.2)

Reemplazando la ecuación (1,1 en (1.2), resulta:

(1.3)

El movimiento definido por la ecuación (3)* se conoce como movimiento armónico simple y se caracteriza por que la aceleración es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento. También se puede escribir en la forma

(1.4.)

En donde ωn se denomina frecuencia natural circular o pulsación natural, y se expresa,

ωn=√ km (1.5)

La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes dada por la ecuación (1.4) es de la forma

x=Asen (ωn t )+B cos (ωn t )(1.6)

Donde A y B son constantes que se determinan de las condiciones iníciales.

A veces es más conveniente escribir la ecuación (2.6) en una forma alternativa dada por

x=xm sen (ωn t +ϕ )(1.7)

La velocidad y la aceleración están dadas por

v= x=xm ωn cos (ωn t+ϕ)(1.8)

a= x=−xm ωn2 sen (ωn t +ϕ )

(1.9)

La gráfica de la posición x en función del tiempo t muestra que la masa m oscila alrededor de su posición de equilibrio. La cantidad xm se le denomina amplitud de la vibración, y el ángulo φ se denomina ángulo de fase. Como se muestra en la figura 2.3, τ es el período de la vibración, es decir el tiempo que tarda un ciclo.

(1.10)

Si se considera la masa efectiva del resorte (mref ), la ecuación se escribe de la forma:

(1.11)

Si se traza una gráfica el cuadrado del periodo (T2) en función de la masa m de la partícula se obtiene una línea recta la misma que no pasa por el origen de coordenadas debido a la existencia de la masa efectiva del resorte (mref),. Por tanto, la ecuación (1.11) establece un medio cómo hallar el valor de la constante elástica de un resorte por el método dinámico.

III.2. Ley de Hooke

Esta ley establece que si se aplica una carga externa axial a un cuerpo, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación unitaria, siendo la constante de proporcionalidad el “MODULO ELASTICO”, siempre y cuando no se sobrepase el límite de proporcionalidad, esto es:

(1.12)

Donde, σn es el esfuerzo normal, E es el módulo de la elasticidad y ε es la deformación unitaria axial.

Si la fuerza aplicada al cuerpo es tangencial, ésta producirá deformaciones angulares, en estas condiciones la Ley de Hooke establece:

(1.13)

Donde, τ es el esfuerzo constante, G es el módulo de rigidez y γ es la deformación unitaria por cortante

III.3. Torsión mecánica

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas, una de ellas se muestra enla figura 1.2 .

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen esfuerzos tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.

2. Cuando los esfuerzos anteriores no están distribuidos adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de los esfuerzos y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general

Figura 1.2. Elemento estructural en forma de cilindro sometido a un momento externo M.

Para deducir las ecuaciones de torsión deben establecer las siguientes hipótesis:

Hipótesis I. Las secciones del árbol cilíndrico perpendiculares al eje longitudinal se conservan como superficies planas después de la torsión del árbol.

Hipótesis II. Todos los diámetros de la sección transversal se conservan como líneas rectas diametrales después de la torsión del árbol.

III.4. Deformación angular en un eje circular

Considere un árbol circular unido a un soporte fijo en un extremo como se muestra en la figura 1.2a. Si se aplica un momento M en el otro extremo el cilindro se encuentra sometido a torsión y si extremo libre rota un ángulo ϕ, ángulo que es proporcional a M y a L llamado ángulo de torsión 8figura 1.2b. Debe observa además que se cumple la hipótesis I es decir las secciones se mantienen constantes antes y después de la aplicación del par M como lo muestra la figura 1.3c y 1.3d.

Figura 1.3. Elemento estructural en forma de cilindro sometido a un momento externo M mostrando el ángulo ϕ en uno de los extremos

Ahora se procede a determinar la distribución de deformaciones cortantes del elemento cilíndrico de longitud L y radio c (figura 1.3a).

Extrayendo del elemento un cilindro de radio ρ considere el elemento cuadrado formado por dos círculos adyacente y dos rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro antes de aplicar cualquier carga (figura 1.3f). Al aplicar la carga M este cuadrado se convierte en un rombo (figura 1.3g). Entonces la deformación angular es igual al ángulo formado por las líneas AB y A’B. Si los ángulos son pequeños entonces el ángulo de cizalla puede expresarse como

(1.14)

III.5. Deformación angular en el rango elástico

En esta sección se deducirá una relación entre el ángulo de torsión ϕ y el par M aplicado a un árbol circular de radio c y longitud L como se muestra en la figura 1.2e. En este caso el ángulo de torsión ϕ y la máxima deformación angular se encuentran relacionados por la ecuación

(1.15)

Si el elemento trabaja en el rango elástico se cumple la ley de Hooke τ=G γ max. Entonces la deformación angular se escribe en la forma

(1.16)Comparando las ecuaciones (1.15) y (1.16) se obtiene

(1.17)

Donde IP es el momento de inercia polar de la sección transversal circular con respecto a un eje que pasa por un centro, ϕ es el ángulo de giro, L la longitud de la barra y G el módulo de rigidez.

III.6. Resortes helicoidales

La Figura 1.4a, representa un resorte helicoidal de espiras cerradas comprimidas por la acción de una fuerza axial F. El resorte está formado por un alambre de radio d, enrollado en forma de hélice de diámetro D. La pendiente de esta hélice es pequeña de tal manera que podemos considerar con bastante aproximación que cada espira está situada en un plano perpendicular al eje del resorte.

Figura 1.4 (a) Resorte helicoidal sometido a carga axial, (b) Diagrama de sólido libre de la parte superior.

Para determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por una sección m-m, y se determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de una de las porciones separadas por esta sección. Después se analiza la distribución de esfuerzos. La Figura 1.4b muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte superior del resorte. Para que el resorte esté

en equilibrio, en la sección m-m, deberá actuar una fuerza de corte Fr y un momento M= FD2

El esfuerzo constante máximo se produce en la parte interna del resorte y viene expresado por:

(1.18)

Sabiendo que M= FD2

y r = d/2, la ecuación 1.18 se escribe

(1.19)

En aquellos resortes en los que el valor de d es pequeño comparado con el valor de D, la razón d

2D→ 0 , entonces:

(1.20)

3.7 Elongación de un resorte

La elongación del resorte de espiras cerradas según su eje puede determinarse con suficiente precisión, empleando la teoría de la torsión. La Figura 1.5, representa un elemento infinitamente pequeño del alambre del resorte aislado como un “cuerpo libre “de longitud “dL”

(1.21)

Donde R es el radio medio del resorte, representado por OS en la figura y dα es el ángulo central en S de dL.

(a) (b)

Figura 1.5 (a) Resorte helicoidal, (b) Deformación de un resorte helicoidal

Bajo la acción del momento de torsión, M, el radio Oa de la sección transversal del alambre girará hata ocupar Ob. El punto O de aplicación de la fuerza cortante Ft (punto c) descenderá verticalmente la distancia ce dada por

(1.22)

Como el ángulo dβ es pequeño el arco cd puede considerarse como una recta perpendicular a OC, con lo que la ec. (14) se escribe

(1.23)

De la gráfica se observa que:cd ≅ oc dβ y que cosβ=osoc

=R /oc, entonces la ecuación 1.23 se

escribe en la forma

(1.24)

El desplazamiento vertical del punto c será

(1.25)

Donde dβ es el ángulo de torsión correspondiente al elemento dL

Teniendo en cuenta la ecuación (1.17), el ´ángulo de torsión en función del momento torsor aplicado puede escribirse

(1.26)

Remplazando la ecuación (1.26) en la ecuación (1.25) resulta

(1.27)

La distancia vertical ce=dδ es la aportación del elemento de longitud dL al desplazamiento vertical, la elongación total se obtiene integrando la ecuación (1.27).

(1,28)

(1.29)

Teniendo en cuenta que la longitud total del resorte es L=2 πRN , donde N es el número de espiras del resorte, la ecuación (1.29 se escribe en la forma

(1.30)

Si el alambre es de sección circular de radio r, el momento polar de inercia es I p = ( π r4 )/2 entonces la elongación se escribe:

(1.31)

Teniendo en cuenta que R = D/2 y que r = d/2 se procede a despejar el módulo de rigidez

(1.32)*

La ecuación 1.32 nos permite determinar experimentalmente el módulo de rigidez G de un resorte siempre que se conozca: N = número de espiras, k = constante del resorte, D = diámetro medio y d = diámetro del alambre del cual está hecho el alambre.