Integral - Profesor Jaime Jaramillo - Inicio · Notación sigma ()∑ y partición de un intervalo...

3Integraldefinida

Capítulo 3

En geometría elemental se deducen fórmulas para las áreas de muchas figuras pla-nas, pero escasamente se da una definición precisa de lo que significa área. Enmuchas ocasiones se define el área de una región como el número de cuadrados delado unidad que caben en la región. Sin embargo, dicha definición sólo es aceptablepara algunas regiones simples del plano. Así por ejemplo, el círculo de radio 1 tienecomo área el número irracional π . Pero, ¿qué significa «π cuadrados» de área?

En este capítulo iniciamos el estudio intentando definir el área de algunas regionesparticulares R del plano, es decir, aquellas regiones limitadas superiormente por lagráfica de una curva ( ) 0y f x= ≥ en [ , ]a b , y lateralmente por las rectas verticales

Módulo 12Notación sigma ( )∑ ypartición de un intervalo

Módulo 13Integral según Riemann

Módulo 14Propiedades de la integraldefinida

Módulo 15Teorema del valor medio(TVM) para integrales

Módulo 16Los teoremas fundamentalesdel cálculo

Módulo 17Integrales impropias

EjerciciosMódulos 12 al 17

Juicio final, detalle del panel derecho: el ángel hace sonar una trompeta y el condenado cae alinfierno. Obra del pintor flamenco Hans Menling (c. 1435-1494). Museo Promorskie, Gdansk(Polonia). Scala/Art Resource, N.Y.

y .x a x b= =

El número que se asigna como área de R recibe el nombre de integral definida de fsobre [ , ]a b , aunque también la integral se definirá para funciones f para las

cuales ( ) 0f x ≤ en [ , ]a b .

Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definición de integral:a través de funciones escalonadas, a través de las sumas superiores e inferiores

116

(sumas de Darboux) y a través de las llamadas sumas de Riemann.

En este texto lo hacemos siguiendo la tercera forma, por ser la manera clásica en lostextos de cálculo y la que menos exigencias tiene del análisis real para su compren-sión.

Capítulo 3: Integral definida

117Elementos básicos de cálculo integral y series

12.1 La notación sigma ( )Σ y propiedades de la sumatoria12.2 Partición de un intervalo cerrado

12Notación sigma (Σ) y partición deun intervalo

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

1. Recordar el sentido de la notación ( )Σ y establecer algunas propiedades importantes de la sumatoria.2. Definir la partición de un intervalo cerrado y en particular conocer la llamada partición regular.

1. Demuestre que 1

( 1)2

n

k

n nk

=

+=∑ .

2. Demuestre que si P y Q son dos particiones de [a, b], y si Q es una partición más

refinada (más fina) que P, entonces Q P≤ .

Para indicar en forma compacta la suma de varios números, existe una notación que

facilita la escritura. Expresiones tales como 2 2 2 2 21 2 3 1n nx x x x x−+ + + + +… se pueden

escribir en forma simplificada utilizando la notación

.Σ

En el cálculo integral usare-mos frecuentemente esta notación, así como también en el desarrollo de series denúmeros reales.

Otra noción importante en el desarrollo teórico de la integral definida es la particiónde un intervalo cerrado y en particular la partición regular, la cual, conjuntamentecon la sumatoria, ayuda a simplificar y obtener resultados difíciles de alcanzarusando otros medios.

Por esta razón iniciamos el capítulo 3 presentando estos dos conceptos.

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss, matemático alemánconocido por sus muy diversas contribu-ciones al campo de la física, especialmentepor sus estudios del electromagnetismo,nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick yfalleció el 23 de febrero de 1855 en Gotinga.Cuando Gauss tenía diez años de edad sumaestro solicitó a la clase que encontrara lasuma de todos los números comprendidosentre uno y cien. El maestro, pensando quecon ello la clase estaría ocupada algúntiempo, quedó asombrado cuando sualumno levantó en seguida la mano y dio larespuesta correcta. Gauss reveló queencontró la solución usando el álgebra y elmaestro se dio cuenta al instante de que elniño era una promesa en las matemáticas.

Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señalesde ser un genio antes de que cumpliera lostres años. A esa edad aprendió a leer yhacer cálculos aritméticos mentales contanta habilidad que descubrió un error enlos cálculos que hizo su padre para pagarunos sueldos. Ingresó a la escuela primariaantes de que cumpliera los siete años;cuando tenía doce criticó los fundamentosde la geometría euclidiana; a los trece leinteresaban las posibilidades de desarrollarla geometría no euclidiana; y a los quinceentendía la convergencia y probó el binomiode Newton. El genio y la precocidad de Gaussllamaron la atención del duque de Brunswick,quien dispuso, cuando el muchacho teníacatorce años, costear tanto su educaciónsecundaria como universitaria. Gauss, aquien también le interesaban los clásicos ylos idiomas, pensaba que haría de la filologíala obra de su vida, pero las matemáticasresultaron ser una atracción irresistible.

Cuando estudiaba en Gotinga, descubrióque podría construirse un polígono regularde diecisiete lados usando sólo la regla y elcompás. Enseñó la prueba a su profesor,quien se mostró un tanto escéptico, pero

118

12.1 La notación sigma (Σ ) y propiedades de la sumatoria

Definición

Sea f una función, y m, n y k enteros tales que m k n≤ ≤ y pertenecientes al

dominio de f . Entonces el símbolo ( )n

k m

f k=∑ se define así:

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( )n

k m

f k f m f m f n f n=

= + + + + − +∑ … ,

donde k se denomina índice de la sumatoria, m es el límite inferior y n es el límitesuperior.

Observaciones

i. A veces se define ( )n

k m

f k=∑ de la siguiente forma:

1

( ) ( ) ( )n n

k m k m

f k f k f n−

= =

= +∑ ∑ (definición por recurrencia)

ii. En ( )n

k m

f k=∑ se puede sustituir el índice k por cualquier otro índice i que

no aparezca en ella, sin que se altere el valor de la sumatoria; así porejemplo,

( ) ( )n n

k m i m

f k f i= =

=∑ ∑ .

Ejemplo 1

Calcule: a. 5

12i

i=∑ ; b.

4

1( 1)( 2).

j

j j j=

+ +∑

Solución

a. Es este caso ( ) 2 ;if i = luego

5 51 2 3 4 5

1 1( ) 2 2 2 2 2 2 62.i

i i

f i= =

= = + + + + =∑ ∑

b. En este caso ( ) ( 1)( 2);f j j j j= + + luego

4

1( 1)( 2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 210.

j

j j j=

+ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∑


Gauss demostró que tenía la razón.Posteriormente encontró la fórmula paraconstruir los demás polígonos regularescon la regla y el compás.

Gauss se graduó en Gotinga en 1798 y alaño siguiente recibió su doctorado en laUniversidad de Helmstedt. Pero lasmatemáticas no fueron el único tema quele interesó: fue también astrónomo, físico,geodesta e inventor. Hablaba con facilidadvarios idiomas, e inclusive dominó el rusoa la edad de 60 años. En 1807 fuenombrado director del observatorio yprofesor de astronomía en la Universidadde Gotinga.

A principios del siglo XIX Gauss publicósus Disquisiciones aritméticas, que ofrecíanun análisis lúcido de su teoría de númerosy comprendían las complicadas ecuacionesque confirmaban su teoría y una exposiciónde una convergencia de una serie infinita.Gauss estudió la teoría de los errores ydedujo la curva normal de la probabilidad,llamada también «curva de Gauss», quetodavía se usa en los cálculos estadísticos.En 1833 inventó un telégrafo eléctrico queusó entre su casa y el observatorio, a unadistancia de unos dos kilómetros. Inventótambién un magnetómetro bifilar paramedir el magnetismo y, en compañía delfísico alemán Wilhelm Eduard Weber,proyectó y construyó un observatorio nomagnético. Tanto Gauss como el matemáti-co Bernhard Riemann, que fue discípulosuyo, pensaban en una teoría electro-magnética que sería muy semejante a la leyuniversal de la gravitación, de Newton.

Sin embargo, la teoría del electromagnetis-mo fue ideada más tarde, en 1873, porMaxwell, aunque Gauss ya poseía loscimientos matemáticos para explicarla. En1840, las investigaciones de Gauss sobrela óptica tuvieron especial importanciadebido a sus deducciones relacionadas conlos sistemas de lentes.

Gauss falleció a la edad de 78 años. Se hadicho que la lápida que señala su tumbafue escrita con un diagrama, que construyóel mismo Gauss, de un polígono dediecisiete lados. Durante su vida sereconoció que era el matemático másgrande de los siglos XVIII y XIX. Su obra enlas matemáticas contribuyó a formar unabase para encontrar la solución deproblemas complicadísimos de las cienciasfísicas y naturales.


Ejemplo 2

Exprese utilizando la notación ∑ , la siguiente suma:

1 2 2 3 3 4 4 5.a b a b a b a b+ + +

Solución

Obsérvese que los subíndices de la letra a varían de 1 a 4 y los de b son una unidadmayor que los de a, luego cada término de la suma es de la forma 1k ka b + , en dondek recorre los valores 1, 2, 3 y 4. Entonces,

4

1 2 2 3 3 4 4 5 11

.k kk

a b a b a b a b a b +=

+ + + =∑

De otra manera, se puede observar que los subíndices de b varían de 2 a 5 y los dea son una unidad menor que los de b, luego cada término de la suma es de la forma

1k ka b− , donde k recorre los valores 2, 3, 4 y 5. Entones,

5

1 2 2 3 3 4 4 5 12

k kk

a b a b a b a b a b−=

+ + + = ∑ .

En general, existen muchas formas para expresar una misma suma.

Teorema 1: Propiedades de ∑

Sean f y g dos funciones, y m, n, k y p enteros pertenecientes al dominio de f y g,tales que m k n≤ ≤ , y sea c una constante real.

Entonces:

i. [ ]( ) ( ) ( ) ( )n n n

k m k m k m

f k g k f k g k= = =

+ = +∑ ∑ ∑ (propiedad aditiva sobre la función)

ii. ( ) ( )n n

k m k m

cf k c f k= =

=∑ ∑ (propiedad distributiva generalizada)

iii. ( 1)n

k m

c n m c=

= − +∑ (sumatoria de una constante)

Si y 1 ,entoncesm n m k p p n≤ ≤ ≤ ≤ + ≤

iv.1

( ) ( ) ( )pn n

k m k m k p

f k f k f k= = = +

= +∑ ∑ ∑ (propiedad aditiva de los límites)

v. ( ) ( )n pn

k m j m p

f k f j p+

= = +

= −∑ ∑ (desplazamiento del índice)

Módulo 12: Notación sigma ∑( ) y partición de un intervalo

Vea el módulo 12 del programade televisión Elementos básicosde cálculo integral y series

120

vi. [ ]( ) ( 1) ( ) ( 1)n

k m

f k f k f n f m=

− − = − −∑ (propiedad telescópica)

Demostración

ii.

[ ]

( ) ( ) ( 1) ( ) (definición)

( ) ( 1) ( ) (factorizando)

. ( ). (definición)

n

k m

n

k m

cf k cf m cf m cf n

c f m f m f n

c f k

=

=

= + + + +

= + + + +

=

∑

∑

…

…

vi.

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 2) ( 1)

( 1) ( 2) ( ) ( 1)

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( )( ) ( 1).

n

k m

f k f k f m f m f m f m f m f m

f n f n f n f n

f m f m f m f m f m

f n f n f n

f n f m

=

− − = − − + + − + + − +

+ + − − − + − −

= − − + − + + − +

+ + − − − +

= − −

∑…

…

La demostración de las partes i, iii, iv y v se deja como ejercicio para el lector.

Presentamos ahora algunos ejemplos en los cuales se muestra la manera de aplicarlas propiedades anteriores en una situación específica.

Ejemplo 3

Demuestre que 1

( 1) .2

n

k

n nk

=

+=∑

Solución

Como 2 2

1 1( 1) ( 2 1),

n n

k k

k k k= =

+ = + +∑ ∑ entonces,

2 2

1 1 1 1( 1) 2 1

n n n n

k k k k

k k k= = = =

+ = + +∑ ∑ ∑ ∑ (propiedades i y ii),

de donde

( )22 2 2

1 1 1 1 1 12 ( 1) 1 1 1

n n n n n n

k k k k k k

k k k k k= = = = = =

⎡ ⎤= + − − = + − −⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .



Como 2 2 2

1( 1) ( 1) 1

n

k

k k n=

⎡ ⎤+ − = + −⎣ ⎦∑ (propiedad telescópica aplicada a

2( ) ( 1)f k k= + )

y 11

n

k

n=

=∑ (propiedad iii),

se tiene que

2 2

12 ( 1) 1 ( 1)

n

k

k n n n n n n=

= + − − = + = +∑ .

Luego

1

( 1)2

n

k

n nk

=

+=∑ .

Ejemplo 4

Calcule: a. 5

1(2 1)

k

k=

−∑ ; b. 3

1(2 1)

j

j=

−∑ ; c. 4

3(2 1).

r

r=

+∑

Solución

a.5 5 5

1 1 1(2 1) 2 1

k k k

k k= = =

− = −∑ ∑ ∑ (propiedades i y ii)

5(5 1)2. 5

2+

= − (ejemplo 3 y propiedad iii)

= 25.

b.3 3 3

1 1 1

3(3 1)(2 1) 2 1 2. 3 9.2j j j

j j= = =

+− = − = − =∑ ∑ ∑

c. 4

3(2 1) (2 3 1) (2 4 1) 16.

r

r=

+ = ⋅ + + ⋅ + =∑

Las fórmulas siguientes, numeradas para referencias posteriores, también son degran utilidad.

F.12.1.11

( 1).2

n

k

n nk

=

+=∑

F.12.1.22

1

( 1)(2 1)6

n

k

n n nk

=

+ +=∑ .

F.12.1.32 2

3

1

( 1) .4

n

k

n nk

=

+=∑


122

F.12.1.43 2

4

1

( 1)(6 9 1) .30

n

k

n n n n nk

=

+ + + −=∑

La fórmula F.12.1.1 fue demostrada en el ejemplo 3; las demás pueden demostrarsepor inducción o directamente con el teorema 1 y con la ayuda de algunos artificiosalgebraicos.

12.2 Partición de un intervalo cerrado

Definición

Una partición P del intervalo [ , ]a b , con a b< , es un conjunto finito de puntos

{ }0 1 2 3 1, , , , , ,n nP x x x x x x−= … tales que

0 1 2 1 .n na x x x x x b−= < < < < =…

Utilizaremos las letras , , , ,P Q R … etc., para denotar diferentes particiones del inter-

valo [ , ]a b .

Observaciones

i. Dos particiones P y Q de un mismo intervalo [ , ]a b son diferentes sidifieren por lo menos en un punto.

ii. Toda partición de [ , ]a b contiene por definición al menos los puntos a yb; por tanto, siempre es un conjunto no vacío.

iii. Toda partición { }0 1 1, , , ,n nP x x x x−= … de [ , ]a b divide a dicho intervaloen n-subintervalos cerrados:

1 0 1 2 1 2 1 1[ , ]; [ , ], , [ , ]; ; [ , ]k k k n n nI x x I x x I x x I x x− −= = = =… … .

En la figura 12.1 aparece una partición { }0 , , nP x x= … de [ , ]a b y lossubintervalos que ella determina.

Figura 12.1



Definiciones

i. La longitud del subintervalo 1[ , ]k k kI x x−= , denotada por ,kxΔ se define

como 1k k kx x x −Δ = − .

ii. Sea P una partición de [ , ]a b . La norma de la partición, denotada por || ||P ,

se define como el mayor entre los siguientes valores: 1 2, , , nx x xΔ Δ Δ… .

iii. Se dice que la partición Q de [ , ]a b es más refinada o más fina que la parti-

ción P de [ , ]a b si Q contiene todos los puntos de P y por lo menos unpunto más (figura 12.2).

Figura 12.2

iv. Si 1 2 3 n

b ax x x x x

n

−Δ = Δ = Δ = = Δ = Δ =… , entonces la partición se llama

regular.

Observaciones

i. 0kxΔ > para todo 1,2,3, ,k n= … , puesto que 1k kx x −> . En consecuen-

cia, || || 0P > .

ii. || ||kx PΔ ≤ para todo 1,2, , .k n= …

iii. 11 1

( )n n

k k kk k

x x x −= =

Δ = −∑ ∑

1 0 2 1 1 2 1

0

( ) ( ) ( ) ( ).

n n n n

n

x x x x x x x x

x x b a− − −= − + − + + − + −

= − + = −

…

iv. Si P y Q son dos particiones de [ , ]a b , y si Q es una partición más refinada

que P, entonces || || || ||Q P≤ .

v. Decir que || || 0P → es equivalente a decir que n →+∞ .


124

Ejemplo 1

Sea { }1, 0, 0.5, 2, 2.4, 3P = − una partición del intervalo [ 1, 3]− (figura 12.3).

Figura 12.3

Los subintervalos en los cuales P divide al intervalo [ 1, 3]− son:

1 2 3 4 5[ 1, 0]; [0, 0.5]; [0.5, 2]; [2, 2.4]; [2.4, 3]I I I I I= − = = = = .

Las longitudes de cada subintervalo son:

1 2 3

4 5

0 ( 1) 1; 0.5 0 0.5; 2 0.5 1.5;2.4 2 0.4; 3 2.4 0.6.

x x x

x x

Δ = − − = Δ = − = Δ = − =

Δ = − = Δ = − =

Además, || ||P es el mayor valor entre: 1, 0.5, 1.5, 0.4 y 0.6; es decir, || || 1.5P =

Ejemplo 2

Efectúe una partición regular P de [ , ]a b .

Solución

longitud del intervalo[ , ] .a b b ax

n n

−Δ = =

Entonces la partición P de [ , ]a b será { }0 1 2,, , , nP x x x x= … , en donde

0

1

,

.

x a

b ax a x a

n

=

−= + Δ = +

2 2 2 ,b ax a x a

n

−= + Δ = +



3 3 3 ,

,k

b ax a x a

n

b ax a k x a k

n

−= + Δ = +

−= + Δ = +

.n

b ax a n x a n b

n

−= + Δ = + =

Ejemplo 3

Evalúe el siguiente límite: 0 1lim .

n

kPk

x→

=

Δ∑

Solución

Como 1

( )n

kk

x b a=

Δ = −∑ es una constante, se sigue entonces que

0 01lim lim ( ) ( ).

n

kP Pk

x b a b a→ →

=

Δ = − = −∑



13 Integral según Riemann



Preguntas básicas

Introducción

13.1 Área bajo una curva a través de sumas superiores e inferiores13.2 Sumas de Riemann

1. Introducir por medio de la idea intuitiva de área y de las llamadas sumas aproximantes, la integral definida según Riemann.2. Ilustrar con ejemplos la definición de integral definida.

1. Demuestre las siguientes fórmulas:

a. ( )b

aC dx C b a= −∫

b. 2 2

2 2b

a

b ax dx = −∫

c. 3 3

2

3 3b

a

b ax dx = −∫

En este módulo nos ocuparemos del concepto de integral definida de una funciónacotada en un intervalo cerrado [a, b].

Se parte de un problema particular, como es el problema del área de una regiónplana, el cual dio origen al cálculo integral. El método expuesto, conocido como«método de los recubrimientos», se debe a Arquímedes, el más grande de los mate-máticos griegos y uno de los mayores de toda la historia de la humanidad, quiendeterminó el área de un segmento parabólico por este método, que aún hoy, des-pués de conocer los modernos métodos infinitesimales, resulta laborioso.

Georg Friedrich Bernhard Riemann

Bernhard Riemann nació en la ciudadalemana de Breselenz el 17 de septiembrede 1826. Durante sus estudios universita-rios en Gotinga y en Berlín se interesó porlas teorías de los números primos, lasfunciones elípticas y la geometría, querelacionó con las teorías más avanzadas dela física. En Berlín fue discípulo de losfamosos matemáticos Jakob Steiner, KarlJacobi y Peter Dirichlet. Se doctoró en 1851en Gotinga con una tesis sobre losfundamentos de una teoría general defunciones en la que establecía las relacionesexistentes entre los números complejos bajolas leyes de la geometría. Su definición desuperficie multiestrato (riemanniana), queasociaba una función de variable complejamúltiple a una función de un solo valor,contribuyó notablemente al desarrollo de latopología.

Fueron muchas las contribuciones queRiemann aportó a las matemáticas, peroprobablemente la más conocida es la quepresentó en 1854 en su disertación paraingresar como profesor asistente en laFacultad de Filosofía de la Universidad deGotinga. Cuando estuvo a punto de dar suconferencia sometió a consideración, segúnla tradición, tres posibles temas. Gauss, bajocuya dirección estudió Riemann en esauniversidad, pasó por alto los dos primerosy pidió que expusiera el tercero. Este temaera nuevo, repleto de controversias y depeligros, y basado en una geometría noinspirada en los antiguos postuladoseuclidianos de la línea recta y el paralelismo.Pero después de un trabajo intensivoBernhard Riemann ofreció una conferenciaen la que, sin utilizar ni una figura o fórmula,presentó su hipótesis de la curvatura delespacio, en términos que podían entenderincluso quienes no estaban familiarizadoscon las matemáticas de alto nivel.

128

13.1 Área bajo una curva a través de sumassuperiores e inferiores

Partiremos de una idea intuitiva de lo que entendemos por área y profundizaremosluego para llegar a una definición apropiada de la integral (según Riemann).

Supongamos que f es una función continua en [ , ]a b y tal que ( ) 0f x ≥ para todo

x perteneciente al intervalo [ , ]a b . Deseamos determinar, en una forma razonable, la

manera de asignar un valor al área de la región R limitada por las rectas , ,x a x b= =

el eje x y la curva ( )y f x= (figura 13.1).

Figura 13.1

Sea A el área de la región R. Lo que hacemos es aproximarnos a este valor medianterectángulos cuyas áreas se calculan fácilmente y usaremos luego un cierto tipo depaso al límite para llegar al resultado deseado.

Sea { }0 1 2, , , , nP x x x x= … una partición cualquiera de [ , ]a b . En cada uno de los

subintervalos 1[ , ]i ix x− levantamos un rectángulo iR cuya base es 1i i ix x x −Δ = − y

su altura el valor mínimo de la función en 1[ , ]i ix x− , el cual existe ya que f es continua

en [ , ]a b (figura 13.2).

Figura 13.2


Riemann pudo visualizar el significado físicode esta generalización de la geometríaeuclidiana. Entre las geometrías noeuclidianas definidas a lo largo del sigloXIX, la riemanniana tuvo una enormetrascendencia en los conceptos de la físicateórica del siglo XX. Años después sedesarrolló el cálculo tensorial, principal-mente por los matemáticos italianos OstilioRicci y Tullio Levi-Civita.

La geometría riemanniana, así como esdifícil de apreciar en términos visuales, esbastante fácil de concebir como unaposibilidad abstracta, es decir, como unasimple progresión a partir de una línea enel espacio unitario de la longitud, a un planoen el espacio bidimensional de anchura ylongitud, a un sólido en el espaciotridimensional de altura, anchura yprofundidad, y de aquí a espacios de másdimensiones –por ejemplo, de altura,anchura, profundidad y tiempo–.

Riemann generalizó las propiedades de lascurvas y superficies de forma tal quepudieran aplicarse a los espacios. Porejemplo, referente a la propiedadgeométrica de la curvatura, ésta se definecomo la proporción en que varía una línea.Una medida de esta proporción es lamedida del círculo oscilador en un punto;si el círculo que más se acerca a la líneacurva en este punto es muy pequeño,entonces la curva se cierra poco a poco yse dice que tiene una curvatura pequeña.La curvatura de una superficie se definecasi de la misma forma que la curvatura deuna línea, excepto que ésta no tiene porque ser la misma en todas direcciones.

Gauss había averiguado que la curvaturaen un punto cualquiera de una superficiepuede definirse útilmente como el productode las curvaturas mayor y menor de todaslas líneas que constituyen la superficie endicho punto (curvatura gaussiana). Así, unasuperficie de curvatura positiva es una quesiempre da vueltas para encontrarse a símisma, como la cáscara de un huevo,mientras que una superficie de curvaturanegativa sería, por ejemplo, una silla demontar, en donde el producto de unacurvatura positiva y una negativa resultanegativa. Gauss había encontrado tambiénque la curvatura de una superficie puededefinirse no sólo en términos de unapersona que mira a la superficie desde elexterior sino equivalente en términos demediciones realizadas dentro de la delgadasuperficie. Riemann amplió esta idea hastadar una descripción matemática exacta dela curvatura del espacio. En el sistemacartesiano, las líneas de referencia sonlíneas rectas en un plano; en el globoterrestre, las líneas de referencia son las de


Si im es el valor mínimo de f en 1[ , ],i ix x− entonces el área de iR es i im xΔ para todo

1,2,3, , ,i n= … y el área de todos los rectángulos es:

1 1 2 21

.n

n n i ii

m x m x m x m x=

Δ + Δ + + Δ = Δ∑…

En este caso, la suma de las áreas de los rectángulos es menor o igual al área de laregión R, o sea:

1.

n

i ii

A m x=

≥ Δ∑

Siguiendo un procedimiento similar al anterior, pero tomando como altura de cadarectángulo el valor máximo de la función en 1[ , ],i ix x− obtenemos que la suma de lasáreas de los rectángulos es mayor o igual que el área de la región R (figura 13. 3). Esdecir,

1.

n

i ii

A M x=

≤ Δ∑

donde iM es el máximo de f en 1[ , ]i ix x− .

De lo anterior podemos concluir entonces que

1 1.

n n

i i i ii i

m x A M x= =

Δ ≤ ≤ Δ∑ ∑ (1)

Figura 13.3

Ejemplo 1

Sea 2( )f x x= definida en [0,2] y { }0 1, , , nP x x x= … una partición regular de

[0,2] . Si iM es el valor máximo de f en 1[ , ]i ix x− , 1, 2,3, ,i n= … y im es el valor

Módulo 13: Integral según Riemann


latitud y longitud; en un huevo, pudieranser círculos en una dirección y óvalos enotra perpendicular; en el reflector de unfaro, pudieran ser círculos en una direccióny parábolas en otra perpendicular a ésta.Riemann se dio cuenta de que toda superficieo espacio de su geometría superior podíatrazarse por medio de distintas redes decurvas de referencia y halló que lasecuaciones escritas en términos de unsistema de coordenadas a menudo podíanser ampliamente simplificadas al escribirseen términos de un conjunto distinto decurvas de referencia.

Uno de los más prácticos conjuntos decurvas de referencia está formado por lasllamadas geodésicas. Una geodésica es elcamino de la distancia más corta entre dospuntos: en un espacio plano es un segmentode línea recta; en una esfera es un arco deun círculo máximo análogo al que siguenlos viajes aéreos intercontinentales; en unasuperficie irregular en forma de lámpara oen un espacio curvo, puede ser cualquiertipo de curva. Al manipular ecuacionesdiferenciales elaboradas para minimizar lasdistancias, Riemann encontró que podíatrazar redes geodésicas de líneas dereferencia y seguir la curvatura de cualquierespacio desde tres dimensiones hasta ndimensiones. El prestigio y la calidad desus trabajos, que llevaron a la posteridad aaplicar su nombre a innumerables teoremasmatemáticos, le valieron la obtención de lacátedra de Gotinga en 1859.

En 1860, en una memoria sobre lapropagación del sonido, Riemann presentóun método, actualmente clásico, para laintegración de una clase de ecuacionesdiferenciales de primer orden en derivadasparciales. Debe mencionarse también el éxitoque obtuvo de su exposición rigurosa delconcepto de integral definida (integral segúnRiemann).

Riemann trabajó hasta el día anterior a sumuerte, la cual se produjo el 20 de julio de1866, en Selasca, Italia, por tuberculosisadquirida pocos años antes a causa de sudébil constitución física. Su último trabajo,que trataba sobre la teoría de la transferenciadel sonido desde un enfoque de principioshidráulicos, quedó inconcluso.

130

mínimo de f en 1[ , ]i ix x− e 1, 2,3, , ,i n= … halle

1

n

i ii

M x=

Δ∑ y 1

.n

i ii

m x=

Δ∑

Figura 13.4

Solución

Puesto que 2( )f x x= es creciente en [0,2] (figura 13.4), también lo es en cada

subintervalo 1[ , ]i ix x− en los cuales P divide al intervalo [ , ]a b , y por tanto:

2( )i i iM f x x= = y 21 1( )i i im f x x− −= = .

Puesto que la partición es regular,

2 0 2 , 1, 2,3,ix i nn n

−Δ = = = … y

0 1 22 20, , 2 ,x x xn n

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

…

12 2( 1) , , , 2,i i nx i x i xn n− = − = =

entonces

22 2

1 1 1 1

23 3

1

2 2 2 2( )

8 8 ( 1)(2 1) , (F.12.1.2)6

n n n n

i i i ii i i i

n

i

iM x x x

n n n n

n n ni

n n

= = = =

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ += =

∑ ∑ ∑ ∑

∑



de donde

31

8 ( 1)(2 1).6

n

i ii

n n nM x

n=

+ +Δ =∑ (1)

Ahora,

( )

22 2

1 11 1 1 1

23 3

1

2 2 2 2( 1)

1 ( )(2 1)8 8( 1) . , (F.12.1.2)6

n n n n

i i i ii i i i

n

i

m x x x in n n n

n n ni

n n

− −= = = =

=

⎛ ⎞ ⎡ ⎤Δ = = = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦− −

= − =

∑ ∑ ∑ ∑

∑

de donde

31

8 ( 1)(2 1) .6

n

i ii

n n nm x

n=

− −Δ =∑ (2)

De (1) y (2), y teniendo en cuenta que el área bajo la curva está entre estas dossumas, tenemos que:

3 3

8 ( 1)(2 1) 8 ( 1)(2 1) .6 6

n n n n n nA

n n

− − + +≤ ≤

Tomando límites en los lados de esta desigualdad y teniendo en cuenta que A es unnúmero fijo, obtenemos:

3 3

8 ( 1)(2 1) 8 ( 1)(2 1)lim lim .6 6n n

n n n n n nA

n n→∞ →∞

− − + +≤ ≤

Luego, por el teorema del sánduche, 8 83 3

A≤ ≤ , es decir, 83

A = .

Encontramos una manera muy elegante de hallar el área comprendida entre0, 2x x= = e 0y = (eje x) bajo la curva 2y x= .

Observación

Si elegimos como altura del rectángulo iR el valor que asume la función en un

punto it cualquiera del intervalo 1[ , ]i ix x− (figura 13.5), la suma de las áreas de

estos rectángulos es 1

( ) .n

i ii

f t x=

Δ∑


132

Figura 13.5

Tendremos en cuenta la discusión hecha hasta ahora para definir el área bajo unacurva, pero antes daremos algunas definiciones que nos llevan a precisar ladefinición de la integral de Riemann y, con base en ella, definir el área bajo unacurva.

13.2 Sumas de Riemann

Definición 1

Sea f una función definida en [ , ]a b y tal que ( )f x M≤ para todo x de [ , ]a b y

cierto M real positivo (función acotada en [ , ]a b ); sea { }0 1, , , nP x x x= … una par-

tición de [ , ]a b y sean 1 2, , , nt t t… puntos tales que 1i i ix t x− ≤ ≤ para cada

1, 2, ,i n= … .

La expresión 1

( )n

i ii

f t x=

Δ∑ se llama suma de Riemann para f en [ , ]a b .

Ejemplo 2

Sea ( )f x c= definida en [ , ]a b . Halle una suma de Riemann para ( ).f x

Solución

Sea { }0 1, , , nP x x x= … una partición cualquiera de [ , ]a b . En consecuencia,

1, ( ) ,i i i ix x x f t c−Δ = − = para todo 1, 2,3, ,i n= … .

Entonces,

1 1 1( ) ( ).

n n n

i i i ii i i

f t x c x c x c b a= = =

Δ = Δ = Δ = −∑ ∑ ∑



Obsérvese que para la función constante ( ) ,f x c= todas las sumas de Riemann

son iguales a ( )c b a− .

Ejemplo 3

Sea f una función monótona creciente en [ , ]a b y sea { }0 1, , , nP x x x= … una par-

tición de [ , ]a b . Demuestre que 1

( )( ) ( ) ( )( )n

i ii

f a b a f t x f b b a=

− ≤ Δ ≤ −∑ .

Solución

Si it está en 1[ , ]i ix x− , entonces por ser f creciente ( ) ( ) ( ),if a f t f b≤ ≤ y puesto

que 0,ixΔ > se concluye que

( ) ( ) ( ) .i i i if a x f t x f b xΔ ≤ Δ ≤ Δ (1)

Si en (1) efectuamos la suma variando i desde 1 hasta n, obtenemos:

1 1 1( ) ( ) ( ) .

n n n

i i i ii i i

f a x f t x f b x= = =

Δ ≤ Δ ≤ Δ∑ ∑ ∑

Luego

1 1 1( ) ( ) ( )

n n n

i i i ii i i

f a x f t x f b x= = =

Δ ≤ Δ ≤ Δ∑ ∑ ∑ (puesto que f (a) y f (b) son cons-

tantes)

y simplificando obtenemos finalmente

1( )( ) ( ) ( )( ).

n

i ii

f a b a f t x f b b a=

− ≤ Δ ≤ −∑

Definiremos ahora la integral definida de una función sobre un intervalo cerrado[ , ]a b .

Definición 2

Sea f una función definida en el intervalo [ , ]a b .

Se dice que f es integrable en [ , ]a b (según Riemann) si existe un número real L quesatisface la siguiente propiedad:


Escuche el audio Nota histórica:Riemann en su multimedia deElementos básicos de cálculointegral y series.

134

Para cada 0∈ > , existe un 0>δ tal que

1

( )n

i ii

f t x L=

Δ − < ∈∑

para toda partición P de [ , ]a b para la cual || ||P < δ y cualquiera que sea la elección

de it en 1[ , ], 1,2, ,i ix x i n− = … .

Cuando una función f satisface la definición anterior, diremos que L es el valor dela integral definida de f entre a y b. Este hecho lo expresamos diciendo que

0 1lim ( ) .

n

i iP

i

f t x L→

=

⎡ ⎤Δ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (1)

Denotemos a L como ( )b

af x dx∫ , llamada integral definida de f desde a hasta b. Es

decir,

0 1

( ) lim ( ) .nb

i ia Pi

f x dx f t x→

=

⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫

En la expresión ( ) ,b

af x dx∫ a y b se llaman límite inferior y límite superior, respec-

tivamente, de la integral definida; ( )f x se llama integrando y dx indica que x es lavariable independiente que toma valores desde a hasta b.

Observaciones

i. Si existen dos números 1L y 2L que satisfacen la definición 2, entonces

1 2L L= ; es decir, el valor de la integral definida cuando existe, es único.

ii. La definición 2 nos dice también que podemos hacer la suma de Riemanntan cerca al número L como se quiera, siempre y cuando la norma de lapartición sea menor que .δ

iii. La noción de límite dada aquí es diferente a la noción de límite dada en elmódulo 2 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial para funcionespresentada para funciones de variable real, ya que en el caso aquí conside-

rado se trata de la suma 1

( )n

i ii

f t x=

Δ∑ en la cual varían ixΔ y ,it que es cual-

quier punto de 1[ , ]i ix x− .

iv. En la notación para la integral definida las variables que aparecen son varia-bles «mudas». Es decir, se puede cambiar x por y o z o por cualquier otravariable.


Vea la animación Construcciónde las sumas de Riemann en sumultimedia de Elementos básicosde cálculo integral y series


Así, ( )b

af x dx∫ , ( )

b

af y dy∫ , ( )

b

af z dz∫ significarán la misma integral y

representan el mismo número real L.

Ejemplo 4

Sea ( )f x C= , con x en el intervalo [ , ]a b (figura 13.6).

Analice si f es integrable en [ , ]a b .

Figura 13.6

Solución

Sea { }0 1, , , nP x x x= … una partición de [ , ]a b y sea it un punto cualquiera de

1[ , ]i ix x− con 1, 2, ,i n= … (figura 13.6).

Consideremos la siguiente suma de Riemann: 1

( ) .n

i ii

f t x=

Δ∑ (1)

Puesto que ( )if t C= para todo it , entonces:

1 1 1( ) ( ).

n n n

i i i ii i i

f t x C x C x C b a= = =

Δ = Δ = Δ = −∑ ∑ ∑

O sea que para cualquier partición la suma de Riemann dada en (1) es una constantey, por tanto,

0 1lim ( ) ( ).

n

i iP

i

f t x C b a→

=

Δ = −∑

Luego ( )f x C= es integrable en [ , ]a b y además ( ) ( )b

af x dx C b a= −∫ .


136

Ejemplo 5

Sea 0 si 1

( )1 si 1

xf x

x

≠⎧= ⎨ =⎩

Analice si f es integrable en [ 2,3]− .

Solución

Sea { }0 1, , , nP x x x= … una partición de [ 2,3]− y sea 1[ , ]i ix x− un subintervalo

cualquiera de [ 2,3]− y it un punto de 1[ , ]i ix x− con 1, 2, ,i n= … (figura 13.7).

Consideremos la siguiente suma de Riemann: 1

( )n

i ii

f t x=

Δ∑ .

Figura 13.7

Veamos dos casos:

a. Si ninguno de los it es igual a 1, entonces ( ) 0if t = y por tanto

1( ) 0

n

i ii

f t x=

Δ =∑ y 0 1

lim ( ) 0n

i iP

i

f t x→

=

Δ =∑ .

Es decir, dado 0,∈ > existe 0>δ tal que 1

( ) 0n

i ii

f t x=

Δ − < ∈∑ para

cualquier partición P con || ||P < δ . (1)

b. Si alguno de los it es igual a 1, por ejemplo 1, 1jt j n= ≤ ≤ , entonces

( ) 1jf t = , y como los demás it son diferentes de 1, se tiene que para

éstos it ( ) 0.if t = Por tanto,

1 1 2 2 1 10

1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 1 0 0 .

n

i i j j j j n ni

j j n

f t x f t x f t x f t x f t x f t x

x x x x x

+ +=

+

Δ = Δ + Δ + + Δ + Δ + + Δ

= Δ + Δ + + Δ + Δ + + Δ

∑ … …

… …



1( ) .

n

i i ji

f t x x=

Δ = Δ∑

Puesto que || ||jx PΔ ≤ , se tiene que 1

( ) || ||n

i ii

f t x P=

Δ ≤∑ .

Es decir, dado 0,∈> elijamos la partición P de [ , ]a b tal que || ||P < ∈ , luego

tomando = ∈δ se verifica que para cada 0∈ > existe un 0>δ tal que

1

( ) 0n

i ii

f t x=

Δ − < ∈∑ para toda partición P de [ 2,3]− con || || .P < δ (2)

De (1) y (2) se concluye que f es integrable en [ 2,3]− y además L = 0. Es decir,

3

2( ) 0.f x dx

−=∫

Observaciones

i. El ejemplo anterior presenta una función igual a cero en todos los puntos de[ 2,3]− excepto en x = 1, es decir, una función discontinua en x = 1.

Se puede demostrar que si ( ) 0f x = salvo en un número finito de puntos

de [ , ]a b , entonces f es integrable en [ , ]a b y además ( ) 0.b

af x dx =∫

ii . Cuando la función es continua y no negativa tomaremos los 1[ , ]i i it x x−∈ de

tal forma que ( )if t coincida con el máximo absoluto iM o con el mínimo

absoluto im de la función en el i-ésimo subintervalo 1[ , ]i ix x− . Además, parasimplificar los cálculos asumiremos que las particiones son regulares y asíescribiremos:

0 1( ) lim ( )

nb

i ia Pi

f x dx f t x→

=

⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫

1

limn

i in

i

M x→+∞

=

⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

1

lim .n

i in

i

m x→+∞

=

⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Teniendo en cuenta además que:

Si f es creciente en [ , ]a b , 1( ) (rectángulos inscritos)

( ) (rectángulos circunscritos)k k

k k

m f x

M f x−=⎧

⎨ =⎩


138

Si f es decreciente en [ , ]a b , 1

( ) (rectángulos inscritos)( ) (rectángulos circunscritos)

k k

k k

m f x

M f x −

=⎧⎨ =⎩

Ejemplo 6

Use la definición de la integral definida (según Riemann) para calcular ,b

ax dx∫

haciendo una partición regular y tomando rectángulos circunscritos.

Solución

En este caso ( ) ,f x x= y consideremos la partición regular { }0 1 2, , ,..., nP x x x x=

para la cual:

1 2 n

b ax x x

n

−Δ = Δ = = Δ = ,

0 1 2, , 2 ,b a b ax a x a x a

n n

− −⎛ ⎞= = + = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

…

1 ( 1) , , , .i i n

b a b ax a i x a i x b

n n−

− −= + − = + =

En la figura 13.8 aparece la gráfica de ( ) ,f x x= la partición P de [ , ]a b y el elementorepresentativo de área.

Figura 13.8

También,

( )i i iM f x x= =b a

a in

−= + (tomando rectángulos circunscritos).



Así que:

1

1

1

lim

lim

lim

nb

i ia ni

ni

ni

x dx M x

b a b aa i

n n

b a b aa i

n n

→+∞=

∞

→+∞=

∞

→+∞=

⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥

⎣ ⎦− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫

∑

∑

1 1lim

n n

ni i

b a b aa i

n n→+∞= =

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ (propiedad i, teorema 1, sección 12.1)

( ) ( 1)lim2n

b a b a n nna

n n→+∞

− − +⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ (propiedades ii, iii y F.12.1.1,

sección 12.1)

2 2 2( )( ) .

2 2 2b a b a

a b a−

= − + = −

De esta forma,

2 2

.2 2

b

a

b ax dx = −∫

Razonamientos similares al anterior nos permiten deducir que 3 3

2 .3 3

b

a

b ax dx = −∫

Los cálculos de b

ax dx∫ y 2b

ax dx∫ hacen pensar que el cálculo con integrales

definidas es generalmente difícil. De hecho, las integrales definidas de la mayorparte de las funciones es imposible determinarlas con exactitud; sin embargo, comovimos en el capítulo 2, la integral de muchas funciones puede calcularse fácilmente.Este hecho, conjuntamente con el segundo teorema fundamental del cálculo quepresentaremos en el módulo 16, nos facilitarán las cosas para calcular la integraldefinida de un gran número de funciones.



14.1 Álgebra de funciones integrables14.2 Relación entre la integral y la continuidad de una función de variable real

14Propiedades de la integral definida



Preguntas básicas

Introducción

1. Destacar la relación existente entre continuidad e integrabilidad mediante un teorema que proporciona una gran familia de funciones integrables.2. Enunciar y analizar las propiedades más importantes de la integral definida.

1. Si a < b < c < d, y f es integrable sobre [a, d], demuestre que f es integrable sobre [b, c].2. Si f y g son integrables en [a, b], y ( ) ( )f x g x≥ para todo x de [a, b], entonces

( ) ( ) .b b

a af x dx g x dx≥∫ ∫

Aunque la mayor parte de las integrales definidas no pueden ser calculadas exacta-mente, es importante por lo menos saber cuándo una función es integrable sobre[a, b], y ésta es la información más importante que proporciona el teorema 2 de estemódulo. Igualmente, en el teorema 1 se presentan otras propiedades importantes delas funciones integrables y de esta forma se simplifican resultados que son difícilesde demostrar recurriendo directamente a la definición de integral definida.

Thomas Simpson

Thomas Simpson, matemático inglés nacidoen Market Bosworth en 1710 y fallecido enla misma ciudad en 1761, es conocidoprincipalmente por su trabajo en interpo-lación y métodos numéricos de integración(regla de Simpson) y por haber ideado unmétodo para calcular, por aproximación,una integral definida. También trabajó lateoría de la probabilidad y en 1740 publicóNaturaleza y leyes de probabilidad. Parte desu investigación en esta área se basó en lasideas del matemático francés y pionero dela teoría de la probabilidad y la trigonometría,Abraham de Moivre. Trabajó, igualmente,en la «teoría de errores» y probó que lamedia aritmética era más importante queuna simple observación. La justificación deesta afirmación apareció en su memoria de1757 titulada «Un intento de mostrar laventaja de tomar la media de variasobservaciones en astronomía práctica». Enesta ciencia también abordó otrosproblemas, tales como la precesión de losequinoccios, que dejó plasmados en suobra Folletos misceláneos.

Sus dos volúmenes de Doctrina y aplicaciónde las fluxiones son considerados pormuchos como el mejor trabajo sobre laversión del cálculo de Newton que fuepublicada en el siglo XVIII.

142

14.1 Álgebra de funciones integrables

Antes de enunciar e ilustrar el teorema que recoge las propiedades más importantesde la integral definida se da la siguiente definición.

Definición

Si f es integrable en [a, b], entonces definimos:

i. ( ) 0.a

af x dx =∫

ii. ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫ .

Teorema 1: Propiedades de la integral definida

Sean f y g dos funciones integrables en [a, b], k una constante real y a c b< < .Entonces:

i. kf es integrable en [a, b] y ( ) ( ) .b b

a akf x dx k f x dx=∫ ∫

ii. ( f + g) es integrable en [a, b] y [ ]( ) ( ) ( ) ( ) .b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

iii. Si ( ) 0f x ≥ para todos x de [a, b], entonces ( ) 0.b

af x dx ≥∫

iv. f es integrable en [a, c] y en [c, b] y ( ) ( ) ( ) .b c d

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

v. Sean f y g dos funciones definidas en [a, b]. Si f es integrable en [a, b] y

( ) ( )g x f x= para todo x de (a, b), entonces ( ) ( ) .b b

a ag x dx f x dx=∫ ∫

Demostración

La demostración de las partes i, ii e iii pueden hacerse usando la definición defunción integrable presentada en el módulo 13, pero considero que no tiene muchointerés demostrarlas en un primer curso de cálculo integral.

iv. Para este numeral sólo hacemos una interpretación geométrica.

Como se ilustra en la figura 14.1, el área de la región sombreada se puededescomponer en dos regiones de tal manera que el área de la región entre ay b sea igual a la suma de las áreas entre a y c y entre c y b.




Figura 14.1

v. Sea c un punto en (a, b), y puesto que f es integrable en [a, b], entonces fes integrable en [a, c] y en [c, b] (propiedad iv).

Veamos que ( ) ( )c c

a ag x dx f x dx=∫ ∫ y ( ) ( )

b b

c cg x dx f x dx=∫ ∫ .

Sea ( ) ( ) ( )h x g x f x= − para todo x de [a, c]. Puesto que f y g difieren

sólo en el punto ,x a= entonces podemos escribir 0 si

( )si

x ah x

k x a

≠⎧= ⎨ =⎩

Y teniendo en cuenta el ejemplo 4 del módulo 13, h así definida es integrable

en [a, c] y además ( ) 0;c

ah x dx =∫ entonces, por la propiedad ii, ( ) ( )h x f x+

es integrable y por tanto g(x) es integrable en [a, c] ya que

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x f x g x+ = − + =

y además

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) .

c c c

a a a

c c

a a

h x f x dx h x dx f x dx

f x dx g x dx

+ = +

= + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

El caso entre c y b es similar (figura 14.2)

Figura 14.2

Módulo 14: Propiedades de la integral definida

144

Observaciones

i. La propiedad ii del teorema 1 se puede generalizar así:

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

b b b

na a a

b

na

f x f x f x dx f x dx f x dx

f x dx

+ + + = + +

+

∫ ∫ ∫

∫

…

…

ii. En la propiedad iv del teorema si 1 2 ,na c c c b< < < < <… entonces

1 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) .n

b c c b

a a c cf x dx f x dx f x dx f x dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫…

iii. Teniendo en cuenta la definición dada al principio se puede concluir que

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

para toda terna a, b, c de números reales que pertenezcan al intervalo dondela función es integrable.

iv. De la propiedad iii del teorema podemos deducir las siguientes propiedadesadicionales:

a. Si f y g son integrables en [a, b] y ( ) ( )f x g x≥ para todo x de [a, b],entonces

( ) ( ) .b b


b. Si f es integrable y 1 1( )m f x M≤ ≤ para todo x de [a, b], entonces

1 1( ) ( ) ( ).b

am b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

Ejemplo 1

Sean f y g dos funciones tales que

4 7 7

1 4 1( ) 3, ( ) 2 y ( ) 6.f x dx f x dx g x dx= = − =∫ ∫ ∫

Calcule [ ]1

75 ( ) ( ) .f x g x dx+∫

Solución

[ ]1 1 1

7 7 75 ( ) ( ) 5 ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ (teorema 1, parte ii)



( ) ( )

( )

1 1

7 7

7 7

1 1

4 7

1 4

5 ( ) ( ) (teorema 1, parte i)

5 ( ) ( ) (definición 14.1,

parte ii)

5 ( ) ( ) ( 6) (teorema 1, parte iv)

5(3 2) 6 11.

f x dx g x dx

f x dx g x dx

f x dx f x dx

= +

= − + −

= − + + −

= − − − = −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Ejemplo 2

Calcule5

23 .x dx

−−∫

Solución

Note en primer lugar que ninguna de las propiedades establecidas hasta ahorapermite evaluar directamente la integral; sin embargo, de acuerdo con la definiciónde valor absoluto podemos escribir:

3 si 33

3 si 3x x

xx x

− ≥⎧− = ⎨ − <⎩

(1)

La gráfica de la función ( ) 3f x x= − en el intervalo [ 2, 5]− aparece en la figura14.3.

Figura 14.3

De otro lado,

5 3 5

2 2 33 3 3x dx x dx x dx

− −− = − + −∫ ∫ ∫ (teorema 1, parte iv)

3 5

2 3(3 ) ( 3)x dx x dx

−= − + −∫ ∫ (reemplazando (1))


146

3 3 5 5

2 2 3 33 3dx x dx x dx dx

− −= − + −∫ ∫ ∫ ∫ (teorema 1 partes i y ii)

2 2 2 23 ( 2) 5 33(3 ( 2)) 3(5 3)

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= − − − − + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(ejemplos 4

y 6 de la sección 13.2)

29 .2

=

Ejemplo 3

Sea 1( )f xx

= definida en [1, 2]. Encuentre m y M tales que

2

1

1(2 1) (2 1).m dx Mx

− ≤ ≤ −∫

Solución

La función 1( )f xx

= es decreciente para todo x > 0 ya que su derivada es negativa;

por tanto, en el intervalo [1, 2] el máximo absoluto es (1) 1f = y el mínimo absoluto

es (2) 1/ 2f = . Entonces se puede tomar como m cualquier número menor o iguala 1/2 y como M cualquier número mayor o igual que 1.

14.2 Relación entre la integral y la continuidad de una función de variable real

A continuación enunciamos un teorema que nos proporciona una gran familia defunciones integrables, pero no lo demostraremos porque se sale del alcance de estelibro.

Teorema 2

Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

Obsérvese que el recíproco de este teorema no siempre se cumple (vea el ejemplo 4,módulo13). No obstante que el teorema anterior nos garantiza la integrabilidad deun gran número de funciones, el teorema no proporciona la manera de hallar el valorde la integral. Más adelante presentaremos el teorema fundamental del cálculo quenos permitirá hallar el valor exacto de la integral sin recurrir a la definición.

Ejemplo 4

Sabiendo que 2 2

03 8x dx =∫ y ( )

5

22 1 24x dx+ =∫ , halle

5

0( )h x dx∫ si

23 si [0, 2]( )

2 1 si [2,5]x x

h xx x

⎧ ∈= ⎨

+ ∈⎩ (figura 14.4)



Figura 14.4

Solución

Sea ( ) 2 1f x x= + con x en [2, 5]. Ya que h (x) en el intervalo [2, 5] difiere de f en el

punto x = 2, y puesto que 5

2( ) 24f x dx =∫ , entonces por la propiedad v se tiene

que:

5 5

2 2( ) (2 1) 24.h x dx x dx= + =∫ ∫

Además, 2

0( ) 8h x dx =∫ .

Luego empleando la propiedad iv tenemos que:

5 2 5

0 0 2( ) ( ) ( ) 8 24 32.h x dx h x dx h x dx= + = + =∫ ∫ ∫

Nótese que h es integrable [0,5]; sin embargo, no es continua allí.



15.1 Teorema del valor intermedio15.2 Teorema del valor medio (TVM) para integrales

15Teorema del valor medio (TVM) paraintegrales



Preguntas básicas

Introducción

1. Conocer los dos teoremas básicos para la demostración de los teoremas fundamentales del cálculo, del próximo módulo.2. Relacionar el área bajo una curva con el área de un rectángulo.

La temperatura de un caldo que se saca del refrigerador (a 5 ºC) y se pone al fuegodurante 10 minutos, puede modelarse mediante la función

1( ) 5 ( 1),2

f t t t= + +

siendo f(t) la temperatura a los t minutos de haberse puesto al fuego.

1. Calcule la temperatura promedio que tuvo el caldo durante los 10 minutos en que se calentó.2. ¿A qué temperatura llegó a los 10 minutos?3. ¿En qué instante de los 10 minutos de calentamiento tuvo el caldo la temperatura promedio?

A pesar de que los dos teoremas básicos de este módulo tienen múltiples aplicacio-nes en la vida diaria, nuestro interés está centrado en el uso que se hará de ellos enla demostración del primer teorema fundamental del cálculo que presentaremos contodo detalle en el módulo 16, el cual, conjuntamente con las técnicas de integracióndel capítulo 2, nos permitirá determinar el valor de muchas integrales definidas yque son el soporte básico para las aplicaciones que esperamos desarrollar en elcapítulo 4.

Eudoxio de Cnido

El matemático astrónomo, médico, geógra-fo y retórico griego Eudoxio de Cnido nacióen el año 408 a.C. y murió en el 355. Alumnodel gran filósofo Platón, fue el inventor delmétodo de la exhaución, consistente encalcular las áreas planas delimitadas porcurvas agotando el espacio disponible pormedio de áreas más sencillas de calcularcada vez más pequeñas, que es precisa-mente lo que ocurre en el cálculo integral,por lo que podríamos decir que Eudoxiofue el precursor de esta rama de lamatemática. Sin embargo, su método eramuy tosco. Quien verdaderamente usóadecuadamente y perfeccionó dichométodo fue Arquímedes y con él calculó elárea de la parábola y el círculo, además deelipses (obtuvo la fórmula para medir elárea de esta cónica), sectores parabólicosy sectores de espiral. Se cree que el primerteorema demostrado por Eudoxio desdeeste punto de vista sea la proporcionalidadentre dos círculos y los cuadradosconstruidos sobre sus diámetros.

A Eudoxio se debe también uno de losprimeros sistemas geocéntricos, adoptadoy ampliado después por Aristóteles (384-322 a.C.). En el sistema de Eudoxio, llamadotambién de las esferas homocéntricas (esdecir, con un centro común), el planetaTierra estaba en el centro del universo y lossiete cuerpos celestes conocidos en aquellaépoca estaban fijados a siete grupos deesferas de dimensiones crecientes. El primergrupo, formado por tres esferas, pertenecíaa la Luna; el segundo, formado por otrastres esferas, al Sol; los otros planetasconocidos en ese entonces (Mercurio,Venus, Marte, Júpiter y Saturno) ocupabancada uno un grupo de cuatro esferas. Cadacuerpo celeste se creía que estaba fijado ala esfera más interna del propio grupo y lasesferas de cada grupo estaban conectadasentre sí mediante un sistema de ejes polaresdesfasados. Todo este complicado meca-

150

15.1 Teorema del valor intermedio

Antes de demostrar el teorema básico de este módulo enunciaremos sin demostraruna propiedad muy importante que tienen las funciones continuas en un intervalocerrado.

Teorema 1: Teorema del valor intermedio

Sea f una función continua en [a, b]. Si ( ) ( ),f a f b≠ entonces para cualquier

número r entre ( )f a y ( )f b existe al menos un número c entre a y b tal que

( )f c r= .

Como la demostración de este teorema requiere algunos conocimientos másavanzados, no la incluiremos en este libro. Presentaremos sin embargo la interpreta-ción geométrica.

En la figura 15.1, ( ) ( )f a f b< y ( ) ( ).f a r f b≤ ≤ El punto (0, )r es un punto

cualquiera entre (0, ( ))f a y (0, ( )).f b

El teorema establece que la recta y r= corta la curva de ( )f x al menos en un punto

( , ).c r La hipótesis de continuidad en un intervalo cerrado es esencial ya que si f es

discontinua en [a, b] no siempre existe c tal que ( ) ,f c r= como lo ilustra el siguien-te ejemplo.

Figura 15.1

Sea 2 1 si 1

( )si 1

x xf x

x x

+ ≥⎧= ⎨ <⎩

en el intervalo [ 2,2].−


nismo era necesario para justificar losmovimientos aparentes de los planetas que,como se sabe, parecían tener según losperiodos del año movimiento directo,retrógrado o estacionario.

Indudablemente la obra de Eudoxio es unamuestra de la madurez teórica y el rigorlógico alcanzado por la geometría en suépoca, que creó las condiciones previaspara lo que sería la época de mayoresplendor de la matemática griega.


Figura 15.2

Esta función es discontinua en 1x = .

Ahora, si r es cualquier número entre 1 y 3, no existe ningún c en [ 2,2]− tal que

( )f c r= . Es decir, la recta y r= no corta la curva en ningún punto (figura 15.2).

15.2 Teorema del valor medio (TVM) para integrales

Si f es continua en [a, b], entonces existe al menos un c tal que a c b≤ ≤ y tal que:

1( ) ( )( ) ( ) ( )b b

a af x dx f c b a f c f x dx

b a= − ⇔ =

−∫ ∫ .

Al valor ( )f c se le conoce como valor medio de la función en [a, b].

Geométricamente, cuando la función es no negativa, se puede interpretar el teoremade la manera siguiente: el valor de la integral entre a y b es igual al área delrectángulo cuya base es ( )b a− y su altura es ( )f c (figura 15.3).

Módulo 15: Teorema del valor medio (TVM) para integrales


152

Figura 15.3

Demostración

i. Si f es constante, el teorema se cumple trivialmente.

ii. Si f no es constante, como f es continua en el intervalo cerrado, entonces falcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluta en [a, b].

Sea 1( )f c M= el máximo absoluto y 2( )f c m= el mínimo absoluto de f en

[a, b]. Entonces, ( ) ,m f x M≤ ≤ y por la observación iv (parte b) del teore-ma 1 del módulo 14, tenemos que

( ) ( ) ( ).b

am b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ (1)

De donde

( ).

b

af x dx

m Mb a

≤ ≤−

∫

Como f es continua en [a, b], entonces por el teorema del valor intermedio

(sección 15.1) f toma todos sus valores entre m y M. Por tanto, ( )

b

af x dx

b a−∫

corresponde a uno de dichos valores funcionales. Es decir, existe c en [a, b]tal que

( )( )

b

af x dx

f cb a

=−

∫ ,

de donde

( ) ( )( ).b

af x dx f c b a= −∫


Un factor que desempeña un gran papelen el desarrollo de la matemática es lasolución de problemas que durantesiglos desafiaron la capacidad de lasmejores mentes. Un ejemplo de loanterior es el famoso quinto postuladoque con clarividencia no trató dedemostrar Euclides y que durante 22siglos mantuvo ocupados a muchosmatemáticos hasta que se crearon lasgeometrías no euclidianas.

A continuación se presentarán algunosde esos problemas.

Los tres problemas clásicos de lamatemática griega

Para el filósofo Platón los entesgeométricos ideales eran la recta y lacircunferencia. Por lo anterior, lageometría habría que limitarla a lasconstrucciones con regla y compás (conla aclaración de que la regla sólo se utilizapara trazar rectas y por tanto no esmetrizada). Problemas de esta clase seresolvieron después utilizando otrosinstrumentos y permitieron encontrarrespuestas adecuadas a los tresproblemas clásicos de la matemáticagriega: la duplicación del cubo, latrisección del ángulo y la cuadratura delcírculo. Comentémoslos brevemente:

1. Duplicación del cubo. Se trata deresolver el siguiente problema: construir,utilizando solamente regla y compás, laarista de un cubo que duplique elvolumen de un cubo conocido.

El problema de la duplicación del cubose caracteriza por la ecuación

3 3,=x a2 en donde a es la arista delcubo conocido y x es la arista que tendráel cubo de volumen doble.

Un simple análisis de construcción conregla y compás revela, empleandoalgunas nociones de geometría analítica,que los segmentos construidos a partirde otros segmentos dados sonexpresables por raíces cuadradas y aliterar esas construcciones aparecennuevamente sólo raíces cuadradas ynunca de otro índice.


Ejemplo 1

Sea 2( )f x x= definida en [0, 1]. Encuentre el valor de c que satisface las condi-ciones del TVM para integrales.

Solución

Como 2( )f x x= es continua en [0, 1], entonces de acuerdo con el TVM para

integrales existe por lo menos un [0,1]c∈ tal que:

1 12 2

0 0( )(1 0) ( )x dx f c f c x dx= − ⇔ =∫ ∫ .

En primer lugar, se sabe que 1 2

0

13

x dx =∫ . Así que:

1 2

0

113( )

1 0 1 3

x dxf c = = =

−∫ ,

y como 2( ) ,f c c= se tiene 2 13

c = , de donde 13

c = .

Ejemplo 2

Verifique la validez del TVM para integrales, con la función 2( ) 4f x x= − en elintervalo [0, 2].

Solución

Figura 15.4

La gráfica de la función 2( ) 4f x x= − en el intervalo [0, 2] determina la porción

del círculo 2 2 4x y+ = en el primer cuadrante (figura 15.4), y cuya área es .π De

Módulo 15: Teorema del valor medio (TVM) para integrales

Ahora, en el problema de la duplicacióndel cubo, el elemento de solución no esexpresable por raíces cuadradas de las quepueden construirse con regla y compás,

ya que como 3 3,=x a2 entonces x a,3= 2

y 3 2 no puede construirse sólo conestos dos instrumentos.

2. Trisección del ángulo. El problema seenuncia del siguiente modo: divida unángulo dado en tres ángulos parcialesiguales, usando sólo regla y compás.

Se puede demostrar que el problemaanterior equivale a hallar un x tal que x 3 –3x – 1 = 0; pero el x hallado sólo esexpresable como una raíz cúbica que noes construible con tales instrumentos.

3. Cuadratura del círculo. El problemade la cuadratura del círculo es aún másprofundo, ya que implica unairracionalidad de naturaleza enteramentediferente a las de las anteriores.

El problema se enuncia así: determine,utilizando solamente regla y compás, ellado de un cuadrado de área equivalenteal área de un círculo de radio dado.

La solución del problema de la cuadraturaconduce a la ecuación que tiene comovariable la medida del lado del cuadradode área equivalente al área del círculo deradio unidad. Esta ecuación es x 2 = π , enla cual el coeficiente π del término inde-pendiente no es algebraico y por tanto nopuede ser raíz de una ecuación algebraicacon coeficientes racionales.

154

Capítulo 3: Integral definidaesta forma,

2 2 2

0 0( ) 4 .f x dx x dx= − =∫ ∫ π

Ahora, como 2( ) 4f x x= − es continua en el intervalo [0, 2], el TVM para integra-

les garantiza la existencia de por lo menos un [0,2]c∈ tal que:

2 2

04

( )2 0 2

x dxf c

−= =

−∫ π .

Es decir, 24 ,2

cπ

− = y resolviendo para c se obtiene:

216 [0, 2]2

c−

= ∈π .

¿Cómo interpreta geométricamente el resultado?


16.1 Primer teorema fundamental del cálculo: derivada de una integral16.2 Segundo teorema fundamental del cálculo16.3 Algunas propiedades que ayudan a simplificar los cálculos en algunas integrales

16Los teoremas fundamentales delcálculo



Preguntas básicas

Introducción

1. Enunciar y demostrar los dos teoremas fundamentales del cálculo.2. Establecer la relación entre derivación y primitivación.

La función logaritmo natural de x, denotada por ln x, se define como 1

1ln ,x

x dtt

= ∫x > 0.

1. Dados A y B números reales positivos, pruebe que 1

1 1 .A B B

Adt dt

t t

⋅=∫ ∫

2. Use la definición dada de ln x y la parte 1 para deducir las propiedades de los logaritmos.

Hasta ahora sólo hemos encontrado el valor de pocas integrales definidas. Sabe-mos de muchas funciones que son integrables, como las funciones continuas, perono hemos encontrado su valor; además, no hemos utilizado los poderosos instru-mentos desarrollados anteriormente, como son las técnicas de integración. Mostra-remos ahora que las operaciones de derivación y de integración están íntimamenterelacionadas mediante un teorema que muestra cómo la derivada «deshace» laacción de la integral de una función f (t). Posteriormente se presenta el tan esperadosegundo teorema fundamental del cálculo para poder completar así los fundamen-tos teóricos del cálculo integral, cuyas herramientas básicas emplearemos en elpróximo capítulo de las aplicaciones.

Galileo Galilei

El famoso astrónomo Galileo Galilei nació el15 de febrero de 1564 en Pisa y falleció el 8de enero de 1642 en Arcetri (cerca deFlorencia).

Tenía 79 años de edad y su cabello y subarba eran tan blancos como la espuma.Sus ojos, que miraron al cielo a través desus telescopios y observaron más quecualquier ser humano desde el principio delos tiempos, estaban apagados por la edad.Su reputación de ser uno de los másbrillantes científicos de su tiempo fue la razónde que reyes y reinas disputaran susservicios. Ahora estaba arrodillado ante eltemido tribunal de la Inquisición, obligadoa confesar públicamente un error que noera error: «Yo, Galileo Galilei..., abandonola falsa opinión... de que el Sol es el centro(del universo) y está inmóvil... Abjuro,maldigo y detesto los dichos errores».Algunos dicen que cuando el anciano sepuso de pie murmuró para sus adentros:«E pur si mueve» [Y sin embargo (la Tierra)se mueve (alrededor del Sol)].

Galileo nació en una familia de siete hijos,con un padre que era un talentoso músicoy un hombre de considerable cultura. Atemprana edad, Galileo prometía muchotanto mental como manualmente. Teníadiecisiete años cuando ingresó a laUniversidad de Pisa, donde se especializóen medicina y estudió también matemáticasy ciencias físicas.

Una vez, cuando todavía estudiaba en Pisa,observó la regularidad con que oscilabauna lámpara en la catedral. Apenas pudoesperar hasta que volvió a su casa paraexperimentar con bolitas de plomo atadasa hilos de diferentes longitudes. Descubrióque, cualquiera que fuese la magnitud de laoscilación o el peso del plomo, la bolitanecesitaba el mismo tiempo para completarun viaje de ida y vuelta. Sólo el cambio de la

156

16.1 Primer teorema fundamental del cálculo:derivada de una integral

Antes de mostrar dicha relación estudiaremos algunos resultados previos.

Sea f una función integrable en el intervalo [a, b]. Por la propiedad iv del teorema 1

del módulo 14, f es también integrable sobre el intervalo [a, x] con ,a x b≤ ≤ y

puesto que para cada x de [a, b] el valor de la integral ( )x

af t dt∫ es único, entonces

podemos definir la siguiente función:

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ con x en [a, b].

Según vimos antes, si ( ) 0f x ≥ en [a, b], entonces la función ( )F x definida ante-riormente representa geométricamente el área de la región comprendida entre a y xy bajo la curva de la función f (figura 16.1).

Obsérvese que

( ) ( ) 0a

aF a f t dt= =∫ y ( ) ( ) .

b

aF b f t dt= ∫

Figura 16.1

Teorema 1

Si f es integrable en [a, b] y F está definida por

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ , con x en [a, b], entonces F es continua en [a, b].

Demostración

Sea C un punto cualquiera de ( , )a b y h tal que .a C h b≤ + ≤ Demostraremos que

F es continua en C, es decir, demostraremos que 0

lim ( ) ( ).h

F C h F C→

+ =


longitud afectaba el tiempo de la oscilación(periodo de vibración). Esta observacióncondujo al invento del péndulo, usado enlos relojes y otros instrumentos para medircon precisión el tiempo. Leyó las obras deArquímedes y usó las matemáticas paraprobar algunos de los experimentos de esteúltimo con líquidos y aleaciones.

Creó el concepto de la aceleración que seusa en la física moderna y el conceptomoderno de la fricción y la inercia conrespecto a los objetos en movimiento.Analizó los componentes de la fuerza,demostrando, por ejemplo, que las fuerzasque afectan a la trayectoria de una bala sonhacia abajo y hacia adelante, de tal maneraque pueden medirse sistemáticamente.Estos experimentos, iniciados antes de1590, fueron perfeccionados y publicadosen 1638 en su obra Diálogos sobre dosnuevas ciencias (movimiento y mecánica).La obra de Galileo, que inició la comprensiónde estas ciencias, llevó a la formulación delas leyes de movimiento de Newton, másprecisas, y al perfeccionamiento que deesas leyes hicieron más tarde otroscientíficos.

Estableció un taller para fabricar instrumen-tos como brújulas magnéticas, termó-metros y telescopios. También llegó a serun experto en la construcción defortificaciones militares. A principios delsiglo XVII escuchó que un óptico holandéshabía logrado unir una lente cóncava y otraconvexa, de tal manera que hacía que losobjetos distantes parecieran más cercanos.Usando esa idea construyó un telescopioque ampliaba los objetos treinta veces, yen 1609 dio una demostración pública desu uso. Cuando Galileo volvió su telescopiohacia el cielo, por la noche, abrió nuevoscampos de conocimiento que describió ensu libro Mensajero de las estrellas. En éldice: «Doy gracias a Dios, que ha tenido abien hacerme el primero en observar lasmaravillas ocultas a los siglos pasados. Mehe cerciorado de que la Luna es un cuerposemejante a la Tierra... He contemplado unamultitud de estrellas fijas que nunca antesse observaron... Pero la mayor maravillade todas ellas es el descubrimiento de cuatronuevos planetas (cuatro satélites deJúpiter). He observado que se muevenalrededor del Sol».

Descubrió que la Vía Láctea consistía enuna miríada de estrellas; que el Universono era fijo ni inmutable, como creían suscontemporáneos, pues aparecían ante suvista nuevas estrellas que luego desapare-cían; y que los planetas Venus y Mercuriose movían también alrededor del Sol y queel Sol mismo giraba sobre su eje. Su libroDiálogo sobre los dos principales sistemasdel mundo es una brillante sátira que


Por la definición de F se tiene que

( ) ( )C h

aF C h f t dt

++ = ∫ y ( ) ( ) .

C

aF C f t dt= ∫

Luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

C h C C h a

a a a C

C h

C

F C h F C f t dt f t dt f t dt f t dt

f t dt

+ +

+

+ − = − = +

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Es decir,

( ) ( ) ( )C h

CF C h F C f t dt

++ − = ∫ (figura 16.2).

Puesto que f es acotada en [a, b] (por ser f integrable), entonces existe 0M ≥ tal

que ( )f t M≤ para todo t de [a, b].

Luego

( ) .M f t M− ≤ ≤ (1)

Figura 16.2

Analicemos dos casos: cuando 0h ≥ y cuando 0.h <

Primer caso

Si 0,h ≥ entonces, aplicando en (1) el teorema 1 módulo14 (observación iv),obtenemos:

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo

demostraba por medio del diálogo las fallasdel sistema geocéntrico tolomeico encomparación con el sistema heliocéntricocopernicano.

El trabajo experimental y teórico de Galileosobre el movimiento de los cuerpos, juntocon los trabajos de Kepler y René Descartes,fue el inicio de la mecánica clásicadesarrollada por Sir Isaac Newton. Galileofue el pionero, al menos en la tradicióneuropea, en desarrollar experimentosrigurosos insistiendo en la descripciónmatemática de las leyes de la naturaleza.Entre sus aportes fundamentales están latransformación de Galileo entre sistemasde referencia inerciales y el desarrollo delconcepto de inercia.

Uno de los mitos más famosos sobre Galileoes aquel en que tira objetos de diferentesmasas desde lo alto de la Torre de Pisa, conel fin de demostrar que la velocidad dedescenso era independiente de la masa.Esto contradecía el pensamiento deAristóteles de que los objetos pesadoscaerán más rápido que los ligeros, en formadirectamente proporcional a su peso. Lahistoria de la torre aparece en una biografíade uno de sus alumnos, Vicenzo Viviani,pero es considerada falsa. En realidad Galileonunca realizó, que se sepa, este experimentode esta forma y de haberlo hecho suresultado sería el opuesto, como él sabía.La fuerza de resistencia del aire depende nosólo de la forma del objeto sino indirecta-mente también en parte de su masa, dedonde se originó la idea aristotélica. Sinembargo, Galileo realizó experimentos queimplicaban el deslizamiento de objetos sobreplanos inclinados, para hacer más lenta lacaída, reduciendo los efectos de laresistencia del aire que dependen de lavelocidad, aislando así la acción de lagravedad y probando que la caída odeslizamiento «libres» son aceleradosindependientemente de la masa.

Sobre los años 1606-1607 (posiblementeantes), Galileo construyó un termómetrousando la expansión y contracción del aireen un recipiente de cristal para mover elagua de un tubo adjunto. Y en 1609 estuvoentre los primeros en usar el telescopiorefractor como instrumento para observarlas estrellas, planetas y lunas. En 1610 utilizóun telescopio como microscopio com-puesto, e hizo mejoras en los microscopiosde 1623 en adelante.

Lamentablemente, a la edad de 74 años,Galileo quedó ciego. Cuando murió,venerado por los ciudadanos y muchoshombres principales de la Iglesia y de losseglares, la Inquisición se negó a permitir larealización de un funeral público

158

( )

( ) .

C h C h C h

C C C

C h

C

M dt f t dt M dt

Mh f t dt Mh

+ + +

+

− ≤ ≤

− ≤ ≤

∫ ∫ ∫

∫

O sea que

( ) ( ) .Mh F C h F C Mh− ≤ + − ≤

Si tomamos límite a esta expresión cuando h tiende a cero por la derecha, obtene-mos:

[ ]0 0 0

lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ),h h h

Mh F C h F C Mh+ + +→ → →− ≤ + − ≤

y puesto que 0

lim ( ) 0h

Mh+→− = y

0lim ( ) 0h

Mh+→

= , se concluye, por el teorema del

sánduche, que

[ ]0

lim ( ) ( ) 0,h

F C h F C+→

+ − =

y por tanto 0

lim ( ) ( ).h

F C h F C+→

+ = (2)

Segundo caso

Si 0,h < entonces ,C h C+ < luego aplicando a (1) el teorema 2 del módulo 14(observación iv) se obtiene:

( ) ( ) ( )C

C hM h f t dt M h

+− − ≤ ≤ −∫ .

Entonces:

( ) .C h

CMh f t dt Mh

+≤ − ≤ −∫

Al multiplicar esta desigualdad por ( 1)− resulta:

M−

Es decir, ( ) ( ) .Mh F C h F C Mh− ≥ + − ≥

Si tomamos límite a esta última expresión cuando h tiende a 0 por la izquierda,obtenemos por el teorema del sánduche que


Escuche el audio En un tonomenos serio: el problema delpintor matemático en su multi-media de Elementos básicos decálculo integral y series.


[ ]0

lim ( ) ( ) 0.h

F C h F C−→

+ − =

Luego

0lim ( ) ( ).h

F C h F C−→

+ = (3)

De (2) y (3) podemos concluir que

0lim ( ) ( ).h

F C h F C→

+ = (4)

Hemos probado así que F es continua en todo C de (a, b).

Cuando C a= ó C b= la demostración es similar pero considerando límites late-rales.

El teorema anterior significa que, dada una función ( )f x integrable en [a, b], la

función ( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ con a x b≤ ≤ siempre es continua en [a, b].

Ejemplo 1

Sea 2 si 1

( ) con en [0, 2].4 si 1

xf x x

x

≥⎧= ⎨− <⎩

Halle 0

( ) .x

f t dt∫

Solución

Sea 0

( ) ( ) .x

F x f t dt= ∫

Para resolver esta integral es necesario hacerla en dos partes dependiendo de que1x ≥ o que 1.x <

1. Si 1x < , entonces

0 0( ) ( 4) 4( 0) 4

x xf t dt dt x x= − = − − = −∫ ∫ (ejemplo 4, módulo 13).

2. Si 1x ≥ , entonces

1 1

0 0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( 4) 2

4 2( 1) 2 6.

x x xf t dt f t dt f t dt dt dt

x x

= + = − +

= − + − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Entonces de 1 y 2 tenemos que, para todo x en [0, 2],



160

4 si 1( )

2 6 si 1x x

F xx x

− <⎧= ⎨ − ≥⎩

En las figuras 16.3a y 16.3b se muestran las gráficas de las funciones f y F. Obsér-vese que la segunda es continua a pesar de ser discontinua la primera.

Figura 16.3

Ejemplo 2

Sea ( ) 3f x = con x en [0, 3]. Halle 0

( ) ( ) .x

F x f t dt= ∫

Solución

0( ) 3 3( 0) 3 .

xF x dt x x= = − =∫

Es decir, ( ) 3F x x= con x en [0, 3]. Nótese que esta función es derivable en todox de [0, 3].

Teorema 2: Primer teorema fundamental del cálculo (derivada de una integral)

Sea f una función continua en [a, b] y F la función definida por

(F x

con x en [a, b].

Entonces, F es derivable en todo x de [a, b] y ( ) ( ).F x f x′ =

Demostración

Probemos que 0

( ) ( )lim ( ).h

F x h F xf x

h→

+ −=



Sea x un punto fijo de [a, b], luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .x h x x h

a a xF x h F x f t dt f t dt f t dt

+ ++ − = − =∫ ∫ ∫ (1)

Entonces, por ser f continua se tiene por el TVM que existe un punto c entre x yx h+ tal que:

( ) ( )x h

xf t dt f c h

+=∫ (h puede ser positivo o negativo) (2)

Entonces, de (1) y (2) se tiene que ( ) ( ) ( )F x h F x f c h+ − = , de donde

( ) ( ) ( ).F x h F xf c

h

+ −= (3)

Ahora, 0

lim ( ) ( )h

f c f x→

= ya que f es continua y c x→ ⇔ 0h → (figura 16.4).

Figura 16.4

Por tanto, tomando límite en (3) cuando 0h → , obtenemos:

0

( ) ( )lim lim ( ) ( ).h c x

F x h F xf c f x

h→ →

+ −= =

O sea que ( ) ( )dF x f x

dx= para todo x en [a, b].

O, lo que es lo mismo, ( )( ) ( ),x

a

df t dt f x

dx=∫ igualdad que indica que la derivada

«deshace» la acción de la integral de la función ( )f t .Ejemplo 3


Teorema fundamental del cálculo

El «teorema fundamental del cálculo»,que se atribuye a Isaac Newton yGottfried Leibniz, marca el comienzo delcálculo como disciplina unificada.Newton desarrolló su cálculo a finalesdel año 1660, pero no publicó susresultados hasta 1687. Leibniz losredescubrió a mediados de 1670, perolos publicó antes que Newton, en 1684y 1686. La notación y terminología deLeibniz (en buena parte todavía en uso)es mejor que la de Newton. (Newton serefería a las derivadas e integrales comofluxiones y fluyentes.) Sin embargo,Newton desarrolló las nociones básicasantes que Leibniz. A raíz de un cruce decartas entre ambos, surgió una tensacontroversia sobre quién debía serconsiderado el creador del cálculo. Ladisputa degeneró en una auténticaguerra entre los matemáticos deInglaterra y los del resto de Europa. Lacomunicación entre las dos comunida-des matemáticas quedó en suspensodurante un siglo, hecho que ejercióinfluencia innegable en el desarrollo delas matemáticas en el siglo XVIII.

162

Si 4 2

0( ) 3 9 ,

xF x t t dt= + +∫ halle ( )F x′ .

Solución

Ya que 4 2( ) 3 9f t t t= + + es continua, entonces F es derivable y ( ) ( ).F x f x′ =

O sea que

4 2 4 2

0( ) 3 9 3 9.

xdF x t t dt x x

dx′ = + + = + +∫

Ejemplo 4

Si 2 3 2( ) 1 ,x

F x t t dt= +∫ halle 2 3 2 1 .x x

D t t dt+∫

Solución

Para poder aplicar el teorema debemos intercambiar previamente los límites de inte-gración. Esto es,

2 3 2 3 2 3 2

2 2( ) 1 1 ( 1) ,

x x

xF x t t dt t t dt t t dt= + = − + = − +∫ ∫ ∫

y puesto que 3 2( ) 1f t t t= − + es continua, entonces:

( )3 2 3 2

2( ) 1 1.

xdF x t t dt x x

dx′ = − + = − +∫

Utilizando la regla de la cadena podemos extender el resultado del teorema 2.

Corolario 1

Sea h una función continua en [c, d], ( )V x una función derivable en [a, b] y

( )c V x d≤ ≤ .

Si ( )

( ) ( ) ,V x

cF x h t dt= ∫ entonces

( ) ( ( )). .dF x dVh V x

dx dx=

En efecto, sea ( ) ( ) .V

cG V h t dt= ∫

Por el teorema anterior, G es derivable respecto a V, luego ( ) ( )dG V

h VdV

= y además

( ) ( )( ).F x G V x=



Entonces:

. ( ). .dF dG dV dVh V

dx dV dx dx= =

Es decir,

( )( ) ( ( )) .

V x

c

d dVh t dt h V x

dx dx=∫

Corolario 2

Sea h continua en [ , ], ( ) y ( )c d U x V x derivables en [a, b] con ( )c U x d≤ ≤ y

( ) .c V x d≤ ≤

Si ( )

( )( ) ( ) ,

V x

U xF x h t dt= ∫ entonces

( )

( )( ) ( ( )) ( ( )) .

V x

U x

d dV dUh t dt h V x h U x

dx dx dx= −∫

Para la demostración basta aplicar el colorario 1 a la expresión

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) .

V x u x

c x cF x h t dt h t dt= −∫ ∫

Ejemplo 5

Halle 2 3 3

0( 5) .

x

xD t dt+

+∫

Solución

Puesto que 3( ) 5h t t= + es continua en todo ℜ y 2( ) 3V x x= + es derivable en

todo ,ℜ entonces podemos aplicar el colorario 1.

2 3 3 2 3

0( 5) ( 3) 5 (2 ).

xdt dt x x

dx

+⎡ ⎤+ = + +⎣ ⎦∫

Ejemplo 6

Sea 2

3( ) ( 5 8) .x

xF x t t dt

−= + −∫ Halle

23( 5 8) .

x

x

dt t dt

dx −+ −∫

Solución


164

Puesto que 3( ) 5 8h t t t= + − es continua, 2( )V x x= y ( )U x x= − son derivables.

Entonces

23 2 3 2 3

6 2 3

( 5 8) ( ) 5( ) 8 (2 ) ( ) 5( ) 8 ( 1)

2 [ 5 8] [ 5 8].

x

x

dt t dt x x x x x

dx

x x x x x

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = + − − − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + − + − − −

∫

Ejemplo 7

Sea 2 1( )

x

xF x dt

t= ∫ con x > 0. Pruebe que F es una función constante.

Solución

Como 1( )h tt

= es continua para todo 0, ( ) 2 y ( )t V x x U x x> = = son

derivables. Entonces

2 1 1 1 1 1( ) (2 ) ( ) 2 1 0.2 2

x

x

d d dF x dt x x

dx t x dx x dx x x′ = = − = ⋅ − ⋅ =∫

Es decir, ( ) 0F x′ = para todo 0x > , y de aquí F es una constante (ejercicio 19,módulos 20-28, Elementos básicos de cálculo diferencial).

Ejemplo 8

Determine los intervalos donde crece y decrece la siguiente función, así como tam-bién sus extremos relativos:

21

23( ) .

1x t

f x dtt

−=

+∫

Solución

Los intervalos donde crece y decrece una función, así como los extremos relativos,los determina el signo de la primera derivada. Así que si

21

23( ) ,

1x t

f x dtt

−=

+∫entonces



2 21

2 2 23

(1 )( ) ( 2 )1 1 (1 )

xd t xf x dt x

dx t x

− −′ = = −+ + −∫ .

Esto es,

2 2

2 (1 ) (1 )( ) .1 (1 )x x x

f xx

− − +′ =+ −

El signo de ( )f x′ depende del signo de los factores 2 , (1 ) y (1 ),x x x− − + comose ilustra en el siguiente diagrama (figura 16.5):

Figura 16.5

Del diagrama anterior se deduce que:

f (x) decrece en: ( , 1] [0,1].−∞ − ∪

f (x) crece en: [ 1,0] [1, ).− ∪ +∞

1x = − corresponde a un mínimo relativo. Entonces:

1 1 1

0

23

1( 1, ( 1)) 1, 1, ln1021m m m

tP f P dt P

t⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ .

x = 0 corresponde a un máximo relativo. Entonces:

1 1 1

1

23

1(0, (0)) 0, 0, ln 521M M M

tP f P dt P

t⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ .

x = 1 corresponde a un mínimo relativo. Entonces:

2 2 2

0

23

1(1, (1)) 1, 1, ln1021m m m

tP f P dt P

t⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ .


166

16.2 Segundo teorema fundamental del cálculo

Teorema 3 : Segundo teorema fundamental del cálculo

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y F una función tal que( ) ( )F x f x′ = para todo x en [a, b]. Entonces,

( ) ( ) ( ).b

af t dt F b F a= −∫ (1)

Demostración

Como f es integrable en [a, b], sea ( ) ( ) , .x

aG x f t dt a x b= ≤ ≤∫ En consecuencia,

( ) ( ),G x f x′ = y como por hipótesis ( ) ( ),F x f x′ = entonces F y G difieren en una

constante, es decir, ( ) ( ) .G x F x C= + Esto es,

( ) ( ) ( )x

aG x f t dt F x C= = +∫

Por tanto,

( ) ( ) 0 ( ) ,a

aG a f t dt F a C= = = +∫

de donde ( ) .F a C= −

Además,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).b

aG b f t dt F b C F b F a= = + = −∫

Luego

( ) ( ) ( ).b

af t dt F b F a= −∫

Observaciones

i. En el trabajo con integrales, la expresión ( ) ( )F b F a− se denota por [ ]( ) a

bF x ,

que se lee: « ( )F x entre a y b».

Con esta notación podemos escribir entonces [ ]( ) ( ) ,b b

aaf t dt F x=∫ siendo

( )F x una primitiva de f.



ii. En muchas aplicaciones la conclusión del segundo teorema fundamental

del cálculo se escribe en la forma siguiente:

( ) ( ) ( ).b

af t dt f b f a′ = −∫

iii. Si al evaluar ( )b

af t dt∫ no podemos encontrar en forma directa una primiti-

va ( )F x de f, la regla de sustitución puede emplearse en este caso en laforma siguiente:

Si ( ),u g x= donde ( )g x y ( )g x′ son continuas en el intervalo

[ ]( ), ( )g a g b , y si ( ( ))f g x está definida y es continua en [ ( ), ( )],g a g b

entonces

( )( )

( )( ) ( ) ( ) .

b g b

a g af g x g x dx f u du′ =∫ ∫

Nótese que al calcular la integral definida por la fórmula anterior no necesa-riamente regresamos a la variable original sino que se halla una primitivade ( )f u y la evaluamos desde ( )g a hasta ( ).g b

iv. La fórmula de integración por partes también puede usarse para el cálculo deintegrales definidas. En este caso se tiene que si ( )U x y ( )V x son dosfunciones derivables en [a, b], entonces:

[ ]( ) ( ) .b bb

aa aU dV U x V x V dU⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

Ejemplo 9

Calcule el valor de las siguientes integrales definidas.

a. , 1,b n

ax dx n n≠ −∫ real.

b. ( )3

31 2.

3 1

x dx

x −∫

c.33

0 2.

9

xdx

x+∫

Solución

a.1 1 1

.1 1 1

n n nb n

a

x b ax dx C C C

n n n

+ + +⎡ ⎤= + = + − −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

∫


168

Luego 1 1

, 1,( 1)

n nb n

a

b ax dx n n

n

+ +−= ≠ −

+∫ real.

Nótese que en el proceso de evaluación de la integral, la constante Cdesaparece. En adelante y por simplicidad omitiremos la escritura de ésta.

b. Para evaluar dicha integral, aplicamos la regla de sustitución.

Sea 2( ) 3 1.u g x x= = − (1)

De aquí, 6 ,du x dx= de donde 6

dux dx = .

Ahora, (1) 2g = y (3) 26.g =

Por tanto,

262 2 23 26

2 3 31 22

1 1726 2 .

12 12 338(3 1) 6x dx du u

x u

−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤− ⎣ ⎦= = = − =⎢ ⎥− ⎣ ⎦

∫ ∫

Podemos evaluar también dicha integral aplicando la regla de sustitución,pero escribiendo el resultado en términos de la variable x. Así:

Sea 23 1u x= − . (2)

Entonces 6 ,du x dx= de donde 6

dux dx = .

Por tanto,

2

2 3 3 2 2 2

1 1 .12(3 1 6 12 12(3 1)

x dx du u

x u u x

−− − −= = = =

− −∫ ∫

Ahora,

( )

( ) ( )

3

3

2 3 21 2

1

2 2

1(3 1) 12 3 1

1 1 7 .33812 26 12 2

x dx

x x

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⎡ ⎤−= + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

c.3 23 3

0 02 29 9

x x xdx dx

x x

⋅=

+ +∫ ∫ .



Sea 2 29 .u x= + (3)

Entonces, 2 2u du x dx= .u du x dx⇔ =

29u x= + .

De aquí se tiene que cuando 0, 3

cuando 3, 18 3 2

x u

x u

= =⎧⎪⎨

= = =⎪⎩

Así que,

3 23 2 2 33 3 3 2

0 0 32 23

( 9) 939 9

x x x u u du udx dx u

ux x

⎡ ⎤⋅ −= = = −⎢ ⎥

+ + ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

3 3(3 2) 39(3 2) 27 18 9 2.

3 3⎡ ⎤

= − − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Se pide al estudiante calcular la integral anterior, haciendo la sustitución 3 tan .x = θ

Ejemplo 10

Demuestre que 2sen ,nxdxπ

ππ

−=∫ siendo .n∈

Solución

2 1 cos 2sen2

1 1 1 1sen 2 sen 2 sen ( 2 )2 4 2 4 2 4

.2 2

nxnx dx dx

x nx n nn n n

− −

−

−=

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + =

∫ ∫π π

π π

π

π

π ππ π

π π π

Ejemplo 11

Una función g(x) satisface las siguientes condiciones:

i. g(x) está definida en todo x∈ℜ .ii. ( )g x′′ es continua.

iii. (0) (2)g g= .

iv. (2) 3.g ′ =


170

Demuestre que 2

0( ) 6.x g x dx′′⋅ =∫

Solución

Sea

( ) ( ) .( ) ( ) ( existepor ).

u x x dV g x dx

du dx V x g x V ii

′′= =′= =

Aplicando entonces integración por partes, se tiene:

[ ]2 22

00 0( ) ( ) ( ) .x g x dx x g x g x dx′′ ′ ′⋅ = ⋅ −∫ ∫

Pero,

[ ] [ ]2

0( ) 2 (2) 0 (0) 2 3 6x g x g g′ ′⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ = (condición iv).

También,2

0( ) (2) (0)g x dx g g′ = −∫ (2° TFC)

= 0 (condición iii).

Así que:

2

0( ) 6 0 6.x g x dx′′⋅ = − =∫

16.3 Algunas propiedades que ayudan a simplificar los cálculos en algunas integrales

El conocimiento de la simetría que presenta el integrando en un intervalo de longi-tud 2a ayuda a simplificar los cálculos, como se muestra a continuación.

i. Si f es una función par ( ( ) ( ))f x f x− = , esto es, si f es simétrica conrespecto al eje y, entonces

0( ) 2 ( )

a a

af x dx f x dx

−=∫ ∫ (figura 16.6a).

ii. Si f es una función impar ( ( ) ( )),f x f x− = − esto es, si f es simétrica conrespecto al origen, entonces

( ) 0a

af x dx

−=∫ (figura 16.6b).



Figura 16.6

Así por ejemplo, en la integral 31

2 41,

(1 )x

dxx− +∫ el integrando

3

2 4( )(1 )

xf x

x=

+ es

una función impar, puesto que 3 3

2 4 2 4

( )( ) ( )(1 ( ) ) (1 )

x xf x f x

x x

−− = = − = −

+ − + .

En consecuencia,

31

2 410.

(1 )x

dxx−

=+∫

La integral 2 2 3

2(1 )x x x dx

−+ + +∫ puede escribirse en la forma:

2 2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2(1 ) 1 .x x x dx dx x dx x dx x dx

− − − − −+ + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Pero,2 2 3

2 20x dx x dx

− −= =∫ ∫ (por ser el integrando funciones impares).

También,

2 2

2 01 2 1 4dx dx

−= =∫ ∫

y232 22 2

2 00

162 23 3x

x dx x dx−

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ (por ser el integrando funciones pares).

Luego2 2 3

2

16 28(1 ) 4 .3 3

x x x dx−

+ + + = + =∫



17Integrales impropias



Preguntas básicas

Introducción

17.1 Integrales impropias tipo I17.2 Integrales impropias tipo II

1. Extender la noción de integral para funciones no acotadas y que no están definidas en todos los puntos de integración.

2. Dar sentido a integrales de las formas ( ) ,a

f x dx+∞

∫ ( )b

f x dx−∞∫ y ( ) ,f x dx

+∞

−∞∫

o de la forma ( ) ,b

af x dx∫ donde f (x) presenta una discontinuidad infinita en

[a, b], es decir, f (x) se hace infinita en algún punto del intervalo [a, b].

1. ¿Por qué 2

11

dxx

+∞

−∞ +∫ existe?

2. ¿Por qué no existe ,x dx+∞

−∞∫ a pesar de que limN

NNx dx

−→∞ ∫ sí existe?

3. Demuestre que si ( )f x dx+∞

−∞∫ existe, entonces existe lim ( ) ,N

NNf x dx

−→∞ ∫ y es

igual a ( ) .f x dx+∞

−∞∫

En el módulo anterior de este mismo capítulo se hizo el estudio de la integral defini-

da ( )b

af x dx∫ para una función f definida y acotada en el intervalo cerrado [a, b].

En este módulo se extenderá la noción de integración a funciones no acotadas yfunciones que no están definidas en todos los puntos del intervalo de integración.Además se le dará sentido a integrales de las formas:

( )a

f x dx+∞

∫ , ( )b

f x dx−∞∫ y ( ) ,f x dx

+∞

−∞∫

Pierre-Simon Laplace

Pierre-Simon Laplace nació el 28 de marzode 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia, yfalleció el 5 de marzo de 1827 en París.

A la edad de dieciocho años, Laplacesobresalía como maestro y matemático enla escuela militar de su pueblo natal. Noobstante, para él, París era la única ciudadpor la que entraría en el gran mundo de laciencia. Consiguió cartas de recomendacióny, en 1767, partió hacia allí a solicitar laayuda del distinguido matemático francésJean D’Alembert. Cuando se presentó en lacasa de éste fue recibido con cortesesexcusas, pero lo despidieron sin quepudiera entrevistarlo. Pasaron las semanasy Laplace seguía sin obtener audiencia.Persistente en su ambición, decidióentonces usar un método distinto. Comono surtieron efecto las cartas de recomen-dación, trató de comunicarse por mediodel lenguaje de la ciencia. Escribió unadisertación sobre los principios de lamecánica y se la envió a D’Alambert con lasolicitud de que le concediera una audiencia.Era un lenguaje que podía entender yapreciar un matemático. D’Alambert quedótan impresionado con el talento de Laplace,que mandó llamarlo en seguida y le dijo:«No necesitáis más presentación que larecomendación de vuestro trabajo». Consu ayuda, Laplace obtuvo más tarde elnombramiento de profesor de matemáticasen la Escuela Militar de París y quedóasegurado su ingreso en el mundo de laciencia.

El primer trabajo científico de Laplace fuesu aplicación de las matemáticas a lamecánica celeste. A Newton y otrosastrónomos les había sido imposible explicarlas desviaciones de los planetas de susórbitas, predichas matemáticamente. Asípor ejemplo, se determinó que Júpiter ySaturno se adelantaban o retrasaban a vecescon respecto a las posiciones que debíanocupar en sus órbitas. Laplace ideó

174

o de la forma

( ) ,b

af x dx∫

donde f (x) presenta una discontinuidad infinita en [a, b], es decir, f (x) se haceinfinita en algún punto del intervalo [a, b]. A todas estas integrales se les denominaintegrales impropias.

A continuación se definirán estos dos tipos de integrales impropias.


entonces una teoría, apoyada en pruebasmatemáticas, que postulaba que lasvariaciones eran normales y se corregíansolas en el transcurso de largas etapas detiempo. Esta teoría, de gran importanciapara entender las relaciones de los cuerposcelestes en el universo, ha soportado laprueba del tiempo sin sufrir más quecorrecciones relativamente secundarias.

Los siguientes años fueron de exitosasinvestigaciones para Laplace, que fueaclarando los conocimientos científicossobre las fuerzas elementales de lanaturaleza y el universo. Escribió artículosacerca de la fuerza de gravedad, elmovimiento de los proyectiles, el flujo yreflujo de las mareas, la precesión de losequinoccios, la forma y rotación de losanillos de Saturno y otros fenómenos.También estudió el equilibrio de una masalíquida en rotación e ideó una teoría de latensión superficial que era semejante almoderno concepto de la atracción ocohesión molecular dentro de un líquido.Trabajando con el químico francés Lavoisier,estudió el calor específico y la combustiónde diversas sustancias y puso los cimientospara la moderna ciencia de la termo-dinámica. Inventó un instrumento,conocido con el nombre de calorímetro dehielo, para medir el calor específico de unasustancia. El calorímetro medía la cantidadde hielo fundido mediante el peso dado deuna sustancia caliente cuya temperatura seconocía. Entonces, podía calcularsematemáticamente su calor específico.

Al estudiar la atracción gravitacional de unesferoide sobre un objeto externo, Laplaceideó lo que se conoce hoy como «ecuaciónde Laplace», que se usa para calcular elpotencial de una magnitud física en unmomento dado mientras está en movimien-to continuo. Esta ecuación no sólo tieneaplicación en la gravitación, sino tambiénen la electricidad, la hidrodinámica y otrosaspectos de la física.

Entre 1799 y 1825, Laplace reunió susescritos en una obra de cinco volúmenes,titulada Mecánica celeste, en la que sepropuso dar una historia de la astronomíasistematizando la obra de generaciones deastrónomos y matemáticos, y ofreciendouna solución completa a los problemasmecánicos del sistema solar. Más tardepublicó un volumen titulado El sistema delmundo, y luego, en 1812, su Teoría analíticade las probabilidades.

Laplace vivió hasta la avanzada edad de 78años. En vida aún, fue elegido para serparte del selecto grupo de los «Cuarentainmortales de la Academia Francesa».


17.1 Integrales impropias tipo I

Definiciones

i. Sea f una función integrable en [ , ).a + ∞ Si lim ( ) a

f x dx∈

∈→+∞ ∫ existe, se dice

que la integral impropia ( ) a

f x dx+∞

∫ es convergente y en este caso se

escribe:

( ) lim ( ) .a a

f x dx f x dx+∞ ∈

∈→+∞=∫ ∫

Si el límite no existe, se dice que la integral impropia es divergente.

ii. Sea f una función integrable en ( , ].b−∞ Si lim ( ) b

f x dx∈∈→−∞ ∫ existe, se dice

que la integral impropia ( ) b

f x dx−∞∫ es convergente y en este caso se

escribe:

( ) lim ( ) .b b

f x dx f x dx−∞ ∈∈→−∞

=∫ ∫


iii. Si f es integrable en ( , )−∞ +∞ , y ,c∈ℜ entonces

( ) ( ) + ( ) .c

cf x dx f x dx f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞=∫ ∫ ∫

Observaciones

i. El significado de la definición iii es el siguiente: si las integrales impropias

( ) c

f x dx−∞∫ y ( )

cf x dx

+∞

∫ son convergentes, siendo c cualquier número

real, entonces la integral impropia ( ) f x dx+∞

−∞∫ es convergente y su valor es

la suma de las dos integrales impropias; pero si al menos una de las dosintegrales impropias de la derecha es divergente, entonces la integral

( ) f x dx+∞

−∞∫ es divergente.

ii. Cuando ( ) 0f x ≥ y la integral impropia ( ) a

f x dx+∞

∫ es convergente, en-

tonces el valor de dicha integral corresponde al área de la región acotadapor la curva y = f (x), el eje x y la recta x = a.

Módulo 17: Integrales impropias

176

Ejemplo 1

Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias:

a. 20

1 1

dxx

+∞

+∫ b. 0

2

1 1

dxx−∞ +∫ c. 2

1 1

dxx

+∞

−∞ +∫

Solución

a. De acuerdo con la definición i,

2 20 0

1 1 lim ,1 1

dx dxx x

+∞ ∈

∈→+∞=

+ +∫ ∫ si dicho límite existe.

Pero

1 1 1 1020

1 tan ] tan tan 0 tan .1

dx xx

∈ − ∈ − − −= = ∈− = ∈+∫

De esta forma,

12 20 0

1 1 lim lim (tan ) 21 1

dx dxx x

+∞ ∈ −

∈→+∞ ∈→+∞= = ∈ =

+ +∫ ∫π

.

Esto significa que la integral impropia es convergente y se puede escribir:

20

1 21

dxx

+∞=

+∫π

.

b. De acuerdo con la definición ii,

0 0

2 2

1 1 lim ,1 1

dx dxx x−∞ ∈∈→−∞

=+ +∫ ∫ si dicho límite existe.

Pero0 1 0 1 1 1

2

1 tan ] tan 0 tan tan .1

dx xx

− − − −∈∈

= = − ∈ = − ∈+∫

De esta forma,

0 0

2 2

1

1 1 lim 1 1

lim ( tan ) .2 2

dx dxx x−∞ ∈∈→−∞

−

∈→+∞

=+ +

⎛ ⎞= − ∈ = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫π π



Esto significa que la integral impropia es convergente y se puede escribir:

0

2

1 .21

dxx−∞

=+∫

π

c. De acuerdo con la definición iii,

0

2 2 20

1 1 1 .2 21 1 1

dx dx dxx x x

+∞ +∞

−∞ −∞= + = + =

+ + +∫ ∫ ∫π π π

El siguiente ejemplo será de gran utilidad en el trabajo con series numéricas ya que

permite determinar los valores para los cuales la llamada serie-p 1

1p

n n

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ es con-

vergente o divergente.

Ejemplo 2

Determine los valores de p para los cuales la integral impropia1

1p

dxx

+∞

∫ converge.

Solución

De acuerdo con la definición i,

1 1

1 1lim .p p

dx dxx x

+∞ ∈

∈→+∞=∫ ∫

Pero

1

1

1 ( 1)1 1 siln

p

ppdx

x

−∈

⎧ ∈ −⎪ −= ⎨⎪ ∈⎩

∫ 11

p

p

≠=

Así que:

1. Si p = 1, entonces

1 1

1 1lim lim (ln )p p

dx dxx x

+∞ ∈

∈→+∞ ∈→+∞= = ∈ = +∞∫ ∫ .

2. Si p > 1, entonces

1

1 1

1 1 1 1lim lim ( 1)1 1

pp p

dx dxp px x

+∞ ∈ −

∈→+∞ ∈→+∞= = ∈ − =

− −∫ ∫ , puesto que

1lim 0p−

∈→+∞∈ = . (Como 1p > , 1 0p− < y 1 0.p−∈ → cuando )∈→ +∞



178

3. Si p < 1, entonces

1

1 1

1 1 1lim lim ( 1) ,1

pp p

dx dxpx x

+∞ ∈ −

∈→+∞ ∈→+∞= = ∈ − = +∞

−∫ ∫ puesto que

1lim p−

∈→+∞∈ = +∞ . (Como 1p < , 1 0p− > y 1 p−∈ → +∞ , cuando )∈→ +∞

Del análisis anterior se puede concluir que la integral impropia 1

1p

dxx

+∞

∫ converge

para p >1, y en los demás casos diverge.

El siguiente teorema y su corolario, que se enuncian sin demostración, son útilesporque en muchos casos permiten decidir si una integral impropia es convergente ono.

Teorema 1

Sean f y g dos funciones integrables en su dominio, tales que 0 ( ) ( )f x g x≤ ≤

para todo .x a≥ Por tanto,

1. Si ( )a

g x dx+∞

∫ converge, entonces ( )a

f x dx+∞

∫ también converge, y ade-

más ( )a

f x dx+∞

∫ ≤ ( ) .a

g x dx+∞

∫

2. Si ( )a

f x dx+∞

∫ diverge, entonces ( )a

g x dx+∞

∫ también diverge.

La parte 1 de este teorema puede interpretarse geométricamente así: si el área de laregión bajo la gráfica de g(x) es un valor finito, también tomará un valor finito el áreade la región bajo la gráfica de f (x).

Corolario

Sean f y g dos funciones integrables en su dominio, tales que ( ) 0f x ≥ , ( ) 0g x ≥

para todo ,x a≥ y además ( )lim .( )x

f xC

g x→+∞= Entonces:

1. Si 0,C ≠ las integrales ( )a

f x dx+∞

∫ y ( )a

g x dx+∞

∫ ambas convergen o

ambas divergen.

2. Si C = 0 y la integral ( )a

g x dx+∞

∫ converge, entonces la integral ( )a

f x dx+∞

∫también converge.



Ejemplo 3

Analice la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:

2 21

1 .(1 )x

dxx x e

+∞

+∫

Solución

Para 1x ≥ , 1xe ≥ , así que 2 20 1 ,xx x e≤ ≤ + lo cual implica que4 2 20 (1 ),xx x x e≤ ≤ +

de donde

2 2 4

1 10 .(1 )xx x e x

≤ ≤+

Ahora,

41

1 13

dxx

+∞=∫ (ejemplo 2, parte 2).

Entonces, de acuerdo con la parte 1 del teorema 1, se puede concluir que

2 21

1(1 )x

dxx x e

+∞

+∫ converge, y además 2 21

1 103(1 )x

dxx x e

+∞≤ ≤

+∫ .

Ejemplo 4

Demuestre que para cada s∈ℜ la integral impropia 1

x se x dx+∞ −∫ es convergente.

Solución

Para la demostración se utiliza el corolario del teorema 1 en su parte 2.

Sea 2( )g x x−= y ( ) x sf x e x−= para x≥ 1.

Pero,2

lim 0.s

xx

x

e

+

→+∞=

En efecto,2

2

( )lim lim lim( )

x s s

xx x x

f x e x x

g x x e

− +

−→+∞ →+∞ →+∞= = (1)


180

Si 2,s ≤ − entonces 2

lim 0s

xx

x

e

+

→+∞= .

Si 2,s > − entonces el límite 2

lims

xx

x

e

+

→+∞ es de la forma indeterminada ∞

∞.

Como s + 2 es un real fijo, se puede aplicar reiteradamente la regla de L´Hopitalhasta que el exponente de x sea negativo o cero. En ese momento el numerador esuna constante y el denominador tiende a infinito. En consecuencia,

2

lim 0.s

xx

x

e

+

→+∞= (2)

De (1) y (2) se concluye que

( )lim 0( )x

f x

g x→+∞= .

Además,

221 1 1

1( ) 1g x dx x dx dxx

+∞ +∞ +∞−= = =∫ ∫ ∫ (convergente),

y por el corolario del teorema 1 (parte 2) se puede concluir finalmente que la integral

impropia 5

1

xe x dx+∞ −∫ es convergente para todo .s∈ℜ

A continuación se definirá el segundo tipo de integrales impropias.

La particularidad de este tipo de integrales es la discontinuidad infinita que presen-ta el integrando en algún punto del intervalo cerrado [a, b].

17.2 Integrales impropias tipo II

A este tipo pertenecen integrales de la forma ( ) ,b

af x dx∫ donde f (x) presenta una

discontinuidad infinita en [a, b], es decir, f (x) se hace infinita en algún punto delintervalo [a, b].

Se presentan varios casos, dependiendo del punto donde el integrando se hacediscontinuo.

Caso 1. La función f presenta discontinuidad infinita en x = lim ( )x a

a f x+→

⇔ = ∞

(figura 17.1a) .



Figura 17.1Definición

Si 0

lim ( ) lim ( )b b

aaf x dx f x dx

+ +∈ +∈∈→ ∈→=∫ ∫ existe, se dice que la integral impropia

( )b

af x dx∫ es convergente, y en este caso se puede escribir:

0( ) lim ( ) lim ( ) .

b b b

a aaf x dx f x dx f x dx

+ +∈ +∈∈→ ∈→= =∫ ∫ ∫


Caso 2. La función f presenta discontinuidad infinita en x = b lim ( )x b

f x−→

⇔ = ∞

(figura 17.1b) .

Definición

Si 0

lim ( ) lim ( )b

a abf x dx f x dx

− +

∈ −∈

∈→ ∈→=∫ ∫ existe, se dice que la integral impropia

( )b

af x dx∫ es convergente, y en este caso se puede escribir:

0( ) lim ( ) lim ( ) .

b b

a a abf x dx f x dx f x dx

− +

∈ −∈

∈→ ∈→= =∫ ∫ ∫


Caso 3. La función f presenta discontinuidad infinita en x = a y enlim ( ) lim ( )x a x b

x b f x f x+ −→ →

= ⇔ = ∞ ∧ = ∞ (figura 17.2a).


Precaución sobre integralesimpropias

No siempre ( ) lim ( )f x dx f x dxε

εε

+∞

−∞ −→∞=∫ ∫

aunque es muy tentador escribirlo. Enalgunas ocasiones el límite de la derechaexiste para algunas integrales impropiasdivergentes como sucede por ejemplocon la función f (x) = x.

Se puede probar que lim 0,x dxε

εε −→∞=∫

sin embargo la integral impropia x dxε

ε−∫diverge.

(Tomado de «La precaución sobreintegrales impropias», página 526 deltexto Cálculo de Smith y Minton)

182

En este caso, y de acuerdo con las propiedades de la integral definida, la integral

impropia ( )b

af x dx∫ puede escribirse en la forma:

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ , (1)

siendo c un número real tal que a < c < b, transformando así la integral inicial en lasuma de dos integrales impropias cuya convergencia o divergencia corresponde,respectivamente, a las definiciones de los casos 1 y 2 inmediatamente anteriores.

Si alguna de las integrales impropias de la derecha de (1) es divergente, entonces la

integral impropia ( )b

af x dx∫ es divergente.

Figura 17.2

Caso 4. La función f presenta discontinuidad infinita en x = c, con ,c∈ℜ tal que

a < c < b lim ( )x c

f x→

⇔ = ∞ (figura 17.2b).

En este caso, y de acuerdo con las propiedades de la integral definida, la integral

impropia ( )b

af x dx∫ puede escribirse en la forma:

( ) ( ) ( ) ,b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ (2)

transformando así la integral inicial en la suma de dos integrales impropias cuyaconvergencia o divergencia corresponde, respectivamente, a las definiciones delos casos 2 y 1 inmediatamente anteriores.

Si alguna de las integrales impropias de la derecha de (2) es divergente, se dice

entonces que la integral impropia ( )b




Observación

Si la función f presenta un número finito de discontinuidades infinitas en los pun-tos 1 2 1, , , ,n nc c c c− , donde 1 2 1 ,n na c c c c b−< < < < < < entonces la integral im-

propia ( )b

af x dx∫ se transforma en una suma finita de integrales impropias, a sa-

ber:

1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,n

n n

b c c c b

a a c c cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

−

= + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3)

cuya convergencia o divergencia se analiza de acuerdo con el caso 1, 2, 3 y 4 quecorresponda de los mencionados anteriormente.

Si al menos una de las integrales impropias de la derecha de (3) es divergente, se

dice entonces que la integral impropia ( )b


Ejemplo 5


1

21

1 .dxx−∫

Solución

Como en x = 0 (punto interior del intervalo [ 1,1]− ) la función 2

1( )f xx

= se hace

infinita, se tiene, de acuerdo con el caso 4, que

1 0 1

2 2 21 1 0

1 1 1 .dx dx dxx x x− −

= +∫ ∫ ∫

Pero

0

2 21 10 0 01

1 1 1 1lim lim lim 1 .dx dxxx x− − −

∈∈

− −∈→ ∈→ ∈→−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − + = +∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Igualmente,

11 1

2 20 0 0 0

1 1 1 1lim lim lim 1 .dx dxxx x+ + +∈∈→ ∈→ ∈→

∈

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − + = +∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫


184

Es decir, ambas integrales divergen a ,+∞ y en consecuencia la integral impropiadada diverge.

Obsérvese que si no se tiene en cuenta la discontinuidad de la función en x = 0 y seevalúa la integral directamente, se obtiene:

11

211

1 1 2,dxxx−

−

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

lo que es un absurdo puesto que si 2

1( ) 0,f xx

= > entonces,

1

21

1 0.dxx−

>∫

Ejemplo 6


1

0 2

1 .1

dxx−

∫

Solución

Como en x = 1 la función 2

1( )1

f xx

=−

se hace infinita, se tiene, de acuerdo con

la definición del caso 2, que

1 1 1

00 02 21 1

1 1lim lim sen sen 1 ,21 1

dx dx xx x

− −

∈ ∈− −

∈→ ∈→

π⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦− −

∫ ∫

lo cual indica que la integral impropia es convergente.

Ejemplo 7

Demuestre que para cada s > 0 la integral 1 1

0

t se t dt− −∫ es convergente.

Solución

Nótese, en primer lugar, que la integral 1 1

0

t se t dt− −∫ es una integral impropia puesto

que la función 11( )

tt s

s

ef t e t

t

−− −

−= ⋅ = se hace infinita en t = 0.



Considérese entonces la integral 1 1t s

xe t dt− −∫ , con x > 0, y en la cual al hacer el

cambio de variable 1 ,tu

= se obtiene:

1 1/1 1/ 1

1

xt s u s

xe t dt e u du− − − − −= ⋅∫ ∫ (compruebe el resultado).

Analícese entonces la integral impropia 1/ 1

1.u se u du

+∞ − − −⋅∫

Como 1

1ue−≤ para u ≥ 1, entonces

11 10 s sue u u

− − − − −≤ ⋅ ≤ , y por el ejemplo 2 se

sabe que la integral impropia 11

1s

duu

+∞

+∫ converge para (s + 1) > 1, es decir,

converge para s > 0.

De esta forma, de acuerdo con la parte 1 del teorema 1, se deduce que la integral

impropia 1

1

1

sue u du−+∞ − −⋅∫ también converge para s > 0, y en consecuencia su

integral impropia equivalente 1 1

0

t se t dt− −∫ converge para s > 0.

Observación

Como 1 1

0

t se t dt− −∫ converge para s > 0 y la integral 1

1

t se t dt+∞ − −∫ converge para

todo s∈ℜ (ejemplo 4), se concluye que la integral impropia 1

0

t se t dt+∞ − −∫ converge

para s > 0. A esta integral se le conoce como función gamma y se denota por ( );sΓes decir,

( )sΓ = 1

0,t se t dt

+∞ − −∫ s > 0.

Ejemplo 8

Use la definición de la función gamma para demostrar las siguientes propiedadesconcernientes a ella.

a. (1) 1.Γ =

b. ( 1) ( ),s s sΓ + = ⋅Γ s > 0.

c. ( 1)n nΓ + = !, para .n∈N


186

Solución

a. De acuerdo con la definición de la función gamma, se tiene:

1 1

0 0 0(1) lim lim 1 1.t t te t dt e dt e dt e

+∞ +∞ ∈− − − − −∈

∈→+∞ ∈→+∞⎡ ⎤Γ = = = = − =⎣ ⎦∫ ∫ ∫

b. ( 1) 1

0 0 0( 1) lim .t s t s t ss e t dt e t dt e t dt

+∞ +∞ ∈− + − − −

∈→+∞Γ + = = =∫ ∫ ∫

Para calcular la última integral se usa integración por partes, esto es,

sea su t= y .tdv e dt−=

Entonces 1sdu st dt−= y .tv e−= −

De esta forma,

1

00 0.t s t s t se t dt e t s e t dt

∈ ∈∈− − − −⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦∫ ∫

Como 0

t s se t e∈− −∈⎡ ⎤− ⋅ = − ⋅∈⎣ ⎦ y lim 0se−∈

∈→+∞⎡ ⎤− ⋅∈ =⎣ ⎦ (usando la regla de

L´Hopital), se tiene entonces que:

( )1

0 0

0

lim lim

0 lim ( ).

t s s t s

t s

e t dt e s e t dt

s e t dt s s

∈ ∈− −∈ − −

∈→+∞ ∈→+∞

∈ −

∈→+∞

= − ⋅∈ + ⋅

= + ⋅ = ⋅Γ

∫ ∫

∫

En consecuencia, ( 1) ( ).s s sΓ + = ⋅Γ

c. Al reemplazar n por s en la conclusión de la parte b se obtiene( 1) ( ).n n nΓ + = ⋅Γ

Al utilizar en forma reiterada en la última igualdad la conclusión de laparte b, se puede escribir entonces:

( ) (( 1) 1) ( 1) ( 1).n n n nΓ = Γ − + = − ⋅Γ −

( 1) (( 2) 1) ( 2) ( 2),..., (3) 2 (2) 2 (1 1) 2 1.n n n nΓ − =Γ − + = − ⋅Γ − Γ = ⋅Γ = ⋅Γ + = ⋅

Luego( 1) ( 1)( 2) 2 1 !n n n n nΓ + = − − ⋅⋅⋅ ⋅ =

Teniendo en cuenta b se deduce que:

0!x ne x dx n

+∞ − =∫



Módulos 12 al 17

I. Notación sigma

En los ejercicios 1 a 5 escriba en forma de sumatoria la suma dada.

1. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 .

2. 1 + 5 + 9 + 13 + 17.

3.1 1 1 1 1 .4 5 6 7 8+ + + +

4. ln 4 + ln 6 + ln 8 + ln 10.

5. 3 5 641 2 3 4 5.+ + + +

6. Suponga que 10 10 10

1 1 1( ) 8, ( ) 3 y ( ) 5.

i i i

f i g i h i= = =

= = =∑ ∑ ∑

Calcule el valor de la expresión indicada en los ejercicios a-e.

a.10

1[ ( ) ( ) ( )].

i

f i g i h i=

+ +∑ b.10

1[ 2 ( ) 3 ( ) 3 ( )].

i

f i g i h i=

− + −∑

c.10 10

1 13 [ ( ) 2 ( )] 3 [2 ( ) ( )].

i i

f i g i g i h i= =

+ − +∑ ∑ d.10 10

1 1[ ( ) 2 ( )] 4 ( ).

i i

f i g i h i= =

− +∑ ∑

e.10 10 10

1 1 1[ ( ) 2 ( )] + [2 ( ) ( )] + 2 [ ( ) f ( )] .

i i i

f i g i g i h i h i i= = =

+ − −∑ ∑ ∑

7. Calcule el valor de las sumas dadas en los ejercicios a-g.

a.5

1(8 3 ).

i

i=

+∑ b.7

2

1(8 ).

k

k=

+∑ c.5

3

1(1 ) .

i

i=

+∑

d.10

1

3 .2m

m=∑ e.

52

2

1 .4i

i

i i=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ f.40

1

1 1 .1k k k=

⎡ ⎤−⎢ ⎥+⎣ ⎦∑

g.1

13( ).

m

k kk

a a+

−=

−∑


188

8. Demuestre la siguiente fórmula:

1

1

= ; 1.1

nni

i

r rr r

r

+

=

−≠

−∑

(Ayuda: llame 2 3

1 = = ... +

ni n

i

S r r r r r=

+ + +∑ y considere la diferencia ).S rS−

9. En los literales a-f evalúe las sumas dadas.

a.3

2

2( ).

k

k k=−

+∑ b.4

2(2 1).

j

j=−

−∑ c.17

1

( 1) .k

k k

+

=

−∑

d.7

2

1( 1) .

i

i=

+∑ e.5

1

1(2 2 ).r r

r

−

=

−∑ f.3 3

1 12 3 .i j

j i= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

10. Determine para cuál(es) de los literales a-d se verifica la igualdad:

a.3

1 4( 3) .

n n

i i

i i+

= =

+ =∑ ∑ b.1 1(2 ) 2 .

n n

j j

j j= =

+ = +∑ ∑

c.5 5

0 1.k k

k k

a a= =

=∑ ∑ d.2

2

1 1.

n n

r rr r

a a= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

11. Demuestre que 1 1 1 1

. .m n n n

i j i jj i i j

a b a b= = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

12. a. Si 3 3 2

1 1( 1) ( 3 3 1),

n n

k k

k k k k= =

+ = + + +∑ ∑ y si además 1

3 3

1 2( 1) ,

n n

k k

k k+

= =

+ =∑ ∑ demuestre que

2

1

( 1)(2 1).6

n

k

n n nk

=

+ +=∑

b. Partiendo de la igualdad 3 3 2

1 1[ ( 1) ] [3 3 1]

n n

k k

k k k k= =

− − = − +∑ ∑ demuestre que

2

1

( 1)(2 1) .6

n

k

n n nk

=

+ +=∑

13. Demuestre las partes i, iii, iv y v del teorema 1 del módulo 12.

Ejercicios de los módulos 12 al 17


II. Partición de un intervalo

1. Dadas las siguientes particiones:

{ }1 0, 1 2, 5 4, 9 4, 3P = una partición de [0,3] ;

{ }2 1,5 3,9 4,8 3,3P = una partición de [1,3] ;

{ }3 0, 1 2, 3 4, 5 4, 3 2, 9 4, 3P = una partición de [0,3];

{ }4 1, 1 3, 1 2, 1,5 4, 2P = − − una partición de [ 1,2]− :

a. Determine los subintervalos en los cuales cada partición divide al intervalo dado. Encuentre

1 2 3, ,P P P y 4P .

b. Seleccione dos particiones del intervalo [0,3] , tales que una de ellas sea más refinada que la otra.

2. Sea la función ( )f x x= definida en el intervalo [0,1] y sea { }0, 1 4, 1 3, 1 2, 2 3, 3 4, 1P = una parti-

ción de [0,1] .

a. Halle los subintervalos en los cuales P divide al intervalo [0,1] . ¿Cuál es la norma de la partición?

b. Si kM y km representan el máximo y mínimo valor de ( )f x en el k-ésimo subintervalo, respecti-vamente, halle

6

1k k

k

M x=

Δ∑ y 6

1.k k

k

m x=

Δ∑

3. Sea { }0 1 2, , , , nP x x x x= … una partición de [ , ]a b . Demuestre que:

a. { }1 0 1, , , nP x c x c x c= + + +… una partición de [ , ].a c b c+ +

b. { }2 0 1, , , nP kx kx kx= … una partición de [ , ],ka kb si 0.k >

III. Integral de Riemann

En los ejercicios 1 a 7 use la definición de la integral definida (según Riemann) para calcular ( ) ,b

af x dx∫ siendo f (x) la

función dada, tomando una partición regular del intervalo [a, b] y eligiendo las it como se enuncia en cada caso.

1. ( ) f x x= en el intervalo [1, 3] ; it : extremo derecho del i-ésimo subintervalo (rectángulos circunscritos).

2. ( ) 2 1,f x x= + en el intervalo [0, 5]; it : extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo (rectángulos inscritos).


190

3. 2( ) ,f x x= en el intervalo [1, 4]; it : extremo derecho del i-ésimo subintervalo.

4. ( ) 2 3,f x x= + en el intervalo [0, 4]; 4 i

it

n= .

5. 2( ) 1,f x x= − en el intervalo [ 2]; 3 1 i

it

n= − + .

6. ( ) 6 ,f x x= − en el intervalo [1, 4]; it : extremo derecho del i-ésimo subintervalo (rectángulos inscritos).

7. ( ) 6 ,f x x= − en el intervalo [0, 4]; it : extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo (rectánguloscircunscritos).

8. Demuestre, usando la definición de la integral definida, que:

.b x b a

ae dx e e= −∫

(Ayuda: tome una partición regular del intervalo [a, b], it : extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo. Use parala suma el ejercicio número 8 del apartado I «Notación sigma» y en el límite use la regla de L´Hopital.)

IV. Propiedades de la integral definida y teorema del valor medio

1. En los literales a-i coloque una V o una F según sea verdadero o falso el enunciado correspondiente.Justifique su respuesta.

a. ______ Si ( )f x y ( )g x son integrables en [a, b], entonces su suma es integrable en [a, b], y la integral de la suma es la suma de las integrales de cada función.

b. ______ Si ( )f x y ( )g x son integrables en [a, b], entonces su producto es integrable en [a, b], y laintegral de su producto es el producto de las integrales de cada función.

c. ______ Si ( )f x y ( )g x son integrables en [a, b], entonces su cociente es integrable en [a, b], y la integralde su cociente es el cociente de las integrales de cada función.

d. ______ Si ( )f x y ( )g x son integrables en [a, b] y ( )f x ≥ ( )g x para todo [ , ]x a b∈ , entonces

( ) ( ) .b b


e. ______ Si ( )f x es continua y ( )f x ≥ 0 para todo [ , ]x a b∈ , entonces

( ) 0.b

af x dx ≥∫



f. ______ Si ( ) 0,b

af x dx ≥∫ entonces ( )f x ≥ 0 para todo [ , ].x a b∈

g. ______ Si ( ) 0,b

af x dx =∫ entonces ( )f x = 0 para todo [ , ]x a b∈ .

h. ______ Si ( )f x ≥ 0 y ( ) 0,b

af x dx =∫ entonces ( )f x = 0 para todo [ , ].x a b∈

i. ______ Si ( ) ( ) ,b b

a af x dx g x dx≥∫ ∫ entonces [ ( ) ( )] 0.

b

af x g x dx− ≥∫

En los ejercicios 2 a 11 suponga que f (x) y g (x) son funciones continuas en ℜ y que además:

3 5 5

1 3 1( ) 4; ( ) 3 ; ( ) 2.f x dx f x dx g x dx= = = −∫ ∫ ∫

Calcule el valor de la expresión indicada:

2.1

1( ) .f x dx∫

3.5

1[ ( ) 4 ( )] .f x g x dx−∫

4.1

32 ( ) .f x dx−∫

5.1

5[ ( ) ( )] .f x g x dx+∫

6.3 2 5

2 1 14 ( ) 4 ( ) 2 ( ) .f x dx f x dx g x dx+ −∫ ∫ ∫

7.3 3

1 5( ) 4 ( ) .f x dx f x dx+∫ ∫

8.5 5 2

1 2 1( ) 3 ( ) 3 ( ) .f x dx g x dx g x dx+ +∫ ∫ ∫

9.3 5

1 3[2 ( ) ( )] ( ) .f x g x dx g x dx+ +∫ ∫

10.5 3

3 1[ 3 ( ) 4 ( )] 4 ( ) .f x g x dx g x dx− + +∫ ∫

11.3 5

1 3[2 ( ) + 7 ( )] [4 ( ) 7 ( )] .f x g x dx f x g x dx− −∫ ∫

12. Sean ( )f x y ( )g x dos funciones tales que 4 7 7

1 4 1( ) = 3, ( ) = 2 y 3 ( ) 6.f x dx f x dx g x dx− =∫ ∫ ∫

Calcule 1

7[5 ( ) ( )] .f x g x dx+∫


192

13. Calcule 5

0( )f x dx∫ en cada uno de los siguientes casos:

a.

si 0 1( ) 1 si 1 3

4 si 3 5

x x

f x x

x x

≤ <⎧⎪= ≤ ≤⎨⎪ − < ≤⎩

b. 2 si 0 2

( )6 si 2 5x x

f xx x

+ ≤ <⎧= ⎨ − ≤ ≤⎩

14. En los literales a-f halle el valor de cada una de las siguientes integrales definidas:

a.2

2 .x dx

−∫ b.5

3 3 .x dx

−−∫ c.

3

3 .x dx

−∫

d. ( )3

3 x x dx

−−∫ e.

4

0 1 .x dx−∫ f. ( )4

22 3 x x dx

−−∫ .

15. En los literales a-f siguientes encuentre un par de valores M y m tal que

( ) ( ) ( ).b

am b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

a.7

64 .x dx∫ b.

5 2

13 .x dx

−+∫

c.1 3 2

3( 8 5 3) .x x x dx

−

−+ − +∫ d.

1

0

1 .2

xdx

x

−−∫

e.2 2

0(3 4 7) .x x dx+ −∫ f.

3 2 1 3

0( 3) .x dx+∫

16. Si f es continua en [ , ]a b , demuestre que ( ) ( ) b b

a af x dx f x dx≤∫ ∫ (sugerencia: ( ) ( ) ( )f x f x f x− ≤ ≤ ).

17. Encuentre el valor de c que satisface el teorema del valor medio para integrales si:

a.2 2

1

7 .3

x dx =∫ b.0 3

2 4.x dx

−= −∫ c.

2 2

0

32( 3 1) .3

x x dx+ + =∫

18. Para los literales a-e verifique la validez del teorema del valor medio para integrales y determine el valor (s) de C dela conclusión:

a. 2( ) 1f x x= + en [0, 1].

b. 2( ) 2f x x x= + + en [ 1,− 1].

c. 2( ) 4 3f x x= − en [ 1,− 1].



d. ( ) xf x e= en [0, 1].

e. 2( ) 9f x x= − en [0, 3].

19. Demuestre que el teorema del valor intermedio garantiza que la ecuación 3 24 3 0x x x− + + = tiene una raízentre 1 y 2.

20. Dé un ejemplo de una función para la cual ( ) 0f x ≥ para todo x de [ , ]a b , ( ) 0f x > para algún x de [ , ]a b

y además ( ) 0.b

af x dx =∫

21. Supóngase que f es una función para la cual 0 ( ) 1f x≤ ≤ si 0 1.x≤ ≤ Demuestre que existe al menos un

número c en [0,1] tal que ( )f c c= (sugerencia: haga ( ) ( ) g x f x x= − ).

V. Teoremas fundamentales del cálculo

En cada uno de los ejercicios 1 a 6 utilice el primer teorema fundamental del cálculo para calcular la derivada que seindica.

1.2 2

14 .

xDx t dt+∫ 2. 3

22 .

xDx t dt+∫

3.21 2

5 7( 1) .

x

xDx t dt

+

−+∫ 4. 2 2

( 2) .x

xDx t dt

− ++∫

5. 3

2

23 .

x

x xDx t dt

+

++∫ 6.

2

2

2

8

1 , 0.x

xDx dt t

t>∫

7. Una función F está definida para todo x real por la fórmula 20( ) 3 .

1x t

F x dtt

= ++∫ Halle un polinomio

cuadrático 2( )P x ax bx c= + + tal que: (0) (0), (0) (0) y (0) (0).P F P F P F′ ′ ′′ ′′= = =

8. Encuentre una función f y un valor de la constante c, tal que:

1( ) cos 2

x

cf t dt x= −∫ para todo .x∈ℜ

En los ejercicios 9 a 22 calcule la derivada de la función F(x) dada.

9.5 4 2

1( ) (sen ) .F x t dt= ∫ 10. 2 4

1( ) (sen ) .

xF x t dt= ∫

11.1 2 2

3( ) sen cos .

x

xF x t dt t dt= +∫ ∫ 12. 4

4( ) .

x tF x e dt−= ∫

13. 2

2( ) 1 .

xF x t t dt= + +∫ 14.

4( ) .

x tF x x e dt= ⋅ ∫


194

15.2

2

2( ) 1 .

xF x t dt= +∫ 16.

31

1( ) .

x t

xF x xe dt

+

−= ∫

17. 2

2( ) cos .x

xF x u du= ∫ 18.

3 3

22

2 ( ) .

1

x

xu du

F xx

+=

+∫

19. 32

3

4( ) .

x tF x

e dt−=

∫20.

2

3

43

( ) .1

1x

xF x

dtu

=

+∫

21.

23

2

23 2

( ) .

x t

t

x

te dtF x

t e dt=∫∫

22. 1( )

1( ) ( ) .

xg t dt

F x f t dt∫= ∫

En los ejercicios 23 a 28 calcule el límite indicado usando la regla de L´Hopital.

23. 0

0

sen lim .

x

x

tdt

tx→

∫ 24.2

121

1 lim .

1

x

x

t dt

x→

+

−∫

25. 20

0

3lim .

xx u

x

e du→ −∫26.

2

121

1 lim .

1

x

x

x t dt

x→

+

−∫

27.3

0

0

1 lim .

8

x

x

t t dt

x→

+∫28. 0

30

(1 cos ) lim .

x

x

t dt

x→

−∫

29. Determine los intervalos donde crece y decrece, así como también los extremos relativos, de la función:

21

23( ) .

1x t

f x dtt

−=

+∫

30. Determine los intervalos de concavidad de la gráfica, así como los puntos de inflexión, de la función:

2

1( ) ( 2 1) .

x tf x t t e dt= − +∫

31. En los literales a-t evalúe cada una de las siguientes integrales definidas:

a.5 2

0(3 5 1) .x x dx+ −∫ b.

3

31.

( 2)dy

y− +∫ c.3

2 31

.(3 1)

x dx

x −∫

d.2

23 .x dx

−−∫ e.

1

1 .x x dx

−−∫ f.

5 2

0(3 5 1) .x x dx+ −∫

g.3

31.

( 2)dy

y− +∫ h.3

2 31

.(3 1)

x dx

x −∫ i.5 2

09 .x x dx−∫



j.1 2

0sen ( ) .x x dx∫ π k.

1

30

1 .( 1)

dtt t +∫ l.

22

21

1 11 .dtt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

m.6 4sen 3

0cos3 .xe x dx⋅∫

πn.

8

1

1 .(3ln 4)

dxx x +∫ o.

4 4

0.x dx

ex

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

p.5

1

2 3 1

dxx+ −∫ , haciendo 2 1.t x= −

q.3

1

3 1 7 8

xdx

x

++∫ , haciendo 7 8.u x= +

r.1

0

3 4

dxx+∫ , haciendo .x u=

s.5

22

(3 1)x

dxx +∫ , haciendo 3 1.w x= +

t.7

1

4 5 4 9

dxx− + +∫ , haciendo 4 9 .x u+ =

32. La ley de acción de masa en química resulta de la ecuación diferencial:

( )( ); 0, 0, 0,dxk a x b x k a b

dt= − − > < >

donde x es la cantidad de sustancia en el momento t que resulta de la reacción de otras dos. Suponga quex = 0 cuando t = 0.

i. Resuelva esta ecuación diferencial en el caso en que b > a.

ii. Demuestre que lim ( )t

x t a→∞

= (si b > a).

iii. Suponga que a = 2 y b = 4 y que se forma 1 g de la sustancia en 20 minutos. ¿Cuánto habrá en 1 hora?

iv. Resuelva la ecuación diferencial si a = b.

33. En muchos problemas de crecimiento de la población hay una cota superior que no puede rebasarse.Supongamos que la Tierra no soporta una población de mas de 16.000 millones y que había 2000 millonesde habitantes en 1925 y 4000 millones en 1975. Entonces, si ( )y t es la población en t años después de 1 9 2 5 ,un modelo apropiado para ésta es la ecuación diferencial:

(16 ).dyKy y

dx= −


196

i. Resuelva esta ecuación diferencial.

ii. Encuentre la población en el año 2015.

iii. ¿Cuándo la población será de 9000 millones?

34. Los bioquímicos han propuesto el modelo

( )( )dyk A y B y

dx= − +

como un modelo para la producción de la tripsina a partir del tripsinógeno en la digestión, donde k > 0, Aes la cantidad inicial de tripsinógeno y B es la cantidad inicial de tripsina. Resuelva la ecuación diferencial.

35. La ecuación diferencial

( )( ),dyk y m M y

dx= − − con 00; 0 ,k m y M> ≤ < <

ha sido utilizada para modelar algunos problemas de crecimiento. Resuelva esta ecuación diferencial y

encuentre lim ( )t

y t→∞

.

36. Si m, n son enteros positivos, demuestre que:

0 sisen sen

sin m

mx nx dxn m−

≠⎧⋅ = ⎨ =⎩

∫π

π π

37. Calcule cos cos mx nx dx−

⋅∫π

π; .m n≠

38. Sea 1

( ) sen ( )N

nn

f x a nx=

= ∑ . Utilice el ejercicio 36 para comprobar cada una de las siguientes integrales:

a.si1 ( ) sen ( )

0 sima m N

f x mx dxm N−

≤⎧= ⎨ >⎩

∫π

ππ

b.2 2

1

1 ( ) .N

nn

f x dx a−

=

= ∑∫π

ππ

Las integrales de este tipo aparecen en las llamadas series de Fourier, que tienen aplicaciones en el calor,la vibración de una cuerda y otros fenómenos físicos.

Recuerde que:

1sen sen [cos ( ) cos ( )],2

⋅ = − − +α β α β α β

1cos cos [cos ( ) cos ( )].2

⋅ = + + −α β α β α β



39. Teorema de Pitágoras para integrales definidas

Sean f, g y h tres funciones que satisfacen las siguientes condiciones:

( ) a cg x f x

c a⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y ( ) ,b ch x f x

c b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

siendo a, b, c enteros positivos que cumplen 2 2 2.a b c+ =

Demuestre que:

0 0 0( ) ( ) ( ) .

a b cg x dx h x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫

Esto indica que las áreas de regiones similares construidas en dos catetos de un triángulo rectángulo esigual al área construida sobre la hipotenusa.

Geométricamente es como se muestra en la figura 1:

Figura 1

V. Integrales impropias

1. Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias (a-n). Para las convergentesdetermine su valor.

a. 2

1 .xx e dx

+∞ −∫ b.2

4 .xxe dx

+∞ −∫ c.2

5 .dx

x

−

−∞∫

d. 3 2

.9

x dx

x

+∞

+∫ e.

0 3 .xe dx−∞∫ f. 1

.3

dx

x

+∞

∫

g. 22 (ln )dx

x x

+∞

∫ h. 2 (ln )dx

x x

+∞

∫ i.0

3 .(2 1)

dx

x−∞ −∫

j. 2 .

4

xdx

x

+∞

−∞ +∫ k. 2 2 .

( 9)x

dxx

+∞

−∞ +∫ l. 2

1 .2 5

dxx x

+∞

−∞ + +∫

m.0

sen .xe x dx+∞ −∫ n.

0( sen ) .x x dx

+∞

∫


2. Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias del tipo II. Para las convergentesdetermine su valor.

a.2

1 31.

( 1)dx

x −∫ b.1

0 2.

1

dx

x−∫ c.

3

20 .

9x

dxx−∫

d.4

2 32.

(3 )dx

x−∫ e.0

2 2 33

.( 4)

x dx

x− −∫ f.2

20

3 .2

dxx x+ −∫

g.1

41.dx

x−∫ h.2

0 2.

2

dx

x x−∫ i. 1 2

.1

dx

x x

+∞

−∫

3. La función gamma ( )Γ está definida por:

1

0( ) ;u xx e u du

+∞ − −Γ = ⋅∫ 0x > .

a. Demuestre que 0

( 1) .u xx e u dx+∞ −Γ + = ∫

b. Integrando por partes, muestre que ( 1) ( ).x x xΓ + = Γ

c. Demuestre que (1) 1.Γ =

d. Usando los resultados b y c demuestre que si ,n +∈ entonces ( 1) !n nΓ + =

4. Usando la función gamma calcule las siguientes integrales impropias:

a.3

0 .xe dx

+∞ −∫ b.3

0 .xxe dx

+∞ −∫ c.2 2

0 h xe dx

+∞ −∫ (h constante).

5. Demuestre que 2 2

10

12

2n h x

n

n

x e dxh

+∞ −+

+⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠=∫ ; 1n > − .

6. En la teoría electromagnética, el potencial magnético u de un punto sobre el eje de una bobina circular estádado por:

2 2 3 2 ,( )a

dxu Ar

r x

∞=

+∫

donde A, r y a son constantes. Evalúe u.


7. Demuestre que la integral impropia 3x dx+∞

−∞∫ diverge, pero 3lim 0.x dx∈

−∈∈→+∞=∫

8. Demuestre que la integral impropia 2xx e dx

+∞ −

−∞∫ converge a 0 (cero).

9. Pruebe que 2

0R x

Rx e dx−

−=∫ para todo 0.R ≥

10. Discuta la verdad o falsedad de la siguiente igualdad. Razone su respuesta.

( ) lim ( ) .R

RRf x dx f x dx

+∞

−∞ −→∞=∫ ∫


Integral - Profesor Jaime Jaramillo - Inicio · Notación sigma ()∑ y partición de un intervalo...

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