342

Unidad 9

2. Expresa cada una de las transformaciones lineales siguientes como una sucesión de expansiones, compresiones, reflexiones y cortes (se da la representación matricial de la transformación lineal).

a) 2 15 0

b) 3 2

1 4

c) 3 64 2

3. Encuentra la matriz de las siguientes rotaciones y di si se puede expresar como producto de extensiones, compresiones, cortes y reflexiones.

a 180o

b 270o

9.2. Isometrías

En unidades anteriores estudiamos espacios vectoriales con producto interno y norma. Vamos ahora a estudiar las transformaciones lineales entre estos espacios vectoriales.

Primero probaremos una propiedad de las matrices referente al producto interno.

Teorema 9.3. Sea A una matriz de orden m n. Sean x ∈ Rn, y ∈Rm vectores cualesquiera, entonces A ( )x y x (At y)

Observa que la parte derecha de la igualdad corresponde al producto interno de Rn, mientras que la parte izquierda corresponde al producto interno de Rm.

Este teorema nos indica que el producto de matrices conserva el producto interno.

Recordemos algunos resultados vistos en unidades anteriores: si A es una matriz de n n.

Álgebralineal

343

1) Una matriz A es ortogonal si es invertible y A–1 = At.

2) Una matriz A es ortogonal si y sólo si las columnas de A son una base ortonormal de Rn.

Si tenemos una transformación lineal T: Rn Rn cuya representación matricial A es ortogonal, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )Tx Ty Ax Ay x A Ay x A Ay x Iy x y t 1

En particular si x = y, Tx Tx = x x de donde Tx x .

Definamos estas transformaciones especiales:

Definición 9.8. Sea T: Rn Rn una transformación lineal, entonces T se llama isometría si para cada x en Rn se tiene que T x x .

Ejemplo 9

1. Sea T: R2 R2 una transformación lineal definida por

T xy

xy

12

12

12

12

vamos a probar que T es isometría.

Sea x = xy

1

1

entonces T

xy

xy

x y

x1

1

12

12

12

12

1

1

12 1

12 1

12 1

12

yy1

por

tanto

T(x) T(x)

12

12

12

12

12

12

12

12

1 1

1 1

1 1

1 1

x y

x y

x y

x y

= 12

12

12

121 1

2

1 1

2

x y x y

= x12 + y1

2 = x • x

344

Unidad 9

De donde podemos asegurar que T es isometría.

Combinando el hecho de que las isometrías son transformaciones lineales, se tiene el siguiente resultado:

Teorema 9.4. Sea T: Rn Rn una isometría, entonces

i) T T( ) ( )x y x y- = -

ii) T(x) T(y) = x y

Este teorema nos indica que una isometría preserva la magnitud de un vector y el producto interno o escalar.

Recordemos que el producto interno de dos vectores es un escalar.

Si la transformación lineal tiene una representación matricial ortogonal, entonces es una isometría. El siguiente resultado nos dice que las isometrías se caracterizan por tener representaciones matriciales ortogonales.

Teorema 9.5. Una transformación lineal T: Rn Rn es isometría si y sólo si su representación matricial es ortogonal.

Tomaremos la isometría del ejemplo anterior para probar que su representación matricial es ortogonal.

Ejemplo 10

Sea T: R2 R2 una transformación lineal definida por

Txy

xy

12

12

12

12

; por el ejemplo 9 sabemos que es una

isometría.

Vamos a probar que su representación matricial

Álgebralineal

345

A = 1

212

12

12

es ortogonal.

La matriz inversa de A es A–1 = 1

212

12

12

= At. Por lo tanto A es ortogonal.

¿Cómo se caracterizan las isometrías de R2 en R2?

Sea T: R2 R2 una isometría, y sean e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) los vectores de la base canónica. Sabemos que estos vectores son ortonormales, es decir, su magnitud es 1 y su producto interno es 0.

Como T es una isometría, conserva el producto interno y las magnitudes, por lo tanto las imágenes de estos vectores T(e1) y T(e2) son también un conjunto ortonormal.

Un vector unitario en R2 puede escribirse usando las siguientes equivalencias (ver rotaciones) x = cos y = sen donde es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo x.

Para encontrar la representación matricial de T necesitamos las imágenes de los vectores e1 y e2. T(e1) = (cos sen y T(e2) = (cos , sen ).

346

Unidad 9

Como son ortogonales, de donde

cos cos ( coscossensensen sen () = sencoscossen

Sin embargo cossen entonces

cos cos (sensen sen () = cos

por tanto T(e1) = (cos sen y T(e2) = (cos , sen ) = (– sen , cos ).

Con estos vectores formamos la representación matricial de T:

A =cos

cos

sensen

Notemos que esta matriz es la representación de una rotación.

Sin embargo, si tomamos como base los vectores u1 = (1, 0) y u2 = (0, –1) que también son ortogonales, tendremos como representación matricial la matriz de una reflexión seguida de una rotación:

El siguiente resultado nos confirma estos hallazgos:

Teorema 9.6. Si T: R2 R2 es una isometría, entonces T es:

i) una transformación de rotación, oii) una reflexión respecto al eje x seguida de una rotación.

Ejemplo 11

Consideremos la transformación lineal T definida por

Txy

xy

12

12

12

12

. Por el ejemplo 9 sabemos que es una isometría.

Vamos ahora a probar que es una rotación o una reflexión seguida de una rotación.

Álgebralineal

347

Si recordamos un poco de trigonometría, en un triángulo rectángulo

equilátero, el sen 45o = cos 45o =12

, por tanto

12

12

12

12

= sen

sen secos

coscos45 45

45 451 00 1

45

nnsen

4545 45

cos

que corresponden a las matrices de una reflexión seguida de una rotación.

Las isometrías tienen propiedades interesantes:

Teorema 9.7. Si T: Rn Rn es una isometría, entonces

i) Si {u1, u2, ..., un} es un conjunto ortogonal, entonces {T(u1), T(u2), ..., T(un)}es un conjunto ortogonal. ii) T es un isomorfismo. iii) T preserva ángulos.

Es importante hacer notar que si T es un isomorfismo, no necesariamente es una isometría.

Ejemplo 12

Sea T: R2 R2 la transformación lineal definida por T(x) = 2x.Consideremos el vector v = (1, 0), entonces v v v 1 0 12 2 ,

sin embargo T v v v T ( ) ( ) ( , ) ( , )i iT 2 0 2 0 2 0 22 2

de donde podemos asegurar que T no conserva longitudes, y por tanto no es una isometría.

También podríamos haber hecho el siguiente análisis:

La representación matricial de T respecto a la base canónica es 2 00 2

,

pero 2 00 2

1 00 2

2 00 1

que representan una expansión a lo largo del eje

348

Unidad 9

x con c = 2 seguido de una expansión a lo largo del eje y con c = 2, y por lo tanto no corresponde a ninguna de las caracterizaciones de las isometrías y es isomorfo porque R2 a R2 son de la misma dimensión.

Ejercicio 2

1. Di si la transformación lineal T: R3 R3 definida por

T(x) = sen

sen

coscos

00

0 0 1

x es una isometría.

2. Di si las siguientes matrices representan isometrías y di si es rotación o rotación seguida de reflexión:

a) 0 11 0

b) sensencos

cos

c)

1 00 1

Ejercicios resueltos

1. Escribe la representación matricial de la reflexión con respecto al eje y y bosqueja la región obtenida al aplicar la transformación al rectángulo: