Evidencia de aprendizaje.Resolver la ecuación diferencial ordinaria y ' '=2g por el método del operador anulador. Obtener las solución general y la solución particular (2,1) sabiendo que la primera derivada es igual a 1 cuando x=2 y g es 9.81.

Determinar la gráfica correspondiente, considerando las condiciones mencionadas, es decir:

x0=2 , y0=1 y x0=2 , y0=1

Primeo expondré que la solución general es la suma de la general de la homogénea más una solución particular de la completa.

La solución homogénea sería y ' '=0 la ecuación característica es k 2=0

Que tiene dos soluciones repetidas k=0 por lo que la solución general de la homogénea es

ygh=C1 · e0 x+C 2· x· e0 x=C1+C2 · x

Para calcular la solución particular buscamos el anulador de la función de la parte derecha.

Dicha función es una constante 2g=2 g· x0

El anulador Dn+1 anula los polinomios 1 , x , x2 , ... , xn y sus combinaciones lineales, luego para anular 2g x0 sirve el anulador D1=D

La ecuación original con el operador D es

(D2) y=2g

Y aplicando el anulador en ambos lados tendremos

D(D2) y=D 2g=0

(D3) y=0

La solución general de esta ecuación es

C1+C 2· x+C 3 · x2

Como C1+C 2· x es la general de la homogenea, la particular de la completa será

ypc=C 3· x2 A falta de calcular C3 por el método de coeficientes indeterminados

Primero calculamos la derivada segunda

ypc '=2C3 · x

ypc ' '=2C3

Y ahora sustituimos en la ecuación completa

2C3=2g

C3=g

Por lo tanto la solución general de la completa es

ygc=C 1+C2· x+g x2

La solución particular en y (2)=1, y ' (2 )=1 se calcula de la siguiente manera:

y (2)=C1+2C2+4 g=1

y '=C 2+2gx

y '(2)=C 2+4 g=1

Después de resolver este sistema nos queda:

C2+4 g=1

C1+2C2+4 g=1

En la primera despejamos

C2=1−4g

Y sustituimos en la segunda

C1+2−8g+4 g=1

C1=4 g−1

Luego la solución particular con esas condiciones es

y= (4 g−1 )+ (1−4 g ) x+g x2

Sustituyendo nos queda:

y=38.24−38.24 x+9.81x2