Libro secundaria 2 bloque 1

BLOQUE 1

M. C. Escher“Liberación”Litografía, 1955.

30

31

EJESAprendizajesesperados

Figuras y cuerpos

Medida

Proporcionalidady funciones

Nociones deprobabilidad

Análisis yrepresentación de datos

Sentido numérico ypensamiento algebraico

Forma, espacioy medida

Manejo de la información

• Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los expo-nentes y de la notación científica.

• Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

• Resuelve problemas que implican el cálcu-lo de porcentajes o de cualquier término de la relación:Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recur-sivos.

• Compara cualitativa-mente la probabilidad de eventos simples.

• Resolución de multiplicacio-nes y divisiones con númerosenteros.

• Cálculo de productos y co-cientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un nú-mero natural a una potencia de exponente negativo.

• Identificación de relacio-nes entre los ángulos que se forman entre dos rectasparalelas cortadas por unatransversal. Justificaciónde las relaciones entre lasmedidas de los ángulosinteriores de los triángulos y paralelogramos.

• Construcción de triángulos con base en ciertos datos.Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

• Resolución de problemasque impliquen el cálculo de áreas de figuras compues-tas, incluyendo áreas late-rales y totales de prismas ypirámides.

• Resolución de problemasdiversos relacionados conel porcentaje, como aplicarun porcentaje a una canti-dad; determinar qué por-centaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad cono-ciendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

• Resolución de problemasque impliquen el cálculode interés compuesto,crecimiento poblacional u otros que requieran proce-dimientos recursivos.

• Comparación de dos omás eventos a partir de susresultados posibles, usandorelaciones como:“es más probable que…”,“es menos probable que…”.

• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

Problemasmultiplicativos

Competencias que se favorecen:• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

CONTENIDO:

TEMA

32

En primero de secundaria estuviste trabajando con simetrías, ¿recuerdas?Vamos a trabajar ahora con tu tablero de números positivos y negativos, en este tablero podemos trabajar con números positivos y negativos.

Imagina que la línea que divide en dos partes tu tablero es tu eje de simetría.

Para esta actividad vas a trabajar con un compañero.

2 Colorea tu diseño de acuerdo al valor de las regletas.

3 Ahora responde las siguientes preguntas:

• ¿Qué valor toma el simétrico de la regleta roja?

• ¿Y el simétrico de la regleta rosa?, ¿y el de la amarilla?

Uno de ustedes haga un diseño libre con regletas en el lado positivo del tablero y su compañero haga en diseño simétrico en el lado negativo del tablero.

1 Ahora traza en tu libro el simétrico del siguiente diseño.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Resolución de multiplicacio-

nes y divisiones con números

enteros.

Pro

blem

as m

ulti

plic

ativ

os

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico32

Los números ysus simétricos

ACTIVIDAD 1

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 33

Problemas multiplicativos •

6 Colorea tu diseño de acuerdo al valor de las regletas.

Responde las preguntas:

• ¿Qué valor toma el simétrico de –r?

• ¿Qué valor toma el simétrico de –R?, ¿y el de –v?Es decir:

El simétrico de -r es

El simétrico de -R es

El simétrico de -v es

De acuerdo….ahora te proponemos algo: para evitar escribir tantas veces “el si-métrico”, cada vez que queramos encontrar un simétrico le pondremos un signo negativo (-), es decir que cada vez que veas este signo (-) junto a un número vas a pensar en el simétrico.

4 ¡Bien! Entonces tenemos que:

El simétrico de +r es

El simétrico de +v es

El simétrico de +a es

El simétrico de +R es

5 Ahora vamos a dibujar el simétrico del siguiente diseño:


• Problemas multiplicativos

4 El simétrico de +3 = -(+3) = -3

5 El simétrico de +a = -(+a) = -a

6 El simétrico de +5 = -(+5) = -5

7 El simétrico de +R = -(+R) = -R

8 El simétrico de +4 = -(+4) = -4

¿Fácil?...ahora observa los siguientes:

El simétrico de -r = - (-r) = +rEl simétrico de -2 = -(-2) = +2

El simétrico de -R = - (-R) = +REl simétrico de -4 = -(-4) = +4

El simétrico de -v = - (-v) = +vEl simétrico de -3 = -(-3) = +3

Cómo te habrás dado cuenta, encontrar el simétrico de un número equivale al mismo número pero con el signo contrario:

-(-6) = -(+6) =

-(+12) = -(-12) =

-(+17) = - (-17) =

• ¿Te has puesto a pensar que pasaría si queremos buscar el simétrico del simé-trico de una figura?

9 ¡Inténtalo en tu tablero! Construye un diseño, saca su simétrico y al diseño que construiste vuélvele a sacar su simétrico.

• ¿Qué sucedió?

• ¿A dónde regresaste al sacar el simétrico del simétrico?

1 El simétrico de +r = -(+r) = -r

2 El simétrico de +2 = -(+2) = -2

3 El simétrico de +v = -(+v) = -v

Retomemos los ejercicios que ya resolviste en la ac-tividad anterior sólo que ahora usaremos el signo (-) en lugar de escribir “simétrico”

ACTIVIDAD 2



Ponemos paréntesis para que podamos ver cuántas veces aplicamos el simétrico.

¡Así es!

- ( - ( + a ) ) =

- ( - ( + a ) ) = + a

¡doble simétrico equivale a no hacer nada!

Imagina que a este doble simétrico le asignamos el signo positivo (+) y cuando lo veas pensaras, “no hago nada”, ¿de acuerdo?

Observa:

El simétrico del simétrico de +8 significa “no le hagas nada” a +8

Es decir – (-(+8)) = +8

Entonces: Un signo negativo te dice “cámbiale el signo al número” Un signo positivo te dice “no le hagas nada al número”

Hagamos ejercicios¿Practicamos lo que aprendimos?

1 -(+4) =

2 + (-8) =

3 -(-4) =

4 +(+4) =

5 +(+8) =

6 -(-8) =

7 -(+8) =

8 -(+7) =

9 +(+15) =

10 -(-7) =

Ahora unos ejercicios más complicados:

1 +(+(-2)) =

2 -(-(-3)) =

3 +(-(+(-8))) =

4 -(+(-(+4))) =

5 -(-(+5)) =

11 -(-15) =

12 +(+7) =

13 +(-15) =

14 +(-7) =

15 -(+15) =

El simétrico del simétrico de una regleta amarilla, es decir de +a, lo representaría-mos como:



Podríamos hacer con tus regletas las siguientes operaciones o representaciones:

(r + r + r) que sería lo mismo que (3 veces r) Utilizaremos varias formas de escribir lo mismo, observa con atención:

3 veces r = 3r = 3 x 2 = 3 (2)

Construye la siguiente secuencia con tus regletas, pue-des usar tu tablero de positivos y negativos:

Vamos a multiplicar

1 4 veces r

2 2 veces N

3 8 veces 2

4 3 veces 10

5 5 ( 3)

6 6(8)

7 Duplica el 10

8 El triple de 10

9 El cuádruple de 2

10 El doble de 15

11 El triple de 4

12 3(4)

13 El cuádruple de 3

14 4(3)

Hasta aquí muy sencillo, ¿no?

• ¿Cuáles ejercicios te dan el mismo resultado?

- ( + ( - 3 ) ) = - ( - 3 ) = + 3

a (-3) primero no le hago nada, queda (-3)

a (-3) le saco su simétrico

Si te acostumbras a trabajar siempre así tus paréntesis, te ayudará a llevar un orden en el desarrollo de las operaciones.

6 +(+(+3)) =

7 -(-(-(-10))) =

8 -(+(-(-5))) =

Te recomendamos ir resolviendo los paréntesis siempre de adentro hacia afuera.

ACTIVIDAD 3



1 Representa en tu tablero, formando un rectángulo (4 veces r) y ahora representa (4 veces –r) ó (4 veces –2)

• ¿Dónde te quedó el rectángulo?

2 Representa (2 veces N) y ahora representa (2 veces –N) o (2 veces –10)

• ¿Cambia el tamaño del rectángulo?

• ¿Dónde dejarías el rectángulo, en el lado positivo o en el negativo?

3 Representa (8 veces 2) y (8 veces –2)

4 Representa (3 veces 10) y (3 veces –10)

5 Representa 5 (3) y 5 (–3)

6 6(8) y 6(–8)

7 Duplica el 10, y ahora duplica el –10

8 El triple de 10, y el triple de –10

9 El cuádruple de 2, y el cuádruple de –2

10 El doble de 15, y el doble de –15

11 El triple de 4, y el triple de –4

12 3(4), y 3(–4)

13 El cuádruple de 3, y el cuádruple de –3

14 4(3), y 4(–3)

Escribe los ejercicios anteriores en forma matemá-tica, usando sólo números, signos y paréntesis. Algunos de ellos ya los escribiste de esta forma:

8 3( –10 )

9 ____( 2 )

10 ______

11 ______

12 ______

13 ______

14 ______

1 4 ( –___ ) 2 2( –___ )3 ___ ( – 2 )

4 ___ ( ___ )5 5 ( ___ )

6 6 ( – 8 )

7 ___( –10 )

ACTIVIDAD 4



Operación Aplicando la propiedad conmutativa Resultado

4 (–2) –2 (4) – 8

2 (–5) –5 (2)

–9(10)

(+4)(–2)

(+7)(–1)

El simétrico de 6 veces –3 –3 veces el simétrico de 6

–6 (–3) 18

(–8) (+8)

(+9)(–9)

El simétrico de 5 veces -5 -5 veces el simétrico de 5

El simétrico de -5 veces -5

–(5) (–5)

–(–4)( 4)

(–4)(–4)

Con estos ejercicios te irás familiarizando con el uso de paréntesis en la multiplicación


–18

–25

¿Recuerdas la propiedad conmutativa?Si la aplicamos en la multiplicacion tenemos que 3 x 2 = 2 x 3. Es decir, que podemos alterar el orden de los factores sin alterar el resultado.

Aplica la propiedad conmutativa en los siguientes ejercicios.




Inventa algunos ejercicios usando al menos un signo negativo

Ahora analizaremos algunos ejemplos de tu tabla anterior:Cuando resolviste “El simétrico de (6 veces –3)” quiere decir que colocaste6 regletas “v” en la zona de los negativos de tu tablero de signos.

• Por tanto, ¿qué signo tiene el resultado?

Ahora, cuando resolviste el ejemplo (–8) (+8),

• ¿Qué signo tiene el resultado?

Analicemos la siguiente tabla:

Recuerda que decir el simétrico, equivale a cambiar de signo o de lugar un número en tu tablero de signos.

Operación Signos de los factoresResultado Signo del resultado

(+4)(–2)

(–4)(+2)

(+4)(+2)

(–4)(–2)

– 8

– 8

+ 8

+ 8

(+)(–)

(–)(+)

(+)(+)

(–)(–)

(–)

(–)

(+)

(+)



Observa y analiza todos los ejercicios que ya resolviste y responde:

• ¿Qué signo obtienes al multiplicar un número positivo por un número ne-gativo?

• ¿Y si multiplicas dos positivos?

• ¿Y dos negativos?

A lo que acabamos de hacer se le conoce como ley de los signos para la multiplicación y establece que:

Ahora inténtalo tú:

Operación Signos de los factoresResultado Signo del resultado

(+6)(–2)

(–3)(+2)

(+4)(+5)

(–4)(–8)

(3)(+5)

(–4)( )

(+5)(–12)

– 8

– 16

( – )

( – )

Combinación de signos Signo del resultado

(+)(+) (+)

(+)(-) (-)

(-)(-) (+)

(-)(+) (-)



¡Ahora a dividir!

• ¿Recuerdas cuál es la operación inversa a la suma?

• ¿Y cuál es la operación inversa a la multiplicación?

Vamos a retomar este conocimiento que ya tienes desde la primaria en la que sabes que si multiplicas un número por otro obtienes un resultado, y la operación inversa a la multiplicación es la división.

Observa detenidamente:

Sabemos que 3 veces 5 es igual a 15, ¿cierto?, es decir:

3(5)= 15 de ahí podemos deducir que 15/3 = 5 así como que 15/5 = 3

Lo mismo ocurre cuando estamos dividiendo números con signo

(+3)(-5) = -15 entonces -15/+3 = -5 así como -15/-5 = +3

(-3)(-5) = +15 entonces +15/-3 = -5 así como +15/-5 = -3

(-3)(+5) = -15 entonces -15/-3 = +5 así como -15/+5 = -3

(+3)(+5) = +15 entonces +15/+3 = -5 así como +15/+5 = +3

¿Puedes deducir de aquí la “Ley de los signos para la división”?

(+)/(+) (+)

(+)/(-) (-)

(-)/(-) (+)

(-)/(+) (-)

Combinación de signos Signo del resultado



Hagamos ejercicios

Operación Operación inversa

21 x 28 =

8 x ___ = 32

(6)(-6) =

(+8)(-6) =

(+12)(-6) =

-10 = (-5)(__)

+20 = (+5)(+__ )

+20 = (-5)(__)

-20 = (-5)(__)

-20 = (+5)(__)

549

=

427

=

-15-3

-15+3

+15-3

= +5

= -

= -

+15+3

= +5

1 Completa la tabla resolviendo los ejercicios e indicando las operaciones inversas que correspondan en cada caso:



-11 x 0 =1 (-3)(8) =16

(-5)(-6) = 2 (+1)(+2) = 17

(+7)(-1) = 3 (-6)(-6) = 18

(-8.5)(+5) = 4 (- )x(- ) =25

34

19

(-5)(+4)(-8) = 5 (- )x(- )(-3)=13

7620

(-2)(+5)(+1)(-3) = 6 (-6)(-3)(- )(-0.2)(-1)=34

21

(+9)(+7) = 7 ( )÷(+7) = 9 22

( )(+3) = +248 ( )÷(+3) =23

( )(-6) = -309 (-30)÷( ) =24

(-2)( ) = -810 (-8)÷(-2) =25

(-8.2)( ) =12 ( )÷(-1) = -8.227

(-7)( ) =13 (-7)÷( ) = -728

(-12)(+1) =14 (-12)÷( ) = +129

( )(-2.7) = 015 ( )÷(-2.7) =30

(- )(- ) =53

4711 ( )÷(- ) = -4

753

26

2 Resuelve los siguientes ejercicios. Si tienen dificultad con alguno, comentenlo con el maestro y el grupo.

En la etapa propedéutica de tu libro estuvimos trabajando con los aviones para representar los productos, ¿recuerdas?6 (4) se representa cruzando una regleta V y una R como si fueran

un avión:

V (R) = 6 (4) = 24

Cuando los productos tienen más de dos factores iguales, les llamamos torres.

(r) (r) (r) = 2 (2) (2)

Con una regleta de algún color busca qué altura tiene la torre.

• ¿Cuál fue?

Entonces podemos representar:

=

(r) (r) (r) = r 3 Exponente

Base

CONTENIDO:

TEMA

Cálculo de pro-ductos y cocien-tes de potencias enteras positivas

de la misma base y potencias de una poten-

cia. Significado de elevar un

número natural a una potencia de exponente

negativo.Pro

blem

as m

ulti

plic

ativ

os


Los aviones y las torres

Representa con tus regletas las siguientes torres y encuentra su altura. Da el resultado con notación en exponentes.

4 (4) (4) =

3 (3) (3) =

6 (6) =

5 (5) (5) (5) =

8 (8) (8) (8) (8) =

Vamos ahora a representar los siguientes productos:

• ¿Qué pasa si te pedimos que multipiques (r3) (r4) ?

• ¿Qué tienes qué hacer ?

Si lo desarrollamos tendríamos:

(r3) (r4) = (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r)

• ¿Qué altura tiene tu torre?

=(r3) (r4) = r 3 + 4 = r 7

1

2

3

4

5

¿Y si multiplicamos más?

Una potencia es el re-sultado de multiplicar un número (la base) por sí mismo varias veces.

base exponente

23 = 8

23 = 2 x 2 x 2 = 8

r 3 : r 4 :





Representa en forma de torre las siguientes expresiones y después escrí-belas en notación exponencial de acuerdo a la altura de tu torre:

• ¿Qué sucede con los exponentes cuando tus bases son iguales ?

• ¿Y si elevamos una potencia a otra?

De esta forma ya no requieres de las regletas para resolver los siguien-tes ejercicios:

Representa con tus regletas r3. Si quisieras elevar r3 al cubo, ¿qué harías?

(r 3) 3 = r 3 • r 3 • r 3

r 3 • r 3 • r 3

• •

( 83 ) ( 83 ) =

( 65 ) ( 62 ) =

( 54 ) ( 52 ) =

1

2

3

( 33 ) ( 32 ) ( 38 ) =

( 119 ) ( 1123 ) ( 112 ) =

( c15 ) ( c14 ) =

( 313 ) ( 321 ) ( 32 ) =

1

2

3

4

( a8 ) ( a9 ) ( a ) =

( 62 ) (62 ) ( 63 ) =

( 315 ) ( 313 ) ( 311 ) =

( 42 ) ( 43 ) ( 48 ) =

5

6

7

8

Haz más ejercicios

( 22 ) ( 24 ) ( 23 ) =

( 74 ) ( 72) =

( 33 ) ( 32) ( 3 ) =

4

5

6Para multiplicar po-tencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes

am an = am+n

ACTIVIDAD 1



Si ponemos todo esto en una torre, ¿qué altura tendría?

(r 3) 3 = r 3 • r 3 • r 3 = r 9

Representa con tus regletas las siguientes operaciones y encuentra la torre que te da el resultado final:

( 32 )3 =

( 33 )2 =

( 23 )4 =

( 24 )3 =

( 52 )4 =

( 42 )2 =

( 52 )3 =

( 62 )3 =

( 102 )3 =

( 93 )3 =

• ¿Qué es lo que haces para obtener el resultado de una potencia elevada a otra?

( 32 )3 =

( 73 )2 =

( 43 )5 =

( 24 )8 =

( x2 )3 =

( y3 )3 =

( m8 )8 =

( z2 )3 =

( 103 )9 =

( x8 )2 =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Haz más ejercicios

Cuando queremos elevar un número expre-sado en potencias a otra potencia, se deja la mis-ma base y se multiplican los exponentes.

(a m) n = a mn



Como verás en tu representación con regletas, cada vez que multiplicas un número por otro le aumentas un piso a la torre.

• ¿Qué crees que haríamos con una torre, si en lugar de multiplicar por un número, la dividimos?

Construye con tus regletas 32. Ahora divídelo entre 3.

¿Y si hay que quitar pisos?

32 3 =

3 (3) 3

Es decir que si multiplicas le aumentas un piso a la torre y si divides, le quitas un piso.

32 3 =

3 (3) 3

Quito un piso

Me dice: “quito un piso”

¿Qué sucede si tenemos 25 y queremos dividirla entre 23 ?Construye 25 en una torre con tus regletas y divídela 23. O sea, quítale 3 pisos a tu torre.

25 23 =

(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

= 22

Realiza las siguientes operaciones con tus regletas. Representa tus torres y quítale los pisos que se te piden.

33 3

1

46 42

2

64 62

3

54 52

4

=

=

=

=

• ¿Qué les hacemos a los pisos de la torre cuando dividimos?

• ¿Qué le hacemos al exponente de un número cuando dividimos entre la misma base?

El resultado de divi-dir potencias de misma base, se deja la base y se restan los exponentes.

am

am am-n=



Haz más ejercicios

Si tenemos una división de potencias con la misma base, basta con que restemos los exponentes:

am an = a m - n

Ahora, ya sin tus regletas simplifica las siguientes operaciones:

98 92 = 189

188 = 63

63 62 = 124

12= 52

308 302

1412

148 == 41

¡Se me acabaron los pisos!Vamos a utilizar la misma regla para que encuentres.

a 6 2 6 2

= b 8 9 8 9

= c 16 3 16 3

= d 14 8 14 8

=

• ¿Sabes cuánto vale en realidad un número elevado a la potencia cero?

Observa: 22 = 2 1 - 1 = 2 0

Pero tú sabes que: 22 = 1

Entonces: =2 0 1

Probemos con otro: 24

24 = 2 4 - 4 = 2 0

Pero sabemos que: = 124

241616=

Entonces: =2 0 1



¿Podremos generalizar esto como una regla? Inténtalo.

a 3 2 3 2

= b 2 2 2 2

= c 9 3 9 3

= d 5 3 5 3

=

Entonces tenemos que:

Resuelve ahora:

90 =

910 =

10000 =

1

2

3

45780 =

6’478,2500 =

4

5

¿Y si me faltan pisos?• ¿Qué pasaría ahora si el exponente del denominador fuera mayor que el exponente del numerador? Es decir:

4 3 4 6

• Si lo representas con regletas, ¿qué va a suceder?

• ¿Cuántos pisos le van a faltar a tu torre para poder realizar la operación?

4 3 4 6

= 4 3 - 6 = 4 - 3

O sea que el exponente negativo nos indica que nos faltaron pisos en la torre de regletas.

= 4 (4) (4)

4 (4) (4) (4) (4) (4)= 4 3

4 6 1 4 3

Así que: 1 4 3 = 4 -3

Todo número elevado a una potencia cero, es igual a la unidad

a0 = 1



Realiza las siguientes operaciones. Escribe primero los exponentes en forma de producto. Cancela entre sí numerador y denominador. Después representa la división como resta de exponentes y compara ambos resultados.

Lo que acabamos de trabajar se resume bajo el concepto de:

123 128

=3

73 75

154

156== 41

177 179

= 95 97

= 52

Ahora elimina el exponente negativo en los siguientes ejercicios:

a 9 - 2 = b 6 - 4 = c 8 - 4 = d 16 - 9 = e x -2 =

Haz más ejercicios

Cualquier base eleva-da a una potencia nega-tiva es igual a la unidad entre la base a la misma potencia pero positiva.

= a- m

am 1

Todo número elevado a una potencia cero, es igual a la unidad.

Cualquier base elevada a una potencia nega-tiva es igual a la unidad entre la base a la misma potencia pero positiva.

Cuando quere-mos elevar un número expre-sado en poten-cias a otra po-tencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Para multiplicar potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes

El resultado de dividir poten-cias de misma base, se deja la base y se restan los exponentes. a0 = 1

= a- m

am 1

(a m) n = a mn

am an = am+n am

am am-n=

“Leyes de los exponentes”

Multiplicar Potencia División A0 Potencia Negativa

ACTIVIDAD 2

CONTENIDO:

TEMA

Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre

dos rectasparalelas corta-

das por unatransversal. Justificación

de las relaciones entre las

medidas de los ángulos

interiores de los triángulos y paralelogramos.

Figu

ras

y cu

erpo

s

En esta lección vamos a analizar qué sucede cuando cortamos líneas entre sí. Encontraremos un uso práctico y muy común que le dan los dibujantes desde los arquitectos hasta los diseñadores de interiores y de ropa. ¿Qué

sucede con las rectas?, ¿Qué tipo de ángulos se forman? Comenzamos...

Eje: Forma, espacio y medida52

Cajón de estacionamientoJardinera

Banqueta

Banqueta

El siguiente dibujo es el croquis de un plano de esta-cionamiento que está por construirse:

En el estacionamiento

ACTIVIDAD 1

Eje: Forma, espacio y medida 53

Figuras y cuerpos •

Los constructores repiten varias veces este patrón y deben buscar la forma de acomodarlo para aprovechar los espacios en el terreno.

Para poder construir sin problemas, los dibujantes deben trazar las inclina-ciones correctas, así como los ángulos de las líneas de las jardineras con repecto a la banqueta, pues al momento de su construcción se necesitan estos datos para girar la figura sin mayor problema y queden todas de la misma forma y con la misma inclinación, para que los cajones sean equi-tativos en espacio.

Vamos a trazarlo en tu geoplano:

¿Puedes encontrar el ángulo que deben saber los constructores para po-der construir este estacionamiento (Figura 1)?

Compara el resultado con tus compañeros.

En tu geoplano Didacta sólo señalaste con unas cuantas ligas un croquis elemental del dibujo. Construye este mismo croquis en una hoja en blan-co.Si te das cuenta el dibujo quedó más o menos así:

Si observas con atención te darás cuenta que hay un patrón que serepite.

Figura 1


• Figuras y cuerpos

Si juntamos 2 banquetas, el esquema básico será como la Figura 2

a ¿Cuántos ángulos tiene la figura?

b Identifica cada ángulo con una letra.

c ¿Crees que todos son diferentes?

d ¿Cuáles crees que tengan la misma medida?

e En el cruce de dos líneas rectas, ¿Cuántos ángulos se forman?

f ¿Cuánto es la suma de esos ángulos formados en cada cruce de líneas?

g Ya tienes el valor de un ángulo, ¿puedes encontrar los demás valores?

Anótalos aquí.

ef

gh

ab

cd

Figura 2

Figura 3

La estructura que estamos analizando es clásica en la geometría y la base de muchas cosas, tiene diferentes partes, así como diferentes ángulos y además estos ángulos también tienen nombre. Veamos:



Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se for-man 8 ángulos que mantiene una relación entre ellos y se clasifican en:

Ángulos opuestos por el vértice si la prolongación de los lados de uno son los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.(Ejemplo: los ángulos a y d de la figura 3)

Los cuatro ángulos que quedan entre las rectas paralelas son los ángulos internos. (Ejemplo los ángulos internos son d, c, f, e de la figura 3)

Los cuatro ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas son los ángulos externos. (Ejemplo: los ángulos b, a, h, g)

Si dos ángulos no adyacentes se encuentran del mismo lado respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo, entonces los ángulos son correspondientes. (Ejemplo: los ángulos a y e)

Si dos ángulos se encuentran en diferente lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son alternos. (Ejemplo c y f; a y h)Pueden ser alternos internos si ambos están dentro de las paralelas (c y f) y alternos externos si están fuera de las paralelas (a y h)

Si dos ángulos se encuentran en el mismo lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son colaterales. (Ejemplo: b y h; d y f)Pueden ser colaterales internos si se encuentra dentro de las paralelas (d y f) y colaterales externos si se encuentran fuera de las paralelas (b y h).

Ahora ya conoces los nombres de los ángulos, usaremos esos nombres.Si observaste con atención, algunos ángulos son iguales. Pero haremos esto más interesante; trabajaremos de manera concreta. Sigue con cuidado las siguientes instrucciones y al final contesta las preguntas que se te piden:

a Toma una hoja de tu libreta y dóblala en 3 partes, no importa que no sean iguales.

b Te quedarán dos líneas paralelas, márcalas con tu lápiz.

c Toma cualquiera de las 4 esquinas de tu hoja y dóblala de manera que sea en forma transversal a las paralelas, o sea que cruce ambas líneas. Marca con tu lápiz esta línea.

¿Son iguales las aberturas?

Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secan-te, se forman 8 ángulos. A la relación que for-man entre ellos estos 8 ángulos se le conoce como ángulos relevan-tes. Los ángulos pueden ser: internos, externos, alternos-internos, alter-nos-externos y corres-pondientes.

ACTIVIDAD 2



d Marca y nombra los 8 ángulos que se forman entre esas 3 líneas.

e Ahora corta la hoja de manera que el corte sea una línea recta y pase entre las dos paralelas que ya marcaste, también paralelamente.

f Ahora deberás verlos a contraluz de manera que el vértice de los primeros coincidan con los segundos.

Intenta responder sin el uso del transportador:

a Los ángulos opuestos por el vértice, ¿tienen igual o diferente medida?

b Los ángulos alternos internos, ¿tienen igual o diferente medida?

c Los ángulos alternos externos, ¿tienen igual o diferente medida?

d Los ángulos correspondientes, ¿tienen Igual o diferente medida?

e Los ángulos suplemetarios, ¿cuánto suman?

f Los ángulos colaterales internos, ¿cuánto suman?

a b

d e f

c



Si observas con atención, la suma de los ángulos a y b debe ser 1800, aun-que no conozcas el valor de cada uno de ellos. De la misma manera los ángulos c y d suman 1800 también.

¿Cuánto crees que debe valer la suma de los ángulos a y c?

Ángulos y paralelogramos

En esta nueva parte de la lección trabajaremos lo que ya aprendiste, pero ahora usaremos dos figuras como la estructura principal.

Traza en una hoja en blanco dos líneas paralelas y además dos transversales a éstas, que también deberán ser paralelas.

Indica todos los ángulos que se obtienen y nómbralos. Deben ser 16 ángulos

¿Cuánto suman los 4 ángulos que se observan en el cruce de cualesquie-ra dos líneas rectas?

g Los ángulos colaterales externos, ¿cuánto suman?

a b

c d

Figura 4

a

b

c

d



AsÍ que podemos concluir que la suma de este cuadrilátero es de:_____0

Y si dividimos el cuadrilátero en dos partes iguales con diagonales, de manera que formemos triángulos, ¿cuál crees que sea la suma de todos los ángulos de cada uno de esos dos triángulos?______0

e ¿Cuánto crees que deben valer la suma de los ángulos b y d?

f ¿Será el mismo valor de los ángulos a, b, c y d en todos los cruces de las líneas?

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

Figura 5

Observa con atención y verás como todos los ángulos a, b, c y d quedan dentro del paralelogramo formado con las paralelas:

Veamos que pasa en el geoplanoConstruye la siguiente figura

a bc

Ángulo central

Ángulo interno

Figura 6



Observa la figura y responde:

a ¿Cuánto mide cada ángulo interno del cuadrado?

b ¿Cuánto mide el ángulo central?

c ¿Cuánto medirán los ángulos a y b?

d ¿Cuánto medirá el valor de la suma de los ángulos a, b y c?

e ¿Cuánto miden la suma de los 4 ángulos internos del cuadrado?

Ahora, con ayuda de tu geoplano Didacta circular y tu cuaderno de regis-tro, construye algunos polígonos más y analiza sus triángulos formados para estudiar la suma de los ángulos de esos triángulos.

1 Construye un hexágono regular en tu geoplano Didacta.

2 Dibújalo en tu cuaderno de registro circular.

3 Dibuja los triángulos que forma cada uno de sus lados con el centro.

4 ¿Qué tipo de triángulos se forman?

5 ¿Qué características tienen estos triángulos?:

a _________________________________________________

b _________________________________________________

ACTIVIDAD 3



En el siguiente registro circular, sin usar tu transportador, investiga el valor de cada uno de los ángulos de los triángulos A, B, C, D.¡Puedes trabajar en equipo!

Escribe tus estrategias y conclusiones:

Figura 7

¿Cuánto suman los ángulos internos de cada triángulo?

A

B

C

D



En esta actividad veremos de manera concreta cuánto miden los ángulos internos de un triángulo, de cualquier triángulo:

a Toma una hoja de papel y recorta un triángulo como sea, puede ser equilátero, isósceles, escaleno, acutángulo, obtusángulo o rectángulo. Por ejemplo, te mostraremos un triángulo rectángulo que además es triángulo isósceles.

Marca los 3 ángulos: a, b, c.

b Recorta las puntas del triángulo.

c Junta las puntas, las esquinas donde están los ángulos marcados, y verás como en cualquier caso siempre suman 180o.

b

a

a

b900

900

Figura 8

Intentalo con diferentes triángulos

ACTIVIDAD 4



Observa la siguiente figura y responde:

a b c d

e f g h

Si a = 144 o , cuánto mide b = c = d =

Si e = 150 o , cuánto mide d = h = f =

Si c = 49 o , cuánto mide g = f = a =

Si g = 86 o , cuánto mide e = f= h =

Hagamos ejercicios

1

a

b

c

d

2 Mide con tu transportador los ángulos del siguiente cuadrilátero, traza sus diagonales; mide o calcula los ángulos que se forman en cada vértice de la figura y los ángulos centrales que forman las diagonales.

3 Ahora tú traza un cuadrilátero cualquiera, traza sus diagonales y encuen-tra los ángulos que se forman en cada vértice (con tu transportador) y los ángulos centrales que forman sus diagonales.

TEMA

Construcción de triángulos con base en ciertos

datos.Análisis de las condiciones de posibilidad y

unicidad en las construcciones.

CONTENIDO:

Figu

ras

y cu

erpo

s

Formando triánguloscon regletas


V amos a trabajar con tus regletas formando triángulos. Los vamos a formar considerando la medida del lado del triángulo como la medida de la regleta, te ponemos un ejemplo (figura 1) :

Con tus regletas construye lo siguiente:

a Triángulo A: con una regleta verde claro, una rosa y una amarilla.

b Triángulo B: con rosa, amarillo y naranja

c Triángulo C: con dos regletas amarillas y una negra

d Triángulo D: café, verde claro y rosa.

Figura 1

R

R R

Triángulo equilátero con regletas R.

• ¿Pudiste construir triángulos con todas las combinaciones de regletas que te propusimos?

• ¿En qué caso no pudiste construir los triángulos que te pedimos?

• ¿A qué crees que se deba que no se pudieron construir?

En los triángulos que no se pudieron construir, cambia alguna de las regle-tas para que puedas construirlo.

Analiza con tu maestro y tus compañeros qué requisitos deben de cumplir las medidas de los lados de los triángulos para que se puedan construir.



Una vez que hayan establecido las condiciones, con tus regletas constru-ye tres triángulos diferentes a los que ya habías construido, y clasifícalos de acuerdo a sus lados (equilátero, isósceles o escaleno) y de acuerdo a sus ángulos (acutángulo, recto y obtusángulo). Deja tus tres triángulos construidos sobre tu mesa porque en la siguiente actividad los vas a ne-cesitar.

Trazando triángulos con compás y escuadras

En el siguiente espacio, escribe las medidas de los triángulos que cons-truiste:

Triángulo E: _________________________

Triángulo F: _________________________

Triángulo G: _________________________

En la primaria aprendiste a construir triángulos con tu regla y tu compás, ¿recuerdas?Por si no recuerdas los pasos necesarios para construirlos, te los recorda-mos a continuación:Vamos a construir un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm.

1

a

Paso 1 Traza una recta y señala en ella el punto a.

2

a

Paso 2 Abre tu compás con la medida del lado más largo del triángulo a trazar (6 cm) y marca con ella el punto b.6 cm

3 Paso 3 Con tu compás, toma la medida de cualquiera de los otros dos lados (ya sea 4 o 5 cm) y traza un arco apoyán-dote en a. Elegiremos 5 cm.

a b

b



4 Paso 4 Por último, toma la medida del lado restante (4 cm) y apoyado en b traza un arco que cruce el arco anterior. Llama a este cruce c.

a b

c

5 Paso 5 Une ac y bc para obtener el triángu-lo que te pedimos.

a b

c

5 cm 4 cm

6 cm

a Construye en tu cuaderno los triángulos E, F, y G que construiste con tus regletas al inicio de este subtema.

b Construye al menos otros 3 triángulos

¿Y si sólo tengo la medida de dos de sus lados? A Lourdes le pidieron en la escuela que trazara de tarea dos triángulos. La maestra Paty anotó las medidas de los lados de los triángulos en el piza-rrón y Lourdes las copió.Cuando llegó a su casa, se dio cuenta que sólo había copiado las medidas de dos de los lados de los triángulos, pero pensó que el tercer lado no sería importante y de todas formas los trazó.Construye con tus regletas los triángulos que tenía que hacer Lourdes de tarea con las siguientes medidas:

Hagamos ejercicios Para que sea factible construir un triángulo se requiere que la suma de las medidas de sus lados más cortos, sea mayor que la medida del lado más largo.



Triángulo A: 6 cm y 7 cm

Triángulo B: 4 cm y 5 cm

Cuando llegó a la clase y le entregó la tarea a la maestra Paty, se dio cuen-ta que su tarea estaba incorrecta.

• Compara con tus compañeros los triángulos que cada uno de ustedes construyó y verifiquen si son iguales.

• ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir si tienes sólo la medida de dos de sus lados?, ¿por qué crees que pase ésto?

La maestra Paty le pidió a Lourdes que volviera a hacer sus triángulos pero ahora con las medidas de los tres lados, tal y como ella los había pedido:

Triángulo A: 6 cm, 7 cm y 10 cm.

Triángulo B: 4 cm, 5cm y 7 cm.

• Construye primero con tus regletas, los triángulos que tiene que hacer Lourdes para que los visualices. Después constrúyelos con tu compás y tu regla en tu cuaderno para que los puedas recortar.

Al terminar de trazarlos, recórtalos y compara tus triángulos con los de tus compañeros.

• ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fueron iguales a los de sus compañeros?

Si hubo diferencias, analicen sus trazos para encontrar a qué se debieron dichas diferencias.

• Si les damos las medidas de tres lados de un triángulo, ¿será suficiente para que todos ustedes construyan triángulos iguales?

Observa los siguientes triángulos y mide cada uno de sus lados:

AB =

BC =

CA=

A’B’ =

1 2C

A B

C ’

A ’ A ’

B’C’ =

C’A’ =



• ¿Son iguales las medidas del ABC con las del A ’B ’C ’?

Los lados congruentes de dos triángulos se representan con unas líneas pequeñas sobre los lados de los triángulos para que se identifique cuál lado es congruente con cuál otro.

C

A B

C

B A

Y si nos dan otros datos… ¿podremos construir los triángulos?Marcela y Macarena quieren construir dos triángulos iguales pero sólo conocen la medida de dos de sus lados. Como Lourdes les dijo que eso no es suficiente para que los triángulos quedan iguales, decidieron fijar el ángulo que ambos lados forman entre sí.Si el triángulo tiene un lado de 3.5 cm, otro de 4 cm y el ángulo que for-man entre ellos es de 45o, ¿crees que el triángulo de Marcela quede igual al de Macarena?

Construye tú también el triángulo en una hoja para recortarlo y compára-lo con el de tus compañeros para ver si son congruentes.Una vez que tienes trazados los dos lados y el ángulo que forman, sólo te queda trazar el tercer lado.

45o

3,5 cm

4 cm

A

B C

45o

3,5 cm

4 cm

A ’

B ’ C ’

Triángulo de Marcela Triángulo de Macarena

Si AB A’B’, B B’

y BC B’C’

Dos triángulos son con-gruentes si las medidas de sus lados son iguales.



• Si unimos AB y A´B´, ¿crees que sean congruentes entre sí?

• Entonces el ángulo A es congruente con el ángulo A´?

• ¿Y el ángulo C es congruente con C´?

• Entonces... ¿también podemos construir triángulos congruentes si nos dan la medida de dos de sus lados y el ángulo que se forma entre ellos?

60o

5 cm

35o

• ¿Crees que esta información le será suficiente a Marina para reconstruir su triángulo?

Construye un triángulo con los siguientes datos y verifica si es congruente con los de tus compañeros:

- Un lado de 7 cm y los ángulos que se forman sobre él y los otros lados son de 65o cada uno.

- Un lado de 4 cm que forma un ángulo de 90o y otro de 45o con los otros lados del triángulo

Resumiendo...

En general nos podemos dar cuenta de que no es necesario establecer la correspondencia de todos los lados y todos los ángulos de dos triángulos para afirmar que son congruentes. Es suficiente con establecer tres ele-mentos del triángulo para que sean congruentes.

En los triángulos de Lourdes vimos que dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados. A esta congruencia se le denomina congruencia lado-lado-lado y se representa como (L L L).

En los triángulos de Marcela y Macarena vimos que dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo formado por dichos lados. Congruencia lado-ángulo-lado (L A L).

Y por último tuvimos que para que Marina pudiera construir dos triángu-los congruentes bastaba con que tuviera dos ángulos y el lado compren-dido entre ellos congruentes. Esta congruencia se denomina ángulo-lado-ángulo (A L A).

A Marina también le dejaron de tarea construir unos trián-gulos, pero su tarea se le rompió y cuando sacó la hoja de su mochila se encontró con un pedazo de uno de sus triángulos igual al que se muestra en la figura 2.

Figura 2

a

• Ahora responde: ¿qué estrategias utilizaste para encontrar el área de las figuras?

• ¿Tus compañeros usaron las mismas estrategias?

• ¿El resultado es el mismo, aún cuando hayan usado diferentes estrategias?

En tu geoplano traza las siguientes figuras y calcula su área:

b

Hagamos ejercicios1 José quiere comprar un terreno rectangular de 1850 m2. Le preguntó

al vendedor las medidas del terreno, pero sólo le supo decir que uno de los lados mide 23 m. ¿Cuánto mide el otro lado?

TEMA

Resolución de problemas

que impliquen el cálculo de

áreas de figuras compuestas,

incluyendo áreas laterales y tota-les de prismas y

pirámides.

CONTENIDO:

Med

ida

Calculando áreasy perímetros


En cursos anteriores te hemos venido dando muchas herramientas que te ayudarán a resolver los siguientes problemas:


• Medida

2 Junto al terreno que quiere comprar José, hay otro que le interesa comprar a Jorge.También tiene forma rectangular y el vendedor tampoco sabe las medi-das. Sólo sabe que una línea divide al terreno de tal forma que se forman dos trapecios rectángulos iguales, que la base mayor de ellos es de 18m de largo y que el área del terreno es de 880 m2.

3 Enfrente de los terrenos que quieren comprar Jorge y José hay un parque al que se le quiere poner una jardinera alrededor.Te presentamos un diseño del parque para que le ayudes al vendedor a calcular el área que la jardinera le reducirá al parque.

• ¿Cuál es el área del parque sin jardinera?

• ¿Qué área ocupará la jardinera?

• ¿Qué área quedará después de la construcción para jugar?

12

12

10

10

12 8

10 6.66

Jardinera

4 María Elena compró junto a su casa un terreno en forma de rombo y lo quiere para hacer un jardin. En un extremo del terreno quiere poner una fuente con forma de medio círculo como se muestra en la figura.Si el terreno mide 640 m2 y una de sus diagonales mide 32 m, ¿qué medi-das tiene la otra diagonal, si el diámetro de la fuente es de 10 m?

• ¿Qué área requiere la fuente?

• ¿Qué área queda para el jardin?

10D

d

5 Observa y analiza la siguiente figura:

2 m

2 m

a

b

c

e f

g

hd

• ¿Qué área tiene el rectángulo?

• ¿Puedes calcular el área de todas las figuras?

• Si juntamos las figuras b, c, d, ¿qué área tendríamos?

• ¿Y si juntamos f, g, h?


Medida •

• ¿Qué área ocupan a, e, f juntos?

• ¿Podrías encontrar una combinación de figuras que nos represente la mitad del área total del terreno?

• ¿Y que nos represente la cuarta parte?

• ¿Y la tercera parte?

4 Ahora crea un problema que describa la situación que se adapte a la siguiente figura:

30

12

12

de 12

13

de 12

• Compartan sus problemas entre ustedes y resuel-van algunos en el pizarrón.

CONTENIDO:

TEMA


diversos relacio-nados con

el porcentaje, como aplicar

un porcentaje a una cantidad;

determinar qué porcentaje repre-senta una can-tidad respecto a otra, y obtener una cantidad

conociendo una parte de ella y el porcentaje que

representa.

Pro

porc

iona

lidad

y f

unci

ones

¿Qué tanto deltotal corresponde?

Eje: Manejo de la información72

Seguramente muchas veces has oído hablar del porcentaje, en los productos de consumo, en la ropa, en los bancos, en los préstamos…

De hecho si te fijas, cuando vas por la calle verás varios aparadores en donde aparece el símbolo %, que es el de porcentaje.También has aprendido a calcular estos porcentajes durante tu vida escolar, ¿cierto?Lo primero que tenemos que recordar, es que los porcentajes son una razón entre una cantidad respecto a otra. Las razones ya las hemos veni-do trabajando desde el principio del ciclo y como verás cada vez encuen-tras más cosas en qué aplicarlas.Vamos a iniciar con este trabajo, ¿te parece?

Cuántos de cada 100...

Primero trabajaremos con tus regletas.

A continuación te presentamos una cuadricula de 10 x 10, la cual debes de llenar con regletas de colores. Procura usar al menos 6 colores para que este trabajo sea interesante.

Tu cuadricula tiene 100 cuadritos en total, ¿de acuerdo? Entonces vamos a buscar cuántos de esos 100 cuadritos cubrirás con regletas de cada color.

Eje: Manejo de la información 73

Proporcionalidad y funciones •

Llena la siguiente tabla de acuerdo al ejercicio con regletas que realizaste en la cuadrícula:

Color¿Qué parte de 100ocupan? (fracción)

Expresiónen porcentaje

Blanco

Rojo

Verde claro

¿Cuántas regletasusaste?

Amarillo

Verde oscuro

Negro

Rosa

Café

Azul

Naranja

En esta tabla consideramos nuestro entero dividido en 100 partes, pero no siempre sucede así ya que los porcentajes no son siempre de 100. Podemos calcular también porcentajes de 135, de 300, de 127, etc. De hecho lo más común es que el porcentaje sea de un valor diferente.


• Proporcionalidad y funciones

Por ejemplo, vamos a construir otro cuadrado, pero ahora queremos que mida 12 x 12, es decir que lo vamos a dividir en 144 partes y tus porcentajes te van a indicar cuántos cuadritos, de los 144 que tienes hay de cada color. Y el resultado en porcentajes te indica, si tuvieras sólo 100, cuántos de esos 100 serían de cada color, pero manteniendo una proporción.

Con esos datos llena la tabla siguiente. Acuérdate que en la expresión de fracción, tu deno-minador va a cambiar pues tu entero está dividido en 144 y no en 100 como el anterior.

Color ¿Qué parte de 144ocupan? (fracción)

Expresiónen porcentaje

Blanco

Rojo

Verde claro

¿Cuántas regletasusaste?

Amarillo

Rosa

Negro

Café

Azul

Naranja

Verde oscuro



• ¿Encontraste la diferencia de los porcentajes cuando varía la cantidad que tienes de referencia?

• ¿Cuál es el denominador de tu fracción cuando tienes una cuadricula de 100?

• ¿Cuál es el denominador de tu fracción cuando tienes 144 cuadritos?

• Si tuviéramos una cuadrícula de 230 cuadritos, ¿cuál sería el denomina-dor de tu fracción?

• Bien, ahora responde, ¿cuál es la fracción que te representa el porcenta-je si en la primera tabla hubieras cubierto 32 cuadritos con un color?

• Y si esos 32 cuadritos estuvieran en la segunda tabla, ¿cuál es la fracción que los representa?

• ¿Qué pasa si en una cuadricula de 230 cuadritos cubres los mismos 32?, ...¿Cuál es la fracción que los representa?

• ¿Qué operación tienes que hacer para expresar esas fracciones en porcentaje?

De acuerdo a todas estas operaciones llena las siguientes tablas:



Vamos ahora a calcular directamente el porcentaje. Observa bien las operaciones que has estado haciendo en los ejercicios anteriores para que puedas sacar directamente el porcentaje. Siempre debes tener en cuenta que el porcentaje es una razón, y que la regla de tres te es muy útil si tienes dudas.

% de 300

145

30

67

123

40

% de 120

25

23

60

56

120

Tomo Fracción Decimalde %10

15

16

265

128

34

49

51

600

389

956

40

1

18

194

200

40

240

35

690

300

480

59

60

1000

1200

4000

579

18

20

200

500



% de 30

13

10

4

29

30

% de 75

45

39

18

70

3

En nuestro país, muchos de los productos y servicios que adquirimos, tienen un impuesto al que se le llama IVA.La mayoría de las cosas que adquirimos que requieren pagar dicho impuesto ya lo incluyen. Este impuesto es, en la mayor parte de los estados de la república del 16%, pero hay algunos, en las zonas fron-terizas o zonas libres, en las que este impuesto es del 11%.

Supongamos que estamos en una tienda en la que los precios ya tie-nen el impuesto incluido, del 16%

• Si un pantalón nos cuesta $230 ¿cuánto nos costaría si no incluyera impuesto?

En realidad al 100% del valor del pantalón, por cuestión de impuestos se le agrega en 16% así que el precio que estás pagando equivale al 116% de su valor.

• ¿Qué operaciones debes hacer para encontrar el precio real del pantalón sin impuestos?

• ¿Cuánto representa ese 116% en números decimales?

• ¿Qué te está representando el decimal que encontraste?

• ¿Qué operación debes realizar entre el precio del pantalón y el porcentaje o decimal del precio con el IVA incluido?

Del precio total del pantalón desglosa lo que es el precio real y el IVA y represéntalo como una suma.

Con las operaciones que ya tienes para sacar el precio real de un artí-culo, llena la siguiente tabla:

Ahora vamos de regreso...

El porcentaje es una fracción de una canti-dad que se toma por cada cien contenida en ella y que se denota con el símbolo %.

Es decir, un porcentaje es una proporción que compara un número con el cien.



Preciocon IVA

3500

245

4000

12

250

459

Precio realsin impuesto

impuestoagregado

Hagamos ejerciciosVeamos algunas aplicaciones prácticas de todo esto que hemos visto:

1 Julián quiere comprar un reproductor de música. Está buscando el mejor precio y encontró dos tiendas que le ofrecen el modelo que quiere en $1,500.En la primera tienda le ofrecen un descuento de 30% y en la segunda le ofrecen dos descuentos, uno del 20% y sobre ese precio el 20% adi-cional, ¿dónde le conviene más comprar su reproductor?

2 Alexis quiere comprar un disco de música. Encontró que en una tienda cuesta $189 + IVA. Si le ofrecen un descuento de 40% antes del IVA, ¿cuánto le va a costar el disco?

3 Héctor abrió una cuenta de ahorros con $7000. Cuando le llegó su estado de cuenta tenía $8400. ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia?

4 Gustavo quiere comprar una caminadora porque no tiene mucho tiempo libre para salir a hacer ejercicio. Encontró una en $5400 que ya tenía un descuento del 30%. ¿Cuál era el precio de la caminadora antes del descuento?

5 Susi quiere comprar una computadora para sus hijos, el precio de la computadora es de $7899 + IVA si la paga en efectivo. Si usa si tarjeta de crédito le cargan la cuenta con un interés sobre el precio de la computadora (antes del IVA) del 12% y le ofrecen 18 meses para pagarla.Calcula cuánto pagará por la computadora si la paga en efectivo. Cuánto costará la computadora si la compra a crédito y cuánto paga-ría mensualmente con la propuesta.

TEMA


que impliquen el cálculo

de interés com-puesto,

crecimiento po-blacional u otros que requieran

procedimientos recursivos.

CONTENIDO:

Pro

porc

iona

lidad

y f

unci

ones

Vamos a calculartasas de interés


Una persona consigue un préstamo por $25,000.00 en un banco de la ciudad, con una tasa de interés del 4.5% mensual a tres años.

¿Cuál es su deuda a un mes de plazo?

¿Cuál es su deuda en tres meses?

¿Y en seis meses?

Al término de los tres años, ¿cuánto debe pagar?d

c

a

b

1

Si calculamos mes a mes las diferencias de los adeudos, nos daremos cuen-ta que éstas son constantes, veamos :el 4° y 5° mes:30,625 - 29,500 = 1,125

el 7° y 8° mes:34,000 - 32,875 = 1,125

el 11° y el 12° mes:38,500 - 37,375 = 1,125

Este precio se calcula siempre en base a un porcentaje del dinero que se está usando. Si una persona pide dinero prestado a un banco, se fija una tasa de interés, es decir es el precio que el banco le va a cobrar por pres-tarle el dinero. Esta persona usará un dinero que no es suyo y por ese uso el banco le cobrará una cierta cantidad. Al final del plazo estipulado, la persona tendrá que devolver el dinero.Tú ya sabes calcular porcentajes, por lo que este trabajo te será sencillo.

Que te parece si analizamos un ejemplo:

¿Has oído habla de las tasas de interés? ¿Qué has escuchado?, ¿Qué entiendes como tasa de interés? La tasa de interés es aquel precio que se paga por el uso del dinero, durante un determinado

período de tiempo.



Como podrás observar en la tabla el interés de un mes para otro es el mis-mo. Vamos a determinar una fórmula específica para calcular el adeudo en cualquier mes determinado.

l Veamos:

A un mes de préstamo tendremos como adeudo el capital más los intere-ses de un mes...................c + ct

A dos meses de préstamo el adeudo será del capital más 2 meses de interés....................................c + 2ct

A tres meses el adeudo será el capital más 3 meses de interés.........................................................c + 3ct

Tasa %Tiempo meses Interés Capital

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

0

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 1,125

$ 25,000.00

$ 27,250.00

$ 29,500.00

$ 30,625.00

$ 32,875.00

$ 35,125.00

$ 36,250.00

$ 38,500.00

Completemos la siguiente tabla, para poder contestar las preguntas ante-riores.

Como podrás observar en este ejercicio, lo que se pagó mensualmente es un valor constante, a este tipo de situaciones se les conoce como interés simple.


Proporcionalidad y funciones • Proporcionalidad y funciones •

Trabajando de forma recursiva...Existen muchas situaciones problemáticas que tienes que ir resolviendo por fases, es decir, necesitas obtener un resultado parcial que te va a ser útil para resolver la siguiente fase del problema y así sucesivamente. A estos procedimientos les llamamos procedimientos recursivos.

En el manejo de los préstamos bancarios, existe otro tipo de interés al que se le llama interés compuesto. En estos casos, el interés que se ge-nera cada mes se abona a la deuda inicial y se obtiene una nueva deuda a la que se le vuelve a aplicar el porcentaje de interés. Esto se repite cada periodo hasta que se llega al final del plazo estipulado.

Para que analices este tipo de interés te ponemos un ejemplo:Un arquitecto está terminando una casa. Le faltan $25 000.00 para todos los acabados finales y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco MEXPREST les presta esa cantidad con un interés simple del 9% bimestral, mientras que el banco COMERCIAL le ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% bimestral. Si tiene planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide ya que para entonces habrá logrado vender o rentar la casa.

Trabaja en pareja con otro compañero y completen la tabla.

BimestresPréstamo

inicialPréstamo

inicialInterés

Simple 9%

MEXPREST COMERCIAL

InterésCompuesto 8%

Adeudo Total

Adeudo Total

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 $ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 25,000.00

0

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 2,250.00

$ 25,000.00

$ 27,250.00

$ 29,500.00

$ 31,750.00

$ 31,492.80

$ 25,000.00

$ 25,000.00

$ 27,000.00

$ 29,160.00

$ 27,000.00

$ 25,000.00

$ 29,160.00

$ 31,492.80

$ 2,000.00

$ 0.00

$ 2,160.00

$ 2,332.80



Compartan con sus demás compañeros los resultados que obtuvieron y respondan:

¿En cuál banco le conviene pedir el préstamo?

¿Cuánto más tendría que pagar de intereses en el Banco que no le conviene, al término del plazo fijado?

¿En que bimestre el monto a pagar coincide?

Analiza con tus compañeros el comportamiento del préstamo en cada banco y qué encuentran a favor y en contra de cada uno de los présta-mos.

Calculando una pensión alimenticiaLuis ha decidido ir a estudiar a otra ciudad ya que donde él vive no hay una escuela que imparta el curso que él quiere tomar. Su papá quiere ver qué tan bueno es en matemáticas y le propone dos opciones para el dine-ro que le enviará para su manutención.

Una mensualidad de $500.00 y un bono anual de $1000.00 que le será entregado al principio de año para que Luis lo distribuya durante el año como el considere pertinente.

Una mensualidad de $500.00 con un incremento del 10% mensual.

• ¿Qué opción crees que sea mejor aceptar?

• Elabora una tabla para ir calculando cuánto recibirá Luis cada mes du-rante el primer año.

• Compara tu respuesta con tus compañeros y analicen las ventajas y desventajas de cada propuesta.

• Analiza si en algún mes del año, considerando el bono, será igual tomar cualquiera de las dos opciones.

• Otras aplicaciones.

a

a

b

b

c

d



Este concepto de cálculos recursivos lo podemos aplicar en otro tipo de situaciones que no sea necesariamente en situaciones monetarias.

Resuelve los siguientes ejercicios, puedes hacerlos junto con un compa-ñero para que analicen lo que se propone y al terminar, justifiquen sus respuestas.

Hagamos ejercicios1 En el año 2010 la población mundial de la Tierra era de 6,854 millones

de habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una déca-da es de 13% y ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años 2020, 2030 y 2040?

Completen la tabla con el cálculo de la población cada década.

2 Una pequeña comunidad en el estado de Chiapas tiene 52,368 habi-tantes en la actualidad, si en los últimos 5 años ha crecido a una tasa del 7% anual, ¿cuántos habitantes tenía esa población hace 5 años?

3 En equipos de tres compañeros redacten una situación que se re-suelva aplicando procedimientos recursivos como los que ya trabajaste. Compartan sus propuestas con los demás equipos.

Año Cálculo para la siguiente década Población

2010

2020

2030

2040

6,864 millones

POBLACIÓN MUNDIAL DE LA TIERRA

CONTENIDO:

TEMA

Comparación de dos o

más eventos a partir de sus

resultados posi-bles, usando

relaciones como:“es más proba-

ble que…”,“es menos pro-bable que…”.

Noc

ione

s de

pro

babi

lidad

¿Es más propable omenos propable que...?


A lo largo de tu primer año de secundaria trabajaste con álgebra, con geometría, con azar y estadística. Ahora en este nuevo ciclo escolar vamos a trabajar nuevamente con eventos de azar.

Toma un dado o regleta blanca y marca dos de sus caras con un color rojo, otras dos con un color verde y las últimas dos con color azul. Puedes hacer una pequeña marca con un plumón, o bien pegarle un pequeño papel con el color.

Toma también tu geoplano y divídelo en 8 partes iguales. Pega un papelito con la numeración del 1 al 8 en cada uno de los octavos en que quedó dividi-do. No vayas a pintar tu geoplano con algo que después no se pueda borrar.

Construyamos nuestro material

rojo

verde

azul

Cara lateral: verde

Cara posterior: azul1

2

3

45

6

7

8

Cara de abajo: rojo

ACTIVIDAD 1


Nociones de probabilidad •

Bien... ¡a trabajar!Toma una regleta blanca y lánzala sobre tu geoplano que está marcado con los números.

• ¿Qué probabilidad existe de que la regleta blanca caiga en el espacio marcado con el número 5?

• ¿Qué probabilidad hay de que caiga en un número que sea múltiplo de dos?

• ¿Y de que caiga en un número impar?

• Para poder determinar estas probabilidad es primero tuviste que saber cuál es el espacio muestral. ¿Cuánto vale tu espacio muestral en este caso?

• ¿Qué probabilidad de corresponde a cada uno de los elementos del espacio muestral?

Ahora toma el cubo que hiciste de colores (con un dado o una regleta blanca) y lánzalo al aire.

• ¿Qué probabilidad hay de que la cara que quede hacia arriba sea roja?

• ¿Que sea verde?

• ¿Que sea verde o azul?

• ¿Que sea verde o roja?

• ¿Que sea verde, roja o azul?

• Igual que en el ejercicio anterior, tuviste que calcular primero el espacio muestral del evento, ¿cuál fue?

• ¿Qué probabilidad de ese espacio muestral le corresponde a cada color?

• ¿Cómo obtuviste la probabilidad de los eventos combinados, por ejem-plo de que caiga rojo o azul?

• Y en la ruleta ¿cómo obtuviste la probabilidad de que sea un número par?

• Nociones de probabilidad


Como veras en el caso del dado, la probabilidad de que la cara que queda hacia arriba caiga de un determinado color, excluye la probabilidad de que caiga de otro color, es decir, no existe la probabilidad de que caiga rojo y azul al mismo tiempo.

De igual forma, en la ruleta, si la regleta que lanzas cae en el número 4, no existe la probabilidad de que caiga al mismo tiempo el 8.

Calculemos más probabilidadesVamos a volver a lanzar la regleta blanca sobre tu geoplano marcado del 1 al 8.

Planteamos dos eventos:

A Que la regleta blanca caiga en un número menor que 4

B Que la regleta blanca caiga en un múltiplo de 4

• ¿Cuál es la probabilidad del evento A?

• ¿Cuál es la probabilidad del evento B?

• ¿Qué opciones tienes de que ocurra A o B?

• ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B?

Considera ahora lo siguientes dos eventos que pueden ocurrir al lanzar la regleta blanca sobe tu geoplano:

C Que la regleta caiga en un número mayor que 4

D Que la regleta caiga en un múltiplo de 4

• ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla el evento C?, ¿y de que se cumpla D?

• ¿Cuál es la probabilidad de que se cumplan C o D?

Es importante cuando estés trabajando probabilidades que primero de-finas tu espacio muestral y calcules su valor, así como la probabilidad particular de cada evento. Esto permitirá que te des cuenta de si hay elementos comunes.

Dos eventos A y B son mutuamente ex-cluyentes si el hecho de que ocurra uno hace imposible la ocu-rrencia del otro.

En otras palabras, si la ocurrencia simultánea de ambos eventos es imposible, los eventos son mutuamente ex-cluyentes.

Nociones de probabilidad •


¿Qué evento tiene más, menos o igual probabilidad de ocurrir?

Toma ahora dos dados de diferente color. Decide cuál dado será el numero 1 y cuál el número 2 de acuerdo a su color. El experimento consiste en lan-zar ambos dados y obtener pares de números en los cuales el primero es el resultado que salga del dado 1 y el segundo el resultado del dado 2.

Completa la tabla para saber cuál es tu espacio muestral.

Dado 2

Dad

o 1

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1,1

2,3

3,2

4,5

5,4

6,6

• ¿Cuántos resultados posibles tiene tu experimento?

• ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos?

Ahora llena la siguiente tabla:

Posibles resultados ProbabilidadEvento

‘

B. Que la suma sea 3

C. Que la suma sea 7

D. Que la suma sea 10

E. Que la suma sea 3 ó 10

F. Que la suma sea mayor que 10 ó múltiplo de 4

A. Que la suma sea 2

• De todos los eventos posibles, ¿cuál es el de mayor probabilidad?

• ¿Y el de menor probabilidad?

• ¿Qué eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir?

Encuentra y formula tres eventos compuestos por dos eventos, pero que sean mutuamente excluyentes y tres que no sean mutuamente excluyentes. Compártelos con tus compañeros y analízalos.

Analiza los siguientes eventos que pueden ser de tu vida diaria e indica cuáles son mutuamente excluyentes y cuáles no.

- Que llueva el martes

- Que llueva el jueves

- Que tengas el cabello claro

- Que tengas el cabello oscuro

- Que tu cumpleaños sea en julio

- Que tu cumpleaños sea en abril

- Que tengas un hermano de 15 años

- Que todos tus hermanos tengan menos de 10 años

- Que saques 9 en tu promedio general de este grado

- Que saques 7 en tu promedio general de este grado

Encuentra ahora con tus compañeros eventos que sean mutuamente excluyentes y eventos que no lo sean. Compártelos con tus compañe-ros y tu maestro.

• Nociones de probabilidad


TEMA

Análisis de casos en los que la media aritmé-tica o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de

datos.

CONTENIDO:

Aná

lisis

y r

epre

sent

ació

n de

dat

os


Los índicesde popularidad

Una productora discográfica en relación con distintas radiodifuso-ras del país, hicieron una encuesta popular vía mensaje de texto por teléfono celular, para saber cuál era el cantante de más po-

pularidad en un determinado mes y así definir al artista de moda en ése momento.

Una vez realizada la encuesta, sólo registraron a los diez artistas más so-nados en la radio durante dicho mes, cuyos resultados representaron en la siguiente tabla.

Artista Lugar Porcentaje Total de Votos

(FrecuenciaAbsoluta)

Frecuencia respecto al total de Votos

(Frecuencia Relativa)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

195

231

217

200

245

180

188

175

169

160

1951960

110=

• Análisis y representación de datos


Cuando la productora estaba vaciando los datos a la tabla anterior se pre-sentaron problemas técnicos por lo cual no pudieron terminar el trabajo.

¿Podrías ayudar a completar la tabla para que la empresa pueda exhibir los resultados por Internet?

1 Una vez terminada la tabla contesta las siguientes preguntas:

a ¿Cómo obtienes el lugar de popularidad?

b ¿Cómo calculas la frecuencia relativa?

c ¿Cómo calculas el porcentaje?

d ¿Cuál es el artista de moda o de más popularidad para este mes?

e ¿Cómo podrías afirmar que dicho artista es el de moda?

La palabra moda es un término estadístico que se aplica en muchas situaciones de la vida cotidiana.

2 Con tus palabras define lo que es moda de acuerdo a los datos (votos) mencionados en la tabla anterior.

Moda: _____________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

ACTIVIDAD 1

Análisis y representación de datos •


a ¿Cuántos votos suman los artistas que quedaron medianamente ubicados en la tabla de acuerdo al número de votos que obtuvieron?

b ¿Qué artistas fueron?_____________________y________________

c Si agregáramos un artista más con 150 votos, ¿Quién sería el que quedó a mitad de la tabla?

d ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber cuántos puntos obtu-vo cada artista en promedio?

e Realiza las operaciones antes señaladas y escribe el promedio de votos por artista.

3 Compara tu resultado con el de otros dos compañeros y con tu maestro(a).

a Si tuvieras que dar a conocer estos datos en el periódico mural de tu escuela, ¿cómo representarías los datos de la tabla a partir de un polígo-no de frecuencias?

Una vez que hayas terminado, contextualiza tu trabajo con al menos cua-tro de tus compañeros de clase, y si hay diferencias analicen por qué.

En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor fre-cuencia.

Al acomodar los da-tos en orden de me-nor a mayor, la media-na es el dato central de la lista.

La media aritmética de una muestra es igual al promedio de todos los datos.

• Análisis y representación de datos


H é c t o r rO n e l a s

13

1 En tu cuaderno de centímetro cuadrado escribe el nombre y un apellido de diez de tus compañeros, escribiendo una letra por cada cuadrito sindejar espacios. Traza una tira de 10 cuadritos. En cada cuadrito registra (de mayor a menor) el número de letras que conforman el nombre y apellido de cada uno de tus compañeros.

Ejemplo:

El nombre Héctor Ornelas quedaría registrado de la siguiente manera:

Este nombre consta de 13 letras, número que se registrará en la tira de 10 cuadritos, cuidando que las cantidades queden ordenadas de menor a mayor.

Encuentra la moda de la tira de 10 cuadritos.

Calcula la media (el promedio) de letras que tienen los nombres de tus compañeros.

Eliminando parejas de datos de los extremos (uno de cada lado) encuentra la mediana.

2 Un objeto se pesa con un mismo instrumento por ocho estudiantes de una clase y se obtienen los siguientes valores: 6.2, 6.0, 6.0, 6.3, 6.1, 6.0, 6.15, 6.2

• ¿Cuál es la mejor estimación del peso real del objeto?

3 En un ascensor hay 10 personas, 4 mujeres y 6 hombres. El peso promedio de las mujeres es de 60 kg. y de los hombres de 80 kg. ¿Cuál es el peso promedio de las 10 personas del ascensor?

Hagamos ejercicios

93

Síntesis •

Síntesis • Bloque 1

Síntesis:En este bloque has aprendido cosas muy interesantes y además muy úti-les que deberás tener presentes el resto del ciclo escolar pues son la base de muchos conceptos con los que trabajarás:Multiplicación y división de números con signoPara trabajar número con signo debemos aplicar la “Ley de los signos” tanto para multiplicación como para división:

Potencias, raíces y leyes de los exponentes:Una potencia es el resultado de multiplicar un número (la base) por sí mismo varias veces.

Para multiplicar potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes

Para poder trabajar con potencias adecuadamente, se han establecido ciertas reglas que se conocen como “Leyes de los exponentes”Dichas leyes establecen que:Cuando queremos elevar un número expresado en potencias a otra po-tencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes

am an = am+n

(a m) n = a mn

base exponente

23 = 8

23 = 2 x 2 x 2 = 8

Para lamultiplicación

Para la división

(+)(+) = (+) (+)/(+) = (+)

(+)(-) = (-) (+)/(-) = (-)

(-)(-) = (+) (-)/(-) = (+)

(-)(+) = (-) (-)/(+) = (-)

94

• Síntesis


El resultado de dividir potencias de misma base, se deja la base y se restan los exponentes.

Todo número elevado a una potencia cero, es igual a la unidad

Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a la unidad entre la base a la misma potencia pero positiva.

a0 = 1

am

am am-n=

= a- m

am 1

Ángulos y rectasUn ángulo es una figura plana formada por dos segmentos de recta que se cortan en un punto que se llama vértice. Los segmentos son los lados del ángulo. La medida de un ángulo indica la abertura entre sus lados.

Se llama punto al objeto geométrico que carece de longitud, ancho y fon-do y se utiliza para indicar una ubicación en el espacio.

En otras palabras, el punto tiene una longitud, un área y un volumen de cero unidades en cada uno.El punto se considera el objeto geométrico más fundamental.

Una línea es el objeto geométrico que tiene solamente una dimensión: longitud. La línea no tiene espesor ni anchura.Usualmente en geometría cuando decimos línea nos referimos a cualquier tipo de línea, por ejemplo, una circunferencia también es una línea, pero no es recta, pues cambia constantemente de dirección.La línea recta es un caso particular muy especial de línea ya que no cam-bia de dirección.Una semirrecta es una parte de una recta que tiene un punto inicial y no tiene punto final.

95

Síntesis •


A la semirrecta también se le conoce como rayo.

El punto medio de un segmento es el punto que está a la misma distancia de sus extremos. En otras palabras, el punto medio de un segmento es el punto que lo divide en dos segmentos de la misma longitud.

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen un lado y un vértice co-mún.Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y comparten un lado común ubicado entre ellos, pero sus lados no comunes están ali-neados, es decir suman 180°

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo recto. Es decir, si la suma de dos ángulos es igual a 90° entonces los ángulos son complementarios.

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo llano. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 180°entonces los ángulos son complementarios.

Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se for-man 8 ángulos. A la relación que forman entre ellos estos 8 ángulos se le conoce como ángulos relevantes. Los ángulos pueden ser: internos, externos, alternos-internos, alternos-externos y correspondientes.

Ángulos opuestos por el vértice si la prolongación de los lados de uno son los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.

Los cuatro ángulos que quedan entre las rectas paralelas son los ángulos internos. Los cuatro ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas son los ángulos externos.

Si dos ángulos no adyacentes se encuentran del mismo lado respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo, entonces los ángulos son correspondientes. Si dos ángulos se encuentran en diferente lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son alternos.

96

• Síntesis


Pueden ser alternos internos si ambos están dentro de las paralelas y al-ternos externos si están fuera de las paralelas Si dos ángulos se encuentran en el mismo lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son colaterales. Pueden ser colaterales internos si se encuentra dentro de las paralelas y colaterales externos si se encuentran fuera de las paralelas.

Construcción de triángulos:Como viste en este bloque para que sea factible construir un triángulo se requiere que la suma de las medidas de sus lados más cortos, sea mayor que la medida del lado más largo.

Se dice que dos triángulos son congruentes si las medidas de sus lados son iguales.

En los triángulos, podemos trazar varias líneas importantes que tienen características muy interesantes:La altura es igual a la distancia medida perpendicularmente desde la base del triángulo hasta el vértice opuesto.

Porcentajes:El porcentaje es una fracción de una cantidad que se toma por cada cien contenida en ella y que se denota con el símbolo %. Es decir, un porcenta-je es una proporción que compara un número con el cien.

Probabilidad:Trabajamos con un concepto nuevo para ti respecto a probabilidad.Aprendiste que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si el he-cho de que ocurra uno hace imposible la ocurrencia del otro.

En otras palabras, si la ocurrencia simultánea de ambos eventos es impo-sible, los eventos son mutuamente excluyentes.

97

Síntesis •


Medidas de tendencia central y dispersión:En este bloque trabajamos también con las medidas de tendencia central y vimos que en una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia.Si acomodas los datos de la muestra, en orden de menor a mayor, la me-diana es el dato central de la lista y la media aritmética es igual al prome-dio de todos los datos.

98 Evaluación • Bloque 1

• Evaluación

1 Resuelve los siguientes ejercicios:

2 De acuerdo a la ley de los signos que ya conoces llena la siguiente tabla.

Evaluación

3 Reduce las siguientes potencias de acuerdo a las leyes de los exponentes y explica qué ley aplicaste en cada una de ellas:

4 Resuelve: 489° y justifica tu respuesta.

a (94) (93) (96) =

b (86)5 =

a (-6) (+4) (-8) + (4) (-3) =

b (-6) (+4) (-8) + (4) (-3) =

Operación ResultadoLey de los signos que aplicaste

(-18)(12) / (-9)

(+12)(-4) / (+4)(-12)

99Evaluación • Bloque 1

Evaluación •

5 En la siguiente figura marca lo que se te pide:

Marca el punto de intersección y encuentra le medida de los ángulos que se forman entre las dos líneas.

6 En las siguientes líneas marca lo que se indica:

Marca con A y A´ cualquier par de ángulos correspondientes

Marca con B y B´ cualquier par de ángulos complementarios

Marca con C y C´ cualquier par de ángulos colaterales internos

¿Cuáles son los ángulos adyacentes?

¿Cuáles son los opuestos por el vértice?


• Evaluación

Un triángulo cuyos lados midan, 3cm, 4 cm y 5 cm

7 Con tus escuadras y tu compás construye los triángulos siguientes:

Construye un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 3 cm y 2 cm

¿Pudiste construir los triángulos de los incisos a y b? Justifica tu respues-ta.

a

b

c


Evaluación •

10 Al comprar una grabadora se pagaron 1380, iva incluido. ¿Cuánto era el costo de la grabadora sin incluir el iva?

11 Si se lanzan dos dados, ¿qué es más probable, obtener una suma de 9 o una suma de 4? Justifica tu respuesta.

8 ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo grande mide un metro? Justifiquen su respuesta.

9 En el comedor de mi casa tenemos una mesa de madera de forma cuadrada, como se muestra en la figura, queremos darle forma circular para evitar que mi hermanito se golpeé con las esquinas al pasar.

75 cm

a ¿Qué área de la mesa que se va a utilizar?

b ¿Cuál es el área de la mesa que no se va a utilizar?

R=


• Evaluación

12 Una persona hace un depósito de $ 32,000.00 en un banco. El banco le dará el 2.1 % mensual si deja el dinero en la inversión al menos 12 meses. Elabora una tabla donde indiques cuánto dinero tendra esta persona mes con mes.

13 En una caja se colocan una ficha roja, una verde y una azul, junto con una canica amarilla, una morada y una naranja. Se extraen de la bolsa una canica y una ficha al azar.Con esta información llena la tabla con todas las combinaciones posibles de canica con ficha

ficha roja

ficha verde

ficha azul

Tasa %Tiempo meses Interés Capital

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2.1

2.1

0

672

$ 32,000.00

$ 32,672.00


Evaluación •

a De acuerdo a los resultados que obtuviste, ¿cuántas combinaciones diferentes de ficha-canica puedes obtener?

b ¿Qué probabilidad tienen de ocurrir cada una de ellas?

14 ¿Cuál es la diferencia entre moda, mediana y media aritmética?

15 En un club deportivo se tomó el peso de los 12 integrantes del equipo infatil de basquetbol. Se obtuvieron los siguientes datos:

45, 40, 35, 38, 42, 40, 45, 48, 35, 39, 45, 38

Encuentra la moda, la medida y el promedio o media aritmética del peso del equipo.

16 Ahora formen 9 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo de los 9 apartados de este bloque.

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

17 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de so-lución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.

Libro secundaria 2 bloque 1

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