Libro secundaria 2 bloque 4

BLOQUE 4

M. C. Escher“Three intersecting planes”Xilografía, 1954

210

211

EJESAprendizajesesperados

Medida Proporcionalidady funciones

Análisis yrepresentación de datos

Sentido numérico ypensamiento algebraico

Forma, espacioy medida

Manejo de la información

• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.

• Resuelve problemasque impliquen el uso deecuaciones de la forma:ax + b = cx + d, don-de los coeficientes son números enteros, frac-cionarios o decimales, positivos y negativos.

• Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraica-mente o mediante tablas y gráficas.

• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

• Construcción de sucesionesde números enteros a partir delas reglas algebraicas que lasdefinen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebrai-co) de una sucesión con pro-gresión aritmética de números enteros.

• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coefi-cientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y nega-tivos.

• Caracterización de ángu-los inscritos y centrales en un círculo, y análisis de susrelaciones.

• Análisis de las caracte-rísticas de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el pla-no cartesiano.

• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de can-tidades.Representación de la varia-ción mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

• Resolución de situacionesde medias ponderadas.

Patrones y ecuaciones

Competencias que se favorecen:• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

CONTENIDO:

TEMA

212 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Construcción de sucesiones

de números en-teros a partir delas reglas alge-braicas que las

definen. Obten-ción de la regla general (en len-guaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de nú-meros enteros.

Pat

rone

s y

ecua

cion

es

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico212

Recordando lo que ya sabes...

• ¿Qué relación encuentras entre el número de regletas que usaste para cada figura y la posición de la figura dentro de la sucesión?

• ¿Cuántas regletas usaron?

• ¿Cuántas filas de regletas muestra la figura?

• Si quisiéramos tener sólo 3 filas api-ladas, ¿cuántas regletas usarían?

• ¿Y para 10 filas?

• ¿Podrías establecer una regla que te diga la cantidad de regletas que usa-rías en la fila n de la sucesión?

Construyan ahora con regletas blancas la siguiente sucesión y traten de encontrar la regla que nos define el patrón:

En el curso anterior, pudimos analizar varias sucesiones de números naturales, algunas las relacionamos con formas geométricas, pudi-mos plantear también una regla para encontrar cualquier número

dentro de la sucesión.

Junto con un compañero tomen sus regletas café y colóquenlas como se muestra en el siguiente esquema.

1 2 3

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

• ¿Podrías decir cuántas regletas necesitas para construir las figuras 10 y 14 de la sucesión?

• Ahora construye la secuencia que correspondería a las otras tres reglas que te dimos, encuentra los primeros 6 términos y además encuentra el término 12 y 17 de cada una de ellas.

Fíjate bien en las siguiente reglas y elige la que corresponde a la secuencia de regletas blancas que construiste.

1 n + 3 2 (n +2) +1 3 (3n + 2) +1 4 3n

Un pequeño submarino no tripulado que hace una investigación en el fondo del mar baja a una razón de 45 metros cada minuto. Recordemos que las medidas bajo el nivel del mar se consideran negativas.Completa la tabla de acuerdo a la información que tienes:

Vamos a construir sucesiones:

Tiempo

Metros

1 minuto 2 minutos 3 minutos 4 minutos 5 minutos

• ¿Cómo obtienes el tercer término de la secuencia?

• ¿Cómo podrías saber a qué profundidad se encuentra el submarino des-pués de 10 minutos de iniciado el descenso?

• ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a un naufragio que está a 200 metros de profundidad para tomar unas fotos?

• ¿Qué observas en la sucesión, va aumentando o disminuyendo?

Llamamos sucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el si-guiente término.

Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, _ _ _ sigue la siguiente regla: «suma 1 al último término de la sucesión y al resultado multiplícalo por dos».

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 213

Patrones y ecuaciones •

ACTIVIDAD 3


• Patrones y ecuaciones

Escribe la regla general que describe a esta sucesión:

• ¿Encuentras alguna constante?

• ¿Qué operación haces con la constante, las sumas o la multiplicas?

A Alexis su papá le da $100 el lunes para sus gastos diarios. Gasta $26 promedio diario en transporte y almuerzo. Llena la siguiente tabla:

Día

Dinero

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

• ¿Le alcanza a Alexis el dinero que le da su papá los lunes para toda la se-mana?

• ¿Cuántos días puede Alexis cubrir sus gastos con ese dinero?

• ¿A partir de que día tiene que empezar a pedir prestado para poder cubrir sus gastos?

• ¿Cuánto le tendría que dar a Alexis su papá para que le alcance para la semana?

Encuentra una regla general que describa la sucesión, y la constante que debes usar para que se cumpla.

Como verás, has trabajado con sucesiones que se construyen de diferente manera, en algunas sumas la constante y en otra la multiplicas.Ejemplo: la sucesión: 4, 7, 10, 13, 16, 19,… es una sucesión aritmética ya que la diferencia entre dos términos consecutivos es 3, es decir a un término se le suma 3 para obtener el término anterior.

La sucesión 2, -6, 18, -54, 162,… es una sucesión geométrica ya que se re-quiere multiplicar cada término por -3 para obtener el término siguiente.

Una sucesión aritméti-ca es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una diferencia constante.El primer término de la lista se denota por a1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n-ésimo término an de la sucesión usando la fór-mula:

an= a1 +d (n -1)

Una sucesión geomé-trica es la lista de núme-ros que tienen la propie-dad que cualesquiera dos consecutivos tienen una razón constante. Es decir, si dividimos

para cualesquiera dos términos consecutivos de la sucesión.

El primer término de la lista se denota por a1 y la razón constante por r. Podemos calcu-lar el n-ésimo término an de la sucesión usan-do la fórmula:

an = (a1) (r n-1)

at + 1

at

= r



Analiza las siguientes sucesiones para determinar si son geométricas o aritméticas y encuentra la constante que se utiliza en cada una así como la regla general que la describe.

A trabajar...

SucesiónGeométrica o

aritmetica Constante Regla general

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

8, 6, 4, 2, 0, -2, -4

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

7, -14, 21, -28, 35, -42

2, 5, 8, 11,14, 17, 20

1.5, 0, -1.5, -3, -4.5, -6

-4, 1, 6, 11, 16, 21, 26

0, -25, -50, -75, -100



Ahora te vamos a dar la regla de varias sucesiones y tú encuentra los ocho primeros términos de cada una así como el término 15 y el 30:

¿Fácil o difícil?

• Con un compañero inventa tres reglas y construyan las secuencias.Después intercambia con otra pareja de compañeros sus secuencias, sin dar-les la regla y descubran las reglas. Comenten los resultados.

Regla Término 15 Término 30

n+5

4n

-5n

2n-15

-2n+8

6n+8

15n

-2n +1

-3n

-2n-2

½ n

n2

-4n-5

n-21

4n+5

Los ocho primeros términos

TEMA

Resolución de problemas que impliquen el

planteamiento y la resolución de ecuaciones

de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en

ambos miembros de la ecuación, utilizando coefi-cientes enteros, fraccionarios o

decimales, posi-tivos y negativos.

CONTENIDO:

Pat

rone

s y

ecua

cion

es

La balanza de donJosé Luis


Don José Luis tiene una tienda de abarrotes, y su hijo Santiago le es-condió las pesas de la balanza. Ahora se le ha complicado un poco las ventas porque le es difícil determinar el peso de las cosas.

Lo que hace es colocar diferentes cosas en los platos de la balanza para tratar de encontrar su peso.Quiere saber el peso de una lata de tomate y se da cuenta de que la ba-lanza queda nivelada si coloca objetos de los que si conoce su peso para equilibrarla de la siguiente forma:

1 kg1 kg

1 kg

Tom

ate

3 kg 5 kg

• ¿Que te parece si utilizamos o tu tablero de positivos y negativos para representar cada uno de los platos de la balanza y representamos con re-gletas el problema de José Luis?

Representaremos el valor de lo que no conocemos con cualquier cosa. Puedes hacer regletas de algún color de papel que no tenga el tamaño de ninguna de tus regletas.



Tomate

a

b b bv

• ¿Qué podemos hacer para encontrar el valor peso de la lata de tomate?

Analiza las siguientes preguntas y responde:

• ¿Qué pasa si paso las tres regletas blancas de un plato al otro?

• ¿Qué pasa si agrego 4 kilos a cada plato?

• ¿Qué pasa si le quito lo mismo a cada plato?

• ¿Qué pasa si paso algo del plato de la derecha al de la izquierda?

• ¿Qué es lo que pasa si sumo lo mismo a cada lado?

• ¿Qué pasa si quito a ambos lados algo pero diferente?

• ¿Qué tengo que hacer para que mi balanza se mantenga en equilibrio?

Lo que tenemos en los platos podemos representarlo con una expresión matemática en la que el equilibrio lo representaremos como una igualdad.Lata de tomate + 3b= a + vSi te parece, para no tener que escribir “lata de tomate” cada vez que lo necesitemos lo representaremos como “x”Entonces la representación matemática de nuestro problema quedaría

x + 3b = a + v

• ¿Cómo podemos encontrar ahora el peso de la lata de tomate?

Vamos a quitar ahora lo mismo a cada plato para que el equilibrio no se pierda.

=



=

x + 3b = a + v

Damos valor numérico a las regletas:

x + 3 = 5 + 3

=

Quito 3 de cada lado de mi balanza.

x + 3 - 3 = 5 + 3 - 3

=

x = 5

¡ Ya tengo el peso de la lata de tomate !

b b bx

a v

a vv

b b bxv

x a

EL principio de la ba-lanza nos sirve para mantener el equilibro o balance en una ecua-ción. Toda operación que se realiza en un lado de la igualdad, debe de realizarse también del otro lado para que ésta se conserve.



A la representación algebraica que acabas de construir se le llama ecuación.

Una vez que tenemos representada y escrita la ecuación podemos mani-pular y sustituir nuestras regletas para hacer que nos quede una regleta incógnita sola en un plato de la balanza y así conocer su valor.

Describe a continuación los pasos a seguir para poder encontrar el valor de x en la ecuación:

=x

x

R Vx

Paso 1

x x

2x - x + 4 = x - x + 6

En una ecuación intervienen símbolos cuyos valores son conocidos y símbolos cuyos valores son desconocidos o incógnitas.Por ejemplo, la expresión:

x + x + 4 = x + 6

Tiene símbolos con valores conocidos como el 4 y el 6 y símbolos que se desconocen como x, y ó z que se llama incógnita.Representemos la ecuación en tu tablero de positivos y negativos.

x + x + 4 = x + 6

2x + 4 = x + 6

=x

x

R Vx

Resolvamos la ecuación:

Una ecuación es una igualdad que contiene cantidades desconoci-das, por ejemplo:

x + 6 = 20

La incógnita es el símbolo literal cuyo valor se desconoce. Generalmente se de-notan a la incógnita usando las últimas le-tras del alfabeto:

t, u,v, x, y, z.



Lo que acabamos de hacer es resolver la ecuación. Cuando resolvemos una ecuación intervienes operaciones en cierto orden para lograr despe-jar la incógnita.

Hagamos ejerciciosResuelve las siguientes ecuaciones representándolas primero con regle-tas en tu tablero, registra los pasos que vas haciendo en tu cuaderno de centímetro cuadrado escribiendo el proceso que haces en cada paso:

X+8=8+6

3+x+10= 22+3

1

2

=x R V

Paso 2

x + 4 = 6

=x R V

Paso 3

x + 4 - 4 = 6 - 4

R R

=x r

Paso 4

x = 2



En algunas ecuaciones te vas a encontrar paréntesis, ¿recuerdas tu jerarquía de operaciones? De acuerdo a la jerarquía debemos trabajar primero el paréntesis y eliminarlo para poder trabajar después con las demás operaciones.Por ejemplo: Resolvamos en tu tablero 4(x+1) = 20

¿Y si encuentro un paréntesis?

X+2=19

3x + 5 = 2x + 9

2x +12= x - 12

4x + 2= 3x +8

7x +1= 4x +16

3

4

5

6

7

4 veces (x + 1 ) = 20=

x

x

x

x NN

Representamos:

4 (x + 1 ) = 20

4x + 4 = 20

=

x

x

x

x NN

4x + 4 - 4 = 20 - 4RR R

Ahora sí, ya no tenemos paréntesis y podemos despejar la x como o habíamos venido haciendo:



=

x

x

x

x NV

Buscamos una regleta que me divida al 16 en 4 partes iguales:

=4x4

164

=

x

x

x

x R Entonces: x = 4RRR

Resuelve ahora las siguientes ecuaciones. Recuerda que la incógnita puede estar representada por diferentes letras (x, y, z) pero el proceso para encontrar su valor es el mismo. Represéntalas en tu tablero de regletas si es necesario y no olvides la jerarquía de operaciones:

3(x+2)= 30 +x

8+2(y-5)= 14

6(y-1)=7y-12

4(2x+6)= 96

5(x-4)=24

X+4(x-3)=28

25-(3x-5)= -60

5(x-3)+x=21

1

2

3

4

5

6

7

8

Para comprobar que el resultado que obtuviste al resolver una ecuación, de-bes sustituir el valor encontrado en donde esté la incógnita para verificar el resultado. Por ejemplo:

Resolver: 5 (x - 3 ) + x = 21

a Quitamos paréntesis: 5x - 15 + x = 21

Hagamos más ejercicios

¿Están bien mis resultados?



b Sumamos los términos semejantes: 6x - 15 = 21

c Sumamos 15 a cada miembro: 6x - 15 + 15 = 21 + 15

d Reducimos: 6x = 36

e Dividimos todo entre el mismo número: 6x6

366=

f Encontramos el valor de x: x = 6

Ahora comprobamos la ecuación: 5 (x - 3 ) + x = 21

a Sustituimos x = 6 5 (6 - 3 ) + 6 = 21

b Reducimos el paréntesis: 5 ( 3 ) + 6 = 21

c Quitamos el paréntesis: 15 + 6 = 21

d Reducimos nuevamente: 21 = 21

Si se cumple la igualdad, el valor de x que obtuvimos es correcto.

Regrésate hasta el principio del tema y comprueba que todos los resulta-dos que habías obtenido fueron ciertos.

Y con las fracciones... ¿qué hacemos?Cuando encontramos una ecuación que tiene una fracción, debemos de buscar la forma de eliminar los denominadores para poder resolverla.No olvides que la ecuación es como una balanza en equilibrio y la única forma de mantener el equilibrio es hacer exactamente lo mismo en ambos platos de la balanza.

Recuerda también que lo que necesitamos para resolverla es dejar a la incógnita sola en un miembro de la igualdad para que en el otro miembro nos quede su valor. Los pasos a seguir son diferentes dependiendo de la situación pero las operaciones que podemos hacer a ambos miembros de la igualdad son suma, resta, multiplicación, división y en su momento verás que también habrá veces en que te convenga elevar a una cierta potencia e incluso sacar raíz.Veamos un ejemplo:



Como verás no es tan complicado, sólo hay que encontrar la operación adecuada para cada caso.

En resumen:

• ¿Qué operación debes hacer a ambos miembros de la igualdad si quie-res eliminar una cantidad que se está sumando?

• ¿Y para quitar una que se está restando?

• ¿Qué operación debes realizar para eliminar una cantidad que esté multiplicando a tu incógnita?

• ¿Y para eliminar una fracción?

Más ejerciciosResuelve ahora las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados:

Ecuación:

a Podemos multiplicar ambos miembros por 5

x5 = 2

x55 ( ) = 5 ( 2 )

b Eliminamos paréntesis: 5x5 = 10

c Simplificamos: x = 10

Comprobamos: x5 = 2

a Sustituimos x: 105 = 2

b Resolvemos: 2 = 2

También se pueden resolver con un producto cruzado o regla de tres que has venido manejando desde la primaria, ¿recuerdas?

1X2 = 6

220X = 5

343 = 7

44x9 = 4



Ecuación:

Sabemos que el denominador de un número entero es 1.

x7 = 3

x7

= 31

Resolvemos como productocruzado:

x7

= 31

1x = 7 (3)

x = 21

Hacemos productos cruzados:

No olvides poner paréntesis:

Otro ejemplo: 7 - x3 = 3 + x

7

7 - x3 = 3 + x

7

3 (3 + x ) = 7 (7 - x )

Eliminamos paréntesis: 9 + 3x = 49 - 7x

Sumamos 7x a ambos miembros: 9 + 3x + 7x = 49 - 7x + 7x

9 + 10x = 49

Restamos 9 a ambos miembros: 9 - 9 + 10x = 49 - 9

10x = 40

Dividimos todo entre 10: 10x10 = 40

10

Reducimos: x = 4



Comprobamos: 7 - x3 = 3 + x

7

Sustituimos el valor de x: 7 - 43 = 3 + 4

7

Reducimos: 33 = 3

3

Resolvemos: 1 = 1

Conforme vayas avanzando en el curso, las ecuaciones se harán más compli-cadas per si tú sigues los pasos que hasta ahora has ido descubriendo, no vas a tener problema.Recuerda siempre tu jerarquía de operaciones que te indica qué hacer prime-ro, y las operaciones inversas que te van ayudando a resolver una ecuación.

Otra vez hagamos ejerciciosResuelve y comprueba:

19 - b

55 - b

2=

3y - 1

6- y + 6

8=

44x - 7

32 + x

2=

24 - x

27 + x

4=

¿En donde aplicaré las ecuaciones?A nosotros nos interesa que todo lo que aprendas de matemáticas tenga una aplicación en tu vida cotidiana. Las ecuaciones pueden usarse para resolver problemas, pero una parte muy importante de la resolución de dichos problemas es que te tomes el tiempo necesario para analizar y distinguir la información que es importante en el planteamiento que se te hace, así como identificar tus incógnitas y las operaciones que debes hacer para resolverlas.



Vamos a trabajar un poco con esto:

1 La edad de Paloma es 4 veces la de su sobrina Luna. Si se le quita la edad de Sebastián, que es de 16 años, entonces queda el doble de la edad de Luna. ¿Qué edad tiene Luna?

2 Ramón tiene un negocio de reparación de ropa, en la que hacen do-bladillos, pegan botones, cambian cierres rotos, etc. Las ventas del mes de diciembre fueron tres veces mayores que las de noviembre, pero apenas la mitad de las ventas de enero. Si en total las ventas de los tres meses fue de $55 000. ¿Cuánto se vendió en cada mes?

3 Un rectángulo tiene un perímetro de 72 cm. Si uno de sus lados mide x+5 y el otro mide x+1, ¿cuál es el valor de x?, ¿cuánto mide cada lado del rectángulo?, ¿qué área tiene el rectángulo?

4 Tenemos dos figuras cuyos perímetros son iguales, calcula la medida del lado que desconocemos.

5 Si el área de las siguientes figuras es de 64cm2, encuentra la altura del rectángulo.

6 Junto con un compañero inventa un problema en el que se tenga que establecer una ecuación para su resolución. Intercambia tu problema con otro equipo para que lo resuelvan y analicen si la redacción fue correcta y pudieron expresar lo que querían.

8 cm 10 cm

2 cm

x

64 cm2

16 cm

x

TEMA

Caracterización de ángulos ins-

critos y centrales en un círculo, y análisis de sus

relaciones.

CONTENIDO:

Med

ida

Ángulo central e inscrito en la circunferencia

Eje: Forma, espacio y medida 229

1 En la figura 1 el arco AB mide 15o, por lo tanto el AOB mide 15o por ser un ángulo central. Este ángulo tiene su vértice en el centro del círculo.

a ¿Cuántos grados miden los siguientes ángulos?

Resuelve lo que se te pide.

AB

C

D

E

F

O

Fig. 1

AOC = BOC = BOD = AOD =

COD = COF = AOE = AOF =

Como ya hemos trabajado con el geoplano circular, sabemos que la circunferencia está repartida en 24 arcos de 15o cada uno, lo cual nos lleva a la conclusión de que el círculo de nuestro geoplano se

compone de 24 ángulos centrales, haciendo un total de 360o.

ACTIVIDAD 1

Eje: Forma, espacio y medida230

• Medida

a En la figura 2, traza los radios OH y OG y escribe las medidas de los siguien-tes ángulos:

GOH = GHO = HGO =

b En las figuras 3 y 4 traza los radios OC, OD, OE y OF, y escribe las me-didas de los ángulos:

C

O

D

Fig. 3

E

O

F

Fig. 4

2 En el círculo de la figura 2 traza los radios OA y OB.

a Considerando los líneas del AB, AO y OB como los lados de un trián-gulo ¿Qué tipo de triángulo es?

b ¿Cuántos grados mide el AOB?

c ¿Cuántos grados suman los ángulos interiores de un triángulo?

d Si ya tienes el valor del AOB, ¿Cuántos grados faltan para comple-tar los del triángulo AOB?

e En relación a su longitud, ¿cómo son los lados OA y OB del triángulo AOB?

f ¿Cuánto grados mide el OBA?

g ¿Cuánto mide el OAB?

h ¿Por qué crees que los dos ángulos son iguales?

A B

O

G

H Fig. 2

3

Eje: Forma, espacio y medida 231

Medida •

b ¿Cuántos grados mide el AOB?

c ¿Cuántos grados mide el BOD?

d Si el BOD mide 180o, entonces en función de la amplitud de sus lados, ¿De qué ángulo se trata?

5 El AOB comparte el arco AB con el ADB, pero no tienen la misma medida en grados porque la amplitud de los ángulos es diferente. Para en-contrar el valor del ADB nos apoyaremos en el BOD que mide 180o por ser ángulo colineal.

a El AOB mide 30o ya que el arco AB tiene dos espacios de 15o cada uno. Sumando

AOB + AOD = 180o por ser ángulos suplementarios.

Sustituyendo valores: 30o + AOD = 180o

Despejando: AOD = 180o - 30o

AOD = 150o

b Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o, al AOD hay que agregarle los valores de los ángulos OAD y ODA que suman entre los dos 30o.

A

B

C

D

O

Fig. 5

COD = OCD = ODC = EOF = OEF = OFE =

4 En la figura 5 tenemos ángulos centrales compartiendo el mismo arco con ángulos inscritos, los vértices de estos últimos hacen contacto con la circunferencia.

a Escribe si los ángulos son centrales o inscritos:

AOB es: ADC es: AOD es: AOC es: BDC es: BOC es:

Eje: Forma, espacio y medida232

• Medida

c El triángulo AOD es isósceles por tener dos lados iguales OA y OD, lo que significa que OAD = ODA, y que cada ángulo mide 15o. Por lo tanto el ADB mide 15o, o sea la mitad del ángulo central AOB.

d En la figura 6 podemos observar que el ODA = AOE, y que AOE = ½ del AOB.

6 En la figura 6 el BOC y el BDC comparten el arco BC.

a ¿Cuántos grados mide el arco BC?

b ¿Cuántos grados mide el BOC?

c ¿Cuántos grados mide el BOD?

d ¿Por qué?

e ¿Cuántos grados mide el COD?

f ¿Cuántos grados mide el ODC?

g ¿Cuántos grados mide el OCD?7 En la figura 7 hay varios ángulos inscritos compartiendo el arco

AF con el AOF.

¿Cuántos grados mide cada ángulo?

AOF = ABF = ACF = ADF = AEF =

D

A

B

CO

E

Fig. 6

F AO

ED C

B

Fig. 78 Trata de definir con tus propias palabras el procedimiento para

encontrar la medida de los ángulos inscritos.

En tu geoplano rectilíneo coloca 2 ligas como se te indica e imagina que son los ejes de coordenadas de una gráfica.

• ¿Cómo se le llama al eje vertical?

• ¿Con qué literal se representa normalmente?

• ¿Cómo se le llama al eje horizontal?

• ¿Con qué literal se representa?

• ¿Cómo se le llama al punto donde se intersectan los ejes de coordena-das?

• ¿Cómo se representa el punto de intersección?

Localiza en tu geoplano los siguientes puntos:

( 0,1 )

( 2,0 )

( 4,3 )

( 1,3 )

( 2,4 )

( 1,0 )

( 0,2 )

( 2,2 )

( 3,3 )

( 3,1 )

TEMA

Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionali-

dad en el plano cartesiano.

CONTENIDO:

Aná

lisis

y r

epre

sent

ació

n de

dat

os

El plano cartesiano

Eje: Manejo de la información 233

Eje: Manejo de la información234

• Proporcionalidad y funciones

• ¿Recuerdas qué nombre se le da a cada pareja de números?

• ¿Qué representa el primer número en un par ordenado?

• ¿Qué representa el segundo número en un par ordenado?

Al conjunto de todas estas representaciones se le llama plano cartesiano.

El plano cartesiano está formado por el eje de las abscisas (que común-mente se representa con x), el eje de las ordenadas (que se representa normalmente con y) y los pares ordenados (x,y), que nos permiten ubicar cada punto.

El plano cartesiano tiene 4 cuadrantes que se forman con la prolongación de los ejes hacia abajo y hacia la izquierda del origen.Ya has trabajado con ellos en la primaria, ¿recuerdas?

y

x

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante IVCuadrante III

Vamos a trabajar ahora en equipos de 4 compañeros.Cada uno va a ser un cuadrante del plano cartesiano y colocará las ligas de los ejes de coordenadas en la posición correcta, con respecto al origen.

A continuación te damos una lista de pares ordenados y ustedes tienen que decir a qué cuadrante corresponden y ubicarlos en sus geoplanos de acuerdo al cuadrante que cada uno represente.

( -1, 2 )

( -3, 4 )

( 1, -1 )

( 0, 0 )

( 4, -2 )

( 1, 1 )

( 3, 4 )

( 1, 2 )

( 2, -3 )

( 3, -2 )

( -1, -1 )

( 1, -2 )

( -4, -1 )

( -4, -2 )

( -1, 1 )

Plano cartesiano Siste-ma de coordenadas enel cual los ejes son mu-tuamente perpendicu-lares y ambos utilizan la misma unidad de medida.

El plano cartesiano uti-liza un sistema de co-ordenadas cartesianas (rectangulares) para de-terminar las coordena-das de los puntos.Al plano cartesiano tam-bién se le llama «plano coordenado».

En el plano cartesiano podemos hacer gráficas de funciones para poder observar e incluso pronosticar el comportamiento de un fenómeno de acuerdo al tipo de variación que presente. Podemos ver si la variación es proporcional, intervalos entre un punto y otro, y muchas cosas más.

ACTIVIDAD 1


Proporcionalidad y funciones •

Ahora cada uno de ustedes, por turnos, señale un punto en su cuadrante y que sus compañeros de equipo digan el par ordenado al que pertene-ce.

Describe brevemente cómo reconoces a qué cuadrante corresponde un par ordenado.

Cuadrante I:

Cuadrante II:

Cuadrante III:

Cuadrante IV:

En el siguiente plano cartesiano localiza los siguientespares ordenados:

y

x

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

A ( 3, 1 )

( 5, 3 )

( 3, 5 )

( 1, 3 )

B

C

D

Une con color negro los puntos ABCD para formar un cuadrilátero.Con color rojo, traza una figura A’B’C’D’ simétrica a ABCD respecto al eje vertical.Traza una figura A’’ B’’ C’’ D’’ simétrica a ABCD respecto al eje horizontal.Localiza los pares ordenados de cada punto:

A C DB

En un sistema de coor-denadas rectangulares, el plano queda dividido en 4 regiones. Cada una de esas regiones es un cuadrante.

ACTIVIDAD 2



A’ C’

A’’ C’’

A’’’ C’’’ D’’’B’’’

D’’B’’

D’B’

1 Doña Tere vive en el Distrito Federal y últimamente a habido mucha escasez de agua.El gobierno del Distrito Federal le mandó una notificación de los días que recibirá agua y las cantidades que serán suministradas.

Diego, su nieto, le hizo unas gráficas de cuánta agua tendría en la cisterna durante esos días. Diego tomó en cuenta también la cantidad de agua que había los días en que la cisterna no estaba vacía al iniciar el día.

Horas

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agua

en

la c

iste

rna

(litr

os)

Lunes

Hagamos ejercicios



550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agua

en

la c

iste

rna

(litr

os)

Horas

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agua

en

la c

iste

rna

(litr

os)

Horas

Miércoles

Viernes



• ¿Durante cuántas horas se hará el suministro de agua?

• ¿En qué día había más agua en la cisterna al iniciar el día?

• La cantidad de agua que entra por hora depende de la presión con la que se bombea el suministro. ¿En qué día de los que graficó Diego el agua tenía más presión?

• ¿En qué día el suministro de agua no fue constante? ¿Por qué?

• ¿En qué días el suministro de agua y la cantidad de agua en la cisterna mantienen una relación directamente proporcional?

• ¿Qué características tienen las gráficas que mantienen una proporción directa?

• Construye una tabla que represente el suministro de agua y el tiempo de cada una de las gráficas.

• Indica qué tablas son directamente proporcionales y justifica tu respuesta.

• Establece una expresión algebraica para las gráficas que puedas.

Horas

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agua

en

la c

iste

rna

(litr

os)

Sábado

TEMA

Análisis de situaciones

problemáticas asociadas a

fenómenos de la física, la biolo-

gía, la economía y otras discipli-nas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

Representación de la variación mediante una tabla o una ex-

presión algebrai-ca de la forma:

y = ax + b.

CONTENIDO:

Pro

porc

iona

lidad

y f

unci

ones

Aplicación de lasecuaciones


En este tema veremos de qué forma se aplican las ecuaciones que estuviste trabajando en el tema anterior a problemas relacionados no sólo con las matemáticas, sino con otras materias.

Por ejemplo: En economía y finanzas, se requiere de ecuaciones para cal-cular la conversión de monedas como dólares a pesos mexicanos y estos a su vez a euros, etc. También usamos ecuaciones para calcular las tasas de interés y el rendimiento de una inversión de dinero en un banco.

En medicina, las ecuaciones son de suma importancia pues nos ayudan a calcular la dosis de medicamento que se debe de dar a un individuo de acuerdo a su peso y estatura, no podemos dar la misma dosis a un bebé que a un niño de 8 años o a un adulto.

Los veterinarios también necesitan calcular la cantidad de medicamento que le dan a un becerro o a un toro.En física la conversión de escalas de temperaturas, el movimiento de un cuerpo, la velocidad, la aceleración, entre otras muchas cosas se calculan mediante ecuaciones.



Cómo se alarga un resorteEn la central de abastos, tienen un resorte para pesar los costales de na-ranjas.El resorte tiene 10 cm de longitud cuando no tiene peso, y por cada medio kilo que se le cuelga de peso se extiende un centímetroCompleta la siguiente tabla para que veas la relación entre la longitud del resorte y el peso que se le cuelga.

• Si el alargamiento máximo que aguanta el resorte es de 10 centímetros, ¿cuál es el peso máximo que se puede colgar?

• ¿Si aumentamos el peso que está colgado al doble, el alargamiento del resorte también es del doble?

• Establece la ecuación que te describe el problema.

Qué tan rápido viaja un automóvilEn un viaje que hicieron Mariel y Ramón de Puebla a Oaxaca por carrete-ra hicieron un recorrido de 344 km. De Puebla a San José Miahuatlán, el recorrido es de 152 km, mismos que pudieron recorrer a una velocidad constante de 110 km/h ya que salieron temprano de casa. Se detuvieron a desayunar y tardaron 35 minutos en el desayuno. Cuando retomaron la carretera ya había más tráfico y viajaron a una velocidad constante de 95 km/h.

Establece la ecuación que nos ayuda a encontrar el tiempo que tardaron de Puebla a San José y de San José a Oaxaca.

Peso Longitud total del resorte Cuánto se alarga

0 10 centímetros 0

1/2 kg 11 centímetros 1

1 kg

2 kg

3 kg



• ¿Puedes calcular ambos tiempos con la misma ecuación?

• ¿Por qué?

• Calcula el tiempo parcial de cada recorrido, el tiempo total del viaje y a qué hora llegaron a Oaxaca si salieron de Puebla a las 6 de la mañana.

Y en la medicina, ¿qué podemoscalcular?¿Sabes cuánta sangre tenemos en nuestro cuerpo? ¿Crees que todos te-nemos la misma cantidad? Se calcula que un adulto sano tiene aproxima-damente un litro de sangre por cada 10 kg de masa.

• ¿Puedes establecer una ecuación que nos ayude a calcular la cantidad de sangre que tiene cualquier persona adulta si conocemos su masa?

• ¿Cuánta sangre tiene un hombre que tiene una masa de 68.2 Kg?

• ¿Puedes calcular cuánta sangre tienes aproximadamente en tu cuerpo?

Los ingenieros civiles tambiénusan ecuaciones

Se construyó una presa con una capacidad de 150 000 000 000 m3. El río que la alimenta tiene un caudal de aproximadamente unos 70 000 litros por minuto. Escribe una ecuación que nos indique el llenado de la presa en función del tiempo considerando la presa vacía.

• Si la presa tuviera 3 000 000 de litros de agua, ¿cuál sería la ecuación que describe el llenado?

• ¿Cuánto tiempo se tomará en ambos casos el llenado de la presa?

Como verás las ecuaciones tienen muchas aplicaciones en muchas mate-rias. Toma tu libro de física y busca al menos dos situaciones en las que se aplica una ecuación para la resolución del problema.


CONTENIDO:

TEMA

242

Resolución de situaciones

de medias pon-deradas.

Aná

lisis

y r

epre

sent

ació

n de

dat

os

242

¿Todos cuentan igual?

1 En un elevador viajan 9 personas, cuyos pesos son 77, 85, 65, 75, 68, 77, 72, 68 y 43 kg respectivamente.

• ¿Puedes cuál es el peso promedio de estas siete personas?

• ¿Qué te representa este promedio?

• ¿Cuál es el proceso que seguiste para encontrar este promedio?

Resolvamos otro ejercicio, es importante que analices bien primero los da-tos que se te dan antes de resolverlo.

2 A un conjunto de 6 números cuya media aritmética es de 8.17 se le aña-den los números 3.82 y 5.45.

• ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

Compara tus resultados con tus compañeros, analicen lo que hicieron para resolverlo. Si los resultados son diferentes, analicen los pasos que siguieron para encontrar en dónde está la diferencia en sus procesos.

E En temas anteriores ya has trabajado con el promedio o media arit-mética. ¿Recuerdas cómo resolvías problemas de este tipo?

Veamos:


Análisis y representación de datos •

Respondan las siguientes preguntas:

• ¿Cuáles son los datos del problema?

• ¿Tiene todos estos datos el mismo peso dentro de la resolución del pro-blema? ¿Por qué?

• ¿Qué propones para que se pueda nivelar la diferencia entre el peso de los datos dentro del problema?

Comenten entre ustedes y con su maestro, qué es lo que deben hacer para resolver el problema de manera correcta.

Lo que estamos haciendo es ponderar los datos para encontrar de forma correcta la media aritmética.

¿Qué significa ponderar? Ponderar significa determinar el peso de algo, equilibrar. Es decir, ponderar implica dar a cada uno de los elementos del conjunto con el que se trabaja el peso o importancia que se requiere.

En el caso del ejercicio que acabas de resolver, lo que debes hacer es obte-ner una media ponderada.

La media ponderada se utiliza cuando no todos los elementos de los que se requiere encontrar la media aritmética o promedio tienen la misma im-portancia.

Resolvamos otro ejercicio:

3 Dentro de un elevador van 10 personas. Seis de ellas son hombres y cuatro mujeres. El promedio de peso de los hombres es de 80 kg y el pro-medio de peso de las mujeres es de 50 kg.

• ¿Cuál es el peso promedio de las 10 personas que van en el elevador? Justifica tu respuesta.

La media ponderada es una medida de tenden-cia central, que se de-termina en un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular, consi-derado su peso. Con los resultados de cada uno de los datos, se obtiene la media aritmética de todos los productos an-teriores.

• ¿Tienen los datos del problema el mismo peso en la solución?

• ¿Todos los datos representan la misma contribución al promedio gene-ral?

• ¿Crees que requieras aplicar una ponderación para resolver el proble-ma?

Hagamos un análisis:

• ¿Qué porcentaje de las personas que van en el elevador pesa 80 kg?

• ¿Qué porcentaje pesa 50 kg?

• Si sumamos los porcentajes que obtuviste, tendremos el 100%, ¿cierto?

Representa ahora los porcentajes en decimales:

Porcentaje de personas que pesan 80 kg = ____ % =_____

Porcentaje de personas que pesan 50 kg = ____ % =_____

Ahora multiplicamos estos porcentajes por el peso de las personas para obtener el promedio ponderado:

80kg (_____) + 50kg (_____) = ________

¡Este resultado es el promedio ponderado!

• ¿Coincide con el resultad que obtuvieron tus compañeros y tú por el mé-todo individual de cada uno?

Comparen resultados y compartan sus comentarios con su maestro.


• Análisis y representación de datos


Análisis y representación de datos •

Vamos a ejercitarnos ahora:

1 Una empresa tiene 80 empleados, de los cuales 65 ganan $10.00, x hora y 15 ganan $14.00 x hora ¿Cual será la ganancia promedio por hora de los empleados?

2 Las siguiente tabla muestra los 4 exámenes que presento un alumno en su curso de Historia. Cada examen tiene un peso diferente en la calificación final. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes y las calificaciones que el alumno obtuvo:

• ¿Cuál será su calificación promedio en el curso de historia?

3 Diego juego Hockey sobre pasto. En un partido el equipo gana 3 puntos por cada partido ganado, 2 puntos por cada partido empatado y 1 punto por cada partido perdido.

Si durante la temporada el equipo de Diego ganó 8 partidos, empató 7 y per-dió 5 partidos; ¿Cuál es el promedio ponderado de los puntos obtenidos en la temporada?

Hagamos ejercicios

Examen Pesos Calificación

1° 20% 9

6

10

8

40%

15%

25%

2°

3°

4°

4 Una constructora le paga a sus empleados del turno 1 $25 x hora, a los del turno

2 $20 x hora y a los del turno 3 $30 x hora. Si hay 12 empleados en el turno 1, 16 en

el turno 2 y 12 en el turno 3. ¿Cuál es el salario medio ponderado por hora que se les

paga a los empleados en la constructora?

5 En un camión de pasajeros viajan 4 personas, 30 adultos y 10 niños. Si la edad promedio de los adultos de 40 años y la de los niños es de 6 años, ¿cuál es la edad promedio de las 40 personas que viajan en el autobús?

7 Para la calificación final de matemáticas, el maestro de Macarena les in-formó que se considerarán los siguientes aspectos: examen individual, trabajo en equipo, participación individual en clase, tareas completas, calificación del cuaderno.

Macarena tiene un promedio de 8 en el examen individual y la calificación del cuaderno y un promedio de 7 en los demás aspectos a considerar.

El maestro dice a Macarena que tiene un promedio de 7.4 y que en el redon-deo baja a 7 pero según ella su promedio es de 7.5 y en el redondeo sube a 8.

• ¿Quién tiene la razón? Justifica tu respuesta.

Ahora vamos a trabajar en equipos de 4 ó 5 compañeros. Cada equipo invente dos situaciones cuya resolución requiera calcular un promedio ponderado. Expongan algunas de las situaciones que inventaron a los demás compañeros, resuélvanlas de forma grupal y comenten sus resultados.


• Análisis y representación de datos

Síntesis • Bloque 4 247

Síntesis •

Síntesis:A continuación te damos la síntesis para el bloque 4, para que recuerdes los conceptos más importantes con los que trabajamos en este bloque. Es importante que los leas y los recuerdes pues los utilizarás a lo largo de tu formación secundaria.

Series y sucesiones:Llamamos sucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el siguiente término.

Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, _ _ _ sigue la siguiente regla: «suma 1 al último término de la sucesión y al resultado multiplícalo por dos».

Una sucesión puede ser geométrica o aritmética.La sucesión aritmética es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una diferencia constante.El primer término de la lista se denota por a

1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n-ésimo término an de la sucesión usando la fórmula:

an = a1 +d (n -1)

Mientras que la sucesión geométrica es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una razón constante. Es decir, si dividimos

para cualesquiera dos términos consecutivos de la sucesión.El primer término de la lista se denota por a

1 y la razón constante por r. Po-demos calcular el n-ésimo término an de la sucesión usando la fórmula:

an = (a1) (r n-1)

Ecuaciones:En este bloque conociste el principio de la balanza que nos sirve para mantener el equilibro o balance en una ecuación. Toda operación que se realiza en un lado de la igualdad, debe de realizarse también del otro lado para que ésta se conserve.Se conoce como ecuación es una igualdad que contiene cantidades desco-nocidas, por ejemplo: x + 6 = 20

at + 1

at

= r

Síntesis • Bloque 4248

• Síntesis

AB

O

Ángulo central e inscrito en la circunferenciaEl ángulo central es el que está formado por dos radios

La media ponderada

El ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cu-yos lados son cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco de un ángulo central.

AD

C

B

O

A

B

O

A

B

O

La media ponderada es una medida de tendencia central, que se determi-na en un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular, considerado su peso. Con los resultados de cada uno de los datos, se obtiene la media aritmética de todos los productos anteriores.

Evaluación • Bloque 4

Evaluación •

1 Encuentra los primeros 6 términos de las siguientes sucesiones:

Encierra la respuesta correcta.

a n-1

b 1/n

c (1/n)+1

d 1/(n+1)

Evaluación

2 Calcular los ángulos que se te solicitan a partir de los datos registrados en la figura.

Ángulo A________

Ángulo B________

Ángulo C________ A

C

D

130o

249

Evaluación • Bloque 4250

• Evaluación

3 En la secundaria regional se organizó un torneo de futbol. El grupo de 2ºC fue encomendado para un experimento. Ellos deben generar una ecuación que determine el consumo del agua de sabor con los siguientes datos:

Elabora una ecuación que te represente el consumo de agua.

4 En una tienda se venden durante una semana 30 paquetes de frijol de $23.00 el paquete, 50 paquetes de frijol de $18.00 el paquete y 20 paquetes de frijol de $20.00. ¿Cuál es el costo medio de los 100 paquetes?

Lts Personas(y) (x)

1/4

1/2

3/4

1

1 + 1/4

1

2

3

4

5

Evaluación • Bloque 4 251

Evaluación •

5 Ahora formen 6 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 6 apartados de este bloque.

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

6 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de so-lución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.

Libro secundaria 2 bloque 4

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