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MANUAL DE EJERCICIOS MATEMTICA I 2011 Coordinacin Ciencias Bsicas Universidad Tecnolgica de Chile - INACAP Iquique MANUAL DE EJERCICIOS MATEMATICA I EDITOR Jens Jurgensen Soto Coordinador Ciencias Bsicas Universidad Tecnolgica de chile - INACAP Iquique EDICIN N2 - 2011 1.LOS NMEROS REALES 1.1 Nmeros Naturales, Enteros y Racionales Aprendizaje Esperado Calculaelvalordeexpresionesnumricasmedianteelusodepropiedades,reglasytransformacionesdelosnmeros racionales. Criterio De Evaluacin Evala expresiones dadas con nmeros enteros usando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones. 1.Efecta las siguientes operaciones aritmticas, respetando el orden de operaciones: a)S 7 + 4 b)7 (9 +6) c)(8 + S) (9 + 1) d)|(6 + 4) (2 + 7 + 1)] - (17 - 1S) e){|(16 + 4) - 12] 2] 8 f)4S 9 + 12 - 2u S + S 2 g)4 + 2 1u -S S + 2 S h)8 + (S + 6 +4 (S + 2)) i)2S - 4S + 12 -4 + S8 j)1 - 4 +(-4) -(-6) + 46 + 78 -S k)S |(8 - 4) 2 +1S (1 - 6)] l)(27 + 19 -7) S6 + 71 (18 -22) m)(-12 S + 18) (-12 6 + 8) n)4 |S - 4 (S + 1) - 2 (8 - S) + 8] - 1u 2.Calcula: a)2 +(-S) b)-S + 4 c)4 -12 d)-4 + 11 e)S -(-S) f)8 +(-S) g)-6 - S h)8 -(-4) i)4 -(-S - 6) j)8 -(-9 + 1) k)4 +(-2) +4 - 6 l)S (-S) m)S (-S) (-6) n)S (-S) (-S) (-7) o)SS u p)6u 1 q)u -4 r)1S S 2 + 4 3.Selecciona el menor de los dos nmeros dados: a)-12, -4 b)S, |-4| c)|-4|, |-S| d)-|-2|, |-S| e)|-8|, |-9| f)|S - S|, |6 - 2| g)S, |-2| h)-|-6|, -|-4| i)|7 - 2|, |1 - 8| UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 1 Criterio De Evaluacin Calcula el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros enteros positivos a travs del uso de diferentes mtodos. 4.Determine el m.c.d. entre los siguientes nmeros, usando dos mtodos diferentes: a)730 y 438 b)480, 1.400 y 8.000 c)16 y 40 d)15 y 60 e)24, 36 y 72 f)7, 14 y 21 g)4 y 6 5.Determine el M.C.M. entre los siguientes nmeros: a)6, 45 y 12 b)25, 45 y 75 c)16 y 40 d)15 y 60 e)24, 36 y 72 f)7, 14 y 21 Criterio De Evaluacin Transforma fracciones a decimales y viceversa mediante reglas establecidas. 6.Expresa en forma de un nmero decimal: a)u,7S b)-u,8u c)u,uu8 d)u,uSS e)u, S

f)u, 6S

g)u, 9

h)u, 42

i)u, 648

j)u, 216

k)u, 7S

l)1,SS m)1,99 n)2,S o)-1,uS p)-u,41 q)2,22S

r)u,1S6

s)1,1S6

t)u,u6

7.Expresa en la forma de fraccin comn los siguientes nmeros decimales: a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18 f) 17 g) 34 h) 19 i) 411 j) 10755 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 2 Criterio De Evaluacin Calcula expresiones dadas con nmeros racionales (fracciones y/o decimales) usando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones. 8.Simplifique tanto como pueda las siguientes fracciones: a) 2772 b) -15-36 c) 76114 d) -4991 e) 47-94 f) 5168 g) -3952 h) 7557 i) -24-46 j) 74111 k) 64-36 l) 010 m) 9944 9.Calcula las siguientes expresiones con fracciones: a) 127+47+207 b) 1511+1011-2111 c) 4311-2911 d) 15+43+12 e) 32+15+110 f) 13+16+[14-18 g) 911316 h) 417+324 i) 12 [23+ [-43 -34 j)[S14- 4 112 k)635-_[237+58 2830] l)1S 52-[98-2 -34 m)1 +11 + 11 + 11-3 10.Calcula las siguientes expresiones con decimales: a)4,S + 2,7S +u,2468 b)1,2S + u,12S + S,SS7 c)1SS,79 - 47,864 d)u,1S u,2 e)u,2S u,u4 f)9u,uS2,84 g)21u,uS4,S UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 3 11.Calcula el valor de las siguientes expresiones: a)S59- 1,uS

- [113+ u,6 b) 1,38

- 2,534 - 0,3

c)1 +0,251 + 0,2S1 + 0,2SS d)u,S + u,u2 +12 e)u,u4 u,u6

+ [23 u,4 - 123 f) (0,03 + 0,456 + 8) 625,458 g) [0,060,1S + 30,4 + 2 3,2[0,160,40,1 + 0,532 7,15 h) 3,125 + 4,16

3,75 - 0,83

3S9123 i) 1,6

1,2532S + S11941+284409 1.2 Potencias y Races Aprendizaje Esperado Calcula expresiones numricas utilizando propiedades y reglas de los nmeros reales. Criterio De Evaluacin Resuelve ejercicios de clculo, composicin y/o descomposicin de expresiones escritas con potencias mediante el uso de sus propiedades. 12.Escribe cada potencia como producto de factores iguales: a)83 b)15 c)u2 d)(-1)5 e)(-4)4 f)(-1u)3 g)-1uu4 13.Escribe en forma de potencia los siguientes nmeros de modo que la base sea la menor posible: a)8 b)36 c)121 d)125 e)1.000 f)2.048 14.Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor. a)1S1S1S b)(-7) (-7) (-7) (-7) (-7) c) SSSSSSd)1u1u1u1u UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 4 15.Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor: a)2-3 b)S-2 c)S-2 d)2-5 e)1u-1 f)1-4 16.Desarrollar: a)(22)2 b)(22)3 c)(23)4 d)(S3)4 e)|(S2)3]4 f)_[352_3 g)S2 S4 h)(-7)3 (-7)1 (-7)4 i)233 2 214 j)42 16 25 k)S3 9 272 l)[232 [23-1 [234 m)S3 S4 n) 9996 17.Calcula: a)26 S6

b)22 (-S)2 62 c)S4 S4 S4 d)44 (-S)4 e)72 112 f)(-S)3 S3 (-S)3 g)25 S5 S5 h)(-8)3 1u3 i)(-1S)4 1S4 1u4 Criterio De Evaluacin Opera nmeros muy grandes o muy pequeos utilizando notacin cientfica. 18.Escriba en notacin cientfica: a)El nmero aproximado de tomos en 1 gramo de oro es 278.uuu.uuu.uuu.uuu.uuu.uuu. b)La precisin de una balanza es 0,00000001 g. c)ElnmerodeAvogadro(nmerodepartculasenunamolcula-gramoomol)es 602.200.000.000.000.000.000.000. d)La luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos. e)La distancia media entre el Sol y la Tierra es 150.000.000 km. f)La masa de un electrn es aproximadamente 0,00000000000000000000000000000091 kg g)La edad de la Tierra se estima en 4.567.000.000 aos. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 5 19.Calcula y expresa la respuesta en notacin cientfica: a)(S,2 1u5) (6,1 1u-2) b)u,uuu42S 1u.uuu c)1.2uS.uuu u,uuS2S d)(u,uuu1 u,uu1)-1 e) 7,5 1092,5 103 f) 10410S5 10-S109 Criterio De Evaluacin Calcula expresiones dadas con potencias y/o races usando reglas operatorias. 20.Calcula el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las races y de las potencias a)[ 14 2 b)_[ 83 2]3 c)[ 2315 -3 d)[ 146543 3 e)[ 532 115 u,u15 f)( 6 +S )12 g)(-S 9)13 21.Utilizando propiedades de races , calcula: a)V4 16 b)V9 16 2S c)V8 643 d)_271253 e)_-18 273 f) _-[56n40 9 g) _[6494 8 h)V-27 7293 22.Reducir las siguientes expresiones: a) 1910VS + 12uVS - 44V2 + 4V2 - SVS b)V27 -VSu + V12 + V8 c)SV12S + 6V4S - 7V2u +32V8u d)(VS - 1) (V2 -VS) e)(1 - V18) [V2 +1V22 f)V12S3+ SV823 g) V27 + V3+3V483V12-2V75 h)__12-_13_ (VS - V2)-1 i) -V83 +V-83 - V16 + V81-12-1 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 6 Criterio De Evaluacin Descompone expresiones con races y/o racionaliza, usando reglas operatorias y propiedades. 23.Reduce a una sola raz: a) V62S b) V7293 c) V24 d) _22V2 e) _SSVS 24.Racionaliza las siguientes expresiones: a) 2V2 b) 3V33 c) 12V2 d) 62V3 e) 62+V2 f) 2 + V32 - V3 g) 5V7 h) 8V53 i) 1V3 - 2 j) 12V3 - V5 k) V7 - V5V7 + V5 l) V22V3 + 3V2 m) 23V3 - 5V2 1.3 Problemas de Aplicacin de Nmeros Reales Aprendizaje Esperado Resuelve problemas de aplicacin, utilizando propiedades y reglas de los nmeros reales. Criterio De Evaluacin Resuelve problemas de aplicacin empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los nmeros enteros. 25.Un grupo de 27 alumnos de Inacap decide viajar aSantiago.Elpasajeenbusdepasajeroscuesta $45.200porpersonasolodeidaovuelta.Un busdearriendolescobra$2.500.000iday vuelta por todo el grupo. Elige la alternativa ms econmica. Cunto ahorran en su eleccin? 26.Glorianecesitacomprar4cortinasparasucasa. Cadaunacuesta$14.500ypagareltotalen8 cuotas iguales. Cul es el valor de cada cuota? 27.Dospersonaspartendeunmismolugar,la primeradapasosde40cmylasegundade55 cmaqudistancialossepararcuandodenel paso 20?UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 7 28.Despusdellegaralaplaya,30amigosrealizan distintasactividades:unpardeellosjuegan paletas,dosparejasjueganalnaipe,uncuarteto canta acompaado de un guitarrista, cuatro tros construyencastillosenlaarenaylosrestantes nadan. Cuntos fueron a nadar? 29.Seestorganizandounpaseopara110nios. Cuntosbusespara32pasajerossenecesita contratar? 30.Sisecuentacon32globos,culeselnmero mximodeglobosquepuederepartirseacada uno de los 5 nios que hay en la fiesta, de forma quecadaniotengaelmismonmerode globos? 31.Unparlantedemsicaposeelassiguientes dimensiones:50cmdelargo,35cmdeanchoy 90cmdealtura.Culeselvolumendel parlante? 32.EnelcondominiodondeviveSofahayseis torresde13pisos.Silastorrestienen4 departamentosporpiso,cuntos departamentos tiene el condominio? 33.FranciscoyRodrigosonmuydeportistas.El sbadofueronacorrerjuntos,peroladistancia querecorriFranciscofueeltripledelaque corriRodrigo.SiFranciscocorri7.536m, cuntos metros corri Rodrigo? 34.En2000,elgastonacionalensaludfuede $650.000millones.En2010,estcifrahaba aumentadoenunfactorde1,9.Escribaelgasto en salud del 2000 y 2010, con el uso de notacin cientfica. 35.Secomprancintasdecuatrocolores,conlas siguientesmedidas:azul210cm,verde360cm, roja 180 cm y blanca 300 cm. Se desea cortar las cintasentrozosdelmismotamao.Culesla medida de ellos? 36.Tresciclistasrecorrenunapistacircularen20, 24y36segundos,respectivamente.Siparten juntos,despusdecuntotiemposeencontrarn de nuevo? 37.Cuntoselementosencomntieneelconjunto de los divisores de 18 y 16? 38.Qunmeroseobtienesisedivideelmnimo comnmltiploporelmximocomndivisor entre 30, 54, 18 y 12? 39.Uncamporectangularde360mdelargoy150 m de ancho, est dividido en parcelas cuadradas iguales.Elreadecadaunadeestasparcelas cuadradaseslamayorposible.Culesla longitud del lado de cada parcela cuadrada? 40.MarayJorgetienen25bolasblancas,15bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor nmerodecollaresigualessinquesobre ninguna bola. a) Cuntos collares iguales pueden hacer? b)Qunmerodebolasdecadacolortendr cada collar? 41.Unmueblistaquierecortarunaplanchade madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo ms grandes posible. a)Culdebeserlalongituddelladodecada cuadrado? b)Cuntoscuadradosseobtienendela plancha de madera? 42.Carlos tiene en su tienda los botones metidos en bolsas.EnlacajaAtienebolsitasde24botones cadaunaynosobraningnbotn.EnlacajaB tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobraningnbotn.Elnmerodebotonesque hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B.Cuntosbotonescomomnimohayencada caja? 43.Teresatieneunrelojquedaunasealcada60 minutos,otrorelojquedaunasealcada150 minutos y un terceroque da una seal cada 360 minutos.Alas9delamaanalostresrelojes hancoincididoendarlaseal.Cuntashoras, comomnimo,handepasarparaquevuelvana coincidir? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 8 44.Un emperador romano naci en el ao 63 a. C. y muri en el 14 d. C. Cuntos aos vivi? 45.Una bomba extraen el petrleo de un pozo a 975 mdeprofundidadyloelevaaundepsito situadoa28mdealtura.Qudistanciase desplaza el petrleo? 46.Qudiferenciadetemperaturasoportauna personaquepasadelacmaradeconservacin de las verduras, que se encuentra a 4 C, a la del pescadocongelado,queesta-18C?Ysi pasaradelacmaradelpescadoaladela verdura? 47.Latemperaturadelairebajasegnseasciende enlaAtmsfera,araznde9Ccada300 metros.Suponiendoqueanivelcerola temperaturaesdecerogrados,Aqualtura vuela un avin si la temperatura del airees de-81 C? 48.Enundepsitohay800Ldeagua.Porlaparte superioruntubovierteeneldepsito25Litros por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen30Litrosporminuto.Cuntoslitrosde aguahabreneldepsitodespusde15 minutos de funcionamiento? Criterio De Evaluacin Resuelve problemas de aplicacin empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los nmeros racionales y decimales. 49.EnuncursodeMatemticahay48alumnos,de loscuales 38sonmujeres.Cuntoshombres hay en este curso? 50.En el cumpleaos de Ana se dividi una torta en 12partesiguales.Anasecomi 112detorta, Paula comi 16, Pedro comi 14y Carlos 13. Qu fraccindetortasecomieronentreloscuatros amigos? 51.Unciclistahaestadocorriendodurantetres horas.Enlaprimerahora,harecorridolos 518 de untrayecto; en la segunda hora, ha recorrido los 725deltrayecto;y,enlatercerahora,ha recorridolos 1145deltrayecto.Qufraccin queda por recorrer del trayecto? 52.EnunestanteAhay60botellasde 34delitro cadaunayenunestanteBhay120botellasde 14 de litro cada una. Calcula los litros totales que contienen las botellas en cada estante. 53.Unestanquetieneaguahastalamitad.Sise sacandel2litros,sealcanzaunnivel equivalentealos 310desucapacidad.Cuntos litrosdeaguahacenfaltaparallenarel estanque? 54.El valor de la UF es de $ 21.534. Calcular el valor en pesos de los siguientes seguros: Cesanta 0,05 UF,ProteccinIdentidad0,25UF,Desgravamen 0,1 UF, Salud 0,8 UF. 55.Unenvaseconunlitrodeaceitepesa1,21 kilogramos.Siunlitrodeaceitepesa1,106 kilogramos, cunto pesa el envase? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 9 56.Roberto y su hermano Ivn salen de paseo, cada unoensubicicleta.SilaruedadeRoberto avanza1,8mencadagiroyladesuhermano Ivn0,45mmenos,cuntosmetrosavanzala rueda de la bicicleta de Roberto en tres giros? Y labicicletadeIvnenlosmismostresgiros?, cunto ms avanz Roberto que Ivn? 57.Uncaminquetransportaautomvilesllevaun Jeep que pesa 1,375 ton., un automvil que pesa 0,85tonyunacamionetaquepesa1,055ton. Cuntopesaentotallacargaquellevael camin? 58.El da de la Solidaridad, los alumnosde primero mediofueronapintarlasparedesdeunhogar de ancianos. En el living delhogar deban pintar 2muros,elprimeromeda6,4mdelargopor 2,7 m de alto y el segundo 7,9 m de largo por 2,7 dealto.Culeslamedidadelasuperficietotal que deban pintar en ese living? 59.Aproxima cada nmero a 2, 3 y 5 decimales: a)0,3256879546 b)12,76453429 c)4,1223130312 d)5,410463924 e)125,65831421 f)1.324,98542132 60.Unestudianteobtuvoenlaasignaturade MatemticaIlassiguientesnotas:5,1;3,2;4,5; 3,9;3,0.Calculaelpromedio(mediaaritmtica), aproximado a un decimal. 61.Elreadeunterrenocuadradoes143m2.cuntomideelladodelterreno?Aproximeel resultado hasta la dcima de metro. 62.UnalumnodeInacapestcursandouna asignaturaquetieneenelsemestretresnotas parciales,conponderaciones30%,25%y45%. Obtienelassiguientesnotas,respectivamente: 4,0; 3,5; 5,1.a)Calcule la nota semestral. b)DeberendirelExamenFinal?Encaso afirmativo,qunotamnimadebeobtener para aprobar la asignatura? Criterio De Evaluacin Resuelve problemas de aplicacin empleando conceptos y reglas operatorias de los nmeros irracionales. 63.Elvolumendeunaesferaes 34r3t ,siendorla medidadelradio.Calculaelvolumendeuna esfera de radio 32 7 cm. 64.Qumedidadebetenerelradiodeunaesfera para que su rea superficial sea 2 m2? 65.La suma de los cuadrados de dos nmeros es 84. Sielnmeromayores9.Culeselotro nmero? 66.Calcula el rea de un cubo de arista3 2 cm. 67.Unnmeroelevadoacuatromultiplicadopor3 ydivididopor4daporresultado3.Halleel nmero. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 10 Criterio De Evaluacin Resuelve problemas de aplicacin utilizando las propiedades de las potencias y/o races. 68.Uncentrodemadresorganizaunacampaa paraconseguirdineroyenviarloaun proyectodecooperacin.Paraellohan vendidocajasdelpicesdecolores.Encada unodelos7das,vendieron7paquetes. Cada uno de estos paquetescontena 7 cajas con7lpicesdecolorescadauna.Cuntos lpices han vendido en total? 69.Se tiene un cubo de lado 2 centmetros.a)Cunto vale su volumen?b)Siseduplicaellado,seduplicar tambin su volumen? 70.Enunacajahay16paquetes,cadapaquete tiene16bolsas,cadabolsa16bombonesde chocolates.Expreselacantidadbombones que hay en la caja mediante una potencia. SOLUCIONES 1.a) 25b) 105c) 110d) 96e) 2f) 19g) 15h) 37i) 44j) 118k) 342l) 1.120m) -S n) -S4 2.a) -1b) -1c) -8e) 7f) 5g) -11h) 12i) 13j) 16k) 0l) -1Sm) 54n) -S1So) 3p) 60q) 0r) 14 3. a) -12b) 3c) |-S|d) -|-2|e) |-8|f) |S -S|g) |-2|h) -|-6|i) |7 - 2| 4. a) 146b) 40c) 6d) 15e) 12f) 7g) 2 5. a) 180b) 225c) 8d) 60e) 72f) 42 6. a) 34b) -225c) 1125d) 7200e) 13f) 711g) 1h) 1433i) 2437j) 837k) 7399l) 133100m) 199100n) 52o) -2120p) -41100q) 2.203990r) 47300s) 347300t) 115 7. a) 0,5b) u, S

c) 0,25d) u,16

e) 0,125f) u, 1428S7

g) 0,75h) u, 1

i) u, S6

j) 1,94S

8. a) 38b) 512c) 23d) -713e) -12f) 34g) -34h) 2519i) 1223j) 23k) -169l) 0m) 94 9. a) S17b) 411c) 1311d) 2130 e) 145 f)58g) 4411h) 49136i) -1724 j) 56 k) S34l) 618m) 43

10. a) 7,4968b) 6,732c) 87,926d) 0,03e) 0,01f) = S1,7g) 46,67S

11. a) 5390b) -223c) 121104d) 1,02e) -45f) 2g) 396h) S13i) 14,89576542 12.a)8 8 8b)1 1 1 1 1c)u ud)(-1) (-1) (-1) (-1) (-1)e)(-4) (-4) (-4) (-4)f)(-1u) (-1u) (-1u) g)-1u 1u 1u 1u13.a)23b)62c)112d)S3e)1u3f)21114.a)1S3= 2.197b)(-7)5= -16.8u7c)S6= 729 d) 1u4= 1u.uuu15. a) 18b) 19c) 125d) 132e) 110f) 116. a) 16 b) 64 c) 4.096 d) 531.441e) 531.441 f) 72915.625g) S6h) (-7)8

i) 248j) 213k) S11 l) [235 m) 15 n) 9317. a) 66b) (-6)4c) S12d) (-2u)4e) 772f) S9g) Su5h) (-8u)3i) 1.69u4

18. a) 2,78 1u20b) 1 1u-8c) 6,u22 1u23d) S 1u-9e) 1,S 1u8f) 9,1 1u-31g) 4,S67 1u9 19. a) 1,9S2 1u4b) 4,25c) 2,9S2S8u9S 1u-8d) S 1u6 e) S 1u-1520. a) 116b) 262.144729c) 3.3758d) 8125e) 1 1u-10f) _Sg) -S21. a) _8b) _6uc) _8d) 8e) -32f) 0g) 83h) -27 22. a) 1910VS + 11SVS - 4uV2b) SVS - SV2 c) SSVS d) V6 +VS - V2 - 1 e) 92-27V22f) 17g) -4 h) V66i) -1223. a) 5b) 3c)V28d)V1288e)V2.1878 24. a) V2b)VS23 c) V24 d) VS e) 6 - SV2 f) 7 + 4VS g) 5V77h) 8 V5235i) -2 - VSj) -6VS - 6VS k) 6 - VSSl) 3-V63 m) -6V3-10V223 25. Bus, $59.200 26. $7.250 27. 300 cm 28. 7 29. 4 buses 30. 6 31. 1S7.Suu cm332. 312 33. 2.512 m 34. En 2000, $6,S 1u11. En 2010, $1,2SS 1u12 35. 30 cm cada parte: 7 cinta azul, 12 de cinta verde, 6 de cinta roja, 10 de cinta blanca 36.360segundos37.Slounelemento(2)38.9039.30metrosporlado40.a)5collaresb)5blancas,3azulesy18rojas41.a)32cmdeladob)24cuadrados 42.Mnimo120botones43.Debenpasar30horas(1.800minutos)44.77aos45.1.003metros46.-22 C, 22 C47. 2.700 metros 48. 725 litros 49. 30 hombres 50. 56 51. 89450 52. 75 litros 53. Faltan 7 litros 54. Cesanta: $1.076,7 - Proteccin de Identidad:$5.383,5-Desgravamen:$2.153,4-Salud:$17.227,255.0,104kg56.Robertoavanza5,4m,Ivn4,05.Robertoavanza1,35mmsqueIvn57.3,280toneladas58.S8,61 m2

59.a)0,33-0,326-0,32569b)12,76-12,765-12,76453c)4,12-4,122-4,12231d)5,41-5,410-5,41046e)125,66-125,658-125,65831f)1324,99-1324,985-1324,9854260.3,961.12,0metros62.a)4,4b)Si,4,663. 2243n cm3 64. V22 metros 65. VS 66. S4V2 cm3 67. V2 68. 74 69. a) 23 cm2 b) No, se multiplica por 8 70. 163 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 11 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 12 2.PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 2.1 Razones y proporciones Aprendizaje Esperado Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolucin de problemas. Criterio De Evaluacin Utiliza razones para comparar cantidades dadas. 1.En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930. Cul fue la razn de la utilidad neta al activo total? 2.Una librera, cuya existencia promedio de mercanca esde $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el ao anterior. Encontrar: a)La razn del total de ventas al inventario promedio. b)La razn de la utilidad a la venta total. 3.La eficiencia de un procesoadministrativo sedefine como la razn entre la cantidad de operaciones de salida realizadassatisfactoriamenteyelnmerodeoperacionestotalesingresadas.Siingresan6.000operacionesy salen 4500 de ellas. Cul es la razn de eficiencia? 4.La razn entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, Cul es el consecuente? Criterio De Evaluacin Calcula el trmino desconocido de una proporcin, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones. 5.Cules de las siguientes expresiones son proporciones? a) 52 b)7: 21 1: 3 =c)4: 3 16: 15 =d)28: 8 7: 2 =e) 1,5 201,8 24= f)0,8: 0,9 3,2: 3,6 =g) 2 1 2 2: 1 :3 5 9 5=h) 3: 6 1: 84= 6.Halla el trmino desconocido en: a) x 63,5 3=b)24: 0,4 x: 0,04 =c) 3: 6 1: x4=d)0,3: 1,5 6: x =e) 0,2 0,3x 0,9=f) x 32,4 1,8=g) 1 18: 3 7 : x5 2=h) 1 2 11 : x : 24 3 3=i) 2x35 126 2= UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 13 7.Calcula la media proporcional geomtrica entre: a) 14 y 19 b) 49 y 0,25 c)2 y 8 d) 214 y 3116 e)0,4 y 0,08 8.Calcula la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomndolas en el mismo orden: a) 56, 14, 23 b)2,3 y 6 c)12,5; 10; 2,5 d)12; 6,4; 3,75 e)6; 12,5; 2,88 9.Determina la tercera proporcional de los pares siguientes: a)2 y 3 b)-2 y 8 c) 49 y 0,6 d)8 y 0,4 e)4 y 8 f)2,5 y 5 g) 56 y 23 Criterio De Evaluacin Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolucin de problemas. 10.Enuncurso,laraznentreelnmerode varones y damases 3:2. Si el nmero de damas es 10. Cul es el nmero de alumnos en total? 11.Laalturadeunapuertayunaventanaenun edificiomiden1,80my1,20m respectivamente.Enlamaqueta,lapuerta correspondea6cmCuleslaalturadela ventana? 12.Enuncurso,laraznentreelnmerode varones y damases 5:4. Si el nmero de damas es 8. Cul es el nmero de alumnos varones? 13.Elbronceparacampanassecomponede4 partesdecobreyunapartedeestao.Hllese lacantidaddecadametalquehayenuna campana que pesa 8,5 kg. 14.Dosnmerosestnenlarazn7:4yla diferencia entre ellos es 36. Hallar los nmeros. 15.Laraznentredosnmeroses8:3ysu diferenciaes55.Calculalasumadeestos nmeros. 16.Dosnmerosestnenlarazn 5:2.Si sumados dan 42. Cules son los nmeros? 17.Dospersonassereparten$18.000talquesus partesestnenlaraznde8:4.Cuntorecibe cada uno? 18.Ladiferenciaentredosnmeroses48yestn en la razn 9:5. cules son los nmeros? 19.Seax+y+z=50yx:y:z=3:5:2. Calcular x, y, z. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 14 20.Lasumadetresnmeroses36yestnenla razn 2:3:4. Calcular los nmeros. 21.Seaa:b:c=7:5:2ya-b+c=20.Calcular a, b, c. 22.Six:y:z=8:5:2talque2x+y+5z=93 Calcular x, y, z. 23.Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyaslongitudessondirectamente proporcionalesalosnmeros3,4,5.Hallarlas longitudes de cada una de ellas. 24.Calcularlosngulosinterioresdeuntringulo, si se cumple la conuicion: u: | : = 5 : 3 : 10y que la suma de estos ngulos es 180. 25.Calcularlosngulosinterioresdeun cuadriltero, si verifican que:o : | : : o = 5 : 6 : 7 : 9 y que la suma de estos ngulos es 360. 2.2 Variacin Proporcional Aprendizaje Esperado Aplica variacin proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptos para su resolucin. Criterio De Evaluacin Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en frmulas fsicas y/o relacionadas con su especialidad. 26.En la Ley de Gases Ideales: nRTPV= , donde n es elnmerodemoles,T temperaturaabsoluta,V volumendelgasyRconstantede proporcionalidad.Entrequvariablesexiste una proporcionalidad directa? 27.Enlafrmulafsica: dvt= .qutipode relacinexisteentrelavelocidadvyeltiempo t? 28. ElnmerodeReynoldssedefinecomo: vDRe=, donde es la densidad del fluido, v la velocidadcaractersticadelfluido,Ddimetro de la tuberatravs de la cual circula el fluido y viscosidad cinemtica del fluido. Qu tipo de relacinhayentrelavelocidaddelfluidoylas dems variables? Criterio De Evaluacin Aplica conceptos de variacin directa, inversa, conjunta y combinada para plantear frmulas en base a problemas dados. 29.Plantear las formulas correspondientes: a)Aesinversamenteproporcionalalcuadrado de B. b)A es directamente proporcional al cubo de B c)La iluminacin I, producida por una fuente de luzvarainversamenteproporcionalcon respectoalcuadradodeladistancia,d,desde la fuente. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 15 d)LapresinPenelfondodeunapiscinavara directamente con la profundidad h. e)LapotenciaPrequeridaparaimpulsaruna embarcacinvaradirectamenteconelcubo de su velocidad v. f)ElpesoWdeunbloquerectangulardemetal vara conjunta y directamente con la longitud a, la anchura b y el espesor cde bloque g)La cantidad de carbn C empleada en un barco devaporqueviajaaunavelocidaduniforme vara conjuntamente con la distancia viajada d y el cuadrado de la velocidad v. h)La masa m de una persona vara directamente con el cubo de su altura h. i)Siaobrerosconstruyenunacasaentdas, trabajandohhorasdiarias,determinela relacin que permite determinar el nmero de obrerosqueserequiereparaconstruirla mismacasaenTdas,trabajandoHhoras diarias. Criterio De Evaluacin Aplica los conceptos y propiedades de variacin proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolver problemas relacionados con fenmenos naturales, econmicos y/o sociales. 30.Completalassiguientestablas,identificandosiesVariacinProporcionalDirectaoVariacinProporcional Inversa: ABABAB AB 8101622150,5x 1120 2705431012 t60 y18w7,52z 340 31.Hugogana$540.000mensuales(considerando 30 das). Cunto dinero gana en 10 das? 32.Si10obrerosconstruyenunacasaen6meses, cuntotiempodemoranenconstruirunacasa similar15obrerostrabajandolamisma cantidad de horas diarias? 33.Un rectngulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un rea de 96 cm2. Qu ocurre con elanchosisulongitudaumentaa16cmysu rea permanece constante? 34.Una persona camina 350 metros en 15 minutos, cuntoskilmetroscaminarenunahoray media? 35.Unaguarnicinde1600hombrestienevveres para10dasarazn de3racionesdiariascada hombre. 36.Si se refuerzan con 400 hombres, cuntos das durarnlosvveressicadahombretoma2 raciones diarias? 37.Treshombrestrabajando8horasdiariashan hecho80metrosdeunaobraen10das.Cuntosdasnecesitarn5hombres trabajando6horasdiariasparahacer60 metros de la misma obra? 38.Unaempresaconstructoraestimaqueson necesarios30obrerosparaterminarunaobra en3mesestrabajando8horasdiarias. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 16 Cuntosobrerosnecesitaranparaterminarla obra en 2 meses, trabajando 6 horas diarias? 39.Si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000 al messiseencienden6horasdiarias.Cuntas ampolletassedebenapagarparaqueelgasto sea de $4.000 si se encienden 5 horas diarias? 40.Enuntallerdeconfecciones,6operarioshacen 100poleronesenunda,trabajando8horas diarias.Cuntosoperariossernnecesarios parahacer500poleronesendosdas, trabajando la misma cantidad de horas diarias? 41.Si3secretariastardan21dasenescribira mquinauntexto,entonces,cuntosdas requieren 7 secretarias para escribir dos textos igualesalanterior,sitrabajanaunritmo similar? 42.Ungrupode10jvenesrealizunaexcursin ciclsticapor20das,elcostototalresultser $300.000.Cuntodinerogastarn8 muchachosenunaexcursinsimilarcuya duracin ser de 25 das? 43.Si 10 obreros se demoran 4 das en pavimentar unacalle,cuntosedemoran15obrerosen hacereltrabajo,trabajandolamismacantidad de horas diariamente? 44.Paraunabibliotecapblicasedisponede $150.000quealcanzanparacomprar120 libros.Siserecibeunadonacinde$375.000, cuntoslibrosdelmismotiposepueden comprar? 45.Cuatrollavesllenanunapiscinaconuna capacidadde18m3en12horas.Cunto tiempo senecesita para llenar la misma piscina con 3 llaves? 46.Un tren tarda cuatro horas en ir de la ciudad A a la ciudad B a una velocidad de 80 km/h. A qu velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45 minutos antes? 47.Sedesealimpiaruncanalendossemanas;se sabequeelaopasadosedebirealizarel mismotrabajoyque21obrerosocuparon30 das, cuntos obreros es necesario contratar? 48.Ocho trabajadores realizan una obra en 12 das. Paraconcluirlaen6dasmenos,cuntos trabajadores ms se necesitarn? 49.SiAesdirectamenteproporcionalalcuadrado deByadems,A=72cuandoB=3.Culesel valor de A, cuando B=9? 50.LailuminacinI,producidaporunafuentede luzvarainversamenteproporcionalcon respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la fuente. Si la iluminacin producida a 15 pies de lafuentedeluzes48bujas-pie(unidadde medicindelailuminacin).Culesla iluminacin producida a 12 pies de la fuente de luz? 51.El peso de un bloque rectangular de metal vara conjuntaydirectamenteconlalongitud,la anchura y el espesor de bloque. Si el peso de un bloque de aluminio de 12 pulgadas x 8 pulgadas x6pulgadasesde18,7Libras,calculaelpeso deunbloquede16pulgadasx10pulgadasx4 pulgadas. 52.La cantidad de carbn empleada en un barco de vaporqueviajaaunavelocidaduniformevara conjuntamenteconladistanciaviajadayel cuadrado de la velocidad. Si un barco quema 45 toneladasdecarbnalviajar80millasa15 nudos, cuntas toneladas emplear si viaja 120 millas a 20 nudos? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 17 2.3 Porcentaje e inters Aprendizaje Esperado Utiliza frmulas y conceptos de porcentaje, inters simple y compuesto para resolver problemas de aplicacin. Criterio De Evaluacin Calcula porcentajes de cantidades dadas. 53.Calcula: a)8% de 250 b)15% de 462 c)25% de 9,6 d)2,3% de 48,72 e) 133 %3 de 1236 f)0,75% de 24 g) 13 %4 de 112,3 h)2% de 7 i)18% de 76 j) 12% de 18 k)35% de 180 l)42% de 1250 54.Qu tanto por ciento: a)de 8 es 7? b)de 7,2 es 18,5? c)es 3,25 de 5,5? d)de 860 es 129? e)de 30 es 6? f)es 0,64 de 512? g)de 1600 es 320? h)de 86 es 172? i)es 75 de 1250? Criterio De Evaluacin Calcula un nmero, dado el porcentaje que otro nmero es ms o menos que l. 55.De qu nmero es: a)3 el 75%? b)22,4 el 75%? c)35 el 5%? d)60 el 90%? e)76 el 10% f)20 el 80%? g)12 el 2%? h)15 el 60%? i) 23 el 25%? j)4 el 19%? 56.De qu nmero es: a)48 un 20% menor? b)208 un 4% mayor? c)276 el 8% menor? d)30 un 2163% es mayor? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 18 Criterio De Evaluacin Aplica conceptos y mtodos de clculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenmenos naturales, econmicos y/o sociales. 57.Elmetalblancosecomponede3,7%decobre, 88,8%deestaoy7,5%deantimonio. Cuntos kilos de cada metal hay en 465 kg.? 58.Elfabricantedeciertamarcadeautomviles calculasuscostoscomosigue:materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5%yganancia13,75%.Hallarelcostode cada una de estas partidas en un automvil que se vende a U$ 8.500. 59.Ciertomineralrindeel4,25%dehierro. Cuntos kilos de hierro hay en una tonelada de ese mineral? 60.Sisobreunafacturade$242.850sehaceun descuento del 2%, Cunto hay que pagar? 61.A un mecnico que gana $28.500 por semana le redujeronelsalarioenun15%.Cuntogana despus de la reduccin? 62.Uncomerciantevendeunartculoen$3.600, perdiendo un 10%. Cunto le cost el artculo? 63.Unatoneladademineralcontiene80kg.de hierro.Qutantoporcientodelminerales hierro? 64.Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg.deplomoy83,5kg.deestao.Qu%de cada metal se utiliz? 65.Unapersonapaga$5.750porunartculoy despuslovendepor$6.500.Qu%de ganancia obtiene? 66. Uncomerciantevendecarbna$280.000la tonelada.Sisugananciaesdel12%,cuntole cuesta el carbn? 67.Qu nmero aumentado en un 15% equivale a 437? 68.Siseaumentaenun8%elpreciodeun artculo,elnuevoprecioquedaen$162.Cul era el precio primitivo? 69.Losgastosquedemandanenunaempresalos departamentosdepersonal,marketingy finanzas son de $36.000.000 mensuales y estn en la razn 6:10:14.a)Culeselgastodeldepartamentode marketing, en un perodo de un ao?b)Quporcentajerepresentaelgastoanual del departamento de personal? 69Uncomerciantecompraunproductoen $250.000launidad,precioneto,perodesea obtener una ganancia de un 15% sobre el precio neto. Determinar: a)precio de venta al pblico (IVA incluido) b)montodelIVAdeclaradoporel comerciante 70Siunamquinavaleapesosypormotivode incendio de la fbrica se vende enb pesos (b< a).Quporcentajeperdilaempresaporla venta de la mquina? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 19 Criterio De Evaluacin Aplica las frmulas de inters simple y compuesto para resolver problemas de aplicacin. Inters Simple:( ) M C 1 n i = + Inters Compuesto:( )nM C 1 i = + 71Unaempresainvierteenundepsitofinanciero 6millonesdepesosaun5%anualsimple durantetresaos.Cuntoganarlaempresa por concepto de intereses? 72Ungranjerohadecididoinvertirlosbeneficios desucosecha,850.000pesos,enundepsitoal 3%anualsimpledurantecincoaos.cunto retirar? 73Determinaelcapitalfinalequivalentea $6.000.000mediantecapitalizacinsimple dentro de dos aos y medio sabiendo que el tipo de inters simple anual es del 5%. 74Culessonlosinteresesproducidosporun capital de 3.000 UF prestado a un inters simple anualdel2,5%durantedostrimestres?(1ao tiene 4 trimestres) 75Calculalosinteresesresultantesdeuna operacinenlaqueapartirdeuncapitalde $127.830seobtieneuncapitalfinalequivalente a un 125 % del capital inicial. 76Qutiempoestuvoinvertidouncapitalde 22.000UFal2%deinterssimpleanual,silos intereses fueron de 4.400 UF.? 77Cuntotiempotardarauncapitalcolocadoal 8% de inters simple anual en transformarse en el triple del mismo? 78Tengounosahorroscolocadosdelasiguiente manera: -20.000UFal2%deinterssimple trimestral -30.000 UF al 1% de inters simple mensual -5.000UFal4,5%deinterssimple semestral Culeselcapitalfinalsimisahorrosestn colocados durante un ao y medio? 79Determinarlosinteresesyelcapitalfinal producidoporUF50.000al15%deinters compuesto anual, durante 1 ao. 80Determinarlosinteresesgeneradosporun capitaldeUF30.000,durante5meses,al15% de inters compuesto anual. 81TenemosunaobligacinporUF12.000,aser liquidadodentrode10aos.Cunto invertiremos hoy al 9% anual compuesto, con el objetodepodercumplirconelpagodela deuda? 82Unaempresadeposita$700.000.aunatasade interscompuestoanualdel24%,capitalizable mensualmente,culserelmontoacumulado en 4 aos? 83Usteddeposita$1.200.000.alBancoInacap durante260dasaunatasadeinters compuestoanualdel7%,capitalizable mensualmente,Cuntodineroretiraraal trmino de los 260 das? 84Determine la tasa de inters compuesto anual, a laquedebeninvertirse$3.230.000.paraqueen 7aosseobtengauncapitalfinalde$ 4.234.890. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 20 SOLUCIONES 1. 53.126134.930 2. a)6: 1b)1: 53.3: 44. 5 5.Son proporciones b)d)e)f)g)h) 6. a) 7 b) 2,4 c) 8 d) 30 e) 0,6 f) 4 g) 3 h) 358 i) 27. a) 16 b) 3,5 c) 4 d) 218 e) 0,17898. a) 15 b) 9 c) 2 d) 2 e) 6 9. a) 92 b) -32 c) 0,81 d) 150 e) 16 f) 10 g) 815 10. 25 alumnos 11. 4 cm 12. 10 varones 13. 6,8 kg de cobre y 1,7 kg de estao 14. 84 y 48 15. 121 16. 30 y 1217. $12.000 y $6.000 18.108 y 60 19.x = 15; y = 25; z = 10 20. 8, 12 y 16 21. a = 35; b =25; c = 10 22. x = 24; y = 15; z =6 23. 30, 40 y 50 cm 24. 50; 30 y 100 25. 66,7; 93,3 y 120 26. P y n; P y T; n y V; T y V 27. Inversamente proporcional 28. Directamente proporcional con: nmero de Reynolds y viscosidad. Inversamente proporcional con: densidad y dimetro de tubera. 29. a)2A B k =b) 3AkB=c) 2kId=d)P k h = e) 3Pkv=f)W k a b c = g) 2C k d v = h) 3m k h = i) a t hT H 30.y = 90; w = 4; x = 1; z = 4; t = 2 31.$180.00032.4 meses 33. El ancho disminuye a6 cm34.2,1 km 35. 12das 36. 6 das 37. 60obreros 38. 2 ampolletas39.15operarios40.18das41.Lamismacantidaddedinero42.2,7dasaproximadamente43.180 libros 44. 16 horas45. 98,5 km/h 46. 45 obreros 47. 16 obreros 48. A = 648 49. I = 75 buja-pie 50. 20,8 Lb 51. 120 toneladas 52. a) 20b) 69,3 c)2,4 d) 1,12 e)412 f)0,18 g)3,65 h)0,14 i) 13,68 j)0,09 k) 63 l) 52553. a) 87,5% b) 256,94% c) 59,1% d) 15% e) 20%f) 0,125%g) 20%h) 200% i) 6% 54. a) 4b) 29,87 c) 700d) 66,7 e) 760 f)25 g)600 h)25 i)8/3 j)400/19 55. a) 60 b)200 c)300d) 5257 56. Cobre: 17,205 kg; estao: 412,92 kg; antimonio: 34,875 kg57. Materiales: US$ 3.272,5; mano de obra: US$ 3.506,25; gastos generales: US$ 552,5; ganancia: US$ 1168,7558. 42,5 kg59.$237.99360. $24.22561. $4.000 62. 8% 63. 12,1 % de plomo, 87,9% deestao64. 13%65. $250.000 66. 380 67.$15068. a) $ 12.000.000 b) 20% 69. a) $342125 b) $ 54.625 70. a b100 %a71. $ 900.000 72. $ 977.500 73. $ 6.750.000 74. 37,5 UF 75. $ 31.957,5 76. 10 aos 77. 25 aos 78. 62.575 UF79. Capital Final: 57.500 UF, Intereses: 7.500 UF80. 1.796 UF 81. 5.069,93 UF 82. $ 1.810.949 83. $ 1.261.62984. 3,94% UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 21 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 22 3.ALGEBRA 3.1 Algebra Elemental y Operatoria Algebraica Aprendizaje Esperado Resuelve ejercicios algebraicos mediante la aplicacin de propiedades y conceptos. Criterio De Evaluacin Calcula el valor numrico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los nmeros reales. 1.Expresa en leguaje algebraico: a)Eldobledeunnmero,aumentadoenla mitad del mismo nmero. b)El doble de a, aumentado en b. c)El doble de a aumentado en b. d)El cuadrado de la cuarta parte del triple de x. e)El quntuple del cubo de y. f)Ladiferenciaentreelcudrupledexyla tercera parte de y. g)La suma de tres nmeros consecutivos. h)Lamitaddeladiferenciapositivaentredos nmeros pares consecutivos. i)El producto entre un nmero y su sucesor. j)Elcubodelcuadradodeladiferenciaentrex e y. k)Lacuartapartedelproductoentreel cuadrado de a y el cubo de b. l)Lasumadeloscuadradosdetresnmeros consecutivos. 2.Si a = 3 y b = 2, determine el valor de: a) 2 2a b b) 3ba 64 c) 2 2a b 3a 4b + d) 3 2a 2b ab +e) ( ) ( )2 23a 1 b 11b a3 ++ 3.Sim 2 = yn 3 = , determine el valor de: a)2m 3n b) 2m m 2n c) 2 2m 2mn n + +d) 1 1m ne) 1mn Criterio De Evaluacin Simplifica expresiones algebraicas dadas con parntesis aplicando reglas de la operatoria. 4.Reducir las siguientes expresiones algebraicas: a)x + 2xb)-8m- m UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 23 c) 35ob +110ob d)-56o2b -18o2b e)ox+ Sox+8ox f)-m2n +6 m2n g)-x +19x - 18x h) 23y +13y -y i)o + b - c - b - c +2c - o j)Sx -11y - 9 +2ux - 1 - y k)-6m+ 8n + S - m- n - 6m- 11 l)-o + b + 2b - 2c + So + 2c - Sb m)-81x + 19y -Suz + 6y + 8ux + x - 2Sy n)1So2- 6ob - 8o2+ 2u - Sob - S1 + o2- ob o)-So + 4b -6o + 81b - 114b + S1o - o - b p)-71o3b - 84o4b2+Suo3b +84o4b2-4So3b +18o3b q)-o + b - c +8 + 2o + 2b - 19 -2c - So - S - Sb +Sc r)u2+u: +:2- 2u2+ Su: - :2 s) 12o +13b + 2o - Sb -34o -16b +34-12 t) 32m2-2mn +110m2-13mn + 2mn - 2m2 5.Reducir las siguientes expresiones algebraicas con parntesis: a)2o - (2o -Sb) - b b)2m- Sn -(-2m+ n -(m - n)) c)|-(x2-y2) + 2x2- Sy2- (x2- 2x2- Sy2)] d)-(o + b - c) -(-o - b + c) + (o -b +c) e)Sy -2z - Sx - {x -|y - (z -x)] -2x] f)Sx +2y - (2x - (Sx - (2y - Sx) - 2x) -y) g) 12o -23b - [34o -43b h) 15o -j12o - [23- 1 o[ UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 24 Criterio De Evaluacin Opera expresiones algebraicas mediante el uso de reglas y propiedades. 6.Representa el rea del rectngulo mayor como el producto de dos polinomios. Calcula y expresa de la manera ms simple dicho producto. 7.Determine el rea del rectngulo en trminos de x 8.Reducir las siguientes expresiones algebraicas, realizando las multiplicaciones: a)Sx2y x3y6 -y b)2pr Spr3 pr2 7p3r4 c)on on+1 d)-4obc -So2b2 12ob5c7 e)p2x p3x-2 px+9 f)u,uSo5b41,So4b82,7ob6 g)(ob)3 o4 b2 h)o2[12o +13 + So2 i)-89o6b425ob2c3 -34o2b5c11 j)Sx2(Sx6-2x4+ x3-2x + S) k)-13o2[12ob +35ob2 l)(x + y)(x2+y2) m)(2x - 6y)(x2- 2xy) n) 35x6y2z4[1 -xyz4+23x4y2z6 o)(u - :)(u2- Su: + :2) p)(x - y)(x2+xy + y2) q)x - (So +2(-x + 1)) r)-(o + b) - S(2o + b(-o + 2)) s)-(Sx - 2y +(x - 2y) -2(x + y) - S(2x + 1)) t)4(x + S) + S(x + 2) u)x(x + o) + Sx(o +1) -(x + 1)(o + 2x) - (o -x)2 v)(p2-q2)(pn- pnqn- qn) 9.Divide y exprese el resultado de la manera ms simple posible. a) -18x26x b) (2c2d3)28b2c4 c) 18x - 12-6 d) 8 (2k-1)832 (2k-1)2 e)(x2y + 4x3) x f)(2z4- Sz2) z2 g) 27x34 - 15xS2 + 3x63x3 5 x 2x5 Sx2-1ux 2x3-Sx +4 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 25 10.Desarrolla las siguientes expresiones: a)(o -6)2 b)(6x - Sy)2 c)(9x2- 7y2)2 d)(x + 1)2 e)(4pq - Sq)2 f)(2o -Sb)2+(So - Sb)2 g)[34o2b3-35ob62 h)(u - :)(u + :) i)(2x - Sxy)(2x + Sxy) j)(9m2- Sn)(9m2+ Sn) k)(o +Sx)(o -Sx) l)(o +b)3 m)(p -q)3 n)(2x + Sy)3 o)(So -2x)3 p)(o +c)2-(o - c)2 3.2 Factorizacin y Expresiones Algebraicas Fraccionarias Aprendizaje Esperado Reduce expresiones algebraicas fraccionarias aplicando las reglas de operatoria, factorizacin y racionalizacin. Criterio De Evaluacin Representa expresiones algebraicas como productos aplicando reglas de factorizacin. 11.Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a)24 + 16ob)-1Spq - 12pr c)4xy + 2xy2 d)4x2y - 2xy +6xy2 e)Sob - 6obc +9oc2 f) 32xy -12x2y +52xy2 g)2ab + 2ac + 2au h)1uq5- Supq5- 1Spq6 i)x2-x2y2- x2y3+ x2y4 j)24o2xy2- S6x2y4 k)oc + oJ +bc + bJ l)2ou + 2o: -Sbu - Sb: m)x2-y2 n)1uuo2-64b6 o)144b10- 121c6 p)x2+14x + 49 q)9x2- 6x + 1 r)x4+2x2+ 1 s)y2- Sy + 6 t)o2+ o - Su u)x2+x - 6 v)x3+p3 12.Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a)ob +o + cb + c b)2o - 2b + co - cb c)ox - o +bx -b d)ox + o +x + 1 e)bx - ob + x2- ox f)Sox - oy - Sbx + by UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 26 g)ob2+ on -cb2- cn h)6x2- 4ox -9bx + 6ob i)x3+x2y + xy2+ y3 13.Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a)x2-9 b)16 - x4 c)x2n-y2n d)S2o4b - 162b5 e)(o -b)2- c2 f)(Sx + 2y)2- (Sx - 7y)2 g)x2+8x + 16 h)1 +4y + 4y2 i)16o4- 72o2b2+81b4 j)(x + 2y)2+ 1u(x + 2y) + 2S k)4m6n6+S2m4n4+ 64m2n2 l)x2-6x + 8 m)x2-2x - 8 n)x2+xy - 12y2 o)16 - 1ux + x2 p)y4+ 7y2+ 12 q)(x + 1)2+ S(x + 1) + 2 r)2x6y - 6x4y3- 8x2y5 s)Sx2+ 1ux + S t)2x2- 7x + S u)o2m+ 2o2m+1+o2m+2 v)8 +x3 w)8y3-27x3 x)o6+ b6 Criterio De Evaluacin Reduce expresiones algebraicas fraccionarias aplicando las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorizacin. 14.Simplifique las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias: a) 22 5axa x b) 222m np18mn p c) 6 5 4125x y z5xyz d) 2 22pqp q pq e) 22x x 15x 3 f) 2 23abc6a bc 9ab c g) 22x 3x 2x 5x 6 + + h) 22m 6m 9m 9m 18 + + i) 22a 25a 4a 45 j) ( )22x 5xx x 5++ k) 24 xx 2 l) ( )( )( )2x x 1x x 1 x 1+ m) 3 23 23a 3a 6a2a 6a 4a + + n) 8 44 2x 9yx 3y o) 2 2ac ad bc bdc d + p) 22x 10x 11x 9x 10+ + UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 27 15.Efecta las operaciones indicadas: a) a ab2b bb) 2m 3mn3n 4c) 229x 1 2x3x 1 x d) 3 222a a 1a 1 a e) 2 22x 6x 5 x 4x 2 x 1 + + f) 222a 4 a 4 a 8a 163a 12 a 2 a 16+ + + + g) 2 22 2a b ab a 2ab ba b 3ab a b+ + + h) 3 2 22 2a 2a a a 25 1a 1 a 7a 10 2a+ + + + + Criterio De Evaluacin Aplica reglas de racionalizacin para eliminar radicales en expresiones fraccionarias algebraicas que contengan una o dos races en el denominador. 16.Racionalice las siguientes expresiones a) 75x b) 23 x c) a bb a d) 2x 36 4x e) 5a3 2a f) ( )2234 x2x 1 g) 7 3 2a ba b h) 1 x2x 3 5+ i) 11 2x3 2 x 1 + j) 2x 16yx 4 y+ k) 1a a b b l) 33x yx y++ 3.3 Ecuaciones Lineales, Sistemas de Ecuaciones Lineales e Inecuaciones Aprendizaje Esperado Resuelve ejercicios y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad, que involucren ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales aplicando procedimientos establecidos. Criterio De Evaluacin Resuelve ecuaciones lineales con una variable, empleando diversos mtodos. 17.Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes enteros: a)( ) ( ) x 3 x 1 6 4 2x 3 + = +b)( ) ( ) ( ) 5 x 1 16 2x 3 3 2x 7 x + + = c)( ) ( ) ( ) ( ) 2 3x 3 4 5x 3 x x 3 x x 5 + = +d)( ) ( ) 2 2x 5 5 3 x = +e)( ) ( ) ( ) x 2 3x 2 5 x 4 1 + + = + +f)( ) ( ) ( ) ( ) 5 x 1 4 x 3 x 1 1 x + + = g)( ) ( ) ( ) 2 3x 1 4 x 4 3x 5 0 + + + =h)17y y 9 32 19y 82 + = +UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 28 i)( ) ( )2 2x 1 12 x 5 + = + j)( ) ( )2 2x 2 3 x 1 =k)z 12 44z 18 15z + = l)( )( ) ( )2x 3 x 1 5 x 2 + = + m)( )( ) ( )23 x x 4 16 12x x 3 + + = +n)( )( ) ( )( ) x 1 x 1 x 2 x 3 5x 1 + + + = o)( ) ( ) ( )( )2 27 x 4 3 x 5 4 x 1 x 1 2 + = + p)15z 135 18z 45 90 18z 15z + = + + 18.Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios: a) 5 2 x 9x x 53 5 4 20+ = +b) 3 8 7 3 7x x x4 3 5 2 12 + + =c) 4 3 11x x x 05 4 30+ + =d) x 3 1 x 1 14 3 3 8 = +e) x 2 5xx12 2+ =f) ( ) ( )2 22x 2 x 39x 3x 5 815 4 20 20 + + = g) 5x 1 3x 4x3 5 = h) 3x 1 5x 4 x 2 2x 3 12 3 8 5 10 + + + = i) x 1 x 2 x 3 x 52 3 4 5 = j) 10x 1 16x 34 4x6 4+ + = 19.Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias: a) 13x =b) 6 1x 5=c) 3 305 2x 1+ = d) 2 30x 1 x 3 = + e) 1 302x 10 12 8x = f) 3 45x 1 6 7x= g) 21 3 112x 5x x+ =h) 2x 3 6x 45x 1 15x 2+ += + i) 4x 5 8x 303x 2 6x 5 =+ + j) ( ) ( )22 1 x 43 x 4 4 x 5 6x 6x 120++ =+ k) ( )22 2 x3 x 13x 1 x 1 x 1+ + = + l) 23 6 304x 5x x = 20.Resuelva las siguientes ecuaciones lineales literales: a)2ax a a 2x = +b) ( )( )2 2abx a x a b b ax 1 = + c)ax 3 bx 5 = d) 2 2a b bx ab ax + = +e)ax 1 bx 1 = +f)( ) ( ) ( )2 2 2x m x n m n + + = UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 29 g)( ) ( ) ( ) ( ) a b c x a b x c a x c b x b c a + + + + = + + + + h)( ) ( ) ( ) ( ) x 1 a x 1 b x 1 c a b c x a + + + = + + +i)( )( ) ( ) ( )( )2a 4x 2a x 2x a a x a 1 = + j) xx ba =k) 3 a 10x 2 a + =l) ax bx 1 1b a a b = +m) x x 1a b ab+ = Criterio De Evaluacin Resuelve sistemas de ecuaciones de dos y/o tres variables, empleando diversos mtodos. 21.Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incgnitas: a) x 4y 4 04x 6y 28 0+ + = + + = b) 4x 3y 3 02x 7y 7 0+ =+ = c) 4x y 30 02x y 12 0+ = = d) x y 10 0x 2y 8 0+ = + = e) x 3y 7 03x y 5 0 + = + = f) y 05x y 2 0= + = g) x 2y 04x 7y 0+ = + = h) 4x 7y 15 03x 8y 25 0+ + =+ + = i) 3x 9y 2 015x 21y 6 0 + = + + = j) ( )4 x 6y6x y 4 23 6x 5 3y 4 6 + = + = k) ( ) ( )7 x 8y6x y 4 84 44x 2 7 5y 7 4+ + = + = 22.Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones y tres incgnitas: a) x y z 0x 3y 3z 1x 2y 2+ + =+ = = b) 5x 3y 5 08x 8y 4z2x y 2z 2 0 = = + + = c) x y z 12x y 5z 4x y 3z 3+ + = + = + = d) x y 2z 12x y 5z 42x 2y 4z 2+ + = + =+ + = UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 30 e) 3x y 2z 1x y z 4x 2y 4z 1+ + = + =+ + = f) 5x 25y 26z 49 018x 20y 51z 1 015x 9y 7z 50 0+ + + = + + = + + = g) 3x 9y 9z 486x 4y 4z 8 012x 25y 2z 2 0+ = + = + = h) 8z 32 0x 52y 30z 17 02x 13y 7z 52 0+ = + + =+ + + = Criterio De Evaluacin Resuelve inecuaciones lineales, empleando diversos mtodos. 23.Escribe como notacin abreviada (algebraica) y de conjunto los siguientes intervalos: a)

b)

c)

d)

e) f) 24.Escriba los siguientes conjuntos como intervalos: a){ } x / x 2 x4e < . >b){ } x / x 0 x1e > . sc){ } x / x 5 x 10e > . > d){ } x / x 5 x10e > v se){ } x / x 2 x 0e > v >f){ } x / x 2 x 0e > v > 25.Aplica procedimientos para resolver inecuaciones lineales. a)x 7 8b)x 3 9 c)12 x 14d)10 x 7 e)x (3 2x) 2x 5 f)2(x 3) 7 2 (7 x)g)(2x 5) (x 9) x (5 x)h)4(x 5) 3(x 2) 1-1 R 115 R 80 R 10 R 12 R 11890 R 0,5 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 31 i)3(x 2) x (x 1) j) 4(2x 3) 3x 4(x 1) 26.Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto: a) 2x 6 4b) 7 3x 2 c) 4 x 2xd) 3 7x 5x 10 e) 52x 48 f) x 3 4g) 3 7x 2h) 4 x 2xi) 7x 5x 10j) 54x 78 27.Resuelva las siguientes inecuaciones compuestas: a)3x x 1 4b)2 5 4x 2xc)0 5 3 x 1d) 10 x 6 x 5 15 Criterio De Evaluacin Resuelve problemas que involucren ecuaciones, inecuaciones y/o sistemas de ecuaciones lineales, mediante diversos mtodos. 28.Tengociertacantidaddedinero.Gasto 13del total en un primer artculo; luego gasto 14 de lo que me queda en un segundo artculo y an me quedan $5.400. Cunto dinero tena? 29.Hallar un nmero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual al nmero pedido. 30.Un pequeo aeroplano que transporta pasajeros ycargaadmiteunpesomximode1758libras para ir con seguridad. Si los pasajeros pesan 638 libras,cuntascajasde85librascadauna puedensertransportadascomocargade seguridad? 31.La suma de un nmero con su doble es 18. Cul es el nmero? 32.PedroyLuistienenentotal$3.800.SiPedro gasta $600 y Luis gana $400, Luis tendr el doble deloquetendrPedro.Cuntotienecada uno? 33.Tengounadeudadeciertacantidaddedinero. Pago 15deltotal;luegopago 14deloqueme quedayandebo$8.400.Culeraelmonto inicial de la deuda? 34.Enuncorralhayconejosygallinas.Sientotal hay40patasy14cabezas.Cuntosconejosy gallinas hay? 35.Tengoenmibolsillo37monedasde$50y$100 yentotaltengo$2.600.Cuntasmonedasde $50 y cuntas de $100 tengo? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 32 36.Sipagolosdosquintosdeunadeudaquedo debiendo$45.000mslostresdcimosdela deuda. A cunto asciende la deuda? 37.Enuncursolamitaddelosalumnosestudia TrabajoSocial,lasextaparteestudiaIngeniera enConstruccin,laoctavaparteestudia IngenieraenInformticaylos25restantes estudianAdministracindeEmpresas.Cuntos alumnos tiene el curso? 38.Unrelojseadelanta90segundosporda.En cuntosdaselrelojmarcarunaumentode12 minutos? 39.Sicon134litrosdeaguasellenaunestanque slo en sus 23partes. Determine la capacidad del estanque. 40.Secompran3artculosA,ByC.ElartculoA cost $150. El artculo A y elartculo B costaron las tres cuartas partes del valor de C y el artculo CmselAcostaron$50msqueeldobledel valor de B. Cunto cost cada uno? 41.La suma de dos nmeros es 20 y su diferencia es 4, Cul es el cuadrado del nmero mayor? 42.Lasumadelaslongitudesdedospasadores metlicosesde21cm.Silalongituddeunode ellos es el doble de la longitud del otro. Cul es la longitud de cada pasador? 43.Elhermanomayordeunafamiliacontres hermanostiene4aosmsqueelsegundoy este3msqueelmenor.Sientretodossuman laedaddelpadrequetiene40aosquedad tiene cada hermano? 44.Un operador telefnico informa a un cliente que elcobroporunallamadaaEspaa,esde$900 porlostresprimerosminutosy$380porcada minutoadicional.Cualquiertiempoadicionala un minuto ser redondeado al siguiente minuto. Cuntosminutosadicionalespuedehablarsi cuenta con slo $5.000? 45.Un boleto de cine para adulto tiene un precio de $3.200yparaunnio$2.500.Paraun espectculosevendenuntotalde152boletos. Siserecaudaron$420.600entotalparaun espectculo,cuntosadultosycuntosnios asistieron al espectculo? 46.Elpermetrodeunjardnrectangularesde58 metros.Sielladomayormide11metrosms que el lado menor. Cunto miden sus lados? 47.Ungrifollenaundepsitoen3horasyotrolo haceen6horas.Eldepsitoestvacoyse abrenlosdosgrifosalavez.Cuntotiempo tardar en llenarse? 48.Unexamenconstade20cuestiones.Cada cuestin correcta se valora con 3 puntos, y cada cuestin incorrecta se restan 2 puntos. Si al final delapruebaelalumnoresponditodaslas preguntasyconsigui30puntos.Cuntas cuestionescontestcorrectamenteycuantas no? 49.Enunafuncindeteatrohaydosprecios diferentesdeentradas.Lasnumeradasse vendena$7.200ylasgeneralessevendena $5.500. Si se venden un total de 162 boletos y la ventatotalesde$1.050.800,cuntasentradas de cada tipo se vendieron? 50.EndosdepsitosdeaguaAyBhayuntotalde 48litrosdeagua.SideldepsitoAsesacan12 litrosysecolocaneneldepsitoB,ambos depsitos quedan con igual cantidad de litros de agua. Cuntos litros de agua haba inicialmente en el depsito A? 51.Determinarunnmeroentre300y400,sila sumadesuscifrases6yqueledoalrevses 41107del nmero buscado. 52.Lasumadetresnmeroses37.Elmenor disminuidoen1equivalea 13delasumadel mayoryelmediano.Ladiferenciaentreel medianoyelmenorequivalealmayor disminuido en 13. Hallar los nmeros. 53.Entre Ana, Mara y Paula tienen 140 mil pesos. Si Mara tuviera mil pesos menos tendra lo mismo quePaula.SiAnatuvieracincomilpesosms tendraeldobledeloquetienePaula.Cunto tiene cada una? 54.Hallarlosnmerosenteroscuyotercio aumentadoen15seamayorquesumitad aumentada en 1. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 33 55.Lasalturash,encentmetros,dedosterciosde unapoblacinsatisfacenlaigualdad:h 172 4,5.Hallarelintervalodelarecta real en que varan dichas alturas. 56.ueLermlnarlosnumerosquesaLlsfacen:La quintapartedeunnmerodisminuidoen3es mayor que el doble de el" 57.Hallarlosnmeroscuyotriplemenos6sea mayor o igual que su mitad ms 4. 58.Una compaa de transportes tiene una flota de camionescuyocostodefuncionamientopor cadacaminseestimaen:C 0,32m 2300 , con C medido en dlares y m en kilmetros. Si la compaadeseaquedichocostoseamenoro igualque10.000dlares.Culeselvalor mximo de m? 59.Enlafabricacinyventadeunproducto,los ingresosalvenderxunidadesson:I 115,95x . Elcostodeproduccindexunidadeses: C 95x 750 .Paraobtenerbeneficioshade serI C .Paraquvaloresdexselogran beneficios? 60.Laproduccindiariaestimada,p,enuna refineraverifica:p 2.250.000 125.000, dondepesmedidaenbarrilesdepetrleo. Calcular la produccin mxima y mnima. SOLUCIONES 1.a)2x +x2b)2a + bc)2(a + b)d)[3x42e)Sy3f)4x - Syg)Unaposiblesolucin:x + (x +1) +(x +2)h) (2x+2)-2x2

i) x (x + 1) j) ((x -y)2)3 k) a2b34 l) x2+ (x + 1)2+ (x + 2)22. a) 5 b) -S c) -4 d) 25 e) 403 3.a)-1Sb)-12c)1d)-56e) 164.a)3xb)-9mc) 710o2bd)-2324o2be) 12oxf)S m2ng)0h)0i)0j)2Sx -12y - 1uk)-1Sm+ 7n - 6l)2om)-Suzn)8o2-12ob - 11o)21o - Subp)-48o3bq)-2o - 14r) - u2+4u: s) 74o -176b +14 t) 2710m2-13mn 5. a) 2b b) Sm-Sn c) 2x2+y2 d) o - b +c e) - x +4y -Sz f) Sx + y g) -14o +13b h) -1930o 6. 2x2+ 1Sx +2S 7. A = 1ux5- 2ux4- 1Sx3+ Sux2- 4ux8.a) 5 83x y b) 6 1242p r c) 2n 1a+d) 4 8 10144a b c e) 6x 7p+f) 10 180,1053a b g) 9 7a b h) 3 21 16a a3 3+ i) 9 11 144a b c15 j) 8 6 5 3 29x 6x 3x 6x 9x + +k) 3 3 21 1a b a b6 5 l) 3 2 2 3x xy x y y + + +m) 3 2 22x 10x y 12xy +n) 10 4 10 7 3 8 6 2 42 3 3x y z x y z x y z5 5 5 + o) 3 2 2 3u 4u v 4uv v + p) 3 3x y q)3x 3a 2 r)7a 7b 3ab + s)4x 6y 3 + + t)9x 22 + u) 2 22x 5ax x a a + +

v) n 2 n 2 n 2 n n 2 n n 2 n 2p p q p q p q p q q+ + + + + +9. a)-Sxb) d64b2 c) -Sx + 2y d) (2k-1)64 e) xy +4x2 f) 2z2- S g) 9y3- Sx2y +x3 10.a)2a 12a 36 + b) 2 236x 60xy 25y + c) 4 2 2 481x 126x y 49y + d) 2x 2x 1 + + e) 2 2 2 216p q 24pq 9q + f)2 213a 42ab 34b + g) 4 6 3 2 129 9 9a b a b9 a b16 10 25 + h) 2 2u v i) 2 2 24x 9x y j) 4 281m 9n k) 2 2a 25x l) 3 2 2 3a 3a b 3ab b + + +m) 3 2 2 3p 3p q 3pq q + n) 3 2 2 38x 36x y 54xy 27y + + +o) 3 2 2 38x 36ax 54a x 27a + +p) 22ac 2c +11. a) 8(S + 2o) b) -Sp(Sq + 4r) c) 2xy(2 +y) d) 2xy(2x - 1 + Sy) e) So(b - 2bc +Sc2) f) 12xy(S - x +Sy) g)2o(b + c +J) h)( )55q 2 6p 3pq i) ( )2 2 3 4x 1 y y y + j) ( )2 2 212xy 2a 3xy k)( )( ) a b c d + + l)( )( ) 2a 3b u v + m)( )( ) x y x y + n) ( )( )3 310a 8b 10a 8b + o) ( )( )5 3 5 312b 11c 12b 11c + p)( )2x 7 + q)( )23x 1 r) ( )22x 1 + s)( )( ) x 2 x 3 t)( )( ) a 5 a 6 +u)( )( ) x 2 x 3 +v)( )( )2 2x p x xp p + + 12.a)(b + 1)(o +c)b)(o -b)(2 + c)c)(x -1)(o + b)d)(x +1)(o + 1)e)(x - o)(x +b)f)(Sx - y)(o -b)g) (b2+ n)(o -c) h) (Sx - 2o)(2 -Sb) i) (x + y)(x2+y2) 13.a)(x - S)(x + S)b)(2 - x)(2 + x)(4 +x2)c)(xn- yn)(xn+yn)d)2b(2o + Sb)(2o -Sb)(4o2+ 9b2)e)(o - b -c)(o - b + c)f)(2x +9y)(8x - Sy)g)(x + 4)(x + 4)h)(1 +2y)(1 + 2y)i)(2o - Sb)2(2o + Sb)2

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 34 j)(x +2y + S)(x + 2y + S)k)4m2n2(m2n2+ 4)2l)(x -4)(x - 2)m)(x -4)(x + 2)n)(x - Sy)(x + 4y)o)(2 - x)(8 - x)p)(y2+4)(y2+ S)q)(x + S)(x +2)r)2x2y (x - 2y) (x + 2y) (x2+y2)s)(Sx +1)(x + S)t)(x - S)(2x - 1)u) o2m(1 + o)(1 +o) v) (2 + x)(4 - 2x + x2) w) (2y -Sx)(4y2+6xy +9x2)x) (o2+ b2)(o4- o2b2+b4) 14. a) 31ax b) m9n c) 5 4 325x y z d) 2p q e)( ) 2x 5 +f) 12a 3b g) x 1x 3 h) m 3m 6 i) a 5a 9 j)1x 5 + k)( ) x 2 + l) 1x 1 + m) 3a 62a 4+n) 4 2x 3y + o) a bc d+p) x 11x 10++ 15.a) 2a2bb) 2m2c) 6x 2x+d) 22a 2a + e) 2x 7x 10x 1 ++f) 23g) a b3a 3b+

h) 22a 4a 52a 4a + 16.a) 7 5x5xb) 2 x3xc) abbd) 6 4x2e) ( )5a 3 2a 3 2a9 2a +f) ( )( )2 34 x x 12 x 1 g) 7 4 5a b h)2x 3 5 + +

i) ( )( )11 2x 3 2 x 15 4x + + j) x 4 y k) 3 3a a b ba b+ l) 3 2 2 3 3x xy y +

17. a) 14 b)2 c)3d)25 e)3 f) 97g)19 h)3i)3j) 98 k) 12 l)2m) 377 n) 35o) 12 p) 152 18. a) 387109 b) 57c) 23d) 212 e) 219f)3g) 15 h) 31083i) 57 j) 114 19. a) 13 b)30c)2 d)9e)3f)14g)10h) 27i) 1917j)4k) 12

l) 203

20. a) aa 1 b) 1a b + c) 2b a d)ab e) 2a b f)n g) bcah) 12 i) a6a 1 j) aba 1 k) 26aa 2 l) 1a b

m) 1a b + 21.a) x 4y 2= = b) x 0y 1= =c) x 7y 2= =d) x 4y 6= =e) x 1y 2= =f) 2x5y 0= =g) x 0y 0= =h) x 5y 5= = i) 4x32y3==

j) 904x541998y541== k) 125x6791y67= = 22. a) x 79y25z2 == = b) x 1y 0z 2= == c) No tienesolucin d) Infinitassolucionese) 1x58y323z15== = f) x 5y 2z 1= = = g) x 4y 2z 2= = = h) x 1y 2z 4= = =

23. a) | | 1,15 b) | | 8,0 c) | | ,10 d) | | 12,+e) | | 11,890 f) | | 0,5; + 24.a)|b)| | 0,1c)| | 5, +d) e)| | 2, +f)| | 2, +

25. a) | | , 1 b) | | 12,+ c) | | ,2 d) | | 3, + e) | | 8,+ f) | | , 18 g) | | , 19

h) | | , 25 i) | | 5, +j) | | 16,+ 26. a) | | 1,5b) 5,3 3( ( c) | | 4,+ d) 5 5,3 3 ( ( e) 27 37,16 16( ( f) | | | | , 7 1, +

g) 5 1, ,7 7( ( +( ( h) 4,3( ( i) 5 5, ,6 6 ( (+( ( j) 51 61, ,32 32( (+( (

27. a) 1,2( ( b) | c) 14,35 ( ( d) | | 9, 8 28.$10.80029.430.13cajas31.632.PedroS1.800;Luis$2.00033.$14.00034.6conejosy8gallinas35.22monedasde$50y15monedasde$10036.$150.00037.12038.8das39.201Litros40. $150, $450 y $800, respectivamente.41. 144 42. 7 y 14 cm 43. 10,13 y 17 aos 44. 10 min 45. 58 adultos y 94 nios 46. 20 y 9 metros47.2,4horas48.14correctasy6incorrectas 49.94numeradasy 68generales 50.36Litros51.32152.10,12 y1553.Ana$67.000,Mara$37.000yPaula$36.000 54. { } ...,1,2,3,4,...,81,82,8355. 335 353,2 2 ( ( 56. 1,3( ( 57. | | 4,+

58. 24.062,5 km 59. | | 35,8;+ 60. Produccin mxima de 2.375.000 y mnima de 2.125.000 barriles de petrleo. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 35 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 36 4. FUNCIONES 4.1 Relaciones y Funciones Aprendizaje Esperado Representa diversos tipos de funciones, en forma analtica y grfica, considerando sus caractersticas esenciales. Criterio De Evaluacin Identifica las caractersticas principales de las relaciones y/o funciones reales. 1.Sean A = {1, 2, S, 4] y B = {1, S, S]. a)Determina el producto cartesiano de los conjunto A y B. b)Escribe tres relaciones de A en B. 2.SeanA = {1, S, S, 7] yB = {2, 4, 6]. SeanR: A - B unarelacindefinidaporR = {(x, y) / y = x + 1 ] . Escribir R por extensin. 3.Dadas las siguientes relaciones definidas grficamente, escribirlas sealando sus pares por extensin. a)b) 4.Dada la relacin en R = {(1,S), (S,1), (S, -2), (4,1)]. Hallar el dominio y recorrido de R. 5.Sean R: H - H una relacin definida por R = {(x, y)x + 2y - 1u = u /]. Hallar el dominio y recorrido de R. 6.Sea H: A - B una relacin definida por H = {(S, 2), (u, 1), (S, 1), (1, 1), (2, 4)]r. Determina: a)HallarA y B b)Grafica en un diagrama sagital. c)Grafica en un diagrama cartesiano. 7.Sean A = {1, 2, S] y B = {4, S, 6]. Dadas Las relaciones de A en B, determinar cules son funciones. a)R = {(1, 4), (2, S), (S,6)] b)R = {(1, 4), (2, 4), (S,4)] c)R = {(1, 4), (1, S), (1, 6), (2, 4), (S,6)] d)R = {(1, S), (2, 4), (1, 6), (2,6)] e)R = {(1, 6), (2, 4), (S,6)] abc135A BRUNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 37 8.ConsiderandoelconjuntoA = {1, 2, S],elconjuntoA = {u, 4, 6, 8. 1u, 12]ylarelacindedependencia,o coiiesponuencia, entie A y B que "asigna a caua elemento su cuuiuple". Beciue si esta relacin es una funcin de A en B y determine su dominio y recorrido. 9.Sean las funciones definidas por los siguientes diagramas. Determinar si es uno a uno, sobre o biyectiva. a)b) c)d) 10.Cules de las siguientes grficas representan funciones? x y x y x y x y 1234A B1f56781234B3f567A1234A B4f56781234A B2f5678UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 38 11.Indique para cada funcin: -Dominio y recorrido -Intervalos de crecimiento y decrecimiento. -Puntos de corte con los ejes. -Valores extremos. Mximos y mnimos de una funcin. -40-2002040-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x y -30-1501530-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x y -100102030-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x y -1,5-1-0,500,511,5-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x y 01020-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x y -5-3-11350 1 2 3 4x y UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 39 Criterio De Evaluacin Grafica funciones determinando puntos de ella a travs de la construccin de tablas de valores y de anlisis del Dominio y Recorrido. 12.Dada la funcin (x) =xx-2. Determine: a)Dominio y recorrido de la funcin f. b)Complete la siguiente tabla de valores. x-6-S-4-S-2-1u1,S1,82,22,5345 y=(x) 13.Dada la funcin real: g: A-B g(x) =14x -1 Determine a)Dominio y recorrido de g b)Construya una tabla de valores adecuada y esboza una grfica aproximada de la funcin 14.Para cada una de las siguientes funciones: -Determine el dominio y recorrido -Construye una tabla de valores adecuada y grafique a)(x) = 2x +1 b)(x) = x2- 2 c)(x) = V-x d)(x) = Vx + 2 e)(x) =1x - 2 f)(x) =xx2 + 2 15.Si (x) =12x + 1.Construya una tabla de valores para los siguientes casos y grafique entre x = -2yx = S a)(x) b)(x + 1) c)(x - 1) d)(x) + 1 e)(x) - 1 f)Compare los resultadosy establezca alguna conjetura UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 40 16.Haga una grfica aproximada de las funciones representadas por las siguientes tablas de valores: a) b) c) Criterio De Evaluacin Operar y/o componer funciones aplicando propiedades algebraicas. 17.Evale las siguientes funciones en los siguientes puntos: x = u, x =12, x = -2 a)1(x) = x + S b)2(x) = -2x - 11 c)3(x) = 8x2- 4x +1 d)4(x) = Vx -2 e)5(x) =x2-45x + 1 f)6(x) = (x - S)(x + S) g)7(x) = Vx -63 18.Con las funciones del problema anterior, halla una expresin para: a)(1- 3)(x) b) ]2(x)] S(x) c)21(x) + S6(x) d)5(x) 6(x) 19.Dadaslassiguientesfunciones,encuentreparacadaunadeellas,siexisten,lasimgenesde-1y2,ylas preimgenes de -S y 5: a)(x) = -x b)(x) = x -2 c)(x) = Sx2 d)(x) = 1 - x2 e)(x) =1x f)(x) = S xu12S b(x)u471u x-2u24 (x)-4u-4-16 x-1S-1u-SuS1u g(x)1S1uSuS1u UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 41 20.Sean (x) = 2x - 1y g(x) = x + 2,dos funciones reales. Halla: a)( g )(2) b)( g )(2) c)( )(S) d)( g )(x) e)( g )(x) 21.Sean (x) =1xy g(x) =x + 2x - 2,dos funciones reales. Halla: a)( g )(S) b)( g )(-2) c)( g )(1) d)( g ) [12 e)( g )(x) f)( g )(x) 22.Sean (x) = x3+ 1y g(x) = x2,dos funciones reales. Halla: a)( g )(-1) b)( g )(-S) c)( g )(x) d)( g )(x) 4.2 Funcin Afn y Funcin Cuadrtica Aprendizaje Esperado Aplicamtodosalgebraicos,numricosygrficosenlaresolucindeproblemascuyosmodeloscorrespondana funciones polinomiales (afines y cuadrticas). Criterio De Evaluacin Representa grficamente funciones lineales y/o cuadrticas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos caractersticos. 23.Grafica las siguientes funciones lineales, indicando la pendiente y el coeficiente de posicin de cada una: a)(x) = -Sx - 2 b)(x) =13x - 6 c)(x) = -x + 12 d)(x) = -x - S e)(x) = -2 f)(x) =34x 24.Dada la tabla indicada grafica la funcin lineal que representa los datos. a) b) x: Libro12345 y: Valor, $2.0004.0006.0008.00010.000 x: Tiempo, minuto024610 y: Temperatura, C19,822,324,827,332,3 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 42 25.Uncorredordelabolsacobra$20.000ms$25porcadaaccincompradaovendida.Lacomisincdeeste corredor, en pesos, es, entonces, una funcin del nmero de acciones n transadas, c = 2u.uuu + 2Sn. Realiza el grfico de esta funcin para n entre 0 y 10.000. 26.Grafica las siguientes funciones cuadrticas, indicando las coordenadas del vrtice, la ecuacin del eje de simetra y la interseccin con el eje y: a)(x) = x2+ 2x - S b)(x) = -2x2- 8x + 1 c)(x) = x2- 4x + S d)(x) = -Sx2+ 2x - 4 27.Grafica las funciones cuadrticas representadas por las siguientes tablas de valores. a) x-S-2-1u12S y = (x)116S2S611 b) x-1u12S y = (x)-12u4u-12 28.Represente la funcin que relaciona el costo total de produccin de una industria de maquinaria pesada, C (en millones de dlares), con el nmero de unidades fabricadas, x, es: C = (x) = x2+ 2x + 1 Criterio De Evaluacin Resuelve ecuaciones cuadrticas, aplicando diferentes mtodos. 29.Determinar las races o ceros de las siguientes funciones de segundo grado a)(x) = Sx2-Sx + 2 b)(x) = 4x2+Sx - 22 c)(x) = x2+ 11x + 24 d)(x) = x2- 16x + 6S e)(x) = 12 -4x - 9x2 f)(x) = Sx2-7x - 9u g)(x) = Sx2+9 h)(x) = x2- 2Sx 30.Resuelve: a)x2= S6 b)x2= 8 c)Sx2= 18 d)Sx2+ 8 = S2 e)(x + S)2= 12 f)(2x - S)2= 7 31.Resuelve mediante factorizacin las siguientes ecuaciones: a)x2- 6x + S = u b)x2- 6x - 7 = u c)x2- 7x + 6 = u d)x2+ 6x - 27 = u e)x2- 7x + 12 = u f)x2- Sx - 14 = u UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 43 32.Resuelve mediante completacin de cuadrado del binomio: a)x2- 1ux + 16 = u b)x2- 14x + 1S = u c)-x2- x + 6 = u d)x2- 6 = -Sx e)4x2+ 2x - 12 = u f)6x2- 19x + 1S = u 33.Resuelva por cualquier mtodo las siguientes ecuaciones: a)x2- 1 = u b)x2- 16x + 6S = u c)2x2= 9x -1u d)x2+ Sx - 6 = u e)2x2+ 7x = u f)Sx2- 11x + 1u = u 34.Resuelve y comprueba las soluciones encontradas: a)x2+14=12x b) 2x-13+3x-8=x-5x-8+ S c) x-23(x-1)+x-24(x-2)=x+2x2-3x+2

d)pq x2+ (p2+q2) x + pq = u 35.Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado a)9x +1 = S(x2- S) - (x - S)(x +2) b)(2x - S)2- (x + S)2= -2S c)(Sx + 1)(x -2) = -4 d)(1 + x)2+ (2 + x)2= (S - x)2

e)(x - 8)2+ (x - S)2= (x - 9)2 f)(2x - S)(x +1) = (x -S)(x + 2) UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 44 Criterio De Evaluacin Resuelve problemas cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, mediante funciones polinomiales, de manera analtica y grfica. 36.En cada grfico, determina la pendiente, el coeficiente de posicin, el intercepto con el eje x y laexpresin que representa cada funcin lineal. a) b) c)

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 45 37.Encontrar la expresin de la funcin lineal que se asocia al ingreso por la venta de cierto nmero de artculos, sisesabequeporlaventade40artculosingresaron$4.500,yporlaventade15artculoselingresofuede $2.000. 38.Una compaaque fabrica cierto productotiene $32.000 en Costos fijos. Si el Costo variable porproducir una unidadesde$4.EncontrarlafuncinlinealCostototaldeesteproductoyelvalordeesteCostoporla fabricacin de 50 unidades. 39.Si en el ejercicio anterior se considera que cada producto fabricado se puede vender a $ 6. Cul ser la funcin lineal Ingreso y cul ser la funcin lineal Utilidad de esta operacin? 40.EnlaproduccindeunaIndustria,elCostoFijoesde6500dlaresalasemanayelCostoVariableporla elaboracindeciertosproductosesde9dlareslaunidad.EscribirlafuncinlinealCostoTotalycalcularel monto de este, para la produccin de 1500 de estos productos. 41.El Ingreso por la venta de ciertos artculos para repostera est dado por: I(x) = 4SuX +Su pesos y el costo de producirlos por C(x) = Sux +8u pesos. Determinar la Utilidadsi se producen y venden en un da 50 de estos artculos. 42.En una Industriade tubos de polietileno, se necesita una funcin para determinar la bonificacinmensual de susoperariosconrelacinasuproduccin.Sitodoslostrabajadoresrecibendesueldobase$105.500ysu produccinmensualesde9.000Kgdeacuerdoalaexigenciamximadelasmquinas.Elbono correspondienteporcadaKg producidosecancelaa$12.Culeslafuncinparadeterminarlabonificacin por trabajador? Cul es el valor de este bono si se producen 8.500 kg? 43.Elcostodeimprimirudiarioesconjuntamenteproporcionalasunmerodepginasyalnmerode ejemplares impresos. a)Escribe la funcin lineal que exprese esta variacin conjunta si el costo de imprimir 500.000 diarios de 30 pginas es $75.000.000. b)Cul sera el costo de impresin para 600.000 ejemplares de un diario de 20 pginas? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 46 44.Para las siguientes grficas determina: -Signo del coeficiente a. -Signo del coeficiente c. -Signo uel Bisciiminante A. -Races o ceros de la funcin cuadrtica. -Coordenadas del vrtice. -Intercepto con el eje y. a) b) c) d) UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 47 45.La distancia que recorre un vehculo desde que el conductor toma la decisin de pisar los frenos y el momento enelquerealmentesedetieneelautomvil,sellamadistanciadefrenado.Paraunautomvilqueviajaavkilmetrosporhora,ladistanciadefrenadodenmetrosestdadapor:J(:) = u,uu6 :2 Qudistanciade frenado tendrn un automvil que viaja a 120 km/h? 46.Unaempresaproduceunbien,cuyocostopromedio(enmilespesos)paraxunidades,vienedadopor: C(x) = 2u - u,u6x + u,uuu2x2

Cul es el costo de producir 200 unidades del bien? 47.Selanzaunobjetodesdeelsuelo,verticalmentehaciaarriba,conciertavelocidadinicial.Cuandohan transcurridotsegundosdesdeellanzamiento,sualturahenmetrosestdadaporb(t) = St2+ 1ut + 28. Cul es la altura que alcanza el objeto a los 2 segundos? 48.Unfotgrafotieneunafotode18por24cm(centmetro).Deseareducirlafotolamismacantidaddecada lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del rea de la foto original. En cunto tiene que reducir la longitud de cada lado? 49.Si la ecuacin Sx2- kx +6 = utiene una solucin igual a -S, Cul es el valor de k? 50.La suma de tres veces un nmero entero positivo con el cuadrado del nmero es 154. Cul es el nmero? 51.Elproductodedosnmerosenterospositivoses88.Siunoes3unidadesmayorqueelotro,encuentrelos nmeros. 4.3Funcin Exponencial y Funcin Logartmica Aprendizaje Esperado Aplicamtodosalgebraicos,numricosygrficosenlaresolucindeproblemascuyosmodeloscorrespondana funciones exponenciales y logartmicas. Criterio De Evaluacin Calcula y/o reduce expresiones logartmicas numricas y/o algebraicas, mediante el uso de la definicin y sus propiedades. 52.Calcula: a)Iog 3 (81) b)Iog 2 (1.u24) c)Iog 5 (12S) d)Iog (1uu.uuu) e)In (c) f)In (V2) UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 48 53.Aplica propiedad de logaritmos y desarrolla las siguientes expresiones: a)Iog[ubc b)In[uV23 c)Iog[Vubc d)Iog (ob b2) e)Iog [ubc2 f)In _umbc3 54.Reducir a un solo logaritmo: a) 34Iog o -23Iog b -34Iog J +23Iog c b) 23 Iog 8 +S Iog 2 -1 c) Iog (x + 1) + Iog (x - 1) - Iog (x2-1) d)In (o2-2S) - In (o - S) Criterio De Evaluacin Representa grficamente funciones exponenciales y/o logartmicas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos caractersticos. 55.Grafique las siguientes funciones exponenciales de acuerdo a las tablas de valores entregadas: x(x) = 2x x (x) = _12]x x(x) = S c-0,5x -S 18 -S8 -S1S,2S -2 14 -24 -28,1S -1 12 -12 -14,9S u1 u1 uS,uu 12 1 12 11,82 24 2 14 21,1u S8 S 18 Su,67 56.Grafique las siguientes funciones partiendo de los grficos anteriores. Determine su dominio, recorrido y asntotas. a)(x) = -S x b)(x) = 1u-x c)(x) = 2 x- S d)(x) = 2 x-3 e)(x) = S +[12 x f)(x) = 4 -S x UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 49 57.Grafique las siguientes funciones logartmicas de acuerdo a las tablas de valores entregadas: x(x) = Iog2 x x(x) = Iog x x(x) = In 1x 42 0,01-2 0,12,30 21 0,1-1 0,50,69 10 10 10 12-1 101 2-u,69 14-2 1002 3-1,1u 18-S 1.0003 4-1,S9 Criterio De Evaluacin Resuelve ecuaciones logartmicas y/o exponenciales, aplicando diferentes mtodos. 58.Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a)2 x= 16 b)2 x-5= S2 c)S 6-x= 27 x-2 d)S x-3= 1 e)16 2x-4= 1 f)(p - S) 5x= p2- 6p + 9 g)81 x-6= S x-4 h)(o2+ 2o - 9) x-7= 1 i)S x+1= 2 j)m x-3= (m2) 2x k)12S +2= S 2 l)2 3x-1= S x+2 m)S 2x-3= 2 2-4x 59.Resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas: a)Iog (4x) = S Iog 2 + 4 Iog S b)In (2x -4) = 2 c)Iog (x + 1) + Iog x = Iog (x + 9) d)Iog (x2+ 1S) = Iog (x + S) + Iog x e)2 Iog (x +S) = Iog (x + 7) f)In Vx -1 = In (x + 1) - In Vx + 4 g)2 In (Sx - 4) = In 1uu + In (2x2+ 1)2 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 50 Criterio De Evaluacin Resuelve problemas cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando mtodos grficos y/o analticos. 60.Unapoblacindebacteriascrecedeformatal que en el tiempo t su tamao est dado por: P(t) = 2.Suu A t Si se sabe que P(12) = 7.Suu. a)Determina la poblacin inicial. b)Calcule A, con tres decimales exactos. 61.Seinvierte$2.000.000auninterscompuesto anualdel10%.Cuntotiempolellevar incrementarse a $2.500.000? 62.Debidoaunadepresineconmicaunacierta regintieneunapoblacinquedecrece.En 1990lapoblacinfuede700.000habitantesy deahenadelanteserigiporlafuncin: P(t) = 7uu.uuu e-0,02 t,dondetrepresentan losaosdesde1990.Suponiendo,queesta tendenciacontina,calculelapoblacin proyectada para el ao 2011. 63.Elvolumendeventasdeunamarcadejugos creceaun8%anualcompuesto.Sielactual volumendeventasesde1.000unidades diarias.Encuntotiemposealcanzarlacifra de 1.500 unidades? 64.La poblacin de un cierto pas era de 8.000.000 dehabitantesen1995yestcreciendoauna tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continuar. Cundo alcanzar este pas los 10.000.000 de habitantes? 65.Unmodeloparaelcrecimientodelapoblacin Pdeunpasalostaosestdadapor: P(t) = 1.uuu e 0,20 tCuntoshabitantes habr a los 5 aos? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 51

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 52 5.PROGRESIONES 5.1Sucesiones Aprendizaje Esperado Utiliza propiedades, teoremas y grficos para analizar el comportamiento de una sucesin. Criterio De Evaluacin Utiliza reglas de los nmeros para obtener el trmino general de una sucesin a partir de los primeros trminos de ella. 1.Determinar el trmino general de las siguientes sucesiones. a){ } a0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; 0,00005; n = .b){ } b 11,13, 15,17, 19 n = .c) 1 1 1 1c 1, , , , , n3 5 7 9 = . ` )

d){ } d0, 3, 8, 15, 24,n = .e){ } f 0,1,2,3,4, n = .f){ } g 1, 2, 1, 2, 1, n = .g){ } h 3, 7, 11, 15, 19, n = .h){ } m 10,15,20,25,30, n = .i){ } k 0,5; 0,25; 0,125; 0,625; 0,3125; n = .j){ } s 3; 3;3; 3;3; n = .k) { }=1 1 1 1 1 n2 4 6 8 10r ,,,,,... l) {} =9 8 6 5 7n1 3 9 27 81t,,,,,... Criterio De Evaluacin Aplica propiedades para determinar si una sucesin es montona y acotada. 2.Determina cul o cules de las siguientes sucesiones son montonas crecientes o montonas crecientes. a){ } a 1 ,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,n = .b)b nn = c) ( )n 11bnn+=d) 2 ncn3+=e) nann2 1=+ f) 1 1 1 1b 1 , , , , ,n2 3 4 5 = . ` ) g) n 1bnn 2+=+ 3.Determina cul o cules de las siguientes sucesiones son acotadas o no acotadas. a) nan2n 1=+ b) 2n 3bnn 1+=+ c) 2n 1cnn 3+=+ d) 1dn2n 1=+ UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 53 Criterio De Evaluacin Aplica los teoremas de las sucesiones montonas y acotadas para probar si una sucesin es convergente. 4.Cules de las siguientes sucesiones son convergentes? a) 1ann 1=+ b) n2an3| |= |\ c) n2bnn!=d) nb2n =e) ( ) 2 n 3cnn=f) 1dn2n 1=+ g) n1d 1nn| |= + |\ h) 2f 2nn= 5.2 Sumatorias Aprendizaje Esperado Utiliza propiedades y frmulas para calcular sumatorias. Criterio De Evaluacin Calcula sumas parciales de sucesiones mediante propiedades. 5.Escriba en forma de sumatoria y calcula la suma de las siguientes series: a)1 + 3 + 5 + 7 + . + 23. b)1 + 4 + 7 + 10 + . + 43 c)1 + 2 + 3 + 4 + . (100 trminos) d)1 + 4 + 9 + . + 121. e)12 2 +22 22+ S2 23+ (24 trminos) f)2+4+8+.............+4096 g) 1 3 5 7...5 8 7 14 + + ... (15 trminos) h)1 -2 + S -4 + S - (12 trminos) i)4+18+48+100+180+294. Criterio De Evaluacin Calcula sumatorias aplicando frmulas y propiedades. 6.Escriba todos los trminos de cada sumatoria y calcula su valor: a) 5i 1 2i 1( 1) (i 1)= +b) 12k 1k 1k 1=+ 7.Desarrolla las siguientes sumatorias y calcula sus valores: a) 61ii 1 = b) 5(2i 1)i 1= c) 82ii 1 = d) 43ii 1 = e) 5i( 1) ii 1 = f)( )101i 11ii 1 = UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 54 g) n2ii 1 = h) ni 112i 1= 8.Calcula las siguientes sumas aplicando propiedades a) ( )532i i 3i 1+= b) ( )73 23i 2i i 6i 1 += c)( )30k k 3k 20= d) 102k (1 k)k 8 = Criterio De Evaluacin Aplica la propiedad telescpica para determinar una expresin que permita calcular directamente el valor de una sumatoria. 9.Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la propiedad Telescpica: a) ni 11i (i 1)= + b) 1002k 22k 1= c) 2n2k 114k 1= d) nk 11(3k 2)(3k 1)= + e) nj 1jj!= f) nk 1k 1logk=+ g) 80k 11k 1 k=+ +

Criterio De Evaluacin Utiliza frmulas para calcular sumatorias. 10.Calcula: a) ( )252 32i 5i 5 i= b) 10k 1(k 2)=+ c) 8j 3(3 5j)= d) 93 2u 5(u u 20)= e) 6k kk 1( 1) 2= f) 5i 1i 1i2 = UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 55 5.3 Progresiones Aprendizaje Esperado Aplica propiedades y frmulas de las progresiones para resolver problemas de aplicacin. Criterio De Evaluacin Aplica las propiedades y frmulas de las progresiones aritmticas y geomtricas, en el clculo de elementos desconocidos de ella. 11.Escribe el trmino general de la progresin aritmtica, dados: a)a1 = 7; d = 5 b)a1 = 74; d = -12 c)an = 100; d = 15 12.Determina la diferencia en las progresiones aritmticas siguientes: a)13; 20; 27; 34; ... b)68; 59; 50; 41; ... c)11/2; 33/4; 11; 51/4; ... 13.En una progresin aritmtica, el sptimo trmino es 35 y el noveno 83. Calcular el octavo trmino y d. 14.En una P.A. el quinto trmino es 149/6 y el sptimo es 363/4. Calcular el sexto trmino y la diferencia. 15.Dada la PA:9, 14, 19, ...; calcular el 16 trmino. 16.Dada la PA:15, 24, 33, ... calcular el 12 trmino. 17.Dada la PA:8, 20, 32, ...; calcular el 21 trmino. 18.Si: a1 = 12; d = 7; n = 15; calcular an 19.Si: an = 153; d = 11; n = 14; calcular a1 20.Si: a1 = 23; an = 131; n = 13; calcular d. 21.Escribe el trmino general de la progresin geomtrica, dados: a)7, 21, 63, 189,...b)512, 128, 32, 8,...c)a3b,a4b2, a5b3,a6b4, ... 22.Formar seis trminos de una P.G., dados: a)a1 = 2; r = 5b)a1 = 7; r =- 4.c)a1 = 2916; r = 1/3 23.El producto del 4 trmino de una P.G. por el 6 trmino es 5184. Calcular el 5 trmino. 24.El tercer trmino de una P.G. es 15 y el quinto es 735. Cul es el cuarto trmino? 25.Si: a1 = 8; r = 4; n = 7. Calcular an 26.Si: a1 = 5; r = 4; an = 20480. Calcular n. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 56 27.Dados a1 = 5, r = 3; an = 1215. Calcular n, 28.Dados a1 = 9; an = 36864; n = 7. Calcular el cuarto trmino. 29.El octavo trmino es 384, el primero es 3 y el sexto es 96. Formar la P.G. Criterio De Evaluacin Calcula la suma de los ensimos primeros trminos de una progresin aritmtica o geomtrica mediante el uso de frmulas y propiedades correspondientes para cada caso. 30.Calcular Sn dados: a)a1 = 20; an = 185; n = 12. b)a1 =15; n = 14; d = 9 c)a1 = 160; n = 14; d = -12. d)a1 = 2; r = 3; n = 6. e)a1 = 8; r = 5; n = 4 f)a1 = 1215; r = 1/3; n = 6 31.En una PA el quinto trmino es 113, el sptimo es 7. Si tiene 13 trminos,calcular:a)el primer y ltimo trmino. b)la suma de los trece primeros trminos. 32.En una PG el octavo trmino es 14 y el noveno 18. Si tiene 20 trminos, calcular:a)el primer y ltimo trmino. b)la suma de los veinte primeros trminos. 33.El primer trmino de una progresin aritmtica es 14, y la diferencia entre dos trminos consecutivos es-4. De acuerdo a lo anterior, calcule la suma de los 26 primeros trminos. Criterio De Evaluacin Aplica propiedades y frmulas de progresiones aritmticas y geomtricas en la resolucin de problemas... 34.Un joven ahorra cada mes $5 ms que el mes anterior.En5aossusahorrossumarn$ 9.330.Determinarloqueahorrelprimery el ltimo mes. 35.Unpadreproyectacolocarenunbal$100 eldaquesuhijocumplaunao,eir duplicandolacantidadsucesivamenteen todosloscumpleaos.Cuntotendrque colocareldaquesuhijocumpla18aos?Cunto habr en el bal luego? 36.Unamquinacost$9000.Secalculaqueal finaldecadaaosufreunadepreciacin igual al 15 % del valor que tiene al principio deeseao.Culsersuvaloralcabode5 aos? 37.Elnmerodebacteriasdeuncultivoest aumentandoun25%cadahora.Sial principiohaba300.000Cuntasbacterias habr al cabo de 5 horas? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 57 38.Elvalordeunautosedeprecia18%cada ao. Su precio original fue $ 19.000. Cunto valdr al cabo de 9 aos? 39.Una ciudad tiene 600.000 habitantes. La tasa decrecimientodeesapoblacines8% anual.Cuntoshabitantestendrdentrode tres aos? 40.Elvalordeunamercaderasedeprecia4% cadaao.Suprecio originalfuede$10.000. Cunto valdr al cabo de 4 aos? 41.La poblacin de una ciudad aumenta en 35% cada 10 aos. Si su poblacin en 1940 era de 40.000habitantes,culsersupoblacin en el ao 2000? 42.Sequiereconstruirunmurodeladrilloen formatriangular,paraellocadafiladebe contener4ladrillosmenosquelafila inmediatamenteanterior.Sienlaprimera corrida hay 601 ladrillos y en la ltima hay 1 ladrillo entonces determinela cantidad total deladrillosquesenecesitanparaconstruir el muro. 43.Calcularcuntoartculosdeunamisma especiehabanenunabodegadeunlocal comercial,sielprimerdasesacaronpara reposicin2.000artculos,fue disminuyendolareposicinen50diariosy los artculos de la bodega duraron 30 das. 44.Lasumade3nmerosenP.A.es48ylade sus cuadrados es 800. Hallarlos. 45.SiRalgana$100el1deenero,$200el2 deenero,$300el3deeneroyasen adelante. Cunto dinero gan en un mes? 46.Un jugador apuesta en el primer juego U$5 y comoperdiera,dupliclaapuestaenel segundojuego,conelmismomalresultado. Continuduplicandolaapuesta,hastaque eneloctavojuego,apuestaeldineroquele quedaba. Cunto apuesta en el ltimo juego y cunto perdi? UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 58 6. GEOMETRA 6.1 Elementos Bsicos de la Geometra Aprendizaje Esperado Resuelve expresiones numricas y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad que involucren tringulos, aplicando la trigonometra triangular. Criterio De Evaluacin Utiliza smbolos y figuras para distinguir lneas, semirrectas, rectas y segmentos. 1.En la siguiente figura identifique los puntos, semirrectas, rectas y segmentos. Criterio De Evaluacin Utiliza frmulas de conversin para transformar medidas de ngulos de un sistema a otro. 2.Transformar de radianes a grados sexagesimales: a) 5t b) 3t c) 4t d) 6t e) 23t f) 32t g) 53t h) 43t i) 54t j) 49t k) 45t l) 2t m) 10t n) 519to) 325tp) 613tALB PQTSVMC DFGNOIJYZEHUNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 59 oc|3.Transformar de grados sexagesimales a radianes a)150 b)90 c)60 d)45 e)30 f)480 g)20 h)18 i)420 j)360 k)30 23' l)108 33' m)12 30' 43" n)27 13 13" o)23 43' 30" Criterio De Evaluacin Aplica definiciones y teoremas para calcular ngulos mediante condiciones y/o figuras dadas. 4.Si4816'5'' o=y| =8514'13'' .Calculao| 5.Sisetieneo=10075'25'' y| = 4654'50'' . Calcula2 3 o+| 6.Calcular el suplemento de25 25'25'' o = 7.Determine el complemento de608'25'' o= . 8.Dosngulosformanunngulorecto,siunode ellos mide67 23' , Cunto mide el otro ngulo? 9.Dosngulosformanunngulollano,siunode ellos mide74 45' , Cunto mide el otro ngulo? 10.Dosngulosformanunngulorectoyestnen la razn 2:3. Cunto mide cada ngulo? 11.Enuntringulodosdesusngulosson 50 40'30''y74 45'55'' . Cunto mide el tercer ngulo? 12.Cuatrongulos,,yformanunngulo completo,ademssesabeque:= 17+ 22, = 10+ 12,= 12 12 y= 6+ 23.Hallar la meuiua ue "x" y caua ngulo. 13.Si tres nguloso ,|y estn en la razn 3:5:7. Sisesabequesecumplelasiguienteexpresin:9o 8| + 5 = 157 .Hallarlamedidadecada ngulo. 14.Sisesabequeenlafigura adjunta,o= 17 + 22 y |= 11 + 12 .Calcularla medida de todos los ngulos. 15.Si 1 2L Ly 3 4L L y1 3L L . Hallar x. 16.Si 1 2L L ,: 5: 6 o|= .Determinarlamedidade todos los ngulos.

17. Si 1 2L L ,: 7: 3 o|= .Determinarlamedidade todos los ngulos. 18.Si 1 2L L y 3 4L L .Adems, 428 % de 7o = |. Determinar la medida de cada ngulo. 1L2Lo|oc100co o70|1L2L1L2Lo|oc3L 4L341L2L3L4LUNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 60 19.Si 1 2L L .Adems:| = 3 3 , = 5+ 37 y c =7 +5 . Calcular la medida de cada ngulo. 20.Calcula la medida del nguloo 6.2 Curvas, Polgonos y Circulo Aprendizaje Esperado Utiliza tcnicas y frmulas de los polgonos y crculo para resolver problemas geomtricos y/o de su especialidad. Criterio De Evaluacin Aplica frmulas y teoremas para determinar elementos de tringulos y cuadrilteros. 21.Calcular la medida de los ngulos que se indican: a)Z CAB b)Z QPR c) Z x d)Z x e)ZPSQ, siRP QR = , PS bisectriz del Z RPQ f)Zx + Zy, si PR // ST 22.ElABC esequilteroBDC esrectngulo issceles, entonces el nguloomide: 23.ElcuadrilteroABCDesuntrapeciorecto. Determina el ngulo que falta. o|co1L2L7oo 4o3oAoD CBPRS401258170X32XPRSQA BC8072PRSTQyx 7060145oABC DUNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CHILE - INACAP 61 24.Calcular:ZTRQ,siPSRQesunromboyZPSQ=20 25.En el cuadrilteroAB CD =yAD BD CD = = . Cunto mideo ? 26.ABCDcuadrado,ACEtringuloequiltero. Calcular

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