UNIVERSIDAD DEL BIO BIO ESCUELA DE INGENIERÍA CIVL

RECOPILACION DE APUNTES DE CLASES PARA ALUMNOS DE ESTRUCTURAS METÁLICAS

PROFESOR: OSCAR GUTIÉRREZ A. REVISIÓN 1, ABRIL DEL 2007. EN DESARROLLO

I. EL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL I. 1 GENERALIDADES El acero es uno de los más importantes materiales estructurales. Sus propiedades de mayor importancia para el uso estructural, comparado con cualquier otro material, son la resistencia y la ductibilidad.. La ductibilidad es la capacidad que tiene el material para desformarse sustancialmente ya sea en tracción o compresión antes de fallar. Otras ventajas importantes en el uso de acero son su amplia disponibilidad, costo y durabilidad, con una adecuada protección anticorrosiva. El acero se produce por la refinación del mineral de hierro y metales de desecho, junto con agentes fundentes apropiados, coke ( para el carbono ) y oxígeno en hornos a altas temperaturas, para producir grandes masas de hierro llamadadas arrabio de primera fusión. El arrabio se refina aún más para remover el exceso de carbono y otras impurezas y/o se alea con otros metales como cobre , níquel manganeso, etc para producir las características deseadas de resistencia , ductibilidad, soldadura y resistencia a la corrosión. El acero como producto, puede obtenerse en forma de barras, planchas o perfiles. En acerías extranjeras existen rodillos laminadores que permiten obtener perfiles con forma de I, T, L, etc. En nuestro país, la Compañia de Acero del Pacífico, CAP, entrega el acero en forma de planchas y barras para hormigón armado. Las maestranzas nacionales (EDYCE, CERRILLOS, ARRIGONI, etc) poseen la capacidad para fabricar perfiles tipo I y plegar planchas para obtener perfiles tipo L, C, CA, Z, etc. El fabricante de estructuras de acero trabaja con los planos de ingenería o arquitectura para producir dibujos detallados de taller, de los que se obtienen las dimensciones requeridas para cortar, aserrar o cortar con antorcha, los perfiles al tamaño pedido y localizar con exctitud los agujeros para barrenar o punzonar. Los dibujos originales también indican el acabado necesario de la superficie de las piezas cortadas. Muchas veces se arman las piezas en taller para determinar si se tiene el ajuste apropiado. Las piezas se marcan para facilitar su identificación en terreno y se embarcan las piezas sueltas o armadas parcialmente hasta el sitio de la obra para su montaje. El montaje en terreno lo

ejecuta a menudo el mismo fabricante, aunque lo puede hacer el contratista general. I.2. PROPIEDADES DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL

Entre las más importantes propiedades estructurales del acero se tienen las siguientes: 1.- Modulo de elasticidad, E. Esta propiedad se obtiene del análisis de las curvas de esfuerzo - deformación del acero. Si una pieza de acero estructural se somete a una fuerza de tracción, ésta comenzará a alargarse. Si se incrementa la fuerza a razón constante, la magnitud del alargamiento aumentará constantemente dentro de ciertos límites. Cuando el esfuerzo de tensión alcance un valor aproximadamente igual a un medio de la resistencia última del acero, el alargamiento comenzará a aumentar más rápido sin un incremento correspondiente del esfuerzo. El mayor ezfuerzo para el que aún es válida la ley de Hooke o punto más alto de la porción recta del diagrama esfuerzo - deformación se denomina límite proporcional. El mayor esfuerzo que un material puede resistir sin desformarse permanentemente se llama límite elástico. Este valor rara vez se mide y para la mayoría de los materiales incluído el acero es sinónimo del límite proporcional. Por esta razón se usa a veces el término límite proporcional elástico.

El esfuerzo en el que se presenta un incremento brusco en el alargamiento o deformación, sin un incremento correspondiente en el esfuerzo, se denomina tensión de fluencia; corresponde al primer punto del diagrama tensión-deformación para el cual la tangente a la curva es horizontal. La tensión de fluencia es para el ingeniero la propiedad más importante del acero, ya que muchos procedimientos de diseño se basan en este valor. Más allá de la tensión de fluencia hay un intervalo en el que ocurre un incremento considerable de la deformación sin incremento de la tensión. La deformación que se presenta antes de la tensión de fluencia se denomina deformación elástica; la deformación que ocurre después de la tensión de fluencia, sin incremento de tensión, se denomina deformación plástica. Esta última deformación es generalmente igual en magnitud a 10 o 15 veces la deformación elástica. La fluencia del acero puede parecer una serie deventaja, pero en realidad es una característica muy útil. Con frecuencia ha prevenido la falla de una estructura, debido ha omisiones o errores del ingeniero. Si el esfuerzo en un punto de una estructura de acero (dúctil) alcanza el esfuerzo de fuencia, esa parte de la estructura fluirá localmente sin incremento en aquel esfuerzo, impidiendo así una falla prematura. Esta ductilidad permite que los esfuerzos en una estructura de acero se reajusten. Si el acero no tubiese esta capacidad se podría fracturar como el vidrio u otro material frágil. Después de la región plástica se tiene un zona llamada de endurecimiento por deformación en la que se requieren esfuerzos adicionales para producir deformaciones mayores. Esta parte del diagrama tensión - deformación no resulta muy importante para los ingenieros. El módulo elasticidad, se define como:

E = fy / εy 2.- Módulo de Poisson, ν: Este valor se obtiene del análisis a compresión de una probeta en que se ve la deformación lateral que experimenta. Se utiliza para obtener el módulo de corte, definido momo.

G = E / 2 (1 + ν)

3.- Coeficiente térmico, α: Este valor representa la variación de la longitud de una barra de acero ante cambios de temperatura. El valor característico es de:

α = 1.0 x 10 -5 I.3 VENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL Las principales propiedades del acero, en ámbito de las estructuras son: Alta Resistencia: La alta resistencia del acero por unidad de longitud implica que será poco el peso de las estructuras; esto es de gran importancia en fuentes de grandes luces, en edificios altos, en galpones y en estructuras fundadas en suelo deficiente. Uniformidad: Las propiedades del acero no cambian apreciablemente con el tiempo como es el caso de las estructuras de concreto reforzado. Elasticidad: El acero se acerca más en su comportamiento a las hipótesis de diseño que la mayoría de los materiales, gracias a que con la ley de Hooke, hasta esfuerzos bastantes altos. Los momentos de inercia de una estructura de acero pueden calcularse exactamente, en tanto que los valores obtenidos para una estructura de concreto reforzado son relativamente imprecisos. Durabilidad: Si el mantenimiento de las estructuras de acero es adecuado durán indefinidamente. En estos momentos existen dos alternatives para la protección del acero: Pintura anticorrosiva: Pintura especial que inhibe la formación de óxido, esto al aislar la superficie de acero del ambiente.

Para la aplicación de la pintura se requiere un tratamiento de las superficies, que eliminen las impurezas, restos de acero, soldaduras, grasas, etc y que pueden afectar la adherencia entre la pintura y el acero. Galvanizado en caliente: Se trata de la inmersión de perfiles individuales o de una estructura completa en una tina con zinc. El zinc, a 400 ºC se presenta en estado líquido y se adhiere a la superficie de acero, formando una película protectora. Para el galvanizado en caliente se requiere una limpieza química que se realiza en la planta de tratamiento y que consiste en sumergir la pieza, tal como viene desde la maesranza, a un baño con algunos ácidos que remueven los residuos superficiales de grasas, óxido, pinturas, etc. El perfil, desde la maesytranza, viene ya con una limpieza en que se han retirados las partículas residuales de soldadura, rebarbas, etc. El galvanizado en caliente tiene algunas restricciones de acuerdo al tamaño de las piezas a proteger. Dentro de este punto también se puede señalar lo referente a la protección antifuego, en que se tienen varias sistemas de protección de tipo pasiva, como la pintura inttumescente, el schotcret, o la protección con láminas. La pintura intumescente, se trata de una pintura que reacciona con el fuego, formando una capa aislante que retarda el paso de la temperatura hacia el acero. El shotcret, se trata de la colocación de una capa de mortero de hormigón sobre las láminas de acero y que evitan el avance de la temperatura sobre el perfil. Las láminas de protección, son láminas como la volcanita, que evitan que el fuego alcance el acero, retardando su degradación por la temperatura. Ductilidad: La ductilidad es la propiedad que tiene un material de soportar grandes deformaciones sin fallar bajo altos esfuerzos de tensión. Cuando se prueba a tracción un acero con bajo contenido de carbono ocurre una reducción considerable de la seccióntranversal y un gran alargamiento en el punto de falla, antes que se presente la ruptura. Un material que no tenga esta propiedad

probablemente será duro yfrágil y se romperá al someterlo a un golpe repentino. II DISEÑO ESTRUCTURAL II.1 GENERALIDADES Para lograr un buen diseño estructural se debe reunir tres conceptos claves:

Ciencia Conocimiento Arte Intuición, naturalidad Experiencia

El diseño estructural persigue un objetivo claro, obtener una estructura segura y económica y que a su vez satisfaga por completo las necesidades para la cual fue diseñada (funcionalidad, belleza, etc). El conocimiento necesario se refiere a los conceptos de análisis estructural, comportamiento de los materiales, etc. El Arte, se puede entender en la sensibilidad ante una estructura. En entender conceptualmente su funcionamiento, detectar fallas en su funcionamiento y corregir si es que se está a tiempo. La Experiencia, representa uno de los aspectos más importantes del diseño, ya que permite abordar un diseño nuevo con más soltura, tratando de asimilarlo a alguno ya realizado. Hasta el año 1850, el diseño se realizó en forma intuitiva, copiando formas que se encontraban en la naturaleza. Ahora, se cuenta con los conocimientos necesarios para realizar un modelo, representativo de la situación, trabajar sobre el y obtener resultados.

II.2 PRINCIPIOS DEL DISEÑO El diseño es un proceso, mediante el cual se busca una solución óptima a un determinado problema, para ello deben establecerse algunos criterios, que pueden ser:

a) Costo mínimo. b) Mínimo peso. c) Mínimo tiempo de contrucción. d) Mínimo trabajo. e) Mínimo costo de montaje. f) Máxima eficiencia de mano de obra.

En la práctica, lo que más se considera es:

Costo mínimo. Mínimo trabajo. Mínimo tiempo de contrucción.

Se puede ver que existen varios criterios de diseño, sin embargo si se observa con atención el común denominador es el bajo costo de la obra. Procedimiento de Diseño Lo primero que se debe considerar en un diseño es la funcionalidad. Aquí se debe estudiar los espacios interiores, la luminosidad, la circulación peatonal, de operación o de máquinas, la forma en general, ventilación interior, accesos vehiculares, estacionamientos, estética y armonía con el entorno. Actualmente esta labor recae en los arquitectos, sin embargo en los proyectos estructurales industriales, deben asesorarse con un ingeniero. Diseño estructural Una vez que se ha definido la forma general se realiza el diseño estructural, en que se selecciona el material estructural, la ubicación de los elementos

estructurales principales o erstructuración y el dimensionamiento de los mismos. Los elementos estructurales deben ser capaces de resisitir las distintas cargas que sobre ellos pueden actuar, cargas muertas, o de peso propio o cargas vivas como sobre cargas y cargas eventuales como el viento y el sismo. Los elementos deben resistir las cargas de tal forma de generar un ambiente seguro. Para realizar el diseño, se sigue un orden básico: 1.- Criterios de Diseño. Se debe establecer criterios básicos de diseño, basados en las normas y leyes y que especifiquen comomínimo lo siguiente:

- Características de los materiales. - Método de diseño. - Deformaciones máximas en los elementos. - Suposiciones básicas

2.- Estructuración Este etapa consiste en el estudio de la arquitectura o lay-out definido por el usuario. Se establece, en base a conceptos estructurales simples y las características de los materiales a utilizar, la forma en que resistirá la estructura, definiéndose la ubicación de los elementos estructurales principales y secundarios. 3.- Solicitaciones Una vez que se cuenta con la estructuración, se determinan las cargas que actuarán sobre la estructura y especificamente sobre cada elemento. Las cargas podrán actuar como carga distribuída o carga puntual segun corresponda. En general, se consideran las siguientes cargas (condiciones o estado de:)

Peso propio: cubierta

perfiles entrepisos

Sobrecargas: de uso

de viento

Cargas vivas: viento sismo

Cargas de impacto

Asentamientos diferenciales

Dentro de este punto, se deben incluir las combinaciones de carga, las que dependen de las normas utilizadas, del tipo de estructura analizada y del método del diseño. 4.- Predimensionamiento Teniendo claro los puntos anteriores y su influencia sobre la estructura, se debe realizar un predimencionamiento de los elementos estructurales. Esto pretende encontrar un tamaño aproximado de los elementos, para esto se recurre a fórmulas simples, pero principalmente a la experiencia. 5.- Análisis de la estructura Definidas las cargas, combinaciones, estructuración y dimensiones básicas se realiza el modelo con el cual se realiza el análisis. El modelo de análisis generalmente trata de representar lo más fielmente posible la estructura, pero siempre hay que tener claro que es un modelo. Actualmente, se utilizan ampliamente los modelos compuyacionales, que traducen toda la información entregada en matrices. Los programas más utilizados en Estructuras Metálicas son: SAP, STAT 3, AVANSSE, RISA,etc.

El modelo debe contener lo siguiente.

- nodos (intersecciones de barra) - barras (perfiles) - condiciones de apoyo - cargas - combinaciones de carga.

Actualmente los programas de análisis, incorporan el diseño de los elementos, lo cual es muy peligroso si no se cuenta con los conocimientos básicos para interptretar los resultados. El diseño estructural no es una ciencia exacta, por lo que no tiene sentido obtener resultados con 8 cifras significativas. Algunas de las razones se deben a que las resistencias de los materiales varían apreciablemente y a que las cargas máximas sólo pueden determinarse en forma aproximada. Los cálculos con más de dos o tres cifras significativas, obviamente son de poco valor y pueden darle al usuario una falsa idea de precisión. 6.- Evaluación de resultados Una vez que se ha realizado el análisis, se debe chequear los resultados obtenidos. Los resultados que se pueden obtener, dependiendo del programa utilizado, son:

Deformación de los nodos Momentos flectores Esfuerzos de corte Esfuerzos axiales Tensiones Estado del perfil, diseño

Los resultados se deben chequear de acuerdo a lo indicado en el punto 1

7.- Rediseño Si con una iteración, no se cumple con lo indicado en los criterios de diseño, se debe volver y realizar el análisis nuevamente, si es que se ha cambiado alguna condición al modelo. 8.- Decisión final Una vez que se chequea el cumplimiento de los criterios dediseño, en cuanto a tensiones y deformaciones y que a su vez el proyecto es óptimo en lo económico, se da el visto bueno para desarrollar los planos.

III MÉTODOS DE DISEÑO DE ELEMENTO DE ACERO ESTRUCTURAL. En el último tiempo ha tomado vigor el diseño de elementos metálicos por el método de cargas y Resistencias, en reemplazo del Método de Tensiones Admisibles (ASD). El Método de Tensiones Admisibles considera que los perfiles no pueden sobrepasar un porcentaje de las tensión de fluencia (fy), definido según el esfuerzo a analizar El método de las tensiones admisibles ASD puede ser representado mediante la inecuación:

ni i

RQFS

γ ≤∑

El miembro de la izquierda se denomina Resistencia Requerida y es la sumatoria de los efectos Qi de igual índole (esfuerzo característico: M o N o Q, etc. los que resulten los más apropiados) debidos a las causas (cargas, variaciones de temperatura, etc.) y sus combinaciones, determinados mediante un procedimiento de análisis estructural. El miembro de la derecha representa la Resistencia de Cálculo (o de Diseño) y es la Resistencia Nominal Rn o la resistencia que provee el elemento o unión (capacidad resistente a la flexión, esfuerzo axil, corte, etc.) con su estado límite claramente definido, dividida por un coeficiente de seguridad F.S. Cuando dividimos ambos miembros de la inecuación por una característica geométrica adecuada (por ej.: área o módulos de la sección) el miembro de la

izquierda se transforma en la tensión de trabajo y el de la derecha en la tensión admisible El método de tensiones admisibles ASD está caracterizado entonces, por el uso de cargas de trabajo (de valores nominales fijados por los códigos) no factorizadas, con la adopción simultánea de un coeficiente o factor único de seguridad (F.S.) aplicado a la Resistencia Nominal (media o característica). Debido a la gran variabilidad y por lo tanto a la impredictibilidad de las cargas vivas y de las cargas accidentales en comparación con las cargas permanentes, sumado a los valores distintos de los coeficientes de variación (que indican la dispersión de los resultados) que presentan las diversas Resistencias Nominales que corresponden a cada solicitación, no resulta posible mediante este método obtener una confiabilidad uniforme para toda la estructura. Para distintos esfuerzos y de acuerdo a los factores de seguridad correspondientes, se tiene los siguientes valores para las tensiones admsisibles máximas. Corte : 0.40 fy Tracción : 0.60 fy Compresión : 0.60 fy Flexión : 0.60 fy El Método de Carga y Resistencia permite que los perfiles puedan alcanzar valores mayores de tensiones, incluso llegar a la fluencia, como es el caso de perfiles en flexión. La metodología de diseño, se puede resumir en la siguiente fórmula:

i i nQ Rγ φ≤∑ En qué Qi = Representan los distintos estados de carga que solicitan la estructura. γi = Factores de carga para los distintos estados de carga Rn = Resistencia nominal del perfil φ = Factor de resistencia que depende del tipo de solicitación en estudio.

En el esquema siguiente, se puede ver un resumen de la metodología de diseño de ambos métodos. El actual código AISC, ha unificado ambos metodos, de forma de que independiente del método que se use, los resultados sean similares. Para obtener resultados similares, se ha calibrado el método ASD con el método LRFD, de forma que al considerar la combinación de carga básica del ASD (DL + LL), se obtengan resultados similares al utilizar la combinación básica del método LRFD, 1.2DL + 1.6 LL. Esto se ha logrado, para la relación LL/DL = 3.0 Si LL/DL = 3.0, entonces, la relación entre FS (Ω) y φ, es la siguiente

1.5φ

Ω =

Estados límites Con este método se dimensiona la estructura de modo que no se sobrepase ningún estado límite aplicable cuando la estructura queda sujeta a las

combinaciones de carga mayoradas (anteriormente indicadas). Los estados límites pueden ser de resistencia o servicio. Estados límites de resistencia: Están asociados a la capacidad resistente e la estructura determinada por su resistencia al pandeo, fatiga, fluencia, volcamiento, etc. Estados límites de servicio: Asociados al comportamiento de la estructura bajo condiciones normales o de uso, determinadas por limitaciones de deformaciones, deslizamiento, vibración, agrietamiento, etc. Los factores de resistencia que se especifican en el Método de Carga y Resistencia, están basados en investigaciones sobre un gran universo de aceros, que satisfacen las normas ASTM correspondientes. Los valores de los factores de resistencia se pueden ver en la siguiente tabla:

Factores de Resistencia

φ Situaciones

1.00 Aplastamiento en áreas proyectantes de pasadores, fluencia del alma bajo cargas concentradas, cortante en tornillos en juntas de tipo fricción

0.90 Vigas en flexión y corte, filetes de soldadura con esfuerzos paralelos al eje de la soldadura, soldaduras de ranura en el metal base.

0.85 Columnas, aplastamiento del alma, distancias al borde y capacidad de aplastamiento en agujeros

0.80 Columnas, aplastamiento del alma, distancias al borde y capacidad de aplastamiento en agujeros

0.75 Tornillos a tensión, soldaduras de tapón o muesca, fractura en la sección neta de miembros a tensión.

0.65 Aplastamiento en tornillos (excepto A 307) 0.60 Aplastamiento en tornillos A 307, aplastamiento en

cimentaciones de concreto.

IV ESTADOS DE CARGA Y COMBINACIONES DE CARGAS IV.1 ESTADOS DE CARGA Anteriormente ya se han mostrado los distintos estados de carga que pueden solicitar a una estructura, sin embargo, siempre se debe determinar la naturaleza de las cargas, esto es, si se trata de cargas vivas o cargas muertas. Cargas Muertas: Las cargas muertas, son aquellas cargas en que su valor y posición están definidos, no existiendo variación de los mismos, durante la vida útil del proyecto. Dentro de estas cargas, se puede encontrar lo siguiente:

- Peso propio. - Empuje de suelos. - Peso de equipos. - Nieve (en las zonas en que la nieve es permanente). - Empuje de aguas. - Temperatura

Cargas Vivas: Son aquellas cargas que pueden tener variación durante la vida útil del proyecto, tanto en su valor como en su posición. Dentro de estas cargas, se puede encontrar lo siguiente:

- Sobrecargas de uso en piso, techo, etc. - Viento - Sismo - Nieve (en zonas donde la nieve es ocasional) - Explosiones - Operación de equipos móviles

IV.2 COMBINACIONES DE CARGA Las combinaciones de carga, dependen del método de diseño que se utilice, así la resistencia requerida que entegue cada ,método, se debe comparar con la resistencia nominal del elemento, que entregue cada método. Para el método de Tensiones admisibles, ASD, se tiene las siguientes combinaciones principales.

1.0 DL 1.0 DL + 1.0 LL 1.0 DL + α Lr + 1.0 W 1.0 DL + α Lr + 1.0 E

Para el método de carga y resistencia, LRFD, se tienen las siguientes combinaciones de carga:

1.4 D 1.2 D + 1.6 L + 0.5 (Lw o S o R) 1.2 D + 1.6 (Lr o S o R) + (0.5 L o 0.8 W) 1.2 D + 1.3 W + 0.5 L + 0.5 (Lr o S o R) 1.2 D + 1.5 E + (0.5 L o 0.2 S) 0.9 D – (1.3 W o 1.5 E)

En que:

D = Carga muerta, que incluye el peso de los elementos estructurales y argas permanentes de la estructura.

L = Carga Viva que incluye ocupantes y cargas móviles. Lr = Carga viva en techo. W = Carga de viento. S = Carga de nieve. E = Carga sísmica R = Carga de bido al agua de lluvia o hielo acumulado. α = Factor de reducción de sobrecarga, en combinaciones con carga

eventual.

V ELEMENTOS EN TRACCIÓN En casi todas las estructuras de acero, podemos encontrar elementos en tracción, aún cuando este esfuerzo en general se presenta acompañado de flexión y corte, lo que en rigor significa diseñar el elemento con varias solicitaciones actuando en forma simultánea. En todo caso, para aquellos elementos en que el esfuerzo axial es predominante, como en arriostramientos y piezas de enrejados, se acostumbra diseñar despreciando los efectos de flexión y corte. Si se tratase de otros elementos de mayor importancia, el diseño debe considerar la interacción de estos esfuerzos. DIMENSIONES MÍNIMAS. Las dimensiones de los perfiles quedan definidas por las sección transversal que resiste la tensión de tracción, sin embargo existen dimensiones mínimas que tienden a reducir los efectos secundarios de vibraciones, deformaciones de peso propio, defectos de fabricación e impacto generado por solicitaciones de tipo eventual y/o accidentes. En el caso de la tracción, se considera que el parámetro de la esbeltez, debe ser menor a 300. Sin embargo este valor no se aplica a elementos con dispositivos de tracción como es el caso de las barras redondas. CAPACIDAD DE LA SECCIÓN. En ausencia de inestabilidad y de perforaciones, el límite de utilidad para el diseño de elementos en compresión es la fluencia, al igual que para el diseño de elementos en tracción, lo que equivale a reconocer que el acero se comporta isotrópicamente con el mismo límite de fluencia en tracción y en compresión. Se supone además que la carga actúa en el centro de gravedad de la sección y se desprecia el resto de los esfuerzos. En la hipótesis anterior, siendo válidas la Ley de Hooke, la distribución de tensiones es uniforme, proporcional al alargamiento. El límite resistente queda determinado por la fluencia del acero y es válida la ecuación:

AP

FAPf u

f =≤=

El código AISC – LRFD –1999, reconoce en el caso de elementos traccionados, dos modos de falla:

- Fluencia en el área bruta ( con factor de reducción φ = 0.9) y... - Fractura en el Area Neta efectiva (con factor de reducción φ = 0.75)

La primera condición se alcanza antes de llegar a la tensión última y representa un estado límite resistente que involucra todas las fibras de la sección y va acompañado de grandes deformaciones antes que ocurra la falla. Puede ocurrir que, localizadamente en el área neta efectiva, se alcance la tensión última antes que se produzca la falla por fluencia del elemento. Se origina de esta manera falla de tipo frágil con fractura de la pieza, en elementos comprimidos no esbeltos, la falla es del primer tipo. Se definen a continuación una serie de conceptos, para considera tanto la reducción de área que originan las perforaciones cuando se usa conectores mecánicos como la forma de vinculación de las secciones. - Area Bruta: Es la sección total de la sección, corresponde a la suma de los

anchos, por los espesores de los perfiles, medidos normalmente al eje del elemento.

- - Area Neta: Corresponde al área reducida por efecto de las perforaciones

(1/16” mayor que el diámetro nominal del perno y si hay punzonado, 1/8”). Para líneas de falla en diagonal, se agregará el valor s2/4g, por cada cambio diagonal en la dirección medida. En la figura siguiente se muestra como 1–1 una posible falla por tracción de la plancha y como 1-2 una falla alternativa.

La capacidad de la unión es distinta si la falla se produce según 1-1, 1-2 u otra trayectoria o cadeneta. Hay una serie de fórmulas empíricas que permiten determinar la capacidad de la unión en el caso que la trayectoria siga una línea inclinada. Tanto la norma NCh 427 como las normas norteamericanas AREA, AISC, AASHTO sugieren el uso de la fórmula de Cochrane

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∑∑

==

n

i i

in

iin g

sDBeA

1

2

1 4

donde:

Di = Diámetro del agujero. si = paso entre el agujero i y el agujero i+1 (medida en la dirección paralela a la fuerza) gi = Gramil entre el agujero i y el agujero i+1 (medida en dirección perpendicular a la fuerza). e = espesor de la placa.

Area Neta efectiva: Debe considerarse cuando sólo parte de la sección transversal se conecta en la unión, las expresiones que se aplican están derivadas de los trabajos de Munse y Chesson. Si la conexión es completa coincide con el área neta. Se calculará de acuerdo con las siguientes expresiones, tomadas del LRFD-1998. Carga transmitidas por pernos Ae = U An

Ae, An; áreas efectivas y neta

U = factor de reducción, se debe cumplir que An max = .85 Ag. De acuerdo a la especificación AISC, a menos que un coeficiente de reducción mayor pueda ser justificado se adoptará los siguientes valores: a) Secciones Doble T, en las cuales las alas no son menores que 2/3 del alto y

la conexión es mediante conectores mecánicos a través de las alas, con no menos de tres conectores por línea en la dirección del esfuerzo, U = 0.90.

b) Idem a lo anterior, pero cuando no se satisfacen las condiciones especificadas, Tes cortadas de las secciones anteriores y no menos de tres conectores por línea en la dirección del esfuerzo, U = 0.85.

c) Todos los elementos conectados mecánicamente con sólo dos conectores por línea en la dirección del esfuerzo, U = 0.75.

En todo caso, el valor U puede ser calculado con la siguiente expresión:

90.01 ≤−=LXU

en que: X = excentricidad de la conexión; es decir, la distancia desde el plano de conexión, o cara del elemento, al centro de gravedad de la porción del miembro que resiste la fuerza de conexión. L = Longitud de la conexión en la dirección de la carga. En la gráfica adjunta se puede ver la forma de determinar el factor U, y en la gráfica siguiente, los distintos valores que puede tomar el valor U, dependiendo del tipo de perfil y del tipo de unión.

DISEÑO DE ELEMENTOS TRACCIONADOS: Según lo establecido anteriormente la resistencia de diseño a tracción, resultará la carga menor de acuerdo con los dos modos posibles de falla, representados por las siguientes expresiones: Resistencia Nominal Método ASD Fluencia en la sección Bruta: Pn = Fy Ag/FS on FS = 1.67 Fractura en la sección neta: Pn = Fu Ae/FS on FS = 2.00 Método LRFD Fluencia en la sección Bruta: φt Pn = φt Fy Ag con φt = 0.90 Fractura en la sección neta: φt Pn = φt Fu Ae con φt = 0.75 Bloque de Corte A veces una plancha, dependiendo de la forma en que se conecte, puede quedar sometida a tracción en una cara y a corte en la cara perpendicular.

La existencia de este bloque de corte, puede significar que sea necesario estudiar la importancia relativa de la falla corte-tracción y determinar si este nuevo modo de falla es determinante en relación a los modos antes definidos.

Si el área de corte es la más importante ocurrirá esta falla antes que fluya la plancha por tracción y recíprocamente cuando el área de tracción es mas la mayor, la plancha fallará por tracción antes y luego se producirá la falla por corte. Es poco probable que ambas fallas ocurran simultáneamente; en otras palabras, después que se ha producido algún modo de falla en fluencia, será necesario que dicha fluencia progrese hasta casi la fractura para que se produzca la falla en fluencia en un plano perpendicular en el otro modo. La norma AISC-LRFD propone considerar la falla por fractura sobre el área neta efectiva con la tensión última y la falla por fluencia sobre el área bruta con la tensión de fluencia. Para determinar la capacidad a tracción y corte combinadas, deben sumarse la resistencia a tracción más la resistencia al corte, con lo cual, dependiendo cual zona fluya primero, resultan dos ecuaciones. En el método ASD, se utilizan las siguientes ecuaciones, de las cuales debe elgirse la de menor valor. - Rotura por Tracción y Fluencia por Corte, con FS = 2.0

( )0.6 /bsbs u tn u nvP U F A F A FS= + ecuación a

- Rotura por Corte y Rotura Tracción, con FS = 2.0

( )0.6 /bs bs u nt y vgP U F A F A FS= + ecuación b En el método LRFD, se utilizan las siguientes ecuaciones, de las cuales, debe elegirse la de menor valor. - Rotura por Tracción y Fluencia por Corte, con φt = 0.75

( )( 0.6bsbs u tn u nvP U F A F Aφ= + ecuación a

- Rotura por Corte y Rotura Tracción, con φt = 0.75

( )0.6bs bs u nt y vgP U F A F Aφ= + ecuación b

En estas ecuaciones,

Atg, Atn, Avg, Avn; son las áreas de tensión y corte (brutas y netas) respectivamente. Fy, Fu; son las tensiones de fluencia y última respectivamente. Ubs; Es un factor utilizado en el cálculo del bloque de corte y que considera la tensión en el elemento. Así, si la tensión es uniforme, el valor es 1, si no, es 0.5. En general, el valor utilizado es 1.

Las fallas por tensión y corte no ocurren simultáneamente, ello depende de cual resultante de tensiones es la de mayor importancia. La mayor resultante de tensiones determina cual es la falla primaria, la que ocurre inicialmente en fluencia y se requieren deformaciones mayores para generar la falla secundaria. Para que esto ocurra, la zona en falla primaria debe fracturarse, es por esa razón que el factor de reducción de las resistencias es el de fracturas. El LRFD, supone que al fracturarse la zona en falla primaria, la falla secundaria ha alcanzado la fluencia, por eso los términos son aditivos.

Ejercicio 1. CÁLCULO DE PERFIL EN TRACCIÓN. Determinar el área neta en el siguiente perfil plegado, L 100x100x8 mm. Los pernos son de 5/8”. El acero es de calidad A 42-27 ES Calcular la capacidad en tracción del perfil, por los Métodos ASD y LRFD. CÁLCULO DE AREA NETA 1.- Se debe determinar el Ag, Area Bruta. Ag = (10 + 10) x 0.8 = 16 cm2. 2.- Determinar el tamaño de los agujeros. Para este cálculo, se considerará una holgura de 1/6”, luego, el diámetro de los agujeros será: D = 5/8” + 1/16” = 11/16” D = 1.75 cm D = 17.5 mm 3.- Cálculo de cadenetas 3.1.- Cadeneta A – F

( )( ) 2

0.8 20 2 1.75 13.2An x cm= − =

3.2.- Cadeneta A – D – F

( ) 22 24 40.8 20 3 1.75 15.0

4 2 4 2An x cm

x x⎛ ⎞⎛ ⎞

= − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

3.3.- Cadeneta A – D – G

( ) 22 24 30.8 20 3 1.75 14.3

4 2 4 2An x cm

x x⎛ ⎞⎛ ⎞

= − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

3.4.- Cadeneta B – D – G

( ) 22 23 30.8 20 3 1.75 13.6

4 2 4 2An x cm

x x⎛ ⎞⎛ ⎞

= − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Se podría considerar adicionalmente otras cadenetas, por ejemplo

Cadeneta BDF, per es similar a la cadeneta ADG Cadeneta CEH, pero es similar a la cadeneta BDG Cadeneta BEH, pero es similar a la cadeneta ADG

Luego, el An = 13.2 cm2, dado por la cadeneta AF. Ahora, se debe calcular el An máx, dado por 0.85 Ag.

2max 0.85 16 13.6An x cm= =

Luego, como el An calculada es menor que el Anmax, se conserva el valor calculado, es decir, An = 13.2 cm2 Ahora, si consideramos que el perfil se une lateralmente a una placa, podemos calcular el Coeficiente de reducción U. De esta forma, se requiere el valor de x , y de la longitud de la unión, l, para el cálculo, así el valor de x, se obtiene de las tablas y el valor l, de la gráfica.

1 xUl

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ Al reemplazar los valores siguientes l = 14 cm x = 8.69 mm Se tiene:

0.8691 0.93814

U ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Con este valor, se pude calcular el valor del área neta efectiva, según la siguiente fórmula:

efAn U An= ×

Que entrega los siguientes resultados

Anef = 0.938 x 13.2 = 12.38 cm2 CÁLCULO DE CAPACIDAD Método ASD Estado límite de Fluencia, Pn = Fy Ag /FS Pn = 2700 x 16 /1.67 = 25868.3 kg Controla Estado límite de Ruptura, Pn = Fu Ae / FS Pn = 4200 x 12.38 / 2 = 25998 kg. Método LRFD Estado límite de Fluencia, Pn = φ Fy Ag Pn = 0.90 x 2700 x 16 = 38880 kg Controla Estado límite de Ruptura, Pn = φ Fu Ae Pn = 0.75 x 4200 x 12.38 = 38997 kg. DETERMINACIÓN DE LA DEMANDA DE CARGA Para esto se considera lo siguiente DL = 6250 kg LL = 19000 kg En el caso del método ASD, se tiene la siguiente combinación de carga: C1 = DL + LL C1 = 6250 +19000 = 25250 kg. En el caso del método LRFD, se tiene la siguiente combinación de carga: C2 = 1.2 DL + 1.6 LL C2 = 37900 kg. ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Si comparamos el rendimiento del perfil por cada método, se tiene:

ASD: µ = 25250 / 25868.3 = 97.61 % LRFD: µ = 37900 /38880 = 97.47 % Como se puede ver, el rendimiento que se tiene para un perfil u otro es muy parecido. Se debe reconocer en estos resultados, el hecho de que ambos métodos entregan resultados similares en cuanto a la capacidad de la estructura. No se debe malinterpretar el hecho de que el perfil por el método LRFD, tenga un mayor valor de capacidad, ya que debe compararse con una carga solicitante mayor, dada por la combinación de cargas correspondiente.

Ejercicio 2. CÁLCULO DE BLOQUE DE CORTE. Determinar el área neta en el siguiente perfil plegado, L 80x80x5 mm. Los pernos son de 5/8”. El acero es de calidad A 42-27 ES. Calcular la capacidad en tracción del perfil, considerando Bloque de corte, por los Métodos ASD y LRFD. CÁLCULO DE AREA NETA 1.- Se debe determinar el Ag, Area Bruta. Ag = (8 + 8) x 0.5 = 8.0 cm2. 2.- Determinar el tamaño de los agujeros. Para este cálculo, se considerará una holgura de 1/6”, luego, el diámetro de los agujeros será: D = 5/8” + 1/16” = 11/16” D = 1.75 cm D = 17.5 mm 3.- Cálculo de cadenetas Se considera sólo el ancho del perfil (abatido) y uno de los agujeros, así se tiene:

20.5(16 1 1.75) 7.125nA cm= − × = Luego, el An = 7.125 cm2. Ahora, se debe calcular el An máx, dado por 0.85 Ag.

2max 0.85 8 6.8An cm= × =

Luego, como el An calculada es mayor que el Anmax, se debe considerar este último valor, así, An = 6.8 cm2

Ahora, si consideramos que el perfil se une lateralmente a una placa, podemos calcular el Coeficiente de reducción U. De esta forma, se requiere el valor de x, y de la longitud de la unión, l, para el cálculo, así el valor de x, se obtiene de las tablas y el valor l, de la gráfica.

1 xUl

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ Al reemplazar los valores siguientes l = 12 cm x = 7.7 mm Se tiene:

0.771 0.93612

U ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Con este valor, se pude calcular el valor del área neta efectiva, según la siguiente fórmula:

efAn U An= ×

Que entrega los siguientes resultados

Anef = 0.936 x 6.8 = 6.365 cm2 CÁLCULO DE CAPACIDAD Método ASD Estado límite de Fluencia, Pn = Fy Ag /FS Pn = 2700 x 8 /1.67 = 12934.1 kg Controla Estado límite de Ruptura, Pn = Fu Ae / FS Pn = 4200 x 6.365 / 2 = 13366.5 kg. Método LRFD Estado límite de Fluencia, Pn = φ Fy Ag

Pn = 0.90 x 2700 x 8 = 19440 kg Controla Estado límite de Ruptura, Pn = φ Fu Ae Pn = 0.75 x 4200 x 6.365 = 20049.8 kg. CÁLCULO DEL BLOQUE DE CORTE Se debe considerar el menor valor entre las siguientes fórmulas y para cada método: En el método ASD, se utilizan las siguientes ecuaciones - Rotura por Tracción y Fluencia por Corte, con FS = 2.0

( )0.6 /bsbs u tn u nvP U F A F A FS= + ecuación a

- Rotura por Corte y Rotura Tracción, con FS= 2.0

( )0.6 /bs bs u nt y vgP U F A F A FS= + ecuación b

En el método LRFD, se utilizan las siguietes ecuaciones - Rotura por Tracción y Fluencia por Corte, con φt = 0.75

( )( 0.6bsbs u tn u nvP U F A F Aφ= + ecuación a

- Rotura por Corte y Rotura Tracción, con φt = 0.75

( )0.6bs bs u nt y vgP U F A F Aφ= + ecuación b

Se requiere calcular Atn, Avn, Avg, las áreas neta de tracción neta al corte y bruta al corte, que se dan en el Bloque de Corte. Atn = 0.5 x ((5.0 + 4.0 + 4.0 + 4.0) – 3.5 x 1.75) = 5.48 cm2 Avn = 0.5 x (3.0 – 0.5 x 1,75) = 1.0625 cm2 Avg = 0.5 x (5.0 + 4.0 + 4.0 + 4.0) = 8.5 cm2 Se considera que las tensiones que se desarrollan en los elementos son uniformes, por lo que Ubs = 1.0.

Así, se tiene, para el método ASD Ecuación a: (1 4200 5.48 0.6 4200 1.0625) / 2 12846.8Pbs kg= × × + × × = Ecuación b: (1 4200 5.48 0.6 2700 8.5) / 2 18393.0Pbs kg= × × + × × = … y para el método LRFD Ecuación a: 0.75 (1 4200 5.48 0.6 4200 1.0625) 19270.1Pbs kg= × × × + × × = Ecuación b: 0.75 (1 4200 5.48 0.6 2700 8.5) 27589.5Pbs kg= × × × + × × = Como se puede ver, en ambos casos controla la ecuación a. ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Resumiendo, se tiene lo siguiente Método ASD Capacidad por área neta, Pn = 12934.1 kg Capacidad por bloque de corte, Pbs = 12846.8 kg Método LRFD Capacidad por área neta, Pn = 19440.0 kg Capacidad por bloque de corte, Pbs = 19270.1 kg

VI COMPRESION VI.1 DESARROLLO DE LAS FÓRMULAS PARA COLUMNAS. El uso de columnas se remonta a la prehistoria, desde allí el uso de estos elementos se basó exclusivamente en la interpretación y copia de las formas de la naturaleza. Sólo en 1729 se publicó un artículo científico sobre columnas, que contenía una fórmula empírica para determinar la capacidad de columnas de sección rectangular. En 1757, Leonhard Euler, un matemático suizo, escribió un artículo de gran valor relativo al pandeo de columnas; y probablemente él fue la primera persona en darse cuenta de la importancia del pandeo. La fórmula de Euler, la más famosa de todas las expresiones sobre columnas, representa el principio de la investigación teórica y experimental sobre columnas. La bibliografía técnica contiene muchas fórmulas desarrolladas para condiciones ideales de las columnas, pero estas condiciones no se encuentran en la realidad práctica. En consecuencia el diseño práctico de columnas se basa principalmente en fórmulas que se han desarrollado para concordar con exactitud razonable con los resultados de las pruebas. La justificación de este procedimiento es el hecho de que la deducción independiente de expresiones para columnas no conduce a fórmulas que den resultados comparables con los valores experimentales para toda relación de esbeltez. Las pruebas desarrolladas por los investigadores, en columnas con diferentes relaciones de esbeltez producen una serie de valores esparcidos como los representados por la banda ancha de puntos en la figura adjunta. Los puntos no quedarán en una curva suave aunque las pruebas se hagan en el mismo laboratorio, debido a diversosn factores, como son:

- Dificultad de centrar exactamente las cargas sobre las columnas. - Falta de perfecta uniformidad de los materiales - Variabilidad en las dimensiones del perfil.

- Esfuerzos residuales - Cambios de las restricciones en los extremos, etc.

La práctica común consiste en desarrollar fórmulas que den resultados representados por un promedio aproximado de los resultados de las pruebas. Además se tiene que las condiciones de laboratorio no son análogas a las de terreno y que las pruebas de columnas probablemente dan los valores límites de su resistencia. Las magnitudes de los esfuerzos de fluencia de las secciones probadas son muy importantes en las columnas cortas. Para columnas con relación de esbeltez intermedias, los esfuerzos de fluencia tienen menor importancia que en las columnas largas. Para columnas intermedias los esfuerzos residuales tienen mayor influencia en los resultados, en tanto que los esfuerzos de falla de columnas largas son muy sensibles a las condiciones de apoyo en los extremos. Otro factor dominante en su efecto sobre la resistencia de las columnas, además de los esfuerzos residuales y de la no linealidad de los materiales es la falta de rectitud.

VI.2 LA FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS. Se supone una columna ideal, larga, recta, cargada axialmente, homogenea y con extremos rotulados, como la mostrada en la gráfica adjunta.

( ) ( )zPyzM = ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

EIzMy "

( )zyEIP

dzyd

−=⇒ 2

2

0)(2

2

=+⇒ zyEIP

dzyd

haciendo EIPk =2 , se tiene

0)(22

2

=+⇒ zykdz

yd

cuya solución es del tipo y(z) = Asen kz + β cos kz como y (z= 0) = 0, β=0 luego y(z) = Asen kz como y = 0 para z = L, se tiene que A =0, o bien sen kz = 0. Si A=0, no hay deflexión del perfil, de modo que la solución debe tenerse usando sen kz =0. Esto será solamente para valores KL, como sigue kl = π, 2π, 3π,......., n π

y en general L

nk π=

reemplazando en la ecuación anterior de K, se tiene:

Ln

EIP π

=

de donde 2

22

LnEIP π

=

si n= 1 2

2

LEIP π

= , ecuación conocida como Carga Crítica de Euler, Pcr.

Si dividimos a ambos lados, por el área de la sección transversal, obtenemos la tensión crítica de Euler.

2

2

ALEI

crπσ =

pero la fórmula se puede arreglar algo más, aprovechando las propiedades geométricas de la sección transversal.

IAiAIi

AIi =⇒=⇒= 22

reemplazando en la ecuación de tensión crítica, se tiene

2

22

2

2

ALAEi

ALEI

crcrπσπσ =⇒=

2

2

2

2

λπσπσ E

iL

Ecrcr =⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

con λ = l/i, esbeltez de la columna.

Las expresiones de Euler, tienen ciertas hipótesis básicas que se deben cumplir: 1.- La carga axial se distribuye uniforme en toda la sección. La columna está compuesta por un material elástico y lineal. 2.- No existen tensiones internas en el elemento debido a procesos de laminación o soldadura. 3.- La columna es perfectamente recta y prismática. 4.- La carga resultante axial actúa a través del eje centroidal del elemento hasta que este comienza a pandearse. 5.- Las condiciones de borde son rotuladas. 6.- Las deformaciones por flexión son pequeñas. 7.- Durante la flexión no ocurren giros ni distorciones en la sección (no se produce torsión).

Columnas con Condiciones de Apoyo

La rotación de los extremos de las columnas en los edificios está restringida por las vigas que se conectan con ellas. Los extremos de los miembros están similarmente restringidos. En ambos casos, se puede realizar el diseño sobre la base de extremos con pasadores. Notese que la deducción de la ecuación de Euler se hizo para una columna perfectamente recta y rotulada en los extremos. La deducción de la carga crítica de pandeo en columnas con diversas restricciones terminales se puede ejecutar de una manera similar a la del caso Euler. Esto se demostrará para la columna con extremos fijos que se muestra en la figura siguiente.

Para el caso a, la ecuación diferencial de flexión se convierte entonces en:

oMPxdy

xdEI +−=2

2

Usando como antes el método de solución y teniendo en cuenta que se ha añadido sencillamente una constante, se tiene X = A sen ky + β cos ky – Mo/P

Con EIPk = , como antes.

Para condiciones límites de X = 0, para y = 0 e y = L, se obtienen las constantes A y B, de esta forma, se llega a :

Caso a Caso b

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−= 1cossen

sencos1 kyky

klkl

PM

X o

Tomando derivada dx/dy, se obtiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= kykky

klkl

PkM

dydx o sencos

sencos1

... como dx/dy = 0, para y=0, se tiene

0sen

cos1=

−=

klkl

PkM o

La menor de las raices de esta ecuación da Kl = 2, y con EIPk /= , se tiene:

2

2

2

2

2

2

)()5.0(4

kLEI

LEI

LEIP πππ

===

... o sea, la longitud efectiva de la columna, kL es L/2 = 0.5 L donde k= 0.5.

Con esto se introduce uno de los primeros intentos de ajustar la longitud de la columna a las condiciones terminales. La longitud efectiva kL, o algún otro concepto equivalente, se usa en casi todas las fórmulas de diseño de las especificaciones de construcción Cuando el tope de la columna está fijo contra traslación y la base está fija contra la traslación y la rotación, como se ve en la figura del caso b, se puede reescribir la ecuación diferencial de flexión como:

LyMPx

dyxdEI o+−=2

2

y obtener 2

2

)7.0( LEIPcr

π= , o sea k = 0.7.

El valor kL, representa la long efectiva de la columna y en general se toma como la distancia entre puntos de inflexión de la elástica. FACTORES DE LONGITUD EFECTIVA Existen varios métodos racionales para analizar la estabilidad general de la estructura y la de los miembros estructurales. En el apéndice I de la Especificación, se presenta el métodos de los ábacos y otros corrientemente utilizados. El diseñador debe tener presente el grado de exactitud del método que elija, sean estos los indicados en ese Apéndice u otros. Factores recomendados. A continuación se muestra los valores de los coeficientes de longitud efectiva que recomienda el AISC. Se debe tener en claro que estos valores son aproximados.

Para al caso de columnas que forman parte de marcos rígidos o arriostrados, se puede utilizar los tradicionales ábacos, si embargo es bueno tener presente que en su determinación se utilizaron algunas suposiciones:

- El comportamiento del marco es unicamente elástico. - Todos los elementos son se sección constante en su longitud. - Todos los nudos son rígidos. - Para marcos arriostrados, las rotaciones en los extremos opuestos de

vigas son iguales en magnitud, produciendo curvatura simple. - Para marcos no arriostrados, las rotaciones en los extremos

opuestos de vigas son iguales en magnitud, produciendo doble curvatura (punto de inflexión para cargas puramente laterales en el cnetro del tramo).

- El parámetro de rigidez de todas las columnas es igual. - Toas las columnas se pandean al mismo tiempo. - No hay esfuerzo significativo de compresión en las vigas.

Determinación del Factor de longitud efectiva utilizando ábacos

A y B, se refieren a ambos extremos del elemento y el valor de G, se define de la siguiente forma:

gLEILEI

Ggg

ccx

)/()/(

∑∑=

∑ indica la suma de todos los miembros rígidamente unidos conectados al nudo en el plano de pandeo de la columna que se encuentra en estudio. Los valores de Ic e Lc, corresponden a la inercia y longitud de las columnas, en tanto los valores de Ig e Lg corresponden a la inercia y longitud de las vigas. Para una columna conectada a la fundación mediante unión articulada, se deberá tomar el valor G = 10, aún cuando teóricamente para una articulación perfecta corresponde a infinito. En el caso de un extremo de columna unida a la fundación rígidamente (columna de base empotrada), se deberá considerar el valor de G =1, aún cuando el valor teórico es cero.

EJEMPLO 3 En el ejemplo de la figura, determinar los coeficientes de longitud efectiva para cada columna, por el método aproximado.

Denominaremos C1 a la columna A-B, C2 a la columna C-D y C3 a la columna EF. Lo primero a observar en la estructura es la existencia de desplazamiento del nivel formado por A-C-E, ante la eventual aplicación de cargas laterales, ya que no existe restricción al desplazamiento por algún apoyo o bien por un arriostramiento. Esto implica que nuestros coeficientes de longitud efectiva serán mayores a uno (1). Análisis columna C1. Se debe analizar los extremos de la columna y asimilarlos a algunos de los tipos de apoyo mostrados en la tabla C-C2.1 En A, se tiene una unión rígida entre viga y columna, tal que permite el traspaso de momento. Sin embargo, este nudo se puede mover lateralmente por lo lo estamos en presencia de una unión empotrada – deslizante. En B, se tiene un simple apoyo. De esta forma, la columna se puede modelar como el caso f de la tabla antes mencionada con un k=2.

Análisis columna C2. En el nudo C, de la columna C2, se tiene una unión rígida entre la viga y la columna, existiendo además desplazamiento del nivel, por lo que para la columna se trata de una unión empotrada – deslizante. En D, se tiene un apoyo empotrado. De esta forma, podemos modelar la columna, como el caso c de la tabla C-C2-1, con un factor k=1.2 Análisis columna C3. En el nudo E, de la columna C3, se tiene una unión rotulada, en que solo existe traspaso de corte. Sin embargo existe desplazamiento lateral, por lo que se trata de un punto con movilidad y sin restricción al giro, por lo que se trata de un punto movil En F, se tiene un apoyo empotrado. De esta forma, podemos modelar la columna, como el caso e de la tabla C-C2-1, con un factor k=2.1

EJEMPLO 4

En el ejemplo de la figura, determinar los coeficientes de longitud efectiva para cada columna, por el método aproximado. Denominaremos C1 a la

columna A-B, C2 a la columna C-D, C3 a la columna EF y C4 a la columna EF. Lo primero a observar en la estructura es que no existe posibilidad de desplazamiento del nivel formado por A-C-E-G, ante la eventual aplicación de cargas laterales, ya que existe restricción al desplazamiento, dada por el arriostramiento entre las columnas C2 yC3. Por este motivo, todos los factores de longitud efectiva, serán menore o igual a uno Análisis columna C1. Se debe analizar los extremos de la columna y asimilarlos a algunos de los tipos de apoyo mostrados en la tabla C-C2.1 En A, se tiene una unión libre entre la viga y columna, tal que permite el giro. Sin embargo, este nudo no se puede mover lateralmente, por lo que estamos en presencia de una unión simplemente apoyada. En C, se tiene un empotramiento. De esta forma, la columna se puede modelar como el caso e de la tabla antes mencionada con un k=0.8 Análisis columna C2.

En el nudo C, de la columna C2, se tiene una unión rotulada entre la viga y la columna, no existiendo desplazamiento del nivel, por lo que para la columna se trata de una unión simplemente apoyada. En D, se tiene un apoyo simplemente apoyada. De esta forma, podemos modelar la columna, como el caso d de la tabla C-C2-1, con un factor k=1.0 Análisis columna C3. En el nudo E, de la columna C3, se tiene una unión rigida, en que existe traspaso de momento, sin movimiento lateral, por lo que se trata de un empotramiento. En F, se tiene un apoyo simple. De esta forma, podemos modelar la columna, como el caso b de la tabla C-C2-1, con un factor k=0.8 Análisis columna C4. En el nudo G, de la columna C4, se tiene una unión rigida, en que existe traspaso de momento, sin movimiento lateral, por lo que se trata de un empotramiento. En H, se tiene un empotramiento. De esta forma, podemos modelar la columna, como el caso a de la tabla C-C2-1, con un factor k=0.65

EJEMPLO 5

En el ejemplo de la figura, determinar los coeficientes de longitud efectiva para cada columna, por el método de los ábacos. Denominaremos C1 a la columna A-B, C2 a la columna B-C, C3 a la columna D-E y C4 a la columna EF. Se aplica la siguiente fórmula para cada columna:

gLEILEI

Ggg

ccx

)/()/(

∑∑=

Cada columna, se modela cada una de ellas con el siguiente esquema, nombrando los extremos como A y B.

Entonces, para la columna C1, se debe calcular el valor de GA y GB, para cada extremo de la columna, así se tiene: GA = 10, ya que el apoyo es rotulado

Luego, con estos dos valores, entramos en en el ábaco para marcos no arriostrados, marcamos ambos puntos en la columna que corresponde y tiramos una línea que los una., tal como se muestra en la gráfica adjunta.

6 55 6 3.38610

BG+

= =

La intersección de esta línea con la columna central, nos dará el valor del factor de longitud efectiva, que en este caso es 1.57. Para la columna C2, se tiene:

6 55 6 3.38610

AG+

= =

56 1.0418

10

BG = =

Entonces, de la misma forma, determimanos que el factor K de esta columna, es k= 1.57. El factor de longitud efectiva, para las columnas C3 y C4, se calcula de la misma forma. Se debe notar, que el factor E, módulo de elasticidad, al ser factor común de la fracción, no se le considera.

EJEMPLO 6

En el ejemplo de la figura, determinar los coeficientes de longitud efectiva para cada columna, por el método de los ábacos. La columna del lado derecho, será C2 y la columna del lado izquierdo será C1.

Se aplica la siguiente fórmula para cada columna: gLEI

LEIG

gg

ccx

)/()/(

∑∑=

Así , se tiene, para la columna C1 GA = 10, ya que el apoyo es rotulado

84 4.05

10

BG = =

Entonces, se utiliza el ábaco para marcos arriostrados, ya que se tiene diagonales de arriostramientos y, determinándose un factor k=0.95.

VI.3 DISEÑO DE COLUMNAS Se entregará la metodología de diseño dada por el Código AISC, para el método ASD y LRFD Ambos métodos, consideran las siguientes formas de falla en las columnas: - Fluencia: En secciones poco esbeltas - Pandeo por flexión: En general, esta falla controla en perfiles compactos y

no compactos de doble simetría. - Pandeo torsional y flexo torsional: En general afecta a los perfiles con

asimetrías. - Pandeo local: En general, afecta a los perfiles con elementos planos

esbeltos. El pandeo torsional de perfiles simétricos y el flexo-torsional de perfiles no simétricos, normalmente no controlan el diseño de columnas compactas y no compactas, pero pueden controlar el diseño e columnas conformadas por planchas relativamente delgadas. En el caso de perfiles T soldados o laminados, no es preciso verificar el pandeo flexo-torsional si el ancho total del ala es mayor que la mitad del alto del perfil y si el espesor del ala es mayor en 25 % que el espesor del alma en la T soldadas y mayor en 10% que el espesor del ala en las T laminadas. PANDEO POR FLEXIÓN La resistencia de diseño por pandeo de flexión de miembros comprimidos, sera la dada por las siguientes expresiones Método ASD Pn = Ag Fcr /FS Donde, FS, vale 1.67 Método LRFD

Pn = φc Ag Fcr En que φc = 0.90 (en los códigos anteriores φ = 0.85) Esto se debe al aumento en el control de calidad en la producción del acero norteaméricano, por lo que podría no ser válido en Chile. Considerando esto, se recomienda seguir utilizando φc = 0.85. La resistencia crítica se determina considerando dos tipos de columna, las columnas cortas y las columnas esbeltas, tal como se ve en la siguiente gráfica:

El límite entre las columnas cortas y las columnas largas, se da en el siguiente valor:

4.71y

EQF

λ =

Este valor, equivale a 1.06 Ce, donde Ce es la esbeltez de Euler, utilizada en el código ASD de 1989 y anteriores. Un ajuste necesario en la calibración de los dos códigos.

22e

y

ECFπ

=

2

2eEF π

λ=

Este valor, coincide además, con el valor λc=1.5 del código LRFD 1999, en donde se obtenía una tensión Fcr = 0.44 Fy, lo que se mantiene en el nuevo código. En otras palabras, el nuevo código ajusta la ubicación de las curvas, de forma de mantener los valores de los codigo anteriores. Pandeo Anelástico - Columnas cortas Para λ ≤ 1.06 Ce, la tensión crítica está dada por:

(0.658 )y

e

QFF

cr yF F= Pandeo Elástico - Columnas largas Para λ > 1.06 Ce, la tensión crítica está dada por

0.877cr eF F= En que: Fe : Es la tensión de Euler, dada por la siguiente ecuación:

Q : Es el factor de reducción de tensiones, que se define como Q = QsxQa Qa : Factor de reducción de tensiones para elementos atiesados. Qs : Factor de reducción de tensiones para elementos no atiesados. L : Longitud no arriostrada K : Factor de longitud efectiva Fy : Tensión del fluencia E : Módulo de elasticidad I : Radio de giro del eje en análisis. PANDEO TORSIONAL Y FLEXO-TORSIONAL.

La resistencia de miembros comprimidos determinada para sus estados límites de pandeo torsional y flexo- torsional es de φc Pn, donde φc = 0.90 Pn = Ag Fcr La tensión crítica Fcr, se determina como sigue Pandeo Anelástico - Columnas cortas Para λ ≤ 1.06 Ce, la tensión crítica está dada por: Pandeo Elástico - Columnas largas Para λ > 1.06 Ce, la tensión crítica está dada por con Fy : Tensión de fluencia Q : Qs * Qa, factor de Reducción de tensiones La tensión crítica de pandeo elástico torsional o flexo torsional Fe, se determina como sigue:

- Para secciones de doble simetría:

yxz

we II

GJlK

ECF

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

1)( 2

2π

- Para secciones de simetría simple, siendo “y” el eje de simetría

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+= 2)(

41

2 ezey

ezeyexeye FF

HFFH

FFF

(0.658 )y

e

QFF

cr yF F=

0.877cr eF F=

- Para secciones asimétricas, la tensión crítica de pandeo flexo torsional elástico, será la raiz menos de la siguiente ecuación cúbica:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−− −−

o

oexee

o

oeyeeezeeyrexe

r

yFFF

r

xFFFFFFFFF )()())()(( 2

2

2

donde kz : Factor de longitud efectiva para pandeo torsional. E : Módulo de elasticidad. G : Módulo de corte. Cw : Constante de alabeo. J : Constante torsional. Ix, Iy : Momentos de inercia para los ejes principales x e y. xo, yo : Coordenadas del centro de corte respecto al centro ed gravedad de la sección.

AII

yxr yxooo

+++=

−222

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

−= −2

0

22

1r

yxH oo

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

x

ex

ilK

EF π

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y

y

ey

ilK

EF π

2

0

2

2 1)(

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

rA

GJlK

ECF

z

wez

π

donde Kx, Ky : FactoRes de longitud efectiva de pandeo en las direcciones x e y. Ix, iy : Radios de giro para los ejes principales.

−

0r : Radio de giro polar alrededor del centro de corte. EJEMPLO 7.

Diseñar por ambos métodos, la columna en compresión Considerar perfil tipo H, acero calidad A 37 24 ES. La longitud de la columna es de 5.0 m y los apoyos son simples. Las cargas son : Ppp = 21250 kg Psc = 63750 kg Resolución: El diseño de una columna, es iterativo. Se elige un perfil y se comprueba si cumple o no cumple, se puede elegir otro para comparar. Siempre se busca el perfil que cumpla los requerimientos de resistencia y de economía. La elección del primer perfil siempre trae algún grado de complejidad… ¿En que nos basamos para elegir un perfil? ¿Con que perfil empezamos?. La utilización de los códigos y la experiencia, nos pueden dar algunas indicaciones, por ejemplo: - Criterio de esbeltez: Tradicionalmente, la esbeltez de compresión se ha controlado considerando que λ<= 200, aun cuando el actual código, no exige el control de esbeltez.

Se sabe que, kli

λ =

Entonces, se tiene que 200kli

≤

Luego se puede despejar el radio de giro, quedando: 200kli ≤

- Criterio de Carga: A partir de la carga de trabajo, dada por el método

ASD, se puede obtener un nuevo parámetro, según sigue:

Se sabe que PA

σ =

Además, se puede establecer una tensión máxima de trabajo para la clumna, por ejemplo s= 0.6 FY, en este caso s = 1440 kg/cm2.

Luego, se conoce σ y P, se puede despejar el área, PAσ

≤

En nuestro caso, sabemos que kx = ky =1 y que, por el método ASD, Pu = Ppp + Psc = 85000 kg, entonces, si aplicamos el criterio de esbeltez, tenemos

VI.4 PANDEO LOCAL DE ELEMENTOS EN COMPRESIÓN

Pandeo Local Las secciones de acero se clasifican como compactas, no compactas y esbeltas. Para que una sección sea calificada como compacta, sus alas deben estar conectadas en forma continua al alma o almas y las razones ancho-espesor de sus elementos comprimidos no deben exceder las razones límite de ancho-espesor λp de la tabla B5.1 de la Especificación AISC-LRFD. Si la razón ancho-espesor de uno o más elementos comprimidos excede λp pero no excede λr, la sección es no compacta. Si la razón ancho espesor de algún elementos excede λr, el elemento se denomina esbelto en compresión. El significado de los términos que definen las relaciones ancho-espesor de la tabla B5.1 se entrega en la figura adjunta. Nótese que las relaciones límite ancho-espesor varían si el miembro está en compresión o si está en flexión y de acuerdo a la configuración o modo de fabricación del miembro (soldado, laminado, plegado). En las secciones con elementos comprimidos esbeltos, el pandeo local ocurrirá antes que se alcance la tensión de fluencia, limitando la resistencia del miembro. En las secciones no compactas, se podrá alcanzar el límite de fluencia, pero se producirá pandeo local inelástico antes que se desarrolle una completa plastificación de la sección. Los miembros comprimidos sismoresistentes de una estructura que obtiene su estabilidad lateral por medio de marcos arriostrados (diagonales sísmicas, columnas que forman parte de planos arriostrados, puntales sísmicos) deben estar formados por elementos con relaciones ancho-espesor menores de λr de la tabla B5.1. Las vigas y columnas que forman parte de marcos rígidos sismoresistentes deben calificar como secciones compactas, es decir, sus elementos deberán tener relaciones ancho-espesor menores que λp de la tabla B4.1.

La resistencia de diseño de elementos en compresión no atiesados esbeltos, estará afecta a un factor de reducción Qs, definido en las ecuaciones 5.5-3 a 5.5-13, acápite 5.5.4.1 de la Especificación. Para los elementos en compresión atiesados esbeltos, se debe usar un ancho efectivo reducido, be, en el cálculo de las propiedades de diseño de la sección de que forman parte. Se define de este modo un factor Qa a utilizar en el diseño de miembros comprimidos con elementos atiesados esbeltos.

Qa = (área efectiva / area total) En los cálculos de miembros comprimidos con elementos esbeltos atiesados y no atiesados, la resistencia de diseño se afectará de un factor de reducción Q=Qa x Qs. En los cálculos de miembros en flexión deberá usarse el ancho efectivo de los elementos atiesados en la determinación tanto del momento de

inercia como el módulo de flexión elástico, limitando al mismo tiempo la resistencia de diseño de los elementos no atiesados por medio del factor Qs. ---- OJO REVISAR ---- Las pestañas atiesadoras de elementos atiesados deben cumplir los requisitos que se indican en el acápite 5.5.5 de la Especificación, para ser plenamente efectivas. Si nos los satisfacen, el ancho efectivo debe determinarse en conformidad con el acápite B.4.2 de la Especificación para el Diseño de Miembros Formados en Frío, del American Iron and Steel Institute, edición, 1996. Por su parte, las pestañas atiesadoras de borde están sujetas a las mismas provisiones y límites aplicables a los elementos no atiesados. ESBELTECES MÁXIMAS DE MIEMBROS ESTRUCTURALES La esbeltez Kl/r de miembros diseñados a compresión no deberá exceder de 250. Los miembros comprimidos que forman parte del sistema sismoresistente de la estructura, sean columnas, diagonales de arriostramiento o puntales, se diseñarán con una esbeltez menos que 1.5π(E/Fy)^(1/2). La esbeltez de miembros diseñados en tracción no deberá exceder e 350. Esta limitación no es aplicables a barras redondas en tracción, las que si son sismoresistentes deben tener dispositivos para aplicarles una tensión inicial que impida la compresión. En sistemas con diagonales en X, una de las cuales está comprimida y la otra traccionada, el punto cruce puede considerase fijo en el plano perpendicular a efectos de determinar la esbeltez, siempre que exista una conexión adecuada. Las diagonales que forman parte de arriostramientos sísmicos serán de secciones compactas o no compactas, con esbelteces no mayores que λr de la tabla B4.1. Similarmente las vigas y columnas sismoresistentes deberán tener esbelteces locales mayores que λp. Por otra parte, el acápite 5.5.6 de la Especificación indica las relaciones máximas ancho-espesor que pueden tener los elementos atiesados y no atiesados que componen las alas y el alma de miembros plegados o soldados.

Ejemplos para la aplicación de los límites dados en la tabla B4.1.

Factor de reduccion de tensiones para elementos no atiesados - Qs

0.00

0.50

1.00

1.50

0 10 20 30 40

Esbeltez local b/e

Qs

Qs

VII TEORIA DE FLEXIÓN

El diseño adecuado de los elemento que trabajan en flexión, es decir vigas (se tratarán solamente los perfiles doble T) que pueden ser armadas (soldadas) o laminadas, debe considerarse necesariamente la verificación de los siguientes estado límites de servicio: 1.- Resistencia. 2.- Volcamiento ( o pandeo lateral torsional), LTB. 3.- Pandeo local del ala, FLB. 4.- Pandeo local el alma, WLB. 5.- Corte. 6.- Condiciones de serviciabilidad. Se puede decir que los puntos 1 a 4 corresponden al estudio de los esfuerzos de flexión en la pieza, y en general serán los que van a controlar el dimensionamiento. El Corte en este caso, existe dda la existencia de la flexión, pero en general no controlará el dimensionamiento, salvo raros casos de vigas cortas o secciones armadas de alma muy esbelta (girders). Las condiciones de serviciabilidad deberán ser chequeadas a modi de que el elemento estructural y la estructura propiamente tal, puedan cumplir con los requerimiento necesarios. Para el chequeo de los estados límites en el caso de las vigas, al igual que todo elemento estructural verificado de acuerdo al LRFD se deberá cumplir que la capacidad sea siempre mayor o igual a la demanda.

Capacidad ≥ Demanda ∑ ≤ nii RQ φγ

donde: Qi = Solicitación que actúa sobre el elemento o estructura. Rn = Resistencia nominal.

iγ = Factor de carga. φ = Factor de resistencia En el caso de elementos sometidos a flexión, los factores de resistencia considerados son los siguientes: φb = 0.9, factor de resistencia en flexión.

φv = 0.9, factor de resistencia al corte. COMPORTAMIENTO GENERAL DE UNA SECCIÓN EN FLEXIÓN. En forma tradicional el acero estructural ha sido tratado como un material absolutamente elasto-plástico, es decir, un comportamiento elástico lineal hasta alcanzar el límite de fluencia y un aumento de deformaciones sin incremento de las tensiones una vez sobrepasado el límite de fluencia.

Diagrama Tensión-Deformación

Experimental y Modelo. Si analizamos el comportamiento de una sección sometida a flexión, podremos, de acuerdo a Navier y la relación constitutiva, dibujar los diagramas det tensiones y deformaciones en cada una de las fibras de la sección.

En la figura se aprecia el diagrama de tensiones (a) en el cuál todas fibras de la sección se encuentran trabajando elásticamente. De acuerdo a Navier, el diagrama es lineas, y para secciones doblemente simétricas las máximas tensiones son iguales y se encuentran en los puntos más alejados de la línea neutra o de tensión nula. En el diagrama (b) se ha llegado a la tensión de fluencia en las fibras extremas, y es el punto límite del trabajo puramente elástico. Las expresiones de Navier son perfectamente aplicables. Si el momento flector aumenta se comenzarán a plastificar otras fibras, no aumentando la tensión en ls que ya han alcanzado el límite elástico (c). La sección se encuentra en el rango elasto-plástico, ya que presenta fibras que no han alcanzado el límite de fluencia y otras que ya lo han hecho. Se genera una “altura elástica” que representa la altura de la sección que trabaja elásticamente y que paulatinamente se reduce hasta llegar al límite de cero, que se muestra en la figura (d). Rango elástico (casos a y b) Es válido Navier:

xx

y

IM

f = xS

Mf =máx máxy

IS xx

x =

∫=A

xx dAyI 2 2máxdy =

(doble-Té simétrica)

Rango elasto-plástico (caso c)

Una vez que se ha alcanzado la plastificación total de la sección (diagrama de bloques) ya no será capaz de tomar un momento flector mayor, correspondiendo al estado límite resistente de la sección.

Momento plástico: ZFAdAFydAFM y

A Ayyp ∫ ∫ ===

Z = Módulo plástico )(

2)( tcyzzccytcp yyAFyAyAFTyCyM +=+=+=

)(2

'tc yyAZ +=∴

Factor de Forma, FF= SZ ( ≈ 1.1 para secciones I)

En cuanto al diagrama de deformaciones, este va a ser lineal en el rango elástico como elasto-plástico. En la figura se muestra la curvatura de la sección debida a flexión, la que tiende a infinito cuando la altura de la zona elástica tiende a cero.

EIM y

y =φ

eye

y

hd

h=⇒=

φφε

φ)2/(

EIM

dyy

y ==ε

φ2

En el rango elasto-plástico, la curvatura Si he 0, φ oo En sección con momento plástico (Mp), la curvatura tiende a infinito rótula. R.P.= Rótula plástica (transmite Mp). Si se grafica, para un sección doble T simplemente apoyada con una carga P puntual central, el diagrama de curvatura cuando la carga P produce la plastificación completa de la sección central sea considerada puntual. Esto induce la definición de Rotula Plástica.

IE 30x48.5 A = 61.8 cm2 Ix = 10835 cm4 Sx = 722 cm3 Z = 7.86 cm3 FF = 1.0886

Analizamos el tramo próximo a la zona de rótula plástica, es decir, con alta penetración de plasticidad. En forma adimensional:

La tendencia a la asíntota se produce en una longitud muy estrecha, lo que justifica considerar que la rotación es un fenómeno puntual y por lo tanto, es posible asimilar a una rótula puntual. En el punto de rótula plástica se tiene un momento constante (Mp). Este concepto constituye la base del análisis y diseño plástico de vigas, que es incorporado en la especificación LRFD. ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO A continuación se definirá cada uno de los estado límites que debe considerar un diseño de vigas de acuerdo a la especificación AISC-LRFD 1999. 1.- CAPACIDAD DE RESISTENCIA. El método LRFD define como capacidad nominal de resistencia al momento plástico Mp y por lo tanto la capacidad de resistencia de una sección está dada por:

φMn = 0.9 Mp. 2.- VOLCAMIENTO (LTB) El volcamiento de una viga en flexión se produce por un efecto combinado de paneo lateral del ala en compresión y giro de la sección. En el método de tensiones admisibles se poraba calculando de forma separada las resistencias al pandeo lateral y giro de la sección. En el método de tensiones admisibles se operaba calculando en forma separada la resistencia del otro fenómeno y por lo tanto se tenía dos resistencias, ambas conservadoras respecto del fenómeno real. Este método era llamado “de la doble fórmula”.

En el método LRFD, el AISC ha incorporado en general la resistencia completa del fenómeno, por lo que se ha demostrado que se obtiene valores de las capacidades mucho más acertados generando diseños más económicos a los que se obtenía con el método ASD. Si se considera una pieza sometida a flexión en un tramo con una longitud no arriostrada Lv, se podrá determinar que en la pieza, para ciertas longitudes pequeñas, nunca se produce el fenómeno del volcamiento antes que la plastificación total de la sección. Esa longitud se define como Lp (o longitud plástica) y cualquier longitud menor permitirá la plastificación total o bien que pueda alcanzarse el valor de Mp. Si la longitud de apoyo es mayor a Lp, la pieza se va a volcar antes de plastificar completamente la sección, pero esto se puede producir con la sección trabajando en el rango elastoplástico o bien con todas sus fibras elásticas. Si el volcamiento se produce con todas las fibras elásticas, es posible, de acuerdo a la ecuación general de estabilidad determinar cuál va a ser el momento para el cual se producirá el volcamiento y también la longitud máxima para la cual el volcamiento se produce permitiendo la primera fluencia de la sección. Esta longitud se denomina Lr y se determina considerando las tensiones residuales de la sección, es decir, a la tensión de fluencia se le resta

el valor de las tensiones residuales, que el AISC ha definido en forma distinta para piezas soldadas y laminadas.

Si graficamos el Momento nominal en función del largo no arriostrado, se podrá ver que el comportamiento e la pieza para longitudes no arriostradas mayores a Lr de acuerdo a la teoría de estabilidad es una curva convexa y se puede calcular de acuerdo a la expresión general indicada. Para longitudes menores a Lp, el momento nominal es constante e igual a Mp. Entre estas longitudes, el comportamiento de las vigas se puede asimilar conservadoramente a una línea recta. La especificación AISC indica que para determinar el momento nominal en esta situación se podraá interpolar entre los dos puntos conocidos. Se define la esbeltez de la pieza como el cuociente entre la longitud no arriostrada (o distancia entre arriostramientos) y el radio de giros según el eje débil de la pieza:

yvb rL=λ

El parámetro pdλ corresponde a la esbeltez compacta parea vigas que se diseñen de acuerdo a análisis plástico. Tiene un sentido claro si pensamos que una vez producida un rótula plástica en un tramo no arriostrado, la viga debe seguir estable hasta la formación de otra rótula plástica adyacente en doble curvatura.

( )( )( ) yypd rFEMML 21076.012.0 += y

pdpd r

L=λ

yfyp F

ErL 76.1= y

pp r

L=λ

22

1 11 LL

yr FX

FXr

L ++= yrr rL /=λ

21EGJA

SX

x

π=

ZFM yp =

xLr SFM = 2

24

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=GJS

ICX x

y

w ( )( )ywryfL FFFminF ,−=

El coeficiente Cb incorpora un ajuste debido a que normalmente la flexión no corresponde a una función constante en la longitud no arriostrada en referencia. EL AISC ha modificado la antigua expresión del coeficiente Cb por una expresión que se ajusta mucho mejor al valor real.

cBAmax

maxb MMMM

MC3435.2

5.12+++

=

Mmax = Momento absoluto en el tramo. MA = Momento absoluto en el punto l/4 del tramo. MB = Momento absoluto al centro del tramo. MC = Momento absoluto en punto 3l/4 del tramo. En forma conservadora, siempre se podrá tomar un valor Cb=1. Se muestra una tabla de los valores más comunes del coeficiente Cb para vigas simplemente apoyadas.

Es importante señalar que se puede dar el caso que Mn resulte del cálculo de capacidad con una valor mayor a Mp producto de la amplificación de las

expresiones correspondientes por el coeficiente Cb. En tal caso, el momento nominal es Mp. La capacidad de la sección por volcamiento está dada por:

nn MM 9.0=φ

3. PANDEO LOCAL DEL ALA (FLB) Para una pieza de sección doble-té en flexión, una de las alas va a tener una tensión uniforme de compresión. Como el espesor del ala es reducido en relación a la altura de la sección, se puede considerar que el ala se encuentra uniformemente comprimida, ya sea se encuentre trbajando en el rango elástico o en plastificación total. Como una placa no atiesada sometida a carga uniforme de compresión, el ala podrá estar sometida a pandeo local. En forma análoga a lo visto para el pandeo lateral torsional, se definen dos puntos de pivoteo para definir la curva de comportamiento en base a la esbeltez del ala: La esbeltez λp permite se produzca plastificación total de la sección antes que el fenómeno de pandeo local, en tanto una esbeltez λr, permite únicamente la primera fluencia de la sección, considerando las tensiones residuales de fabricación. El ala es compacta si tiene una esbeltez igual o menor a λp, será no compacta para una esbeltez mayor a λp pero igual o menor a λr y será esbelta para valores mayores a λr. Para determinar el momento nominal Mn se procede en forma similar al caso de LTB, es decir, considerando el valor de Mp para alas compactas, un valor de Mr = Sx Fcr para alas esbeltas e interpolando linealmente para el caso de secciones no compactas. Para determinar el momento Mr para el cual se produce la primera fluencia, será necesario considerar las propiedades efectiva de la sección de acuerdo a las expresiones que se indican

yfp F

E38.0=λ

Secciones laminadas

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

cL

Lr

kFEFE

95.0

83.0λ

Secciones soldadas

ZFM yp =

xLr SFM =

Secciones laminadas

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

2

2

90.0

69.0

λ

λc

cr Eb

E

F Secciones soldadas

thkc

4= 763.035.0 ≤≤ cb

Determinación de Qs

EF

Q ys λ74.0415.1 −= Si

yy FE

FE 03.156.0 ≤≤ λ Secciones

Laminadas

y

s FEQ 2

69.0λ

= Si yF

E03.1>λ

)/(65.0415.1

cys kF

EQ λ−=

si )/(

17.1)/(

64.0cycy kF

EkF

E≤≤λ

Secciones soldadas

y

cs F

EkQ 2

90.0λ

Si cy kF

E/(

17.1>λ

Es necesario señalar que para elementos que formen parte del sistema sismoresistente se deberá considerar una esbeltez lp menor a la indicada, e acuerdo al capítulo de provisiones sísmicas correspondiente. La capacidad de la sección por pandeo local del ala está dada por:

nn MM 9.0=φ 4.- PANDEO LOCAL DEL ALMA (WLB) Para una pieza de sección doble-t en flexión, el alma se encuentra sometida a tensiones de tracción y compresión, pudiendo la zona comprimida fallar por pandeo local. Se define al iguial que los casos anteriores una esbeltez del alma thw /=λ . La altura ha a considerar corresponde a la distancia libre entre alas para secciones soldadas y la longitud recta del alma de secciones laminadas, es decir, se descuenta la curva de unión con las alas (ver figura). Es importante señalar que el AISC hace una diferencia entre vigas y vigas armadas de alma esbelta (llamadas girders). Las vigas armadas ed alma esbelta (o girders) corresponden a secciones con wλ mayores a rλ y sus especificaciones se indican separadamente siguiendo el formato AISC e ICHA. 5.- RESISTENCIA AL CORTE En general el estado límite por resistencia al corte no va a controlar el diseño de elementos sometidos a flexión. La resistencia al corte en piezas que no tienen atiesadores al alma, es función únicamente de la relación h/t. Para no requerir atiesadores por corte, es necesario que la relación h/t sea igual o menor a 260. Las expresiones del AISC e ICHA se indican a continuación:

260≤th Capacidad nVφ 90.0=φ

Para

ywFE

th 45.2≤

wywn AFV 6.0=

Para ywyw F

Eth

FE 07.345.2 ≤<

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=t

hFE

AFV ywwywn

45.2

60.0

Para ywF

Eth 07.3>

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

52.4th

EAV wn

En el caso de utilizar atiesadores, se puede determinar la capacidad nominal de corte, de acuerdo a las expresiones para plate-girders considerando o no el campo de tracciones. 6.- SERVICIABILIDAD Existe una serie de consiciones de servicabilidad de la Estructura que el Ingeniero Estructural debe considerar en su diseño. Es común que los criterios de serviciabilidad para cada proyecto se definan a partir de reuniones con el cliente, quien fijará algunos de los parámetros necesarios a considerar. Los criterios de serviciabilidad están fuera de los aspectos normativos obligatorios y por lo tanto, son de exclusiva decisión del ingeniero estructura y el cliente. En el caso de las vigas, los problemas potenciales de serviciabilidad son: - Excesiva deformación por sobrecarga: Esto puede originar graves

problemas en los elementos no estructurales que se conectan como cielos falsos, tabiques, etc. En general, se ha demostrado que limitando la deformación por sobrecarga en l/360 de la longitud del vano, el problema no existe.

- Vibración: Es un aspecto importante de considerar, sin embargo no tiene relación con la seguridad estructural. Este problema se presenta en alñgunos casos de grandes espacios libres en que el sistema de piso tiene

una relación de amortiguamiento muy reducida. El AISC tiene un documento técnico que trata el problema en profundidad y entrega los procedimientos adecuados para ser considerados en el diseño. El manual ICHA incorpora estos procedimientos en su manual de diseño.

- Deformación de entrepiso: La deformación horizontal de entrepiso es un factor importante para las consiciones de servicio, y depende de las rigideces de las vigas, columnas y conecciones, por lo que el tamaño de las vigas puede quedar determinado por requerimientos de control de deformación horizontal. Las estructuras diseñadas en Chile de acuerdo a nuestras normas de diseño sísmico, deben cumplir con límites de deformaciones horizonatles bastante exigentes, por lo que este fenómeno en general, queda controlado por la necesaria rigidez a fuerzas laterales.

Como las consideraciones de serviciabilidad no corresponden a estados límites, sino a condiciones de servicio, las deformaciones se deben calcular con cargas sin amplificación por los factores de carga.

VII CALCULO DE ELEMENTOS EN FLEXIÓN

4.1 Comportamiento General de Vigas a Flexión La resistencia nominal a flexión Mn es el menor de los valores obtenidos de acuerdo a los estados límites de: a) Fluencia por flexión. b) Pandeo lateral torsional. c) Pandeo local del ala de la viga. d) Pandeo local del alma. Se adopta las siguientes definiciones: Lb = Distancia entre puntos arriostrados contra desplazamiento lateral del ala comprimida o entre puntos de arriostramiento Lp = Distancia límite no arriostrada lateralmente para que se pueda desarrollar el momento plástico de la sección. Lz = Longitud no arriostrada que fija el límite entre el pandeo lateral torsional. Cb = Factor de modificaciones que toma en cuenta la falta de uniformidad del diagrama de momentos, cuando los dos extremos de la viga están arriostrados

cBAmax

max

MMMMMC

b 3435.25.12

+++=

donde: Mmax = Máximo valor absoluto de momento en el segmento no arriostrado. MA = Valor absoluto del momento en el punto cuarto del segmento. MB = Valor absoluto del momento en el centro del segmento. MC = Valor absoluto del momento en el punto tres cuartos del segmento. Se permite Cb = 1.0 en todos los casos como valor conservador. Para voladizos cuyo extremo no está arriostrado, Cb = 1.0.

Fr = Compresión residual del ala 70 N/mm2 para perfiles laminados 115 N/mm2 para perfiles soldados. Fy = Tensión límite de fluencia especificada, Mpa. Fyf = Límite de fluencia para el ala, Mpa. Fyw = Límite de fluencia para el alma, Mpa. Fl = Tensión menor entre (Fyf – Fr) y Fyw, Mpa, en perfiles laminados y soldados.

Para perfiles plegados con alas atiesadas:

x

efyL S

SFF =

Para perfiles plegados con alas no atiesadas yL QFF =

Para vigas completamente arriostradas lateralmente con Lb ≤ Lp, solo vale el límite (a). Para vigas compactas no arriostradas y para perfiles T y ángulos dobles espalda-espalda no compactos, sólo valen los límites (a) y (b). El límite (b) no es aplicable a vigas sometidas a flexión en torno al eje menor ni a elementos de sección cuadrada o circular. En la figura siguiente se representa el comportamiento a la flexión de vigas compactas y esbeltas y el efecto sobre las longitudes límite de pandeo por el factor Cb>1.

Una sección compacta, con Cb=1.0 podrá alcanzar el momento plástico Mp siempre que su largo entre soportes laterales sobrepase el largo Lp. Si el largo no arriostrado lateralmente es Lr, la sección podrá alcanzar el momento límite Mr = FLSx. Entre Lp y Lr la variación del momento máximo es lineal entre los límites Mp y Mr. A partir del largo Lr la resistencia a la flexión decrece por efecto del pandeo lateral torsional, pudiendo alcanzar sólo los momentos Mcr, correspondiendo a ese tramo. Si Cb>1.0, el momento capaz Mn se amplifica por Cb en todo su rango de valores, produciéndose el desplazamiento de la curva PP’RB a la posición P1P1’R1B1. Así el momento plástico Mp podrá ser obtenido hasta una longitud Lm, mayor que Lp. Las secciones no compactas no tienen capacidad de alcanzar el momento Mp, sino sólo el valor M’n intermedio entre Mp y Mr; de modo que para estas secciones de largo L’ entre arriostramiento laterales, resulta mayor que Lp. Si Cb>1.0 el momento M’n puede alcanzarse hasta la longitud no arriostrada L’m mayor que Lm. La longitud no arriostrada Lr, que fija el límite entre el pandeo lateral torsional elástico y anelástico, no se modifica para Cb>1.0, aún cuando el momento Mcr se amplifica por Cb.

4.2 FLUENCIA DE VIGAS COMPACTAS Y NO COMPACTAS. La resistencia de diseño de vigas compactas, determinada por el estado límite de fluencia, es φbMn, siendo: φb = 0.9 Mn = Mp Mp = Momento plástico de secciones compactas. = FyZ ≤ 1.5 My para secciones homogéneas compactas. My = Momento correspondiente al comienzo de le fluencia en la fibra más alejada para una distribución elástica de tensiones. = Fy S, para secciones homogéneas. = Fyf S para secciones híbridas. Para vigas no compactas Mu tendrá el valor M’n intermedio entre Mp y Mr que corresponde proporcionalmente a la ubicación de λ entre λp y λr. Los valores de λp y λr se dan en la tabla B5. 4.3 PANDEO LATERAL TORSIONAL DE VIGAS COMPACTAS Y NO COMPACTAS. Este límite es sólo aplicable a miembros flectados según su eje mayor. La resistencia a flexión se determina por el estado límite de pandeo flexo-torsional, φbMn, siendo: φb = 0.9 Mn = Resistencia nominal determinada como sigue: 4.3.1 SECCIONES DE DOBLE SIMETRÍA Y CANALES La resistencia flexural nominal es:

( ) ppr

pbrppbn M

LLLL

MMMCM ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−−= en secciones compactas.

nM '≤ en secciones no compactas. El valor límite de longitud no arriostrada Lp, para tener la capacidad de flexión plástica de que es capaz la sección, se determinará como sigue: a) Para elementos de sección I, incluyendo vigas híbridas y canales:

yfyp F

ErL 76.1=

Esta fórmula está definida para Cb = 1.0. Para otros valores de Cb, Lp puede calcularse a partir de la fórmula para Mn indicada más arriba, haciendo Mn = Mp y resolviéndola para Lb con el valor de Cb deseado y Lp y Lr definidos para Cb = 1.0. b) Para barras rectangulares sólidas y perfiles cajón rectangulares

p

yp M

JAErL

13.0=

donde: A = Area de la sección transversal. J = Constante de torsión. Mp = Momento plástico. La longitud no arriostrada Lr y el momento Mr correspondiente, se determina como sigue: a) Para elementos I de doble simetría y canales

22

1 11 LL

yr FX

FXr

L ++=

xLr SFM = donde:

21EGJA

SX

x

π=

2

2 4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

GJS

IC

X x

y

w

Sx = Módulo resistente según eje mayor (mm3) E = Módulo de elasticidad del acero G = Módulo de corte del acero. FL = Valor menor entre (Fyf – Fr) y Fyw. Para perfiles plegados y no compactos: FL = Fy. Fyf = Tensión de fluencia del flange. Fyw = Tensión de fluencia del alma. Iy = Momento de inercia para eje y. Cw = Constante de alabeo. b) Para barras sólidas rectangulares y perfiles rectangulares cajón:

r

yr M

JAErL

2=

4.3.2 SECCIONES DE DOBLE SIMETRÍA Y CANALES CON LB > LR. La resistencia nominal de flexión es: Mn = Mcr ≤ Mp en secciones compactas. M’n en secciones no compactas. Donde Mcr es el momento crítico elástico, determinado como sigue: a) Para perfiles I de doble simetría y canales:

wyb

yb

bcr CILEGJEI

LCM

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ππ

( )22

211

21

2

ybyb

xbcr rL

XXrL

XSCM +=

Esta ecuación supone que la carga se aplica a lo largo del eje longitudinal que pasa por el centro de gravedad de la sección. Si la carga se aplica sobre el flange superior no arriostrado lateralmente, Mcr disminuye y si se cuelga del flange superior Mcr sumenta. El valor reducido de Mcr puede estimarse calculándolo con X2 = 0. b) Para barras rectangulares sólidas y perfiles cajón simétricos.

yb

bcr rL

JAECM

2=

4.3.3 PERFILES T Y DOBLE ÁNGULO. La resistencia nominal de vigas T y doble ángulo, cargadas en el plano de simetría.

( )21 BBL

GJEIMM

b

ycrn ++==

π

donde: Mn ≤ 1.5 My para alma en tracción. Mn ≤ 1.0 My para alma en compresión.

JI

LdB y

b⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±= 3.2

El signo positivo para B se aplica cuando el alma de la T está en tensión y el signo menos se aplica cuando el alma está en compresión. Si el extremo del

alma en compresión en cualquier parte del segmento no arriostrado, se debe usar el valor negativo de B.